UNIVERSIDAD FERMÍN TOROVICERECTORADO ACADÉMICO

FACULTAD DE INGENIERÍABARQUISIMETO- EDO. LARA

Cálculo Proporcional

Carrillo, Rubén C.I.V 18.997.412

Estructuras Discretas IProf.: Domingo Méndez

Cabudare, Mayo 2014

Cálculo Proporcional

Es también conocido como lógica proporcional, y es aquella ciencia

que presenta los principios válidos del razonamiento y también de la

argumentación.

El estudio de lógica es el esfuerzo por determinar las condiciones que

justifican a una persona para pasar de una proposición dada, llamadas

premisas, a una conclusión que se deriva de aquellas.

Según L.García (1990), la Lógica proposicional estudia las

operaciones proposicionales y la deducción proposicional.

Proposiciones

Una proposición es un ordenamiento resultado de nuestra actividad

pensante donde expresamos, bien la posibilidad de la ocurrencia de un

hecho, o la necesidad de una acción, o una orden, un deber, una

interrogante, etc.

Puede decirse que una proposición es una frase declarativa o juicio al

que, podemos asignarle un valor verdadero ya sea cierto o falso. Por ejemplo

la frase “El programa es de Soft”, es una proposición, a priori no puede

decirse si esta proposición tiene un valor cierto o falso, pero si se parte de un

contexto en que se establece unívocamente de qué programa se está

hablando y además se conoce que efectivamente este es de Soft, puede

afirmarse que la proposición es cierta.

Las proposiciones se identificarán con letras minúsculas. También se

les llama Variables Proposicionales.

Toda proposición tiene una y solamente una alternativa 1: Verdadero

0: Falso• Llamaremos valor lógico de una proposición, el cual denotaremos

por VL, al valor 1 si la proposición es verdadera; y 0 si es falsa. Como

ejemplo de las proposiciones anteriores, podemos decir que VL(P)=1,

VL(q)=0.

Operaciones veritativas

Las operaciones veritativas son aquellas operaciones que se llevan a cabo

con cada uno de los conectivos para formar nuevas proposiciones.

Conectivos Lógicos

La Negación: Es un conectivo que niega el valor de una proposición o en su

defecto, devuelve el valor contrario de la misma.

p ~ p

1 0

0 1

~ p, que se lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p.

La Conjunción: Este conectivo se lee “y”, el cual une dos1 1 1 proposiciones

y entrega un valor verdadero. Sólo en el caso que ambas tengan valor

verdadero. p ^ q se lee “p y q”

p q p ^ q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

La Disyunción Inclusiva: Significa “o” y une dos proposiciones. Su

resultado es un valor verdadero siempre y cuando al menos una de ellas

tenga valor verdadero.

p v q se lee “p o q”.

p q (p v q)

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

La Disyunción Exclusiva: Significa “o una u otra”, une dos proposiciones y

resulta en un valor verdadero cuando los valores de las mismas son

diferentes entre sí.

p v q se lee “o p o q”.

p q (p v q)

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

El Condicional o Implicación: Este conectivo se lee “si ..., entonces ...” y une dos proposiciones, cuyo resultado sólo es falso cuando p es verdadero y q es falso.p q se lee “si p, entonces q”.

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

En el condicional p es antecedente y q consecuente. El antecedente es la condición suficiente y el consecuente la condición necesaria

Condicionales Asociados 1. Directo: p q 2. Recíproco: q p 3. Contrarrecíproco: ~ q ~ p 4. Contrario: ~ p ~ q

El Bicondicional o Doble Implicación: La proposición p q se lee "p si sólo si q", o "p es condición necesaria y suficiente para q“ y su resultado es verdadero cuando los valores de las mismas son iguales.

p q se lee “p si sólo si q”.

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Formas Proposicionales

Se llama así a las nuevas expresiones que resultan de unir las

variables proposicionales a través de los conectivos lógicos: se puede decir

que las variables proposicionales también son formas proposicionales.

Tablas de Verdad

Determinan el valor de verdad de una proposición compuesta,

analizando sus proposiciones simples relacionadas con los conectivos

lógicos. La combinación de valores de verdad depende del número de

proposiciones dadas. Para n proposiciones se tiene 2n combinaciones.

Tautologías y Contradicciones

Proposición Tautológica o Tautología: Proposición molecular que

es verdadera sin importar los valores de sus variables proposicionales.

p ~ p p ^ ~ p

1 0 0

0 1 0

Contradicción: Proposición molecular que es falsa

independientemente de los valores de sus variables proposicionales.

Leyes del Álgebra de Proposiciones

Equivalencia e Implicación Lógica

Implicación Lógica: Sean A y B dos formas proposicionales. Se dice

que A Implica Lógicamente a B, o simplemente A implica a B, y se

escribe:

A B si el condicional A B es una tautología.

Implicaciones Lógicas:

Ley de Simplificación: (p ^ q) p

Ley de Adicción: p (p v q)

Equivalencia o Proposiciones Equivalentes

Sean A y B dos formas proposicionales. A es Lógicamente

Equivalente a B, o simplemente A es equivalente a B y se escribe:

A= B o A B, si y sólo si la forma bicondicional A B es una

tautología.

Razonamientos

Es la aseveración de que una proposición llamada conclusión es

consecuencia de otras proposiciones dadas llamadas premisas.

Forma Proposicional

Un razonamiento con premisas P1, P2, P3, P4, & .., Pn y conclusión C

se escribe de la forma proposicional siguiente:

P1

P2 P3

P4 . . . Pn

---- C

Métodos de Demostración

Demostración Directa: Se debe probar una implicación: p q. Es

decir, llegar a la conclusión q a partir de la premisa p mediante una

secuencia de proposiciones en las que se utilizan axiomas,

definiciones, teoremas o propiedades demostradas previamente.

Demostración Indirecta: Existen dos formas de demostración:

1. Método del Contrarrecíproco: Otra forma proposicional

equivalente a p q es proporcionada por la Ley del

contrarrecíproco: p q = ~ q ~ p.

2. Demostración por Reducción al Absurdo: en este la proposición

p q es tautológicamente equivalente a la proposición (p ^ ~q)

(r ^ ~r) siendo r una proposición cualquiera.

Inferencia

Circuitos Lógicos

También se llaman redes de conmutación y es una representación

esquemática que tiene una o más entradas y exactamente una salida. Se

pueden identificar con una forma proposicional, de manera que a una forma

proposicional se le pueda asociar un circuito; o de manera contraria, dado un

circuito se le puede asociar la forma proposicional correspondiente.

Usando las leyes del álgebra proposicional se pueden simplificar los

circuitos en otros más sencillos que al final cumplen la misma función que el

original.

Interruptores en conexión: