Republica bolivariana de Venezuela

Universidad Fermin Toro

Facultad a la Ingeniería

Sede – Cabudare

ASPECTOS MÁS RESALTANTES UNIDAD 1

Alumno: Raúl Guedez

C.I: 18.526.731

NOTACION SIGMA

Una sumatoria indica la suma de una serie de términos que corresponden a una expresión algebraica, implica el uso del símbolo ∑, la letra sigma mayúscula del alfabeto griego en cuya parte inferior y superior se especifica el tamaño del intervalo en que se desarrollará. Estos números reciben el nombre de índice inferior e índice superior. En el siguiente ejemplo ilustrativo se dan algunos ejercicios de la notación sigma.

Ejemplo:

Calcule la siguiente Serie:

Solución:

Calcule la siguiente serie:

Solución:

PROPIEDADES DE LA NOTACION SIGMA

     Las propiedades son muy útiles para desarrollar expresiones que nos permiten calcular áreas limitadas por curvas planas.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

AREA BAJO LA CURVA

Si deseamos obtener el área bajo la curva de la función, Y = F(x)= X2 + 1, con F(x)>0 en un intervalo cerrado x = a, x = b con respecto al eje "x", se puede dividir en una serie de rectángulos, para luego calcular sub áreas, que después de ser sumadas nos da un valor aproximado al valor real del área. La precisión del área nos la dará el numero de rectángulos que tomemos, es decir, que a mayor número de rectángulos "n" más nos aproximamos al área real.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

Dada una función "f" continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un valor dentro del mismo, tal que la derivada de la función evaluada en "c", representa dicho valor promedio

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Sea una función f continua en el intervalo cerrado [a, b] y sea x cualquier numero en [a, b]. Si f es la función definida por

F(x)=∫a

X

f (t)dt

Entonces

F'(x)= f(x)

Si x=a, la derivada de la expresión anterior, puede ser una derivada por la derecha, y si x=b puede ser una derivada por la derecha.

CAMBIO DE VARIABLE

   En la mayoría de los casos las integrales no podrán resolverse de manera directa para ello es necesario emplear expresiones q modifiquen a la integral dada en una mucho más fácil de resolver. Ejemplo

∫(2 x+6)5 dx

Solución

Método a emplear: Integración por cambio de variable.

Regla de integración: Ecuación 1.1   

Desarrollo:

  En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad:

u= 2x+6 (1)

   Debido a (1), la integral original se transforma, momentáneamente en:

∫(2 x+6)5 dx=∫u5 dx (2)

Como la integral a resolver no debe quedar en función de la variable original,

se debe expresar a dx, en función de du y para ello se:

·        Deriva ambos miembros de (1) para obtener:

du= 2dx

·        Divide la expresión anterior entre 2, obteniéndose:

du2

= dx (3)

Si en (2), se reemplaza a dx por la expresión obtenida en (3) y además se

aplica la propiedad 1 de los O.L , se obtiene:

∫(2 x+6)5 dx =∫u5 dx = 12∫ u

5 du

Efectuado el cambio de variable se obtiene una integral inmediata. Para su

solución basta con aplicar la Ecuación 1.1. Así:

12∫ u

5 du =

112

u6+c

   Devolviendo el cambio de variable, u=2x+6 , se obtiene la respuesta final. Por lo

tanto:

∫(2 x+6)5 dx = 112

(2x+6)6+c