Geometría ProporcionalColegio nueva era Siglo XXI, Curauma

Departamento de Matemática

1. Congruencia

Contenidos

1.1 Definición

1.2 Triángulos Congruentes

3.1 Definición

3.2 Triángulos Semejantes

2. Figuras Equivalentes

3. Semejanza

3.3 Elementos homólogos

3.4 Razón entre áreas y perímetros

4.1 División Interior

4.2 División Exterior

4.3 División Armónica

4. División de un segmento

4.4 Sección áurea o Divina

1. Congruencia1.1 Definición

(Son congruentes cuando son exactamente iguales)

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.

Ejemplos:

A

C

B D

F

E

1.2 Triángulos congruentesPara determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios:

1° Lado, lado, lado (L.L.L.)

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.

Ejemplo:

88

1010

66

Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente.

A B

C

E

F

D

5

3

5

3

Ejemplo:

Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF

3° angulo, lado ,angulo (A.L.A)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.

A B

C

E

F

D

1212

Ejemplo:

Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF

2. Figuras EquivalentesSon aquellas que tienen la misma área.

Ejemplo:

El cuadrado de lado 2√ , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura:

Área = 4 Área = 4

3. Semejanza

Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones:

3.1 Definición

Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.

G

F

J

I

H

A

E

D

C

B

1° que tengan sus ángulos respectivamente iguales, y

2° que sus lados homólogos sean proporcionales.

A

E

D

C

B

G

F

J

I

H

6

5

4

3

12

10

8

6

42

Además, están en razón 1:2.

Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales, y sus lados homólogos proporcionales.

3.2 Triángulos Semejantes

Ejemplo:

A B

C

E

F

D

Los Lados homólogos están en razón: 1:3

5

3

15

94

12

ABDE

BCEF

ACDF

13

= = =

Recuerda que al establecer una semejanza, el orden es fundamental.

AB es homólogo a DE

BC es homólogo a EF

AC es homólogo a DF

Ejemplo:

Determinar la medida del segmento QR de la figura:

A B

C

4 10

Q

R

P

6

Solución:Los triángulos ABC y PRQ son semejantes y se tiene que

ABPR

10QR

46

= = 10QR

46

= 60 = 4∙QR 15 = QR

Es decir:

Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces:

ABPR

CBQR

ACPQ

= =

P

Q

R

A B

C

3.3 Elementos HomólogosLos lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a los lados proporcionales.

Ejemplo:

34

5

6

8

10

ABPQ

= BCQR

= CARP

= k 5 10

= 36

= 48

= 12

Además, los elementos que cumplen la misma función en cada triángulo como: alturas, transversales,bisectrices y simetrales, también son homólogos y proporcionales.

= k

PR

6

8

10

Q

A B

C

34

5

hC

hR

Además, =hC

hR

2,4

4,8=

1

2= k

• La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos.

3.4 Razón entre Áreas y Perímetros

Ejemplo:Q

6

10

hR

PR 8

A B

34

5

C

hC

PABC

PPQR

=12

24

=1

2

= k

• La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.

Ejemplo:

Q

6

10

hR

PR 8

A B

34

5

C

hC

AB

PQ= = k 5

10= 1

2

AABC

APQR

= 6

24

=1

4

= k2

4. División de un segmento4.1 División interior

CA B

Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:

Ejemplo:

QA B

ACCB = m

n

Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5, y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB?

QA B

45

AQQB

= 35

Solución:

AQ45

= 35

AQ =3∙45

5

AQ = 27

27

Por lo tanto, AB mide 72

4.2 División exteriorSi el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:

BA D

Ejemplo:

BA D

20

ADBD = m

n

Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2, y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD?

ADBD

= 52

20BD

= 52 BD =

20∙2

5

BD = 8

BA D812

20Solución:

4.3 División armónicaDividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón.

Ejemplo:

m

ACCB = = n

ADBD

Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2, ¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12?

A C B D

A C B D

12

12+y y

Solución:

12 - x y

ACCB

= 32

= 32

2x = 3(12-x) x 12-x

2x = 36 -3x5x = 36

ADBD

= 32

= 32 24 + 2y = 3y

365

x = 365

24 = y

245

24A C B D

x

12

4.4 Sección Áurea o DivinaEl punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional geométrica entre el trazo completo y el menor.

Si AX > BX, entonces:

Ejemplo:

XA B

PA B

ABAX = AX

BXó (AX)2 = AB∙BX

En la figura, P divide al segmento AB en “sección áurea”, con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la medida de AP, si PB = 5b?

5b

Solución:

(AP)2 = (AP + 5b)∙5b

(AP)2 = 5b∙AP + 25b2

(AP)2 - 5b∙AP - 25b2 = 0

5b

PA B

(AP)2 = AB∙PB