SEMEJANZA. TEOREMA DE TALFS

)r ra razon de semejanza es su_perior a 1, la f igura resu[ranre esmayor que la original

.2á->ullL-J

En cambio, si está comprendidaentre 0 y 1, [a figura resultante esmenor que la original

C) Polígonos semeiantes y razón de semejanzaCuando estudiamos polígonos con el mismo número de la,comprobar la relación entre ángulos y lados correspondiettres situaciones posibles:

. Caso 1. Los lados son proporcionales y los ángulos soA

K : 1E_ _ B'C' C'D''' AB - -E-: -elA+Á,,6+6,,e

Los poligonos no son semejantes,

- D'E' E'A' 1 A- --ÁF- : --=-- :

-UtrLA2

+V'ñ- A, ;7r-,L_/TU,E+E,puesto que no conserv¿

¡ Caso 2. Los lados no son proporc¡onales y los ángulos s

L - A'B' - 2,4 . B'c' 1,6 -'t"-ÁB:1.9 +É:# A:A',8:8,,e :(.Los polígonos no son semejantes, puesto gue no conservar

o Caso 3. Los lados son proporcionales y los ángulos sot

k: A!^8,' : B:c' _ c'D, _ D,E, _ E,A, 3' AB B---ef:-DE:É:¿A : Á,,0 : 0,, e : e,, D : 0,, É : E,

Los polígonos son semejantes, puesto que conservan la form

Dos polígonos con el mismo número de lados son semejattenen los lados corespondientes proporcionales y los ácorrespond¡entes iguales.

Se [[ama ...óñ dE6iianza kal cociente entre dos [ongrruoescorrespo nd rentes:

1b0" l

.0.5

KWft-r-Jr

E

3[M[J,¡TI{ZA Tf üfii:FlA *F TALil;

Construcción de polígonos seme¡antesPodemos construir un polígono semejante a otro dado conme1anza k de la siguiente forma:

razon de se-

n En [a red

-!Cnn-f r tta I n .eu r, */c ,9",a, setnelantesen:

www.e-sm.net/2esom26

1. Desde un punto O cualquiera, trazamossemirrectas con origen en O y quepasen por cada uno de los vértices delpoligono. Medimos la distancia de O acada uno de los vértices.

2. Dibujamos el punto A, de forma que elsegmento OA, mida k . OA. Repetimosel mismo proceso para cada uno de lospuntos.

!Observa estas imágenes.

¿Cuáles son semejantes? Razona ru res_puesta.

2 Construye un cuadrilátero cualqu¡era.- Dibuja otro semejante con razón de seme_

ianza 3, y otro con razón de semelanza j.3),La razón de semejanza entre dos trián_- gulos es 4. Si los lados del triángulo me_

nor miden 5, 9 y 12 cm, ¿cuánto mediránlos lados del triángulo mayor?

l)flacer una reducción al 90 % quiere decirt'9lonstruir una figura semejante de razón 0,g.

Si reduzco una imagen de 1b x g cm al glyo,¿qué medidas tendrá la nueva imagen?

5. I r-ronosvlvos. N8T *+ uD9 ,+ tNTERAcTtvos,,4 197.

¿Cuál es la razón de semejanza?

) Oe razonam¡ento y comunicaciónn6-'Rarona

si son ciertas estas afirmaciones:a) Si en dos triángulos semejantes, tos la_

dos del primero son el doble que loslados del segundo, sus ángulos tambiénson el doble.

b) Todos los rectángulos son seme1antes.c) Dos figuras iguales son seme1antes con

razón de semeianza 1.

) Oe aplicación

\];)Oueremos insertar la siguiente imagen enet documento.

20 cm

¿Cuál es la razóntirá pasar de una

de semejanza que permFrmagen a otra?

197

tr'mt'llFiÉlfutql

8cm

SEMIJANIZA. TECREFIA DT TALES

Fn npner¡l cr¡ndn trctablece-mn< l¡ r:zÁn ¡la qampj¡¡.- ontra

rlnc fi¡rrr¡c comoirntoc .^^_;l^uuJ ilLJU. OJ rsrrrsjorrrcJ, \.ul15luE_

ramos una como originaLy [a otra¡nmn imr¡on

En [a red

F<trr;ie ol norímotrn 17 pl irar Án

f;^,,-^- -^-^;-^+^- ^^.I r9ui oJ Jc' ' rsjol

www.e-sm.net/2esom27

Perímetro y área de figuras semejantes

Cuando estudiamos figuras planas, es importante conocer rtro y su área. Estos valores se calculan a partir de la meditos segmentos contenidos en las figuras, como los lados, la

aporema.

Dado que la razón de semejanza nos informa de la relación enfecorrespondientes contenidos en dos figuras semejantes, el psárea de dichas figuras estarán relacionados con esta constante

Consideramos dos rectángulos semejantes O y O' cuya r:rmejanza es 3:

a5cm 3.5 cm

Gt Razón entre perímetros de dos figuras semeiantes

Calculamos el oerímetro de cada uno de los rectánqulos an

a'

tl

8cm

Á-L

Á-L

16 -L

Dta-

Dto -Dto'-

:

5 8+8:26cm3.5+3.8+3.8:6+Q+Q\-vl

78 cm

La razón entre los perímetros de O' y O es 3, que es su ramejanza.

La razón entre los perímetros de dos f iguras semejanEde con su razón de semejanza.

G¡ Razón entre áreas de dos figuras seme¡antes

Calculamos ahora el área de los rectángulos semejantes arf

Ao: 5' 8 : 40 cm2

Ao': (3' 5) ' (3 ' 8) ::3'5'3'8:3'3'5'B:

= 32 Ao: 360 cm2

La razón entre las áreas de O'y O es 32, que es el cuadrach

zón de semejanza

La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es eil

do de su razón de semejanza.

3.8 cm

-'ííi,l$iffr*l#--t# para una habitación de 3 x 4 m se necesitan 25 bar_dosas y 48 piezas para el zócalo.a) ¿cuántas bardosas der mismo tipo se necesitan para un sarónde9x12m?b) ¿cuántas piezas de zócarotendremos que compr ar paraer sarón?a) El safón tiene forma de rectánguro semejante af de ra habitación,con razon de semejanza igual a 3.

Las baldosas hacen referencia ar área, y dado que ra razón entreáreas es er cuadrado de Ia razón de semelanza, necesitaremos:2b baldosas . 32 : 225 baroosas para el salón

b) Las piezas para er zócaro corresponden ar perímetro de ra habitación.La razón entre perímetros es ra razónde semelan za. portanto:48 prezas de zócalo .3:144 piezas para el salón

,,ri: trr;.;...1.:i

s En [a red'-Catcula et área de frguras seme_Jantes en:

www.e-sm.net/ZesomZg

) De consolidación

& Los lados de un triángulo miden 5, 6 y g]lt cm. Calcula la medida de los lados oe otro

triángulo semejante de 76 cm de perímetro.9r. La

.razón entre las áreas de dos rectán_gutos semejantes es 9. El rectángulo ma_yor mide 12 x 1g cm.a) ¿Cuánto miden la base y la altura del

rectángulo menor?b) ¿Cuál es la razón de semejanza de sus

perímetros?

) De razonamiento y comunicación10. A partir de un pentágono regular construi_

mos una serie de pentágonos inscritos, unodentro de otro, uniendo los puntos mediosde sus lados,

a) ¿Los polígonos que obtenemos son se_melantes?

b) Si es así, ¿cuál es la razón de semeran_za enlre dos pentágonos consecutivás?Toma medidas sobre el dibuio.

11.'.Un cristalero se va de vacaciones y dejatl' el negocio en manos de su aprendiz. An_tes de marcharse deja escrito et preciode una ventana cuadrada de 1 x 1 m.que es 12 €.

Un día, un clente pide un cristal de 3 x 3 my el chico le cobra 36 €.Cuando regresa el cr¡stalero, se enfada conel chico por haberle cobrado ese precro.¿Ouién trene razón? ¿Cuánto valdría un cris_tal de 2 x 2 m? ¿y uno de b x 5 m?

12. Una casa adosada tiene un jardín de10 x b m. El propietario amplía su jardíncomprando el de la casa contigua, quees igual. ¿El nuevo jardín es semejanteal anterior? ¿por qué? ¿Cómo se tendríaque construir para que lo fuera?

) De aplicación

13. Compramos un terreno rectangular porun valor de 33.000 €. ¿Cuánto vale otroterreno semejante al anterior cuyos la_dos son el dobfe de grandes? Hazel dibujo.

1*4 Do: terrenos tienen la misma forma. Suspenmetros son de 200 y 300 m, respec_tivamente. Si la superficie def menor esde 650 m2, ¿cuál debe ser la superficiedel mayor?

199

- ib,,*'

=

a"

+

' ttt - -'''

-T!.n¡ M.rr¿n

verfn¿ udns

^ vtrct¿

, . n- .._. .Bolénia. .Floren€ja

Lrvornot

--'. ,- . ,roa,o I

ñqma

Ná ooles':

La escaia se puede expresar me_orante un segmento que indjcaLa razón de semejanza entre lamedida de dicho segmenro y tarealrdad. Este trpo de escata sedenomin¿ escata gráf¡ca

' Bari

t€rslo

3 Planos y escalas

Escafa numér¡ca y escafa gráficaSí queremos dibujar el comedor de un prso en un papel, .:que reducir necesariamente ras medidas reares. si ro hacen-:.vando la forma, el comedor y el plano serán figuras semele-,

La razón de semejanza entre una superficie y su repres3-en un prano se tama escara numérica. podemos expresa-cala numérica con una fracción o una división:Longitud en el plano

@ Longitud en el plano: LongrrL:

En muchos planos, en lugar de usar Ia escala numérica, s:escala gráfica: sobre un segmento se indica la medida q_=ponde a dicho segmento en la realidad.

Escala numér¡ca y planos

Consideramos un comedor que mide 6 m de iargo por 3,75 ^-cho. La figura muestra el plano del comedor a escala 1:7bl,j

t;

a.1

,9¿.

-i;#r!¡

1:l5

Practica .". o,..,.tL

tlj.l:*www.e-sm.net/2esom29

La escala nos indica que 1 cm del plano equivale a7D cm de la .==

Distancia t]j,45 Disranciaen el plano- +real

plano son 7b veces más pequeñas que las _,

75 las medidas reales, obtenemos las mec:.

. 6rnLargo: #-O,0Bm:Bcm/3

Ancho: Y#:O,O5m:bcm/5

Asimismo, multiplicando por 7b las medrdas del plano, obtendre-- -medidas reares correspondientes, puesto que ras medidas re¿::75 veces mayores que las del plano.

Las medidas delDividiendo entreplano:

. .1,-L-'^

200

:.: i, ii'u.m,,ConsideramoSelp|anodelapáginaanterior.¿oué

cm de rons itu J, ;? i#l:",;:fJ,: T?;; il U";,,n1 ;;# ;;;

Sabemos que ra escara es 1:75. por tanto, para pasar de ra rearidadal plano tenemos que dividir un,ru ]S.100 cm :78:1,33 cm 75 cm: 75 : 1 cmEl rectángulo tiene que medir 1,33 x i cm.

La altura del armario no se tiene en cuenta en el plano.

=;;sa**?a#3f;+r#F ¿cuáres son ras medidas_ reares de ra mesa der co_medor del pfano de ta página anterior?Las medrdas de ia mesa en el plano son 0,9 x 1,8 cm, y la razón desemejanza es 1 :75. MurtipricanJ" ir. ,"oidas de ru n..,u.u en ei pra_no por 75, obtenemos las medidas áaies:

^^u,v .75: 625 cm 1,8 . 75: i35 cmLas medidas reaies de ia mesa son 625 x 13S cm.

) De consolidación

15.'En un pfano a escafa 1:30.000, las casasde dos amigos están ."puruáu, 5 cm.¿Oué distancia real las separa?

t,O. MadriO y Segovia están separadas g7 km.¿A qué distan-cia quuourrn

";;n mapaa escafa 1:200.000?

En un plano, dosdos 5 .'", u1",",#,lin,?'Jil:1tJJ:;es fa escala del plano?

1,8. C;lcula las dimensiones de fa cama deldibujo.

t LIBR0SVMS. NeT ,+ UD9 ,+ tNTERACT|VOS,,,,| 201.Averígua la escala correcta.

De razonamiento y comunicación,, ,o

^al1lr:l"Tiento nos facitita dos mapasoe ta ciudad: uno, dibujado a escala1:10.000, y el otro, a escala 1:3.000.

¿Cuát nos da más detailuz ¿por. qJL"z

21. lndica qué escala elegirías para dibujarl"^:^oklll .v

,upas sisuientes en unahoja DtN 44.a) La distribución del interior de una casa.b) Las calies de tu barrio.c) Avila.d) La cocina de tu casa.e) Europa.

1-7

Ttc

) Oe apficación

22. Q.ueremos colocar una vitrina entre lasdos ventanas de la ízquierd, Out "oru_dor. ¿Cuál es la opción uJu"rrOrZ

201

Opción 1

Ancho: BO cmAlto: .1

m

Opción 2

Ancho: 1 mAlto: 1,20 m

Opción 3

Ancho: 1,1 mAlto: 0,9 m

Opción 4Ancho: 1,2 rAio: 2 -

POSIC}ON RELAT¡VADE LAS RECTAS

--:: :-::: - -.i¡ttas, r)o lie_-: 'l: ,r¡ai. Se suelen cle_'-.--'.:- :¡r letras mi¡úsculas;', s, r Segúr su posición relati_,/: pLteden ser:

Rectas Rectassecantes paralelas

ñectasco¡ncidentes

4 Teorema de Tafes

Segmentos proporcionales

En la fotografía, las vías de tren son secantes por efecrcpectiva. Denominamos r y s a ias rectas que determinan .cantes a ef ras, trazamos tres rectas parareras entre sí. se-=los puntos de intersección sobre la recta r, y A, , B, y C, tc:rntersección sobre la recta s.

Medimos ros segmentos que resurtan de ras interseccione-una de las rectas:AñAÓ : I,5 Cm

A'B' : 2 cm

BC:lcmB'C' : 1,3 cm

comprueba .,,"::::,.lpen:

www.e-sm.net/2esom30

La proporción entre los segmentos correspondientes es cassalvo error cometido al medir.

A'B' - B'C' A'C, 2 1e 1)AB BC -Ác *JF-¡: :;É:1,3Es decir, los segmentos detefminados sobre una de ias r:-proporcionales a los segmentos determrnados en la otra.

Teorema de Tales

Si tenemos dos rectas r y s cualesquiera, no coincidentes, y .tres o más rectas parareras entre elras que ras corten, esta-a -nan sobre las rectas r y s segmentos proporcronales.

BA-/

202

ABBa/At ñt -

-;;-=:- : .-UW

''l'|!í:íjl,ift¡!iiii Haila ra medida der segmenro x de Ia figura:

, "r,.20 m ',, 'i,

z5m'1, 16 m

La figura representa dos rectas secantes cortadas por tres rectas pa_ralelas' En esta situación podemos uririzar er teorema deTares, gue nosdrce que la razón entre segmentos correspondientes es constante.20 x 2o.)tr_-J16 25 ' A - 16 : 3t '25 metros

) De consolidación

^^^lJ. uetermina las longitudes de los segmen-tosxe)4al 1m

25, Observa la figura: el segmento gC es eldoble de AB, y el segmento CD es igualque AB. Halla la medida de los segmentosB'C' y C'D' sabiendo que A,B, = 3 cm.

A'A

ó4m

B'2m

DD'

2,3 m

2mm

394, ) Oe razonamiento y comunicación

26. La línea que pasa por los puntos mediosde las bases de un trapecio isóscelespasa también por el punto de intersec_ción de la prolongación de los lados noparalelos. ¿por qué?

27. ¿Son ciertas las medidas del dibujo? Ra_zona Ia respuesta y cambia un dato paracorregir la situación.

2,3 mm

Xv.

¿,/ mm

2,5 mm

24. I r-ronosvrvos. Ner ,+ uD9 D rNTERAclvos ,.203.Aplica el teorema deTales.

9m5m

203

Halla la medida der segmento x de la figura:

2mm

2,3 mm

20m

1.,. '1,.

tl, 16 m

Y ...¿,t mm

2,5 mm

25m

La trgura representa dos rectas secantes cortadas por tres rectas pa_ralelas. En esta situación podemos urilizar er teorema de Tares, que nosdrce que la razón entre segmentos correspondientes es constante.

2s¿- * x - 2\# : 31,28 metros

20

IO

) De consolidación

2i.,Determina las f ongitudes de los segmen_tosxe¡a)

2,3 m

25. Observa la figura: el segmento BC es eldoble de AB, y el segmento CD es igualque AB. Halla la medida de los segmentosB'C' y C'D' sabiendo que A,B, = 3 cm.

1m

B'A'A

ó

D D'

) Oe razonamiento y comunicación

26. La línea que pasa por los puntos mediosde las bases de un trapecio isóscelespasa también por el punto de intersec_ción de la prolongacíón de los lados noparalelos. ¿por qué?

21. ¿Son ciertas las medidas del dibujo? Ra_zona la respuesta y cambia un dato paracorregir la situación,

5m

24. I r-ronosvrvos. Ner ,+ uD9 ,, tNTERACTtvos ,* 203.Aplica el teorema deTales.

9m

203

-A

STMEJAhJZA. TEOREMA DE TALFS

Si tenemos dos recias paratelascorladas por una secante, deno-minamos ángulos correspondien-tes a los ángulos que se encuen-tran en el mismo Lado de Las

paraLelas y en eL mismo tado de ta

secante. Los ángufos corresport-drentes son iguates.

Los triángutos de La figura sonsemelantes: tienen [os ángu[osA y A'iguales, puesto que sonopuestos por eI vértice, y los [a_dos opuestos a estos ángutosson para[etos.

tl15¡_ny-19" en posición de Tates

@ Triángulos en pos¡c¡ón de Tales

si trazamos una pararera a uno de ros rados de un triángurocortará los otros dos rados o sus prorongaciones. Dec¡mos qgulo que obtenemos y el triángulo original están en posiciór

Paralelaque cortados lados

- El triángulo que se obtiene tiene un vértice común con er orQulo: A: l'.

- lor ángulos der vértice común de ros dos triánguros sonA: A'.

- El lado B'c' pararero ar rado BC corra ros otros rados Ag vprolongaciones.

6l Semejanza de los triángulos en posición de Tales

Veamos la reración entre ros ánguros y ros rados de estos t

* lgualdad de ángulos

Los ángulos de los dos triángulos son íguales.

- A : Á'. puesto que son coincidenres.

-É :6'v e : e ,, puesto que son ángulos correspondienl

¡ Proporcionalidad de lados correspondientesLos lados correspondientes son proporclonales dos a dos.

- Las rectas que incluyen los lados AB y A,8,, por una paneA'C' , por otra, son cortadas por rectas paralelas:

P¿

qrpr

Rectaspa ra lelas

Aplicando el teorema de Tales, tenemos:

A'C, A'B':___ t_

AC AB _A

---AlF

- Trazamos por el punto C una paralela

B'C'. Observa que B'D : BC'

i.. ; i.; í;. ¡: i,.; r..¡';;¡ t t' .'l ?.r--: i\::-i., ¡ it= -' i'l;'r i- i:' ::

el lado

n En la red*Practtca con triánquLos en Posi-

crón de TaLes en:

www.e-sm.net/2esom31

^. l^-ln ^

Q ñ. ra aalr+^ill riJUU AL) t-{us wvr Le

A' C' y A' B' del triángulo A' B' C':

al

Rectaspa ra lelas

\---:-_.\p\J,.I. AA'

,''.., lCv¡

Las rectas que Incluyen los lados AC y A' C" por una parte' Y B'D Y

B'C', por otra, están cortadas por rectas paralelas Por el teorema de

Tales, tenemos:A'C' - B'C'AC B'D

Dado que B'D es igual a BC, tenemos:A'/^' a'4,Hv : u uAC BC

- Por tanto, deducimos:

A',B' B',C' - 4'C - ,AB

: -BC : ÁC - :'

LostriángulosenposicióndeTa|esSonsemejantes,puestoquelosángulos in iguales y los lados correspondientes son proporcionales.

.:=i#f{¡iF,Éi.¡,ffi, H a l I a I os I a dos

Los dos triángulos son se-

mejantes Porque están en

posiciÓn deTales. Su razón

de semejanza es:

7,5:rn R'3 -',-

Multiplicamos AB y AC por la razÓn de semelanza:

A,B, :2,b.6: 15 Cm A'C' :2,5'4: 10 Cm

De consolidación

-8. El triángulo A tiene los Iados paralelos'N

a los correspondientes del triángulo B'

Calcula x e Y'

';..q\vU "Jl\

29. Halla los segmentos a, b y c de la figura'

A

-7>

8+-6 cm--->

\\u

\

205

SFMFJANZA. TEOREMA DE TALES

1. Dibujamos el segmenio,4g.

4. Unimos et úttjmo extremo de los seg_menlos antenores con eI extremo g.Obtenemos así un nuevo segmento.

División de un segmento

O División de un segmento en partes igualesAplicando el teorema de Tales, podemos dividir unpartes iguales. Veamos cómo dividir un segmento

segmentoen cinco p

AB

Desde A Lrazamos una semirrecta, [aIcomo muestra La figura

5. Trazamos para[e[as a este úLtimo seg_mento pasando por los extremos decada uno de los segmenios igua[es.

3. Con un compás, marcamcsemlrrecta crnco segmentde [ongitud arbitraria.

APPD' '1 '2 ,3 P1

A Oh+a^.-^. -;^^^ ^^-.u. wurerernoS ctnco segmentos

AP =PP^:P-P:DD -,2,\

G División de un segmento en partes proporc¡onalesTenemos un segmento de 7 cm y to queremos dividir en dosproporcionares a 2 v 3.podemos proceder de ra siguiente man1' Trazamos un segmento AB de 7 cm y dos segmentos arineadry 3 cm con origen en A.

2' Unimos con una recta er extremo c der seEmento de 3 cmextremo B.

3' Trazamos una recta pararera a cB desde er extremo D que csegmento de 7 cm.

Este punto de corte, E determina el punroAB en dos partes proporc¡onales a 2 v 3.

de división

En la red

Practica La división de segmentosen dlsttntas partes en:wwwe-sm.net/2esom32

del segr

fe consolidación

:-, Divide un segmento de 14 cm en rrespartes proporcionales a 2, 3 y 4 cm.

-' 'Divide un segmento de 8 cm en seis par-tes iguales. Utiliza el método geométricoque te hemos explicado.

-l Disponemos de un segmento que mide10 cm, pero necesitamos otro segmento

cque mtda j Oartes de este. ¿Cómo lo po_

dríamos hacer de forma exacta?

- 3, Representa sobre la recta numérica lossiguientes números racionales utilizan-do la técnica geométríca de dividir unsegmento en partes iguales:

68- U,/5 ;JJ

: -. I LIBR0SVMS . NeT '+ UD9 ,'+ ¡¡TEp4CT|VOS ,* 202.

Calcula los segmentos proporcionates.

De razonamiento y comunicación

: r, Dados tres segmentos a, b y c, el seg-- mento denominado cuarto proporcionales el de longitud x que cumple la igual-dad de estas proporciones:

9=gbx

Construye el segmento cuarto proporcionalde los segmentos a : 3 cm, b : 4 cmy c : 6 cm. Comprueba que la medidaanterior corresponde al resultado que se ob_tiene aplicando el teorema de Tales

:6. Dados dos segmentos a y b, el segmen-" to denominado tercero proporcional esel de longitud x que cumple la igualdadde proporciones siguiente:

Construye el segmento tercero proporcionalde tos segmentos a : 9 crn y b : 4 cm.Comprueba que Ia medida anterior corres-ponde al resultado que se obtiene apfican-do el teorema de Tales.

37 Queremos dividir un segmento de 6 cmen tres partes proporcionales a 5, 10 y15 cm. ¿Crees que lo podremos hacer si_guiendo el método geométrico que hasvisto? Razona la respuesta.

38. Dibuja el segmento AB = 8 m a escala1:50. Divídelo geométricamente en dospartes proporcionales a 4V S.

¿Tienes que representar los segmentos au-xiliares en los que marcas los valores de 4y 5 a la misrna escala a la que has repre_sentado et segmento AB? Razónalo.

) De aplicación

39. Un fontanero tiene que cortar un tuboTrc de 1G m en dos trozos proporcionales a3 y 5. ¿Oué longitud tendrá cada trozo?Calcula numérica y geométricamente.

40. María y Sonia quieren dos lazos para sust't vestidos. Disponen de una cinta de 4 m.Si los trozos de cinta tienen que ser pro-porcionales a 5 y 7, ¿cuánto medirá cadauno? Calcula numérica y geométrica_mente.

abbx

207

STIVIIJANZA" TTNRTMA DH TALIS

ffi ¡9so] uc! ó-n -!

e- -q9q-9T-t9 - - - *.:-

Cuando los rayos solaTes inciden

sobre Los objetos verticaLes, que

proyectan su sombTa en eL sue-

lo horizontalmente, conf iguran

triángulos semejanies. EL moti-

vo es que La disiancia de La Tie-

rra aL SoL es tan grande que se

puede considerar que Los raYos

sotares son paralelas Perfectas

Atgunos problemas Se pueden resolver aplicando el teoren¡a

19 Problema 1

Para calcular la altura de una canasta, lsabel se ha s¡tua

punto en el que su sombra coincide exactamente con la

nasta. En el esquema ha anotado las medidas que ha ton

cula la altura de la canasta.

observamos que se han formado dos triángulos rectángulos

cuentran en posiciÓn de Tales' Puesto que los lados son pt

les. tenemos:v L1R

4"t,oc ¿u+Ér:3,e4 m

La altura de la canasta de baloncesto es de 3,94 m'

€S3 Problema 2

Para calcular la anchura de un río, Juan hace lo siguiente

punto situado ante un árbol que se encuentra en Ia otr¿

río, anda paralelamente al río, clava un palo, cont¡núa ar

rato, gira 90'y se aleja del río hasta el punto en que qu€

do con el palo y el árbol de la otra orilla' Después, ano

didas que ha tomado en un esquema' ¿Oué anchura tit

Obtenemos dos triángulos en posiciÓn de Tales' Ahora, apli

porciones:

a 19 9'1qg:ir+a-tr:10,06mLa anchura del río es aproximadamente de 10 m'

Observa que otra forma de resolver el problema es a partlr

de semejanza. ¿Cómo lo harías?

blema 3

^a quiere calcular la profundidad de una balsa vacía que tienera anchura de 12 m. Para hacerlo, se acerca a la balsa, y cuandotá a 3 m de distancia del borde, ve el fondo. Teniendo en cuenrae desde el suelo hasta los ojos de Ana hay 1 ,75 m, ¿qué pro_ndidad tiene la balsa?

l::enemos dos triángulos en posición de Tales. Aplicando proporcro[És, tenemos:

e consolidación

t" Una persona de 1,78 m de estatura pro-I yecta una sombra de 98 cm. En el mismomomento, la sombra de una farola es de1,5 m. ¿Cuál es la altura de la farola?

L Calcula la altura del

1,75X

= crofundrdad de Ia

edificio.

..,,@"iltrritt{gIEF'Ftilil;il!F

3 1,75.12!:--

12 " 3 - | ttl

balsa es de 7 m.

En [a red

Practica [a resoluclon de tr án-guios con el teorema de Talesen:

www.e-sm.net/2esom33

Una simple escuadra nos proporcionaun método sencillo para medir indirec-tamente la altura de cuerpos. La persena se tiene que ir moviendo hasta quela visual coincidá con el punto más altode la altura que queramos medir.

La escuadra utilizada mide 30 cm de lado,la altura de la persona es de 1,6b m, y ra

distancia de la persona a la base del árboles de 3 m. ¿Cuál es la altura del árbol?

44.Itc

1l

I

I

b6 m___+l

. Para conocer la anchura de una calle.aplicamos este procedimiento:

Desde un semáforo de una acera observamos el semáforo de la otra acera. Andamos2 m por la acera y, en este punto, situamosa una persona. Continuamos andando 3 mmás, y desde este punto giramos 90" y nosalejamos de la calzada hasta que vemos quela persona está alineada con el semáforo.Eso ocurre a 4,5 m.

¿Cuál es la anchura de la calzada?

.45. Calcula, a partir del dibujo, la profundi-Trc dad de la excavación.

:*- .,,

ltt

..'=-T" ,jt.

I

b"'- .-'

209

. Semejanza de polígonos

Tomando las medidas que creas necesarias, dir-lráloq r]o actnc nn''|.,_ltgonos son semejantes.

al

.:iil Lados de un triángulo

Los lados de un triángulo miden 5, 12 y 1b cm,respectivamente. Determina los lados de un trián-gulo semejante sabiendo que su lado mayor mide24 cm.

.tii Parejas de triángulos

Di en cada caso si los dos triángulos son seme-Jantes. Las medidas indican la lonqitud de los la-dos.

a) Triángulo A'.3, 4,5 cm; trrángulo B: g, 12, jB cmb)Triángulo C'. B, 16, 1B cm; triángulo D'.4, B, g cm

,,.::: Superposición de diagonales

Si superponemos dos polígonos semejantes deforma que tengan un vértice en común, las dia-gonales desde este vértice se suoeroonen:

Explica si los srguientes poligonos son semejantes.

:,:i-l gut6t¡láteros

Los ángulos de un cuadrilátero mjcje-145" y 80". ¿Cuánto miden los ángulos _.drilátero semejante con razón de se- .

:r: i, Fotografías de carnavalilc

La escuela de música edita una revist¿l-qro trirnoeiro nr rhli¡crá lco {n+n^. ^+í^- - -- y--,,cá[á las fotografias : =que miden 10 x 15 cm. Si se quiere co:genes en una página de tamaño DIN A-aproxrmadamente 21 x 30 cm, ¿qué re:nima se tendrá que aplicar a las fotogr:- .

Triángulos semejantesjito, lados de un triánguto miden Z I

Halla cuánto miden los lados de u-semejante cuyo perímetro mlde j25

_

b) Dibuja un triángulo cualquiera y mide _=

Halla las dimensiones de un triángulo :=al dibujado sabiendo que la razón de -=

)es ; Determina el área del triángt ,Jyores drmensiones.

i,3. Plano de un piso

¿Cuáles son las medidas reales del con^=.dormitorio 3? ¿Cuál es la superficie de _

Dormitorio 3 Comedor

__l\\

Dormitorio 1

l)Dormitorio 2 Cocina

F-

i

'::.r,.:. Roma

En un plano de la ciudad de Roma, ia -

entre la parada de autobús y el Co Ls=.3 cm. El plano está a escala 1 :4.OOO ,.distancia real entre la parada de autob_sliseo.

c)b)

e)

g

eÜ?€?$ffi,ü##S--#ffi

:'ros un tr¡ángulo cuyos lados son AB : lO cm,f ^:^]1.r. El ánguio que forman e"stos lados:: 60'. Traza una paralela pO at ladtoi) O" nru_,

f:: o,!,^: 6 cm Catcuia la lonsitud Je ios ta_: 1\J y lJL.

Cálculo de longitudes

-:la las iongitudes que faltan:

Discriminación de triánguloslndica en cada caso sj los triángulos esran ensición de Tales.

po-

b)

\t\

IIII ','uIlu

I

t\Cálculo de segmentos

::erva con atención la figura que se-:rnuación.

liij. Comprobación

Dibula un triángulo de lados 4, 6 V 3 cm. Trazauna paralela a uno de los tres lados pasando porel punto medio de uno de los otros dos lados.Comprueba con regla y transportaOá, O" ánguiosque los dos triánguios obtenjdo. ,on ,"re1antes.{*. Ttiángulos dentro de triángulosldentifica en la'figura tres parejas de triángulos queestén en posición de Tales y una O* no lo esté.

{ii. Cálculo de longitudesHalla la longitud de los jados de los triéngulo s ABC.

_b)

l'.:: División de un segmentoDivide geométricamente Fñ ciarn ^^-¿un segmento de 1,t:ilt

en siete partes rguales

\\\x\

\\v\\\

d)

ES segmentos

É : z+,C Cm

_:4,bcm= -t tln Pf Dt r-l. vste uvt D v

cmcm

^*-Y'r/

o

'/- /'o

muestra a

mlden:

AAAL: /5

A'B' :4Y 4" 8,,.

<tl

ACTíVTDADEE

63. Dibujo de un segmentoDibuja un segmen rc AB de 7 cm. A conttnuación.dibuja otro segme nb AC qr" .rrpi-u ta siguien_te igualdad:

¿Cuál es la altura de un edificio que proyecta unasombra de 6 m de rongitud en er misÁo momentodel día en que un árbol Oe + m irouá.ru ,n. ,or_bra de 75 cm?

¡h.

ff" Altura de un árbofCalcula la altura del árbol.

AB4AC9

6S" Ecfipse sofar

Cuando la Luna se Interpone entre la T.Sol se produce un eclipse solar. S¡iu ,o_produce la Luna en ia supert¡.¡e teir"...punto, calcula la distancia de la Luna acon ios siguientes datos:

- Distancia Sol-Tierra i4g.6OC :- Diámetro del Sol- Diámetro J" i.lrnu. . .].ltÍ ,- Diámetro de la Tierra ......12-

SolIE

/t:\(S,frAltura de una torreEn un momento determinado del día, la sombrade una torre tiene una longitud de 1g m, y la som_bra de un palo que mide 1 m, colocaoo vertFcalmente, tiene una tongitud d"'1.áó;. ¿Cuát esla altura de la torre ?

S7. Corte de cono

Oueremos cortar transversalmente ei cono del di_bujo que hay a continuación de forma que ob_tengamos un cono menor cuyo radio de ia basemtda .2 cm. ¿A qué artura tunor"ro, gue seccro-nar el cono mavor7

SS. Gonstrucción de polígonos semejanteEl programa GeoGebra permite construrr --gono semejante a otro dado. Las herramie-::menú que necesitarás son las siguieites:

Sigue estos pasos.

- Dibuja un cuadrilatero o un polígono cue l-con la herramienta potigonoi, .;i.

- Selecciona con el ratón la herramienta ,. , rJtecia desde un punto por un Factor O#rrÁ- Marca con el ratón en el interior del pc a:a contrnuación marca un punto u"turiJr-==,gono y aparecerá una ventana donde de:e:drcar Ia razón de semejanza:

:*omltec¡a.desdé úh Funto,par uü Factor de Escab x

Número

- fljjt:l W, aparecerá en ta pantarre : ¡lgono semejante al inicial con la ra.ón ,z :,,,porcronalidad que hayas indicado.

Aplica a la misma figura las siguient€s faZC-3,r isemejanza y explica qué observas en cace ::;;a) 3 b) Z,S c) 1 d) 0,5 e) _: