Tema 5. Variación proporcional

Matemáticas I

Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 24

Tema 5. Variación proporcional

Cuando dos cantidades se relacionan de forma proporcional, el cociente entre ellas es constante (siempre el mismo), a este cociente le denominamos ―constante de proporcionalidad.

Es una variación funcional especial que puede ser directa o inversa. Un ejemplo de variación

proporcional directa es la relación entre la cantidad de artículos comprados y el costo. A mayor cantidad de artículos, mayor costo. Un ejemplo de variación proporcional inversa es la relación entre la cantidad de personas realizando un trabajo conjunto y el tiempo que tardan en concluirlo. A mayor

cantidad de personas, menor es el tiempo en concluir el trabajo conjunto.

Series aritméticas

Una sucesión en la que cada término se puede obtener sumando una constante al término anterior se denomina sucesión aritmética.

La sucesión aritmética {2 , 5 , 8 , . . . } se obtiene sumando 3 a cada término, del mismo modo que {18 , 16 , 14 , . . . } puede generarse sumando − 2 a cada término. La sucesión de números naturales {1, 2 , 3 , . . . } también es una sucesión aritmética.

El número que debe sumarse a cada término de una sucesión aritmética para obtener el siguiente

término es la diferencia entre términos consecutivos y se denomina diferencia común de la sucesión. La

sucesión de números naturales pares {2 , 4 , 6 , . . . } y la sucesión de números naturales impares {1 , 3 , 5 , . . . } son sucesiones aritméticas y la diferencia común de ambas es 2.

Una serie aritmética es donde se suma un número (o razón) a cada término, denotado por r, ejemplo:

Razón = r = 2 Término 1 = a1 = 3

Por lo tanto: a1 = 3

a2 = a1 + r = 3 + 2 = 5

a3 = a2+r = a1+r + r = a1+2r = 7

En general:

an = ak + (n-k)r

Siendo n el término enésimo, k cualquier término conocido y r la razón o suma aritmética. Para la serie

expuesta al principio, por ejemplo, si quiero encontrar a3, a partir de a1:

a3 = a1 + (3-1)*2 =3 + 4 = 7

Ya que: n = 3, k = 1 r =2 a1 = 3

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Si quisiéramos encontrar a12, entonces:

a12 = a1 + (12-1)*2 =3 + 22 = 25

Haciéndolo con a3 = 7:

a12 = a3 + (12-3)*2 =7 + 18 = 25

Así se resuelve la serie, ahora, que si se quiere saber cuál es la suma de los términos en cierto punto o momento se utiliza la siguiente expresión:

Sn = [n·(a1+an)]/2

Como ejemplo, S3 en el ejemplo anterior sería 15 puesto que sumas a1+a2+a3, pero haciéndolo con la fórmula podemos comprobarlo:

S3 = [3*(3+7)]/2 = 15

Ya que: n = 3 a1 = 3 an = 7

Series geométricas

Una serie geométrica es una serie infinita en donde la razón entre términos consecutivos es constante. Esa razón constante tradicionalmente se identifica con r.

El primer término de la serie tradicionalmente se identifica con a. Las constantes r y a pueden ser positivas o negativas.

La fórmula de una serie geométrica siempre se puede escribir en la forma normal:

Ejemplo:

La razón entre términos consecutivos es siempre 2/5:

Lo que implica que esta serie es geométrica, con r = 2/5 y a = 3.

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Ejemplo:

La razón entre términos consecutivos no es constante:

Esta serie no es geométrica.

Números racionales, razones y proporciones

Números racionales. Son todos números que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero:

3/4= 0.75 y 1/3 = 0.333333…

Se llama Razón al resultado de comparar dos cantidades. Dos cantidades pueden compararse de dos maneras:

a) Por diferencia, hallando en cuánto excede una a la otra, es decir, restándolas (6 – 4 = 2). b) Por cociente, hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas (8/4 = 2).

Proporción. Es el resultado de igualar dos razones. Dados cuatro números diferentes de cero, en un cierto orden, constituyen una proporción si la razón de los dos primeros es igual a la razón de los dos segundos.

TIPOS DE PROPORCIONES

Hay dos clases de proporciones:

a) Proporción aritmética. a - b = c – d b) Proporción geométrica. a / b = c / d

En la proporción geométrica a / b = c / d, hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman medios. La propiedad fundamental de las proporciones es:

En toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios.

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Variación proporcional directa

En el modelo matemático para variación proporcional directa, y es una función lineal de x, esto quiere decir que:

𝑦 = 𝑘𝑥

Para establecer un modelo matemático, se deben usar valores específicos de x y y para hallar el valor de la constante k. En la Variación proporcional directa, son válidos los siguientes enunciados:

a) y es directamente proporcional a x. b) Si una variable aumenta, la otra también aumenta. c) Si una variable disminuye, la otra también disminuye. d) y = kx para alguna constante k.

La variación directa es una proporción en la que al aumentar uno de sus términos también aumentan los

demás, si al aumentar uno, los demás disminuyeran, seria inversa.

Ejemplos de proporción DIRECTA:

1º.- Cuantos más seamos, mas cantidad de comida necesitamos.

Si entre 2 nos comemos 1 barra de pan, cuantas barras comeríamos si fuéramos 6?

2 𝑃𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 − − − − − 1 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑛6 𝑃𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 − − − − − −𝒙 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑛

𝒙 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑛 = 6 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 (1 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑛)

2 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠= 3 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑛

2º.- Cuantos más trabajemos, más larga será la carretera.

Si 10 obreros hacen 2 Km. en un día, cuantos Km. harán 40 obreros?

10 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 − − − − − 2 𝐾𝑚40 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 − − − − − −𝒙 𝐾𝑚

𝒙 𝐾𝑚 = 40 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 (2 𝐾𝑚)

10 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠=

80 𝐾𝑚

10= 8 𝐾𝑚

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Variación proporcional inversa

En el modelo matemático para variación proporcional inversa, y es una función de x en los siguientes términos:

𝒚 =𝒌

𝒙

Y los siguientes enunciados son válidos:

a) y es inversamente proporcional a x. b) Si una variable aumenta, la otra disminuye. c) Si una variable disminuye, la otra aumenta. d) y = k / x para alguna constante k.

Ejemplos de proporción INVERSA:

1º.- Cuantos más seamos, menos tiempo nos duran los alimentos.

Si 2 personas tienen pan para 10 días, ¿cuánto les duraran el pan si fueran 4 personas?

2 𝑃𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 − − − − − 10 𝑑í𝑎𝑠4 𝑃𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 − − − − − −𝒙 𝑑í𝑎𝑠

𝒙 𝑑í𝑎𝑠 = 2 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 (10 𝑑í𝑎𝑠)

4 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠=

20 𝑑í𝑎𝑠

4= 5 𝑑í𝑎𝑠

2º.- Cuantos más seamos, menos tardaremos en hacer la carretera.

Si entre 2 obreros tardan 10 días en hacer una carretera, ¿cuánto tardaran si son 5 obreros?

2 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 − − − − − 10 𝑑í𝑎𝑠5 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 − − − − − −𝒙 𝑑í𝑎𝑠

𝒙 𝐾𝑚 = 2 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 (10 𝑑í𝑎𝑠)

5 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠=

20 𝑑í𝑎𝑠

5= 4 𝑑í𝑎𝑠

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Variación proporcional conjunta

Combinación de variables (conocidas como factores) que constituyen el valor total. Una cantidad VARÍA CONJUNTAMENTE con dos o más cantidades si es igual a una constante por el producto de éstas. Por ejemplo, si x, y, z son variables y k es una constante, x varía conjuntamente con y, z, si x = kyz.

Observe que esto es similar a la variación directa, excepto que hay dos factores variables y la constante contenida en un número mientras que en la variación directa existe sólo una constante y la variable.

Si una cantidad varía conjuntamente con dos o más cantidades, la razón de la primera cantidad al

producto de las otras cantidades es una constante. La fórmula para el área de un rectángulo constituye

un ejemplo de variación conjunta. Si se hace variar A (el área) en vez de mantenerlo constante, entonces A varía conjuntamente con L (el largo) y H (el ancho).

Cuando la fórmula se escribe para uso general no se expresa comúnmente como A = kLH, si bien es una forma matemáticamente correcta. Visto que en este caso la constante de proporcionalidad es 1, no se necesita expresarla. Empleando la fórmula A = LH, hacemos las siguientes observaciones:

si L = 5 y H = 3, entonces A = 3 (5) = 15,

si L = 5 y H = 4, en tal caso A = 4 (5) = 20, y así sucesivamente.

Las variaciones en el área de un rectángulo dependen de las variaciones de la longitud o del ancho, o

de ambas. El área varía conjuntamente con la longitud y el ancho. Como un ejemplo general de variación conjunta consideremos la expresión:

𝒂~𝒃𝒄

Escrita como una ecuación ésta se transforma en:

𝒂 = 𝒌𝒃𝒄

Si el valor de a es conocido para valores particulares de b y c , podemos determinar el nuevo valor de a

correspondiente a variaciones en b y c. Por ejemplo, supongamos que a es 12 cuando b es 3 y c es 2. ¿Cuál es el valor de a cuando b es 4 y c es 5?

𝑆𝑖 𝑎 = 𝑘 · 𝑏 · 𝑐 → 12 = 𝑘 3 2 = 𝑘 6 → 𝑘 =12

6= 2 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜:

𝑆𝑖 𝑘 = 2,𝑏 = 4 𝑦 𝑐 = 5 → 𝑎 = 2 4 5 = 40 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜

𝑎 = 40

Noción de variable y de función (gráficas)

Se ha dicho que en la historia de las Matemáticas el Cálculo introdujo un elemento nuevo: el estudio de los aspectos dinámicos de los problemas. Y dado que lo anterior al Cálculo (también llamado "Análisis Matemático") es el Álgebra, esa afirmación parece ser correcta.

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Cuando Jorge Luis Borges llamó al Álgebra: "palacio de pulidos cristales", en pocas palabras dio una definición perfecta de ese arte, que tiene la importancia de un gran edificio; es el resultado de un

trabajo de generaciones; y consiste en la observación y comparación de formas estáticas, congeladas. En

efecto, la rama de la Matemática que deriva su nombre de la expresión árabe al-abr, "el arte de pasar términos", tiene por objeto la resolución de ecuaciones. Las operaciones son el instrumento para

transformar las expresiones matemáticas en otras equivalentes. El Álgebra es el arte de descubrir patrones —formas a las que puedan aplicarse determinadas reglas— y de representar expresiones

diversas con un mismo símbolo, x.

El Cálculo, en cambio, estudia los problemas en los cuales x puede adoptar distintos valores. Así se

introduce la noción de variable: x es la variable independiente y cualquier magnitud que cambia

cuando x cambia se llama variable dependiente (su valor está en función (o depende) del valor de x).

El conjunto de los pares ordenados (x, f(x)) se llama, en general, relación, y, cuando a cada valor x le

corresponde un único valor f(x), función.

Las operaciones que estudia el Análisis son distintas de las que estudia el Álgebra. Estas operaciones involucran funciones y dan por resultado funciones. En este tema se presentan las funciones reales de

una variable real, es decir, las relaciones que asignan a cada número real x de un conjunto un único

número real f(x).

Los primeros problemas estudiados eran problemas de la Física o, más precisamente, de la Astronomía.

Sin embargo, la del Cálculo es una aproximación puramente formal: x puede ser el tiempo y f(x) el

espacio recorrido (problema de movimiento); x puede ser la temperatura y f(x) la densidad de una

sustancia a una presión dada (problema de variación de propiedades físicas); x puede ser el tiempo y f(x)

la concentración de cierto componente de una mezcla reactiva (problema de Cinética Química); etc.

Más aún, haciendo la identificación cartesiana de los números reales con los puntos geométricos, x

podría ser la abscisa de un punto de la base (horizontal) de una figura geométrica de dos dimensiones y

f(x) la ordenada (altura) correspondiente. Por ser un conjunto de pares ordenados, una función puede ser

representada por:

(1) Una fórmula. Por ejemplo, 3x2 + 1. Para cada x , primer elemento del par, el segundo elemento, f(x), se

obtiene reemplazando ese valor de x en la fórmula.

(2) Una tabla como la siguiente:

(3) Un esquema con diagramas de Venn:

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(4) Un gráfico cartesiano:

En lo que sigue, la atención estará puesta en la última forma de presentar las funciones. Veremos algunos ejemplos de funciones comunes y que vale la pena memorizarlas y razonarlas.

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Resolución de problemas en contexto cotidiano, geométrico y científico

La resolución de problemas se llevará a cabo en clase.

Semejanza de figuras geométricas (escalas)

Dos figuras son semejantes si guardan las mismas proporciones entre sus lados y ángulos, es decir es como si se hiciera una copia más pequeña o más grande de una figura.

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Fijemos un punto O y tracemos rectas que pasen por O y por los vértices de la figura original (que está en color verde). Los vértices de las nuevas figuras estarán alineados con O y con los vértices de la figura

original y sus lados serán paralelos a los de la figura original. Dos figuras son semejantes si sus dimensiones siguen una misma razón de proporcionalidad

La razón de semejanza se calcula dividiendo la longitud de uno de los lados de la figura transformada entre el lado correspondiente de la figura original.

Teorema de Thales

Thales de Mileto nació alrededor del año 640 AC en Mileto, Asia Menor (ahora Turquía) y Falleció alrededor 560 AC en Mileto, Asia Menor. Es el más antiguo de los Siete Sabios de Grecia y aunque se sabe muy poco de su vida, no hay duda en considerarle como el padre de la Geometría.

Thales era un hombre esencialmente práctico: comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra,

estadista. Como comerciante se cuenta de él que un año, previniendo una gran producción de aceitunas, monopolizó todos los lagares para hacer el aceite, con lo cual obtuvo una espléndida ganancia. Como lo que ahora llamaríamos ingeniero, estuvo dirigiendo obras hidráulicas y se dice que desvió el curso del río Halis mediante la construcción de diques.

Como astrónomo fue más célebre, predijo el eclipse total de sol visible en Asia Menor, como asimismo se

cree que descubrió la constelación de la Osa Menor y que consideraba a la Luna 700 veces menor que el sol. También se cree que conoció la carrera del sol de un trópico a otro. Explicó los eclipses de sol y de luna. Finalmente creía que el año tenía 365 días.

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A Thales se le atribuyen 5 teoremas de la geometría elemental:

Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales

Un circulo es bisectado por algún diámetro

Los ángulos entre dos líneas rectas que se cortan son iguales Dos triángulos son congruentes si ellos tienen dos ángulos y un lado igual. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto

La demostración del teorema conocido como "teorema de Thales" está basada en la que describió

Euclides en el libro VI de los Elementos, hace 23 siglos. No solo soportó el paso del tiempo, se adapta perfectamente a nuestra época y sigue asombrándonos su belleza geométrica.

El Teorema de Tales dice: Si las rectas paralelas a, b y c son cortadas por otras dos rectas, los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.

Si a un triángulo cualquiera le trazamos una paralela a cualquiera de sus lados, obtenemos 2 triángulos

semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados son proporcionales, es

decir, que la igualdad de los cocientes equivale al paralelismo. Este teorema establece así una relación entre el álgebra y la geometría.

Es decir, dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

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Una aplicación interesante es para medir la altura de un árbol.

1. Medimos la longitud de su sombra a una hora

determinada = C

2. Medimos la longitud de la sombra de un objeto pequeño (por ejemplo un lápiz) en el mismo instante. =

B.

3. Medimos la longitud real del mismo cuerpo. = A.

4. Y obtenemos donde D es la altura real del árbol.

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