CONTROLO 2007/08 · 2 Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID) UTILIDADE - Controladores...

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IST-DEEC-MEEC – Controlo – 2007/2008 Novembro 2007 © Eduardo Morgado

CONTROLO 2007/08

2

Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID)

UTILIDADE - Controladores de uso frequente, pela sua simplicidade. - Três Acções ajustáveis: Proporcional (P), Integral (I), Derivativa (D)

- Objectivos: i) melhorar o seguimento da referência e/ou a rejeição de perturbações

ii) melhorar a resposta transitória ou estabilidade relativa

DEFINIÇÃO

Equação integro-diferencial: dt

de(t)KdeKe(t)Ku(t) Dt

IP ++= ∫ ττ0

)(

Ou: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++= ∫ dt

de(t)TdeT

e(t)Ku(t) Dt

IP ττ

0)(1

C(s) u e


3

Função de transferência: DI

P sKs

KKsC ++=)(

Ou: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++= D

IP sT

sTKsC 11)(

Três parâmetros para ajustar


pK )(sG p

1

DsT

+

+

_

+ + r

+

y

d

n

u e +

IsT1

_

4

+

C(s) Gp(s) + _

+ +

r

+

y d

n u

e

-10 -8 -6 -4 -2 0-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

Imag

Axi

s

P

Kp = 30

ANÁLISE DE CADA UMA DAS ACÇÕES apoiada no root-locus

Exemplo:

)2)(1(1)(++

=ss

sGp

e(t)Ku(t) p=_

-  ACÇÃO PROPORCIONAL (P)

pKsC =)(

é a lei de controlo mais simples referência para os casos seguintes

0>PK

- Os diagramas root-locus representam o deslocamento dos polos da malha fechada quando se varia o ganho proporcional

-  Os polos da malha fechada para os valores de parâmetros do PID indicados são representados por o

-  Ver adiante [slides 9-10] a resposta y(t) a escalão unitário na referência r, e a escalão unitário na perturbação d


0

5

-10 -8 -6 -4 -2 0-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

Imag

Axi

s

I

Kp = 30

-  ACÇÃO INTEGRAL ( I )

ττ deKu(t)t

P ∫=0

)(

sKsC P=)(

+

C(s) Gp(s) +_

++

r

+

yd

n

ue


introduz um polo na origem tipo aumenta melhora o seguimento em regime permanente

mas ... (em geral) a estabilidade relativa piora

no Exemplo os ramos do root-locus inflectem para o SPCD para Kp > 6 o sistema é instável

associar à acção Proporcional à

6

-10 -8 -6 -4 -2 0-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

Imag

Axi

s

PI

Kp = 30Ti = 2

-  CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL (PI)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= ∫ ττ deT

e(t)Ku(t)t

IP 0

)(1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

IP sTKsC 11)( =

sTs

K IP

)1( +

TI : tempo integral (reset time)

polo na origem s=0 melhora o seguimento em regime permanente zero em:

geralmente colocado próximo do polo em s=0 para não

perturbar a dinâmica devida aos restantes polos e zeros

ITs 1−=

-  a substituição P à PI melhorou seguimento em regime permanente, (tipo 0 tipo 1), sem alterar significativamente os ramos principais do root-locus

-  no ramo junto da origem: i) polo adicional da malha fechada associado a transitório lento (τ elevado) ii) zero adicional da malha fechada em

ITs 1−=

( ver resposta y(t) [slides 9-10] )

+

C(s) Gp(s) +_

++

r

+

yd

n

ue


7

-10 -8 -6 -4 -2 0-6

-4

-2

0

2

4

6

Real AxisIm

ag A

xis

PD

Kp = 30Td = 0,2

-  CONTROLADOR PROPORCIONAL DERIVATIVO (PD)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=dtde(t)Te(t)Ku(t) DP

[ ]DP sTKsC += 1)(

DT : tempo derivativo

DTs 1−= o zero do controlador “atrai” os

ramos do root-locus afastando-os do SPCD aumenta ξ (amortecimento) melhoria

da estabilidade relativa

dttde )(

a acção Derivativa introduz “antecipação” o sinal de controlo u(t) depende não só da intensidade do erro e(t) (acção P), mas também da sua rapidez de variação (acção D)

mas ... a acção Derivativa amplifica as componentes de alta frequência dos sinais (variações bruscas, ruído, ...)

r(t) ~ escalão ⇒ sinal de controlo u(t) de grande amplitude ⇒ esforços, regime não-linear

( ver resposta y(t) à [slides 9-10 ] )

+

C(s) Gp(s) +_

++

r

+

yd

n

ue


8

-10 -8 -6 -4 -2 0-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

Imag

Axi

s

PID

Kp = 30Ti = 2Td = 0,2

-  CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO (PID)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++= ∫ dt

de(t)TdeT

e(t)Ku(t) Dt

IP ττ

0)(1

I

IDIPD

IP sT

sTTTsKsTsT

KsC )1(11)(2 ++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=

reúne as acções anteriores

procura-se melhorar simultâneamente o regime permanente e a dinâmica

os zeros do controlador podem ser reais ou

complexos

( ver resposta y(t) à [slides 9-10 ] )

+

C(s) Gp(s) +_

++

r

+

yd

n

ue


1

9

Resposta y(t) a um escalão unitário na referência r(t) (d = 0, n = 0)

+

C(s) Gp(s) + _

+ +

r

+

y d

n

u e


Time (sec.)

Ampl

itude

Step Response

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0

0.5

1

1.5 PI

P

PD PID

Kp = 30 Ti = 2 Td = 0,2

10

+

C(s) Gp(s) + _

+ +

r

+

y d

n

u e

Resposta y(t) a um escalão unitário na perturbação d(t) (r = 0, n = 0)


Time (sec.)

Ampl

itude

Step Response

0 2 4 6 8 10 0 0.005 0.01

0.015 0.02

0.025 0.03

0.035 0.04

0.045 P

PI

PD

PID

Kp = 30 Ti = 2 Td = 0,2

11

Técnicas ANTI -WINDUP da acção Integral Problema:

Saturação (não-linearidade) no actuador precedido de acção Integral (Ex: válvula, amplificador electrónico, ...) erro e(t) é reduzido através da retroacção negativa

à saída do controlador uc(t) cresce [pq. ui(t) = KI ∫ e(t) dt cresce: wind-up do integrador] enquanto e(t) não inverter a polaridade

enquanto uc(t) > umax (actuador em saturação: u=umax) a inversão na polaridade de e(t) ocorre lentamente

⇒ y(t) apresenta oscilações duráveis c/ elevada amplitude


)(sG p

Kp

_

+ r y u e

+ s

KI

uc

ui

u umin

uc

umax _

12

Soluções: i) desligar a acção Integral quando o actuador satura: “ if ⎜uc⎜ > umax then KI = 0 “ ii) não-linearidade “zona-morta” em retroacção negativa em torno da acção integral ( tendente a repor rapidamente a entrada do integrador em zero e conduzir uc(t) para o domínio linear)

iii) outras soluções ... (ver Bibliografia)


umin

uc

umax

)(sG p

Kp

_

+ e y u +

sKI

uc

ui

u umin

uc

umax _

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OUTRAS CONFIGURAÇÕES do PID Configuração básica

Diferenciação aplicada ao sinal de erro:

r(t) ≈ função escalão ⇒ u(t)~ impulsivo (na prática, com elevada amplitude)

(notar que para do exemplo anterior a função de transferência

U(s)/R(s) vem não-própria, i.e., nº zeros > nº polos)


)2)(1(1)(++

=ss

sGp

pK

)(sG p

1

DsT

+

+

_

+ + r

+

y

d

n

u e +

IsT1

_

14

Configuração alternativa : a Diferenciação é aplicada ao sinal de retroacção da saída (mais lento que e(t))

esta configuração ocorre na “retroacção de velocidade” com taquímetro ou encoder

Notar que ambas as configurações têm a mesma função de transferência da malha aberta

(loop gain) e a mesma f. t. Y(s)/D(s) (r=0, n=0) , mas diferentes U(s)/R(s) e Y(s)/R(s).


pK )(sG p

1

DsT−

+

+

_

+ +

+

y

d

n

u e +

IsT1

_

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Objectivo: Limitação do ganho para as altas frequências

Diminui a amplitude do esforço de controlo u(t) Diminui sensibilidade ao ruído n(t) Mais realista (nº polos ≥ nº zeros)

I)  Introdução de um polo ajustável no bloco derivativo

DsT

NTs

sTD

D

+1

-  Na realidade estão normalmente envolvidos mais polos (e/ou zeros) do que os incluídos nas funções de transferência dos controladores P-I-D ideais atrás

indicadas.

Contudo, desde que os polos e zeros das funções de transferência ideais sejam dominantes essa aproximação facilita a análise e o projecto.


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AJUSTE DOS PARÂMETROS DO P-I-D Regras de Ziegler-Nichols ( ajuste empírico in loco ). Baseiam-se num ensaio experimental Dois métodos:

Processo y u

y(t)

t

A

τ

R=A/τ

L=td 1)()(

+=

−

τsAe

sUsY dst

Tipo de Controlador Valores dos parâmetros

Proporcional Kp = 1/RL Proporcional-Integral Kp = 0,9/RL

TI = L/0,3 Proporcional-Integral-Derivativo Kp = 1,2/RL

TI = 2 L TD = 0,5 L

Da curva experimental em malha aberta extraem-se: R e L

Parâmetros do PID sugeridos (resposta ao escalão da malha fechada com ξ ~ 0,21) :

I) Método da “curva de reacção”


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II) Método da “sensibilidade última” (ou do ganho último)

Tu

y(t) +

Processo y

Ku _

Tipo de Controlador Valores dos parâmetros

Proporcional Kp = 0,5 Ku Proporcional-Integral Kp = 0,45 Ku

TI = Tu/1,2 Proporcional-Integral-Derivativo Kp = 0,6 Ku

TI = Tu /2

TD = Tu /8

O ensaio é realizado em malha fechada com o controlador em modo Proporcional. Variar ganho Kp até ao limiar da instabilidade quando se começam a observar oscilações de amplitude constante registar: ganho último Kp = Ku e correspondente período das oscilações Tu .


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I - Aplicação do método do ganho último de Ziegler-Nichols

EXEMPLO de projecto do PID

C(s) Gp(s) y r +

_ )12)(2)(1(1)(

+++=

ssssGp

- pelo critério de Routh-Hurwitz: estável sse -24 < K < 546

Donde: Ku = 546 polos da malha fechada: s1 = -15 s2,3 = ± j 6,16

  Tu = 2π/6,16 = 1,02 seg

Valores de parâmetros do PID aconselhados (Tabela): Kp = 0,6 Ku = 328 TI = Tu /2 = 0,51 TD = Tu /8 = 0,128

PID com dois zeros complexos conjugados em: s1,2 = -3,90 ± j 0,25.

sjsjssCPID

)25,090,3)(25,090,3(42)( −+++=


19

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

Imag

Axi

s

Time (sec.)

Ampl

itude

Step Response

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Root-locus do sistema com o controlador PID calculado – notar os polos da malha fechada

Resposta ao escalão unitário

)12)(2)(1()25,090,3)(25,090,3(42)()(

+++

−+++=

ssssjsjssGpsC

se o resultado não for aceitável variar parâmetros em torno dos valores aconselhados


643352801564332842

)()(

234

2

++++

++=

ssssss

sRsY

20

II - Projecto do controlador PID apoiado no root-locus

C(s) Gp(s) y r +

_ )12)(2)(1(1)(

+++=

ssssGp

ESPECIFICAÇÕES da resposta ao escalão unitário: Sobreelevação = 20%

tempo de estabelecimento (5%) = 1 seg. erro em regime permanente nulo

Pedido: Dimensionar um controlador PID

Especificações expressões simples para sistemas de 2ª ordem sem zeros Polos desejados (supostos dominantes): - 3 ± j 6

Vamos realizar o projecto em duas etapas: i) - dimensionamento da componente Proporcional-Derivativa tentando satisfazer as

especificações dinâmicas; ii) - introdução da componente Proporcional-Integral para satisfazer a especificação

de regime permanente


21

i)   - Componente Proporcional-Derivativa

para satisfazer as especificações dinâmicas: )()( asKsCPD +=

Condição de argumento: α1 = 61,6 º a = 6,2

Condição de módulo: ..................... K = 60

Resultado:

º180)12(4321 +±=−−− kαααα

α1

- j 6

j 6

- 3

α4 α2

α4

α4

- 2 - 1 - 12 - a

α3

em simulação : Sobreelevação ≈ 30% > 20% (especificação) ! (os polos projectados não se revelam dominantes )

  ajuste tentativo de parâmetros em simulação, apoiado no root-locus


)2,6.(60)( +≈ ssCPD

22

Time (sec.)

Ampl

itude

Step Response

0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

PD

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Real AxisIm

ag A

xis

PD

)12)(2)(1()5(60

)12)(2)(1()2,6(60)()(

+++

+→

+++

+=

ssss

sssssGsC p

3249815)5(60

3969815)2,6(60

)()(

2323 +++

+→

+++

+=

ssss

ssss

sRsY

)5.(60)( += ssCPD


  ajuste tentativo de parâmetros em simulação deslocar o zero do controlador para “fechar” os

ramos do root-locus aumentar ξ ⇒ S% ↓

  zero = -5   simulação: S% ≈ 20 % , ts(5%) ≈ 1 seg

23

i)   -

ii)   - Controlador Proporcional-Integral-Derivativo Para anular o erro em regime permanente ao escalão acção PI

sbssC

sbsasKsC PDPID

)().())(()( +=

++=

O zero s = - b é colocado na vizinhança do polo s = 0 para que o root-locus anterior resultante da utilização do PD não seja significativamente perturbado (i.e., a dinâmica obtida com o PD será conservada)

sssCPI

5,0)( +=

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Real Axis

Imag

Axi

s

PID

)12)(2)(1()5,0)(5(60)()(

+++

++=

sssssssGsC p


24

Time (sec.)

Ampl

itude

Step Response

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

PID

PD

1503549815)5,0)(5(60

)()(

234 ++++

++=

ssssss

sRsY zeros: z1 = - 0,5 ; z2 = - 5

polos: p1,2 = -3,27± j 5,31; p3 = - 7,98; p4= - 0,48

ssssCPID

)5,0)(5(60)( ++=

Na formulação clássica do PID: aqueles valores de parâmetros correspondem a: Kp = 330, TD = 0,182 , TI =2,20

I

IDIPD

IP sT

sTTTsKsTsT

KsC )1(11)(2 ++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=


simulação: S% ≈ 20 % , ts(5%) ≈ 1 seg satisfaz !

C(s) Gp(s) y r +

_

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