Cuadernillo Análisis y Cáculo 2014

7/23/2019 Cuadernillo Análisis y Cáculo 2014

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DIRECCION GENERAL DE ESCUELAS DIRECCION DE EDUCACION SUPERIOR

INSTITUTO DE EDUCACION SUPERIOR Nº 9-012 SAN RAFAEL EN INFORMATICA

Paunero esq. Almirante Brown – San Rafael – !a. C. Lectivo 2014

ANÁLISIS Y CÁLCULO

PROGRMA ANALÍTICO DE ESTUDIO

Unidad Nº 1 Conjunto RealeIntervalos y entornos. Conjuntos: clasifcación. Entorno y entornoreducido. Punto de acumulación.

Unidad Nº ! "un#ione$ l%&ite ' #ontinuidadLímite de una unción en un !unto: conce!to y !ro!iedades. Indeterminacionese infnit"simos. Continuidad de unciones. Pro!iedades de las uncionescontinuas. #i!os de discontinuidad.

Unidad Nº ( De)i*ada ' u a+li#a#i,nConce!to e inter!retación $eom"trica. %e$las de derivación. &!licación alc'lculo de errores a(solutos y relativos. Estudio local de una unción:crecimiento y decrecimiento. )'*imos y mínimos. Concavidad y conve*idad.

Puntos de in+e*ión. %e$las de L,-os!ital.Unidad Nº - Ele&ento del .l/e0)a linealEcuaciones lineales con dos incó$nitas. istemas de ecuaciones no/omo$"neos y /omo$"neos: m ecuaciones con n incó$nitas: #eorema de%ouc/"ro(enius eliminación de 3aussordan y $aussiana. 5ectores ymatrices. 6eterminantes. Producto vectorial.

Unidad Nº N2&e)o a+)o3i&ado ' e))o)eIntroducción. C'lculo de errores: error a(soluto y relativo. #i!os de errores:errores en los datos errores de truncamiento y redondeo. Errores !ro!a$ados:c'lculo de errores !ro!a$ados. Errores de conversión.4I4LIOGRA"IA1 tanley I. 3rossman: 78l$e(ra Lineal92 )isc/a Cotlar y Cora %atto de adosy. 9Introducción al 8l$e(ra ;ociones

de 8l$e(ra Lineal9.< mit/: 78l$e(ra #ri$onometría y 3eometría &nalítica94 &(ellanas %a!=n 3arcía &rri(as y )artíne> ?ntal(a: 7)atem'ticas I y II9.

Editorial )c 3ra@ -illA &lredo 6ía> )ata oel evilla )artíne> )ic/ael !aul )a*ime iol y %o(ert

-u(ertB auve$rain. 7)atem'ticas &!licadas a ;e$ocios y Economía9. 3erald L Dradley y arl . mid/: 7C'lculo9F Louis Leit/old: 7El c'lculo y la 3eometría &nalítica9G Larson -ostler: 7C'lculo y 3eometría &nalítica9

10 -e(e . %a(uHetti: 7Introducción al &n'lisis )atem'tico911 -o@ard &ntón: 7Introducción al 'l$e(ra lineal9. Editorial LI)&.;orie$a Editores.

12 Ed@in . Purcell y 6ale 5ar(er$. 7C'lculo con 3eometría &nalítica9.

PROF. MARCELA SANTAROSSA

- 1 -







GUÍA DE ESTUDIO Nº 1UNIDAD Nº 15 Conjunto Reale

Intervalos y entornos. Conjuntos: clasifcación. Entorno y entorno reducido.Punto de acumulación.

Inte)*alo ' ento)no

La $eometría analítica esta(lece una corres!ondencia (iunívoca entre !unto deuna recta u n=meros reales de tal orma Jue a cada n=mero real le corres!onde un!unto de la recta y a cada !unto de la recta un =nico n=mero real. La recta reci(e elnom(re de recta real o espacio de una dimensión y los t"rminos punto o

número se utili>an indistintamente.En la re!resentación $r'fca se indica un !unto ori$en so(re la recta Jue

corres!onde al 6 y otro !unto a su derec/a !ara re!resentar el 1 con lo cual Juedaesta(lecida la escala. La relación de orden defnida en R se inter!reta$eom"tricamente considerando Jue si b > a el !unto b est' a la derec/a del !unto a.

Inte)*alo

iendo a K (a inter"alo #erra$o MaN(O es el conjunto de n=meros reales ormado !or a ( y

todos los com!rendidos entre ellos.

[ ] { }b xa R x xba ≤≤∧∈= /;

La lon$itud del intervalo MaN(O es el n=mero !ositivo ( a.

( inter"alo a%ierto QaN( es el conjunto de n=meros reales com!rendidos entre ay (.

( ) { }b xa R x xba <<∧∈= /;

La lon$itud del intervalo QaN( es el n=mero !ositivo ( a.

c inter"alo semia%ierto a la i!quier$a o semi#erra$o a $ere#&a QaN(O es elconjunto de n=meros reales ormado !or ( y los n=meros com!rendidos entre ay (.

( ] { }b xa R x xba ≤<∧∈= /;

&n'lo$amente se defne el intervalo MaN(.


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Las defniciones anterior se !ueden $enerali>ar considerando la semirrecta y larecta como intervalos no acotados lo Jue se e*!resa utili>ando los sím(olos RS y S.Estos sím(olos de(en se considerados con es!ecial atención recordando Jue se usansolamente !or conveniencia de notación y nunca como n=meros reales.

[ ) { }a x xa ≥=+∞ /; ( ) { }b x xb >=+∞ /;

( ) { }c x xc <=∞− /;

( ] { }d x xd ≤=∞− /;

( ) { } R R x x =∈=+∞∞− /;

Ento)no

i a es un !unto cualJuiera de la recta real y / un n=mero !ositivo entorno decentro a y radio h es un intervalo a(ierto Qa/NaR/. e lo desi$na ( )ha E , .

( ) { } ( ) { }ha x xha E óha xha xha E <−=+<<−= /,/,

Ento)no )edu#idoi a es un !unto cualJuiera de la recta real y / T 0 entorno reducido de

centro a y radio h es el conjunto de !untos del intervalo a(ierto Qa/NaR/ del cual see*cluye el !unto a. e lo desi$na: ( ) ( )a E oha E ','

( ) { } ( ) { }ha x xha E óha xhaa x xha E <−<=+<<−∧≠= 0/,/,'

?(s"rvese Jue al e*i$ir a x −<0 eJuivale a e*i$ir ,a x ≠ !ues a xa x =⇔=− 0 .

Conjunto a#otadon conjunto C es acotado si admite cota su!erior y cota inerior. Entendiendo !or

cota su!erior al mayor de los elementos del conjunto Jue no es su!erado !or nin$=nelemento del conjunto y !or cota inerior el menor de los elementos del conjunto Jueno su!era a nin$uno de ellos.Punto de acumulación

i C es un conjunto de !untos de la recta real un !unto a es !unto de a#umula#i'n$e C si a todo entorno reducido de a !ertenece !or lo menos un !unto de C. El !untoa !uede !ertenecer o no al conjunto C !ero la defnición e*i$e Jue en cualJuierentorno del !unto a e*ista !or lo menos un !unto de C distinto del !unto a.

Es decir:

a es !unto de acumulación de C )'/(:)(' )(a E xC x xa E ∈∧∈∃∀⇔ ó

a es !unto de acumulación de C )0/(:0 ha xC x xh <−<∧∈∃>∀⇔ ó

a es !unto de acumulación de C Φ≠∀⇔ C a E a E )(':)(' .Eje&+lo N7 1

a i el conjunto C es un intervalo cerrado todos sus !untos son de acumulación.( i el conjunto C es un intervalo a(ierto todos sus !untos son de acumulación y

tam(i"n los e*tremos son !untos de acumulación de C aunJue no !ertenecenal conjunto.


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Conjunto de)i*adoEl conjunto ormado !or todos los !untos de acumulación de un conjunto C es el

conjunto derivado de C y se desi$na C,. 6e acuerdo con los ejem!los anteriores:

a [ ] [ ]baC baC ,', =⇒=( ( ) [ ]baC baC ,', =⇒=

Conjunto #e))ado

n conjunto al cu'l !ertenecen todos sus !untos de acumulación se denominacerrado. Es decir un conjunto es cerrado si y solo si le !ertenecen todos sus !untos deacumulación.

C cerrado ⇔ Qa !unto de acumulación de C C a∈⇒ .Eje&+lo N7 !

a El conjunto de los n=meros reales es cerrado !ues le !ertenecen todos sus!untos de acumulación Jue son n=meros reales.

( n intervalo cerrado es como su nom(re lo indica un conjunto cerrado.Conjunto #o&+a#ton conjunto es com!acto si y sólo si es cerrado y acotado.Eje&+lo N7 (n intervalo cerrado es un conjunto com!acto.Conjunto deno en %

n conjunto es denso en sí si y sólo sí todos sus !untos son de acumulación. Esdecir C denso en sí 'C C ⊆⇔ .

Eje&+lo N7 -El conjunto % de los n=meros reales es denso en sí !ues todos sus !untos sonde acumulación.Conjunto +e)8e#to

n conjunto es !erecto si y sólo sí es cerrado y denso en sí. Es decir unconjunto es !erecto si es i$ual a su conjunto derivado. En eecto si C es cerrado su derivado est' incluido en "l y si C es denso en sísu derivado los incluye. Por lo tanto '' C C yC C ⊆⊆ . Lue$o C U C,.Eje&+lo N7

% es un coGnjunto !erecto !ues %, U %.Punto inte)io)

n !unto a !erteneciente a un conjunto C es !unto interior al mismo si y sólo sí

e*iste un entorno totalmente incluido en C. Es decir

& !unto interior a C ( ) ( ) C a E a E C a ⊆∃∧∈⇔ / .Eje&+lo N7 9

CualJuier n=mero real es interior al conjunto % de los n=meros reales.Conjunto a0ie)ton conjunto & es a(ierto si y sólo sí todos sus !untos son interiores.Eje&+lo N7 :

a % es un conjunto a(ierto t V no es un conjunto a(ierto.( El intervalo Qa( es a(ierto.


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Punto ailado$ e3te)io)e ' 8)onte)a;Punto ailado

n !unto a Jue !ertenece a un conjunto C es un !unto aislado si y sólo sí e*iste un entorno reducido de a al cual no !ertenece nin$=n !unto de C. Es decir

a es aislado en C ( ) ( ) Φ=∃∧∈⇔ C a E a E C a '/'

Eje&+lo N7 <

a Cada n=mero entero es un !unto aislado en el conjunto ;.( Lo mismo sucede con cada n=mero entero en el conjunto W.

Punto e3te)io);n !unto a es e*terior a un conjunto C si y sólo sí e*iste un entorno del mismo

al cual no !ertenece nin$=n elemento del conjunto C. Es decir:a e*terior a C ( ) ( ) Φ=∃∧∈⇔ C a E a E C a /

Eje&+lo N7 =a( El !unto < es e*terior al conjunto de los n=meros ne$ativos.c El ori$en es e*terior al intervalo QAF.

Punto 8)onte)an !unto es rontera si no es e*terior ni interior al conjunto considerado. Es

decir el !unto a es !unto rontera del conjunto & si y sólo sí en todo entrono del !untoa /ay al$=n !unto Jue !ertenece al conjunto a y al$=n !unto Jue !ertenece a sucom!lemento. ? sea:

a !unto rontera de & ( ) ( ) ( ) Φ≠∧Φ≠∀⇔ Aaa

C E A E a E (:

6e la defnición resulta Jue un !unto rontera !uede o no !ertenecer alconjunto.


- 5 -







TRA4A>O PRÁCTICO Nº 1

E>ERCICIO Nº 1

Escri(e como intervalos y si es !osi(le como entornos os si$uientes conjuntos.

a { }42/ ≤≤= x x A

( { }27/ −≤≤−= x x B

c { } { }113/ −−<<−= x xC

d { }52/ <−= x x D

e { }32/ ≤+= x x E

E>ERCICIO Nº !

Para cada uno de los si$uientes conjuntos dar un entorno de centro en el ori$en Juelo incluya.

a { }42/ ≤≤−= x x A

( { }710/ <<−= x x B

c { }413/ ≤<−= x xC

d { }2/ <= x x D

e { }32/ ≤+= x x E

E>ERCICIO Nº (

6ados los conjuntos:( )5,2−= A

( ]7,1= B

[ ]4,0=C

{ }52/ <−∧∈= x R x x D

{ }51/ ≤−∧∈= x R x x E

{ }332/ −=∧<−∧∈= x x R x x D

a Indicar cuales son cerrados.( 6ar el conjunto derivado de cada uno.

c Clasifcar en conjuntos com!actos denso en sí y !erectos.d 6ar el conjunto de los !untos interiores.e 6ecir cu'les de los conjuntos anteriores son a(iertos. 6ar ejem!los de !untos interiores !untos aislados si los /u(iere !untos

e*teriores !untos de acumulación y !untos ronteras.


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E>ERCICIO Nº -

Com!leta el cuadro:

#onjunto

#e))ado

No#e))ad

o

a0ie)to Noa0ie)to

#o&+a#to

Denoen %

Pe)8e#to

( )1,0

[ )1,0

( ]1,0

[ ]1,0

{ }1,0

?

@

R

E>ERCICIO Nº

a 6emostrar con un ejem!lo Jue la unión de conjuntos cerrados es un conjuntocerrado.

( 6emostrar con un ejem!lo Jue la intersección de un n=mero fnito de conjuntoscerrados es un conjunto cerrado. Xdem !ara la unión.

c Pro(ar Jue si '', B A B A ⊆⇒⊆ d 6emostrar Jue si un conjunto es cerrado su com!lemento es a(ierto.e 6emostrar Jue la intersección de dos conjuntos a(iertos es un conjunto a(ierto.


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GUÍA DE ESTUDIO Nº !UNIDAD Nº 1 Int)odu##i,n al Con#e+to de L%&ite

L%&ite de una 8un#i,n en un +unto5 #on#e+to ' +)o+iedade;Indete)&ina#ione e inBniti&o; Continuidad de 8un#ione;P)o+iedade de la 8un#ione #ontinua; Ti+o de di#ontinuidad .

YVu" entendemos !or el conce!to de LímiteZ En orma com=n /a(lamosde la velocidad límite el límite de nuestra !ro!ia resistencia los límites de latecnolo$ía moderna etc. #odas estas rases su$ieren Jue el límite es una es!ecie decota Jue a veces !uede o no ser alcan>a(le y otras no solo alcan>a(le sino su!era(le.

La noción matem'tica de límite la !resentamos mediante un ejem!lo:

Eje&+lo N7 16

u!on$amos Jue nos !iden di(ujar la $r'fca de la unción:

1,1

1)(

3

≠−−

= x x

x x f

Solu#i,n

Para todo !unto * ≠ 1 !odemos usar t"cnicas est'ndar !ero en el !unto * U 1no estamos se$uros de Jue !odamos es!erar. Para tener una idea del com!ortamientode la $r'fca de la unción cerca de * U 1 !odríamos usar dos conjuntos devalores de * una Jue se a!ro*ime al 1 !or la i>Juierda y otro !or la derec/a. La

si$uiente ta(la muestra los corres!ondientes valores de )( x f .

* 00A

00A

00G

00GG

00GGG

1 10001

1001

101

102A

10A

Q*

1

A

2

<1<

2

10

2

G0

0

2GG

Z <

00<

<

0<0

<

<10

<

F1<

4

A0

&l marcar estos !untos se ve Jue la $r'fca de la unción es una !ar'(ola conun /ueco en el !unto Q1<.

&unJue * no !uede ser i$ual a 1 !odemos acercarnos cuanto Jueramos al 1 ycomo resultado Q* se a!ro*ima cuanto Jueramos al valor <. sando notación de

límite decimos Jue el límite de Q* cuando * tiende a 1 es < y lo denotamos como:


- 8 -

x se acerca a 1 por la izquierda x se acerca a 1 por la derecha

F (x) se acerca al F (x) se acerca al







3)(lim1 =→ x f x

6efnición Inormal del Conce!to de Límite

Esto Juiere decir: si Q* se a!ro*ima ar(itrariamente a un n=mero L cuando *tiende a c !or am(os lados entonces decimos Jue L es el límite de Q* cuando *

tiende a c. El L x f c x =→ )(lim e*iste sí y solo sí e*isten los límites !or derec/a Qcuando *tiende a c !or derec/a y !or i>Juierda Qcuando * tiende a c !or i>Juierda.

C.l#ulo G).B#o de L%&ite

La f$ura muestra la $r'fca de una unción y el n=mero c U <. Las +ec/assi$nifcan !osi(les secesiones de los n=meros so(re el eje * Jue se a!ro*iman a < !orla i>Juierda y !or la derec/a. Cuando * tiende a c U < Q* se acerca a A escri(imos

esto en la orma:5)(lim

3=

→ x f

x .

Cuando * tiende a < !or i>Juierda escri(imos * → < y cuando lo /acemos !or laderec/a * → <R

6ecimos Jue e*iste el límite !ara * U < sí y sólo sí el valor al Jue se a!ro*imaQ* cuando * → < es i$ual al corres!ondiente * → <R.

Eje&+lo N7 11

Estudiando la unción defnida !or la $r'fca determina los límites si$uientes Qsie*isten.

a)(lim

3 x f

x −→ ()(lim

2 x f

x +−→ c)(lim

0 x f

x→

Solu#i,n

Vueda !ara el alumno.

C.l#ulo de L%&ite Uando Ta0laEje&+lo N7 1!

n cuer!o en caída li(re y sin resistencia del aire recorre29,4)( t t s = metros en t

se$undos. E*!resa la velocidad del cuer!o en el instante t U 2 como límite. Calcula

2

)4(9,4lim

2

2 −−

→ t

t

t construyendo una ta(la de valores.

Solu#i,nVueda !ara el alumno.


- 9 -

La notación: L x f c x

=→)(lim , se lee el límite de f (x) cu!d" # tie!de c e$ L%

! si"ni#ica $%e los &alo'es e f (x) se pueden aproximar a L cuanto se quiera

eligiendo a # lo suficientemente próximo a c pero distinto de c&







Eje&+lo N7 1(

Calcula los si$uientes límites usando ta(las.

a x

xsinlim0→ (

x xcoslim0→ c x

x

x

sinlim

0→

Solu#i,n


Eje&+lo N7 1-

Calcula el límite !ara * → 2 de la unción

=≠=20

21)(

x

x x f

Solu#i,n


DeBni#i,n 8o)&al de l%&ite

La defnición inormal de límite es L x f c x =→ )(lim esta defnición es informal !or lasafrmaciones: f(x) e it2a a)0it)a)ia&ente +),3i&a a L ' 3 e a#e)#a #

niendo estas dos desi$ualdades o(tenemos la defnición ormal de límite:

δ ε δ ε <−<<−>∃>∀=→

c xque siempre L x f que significa L x f c x

0)(/00)(lim

Eje&+lo N7 1


- 10 -

Ε representa un pequeño número positivo

entonces la primera frase significa que f(x)

está en el intervalo (L-ε; L-ε), E(L,)

en valor

a!soluto " La frase significa que existe un

número * # $ tal que x está en el intervalo (c

% *, c) o en el intervalo ( c, c+*), (c,*)

en

valor a!soluto .







6ada la unción

=≠−=

34312)(

x si x si x x f .

a %e!resenta $r'fcamente.( [ com!leta la ta(la:

* 2F 2.GG 2.GGG

2GGGG

F < F <001

<01 <1 <2

Solu#i,n


Re/la ' +)o+iedade 0.i#a de lo l%&ite5

ea # un n=mero real tal Jue las unciones f y g tienen límite fnito en 3 #.

Re/la de la #ontante5 k k c x

=→lim !ara toda constante . Con !erteneciente

a los n=meros reales.

Re/la del l%&ite de 35 c xc x

=→lim .

Re/la del &2lti+lo5 [ ] )(lim)(lim x f s x sf c xc x →→

= !ara toda constante s. es decir el

límite del !roducto de una constante !or una unción es i$ual a la constantemulti!licada !or el límite de la unción.

Re/la de la u&a5 [ ] )(lim)(lim)()(lim x g x f x g x f c xc xc x →→→

+=+ . Es decir el límite de

la suma es la suma de los límites.

Re/la de la di8e)en#ia5 [ ] )(lim)(lim)()(lim x g x f x g x f c xc xc x →→→

−=− . Es decir el

límite de la dierencia es la dierencia de los límites.

Re/la de la &ulti+li#a#i,n5 5 [ ] )(lim).(lim)().(lim x g x f x g x f c xc xc x →→→

= . Es decir el

límite de un !roducto es el !roducto de los límites.

Re/la del #o#iente5 5 0)(lim,)(lim

)(lim

)()(lim ≠= →

→

→→

x g x g

x f

x g x f

c x

c x

c x

c x. Es decir el límite de

un cociente es el cociente de los límites siem!re Jue el límite del denominadorsea distinto de cero.

C.l#ulo del l%&ite de una 8un#i,n +olin,&i#a

Eje&+lo N7 19

Calcula )11392(lim 235

2−+−

→ x x x

x

Solu#i,n



- 11 -







C.l#ulo del l%&ite de una 8un#i,n )a#ionalEje&+lo N7 1:

Calcula695

73lim

2

3

1 +++−

−→ x x

x x

x


C.l#ulo del l%&ite de una +oten#ia Ho )a%J de una 8un#i,n

Eje&+lo N7 1<

Calcula3 2

223lim −−

→ x x

x

Solu#i,nVueda !ara el alumno.C.l#ulo de l%&ite indete)&inado

Eje&+lo N7 1=

Calcula2

7lim

2

2 −−+

→ x

x x

x


L%&ite de 8un#ione deBnida +o) t)ao;

Eje&+lo N7 !6

Calcula

<

>+→

0

05lim

0

x si x

x si x

x


Eje&+lo N7 !1

Calcula

<+

>+

→

01

01lim

20

x si x

x si x

x


- 12 -









- 13 -







TRA4A>O PRÁCTICO N7 !E>ERCICIO N7 16eterminar el dominio de las si$uientes unciones:

23

22 ++

−=

x x

x y

x

x y

−+

=2

1

E>ERCICIO N7 !

ean las unciones:

{ }2

6)(/2:32)(/:

2

−−+

=→−−=→ x

x x x g R R g x x f R R f

a Con au*ilio de la calculadora analice el com!ortamiento de cada unción en unentorno reducido * U 2.( Con la unción 8H3J es !osi(le acercarse al valor 1 todo lo Jue sea desea(le con

tal de tomar valores de 3 !ró*imos a 2.c Con la inormación o(tenida es !osi(le ase$urar Jue el límite de la unción Q*

es i$ual a 1 en el !unto * U 2.Zd Con la inormación o(tenida es !osi(le ase$urar Jue el límite de la unción Q*

es i$ual a 1 en el !unto * U A.Ze Construya el $r'fco.

E>ERCICIO N7 (

Construya una ta(la y analice el com!ortamiento de las si$uientes unciones en los

!untos Jue se indican y o(ten$a conclusiones res!ecto de:

a i la unción est' defnida en ese !unto.( El dominio de la unción.c i tiene límite fnito en ese !unto. i los n=meros o(tenidos en los incisos a y c

son i$uales.d i ese !unto es !unto de acumulación del dominio de la unción. 3rafJue la

unción en el entorno del !unto dado.

1. 143)(/: 2 =+−=→ xen x x x f R D f

2.

114

12

)(/: 2 =

>+−

≤+

=→ xen x si x

x si x

x f R D f

<.

223

21)(/: =

>+−

<+=→ xen

x si x

x si x x f R D f

4.

22

2)(/:

2

=−−−

=→ xen x

x x x f R D f

E>ERCICIO Nº -


- 14 -







En los si$uientes límites se van a !resentar indeterminaciones. %ealice los !asosal$e(raicos necesarios y convenientes. [ calcule el valor del límite.

a

−−

→ 4

16lim

2

4 x

x

x

(

−−

→ 16

4lim

2

2 x

x

x

c

−−

→ 16

4lim

4

2

4 x

x

x

d

−

+−→ 1

12lim

2

1 x

x x

x

e

−+

→ 320 4

2lim

x x

x x

x

++−

→ x x

x x x

x 3

23

0 2

425lim

$

++−

→ x x

x x x

x 3

234

0 2

453lim

E>ERCICIO Nº

e\ale el valor de verdad de las si$uientes !ro!osiciones. ustifJue las !ro!osicionesalsas.

a i e*iste Qc entonces necesariamente e*iste lím Q* en el !unto c.( i e*iste lím Q* en el !unto c entonces necesariamente e*iste Qc.

c i la unción Q* tiene límite fnito en el !unto c entonces)(lim)( x f c f

c x→=

d El valor del límite de una unción en un !unto no de!ende del valor deunción en dic/o !unto.

e i los límites laterales de una unción en un !unto son i$uales entonces!odemos decir Jue la unción tiene límite en ese !unto.

i una unción tiene límite fnito en un !unto entonces ese !untonecesariamente !ertenece al dominio de la unción. i una unción tienelímite fnito en un !unto ese !unto necesariamente es !unto deacumulación del dominio de la unción.

E>ERCICIO Nº 9

ean las si$uientes unciones

1)(53)(1

)(2)( 23 −=−==−= x xt x xh

x x g x x x f

Calcula:

a h

f h f

h

)2()2(lim0

−+→ ( h

g h g

h

)3()3(lim0

−+→

c 2

)2()(lim

2 −−

→ x

h xh

x d 2

)2()(lim

2 −−

→ x

t xt

x

e1

1lim

1 −−

→ x

x

x

x

x x

x cos33

sinlim

22

0 −+

→

E>ERCICIO Nº :

ea la unción [ ] { } R f →−− 26;2: cuya $r'fca se ilustra.a 6efna los intervalos donde la unción es !ositiva y donde es ne$ativa.


- 15 -







( IndiJue los !untos donde la unción es a nula ( no est' defnida.c Calcule el límite de la unción en los !untos. ] U 1 * U 0 y * U 2.d En cu'les de esos !untos el valor de la unción es i$ual al valor del límiteZe 6efna los intervalos del dominio donde los valores de la unción son crecientes. 6efna los intervalos del dominio donde los valores de la unción son crecientes.

Continuidad

6ecir Jue una unción f es continua en * U c si$nifca Jue su $r'fca no tieneinterru!ciones en c Jue ni se rom!e ni tiene saltos o /uecos.

Continuidad de una 8un#i,n en un +unto

na unción f es #ontinua en un +unto 3 # si:1 )(c f est' defnidoN

2 )(lim x f c x→

e*isteN

< )(lim x f c x→

U )(c f

na unción Jue no es continua en # se dice Jue tiene una di#ontinuidad en ese!unto. Las causas de discontinuidad son:() La unción no est' defnida en c.*) El límite de f+,) en * U c no e*iste.-) El límite de f+,) en * U c e*iste !ero no coincide con f+#).

Eje&+lo N7 !!


- 16 -







Com!rue(a si las si$uientes unciones son continuas en * U 1. si no lo son justifJue!or Ju".

a1

32)(

2

−−+

= x

x x x f

( 16)(11

32)(

2

==≠−

−+= x si x g y x si

x

x x x g

c 14)(11

32)(

2

==≠−

−+= x si x g y x si

x

x x xh

d1

3)(

−+

= x

x xt

e 237)( 23 −+= x x x F

x x x H tansin2)( −=

Solu#ione

Vuedan !ara el alumno.

Las discontinuidades !ueden ser: e*ita0le o no e*ita0le o een#iale;

Eje&+lo N7 !(

&nali>a la discontinuidad de las si$uientes unciones

a 3

9

)(

2

−

−

= x

x

x f

(

=

≠−

−=

4

44

9

)(

2

x sik

x si x

x

x g

Solu#i,n


L%&ite inBnito

Comen>amos con un ejem!lo:


- 17 -







2

3)(

−=

x x f si vemos la $r'fca f decrece indenidamente cuando * tiende a 2

!or i>Juierda y crece indenidamente cuando * tiende a 2 !or derec/a. Entonces.

∞=

−

−∞=

− +−

→→ 2

3lim

2

3lim

22 x x x x

* 1 1A 1G 1GG 1GGG 2 2001 201 21 2A <0f +,) < B <0 <00 <000 Z <000 <00 <0 B <

En $eneral los ti!os de límite en Jue f +,) crece o decrece sin cota Qsin t"rmino cuando* tiende a c se llaman l%&ite inBnito;

I&+o)tante5 decir el l%&ite de f (x) #uando 3 tiende a # e inBnito$realmenteestamos diciendo Jue el l%&ite no e3ite ' f tiene en 3 # una di#ontinuidadinBnita

Eje&+lo N7 !-

3rafca las si$uientes unciones y calcula el límite !ara1→ x

!or am(os lados.

a( ) 2

1

1)()

1

1)(

−=

−=

x x g b

x x f

c( ) 2

1

1)()

1

1)(

−−

=−−

= x

x g d x

xh

Solu#i,n;


i anali>amos las $r'fcas de los ejem!los anteriores vemos Jue son m's y m's!ró*imas a la recta vertical * U 1. Llamamos a esta recta una a%ntota *e)ti#al de la

$r'fca de f.


- 18 -

x se acerca a ! por laizquierda x se acerca a ! por la derecha

f (x) decrece sin límite f (x) crece si" l#$i%e







A%ntota *e)ti#al

i Q* tiende /acia )( ∞−∞+ o cuando * tiende a c !or i>Juierda o !or derec/adiremos Jue la recta * U c es una a%ntota *e)ti#al de la $r'fca de f.

A%ntota *e)ti#ale;

ean f y continuas en un intervalo a(ieto conteniendo a c. si ( ) 0)(,0 =≠ c g c f y

e*iste un intervalo a(ierto conteniendo a c tal Jue 0)( ≠ x g !ara todo c x ≠ en el

intervalo entonces la $r'fca de la unción dada !or:)(

)()(

x g

x f x F = tiene una asíntota

vertical en *Uc.

Eje&+lo N7 !

6eterminar todas las asíntotas verticales de las $r'fcas de las si$uientes unciones.

( ) 1

1)(

12

1)(

2

2

−+

=+

= x

x x f

x x f

Solu#i,n


L%&ite en el inBnito

Considerando la unción: 1

3)( 2

2

+= x

x x f cuya $r'fca es:

* S^ 100 10 1 0 1 10 100 _ Sf +,) <^ 2GGG

2G 1A 0 1A 2G 2GGG _ <

La f$ura y la ta(la muestra Jue el valor de Q* tiende a < cuando * crece sin límite.&n'lo$amente Q* tiende a < cuando * decrece sin límite. Entonces decimos Jue 7ell%&ite e3ite ' e i/ual a (

A%ntota Ko)iontal;

i Lo L x x

==+∞→−∞→limlim entonces la recta y U L se llama a%ntota Ko)iontal de la

$r'fca de .

Eje&+lo N7 !9

-allar los si$uientes límites.

725953lim

23

3

−+ +−∞→ x x x x

x

1252lim 2 ++∞→ x

x x

7352lim 2

2

++∞→ x x

x

1352lim 2

3

++∞→ x x

x


- 19 -







Solu#i,n;

Vueda !ara el alumno.PARA RECORDARCONTINUIDAD

es continua en *U a si:

( )a f x f

Ra f

R L x f L

a x

a x

=∈∃

∈=∃

→

→

)(lim

)(

)()(lim

ASÍNTOTAS

&X;#?#& D`VE6& EC&CI;

5E%#IC&L ( ) ∞=→

x f a x

lim ] U a

-?%IW?;#&L ( ) B x f x

=∞→

lim y U (

?DLXC& ( )

( )[ ] bmx x f

m x

x f

x

x

=−

=

∞→

∞→

lim

lim y U m*R(


- 20 -







TRA4A>O PRÁCTICO N7 (

E>ERCICIO Nº 1

ea R f →∞−−−−−∞ ),1()1,2()2,(: e*!resada en el si$uiente $r'fco.

6ecide si son verdaderas o alsas las si$uientes !ro!osiciones:

a #odo !unto del dominio es !unto de acumulación.( Q* est' acotada en todo su dominio.

c )2()(lim2

f x f x x

=→

d )1()(lim

1

f x f x

=∃→

e )2()(lim2

−=∃−→

f x f x

)1()(lim1

−=∃−→

f x f x

$ Q* es continua en *<./ Q* es continua en *4.i Q* es continua en M 1SO.

E>ERCICIO Nº !

Estudiar la continuidad de la unción si$uiente y clasifcarla:

67

223

2

−−

−=

x x

x y

E>ERCICIO Nº (

Estudiar la continuidad de la unción si$uiente y clasifcarla:1

4ln

2

−

−=

x

x y

E>ERCICIO Nº (

En las si$uientes unciones:

2

32)(/:

11 ++

=→ x

x x f R A f

12

114,0)(/:

22 −++=→

x x x f R A f

1

24)(/:

233

+

+=→ x

x x f R A f

1

2)(/:

2

2

44

+

−+=→

x

x x x f R A f


- 21 -







1

2)(/:

2

2

55 −

−+

=→ x

x x x f R A f

2

16)(/:

2

11 −

−=→

x

x x f R A f

a 6efne el conjunto &⊂% Jue sea dominio de la unción.( 6etermina los !untos donde la unción es discontinua y clasifca el ti!o de

discontinuidad.c Encuentra la ecuación de las asíntotas rectilíneas.d 3rafca la unción y sus asíntotas.


- 22 -







GUIA DE ESTUDIO N7 ( UNIDAD Nº (

Con#e+to e inte)+)eta#i,n /eo&t)i#a; Re/la de de)i*a#i,n;A+li#a#i,n al #.l#ulo de e))o)e a0oluto ' )elati*o; Etudio lo#al de una8un#i,n5 #)e#i&iento ' de#)e#i&iento; M.3i&o ' &%ni&o; Con#a*idad '#on*e3idad; Punto de ine3i,n; Re/la de Lo+ital;

PRIMERA PARTETangentes.

En matem'tica elemental se defne la tan$ente a una circunerencia como unarecta del !lano Jue toca a la circunerencia en un =nico !unto. Este !unto de vista esdemasiado restrictivo !ara el c'lculo. Estudiar el conce!to $eneral de la tan$ente a

una curva Qno necesariamente una circunerencia en un !unto dado no es asuntosencillo.La órmula:

Pendiente U01

01

x x

y y

y

xm

−−

=∆∆

= reJuiere Jue se cono>ca otro !unto Q*1y1 de la recta

distinto de Q*0y0.

Pendiente de la tangente.

u!on$amos Jue Jueremos /allar la tan$ente a )( x f y = en el !unto

))(,( 00 x f x . La estrate$ia consiste en a!ro*imar la tan$ente !or otras rectas cuyas!endientes se !ueden calcular directamente. En !articular si consideramos la rectaJue une el !unto P dado con un !unto cercano @ de la $r'fca de 8 Qver $r'fco. Estarecta se llama secante Qrecta Jue corta !ero no es tan$ente a la curva.

i o(servamos cuidadosamente las secantes de la $r'fca vemos Jue unasecante es una (uena a!ro*imación a la tan$ente siem!re Jue el !unto V est" muy!ró*imo a P.

Para /allar la !endiente de una secante escri(imos las coordenadas del !unto V

en la orma ( )( ) x x f x x ∆+∆+ 00 , donde x∆ es la variación de la coordenada * entre

PQ*0y0 y. La !endiente Qmse# ) de esta secante es:

( ) ( ) x

x f x x f

x

ym

∆−∆+

=∆∆

= 00

sec


- 23 -







Para /acer Jue la secante se a!ro*ime a la tan$ente se mueve V /acia P so(re

la $r'fca de f !or el !rocedimiento de /acer Jue x∆

tiende a cero. Cuando estoocurre la !endiente de la secante se de(e a!ro*imar a la de la tan$ente. Entoncesteniendo en cuenta todo lo anterior lle$amos a la si$uiente defnición:

Pendiente de la tangente a la gráca de una función en un punto

La /en$iente $e la tanente a la $r'fca de f en el !unto PQ*0y0 es el n=merodado !or la órmula:

( ) ( ) x

x f x x f m

x ∆−∆+

==→∆

00

0tan lim siem!re Jue ese límite e*ista.

Pendiente de la tangente en un punto concreto.

Eje&+lo Nº !9

6etermina la !endiente de la tan$ente a la $r'fca de 2)( x x f = en el !unto PQ

11.

Solu#i,n


Pendiente de la tangente en un punto arbitrario.

Eje&+lo Nº!:

6etermina la órmula de la !endiente de la tan$ente a la $r'fca de 2)( x x f = y =sala!ara calcular esta !endiente en el !unto Q4 1B.

Solu#i,n


! "#$%&!"!

La e*!resión:( ) ( )

x

x f x x f

∆

−∆+ se llama #o#iente in#)e&ental de f . el límite

del cociente incremental:( ) ( )

x

x f x x f

x ∆−∆+

=→∆ 0

lim se llama de)i*ada de f y es la

órmula de la !endiente de la tan$ente a la $r'fca de f en el !unto Q* Q*.La derivada se desi$na normalmente !or )(' x f y se lee 7 !rima de *9 o con la

notación de Lei(ni> x

y

∂

∂. Entonces:

De)i*ada5

La de)i*ada de f en * es:( ) ( )

x

x f x x f x f

x

∆

−∆+==

→∆ 0

' lim)( siem!re y cuando ese

límite e*ista.'ómo deriar usando la denición.


- 24 -







Eje&+lo Nº !<

6eriva t t f =)(

Solu#i,n


#cuación de la tangente a una cura en un punto.

i es una unción deriva(le en *0 entones la $r'fca y U Q* tiene una tan$ente en el

!unto PQ*0 Q*0 con !endiente )( 0'

x f y ecuación:

( ) ( )000

'

)( x f x x x f y +−=

De&ot)a#i,n


Eje&+lo Nº !=

Encuentra la ecuación de la tan$ente a la $r'fca de x

x f 1)( = en el !unto * U 2.

Solu#i,n;


a perpendicular a la tangente.

Eje&+lo Nº (6

6etermina la ecuación de la recta !er!endicular a la tan$ente a x

x f 1)( = en el !unto

* U 2 Jue !asa !or el !unto de tan$encia.

Solu#i,n;


ormal a una gráca*

La )e#ta no)&al o sim!lemente no)&al a la $r'fca de en el !unto P es la!er!endicular !or P a la tan$ente a la $r'fca en P.

#xistencia de la deriada.


- 25 -







na unción es deriva(le en un !unto si e*iste el límite Jue a!arece en ladefnición de derivada. 6ecimos entonces Jue la derivada de no e*iste si no e*isteese límite. Las $r'fcas muestran tres casos tí!icos en Jue la derivada no e*iste.Eje&+lo Nº (1

Prue(a Jue la unción x x f =)( no es deriva(le en el !unto * U 0.Solu#i,n

Vueda !ara el alumno.'ontinuidad y deriabilidad

De)i*a0ilidad i&+li#a #ontinuidad5 si la unción es deriva(le en c.

6emostración



- 26 -







#%&D&? P%8C#IC? ;b 4EE%CICI? ;b 1Considera la si$uiente unción: x x x f R R f 25,0)(/:

2 −=→ . 6etermina.a La !endiente de la recta secante a la curva Jue !asa !or Q<Q< y QAQA.( La !endiente de la recta tan$ente a la curva Jue !asa Q<Q<.c La ecuación de la recta secante Jue !asa !or Q<Q< y QAQA.d La ecuación de la recta tan$ente a la curva Jue !asa Q<Q<.e 3rafcar la curva y las rectas secante y tan$ente.

EE%CICI? ;b 2En las si$uientes unciones: y x x x f R R f 4)(/:

2 −=→ 2352)(/: x x x f R R f +=→

6etermina la unción derivada a!licando la defnición de derivada.EE%CICI? ;b <

x x x f R R f 62)(/: 2 −=→ y

3

2

4)(/:

34 x x x f R R f +=→

a 6etermina la unción derivada de cada unción a!licando re$las de derivación.( 6etermina el dominio de cada unción derivada.c 3rafca cada unción y su derivada una de(ajo de la otra.d 6etermina en Ju" !untos o intervalos la unción derivada es !ositiva ne$ativa

o nula.e 6etermina la !endiente y el 'n$ulo de inclinación de la recta tan$ente a cada

curva de la unción en los !untos Q1Q1 y Q2Q2. E*!resa las medidas en elsistema se*a$esimal y circular.

6etermina la !endiente y el 'n$ulo de inclinación de la recta normal a cadacurva de la unción en los !untos Q1Q1 y Q2Q2. E*!resa las medidas en elsistema se*a$esimal y circular.

EE%CICI? ;b 45/3

)(/: x x f R R f =→ y x x f R R f =→ )(/:

a 6etermina la unción derivada de cada unción a!licando re$las de derivación.( 6etermina el dominio de cada unción derivada.c 3rafca cada unción y su derivada una de(ajo de la otra.d 6etermina en Ju" !untos o intervalos la unción derivada es !ositiva ne$ativa

o nula o no e*iste.EE%CICI? ;b A6etermina la unción derivada de cada unción a!licando las re$las de derivacióncorres!ondientes.1. 825)(/: 23 ++−=→ x x x x f R R f

2. 4lo"lntansin)(/: −+−=→ x x x x f R R f <. x x x x f R R f −+=→ −3)(/:

4. x x x x f R R f

2tan)(/:

2

+=→ A. xc x x f R R f tan4sec)(/: −=→

B. ( ) ( )1cos2sin)(/: −+=→ x x x x f R R f . ( )( )632)(/: 2 −+=→ x x x x f R R f

EE%CICI? ;b BIndica verdadero o also. ustifca la res!uesta mediante un ejem!lo $r'fco o!ro!iedad.

a Para Jue e*ista ( ) x f ' fnita es necesario Jue se cum!la: )()(lim a f x f a x

=→

.

( Para Jue e*ista ( ) x f ' fnita es sufciente Jue se cum!la: )()(lim a f x f a x

=→

.

c na unción !uede tener derivada infnita en un !unto aunJue la unción sea

continua en ese !unto.


- 27 -







d i el límite del cocientea x

a f x f

−

− )()( en el !unto es fnito y vale & entonces la

unción Q* es deriva(le en *Ua y la derivada vale &.

e i el cocientea x

a f x f

−− )()(

crece en valor a(soluto !or encima de cualJuier

n=mero !ositivo en las !ro*imidades del !unto a entonces en la unción Q* laderivada se /ace infnita

SEGUNDA PARTEA+li#a#i,n de la de)i*ada5 *alo)e e3t)e&o de una 8un#i,n #ontinua;

M.3i&o ' &%ni&o a0oluto

ea f una unción defnida en un intervalo I y # un n=mero Q!unto de I entonces:

1; )(c f es el &.3i&o a0oluto de f en I si ( ) x f c f ≥)( !ara todo 3 en I;

!; )(c f es el &%ni&o a0oluto de f en I si ( ) x f c f ≤)( !ara todo 3 en I; Los valores m'*imo y mínimo a(soluto de una unción f en un intervalo I se llaman

conjuntamente *alo)e e3t)e&o o e3t)e&o a0oluto de f en I; no toda uncióntiene e*tremos en un intervalo.

E>EMPLO 1

&nali>a las unciones si$uientes en los intervalos indicados e indica si tienen e*tremos.

1. [ ]2,11)( 2 −+= x x f 2. ( )2,11)( 2

−+= x x f

<. ( ) [ ]2,10,2

012

−

=

≠+=

x si

x si x x f

4. ( ) ( )120,2

012

−

=

≠+

= x si

x si x

x f SOLUCIN


Teo)e&a de lo *alo)e e3t)e&o;

i f es continua en un intervalo cerrado entonces f tiene &.3i&o ' &%ni&oen ese intervalo. QEs un teo)e&a de e3iten#ia !ues ase$ura Jue e*isten m'*imosy mínimos !ero no dice como calcularlos.

i com!aramos a una unción con su $r'fca vemos Jue el m'*imo a(soluto esel !unto m's alto de la $r'fca y el mínimo es el m's (ajo.


- 28 -







El teorema no se verifca en $eneral si la unción no es continua o si el intervalono es cerrado. 5eamos el si$uiente ejem!lo:

E>EMPLO Nº (- sando la $r'fca determina los e*tremos de la unción f en Ma(O.

SOLUCINVueda !ara el alumno.

E3t)e&o )elati*o

#í!icamente los e*tremos de una unción se alcan>an en los e*tremos delintervalo o en los !untos donde la $r'fca tiene 7una cima9 o 7un valle9 es decir!untos donde la $r'fca es m's alta o m's (aja Jue en los !untos del entorno. Por

ejem!lo en la $r'fca del ejem!lo anterior una 7cima9 en 4 y D y 7valles9 en C y D. las7cimas9 y los 7valles9 se llaman e3t)e&o )elati*o;

M.3i&o ' &%ni&o )elati*o

e dice Jue una unción f tiene m'*imo relativo en un !unto # si:

1. ( ) x f c f ≥)( !ara todo 3 en un intervalo a(ierto Jue conten$a a #.

e dice Jue una unción f tiene mínimo relativo en un !unto # si:

2. ( ) x f c f

≤)( !ara todo 3 en un intervalo a(ierto Jue conten$a a #.

Los m'*imos y mínimos relativos se llaman conjuntamente e3t)e&o )elati*o.


- 29 -







alo)e #)%ti#o ' +unto #)%ti#o

u!on$amos Jue f est' defnida en # y Jue o (ien 0)(' =c f o no e*iste.

Entonces el n=mero # se llama *alo) #)%ti#o de f y el !unto ( )( )c f c , de la $r'fca sellama +unto #)%ti#o.

IMPORTANTE5 i 8H#J no et. deBnido$ enton#e # no +uede e) un+unto #)%ti#o;

C.l#ulo de *alo)e #)%ti#o

E>EMPLO Nº (

6etermina los valores críticos !ara las si$uientes unciones:

a. 20854)( 23 +−−= x x x x f

(.2

)(2

−=

x

x x f

c. 2

3

2

1

212)( x x x f −=

SOLUCIN


E>EMPLO Nº (9

6etermina los valores críticos y los !untos críticos de la unción:

( ) ( )21)( 2 +−= x x x f

SOLUCIN


alo)e #)%ti#o en lo Que no e3ite la de)i*ada

E>EMPLO Nº (:

6etermina los valores críticos y los !untos críticos de la unción:a. [ ]5,51)( −+= x x f

SOLUCIN



- 30 -







P)o#edi&iento +a)a Kalla) e3t)e&o a0oluto

Para /allar los e*tremos a(solutos de una unción f continua en Ma(O se si$uenlos si$uientes !asos:

Pao 1: calcular la derivada de f y determinar los !untos críticos de la unción en elintervalo cerrado Ma(O.

Pao !5 /allar el valor de la unción f en a en 0 y en cualJuier valor crítico # de Qa(.

Pao (5 com!arar los valores o(tenidos en el !aso 2.

El valor mayor es el m'*imo a(soluto de f en Ma(O.El valor menor es el mínimo a(soluto de f en Ma(O.

E>EMPLO Nº (<

6etermina los valores e*tremos a(solutos de la unción 32)( 24 +−= x x x f en el

intervalo cerrado M12O.

SOLUCIN


E3t)e&o a0oluto #uando la de)i*ada no e3ite

E>EMPLO Nº (=

6etermina los valores e*tremos a(solutos de la unción ( ) x x x f 25)( 32

−= en el

intervalo cerrado M12O.

SOLUCIN


C)ite)io de la +)i&e)a de)i*ada +a)a e3t)e&o )elati*ona ve> determinados los intervalos en los Jue f es creciente o decreciente es

'cil locali>ar e*tremos relativos.

ea # un n=mero crítico de una unción f continua en un intervalo a(ierto I Juecontiene a #. si f es deriva(le en el intervalo e*ce!to a lo sumo en el !unto # f+#)!uede clasifcarse como si$ue:

1. i ' f cam(ia de ne$ativa a !ositiva en # Qc es un &%ni&o )elati*o de f .

2. i ' f cam(ia de !ositiva a ne$ativa en # Qc es un &.3i&o )elati*o de f .

<. i ' f no cam(ia de si$no en # Qc no es ni &%ni&o ni &.3i&o )elati*o de f .


- 31 -







De&ot)a#i,ntilicemos el !rimer $r'fco y dejemos los si$uientes como ejem!los.

u!on$amos Jue ' f cam(ia de ne$ativa a !ositiva en #. entonces e*iste un Qa( talJue:

( )( )ba x x f

yba x x f

,0)(

,0)(

'

'

∈∀>

∈∀<

Por los criterios !ara ver si la unción creciente o decreciente vemos Jue f esdecreciente en Qac y creciente ne Qc(. Por lo tanto Qc es un mínimo !ara en elintervalo a(ierto en Qa( y en consecuencia un mínimo relativo de f .

El tet de la de)i*ada e/unda +a)a e3t)e&o )elati*o

ea f una unción tal Jue 0)(' =c f y e*iste la se$unda derivada en un intervalo

a(ierto Jue contienen #.

1. 0)('' >c f /ay un mínimo relativo en 3 #.

2. 0)('' <c f /ay un m'*imo relativo en 3 #.<. 0)('' =c f alla el test de la derivada se$unda y no se !uede decir nada.

E>EMPLO Nº -6

tili>a el test de la derivada se$unda !ara clasifcar los e*tremos relativos de launción 23)(

35 +−= x x x f

SOLUCIN


"un#ione #)e#iente ' 8un#ione de#)e#iente; C)ite)io dela +)i&e)a de)i*ada;

-emos visto Jue la !rimera derivada es =til !ara locali>ar e*tremos relativos.&/ora veremos Jue !uede ser utili>ada !ara clasifcarlos como &.3i&o o &%ni&o)elati*o. Comen>amos defniendo Jue entendemos !or unción creciente ydecreciente.

"un#ione #)e#iente ' de#)e#iente;na unción f se dice #)e#iente en un intervalo si !ara todo !ar de n=meros *1

y *2 en el intervalo

( )2121 )( x f x f x x <⇒< .

na unción f se dice de#)e#iente en un intervalo si !ara todo !ar de n=meros*1 y *2 en el intervalo

( )2121 )( x f x f x x >⇒<

6e esta defnición vemos Jue f es creciente si su $r'fca asciende al mover */acia la derec/a y es decreciente si desciende al mover * /acia la derec/a. &sí launción de la f$ura es decreciente en QSa constante en Qa( y creciente en Q(S.

La de)i*ada va a determinar cu'ndo una unción es creciente !ues como seve en la f$ura una derivada !ositiva im!lica Jue la !endiente de la $r'fca asciende.


- 32 -







&n'lo$amente una derivada ne$ativa !roduce !endiente en descenso. [ una derivadanula en todo un intervalo im!lica Jue la unción es constante.

C)ite)io +a)a 8un#ione #)e#iente o de#)e#ienteea f una unción deriva(le en el intervalo Qa(:

1. si ( ) 0' > x f !ara todo * en Qa( entonces f es creciente en Qa(

2. si ( ) 0' < x f !ara todo * en Qa( entonces f es decreciente en Qa(

<. si ( ) 0' = x f !ara todo * en Qa( entonces f es constante en Qa(.Para ver cómo a!licar los criterios anteriores tenemos Jue tener en cuenta Jue

lo +unto #)%ti#o la de)i*ada #a&0ia de i/no; Lue$o !ara determinar losintervalos donde f es creciente o decreciente se$uimos los si$uientes !asos:

1. locali>ar los !untos críticos2. o(servar el si$no de ( ) x f ' en un !unto de cada intervalo determinado !or dos

!untos críticos consecutivos<. decidir mediante los criterios !ara unciones crecientes y decrecientes en cada

uno de esos intervalos de !rue(a.

E>EMPLO Nº -1

-allar los intervalos en Jue ( ) 23

2

3 x x x f −= es creciente o decreciente.

SOLUCIN


#a(la

I;#E%5&L?5&L?% 6E P%ED&I3;? 6E ( ) x f '

C?;CLI;

E>EMPLO Nº -!


2

2)4( −= x x f es creciente o decreciente.

SOLUCIN


#a(laI;#E%5&L?5&L?% 6EP%ED&

I3;? 6E ( ) x f '

C?;CLI;

E>EMPLO Nº -(


4)1(

!

x x f

+= es creciente o decreciente.

SOLUCIN



- 33 -







#a(la

I;#E%5&L?5&L?% 6E P%ED&I3;? 6E ( ) x f '

C?;CLI;

C)ite)io de la +)i&e)a de)i*ada +a)a e3t)e&o )elati*ona ve> determinados los intervalos en los Jue f es creciente o decreciente es

'cil locali>ar e*tremos relativos.

ea # un n=mero crítico de una unción f continua en un intervalo a(ierto I Juecontiene a #. si f es deriva(le en el intervalo e*ce!to a lo sumo en el !unto # f+#)

!uede clasifcarse como si$ue:4. i ' f cam(ia de ne$ativa a !ositiva en # Qc es un &%ni&o )elati*o de f .

A. i ' f cam(ia de !ositiva a ne$ativa en # Qc es un &.3i&o )elati*o de f .

B. i ' f no cam(ia de si$no en # Qc no es ni &%ni&o ni &.3i&o )elati*o de f .

De&ot)a#i,ntilicemos el !rimer $r'fco y dejemos los si$uientes como ejem!los.

u!on$amos Jue ' f cam(ia de ne$ativa a !ositiva en #. entonces e*iste un Qa( talJue:

( )

( )ba x x f

yba x x f

,0)(

,0)(

'

'

∈∀>

∈∀<

Por los criterios !ara ver si la unción creciente o decreciente vemos Jue f esdecreciente en Qac y creciente ne Qc(. Por lo tanto Qc es un mínimo !ara en elintervalo a(ierto en Qa( y en consecuencia un mínimo relativo de f .

E>EMPLO Nº --

&nali>a los ejem!los anteriores y determina los e*tremos.

SOLUCIN


Con#a*idad ' el #)ite)io de la e/undad de)i*ada

Locali>ando los intervalos donde f+ crece o decrece !odemos determina dóndela $r'fca de la unción se curva /acia arri(a o /acia a(ajo es decir la #on#a*idad;

DeBni#i,n

ea f deriva(e en un intervalo a(ierto. 6iremos Jue la $r'fca de f #,n#a*a Ka#iaa))i0a si f+ es creciente en ese intervalo y #,n#a*a Ka#ia a0ajo si f+ es decrecienteen ese intervalo.


- 34 -







6e la f$ura !odemos o(tener la si$uiente inter!retación $r'fca de la concavidad:

1 i una curva est' +o) en#i&a de sus rectas tan$entes es #,n#a*a Ka#iaa))i0a;

! i una curva est' +o) de0ajo de sus rectas tan$entes es #,n#a*a Ka#iaa0ajo.

C)ite)io de #on#a*idad;

ea f una unción cuya derivada se$unda e*iste en un intervalo a(ierto I:

1 i f++(x)>, !ara todo 3 en I la $r'fca de f es #,n#a*a Ka#ia a))i0a.2 i f++(x)-, !ara todo 3 en I la $r'fca de f es #,n#a*a Ka#ia a0ajo.

E>EMPLO Nº -

6adas las unciones:2

)(2

1

x x f = y

3

3)(

3

2

x x x f −= anali>a las $r'fcas con sus

derivadas y ela(ora las conclusiones.


E>EMPLO Nº -9

6etermina os intervalos de concavidad de las unciones:3

3)(

3

2

x x x f

−= y

4

1)(

2

2

1

−

+=

x

x x f

SOLUCIN


- 35 -








Punto de ine3i,n

i la $r'fca de una unción continua !osee una recta tan$ente en un !unto donde laconcavidad cam(ia de sentido llamamos a ese !unto un +unto de ine3i,n; i

( )( )c f c, es un !unto de in+e*ión de la $r'fca de f entonces o es ''0'' f o f = no est'defnida en * * U0.

E>ENPLO Nº -:

6etermina los !untos de in+e*ión y la concavidad de la $r'fca de( ) 13 234 +−+= x x x x f

SOLUCIN


C)ite)io de la e/unda de)i*ada +a)a e3t)e&o

ea f una unción tal Jue f+(c) , y tal Jue la se$unda derivada de f e*iste en un

intervalo a(ierto Jue contiene a #.1 i f++(x)>, !ara todo 3 en I la $r'fca de f es #,n#a*a Ka#ia a))i0a.2 i f++(x)-, !ara todo 3 en I la $r'fca de f es #,n#a*a Ka#ia a0ajo.< i f++(x), !ara todo 3 en I no !odemos decir nada.

E>EMPLO Nº -<

6etermina los e*tremos relativos de la unción:



- 36 -







#%&D&? P%8C#IC? ;b A%esumen so(re el an'lisis de $r'fcas

-asta a/ora /emos anali>ado varios conce!tos =tilies nos Jueda di(ujar la $r'fca deuna unción. Para ello tendrmos !resente los si$uientes !untos:

• 6ominio y recorrido.• Intersección con los ejes.• Puntos de discontinuidad.• &síntotas /ori>ontales y verticales.• Puntos en los Jue no e*iste la derivada.• E*tremos relativos.• Crecimiento y decrecimiento.• Concavidad.• Puntos de in+e*ión.

u$erencias !ara es(o>ar la $r'fca de una unción

1. -acer un es(o>o !reliminar Jue incluya cualJuier intersección con los ejes decoordenadas o asíntotas.

2. Locali>ar los valores donde ( ) x f ' y ( ) x f '' son nulas o no e*isten.

<. Estudiar el com!oratmiento de ( ) x f en y entre cada uno de esos valores de 3.4. %efnar la f$ura fnal se\alando los e*tremos relativos los !untos de in+e*ión y

unos !ocos !untos ente ellos.

EE%CICI? ;b 1reali>ar la $r'fca de las si$uientes unciones.

1.1. ( ) ( )492

2

2

1 −−=

x x x f

1.2. ( )2

422

2 −+−

= x

x x x f

1.<. ( ) 2

23

3

4

x

x x x f

++−=

1.4. ( )2

422

4 −+−

= x

x x x f

1.A. ( )2

25

+=

x

x x f

1.B. ( ) 3

4

3

5

6 52 x x x f −=


- 37 -







GUÍA DE ESTUDIO Nº -

Unidad Nº - Ele&ento del .l/e0)a lineal5 SISTEMAS DE ECUACIONESLINEALES

E#ua#ione lineale #on do in#,/nita; Site&a de e#ua#ione no

Ko&o/neo ' Ko&o/neo5 & e#ua#ione #on n in#,/nita5 Teo)e&a de

Rou#K")o0eniu $ eli&ina#i,n de Gau>o)dan ' /auiana; e#to)e '

&at)i#e; Dete)&inante; P)odu#to *e#to)ial;

SISTEMAS DE ECUACIONES

n sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones con n incó$nitas es un

conjunto de ecuaciones Jue tienen la si$uiente orma:

mnnmmm

nn

nn

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

=+++

=+++

=+++

,22,11,

2222,211,2

1122,111,1

...

................................................

...

...

6onde: los n=meros c f a , se llaman coefcientes los n=meros f b se llaman

t"rminos inde!endientes y los n=meros c x se llaman incó$nitas. QEs conveniente

destacar Jue recuentemente se utili>an las letras * y > !ara sim(oli>ar lasincó$nitas.

Estudiaremos dos m"todos !ara resolver este ti!o de sistemas de ecuaciones:%e$la de Cramer tam(i"n conocido !or m"todo de determinantes y el m"todo de lamatri> inversa.

RESOLUCIN POR REGLA DE CRAMER

CualJuier incó$nita es i$ual a un cociente cuyo denominador es eldeterminante de la matri> de los coefcientes y cuyo numerador es el determinanteJue se o(tiene de reem!la>ar los coefcientes de la incó$nita !or los t"rminosinde!endientes.

Para sim!lifcar nuestro !ro(lema consideramos un sistema de dos ecuacionescon dos incó$nitas: * e y Jue !odemos sim(oli>ar de esta orma:

=+

=+

222

111

c yb xa

c yb xa

6efnimos tres matrices: C con los coefcientes C* y Cy con los res!ectivoscoefcientes reem!la>ados !or los t"rminos inde!endientes.

E>EMPLO N7 -<


- 38 -







%esuelve !or re$la de Cramer los si$uientes sistemas de ecuaciones:

=− =+

0

432

y x

y x y

=+−

=++

=++

52

03

2

" y x

" y x

" y x

SOLUCIN


INTERPRETACIN GEOMTRICA

Cada ecuación tiene como inter!retación $eom"trica una recta en el !lano. i elsistema tiene solución am(as rectas se cortan en un !unto cuyas coordenadas son lassoluciones del sistema.

CLASI"ICACIN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES

Si un ite&a tiene olu#i,n 2ni#a enton#e e un SISTEMA

COMPATI4LE DETERMINADO;

Si el ite&a no tiene nin/una olu#i,n enton#e e un SISTEMAINCOMPATI4LE;

Se el ite&a tiene inBnita olu#ione enton#e e un SISTEMACOMPATI4LE INDETERMINADO;

TEOREMA DE ROUC"R4ENIUS PARA SISTEMAS NO OMOGNEOS

La condición necesaria y sufciente !ara Jue un sistema de & ecuaciones y nincó$nitas ten$a solución es Jue el ran$o de la matri> de los coefcientes sea i$ual alran$o de la matri> am!liada con los t"rminos inde!endientes.

4343242141

3333232131

2323222121

1313212111

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

b xa xa xa

=++=++=++=++

)atri> de los coefcientes )atri> am!liada


- 39 -







=

=

4434241

3333231

2232221

1131211

434241

333231

232221

131211

'

baaa

baaa

baaa

baaa

#

aaa

aaa

aaa

aaa

#

&/ora se determinan los %an$os de y , y se /ace el si$uiente an'lisis

( )

( ) ( )

)',(

'

..

..')(

coincidenestoscuando# y# derangohncógnitasiden$meron

%eincompatib sistema# r # r

& C # nh

DC # nhcompatib%e sistemah# r # r

==

⇒≠

⇒<⇒=⇒==

na ve> clasifcado el sistema de ecuaciones !or %oc/"r(enius se !rocede a laresolución.

E>EMPLO N7 -=

−=−

=+−

=−−

85

033

12

u "

u " y

u y x

TEOREMA DE ROUC"R4ENIUS PARA SISTEMAS NO OMOGNEOS

n sistema de ecuaciones lineales se llama /omo$"neo cuando sus t"rminosinde!endientes son todos nulos.


- 40 -







0

0

0

0

343242141

333232131

323222121

313212111

=++=++=++

=++

xa xa xa

xa xa xa

xa xa xa

xa xa xa

)atri> de los coefcientes )atri> am!liada

=

=

0

0

0

0

'

434241

333231

232221

131211

434241

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

aaa

#

aaa

aaa

aaa

aaa

#

n sistema /omo$"neo tiene la !articularidad de Jue la solución llamadotrivial la Q0 0 0 0 siem!re resuelve el sistema.

Puesto Jue en la !r'ctica esta solución carece de inter"s suele decirse Jue unite&a Ko&o/neo +oee olu#i,n$ olo i eta e ditinta de la t)i*ial; i unsistema sólo !osee la solución trivial diremos Jue es un ite&a in#o&+ati0le.

( ) <===

.et')(

incompatib%e sistemanh%eincompatib sistemanhh# r # r

E>EMPLO N7 6

=−+

=+−

=++−

02

0332

0

t " y

t y x

t " y x


- 41 -







RESOLUCIN DE SISTEMAS POR INERSIN DE LA MATRI?

6efnimos tres matrices: C con los coefcientes con las incó$nitas y T con lost"rminos inde!endientes.

=

=

=

mnnmmm

n

n

b

b

b

'

x

x

x

!

aaa

aaa

aaa

C ......

.

...

............

...

...

2

1

2

1

,2,1,

,22,21,2

,12,11,1

%ecordemos Jue una matri> tiene inversa &1 si el determinante 0≠ A y se

cum!le Jue: & A A =− .1 siendo I la matri> identidad o unidad.

#eniendo en cuenta la orma de un sistema de ecuaciones y las matrices arri(adefnidas !odemos e*!resar a la matri> # como el !roducto de las matrices C !or 5C;T;

i 0≠C e*iste C1 y !odemos multi!licar am(os miem(ros de la i$ualdad!or C1 entonces:

! ' C o' C ! ' C ! & ' C ! C C ==⇒=⇒= −−−−− ....... 11111

Jue!odemos e*!resar:

nnn ( (

n

n

n b

b

b

C C C

C C C

C C C

C

x

x

x

....

...

............

...

...

1

...

2

1

,,2,1

2,1,22,1

1,1,21,1

2

1

=

E>EMPLO N7 1

%esuelve los si$uientes sistemas de ecuaciones utili>ando el m"todo de la matri>inversa.

=++

=++

=++−

=+−

=+

1987

1654

532

452

1232

" y x

" y x

" y x

y x

y x

SOLUCIN


- 42 -








INTERPRETACIN GEOMTRICA

&sí como cada ecuación con dos incó$nitas tiene como inter!retación$eom"trica una recta en el !lano en el caso de ecuaciones con tres incó$nitas lare!resentación $r'fca en un !lano en el es!acio de tres dimensiones. i el sistema detres ecuaciones con tres incó$nitas tiene solución los tres !lanos tiene solamente un!unto en com=n cuyas coordenadas son la solución del sistema.

REPRESENTACIN GRÁ"ICA DE UN PLANO

&l re!resentar un !lano en un sistema coordenado de tres dimensiones con ejes] [ y W lo /aremos mediante tra>as. Estas son las intersecciones del !lano con cadauno de las !lanos coordenados ][ [W y W]. Para ello se reem!la>an !or cero a dosincó$nitas y se /alla el valor de la tercera. Esto nos dar' las coordenadas de un !unto

!or donde !asa el !lano. Por ejem!lo !ara re!resentar el !lano 1052 =++− " y x si/acemos * U y U0 o(tenemos > U 10. entonces !or el !unto Q0N0N10 !asa el !lano.Lue$o /acemos * U > U0 y o(tenemos y U 2. el !unto Q0N2N0. inalmente si y U > U 0o(tenemos * U A y el !unto QAN0N0. Como cada !unto !ertenece a cada uno de losejes ] [ y W unimos estos tres !untos y de este modo Juedan $rafcadas las tra>as.

E>EMPLO N7 !

%e!resenta $r'fcamente el !lano defnido !or la ecuación:642 =++ " y x

SOLUCIN


ECTORES;

Int)odu##i,n5

La idea de vector est' tomada de la ísica donde sirven !ara re!resentarma$nitudes vectoriales como uer>as velocidades o aceleraciones. Para ello se

em!lean vectores de dos com!onentes en el !lano de tres com!onentes en eles!acioe su!one conocida la re!resentación $r'fca y manejo de los vectores de %2

y de %<.

El an'lisis vectorial !uede estudiarse en orma $eom"trica o analítica. i elestudio es $eom"trico !rimero se defne un e/&ento )e#til%neo di)i/ido Qo(revemente e/&ento di)i/ido como un se$mento de recta Jue !arte desde un!unto P y lle$a /asta un !unto V y se denota !or ) . El !unto P se llama +untoini#ial y el !unto V se denomina +unto te)&inal. 6es!u"s se dice Jue doe/&ento di)i/ido on i/uale si tienen la misma lonitu$ y la misma $ire##i'n0y se escri(e ) U R# como se ve en la f$ura:


- 43 -







Esencialmente el com!ortamiento Jue caracteri>a a los vectores es el

si$uiente:• Pode&o u&a) do *e#to)e ' o0tene&o ot)o *e#to);• Pode&o &ulti+li#a) un *e#to) +o) un n2&e)o He#ala)J '

o0tene&o ot)o *e#to);

&dem's estas o!eraciones cum!len ciertas !ro!iedades Jue o(servamos enlos vectoresde %2 y de %<.

En lo sucesivo utili>aremos /a(itualmente la si$uiente notación: u v @ Q u otras letraslatinas !ara vectores mientras Jue las $rie$as desi$naran escalares.

I/ualdad de e#to)e5

6os vectores son i$uales si tienen el mismo módulo la misma dirección e i$ualsentido.

e#to)e E+e#iale;

e#to) Nulo5 u sím(olo es 0 . Es el vector cuyo módulo es cero es decir Jue su ori$en

coincide con el e*tremo y se re!resenta como un !unto.

e#to) O+ueto5

El vector *−

es o!uesto a*

si tienen i$ual dirección y módulo !ero sentidocontrario.

Ejem!lo:i & U Qa1a2 entonces el o!uesto de & denotado !or & es el vector Qa1a2.


- 44 -







i el se$mento diri$ido ) es una re!resentación del vector & entonces el

se$mento diri$ido ) es una re!resentación de &. CualJuier se$mento diri$ido!aralelo a ) Jue ten$a la misma lon$itud de ) y sentido contrario al de ) es tam(i"n una re!resentación de &.

ECTORES EN PLANO

ECTOR "I>OLlamamos vector fjo AB al se$mento orientado Jue tiene su ori$en en el

!unto & y su e*tremo en el !unto D.

• M,dulo5 Es la lon$itud del vector. Lo re!resentamos !or AB .• Di)e##i,n5 Es la dirección de la recta Jue lo contiene. i dos vectores

son !aralelos tienen la misma dirección.• Sentido5 Es el Jue va del ori$en del e*tremo. Lo re!resentamos !or la!unta de la +ec/a. na dirección tiene dos sentidos.

ECTOR LI4RE5

5ectores eJui!olentes son los vectores Jue tienen: mismo módulo dirección y

sentido. #odos los vectores del $r'fco tienen la misma dirección sentido y ma$nitudson todos ellos eJui!olentes. #am(i"n decimos Jue son re!resentantes del vector li(re

.u

&sí los vectores CD AB, y EF son eJui!olentes y re!resentantes del mismovector li(re

.u En el !aralelo$ramo ABDC son eJui!olentes los vectores AB yCD y re!resentantes de

.u

#am(i"n son eJui!olentes los vectores AB y BD y re!resentantes de.u


- 45 -

),( 0101 y y x x AB −−=

AB

/

1

0

0

1







Coo)denada Ca)teiana;

#omando en el !lano un !unto cualJuiera Ο como ori$en de reerencia vamosa introducir coordenadas !ara tra(ajar con los vectores.

4ae Can,ni#a5

6e entre todas las (ases ele$imos la 0ae #an,ni#a determinada !or los

vectores ( )0,1i y ( )1,0 + . &sí cualJuier vector ( )21,uuu se !uede e*!resar como

( ) ( ) ( )1,00,1, 2121 •+•= uuuu

+uiuu •+•= 21

Los n=meros u1 y u2 !or este orden son los elementos del vector.

La ma$nitud o módulos del vector ( )21,uuu !or el teorema de Pit'$oras

corres!onde a

2

2

2

1 uuu +=


- 46 -

**

DC

B A

u

F

E

u

C

D

u

B

A

uu







SUMA DE ECTORES

La suma de vectores li(res u y * es otro vector li(re *u + Jue se o(tiene$r'fcamente tomando re!resentantes de u y * con el mismo ori$en y tra>ando ladia$onal del !aralelo$ramo Jue determinan. #am(i"n se llama la resultante.

P)o+iedade de la u&a de *e#to)e5

• &sociativa: QuRvR@ U uRQvR@

• Conmutativa: vRuUuRv.

• E*iste un elemento neutro el vector 0 tal Jue 0 R v U v !aracualJuier vector v.

• Para cada vector v e*iste un elemento o!uesto v Jue sumado con "lda 0 .

Ele&ento neut)o5


- 47 -

iu •1

+uiuu •+•= 21

i

+ 2u

1u

*u +

*







6ado a un vector cualJuiera del !lano a R 0 U 0 R a U a.Es decir el vector 0 es el elemento neutro de la o!eración suma de vectores

li(res del !lano.

6emostración:%ecu"rdese Jue 0 es el vector del !lano ormado !or todos los vectores fjos

cuyo ori$en coincide con el e*tremo.e eli$e un !unto fjo del !lano ? y con ori$en en ? se (usca el vector ?P

re!resentante de a.Los vectores ?? y PP son re!resentantes del vector 0.&sí se tiene:a R 0 U ?P R PP U ?P U a y 0 R a U a

Ele&ento i&t)i#o5

6ado un vector a del !lano e*iste otro vector a tal Juea R Q a U Q a R a U 0. El vector a reci(e el nom(re de sim"trico u o!uesto de

Mtodo del t)i.n/ulo5

Consiste en dis!oner $r'fcamente un vector a continuación de otro es decir ele*tremo inicial del vector ( coincide con el e*tremo fnal del vector a. Lue$o setra>a una dia$onal Jue une el inicio del vector a con el resto de los e*tremos.

Mtodo anal%ti#o5

El resultado de la suma es:

?rdenando los com!onentes:

Pon$amos un ejem!lo num"rico:

el resultado:

a$ru!ando t"rminos:

esto es:

Reta de *e#to)e


- 48 -







Para restar dos vectores li(res y 5 se suma con el o!uesto de 5 esto es 5 U R Q5.

Las com!onentes del vector resta se o(tienen restando las com!onentes de losvectores. En esta o!eración tam(i"n se verifcan las mismas !ro!iedades Jue !ara laadición de vectores

P)odu#to +o) un e#ala)

Partiendo de la re!resentación $r'fca del vector so(re la misma línea de sudirección tomamos tantas veces el módulo de vector como marJue el escalar Jue deser ne$ativo cam(ia el sentido Qver $r'fco.

Partiendo de un escalar y de un vector el !roducto de !or es es el!roducto de cada una de las coordenadas del vector !or el escalar re!resentando el

vector !or sus coordenadas:


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http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Scalar_multiplication_of_vectors.svg







i lo multi!licamos !or el escalar n:

Esto es:

%e!resentando el vector como com(inación lineal de los vectores:

y multi!lic'ndolo !or un escalar n:

esto es:

E>EMPLO N7 (

)ulti!lica !or 2A el vector k +ia 627,12,3 +−=

→

Solu#i,nVueda !ara el alumno

PRODUCTO ECTORIAL

ean y dos vectores

concurrentes de el es!acio aín tridimensional se$=n la (ase anterior.

e defne el !roducto y se escri(e como elvector:

? usando una notación m's com!acta mediante el desarrollo de undeterminante de orden < !or la !rimera fla tam(i"n decimos:


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http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Producto_vectorial_2.png







Vue da ori$en a la llamada re$la del sacacorc/os el !rimer vector /acia else$undo !or el 'n$ulo m's !eJue\o el sentido de es el de un sacacorc/os Jue

$ire en el mismo sentido.

E>EMPLO N7 -

ean los vectores: ( ) ( )3,1,11,0,2 −== →→

b ya calcula el !roducto vectorial.


P)o+iedade5

Cuales Juiera Jue sean los vectores y en :

Qanticonmutatividad

Qel !roducto vectorial es !er!endicular acualJuiera de los actores

i y entonces Qel !roducto cru> de dosvectores !aralelos es cero.

Ot)a +)o+iedade5Continuando con los vectores del a!artado anterior y con la norma vectorial

/a(itual:

. El valor a(soluto de esta o!eración corres!onde al

volumen del !aralele!í!edo ormados !or los vectores y . & esta o!eración se laconoce como !roducto mi*to !ues com(ina !roducto escalar y !roducto vectorial.

siendo el 'n$ulo menor entre los vectores y

N esta e*!resión relaciona al !roducto vectorial con el 'rea del !aralelo$ramo Juedefnen am(os vectores.

El vector es el vector normal al !lano Jue contiene a los

vectores y .


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Unidad Nº N2&e)o a+)o3i&ado ' e))o)e

Introducción. C'lculo de errores: error a(soluto y relativo. #i!os de errores: errores enlos datos errores de truncamiento y redondeo. Errores !ro!a$ados: c'lculo deerrores !ro!a$ados. Errores de conversión.

INTRODUCCIN

El o(jetivo !rinci!al de este tema es conocer los distintos ti!os de errores Jue!ueden a!arecer cuando se tra(aja con n=meros. i reali>amos medidas realesde al$una ma$nitud ísica como !uede ser medir la lon$itud de un ca(le o!esar un o(jeto el resultado o(tenido siem!re es ine*acto y va acom!a\adode un cierto error. Este error es de(ido a los mismos a!aratos de medida Jue

!ueden a!reciar /asta un n=mero limitado de ciras. I$ualmente los a!aratosde calcular como una com!utadora o una calculadora Qe incluso cuandoo!eramos nosotros mismos tra(ajan con un n=mero limitado de ciras. Por lotanto es o(vio Jue los n=meros Jue !osean muc/as ciras de(er'n serrecortados en la !r'ctica y con mayor motivo los n=meros irracionales Jue!oseen muc/as ciras decimales como es el caso de :

Cuadernillo Análisis y Cáculo 2014

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