CONTROL-AUTOMATICO-villagran (4).pdf

CONTROL AUTOMATICO Institución: Escuela Superior Politécnica De Chimborazo

Facultad: Mecánica

Escuela: Ingeniería Automotriz

Carrera: Ingeniería Automotriz

Área académica: CONTROL AUTOMATICO

Asignatura: CONTROL AUTOMATICO

DOCENTE ING. JAVIER VILLAGRAN CACERES

Riobamba – Ecuador

2015

“Saber para Ser”

CONTROL AUTOMATICO

Ejercicio 1

t<0)

𝑖𝑖𝑖𝑖 = −15𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴

−100 + 20𝑖𝑖 + 0,5𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑

= 0

100 = 20𝑖𝑖 + 0,5𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑


200 = 40𝑖𝑖 +𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑

200 − 40𝑖𝑖 =𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑

� 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �𝑑𝑑𝑖𝑖

200 − 400𝑖𝑖

𝑖𝑖

𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑡𝑡

0

𝑑𝑑 = −1

40ln (200 − 400𝑖𝑖) � 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖

−40𝑑𝑑 = ln(200 − 40𝑖𝑖) − ln(200 − 40𝑖𝑖𝑖𝑖)

−40𝑑𝑑 = ln �200 − 40𝑖𝑖

200 − 40𝑖𝑖𝑖𝑖�

𝑒𝑒−40𝑡𝑡 =200 − 40𝑖𝑖

200 − 40𝑖𝑖𝑖𝑖

(200 − 40𝑖𝑖)𝑒𝑒−40𝑡𝑡 = 200 − 40𝑖𝑖

(200 − 40𝑖𝑖)𝑒𝑒−40𝑡𝑡 − 200 = −40𝑖𝑖

𝑖𝑖 =20040

− �20040

−40𝑖𝑖𝑖𝑖40

� 𝑒𝑒−40𝑡𝑡

𝑖𝑖 = 5 − (5 − 𝑖𝑖𝑖𝑖)𝑒𝑒−40𝑡𝑡

𝑖𝑖 = 5 − (20)𝑒𝑒−40𝑡𝑡


𝑖𝑖 = 𝑖𝑖1 + 𝑖𝑖2 + 𝑖𝑖3

𝑖𝑖 =𝑣𝑣𝑅𝑅

+ 𝐶𝐶𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑑𝑑

+1𝐿𝐿�𝑉𝑉 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑓𝑓 = 𝐴𝐴𝑚𝑚

𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑘𝑘 − 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑

= 𝐴𝐴𝑑𝑑2𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑2

TRANSFORMADA DE LA PLACE


En el circuito mostrado en la figura determine 𝑖𝑖2 si V(t) = 132 u(t)V ; 𝑖𝑖1 (t)V=0 ; 𝑖𝑖2 (0)=0

132 = 5𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑𝑖𝑖 + 30 (𝑖𝑖1 − 𝑖𝑖2)

0= 6𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑𝑖𝑖 + 12𝑖𝑖2 + 30 (𝑖𝑖1 − 𝑖𝑖2)

132 = 5𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑𝑖𝑖 + 30 𝑖𝑖1 − 30𝑖𝑖2

0= 6𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑𝑖𝑖 + 42𝑖𝑖1 − 30𝑖𝑖1)

30𝑖𝑖1 = 6𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑𝑖𝑖 + 42𝑖𝑖2

5𝑖𝑖1 = 1𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑𝑖𝑖 + 7𝑖𝑖2 → 5𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑𝑖𝑖 = 𝑑𝑑2𝑖𝑖2𝑑𝑑𝑡𝑡2

+ 6𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑2𝑖𝑖2

132 = 𝑑𝑑𝑖𝑖12

𝑑𝑑𝑡𝑡2+ 7𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑑𝑑𝑖𝑖2 + 1𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑𝑖𝑖2 + 42𝑖𝑖2 − 30𝑖𝑖2

𝐿𝐿{132} = 𝐿𝐿{𝑑𝑑𝑖𝑖12

𝑑𝑑𝑡𝑡2} + 𝐿𝐿{13𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑑𝑑𝑖𝑖2} + 𝐿𝐿{12𝑖𝑖2}

132𝑆𝑆

= 𝑆𝑆2𝐼𝐼2(𝑆𝑆) + 13𝑆𝑆𝐼𝐼2 + 12𝐼𝐼2(𝑆𝑆)

132𝑆𝑆

= 𝐼𝐼2(𝑆𝑆)(𝑆𝑆213𝑆𝑆 + 12)

𝐼𝐼2(𝑆𝑆) =132

𝑆𝑆(𝑆𝑆2 + 13𝑆𝑆 + 12)

𝐼𝐼2(𝑆𝑆) =132

𝑆𝑆(𝑆𝑆 + 12)(𝑆𝑆 + 1) =𝐴𝐴𝑆𝑆

+ 𝐵𝐵

𝑆𝑆 + 12+

𝐶𝐶𝑆𝑆 + 1

�𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 = 0

13𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 + 12𝐶𝐶 = 012𝐴𝐴 = 132

𝐴𝐴 =13212

𝐵𝐵 = 1 𝐶𝐶 = −12


𝐼𝐼2(𝑆𝑆) =11𝑆𝑆

+ 1

𝑆𝑆 + 12−

12𝑆𝑆 + 1

𝐿𝐿−1{ 𝐼𝐼2(𝑆𝑆)} = 𝐿𝐿−1{11𝑆𝑆

} + 𝐿𝐿−1{ 1

𝑆𝑆 + 12} − 𝐿𝐿−1{

12𝑆𝑆 + 1

}

𝑖𝑖2(𝑑𝑑) = 11 + 𝑒𝑒−12𝑡𝑡 − 12𝑒𝑒−𝑡𝑡

En el circuito mostrado en la figura calcular la ecuacion que represente al voltaje del condensador en funcion del tiempo.

𝑑𝑑 < 0)

𝑉𝑉0 =50(20)

50= 20𝑉𝑉

𝑑𝑑 > 0)

𝑖𝑖 = 𝑉𝑉𝑅𝑅 + 𝑖𝑖𝐶𝐶

5 = 𝑖𝑖𝑅𝑅 + 𝑖𝑖𝐶𝐶


5 =𝑉𝑉𝐶𝐶12

+ 0.01𝑑𝑑𝑉𝑉𝐶𝐶𝑑𝑑𝑑𝑑

(t) 500 = 8.33𝑉𝑉𝐶𝐶 + 𝑑𝑑𝑉𝑉𝐶𝐶𝑑𝑑𝑡𝑡

(S) 𝐿𝐿{500} = 8.33𝐿𝐿{𝑉𝑉𝐶𝐶} + 𝐿𝐿 �𝑑𝑑𝑉𝑉𝐶𝐶𝑑𝑑𝑡𝑡�

500𝑆𝑆

= 8.33𝑉𝑉(𝑠𝑠)+𝑠𝑠𝑉𝑉(𝑠𝑠) − 20

500𝑆𝑆

+ 20 =V(s) (8.33+s)

𝑉𝑉(𝑠𝑠) = 500+20𝑠𝑠𝑠𝑠(8.33+𝑠𝑠)

𝑉𝑉(𝑠𝑠) = 𝐴𝐴𝑠𝑠

+ 𝐵𝐵𝑠𝑠+8.33

A+B=20

8.33A=500

A=5008.33

= 60.02

B=20-60.02=-40.02

𝑉𝑉(𝑠𝑠) = 60.02𝑠𝑠

− 40.02𝑠𝑠+8.33

𝐿𝐿−1{𝑉𝑉(𝑠𝑠)} = 𝐿𝐿−1{60.02𝑠𝑠

} - 𝐿𝐿−1 { 40.02𝑠𝑠+8.33

}

𝑉𝑉𝐶𝐶=60.02 − 40.02𝑒𝑒−8.33𝑡𝑡

El interruptor del circuito mostrado en la figura a permanecido durante mucho tiempo se abre t=0 encuentre Vc(t) para todo t˃0.


−12 + 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 5𝑖𝑖0 = 0

−12 = −6𝑖𝑖0

𝑖𝑖0 = 2𝐴𝐴

𝑑𝑑 < 0

𝑉𝑉𝑖𝑖 =12(5)

6= 10𝑉𝑉

𝑑𝑑 > 0

𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑅𝑅 + 𝑉𝑉𝐿𝐿 + 𝑉𝑉𝐶𝐶

12 = 1𝑖𝑖 + 0.5𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑

+12� 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐿𝐿{12} = 𝐿𝐿{𝑖𝑖} + 𝐿𝐿{0,5𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑𝑖𝑖 } + 𝐿𝐿{12 ∫ 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑}

12𝑆𝑆

= 𝐼𝐼(𝑆𝑆) + 0,5[(𝑆𝑆𝐼𝐼(𝑆𝑆) − 2)] +12�𝐼𝐼(𝑆𝑆)𝑆𝑆� +

12�� 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑡𝑡

0

�1𝑆𝑆


12𝑆𝑆

= 𝐼𝐼(𝑆𝑆) + 0,5[(𝑆𝑆𝐼𝐼(𝑆𝑆) − 1)] +12�𝐼𝐼(𝑆𝑆)𝑆𝑆� +

10𝑆𝑆

12𝑆𝑆

+ 1 −10𝑆𝑆

= 𝐼𝐼(𝑆𝑆) ��1 +12𝑆𝑆 +

12𝑆𝑆��

𝐼𝐼(𝑆𝑆) = 2+𝑠𝑠𝑆𝑆(1+12𝑆𝑆+

12𝑆𝑆)

= 2+𝑠𝑠

𝑆𝑆(2𝑆𝑆+𝑆𝑆2+1

2𝑆𝑆 )

𝐼𝐼(𝑆𝑆) =4

(𝑆𝑆 + 1)2+

2𝑆𝑆(𝑆𝑆 + 1)2

𝐿𝐿−1{𝐼𝐼(𝑆𝑆)} = 𝐿𝐿−1{{4

(𝑆𝑆 + 1)2} + 𝐿𝐿−1{

2𝑆𝑆(𝑆𝑆 + 1)2

}

𝑖𝑖(𝑑𝑑) = 4𝑑𝑑𝑒𝑒−𝑡𝑡 + 2𝑒𝑒−𝑡𝑡 − 2𝑑𝑑𝑒𝑒−𝑡𝑡

𝑖𝑖(𝑑𝑑) = 2𝑑𝑑𝑒𝑒−𝑡𝑡 + 2𝑒𝑒−𝑡𝑡

CONTROL

SISTEMA DE LASO CERRADO

V. referencia

+

-

SISTEMA DE LASO ABIERTO

control actuador planta

sensor

remojo lavado enjuague secado


Sistema de control de laso cerrado

Nivel de referencia

Horno

T deseada T horno

Disenar un sistema de climatizacion de un automovil con temperatura ambiente

CPU Rele Horno

sensor


Ley de Kirchopt

Vi=Ri+𝑉𝑉0 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) = 𝑅𝑅(𝐼𝐼) + 𝑉𝑉0(𝑆𝑆)

𝑉𝑉0 = 1𝑐𝑐 ∫ 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑉𝑉0(𝑠𝑠) = 𝐼𝐼(𝑠𝑠)

𝐶𝐶𝑠𝑠

𝐼𝐼(𝑠𝑠) = 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠)−𝑉𝑉0(𝑠𝑠)𝑅𝑅

FRECUENCIA (S)

TIEMPO (t)

𝑖𝑖 =𝑉𝑉𝑖𝑖 − 𝑉𝑉0𝑅𝑅

=

𝑉𝑉0 =1𝑐𝑐� 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑


MODELACIÓN MATEMÁTICA DE LOS SISTEMAS FÍSICOS

Es describir el comportamiento de una manera real posible del sistema

Considerar las variables de entrada y salida

𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑖𝑖𝐶𝐶 + 𝑖𝑖𝐵𝐵

𝛽𝛽 =𝑖𝑖𝐶𝐶𝑖𝑖𝐵𝐵

𝑖𝑖𝐶𝐶 = 𝛽𝛽𝑖𝑖𝐵𝐵

𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝛽𝛽𝑖𝑖𝐵𝐵 + 𝑖𝑖𝐵𝐵

𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑖𝑖𝐵𝐵(𝛽𝛽 − 1)

𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖 = 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∗ 𝑅𝑅𝑖𝑖

Impedancia de entrada

𝑍𝑍𝑖𝑖 =𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖𝐵𝐵

=𝑖𝑖𝑖𝑖 ∗ 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑖𝑖

𝑖𝑖𝐵𝐵

𝑍𝑍𝑖𝑖 =𝑖𝑖𝐵𝐵 ∗ (𝛽𝛽 + 1)𝑖𝑖

𝑖𝑖𝐵𝐵

𝑍𝑍𝑖𝑖 = 𝛽𝛽 ∗ 𝑅𝑅𝑖𝑖


𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑓𝑓 = 𝐴𝐴𝑚𝑚


= 𝐴𝐴𝑑𝑑2𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑓𝑓 = 𝑓𝑓𝑘𝑘 + 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑

+ 𝐴𝐴𝑑𝑑2𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑


−𝑓𝑓 + 𝑓𝑓𝑓𝑓 + 𝑓𝑓𝑓𝑓 = 𝐴𝐴𝑚𝑚

−𝑓𝑓 + 𝑓𝑓𝑘𝑘 + 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑



− 𝐴𝐴𝑑𝑑2𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑2







Caso 1

L.V.K

𝑣𝑣𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑖𝑖 + 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑡𝑡

+ 1𝑐𝑐 ∫ 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖 = 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑣𝑣𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

+ 𝐿𝐿𝑑𝑑2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2

+𝑑𝑑𝑐𝑐

𝑣𝑣𝑖𝑖 =𝑑𝑑𝑐𝑐

+ 𝑅𝑅𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑


vi F 1/c K L m R b

Caso 2

L.V.K

Flujo

𝒗𝒗 =𝒅𝒅∅𝒅𝒅𝒅𝒅


𝒊𝒊 = 𝒊𝒊𝒊𝒊 + 𝒊𝒊𝒊𝒊 + 𝒊𝒊𝒊𝒊

𝒊𝒊 =𝒗𝒗𝒊𝒊

+ 𝒊𝒊𝒅𝒅𝒗𝒗𝒅𝒅𝒅𝒅

+𝟏𝟏𝒊𝒊�𝒗𝒗𝒅𝒅𝒅𝒅

𝒊𝒊 =𝒅𝒅∅𝒊𝒊𝒅𝒅𝒅𝒅

+ 𝒊𝒊𝒅𝒅𝟐𝟐∅𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐

+∅𝒊𝒊

𝒊𝒊 =∅𝒊𝒊

+𝒅𝒅∅𝒊𝒊𝒅𝒅𝒅𝒅


Ejercicio



𝑑𝑑2𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑2

=𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑘𝑘 − 𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑘𝑘/𝑑𝑑𝑑𝑑

𝐴𝐴

𝑣𝑣𝑖𝑖 =𝑑𝑑𝑐𝑐

+ 𝑅𝑅𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑


𝑑𝑑2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡2

= 𝑣𝑣𝑖𝑖−𝑑𝑑/𝑐𝑐+𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑡𝑡𝐿𝐿


𝒊𝒊 =∅𝒊𝒊

+𝒅𝒅∅𝒊𝒊𝒅𝒅𝒅𝒅


𝒅𝒅𝟐𝟐∅𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐

=𝒊𝒊 − ∅/𝒊𝒊 − (𝒅𝒅∅)/𝒊𝒊𝒅𝒅𝒅𝒅

𝒊𝒊

L-v-K

𝒗𝒗𝒊𝒊 = 𝒊𝒊𝟏𝟏𝒊𝒊 +𝟏𝟏𝒄𝒄𝟏𝟏� 𝒊𝒊𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝒗𝒗𝒗𝒗

𝒗𝒗𝒗𝒗 = 𝒊𝒊𝟐𝟐𝒊𝒊 +𝟏𝟏𝒄𝒄𝟐𝟐� 𝒊𝒊𝒅𝒅𝒅𝒅

𝒊𝒊 =𝒗𝒗𝒊𝒊 − 𝟏𝟏

𝒄𝒄𝟏𝟏 ∫𝒊𝒊𝒅𝒅𝒅𝒅 − 𝒗𝒗𝒗𝒗

𝒊𝒊


�𝐹𝐹 = 𝐴𝐴.𝑚𝑚

𝑓𝑓𝑒𝑒 − 𝑓𝑓𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑓𝑓 = 𝐴𝐴.𝑚𝑚

𝑓𝑓𝑒𝑒 − 𝑘𝑘(𝑓𝑓1 − 𝑓𝑓2) − 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑


𝑓𝑓𝑒𝑒 = 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑

+ 𝑘𝑘(𝑓𝑓1 − 𝑓𝑓2) + (𝑀𝑀 + 𝐴𝐴)𝑑𝑑2𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑2

𝑓𝑓𝑒𝑒 = 𝐾𝐾𝑒𝑒𝑖𝑖


=𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑘𝑘 − 𝑘𝑘(𝑓𝑓1 − 𝑓𝑓2)

𝐴𝐴

Diseño en el programa Matlab


MODELO ELECTROMECANICO

Análisis eléctrico

𝑉𝑉𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑖𝑖 + 𝐿𝐿𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑

+ 𝑉𝑉𝐵𝐵

𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑

=𝑉𝑉𝑖𝑖 − 𝑅𝑅𝑖𝑖 − 𝑉𝑉𝐵𝐵

𝐿𝐿

Análisis electromecánico

𝑉𝑉𝑓𝑓 = 𝐾𝐾𝑣𝑣𝑑𝑑𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑

Análisis mecánico

𝑓𝑓𝑒𝑒 − 𝑓𝑓𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑓𝑓 = (𝑀𝑀 + 𝐴𝐴)𝑚𝑚

𝑓𝑓𝑒𝑒 − 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑

− 𝐾𝐾𝑘𝑘 = (𝑀𝑀 + 𝐴𝐴)𝑑𝑑2𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑2

𝑓𝑓𝑒𝑒 = 𝐾𝐾𝑒𝑒𝑖𝑖



=𝑓𝑓 + 𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝐾𝐾𝑘𝑘

𝑀𝑀 + 𝐴𝐴

Diseño en el programa Matlab

�𝑀𝑀 = 𝐼𝐼.𝛼𝛼

𝑇𝑇 − 𝑓𝑓𝑓𝑓 = 𝐼𝐼.𝛼𝛼

𝛼𝛼 =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝛼𝛼 =𝑑𝑑2𝜃𝜃𝑑𝑑𝑑𝑑2

𝑇𝑇 − 𝑓𝑓𝑑𝑑 = 𝐼𝐼.𝑑𝑑2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2

𝑇𝑇 = 𝑓𝑓𝜃𝜃 + 𝐼𝐼.𝑑𝑑2𝜃𝜃𝑑𝑑𝑑𝑑2


𝑉𝑉𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑖𝑖 + 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑

+ 𝑒𝑒𝑓𝑓

𝜏𝜏 = 𝑓𝑓1. 𝑖𝑖

�𝑇𝑇 = 𝐼𝐼.𝛼𝛼


𝑇𝑇 − 𝑓𝑓𝑑𝑑 = 𝐼𝐼.𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑 =𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑇𝑇 =𝑓𝑓𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝑑𝑑

+𝑑𝑑2𝜃𝜃𝑑𝑑𝑑𝑑2

𝑒𝑒𝑓𝑓 = 𝑓𝑓2.𝑑𝑑


=𝑉𝑉𝑖𝑖 − 𝑅𝑅𝑖𝑖 − 𝑒𝑒𝑓𝑓

𝐿𝐿

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

=𝑇𝑇 − 𝑓𝑓𝑑𝑑

𝐼𝐼

ANALOGIA


£𝐹𝐹 = 𝐴𝐴.𝑚𝑚

f-fk-fb= 𝐴𝐴.𝑚𝑚

f-kx-bx’=mx”

f=kx-bx’+mx”

V-F) fuerza voltaje

𝑉𝑉 = 𝑅𝑅𝑖𝑖 + 𝐿𝐿𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑

+1𝑐𝑐� 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑉𝑉 = 𝑅𝑅𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑


+1𝑐𝑐𝑑𝑑

𝑉𝑉 = 𝑅𝑅𝑑𝑑′ + 𝐿𝐿𝑑𝑑" +1𝑐𝑐𝑑𝑑


𝑖𝑖 = 𝑖𝑖𝑅𝑅 + 𝑖𝑖𝐶𝐶 + 𝑖𝑖𝐿𝐿

𝑖𝑖 =𝑉𝑉𝑖𝑖𝑅𝑅

+𝐶𝐶𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑑𝑑

+1𝐿𝐿�𝑉𝑉𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑖𝑖 =1𝑅𝑅𝑑𝑑∅𝑑𝑑𝑑𝑑

+ 𝑐𝑐𝑑𝑑2∅𝑑𝑑𝑑𝑑2

+1𝐿𝐿∅

𝑖𝑖 =1𝑅𝑅∅′ + 𝑐𝑐∅" +

1𝐿𝐿∅

1) 𝑉𝑉 = 𝑅𝑅2𝑖𝑖1 + 1𝑐𝑐2∫ 𝑖𝑖1𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑉𝑉𝑘𝑘 𝑖𝑖1 = 1

𝑅𝑅2(𝑉𝑉 − 𝑉𝑉𝑘𝑘 − 1

𝐶𝐶1 ∫ 𝑖𝑖1𝑑𝑑𝑑𝑑)

2) 𝑉𝑉𝑘𝑘 = 1𝑐𝑐1∫ 𝑖𝑖2𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑖𝑖2

𝑑𝑑𝑡𝑡

3) 𝑉𝑉𝑘𝑘 = 𝑅𝑅1(𝑖𝑖1 − 𝑖𝑖2) 𝑉𝑉𝑘𝑘 = 𝑅𝑅1 𝑖𝑖1 − 𝑅𝑅1 𝑖𝑖2


1) 𝑉𝑉 = 𝑅𝑅𝑖𝑖 + 1𝑐𝑐1 ∫ 𝑖𝑖1 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑉𝑉𝑘𝑘

2) 𝑉𝑉𝑘𝑘 = 1𝑐𝑐2 ∫ 𝑖𝑖2 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑖𝑖2

𝑑𝑑𝑡𝑡

3) 𝑉𝑉𝑘𝑘 = 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑖𝑖1𝑑𝑑𝑡𝑡− 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑖𝑖2

𝑑𝑑𝑡𝑡


�𝑀𝑀 = 𝐼𝐼.𝛼𝛼


𝛼𝛼 =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝛼𝛼 =𝑑𝑑2𝜃𝜃𝑑𝑑𝑑𝑑2

𝑇𝑇 − 𝑓𝑓𝑑𝑑 = 𝐼𝐼.𝑑𝑑2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2

𝑇𝑇 = 𝑓𝑓𝜃𝜃 + 𝐼𝐼.𝑑𝑑2𝜃𝜃𝑑𝑑𝑑𝑑2

𝑉𝑉𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑖𝑖 + 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑

+ 𝑒𝑒𝑓𝑓

𝜏𝜏 = 𝑓𝑓1. 𝑖𝑖

�𝑇𝑇 = 𝐼𝐼.𝛼𝛼


𝑇𝑇 − 𝑓𝑓𝑑𝑑 = 𝐼𝐼.𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑 =𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝑑𝑑


𝑇𝑇 =𝑓𝑓𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝑑𝑑

+𝑑𝑑2𝜃𝜃𝑑𝑑𝑑𝑑2

𝑒𝑒𝑓𝑓 = 𝑓𝑓2.𝑑𝑑


=𝑉𝑉𝑖𝑖 − 𝑅𝑅𝑖𝑖 − 𝑒𝑒𝑓𝑓

𝐿𝐿

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

=𝑇𝑇 − 𝑓𝑓𝑑𝑑

𝐼𝐼


𝑣𝑣𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑖𝑖 + 𝐿𝐿𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑

+ 𝑒𝑒𝑓𝑓


=𝑣𝑣𝑖𝑖 − 𝑅𝑅𝑖𝑖 − 𝑒𝑒𝑓𝑓

𝐿𝐿

𝑓𝑓𝑒𝑒 − 𝑓𝑓𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑓𝑓 = (𝐴𝐴 + 𝑀𝑀)𝑑𝑑2𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑2


=𝑓𝑓𝑒𝑒 − 𝑓𝑓𝑘𝑘 − 𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑

(𝐴𝐴 + 𝑀𝑀)

FUNCIONES DE TRANFERENCIA

𝐻𝐻(𝑠𝑠) =𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠)𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠)

𝑑𝑑)

𝑉𝑉𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑖𝑖 + 𝑉𝑉𝑖𝑖

𝑉𝑉𝑖𝑖 =1𝑐𝑐� 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑆𝑆)

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) = 𝑅𝑅𝐼𝐼(𝑠𝑠) + 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠)

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) =𝐼𝐼(𝑠𝑠)𝐶𝐶𝑆𝑆


𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) = 𝑅𝑅𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠)𝐶𝐶𝑠𝑠 + 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠)

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) = 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠)(𝑅𝑅𝐶𝐶𝑠𝑠 + 1)

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠)𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)

=1

1 + 𝑅𝑅𝐶𝐶𝑆𝑆

𝑑𝑑)

𝑉𝑉𝑖𝑖 = 𝑅𝑅1𝑖𝑖 +1𝑐𝑐1� 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑉𝑉𝑖𝑖

𝑉𝑉𝑖𝑖 = 𝑅𝑅2𝑖𝑖 +1𝑐𝑐2� 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑 +

𝑆𝑆)

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) = 𝑅𝑅1𝐼𝐼(𝑠𝑠) +𝐼𝐼(𝑠𝑠)𝐶𝐶1𝑆𝑆

+ 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠)

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) = 𝑅𝑅2𝐼𝐼(𝑠𝑠) +𝐼𝐼(𝑠𝑠)𝐶𝐶2𝑆𝑆

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) = 𝐼𝐼(𝑠𝑠) �𝑅𝑅2 +1𝐶𝐶2𝑆𝑆

�

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) =𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠)𝐶𝐶2𝑆𝑆𝑅𝑅2𝐶𝐶2𝑆𝑆 + 1

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) = 𝑅𝑅1 �𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠)𝐶𝐶2𝑆𝑆𝑅𝑅2𝐶𝐶2𝑆𝑆 + 1

� +𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠)𝐶𝐶2𝑆𝑆

𝐶𝐶1𝑆𝑆(𝑅𝑅2𝐶𝐶2𝑆𝑆 + 1)+ 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)

=𝐶𝐶1(𝑅𝑅2𝑆𝑆 + 1)

𝐶𝐶2(𝐶𝐶1𝑅𝑅1𝑆𝑆 + 1) + 𝐶𝐶1(𝑅𝑅2𝐶𝐶2𝑆𝑆 + 1)


𝑑𝑑)

𝑉𝑉𝑖𝑖 = 𝑅𝑅1𝑖𝑖1 + +𝑉𝑉𝑘𝑘

𝑉𝑉𝑘𝑘 = 𝑅𝑅2𝑖𝑖2 + 𝑉𝑉𝑖𝑖

𝑉𝑉𝑘𝑘 =1𝑐𝑐1�𝑖𝑖1𝑑𝑑𝑑𝑑 −

1𝑐𝑐2�𝑖𝑖2𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑉𝑉𝑖𝑖 = +1𝑐𝑐2� 𝑖𝑖2𝑑𝑑𝑑𝑑

S)

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) = 𝑅𝑅1𝐼𝐼1(𝑠𝑠) + 𝑉𝑉𝑘𝑘

𝑉𝑉𝑘𝑘(𝑠𝑠) = 𝑅𝑅2𝐼𝐼2(𝑠𝑠) + 𝑉𝑉𝑖𝑖

𝑉𝑉𝑘𝑘(𝑠𝑠) =𝐼𝐼1(𝑠𝑠)𝐶𝐶1𝑆𝑆

−𝐼𝐼2(𝑠𝑠)𝐶𝐶2𝑆𝑆

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) =𝐼𝐼2(𝑆𝑆)𝐶𝐶2𝑆𝑆

𝑉𝑉𝑘𝑘(𝑠𝑠) = 𝑉𝑉𝑘𝑘(𝑆𝑆)

𝑅𝑅2𝐼𝐼2(𝑆𝑆) + 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆) = 𝐼𝐼1(𝑆𝑆)𝐶𝐶1𝑆𝑆

−𝐼𝐼2(𝑆𝑆)𝐶𝐶2𝑆𝑆

𝑅𝑅2𝐼𝐼2(𝑆𝑆) + 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆) +𝐼𝐼2(𝑆𝑆)𝐶𝐶2𝑆𝑆

=𝐼𝐼1(𝑆𝑆)𝐶𝐶1𝑆𝑆

𝐼𝐼2(𝑆𝑆) �𝑅𝑅2 +1𝐶𝐶2𝑆𝑆

� + 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆) =𝐼𝐼1(𝑆𝑆)𝐶𝐶1𝑆𝑆

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) = 𝑅𝑅1𝐼𝐼1(𝑆𝑆) + 𝑅𝑅2𝐼𝐼2(𝑆𝑆) + 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) = 𝑅𝑅1[𝐶𝐶1𝐶𝐶2𝑆𝑆2(𝑅𝑅2 + 1) + 𝐶𝐶1𝑆𝑆]𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆) + 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)𝐶𝐶2𝑆𝑆𝑅𝑅2 + 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) = 𝑅𝑅1[𝐶𝐶1𝐶𝐶2𝑆𝑆2(𝑅𝑅2 + 1) + 𝐶𝐶1𝑆𝑆]𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆) + 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)𝐶𝐶2𝑆𝑆𝑅𝑅2 + 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)

𝑉𝑉𝑖𝑖𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)

=1

𝑅𝑅1𝑅𝑅2𝐶𝐶2𝑆𝑆2 + 𝑅𝑅1𝐶𝐶1𝐶𝐶2𝑆𝑆2 + 𝑅𝑅1𝐶𝐶1𝑆𝑆 + 𝑅𝑅2𝐶𝐶2𝑆𝑆 + 1


t)

𝑉𝑉𝑖𝑖 = 𝑉𝑉𝐿𝐿 + 𝑉𝑉𝑘𝑘

𝑉𝑉𝑖𝑖 = 𝐿𝐿1𝑑𝑑𝑖𝑖1𝑑𝑑𝑑𝑑

+ 𝑉𝑉𝑘𝑘

𝑉𝑉𝑘𝑘 = 𝐿𝐿2𝑑𝑑𝑖𝑖2𝑑𝑑𝑑𝑑

+ 𝑉𝑉𝑖𝑖

𝑉𝑉𝑘𝑘 = 𝑅𝑅1(𝑖𝑖1 − 𝑖𝑖2) = 𝑅𝑅1𝑖𝑖1 − 𝑅𝑅1𝑖𝑖2

𝑉𝑉𝑘𝑘 = 𝑅𝑅2𝑖𝑖2

S)

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) = 𝐿𝐿1𝑆𝑆𝐼𝐼1(𝑠𝑠) + 𝑉𝑉𝑘𝑘

𝑉𝑉𝑘𝑘(𝑠𝑠) = 𝐿𝐿2𝑆𝑆𝐼𝐼2(𝑠𝑠) + 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)

𝑉𝑉𝑘𝑘(𝑠𝑠) = 𝑅𝑅1𝐼𝐼1(𝑠𝑠) + 𝑅𝑅1𝐼𝐼2(𝑆𝑆)

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) = 𝑅𝑅2𝐼𝐼2(𝑠𝑠)

𝐼𝐼2(𝑠𝑠) =𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)𝑅𝑅2

𝑉𝑉𝑘𝑘(𝑠𝑠) = 𝑉𝑉𝑘𝑘(𝑠𝑠)

𝐿𝐿2𝑆𝑆𝐼𝐼2(𝑆𝑆) + 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆) = 𝑅𝑅1𝐼𝐼1(𝑆𝑆) − 𝑅𝑅1𝐼𝐼2(𝑆𝑆)

𝐿𝐿2𝑆𝑆𝐼𝐼2(𝑆𝑆) + 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆) + 𝑅𝑅1𝐼𝐼2(𝑆𝑆) = 𝑅𝑅1𝐼𝐼1(𝑆𝑆)

𝐼𝐼2(𝑆𝑆)(𝐿𝐿2𝑆𝑆 + 𝑅𝑅1) + 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆) = 𝑅𝑅1𝐼𝐼1(𝑆𝑆)

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)𝑅𝑅2

(𝐿𝐿2𝑆𝑆 + 𝑅𝑅1) + 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆) = 𝑅𝑅1𝐼𝐼1(𝑆𝑆)

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆) �𝐿𝐿2𝑆𝑆 + 𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2

𝑅𝑅2𝑅𝑅1� = 𝐼𝐼1(𝑆𝑆)

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) = 𝐿𝐿1𝑆𝑆𝐼𝐼1(𝑠𝑠) + 𝐿𝐿2𝑆𝑆𝐼𝐼2(𝑠𝑠) + 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) = 𝐿𝐿1𝑆𝑆 �𝐿𝐿2𝑆𝑆 + 𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2

𝑅𝑅2𝑅𝑅1�𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆) + 𝐿𝐿2𝑆𝑆𝐼𝐼2(𝑠𝑠) + 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) =

𝑅𝑅1𝑅𝑅2𝐿𝐿2𝑆𝑆2𝐿𝐿2 + 𝐿𝐿𝐼𝐼𝑆𝑆𝑅𝑅1 + 𝐿𝐿1𝑆𝑆𝑅𝑅2 + 𝑅𝑅1𝐿𝐿2𝑆𝑆 + 𝑅𝑅2𝑅𝑅1


AMPLIFICADORES OPERACIONALES

𝑖𝑖1 = 𝑖𝑖𝑐𝑐 + 𝑖𝑖2

𝑉𝑉𝑖𝑖 − 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑅𝑅1

=𝐶𝐶𝑑𝑑(𝑉𝑉𝑘𝑘 − 𝑉𝑉𝑖𝑖)

𝑑𝑑𝑑𝑑+𝑉𝑉𝑖𝑖 − 𝑉𝑉𝑖𝑖𝑅𝑅2

𝑉𝑉𝑖𝑖𝑅𝑅1

= −𝐶𝐶𝑑𝑑𝑉𝑉𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑

−𝑉𝑉𝑖𝑖𝑅𝑅2


= −𝐶𝐶𝑆𝑆𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆) −𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)𝑅𝑅2


= −𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆) �𝐶𝐶𝑆𝑆 −1𝑅𝑅2�


= −𝑅𝑅1.𝑅𝑅2

𝑅𝑅2.𝐶𝐶𝑆𝑆 + 1

IMPEDANCIA


I1=I2

𝑉𝑉𝑖𝑖 − 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑍𝑍1

=𝑉𝑉𝑘𝑘 − 𝑉𝑉𝑖𝑖𝑍𝑍2

𝑉𝑉𝑖𝑖𝑍𝑍1

= −𝑉𝑉𝑖𝑖𝑍𝑍2


= −𝑍𝑍2𝑍𝑍1

𝑍𝑍1 = 𝑅𝑅1 +1𝐶𝐶1𝑆𝑆

𝑍𝑍1 =𝑅𝑅1𝐶𝐶1𝑆𝑆 + 1

𝐶𝐶1𝑆𝑆

𝑍𝑍2 =𝑅𝑅2 1

𝐶𝐶2𝑆𝑆𝑅𝑅2 + 1

𝐶𝐶1𝑆𝑆=

𝑅𝑅2𝐶𝐶2𝑆𝑆

𝑅𝑅2𝐶𝐶2𝑆𝑆 + 1𝐶𝐶1𝑆𝑆

𝑍𝑍2 =𝑅𝑅2

𝑅𝑅2𝐶𝐶2𝑆𝑆 + 1




= −𝑅𝑅2

𝑅𝑅2𝐶𝐶2𝑆𝑆 + 1𝑅𝑅1𝐶𝐶1𝑆𝑆 + 1

𝐶𝐶1𝑆𝑆


= −𝑅𝑅2𝐶𝐶1𝑆𝑆

(𝑅𝑅2𝐶𝐶2𝑆𝑆 + 1)(𝑅𝑅1𝐶𝐶1𝑆𝑆 + 1)


I1=I2









𝐶𝐶1𝑆𝑆


𝑍𝑍2 =𝑅𝑅2𝐶𝐶2 + 1𝐶𝐶2𝑆𝑆




= −𝑅𝑅2𝐶𝐶2 + 1𝐶𝐶2𝑆𝑆

𝑅𝑅1𝐶𝐶1𝑆𝑆 + 1𝐶𝐶1𝑆𝑆



= −(𝑅𝑅2𝐶𝐶2 + 1)𝐶𝐶1

(𝑅𝑅1𝐶𝐶1𝑆𝑆 + 1)𝐶𝐶2

I1=I2







𝑍𝑍1 =𝑅𝑅1 1

𝐶𝐶1𝑆𝑆𝑅𝑅1 + 1

𝐶𝐶1𝑆𝑆=

𝑅𝑅1𝐶𝐶1𝑆𝑆𝑅𝑅1𝐶𝐶1𝑆𝑆

𝑍𝑍1 =𝑅𝑅1


𝑍𝑍2 =1𝐶𝐶2𝑆𝑆

+ 𝑅𝑅2


𝑍𝑍2 =1 + 𝑅𝑅2𝐶𝐶2𝑆𝑆

𝐶𝐶1𝑆𝑆




= −1 + 𝑅𝑅2𝐶𝐶2𝑆𝑆

𝐶𝐶1𝑆𝑆𝑅𝑅1



= −(𝑅𝑅1𝐶𝐶1 + 1)(1 + 𝑅𝑅2𝐶𝐶2𝑆𝑆)

𝐶𝐶1𝑆𝑆𝑅𝑅1

HALLAR LA FUNCION DE TRANSFERENCIA DE LA SIGUIENTE FIGURA

i1=i2

𝑉𝑉𝑖𝑖 − 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑅𝑅1

=𝑉𝑉𝑘𝑘 − 𝑉𝑉𝑖𝑖𝑅𝑅1

𝑉𝑉𝑖𝑖 − 𝑉𝑉𝑘𝑘 = 𝑉𝑉𝑘𝑘 − 𝑉𝑉𝑖𝑖

𝑉𝑉𝑖𝑖 − 𝑉𝑉𝑘𝑘 = 𝑉𝑉𝑘𝑘 − 𝑉𝑉𝑖𝑖

𝑉𝑉𝐼𝐼(𝑆𝑆) = 2𝑉𝑉𝑘𝑘(𝑆𝑆) − 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)

𝑉𝑉𝑖𝑖 =1𝑐𝑐1�𝑖𝑖3𝑑𝑑𝑑𝑑 +𝑉𝑉𝑘𝑘

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆) =𝐼𝐼3(𝑆𝑆)𝐶𝐶𝑆𝑆

+ 𝑉𝑉𝑘𝑘(𝑆𝑆)

𝑉𝑉𝑘𝑘 = 𝑖𝑖3𝑅𝑅2

𝑉𝑉𝑘𝑘(𝑠𝑠) = 𝑖𝑖3(𝑠𝑠)𝑅𝑅2

𝐼𝐼3(𝑠𝑠) =𝑉𝑉𝑘𝑘(𝑆𝑆)𝑅𝑅2

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) =𝑉𝑉𝑘𝑘(𝑆𝑆)𝑅𝑅2

+ 𝑉𝑉𝑘𝑘(𝑆𝑆)

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) = 𝑉𝑉𝑘𝑘(𝑆𝑆) �1

𝑅𝑅2𝐶𝐶𝑆𝑆+ 1�


𝑉𝑉𝑘𝑘(𝑠𝑠) =𝑉𝑉𝑘𝑘(𝑆𝑆)(𝑅𝑅2𝐶𝐶𝑆𝑆)

1 + 𝑅𝑅2𝐶𝐶𝑆𝑆

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠) = 2�𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)(𝑅𝑅2𝐶𝐶𝑆𝑆)

1 + 𝑅𝑅2𝐶𝐶𝑆𝑆� − 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠)𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)

= −�1 − 𝑅𝑅2𝐶𝐶𝑆𝑆1 + 𝑅𝑅2𝐶𝐶𝑆𝑆

�



𝐶𝐶1𝑆𝑆


𝐶𝐶3𝑆𝑆

𝑍𝑍3 = 𝑅𝑅2




𝐶𝐶2𝑆𝑆


𝑍𝑍4 =𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)𝑍𝑍4𝑍𝑍3 + 𝑍𝑍4

I1=I2

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆) − 𝑉𝑉(𝑆𝑆)𝑍𝑍1

=𝑉𝑉𝑘𝑘(𝑆𝑆) − 𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)

𝑍𝑍4

𝑍𝑍2𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆) − 𝑍𝑍2𝑉𝑉(𝑆𝑆) = 𝑍𝑍1𝑉𝑉𝑘𝑘(𝑆𝑆) − 𝑍𝑍1𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)

𝑍𝑍2𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆) − 𝑉𝑉𝑘𝑘(𝑆𝑆)(𝑍𝑍2 − 𝑍𝑍1) = −𝑍𝑍1Vo(S)

𝑍𝑍2𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆) − 𝑉𝑉𝑘𝑘(𝑆𝑆)(𝑍𝑍2 − 𝑍𝑍1) = −𝑍𝑍1Vo(S)

𝑍𝑍2𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆) −𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆) − 𝑍𝑍4𝑍𝑍3 + 𝑧𝑧4

(𝑍𝑍2 − 𝑍𝑍1) = −𝑍𝑍1𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠)

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)�𝑍𝑍2 −𝑍𝑍4(𝑍𝑍2 − 𝑍𝑍1)𝑍𝑍3 + 𝑧𝑧4

� = −𝑍𝑍1𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠)

𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑆𝑆)𝑉𝑉𝑖𝑖(𝑠𝑠)

=𝑍𝑍2(𝑍𝑍3 − 𝑍𝑍4) − 𝑍𝑍4(𝑍𝑍2 + 𝑍𝑍1)

𝑍𝑍1(𝑍𝑍3 + 𝑧𝑧4)


=𝑍𝑍2(𝑍𝑍3 − 𝑍𝑍4) − 𝑍𝑍4(𝑍𝑍2 + 𝑍𝑍1)

𝑍𝑍1(𝑍𝑍3 + 𝑧𝑧4)


=1𝑍𝑍1

�𝑍𝑍1𝑍𝑍4 − 𝑍𝑍2𝑍𝑍4

(𝑍𝑍3 + 𝑧𝑧4) �

𝑍𝑍1.𝑍𝑍4 =(𝑅𝑅1𝐶𝐶1𝑆𝑆 + 1)(𝑅𝑅2𝐶𝐶2𝑆𝑆 + 1)

𝐶𝐶1𝐶𝐶2𝑆𝑆2

𝑍𝑍1.𝑍𝑍3 =(𝑅𝑅3𝐶𝐶3𝑆𝑆 + 1).𝑅𝑅2

𝐶𝐶3𝑆𝑆

𝑍𝑍3 + 𝑍𝑍4 = 𝑅𝑅2 +𝑅𝑅2𝐶𝐶2𝑆𝑆 + 1

𝐶𝐶2𝑆𝑆

𝑍𝑍3 + 𝑍𝑍4 =2𝑅𝑅2𝐶𝐶2𝑆𝑆 + 1

𝐶𝐶2𝑆𝑆

1𝑍𝑍1

=1

𝑅𝑅1𝐶𝐶1 + 1𝐶𝐶1𝑆𝑆

=𝐶𝐶1𝑆𝑆



=𝐶𝐶1𝑆𝑆

𝑅𝑅1𝐶𝐶1𝑆𝑆 + 1�

(𝑅𝑅1𝐶𝐶1𝑆𝑆 + 1)(𝑅𝑅2𝐶𝐶2𝑆𝑆 + 1)𝐶𝐶𝐼𝐼𝐶𝐶2𝑆𝑆2 − 𝑅𝑅2(𝑅𝑅3𝐶𝐶3𝑆𝑆 + 1)

𝐶𝐶3𝑆𝑆2(𝐶𝐶2𝑆𝑆 + 1)

𝐶𝐶2𝑆𝑆

�


=𝐶𝐶1𝑆𝑆

𝑅𝑅1𝐶𝐶1𝑆𝑆 + 1�𝐶𝐶3(𝑅𝑅1𝐶𝐶1𝑆𝑆 + 1)(𝑅𝑅2𝐶𝐶2𝑆𝑆 + 1) − 𝐶𝐶1𝐶𝐶2𝑆𝑆�𝑅𝑅2(𝑅𝑅3𝐶𝐶3𝑆𝑆 + 1)�

𝐶𝐶3(2𝑅𝑅2𝐶𝐶2𝑆𝑆 + 2)(𝑅𝑅1𝐶𝐶1𝑆𝑆 + 1) �

DIAGRAMA DE BLOQUES


En el tiempo frecuencia

𝒗𝒗𝒊𝒊 = 𝒊𝒊𝒊𝒊 + 𝒗𝒗𝒗𝒗 𝑽𝑽𝑽𝑽(𝑺𝑺) = 𝒊𝒊𝑽𝑽(𝑺𝑺) + 𝑽𝑽𝑽𝑽(𝑺𝑺)

𝒗𝒗𝒗𝒗 = 𝟏𝟏𝒊𝒊 ∫ 𝑽𝑽𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑽𝑽𝑽𝑽(𝑺𝑺) = 𝑽𝑽(𝑺𝑺)

𝒊𝒊𝑺𝑺

𝑽𝑽(𝑺𝑺) = 𝑽𝑽𝑽𝑽(𝑺𝑺)−𝑽𝑽𝑽𝑽(𝑺𝑺)𝒊𝒊

𝑽𝑽𝑽𝑽(𝒔𝒔)𝑽𝑽𝒊𝒊(𝒔𝒔)

=𝟏𝟏𝒊𝒊𝒊𝒊

𝟏𝟏 + 𝟏𝟏𝒊𝒊𝒊𝒊

=𝟏𝟏

𝒊𝒊𝒊𝒊 + 𝟏𝟏


(t) (s)

𝒗𝒗𝒊𝒊 = 𝒊𝒊𝒊𝒊 + 𝟏𝟏𝒄𝒄 ∫ 𝒊𝒊𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝒗𝒗𝒗𝒗 𝑽𝑽𝒊𝒊 = 𝒊𝒊𝑽𝑽 + 𝑽𝑽

𝒊𝒊𝑺𝑺+ 𝑽𝑽𝒗𝒗

𝒗𝒗𝒗𝒗 = 𝒊𝒊 𝒅𝒅𝒊𝒊𝒅𝒅𝒅𝒅

𝑽𝑽𝒗𝒗 = 𝒊𝒊𝑺𝑺𝑽𝑽

𝑽𝑽 = [𝑽𝑽𝒊𝒊 − 𝒊𝒊𝑽𝑽 − 𝑽𝑽𝒗𝒗]𝒊𝒊𝑺𝑺


𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽

=𝒊𝒊𝒊𝒊𝑺𝑺𝟐𝟐

𝟏𝟏 + 𝒊𝒊𝒊𝒊𝑺𝑺

𝟏𝟏 + 𝒊𝒊𝒊𝒊𝑺𝑺𝟐𝟐𝟏𝟏 + 𝒊𝒊𝒊𝒊𝑺𝑺

=𝒊𝒊𝒊𝒊𝑺𝑺𝟐𝟐

𝟏𝟏 + 𝒊𝒊𝒊𝒊𝑺𝑺 + 𝒊𝒊𝒊𝒊𝑺𝑺𝟐𝟐

TIEMPO FRECUENCIA

𝒗𝒗𝒊𝒊 = 𝒊𝒊𝟏𝟏𝒊𝒊 + 𝟏𝟏𝒄𝒄𝟏𝟏∫ 𝒊𝒊𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝒗𝒗𝒗𝒗 𝑽𝑽𝒊𝒊 = 𝒊𝒊𝑽𝑽 + 𝑽𝑽

𝒊𝒊𝟏𝟏+ 𝑽𝑽𝒗𝒗

𝒗𝒗𝒗𝒗 = 𝒊𝒊𝟐𝟐𝒊𝒊 + 𝟏𝟏𝒄𝒄𝟐𝟐∫ 𝒊𝒊𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑽𝑽𝒗𝒗 = 𝒊𝒊𝟐𝟐𝑽𝑽 + 𝑽𝑽

𝒊𝒊𝟐𝟐𝑺𝑺

𝒊𝒊 =𝒗𝒗𝒊𝒊 − 𝟏𝟏

𝒄𝒄𝟏𝟏 ∫𝒊𝒊𝒅𝒅𝒅𝒅 − 𝒗𝒗𝒗𝒗

𝒊𝒊



=

𝒊𝒊𝟏𝟏𝑺𝑺(𝒊𝒊𝟐𝟐𝒊𝒊𝟐𝟐𝑺𝑺)(𝟏𝟏 + 𝒊𝒊𝒊𝒊𝟏𝟏𝑺𝑺)𝒊𝒊𝟐𝟐𝑺𝑺

𝟏𝟏 + 𝒊𝒊𝟏𝟏𝑺𝑺(𝒊𝒊𝟐𝟐𝒊𝒊𝟐𝟐𝑺𝑺(𝟏𝟏 + 𝒊𝒊𝟏𝟏𝒊𝒊𝟏𝟏𝑺𝑺)𝒊𝒊𝟐𝟐𝑺𝑺

=𝒊𝒊𝟏𝟏𝑺𝑺(𝒊𝒊𝟐𝟐𝒊𝒊𝟐𝟐𝑺𝑺)

(𝟏𝟏 + 𝒊𝒊𝟏𝟏𝒊𝒊𝟏𝟏𝑺𝑺)𝒊𝒊𝟐𝟐𝑺𝑺 + 𝒊𝒊𝟏𝟏𝑺𝑺(𝒊𝒊𝟐𝟐𝒊𝒊𝟐𝟐𝑺𝑺)

𝒗𝒗𝒊𝒊 = 𝒊𝒊𝒊𝒊 + 𝒊𝒊𝒅𝒅𝒊𝒊𝒅𝒅𝒅𝒅

+ 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝑽𝑽𝒊𝒊(𝒔𝒔) = 𝒊𝒊𝑽𝑽(𝒔𝒔) + 𝒊𝒊𝑺𝑺𝑽𝑽(𝒔𝒔) + 𝑬𝑬𝒆𝒆(𝒔𝒔)

𝝉𝝉 = 𝒆𝒆 𝒅𝒅∅𝒅𝒅𝒅𝒅

= 𝑱𝑱 𝒅𝒅𝟐𝟐

𝒅𝒅𝒅𝒅𝟐𝟐 𝑻𝑻 = 𝒆𝒆𝑺𝑺∅(𝒔𝒔) = 𝑱𝑱𝑺𝑺𝟐𝟐∅(𝒔𝒔)

𝝉𝝉 = 𝒌𝒌𝟏𝟏 ∗ 𝒊𝒊 𝑻𝑻 = 𝑲𝑲𝟏𝟏 ∗ 𝑽𝑽(𝒔𝒔)

𝒆𝒆𝒆𝒆 = 𝒌𝒌𝟐𝟐𝒅𝒅∅𝒅𝒅𝒅𝒅

𝑬𝑬𝒆𝒆 = 𝑲𝑲𝟐𝟐𝑺𝑺∅(𝒔𝒔)


𝑽𝑽(𝒔𝒔) =𝑽𝑽𝒊𝒊(𝒔𝒔) − 𝑬𝑬𝒆𝒆(𝒔𝒔) − 𝒊𝒊𝑽𝑽(𝒔𝒔)

𝒊𝒊𝑺𝑺


=

𝑲𝑲𝟏𝟏(𝒊𝒊 + 𝒊𝒊𝑺𝑺)(𝑱𝑱𝑺𝑺𝟐𝟐 + 𝒆𝒆𝑺𝑺)

𝟏𝟏 + 𝑲𝑲𝟐𝟐𝑺𝑺 ∗ 𝑲𝑲𝟏𝟏(𝒊𝒊 + 𝒊𝒊𝑺𝑺)(𝑱𝑱𝑺𝑺𝟐𝟐 + 𝒆𝒆𝑺𝑺)

=𝑲𝑲𝑽𝑽

(𝒊𝒊 + 𝒊𝒊𝑺𝑺)(𝑱𝑱𝑺𝑺𝟐𝟐 + 𝒆𝒆𝑺𝑺) + 𝑲𝑲𝟏𝟏𝑲𝑲𝟐𝟐𝑺𝑺


(t) (s)

𝒗𝒗𝒊𝒊 = 𝒊𝒊𝒊𝒊 + 𝒊𝒊𝒅𝒅𝒊𝒊𝒅𝒅𝒅𝒅

+ 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝑽𝑽𝒊𝒊(𝒔𝒔) = 𝒊𝒊𝑽𝑽(𝒔𝒔) + 𝒊𝒊𝑺𝑺𝑽𝑽(𝒔𝒔) + 𝑬𝑬𝒆𝒆(𝒔𝒔)

𝑓𝑓𝑒𝑒 − 𝑓𝑓𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑓𝑓 = 𝐴𝐴𝑚𝑚 m´= M+m


= 𝐴𝐴´𝑑𝑑2𝑘𝑘𝑑𝑑𝑑𝑑2

𝑓𝑓𝑒𝑒 − 𝑓𝑓𝑘𝑘 − 𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡

= (𝑀𝑀 + 𝐴𝐴) 𝑑𝑑2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡2

𝐹𝐹𝑖𝑖 − 𝐾𝐾𝑘𝑘 − 𝑓𝑓𝑆𝑆𝑘𝑘 = (𝑀𝑀 + 𝐴𝐴)𝑆𝑆2𝑘𝑘

𝑓𝑓𝑒𝑒 = 𝑓𝑓1 ∗ 𝑖𝑖 𝐹𝐹𝑒𝑒 = 𝐾𝐾1∗𝐼𝐼

𝑒𝑒𝑓𝑓 = 𝑓𝑓2 ∗𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡

𝑖𝑖𝑓𝑓 = 𝐾𝐾2𝑆𝑆𝑘𝑘


𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝒊𝒊

=

𝟏𝟏(𝑴𝑴 + 𝒎𝒎)𝑺𝑺𝟐𝟐 + 𝒆𝒆𝑺𝑺

𝟏𝟏 + 𝑲𝑲(𝑴𝑴 + 𝒎𝒎)𝑺𝑺𝟐𝟐 + 𝒆𝒆𝑺𝑺

= 𝟏𝟏

(𝑴𝑴 + 𝒎𝒎)𝑺𝑺𝟐𝟐 + 𝒆𝒆𝑺𝑺 + 𝑲𝑲


=

𝑲𝑲𝟏𝟏(𝒊𝒊 + 𝒊𝒊𝑺𝑺)[(𝑴𝑴 + 𝒎𝒎)𝑺𝑺𝟐𝟐 + 𝒆𝒆𝑺𝑺 + 𝑲𝑲]

𝟏𝟏 + 𝑲𝑲𝟐𝟐𝑺𝑺𝑲𝑲𝟏𝟏(𝒊𝒊 + 𝒊𝒊𝑺𝑺)[(𝑴𝑴 + 𝒎𝒎)𝑺𝑺𝟐𝟐 + 𝒆𝒆𝑺𝑺 + 𝑲𝑲]


= 𝑲𝑲𝟏𝟏

(𝒊𝒊 + 𝒊𝒊𝑺𝑺)[(𝑴𝑴 + 𝒎𝒎)𝑺𝑺𝟐𝟐 + 𝒆𝒆𝑺𝑺 + 𝑲𝑲] + 𝑲𝑲𝟐𝟐𝑺𝑺𝑲𝑲𝟏𝟏

𝒗𝒗𝒊𝒊 = 𝒊𝒊𝟏𝟏𝒊𝒊𝟏𝟏 + 𝒗𝒗𝒗𝒗 𝑽𝑽𝒊𝒊(𝒔𝒔) = 𝒊𝒊𝟏𝟏𝑽𝑽𝟏𝟏(𝒔𝒔) + 𝑽𝑽𝑽𝑽(𝒔𝒔)


𝒗𝒗𝒗𝒗 = 𝒊𝒊𝟐𝟐𝒊𝒊𝟐𝟐 + 𝒗𝒗𝒗𝒗 𝑽𝑽𝑽𝑽(𝒔𝒔) = 𝒊𝒊𝟐𝟐𝑽𝑽𝟐𝟐(𝒔𝒔) + 𝑽𝑽𝑽𝑽(𝒔𝒔)

𝒗𝒗𝒗𝒗 = 𝟏𝟏𝒄𝒄𝟏𝟏∫ 𝒊𝒊𝟏𝟏𝒅𝒅𝒅𝒅 −

𝟏𝟏𝒄𝒄𝟐𝟐∫ 𝒊𝒊𝟐𝟐𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑽𝑽𝑽𝑽(𝒔𝒔) = 𝑽𝑽𝟏𝟏(𝒔𝒔)

𝒊𝒊𝟏𝟏𝑺𝑺− 𝑽𝑽𝟐𝟐(𝒔𝒔)


𝒗𝒗𝒗𝒗 = 𝟏𝟏𝒄𝒄𝟐𝟐∫ 𝒊𝒊𝟐𝟐𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑽𝑽𝑽𝑽(𝒔𝒔) = 𝑽𝑽𝟐𝟐(𝒔𝒔)


𝑽𝑽𝟏𝟏(𝒔𝒔) =𝑽𝑽𝒊𝒊(𝒔𝒔) − 𝑽𝑽𝑽𝑽(𝒔𝒔)

𝒊𝒊𝟏𝟏



=

𝟏𝟏𝒊𝒊𝟏𝟏𝑺𝑺[𝒊𝒊𝟐𝟐(𝒊𝒊𝟏𝟏𝒊𝒊𝟐𝟐𝑺𝑺 + 𝟏𝟏) + 𝒊𝒊𝟐𝟐]

𝟏𝟏 + 𝒊𝒊𝟐𝟐𝒊𝒊𝟐𝟐𝑺𝑺 + 𝟏𝟏𝒊𝒊𝟏𝟏𝑺𝑺[𝒊𝒊𝟐𝟐(𝒊𝒊𝟏𝟏𝒊𝒊𝟐𝟐𝑺𝑺 + 𝟏𝟏) + 𝒊𝒊𝟐𝟐]

𝑽𝑽𝒗𝒗𝑽𝑽𝒊𝒊

=𝟏𝟏

𝒊𝒊𝟏𝟏𝑺𝑺[𝒊𝒊𝟐𝟐(𝒊𝒊𝟏𝟏𝒊𝒊𝟐𝟐𝑺𝑺 + 𝟏𝟏) + 𝒊𝒊𝟐𝟐] + 𝒊𝒊𝟐𝟐𝒊𝒊𝟐𝟐𝑺𝑺 + 𝟏𝟏


Reducir el siguiente diagrama de bloques


𝒊𝒊(𝒔𝒔)𝒊𝒊(𝒔𝒔)

=

𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑(𝟏𝟏 + 𝑯𝑯𝟐𝟐𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑) + 𝑯𝑯𝟏𝟏𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐

𝟏𝟏 + 𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑(𝟏𝟏 + 𝑯𝑯𝟐𝟐𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑) + 𝑯𝑯𝟏𝟏𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐



=𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑

(𝟏𝟏 + 𝑯𝑯𝟐𝟐𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑) + 𝑯𝑯𝟏𝟏𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐 + 𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑



=

𝑮𝑮𝟏𝟏(𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)𝟏𝟏 + 𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑯𝑯𝟏𝟏

𝟏𝟏 + 𝑮𝑮𝟏𝟏(𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)𝑯𝑯𝟐𝟐(𝟏𝟏 + 𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑯𝑯𝟏𝟏)𝑮𝑮𝟏𝟏


=𝑮𝑮𝟏𝟏(𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)

(𝟏𝟏 + 𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑯𝑯𝟏𝟏) + 𝑮𝑮𝟏𝟏(𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)𝑯𝑯𝟐𝟐


=

𝑮𝑮𝟏𝟏(𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)(𝟏𝟏 + 𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑯𝑯𝟏𝟏) + 𝑮𝑮𝟏𝟏(𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)𝑯𝑯𝟐𝟐

𝟏𝟏 + 𝑮𝑮𝟏𝟏(𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)(𝟏𝟏 + 𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑯𝑯𝟏𝟏) + 𝑮𝑮𝟏𝟏(𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)𝑯𝑯𝟐𝟐



=𝑮𝑮𝟏𝟏(𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)

(𝟏𝟏 + 𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑯𝑯𝟏𝟏) + 𝑮𝑮𝟏𝟏(𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)𝑯𝑯𝟐𝟐 + 𝑮𝑮𝟏𝟏(𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)



=𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒

𝟏𝟏 + 𝑯𝑯𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐(𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)


=

𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒𝟏𝟏 + 𝑯𝑯𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐(𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)

𝟏𝟏 + (𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)𝑯𝑯𝟐𝟐[𝟏𝟏 + 𝑯𝑯𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐(𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)]𝑮𝑮𝟏𝟏



[𝟏𝟏 + 𝑯𝑯𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐(𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)]𝑮𝑮𝟏𝟏 + (𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)𝑯𝑯𝟐𝟐


=

𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒[𝟏𝟏 + 𝑯𝑯𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐(𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)]𝑮𝑮𝟏𝟏 + (𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)𝑯𝑯𝟐𝟐

𝟏𝟏 + 𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒[𝟏𝟏 + 𝑯𝑯𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐(𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)]𝑮𝑮𝟏𝟏 + (𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)𝑯𝑯𝟐𝟐



[𝟏𝟏 + 𝑯𝑯𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐(𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)]𝑮𝑮𝟏𝟏 + (𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒)𝑯𝑯𝟐𝟐 + 𝑮𝑮𝟏𝟏𝑮𝑮𝟐𝟐𝑮𝑮𝟑𝟑 + 𝑮𝑮𝟒𝟒


Diagrama de flujo de señal

𝒗𝒗 = 𝒊𝒊 ∗ 𝒊𝒊 𝑽𝑽 = 𝒊𝒊 ∗ 𝑽𝑽(𝒔𝒔)

Construir los siguientes flujos de señal del siguiente circuito

𝒀𝒀𝟐𝟐 = 𝑮𝑮𝟏𝟏𝒀𝒀𝟏𝟏 + 𝑮𝑮𝟑𝟑𝒀𝒀𝟑𝟑

𝒀𝒀𝟑𝟑 = 𝑮𝑮𝟒𝟒𝒀𝒀𝟏𝟏 + 𝑮𝑮𝟐𝟐𝒀𝒀𝟐𝟐 + 𝑮𝑮𝟓𝟓𝒀𝒀𝟑𝟑

𝒀𝒀𝟒𝟒 = 𝑮𝑮𝟔𝟔𝒀𝒀𝟐𝟐 + 𝑮𝑮𝟕𝟕𝒀𝒀𝟑𝟑

Ejemplo:


Regla del señor Mason´s


=𝜮𝜮𝑻𝑻𝒅𝒅 ∗ 𝜟𝜟𝒄𝒄

𝜟𝜟

Donde:

Td= trayectorias directas

𝜟𝜟c=cofactor

𝜟𝜟= determinante del sistema

∆= 1 − (𝐿𝐿1 + 𝐿𝐿2 + 𝐿𝐿3 + ⋯ ) + (𝐿𝐿1 ∗ 𝐿𝐿2) + (𝐿𝐿… .∗ 𝐿𝐿. . )

𝑇𝑇 = 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3 ∆1 = 1

𝐿𝐿1 = −𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3

𝐿𝐿2 = −𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐻𝐻1


∆= 1 − (𝐿𝐿1 + 𝐿𝐿2 + 𝐿𝐿3)


=𝑻𝑻 ∗ 𝜟𝜟𝟏𝟏𝜟𝜟


=𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3

𝟏𝟏 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐻𝐻1 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻2


𝑇𝑇1 = 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺4 ∆1 = 1

𝑇𝑇2 = 𝐺𝐺1𝐺𝐺3𝐺𝐺4 ∆2 = 1



𝐿𝐿3 = −𝐻𝐻1𝐺𝐺4


𝐿𝐿2𝐿𝐿3 = 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐻𝐻2𝐻𝐻1𝐺𝐺4


=𝑻𝑻𝟏𝟏 ∗ 𝜟𝜟𝟏𝟏 + 𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ 𝜟𝜟𝟐𝟐

𝜟𝜟


=𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺4 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺3𝐺𝐺4

𝟏𝟏 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺4 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐻𝐻2 + 𝐻𝐻1𝐺𝐺4 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺3𝐺𝐺4 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐻𝐻2𝐻𝐻1𝐺𝐺4


𝑇𝑇1 = 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3 ∆1 = 1

𝑇𝑇2 = 𝐺𝐺1𝐺𝐺4 ∆2 = 1




𝐿𝐿4 = −𝐺𝐺1𝐺𝐺4


=𝑻𝑻𝟏𝟏 ∗ 𝜟𝜟𝟏𝟏 + 𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ 𝜟𝜟𝟐𝟐

𝜟𝜟


=𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺4

𝟏𝟏 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐻𝐻1 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻2 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺4


𝑇𝑇1 = 𝐺𝐺1𝐺𝐺2 ∆1 = 1

𝑇𝑇2 = 𝐺𝐺1𝐺𝐺3 ∆2 = 1


𝐿𝐿2 = −𝐺𝐺2𝐻𝐻2

𝐿𝐿3 = −𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻2𝐻𝐻1


=𝑻𝑻𝟏𝟏 ∗ 𝜟𝜟𝟏𝟏 + 𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ 𝜟𝜟𝟐𝟐

𝜟𝜟


=𝐺𝐺1𝐺𝐺2 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺3

𝟏𝟏 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐻𝐻1 + 𝐺𝐺2𝐻𝐻2 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻2𝐻𝐻1

Hallar la función de transferencia


𝑇𝑇1 = 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐺𝐺5𝐺𝐺6 ∆1 = 1

𝑇𝑇2 = 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺7𝐺𝐺6 ∆2 = 1 + 𝐿𝐿1 = 1 + 𝐺𝐺4𝐻𝐻4

𝑇𝑇3 = 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐺𝐺8 ∆3 = 1

𝐿𝐿1 = −𝐺𝐺4𝐻𝐻4 𝐿𝐿1𝐿𝐿4 = 𝐺𝐺4𝐻𝐻4𝐺𝐺2𝐺𝐺7𝐻𝐻2

𝐿𝐿2 = −𝐺𝐺5𝐺𝐺6𝐻𝐻1 𝐿𝐿1𝐿𝐿7 = 𝐺𝐺4𝐻𝐻4𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺7𝐺𝐺6𝐻𝐻3

𝐿𝐿3 = −𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐺𝐺5𝐻𝐻2 𝐿𝐿5𝐿𝐿4 = 𝐺𝐺8𝐻𝐻1𝐺𝐺2𝐺𝐺7𝐻𝐻2



𝐿𝐿6 = −𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐺𝐺5𝐺𝐺6𝐻𝐻3

𝐿𝐿7 = −𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺7𝐺𝐺6𝐻𝐻3

𝐿𝐿8 = −𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐺𝐺8𝐻𝐻3

∆= 1 − (𝐿𝐿1 + 𝐿𝐿2 + 𝐿𝐿3 + 𝐿𝐿4 + 𝐿𝐿5 + 𝐿𝐿6 + 𝐿𝐿7 + 𝐿𝐿8) + (𝐿𝐿1𝐿𝐿4) + (𝐿𝐿1𝐿𝐿7) + (𝐿𝐿5𝐿𝐿4)


=𝑻𝑻𝟏𝟏 ∗ 𝜟𝜟𝟏𝟏 + 𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ 𝜟𝜟𝟐𝟐

𝜟𝜟


=𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐺𝐺5𝐺𝐺6 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺7𝐺𝐺6 + (1 + 𝐺𝐺4𝐻𝐻4) + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐺𝐺8

𝟏𝟏 + 𝐺𝐺4𝐻𝐻4 + 𝐺𝐺5𝐺𝐺6𝐻𝐻1 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐺𝐺5𝐻𝐻2 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺7𝐻𝐻2 + 𝐺𝐺8𝐻𝐻1 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐺𝐺5𝐺𝐺6𝐻𝐻3

𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺7𝐺𝐺6𝐻𝐻3 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐺𝐺8𝐻𝐻3 + 𝐺𝐺4𝐻𝐻4𝐺𝐺2𝐺𝐺7𝐻𝐻2 + 𝐺𝐺4𝐻𝐻4𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺7𝐺𝐺6𝐻𝐻3 + 𝐺𝐺8𝐻𝐻1𝐺𝐺2𝐺𝐺7𝐻𝐻2

Hallar la función de transferencia del siguiente sistema


𝑇𝑇1 = 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3 ∆1 = 1

𝐿𝐿1 = −𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1




=𝑻𝑻𝟏𝟏 ∗ 𝜟𝜟𝟏𝟏

𝟏𝟏 − (𝒊𝒊𝟏𝟏 + 𝒊𝒊𝟐𝟐 + 𝒊𝒊𝟑𝟑)


=𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3

𝟏𝟏 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻1 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐻𝐻2

𝑇𝑇1 = 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐺𝐺5 ∆1 = 1

𝑇𝑇2 = 𝐺𝐺1𝐺𝐺4𝐺𝐺5𝐺𝐺6 ∆2 = 1

𝑇𝑇3 = 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺7 ∆3 = 1 − 𝐿𝐿2 = 1 + 𝐺𝐺4𝐻𝐻1

𝐿𝐿1 = −𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐺𝐺5𝐻𝐻2 𝐿𝐿2𝐿𝐿4 = 𝐺𝐺4𝐻𝐻1𝐺𝐺2𝐺𝐺7𝐻𝐻2





∆= 1 − (𝐿𝐿1 + 𝐿𝐿2 + 𝐿𝐿3 + 𝐿𝐿4) + (𝐿𝐿2𝐿𝐿4)


=𝑻𝑻𝟏𝟏 ∗ 𝜟𝜟𝟏𝟏 + 𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ 𝜟𝜟𝟐𝟐 + 𝑻𝑻𝟑𝟑∆𝟑𝟑

𝜟𝜟


=𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐺𝐺5 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺4𝐺𝐺5𝐺𝐺6 + (𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺7)(1 + 𝐺𝐺4𝐻𝐻1)𝟏𝟏 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐺𝐺5𝐻𝐻2 + 𝐺𝐺4𝐻𝐻1 + 𝐺𝐺4𝐺𝐺5𝐺𝐺6𝐻𝐻2 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺7𝐻𝐻2

Otro método

Trayectorias

𝑇𝑇1 = 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐺𝐺5

𝑇𝑇2 = 𝐺𝐺1𝐺𝐺4𝐺𝐺5𝐺𝐺6

𝑇𝑇3 = 𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺7

Lazos


𝐿𝐿1 = −𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐺𝐺5𝐻𝐻2





=𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐺𝐺5 + 𝐺𝐺1𝐺𝐺4𝐺𝐺5𝐺𝐺6 + (𝐺𝐺1𝐺𝐺2𝐺𝐺7)(1 + 𝐺𝐺4𝐻𝐻1)𝟏𝟏 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺3𝐺𝐺4𝐺𝐺5𝐻𝐻2 + 𝐺𝐺4𝐻𝐻1 + 𝐺𝐺4𝐺𝐺5𝐺𝐺6𝐻𝐻2 + 𝐺𝐺2𝐺𝐺7𝐻𝐻2

Características de un sistema retroalimentados

Estabilidad

𝑆𝑆2 + 3𝑆𝑆 + 2 = 0

(𝑆𝑆 + 2)(𝑆𝑆 + 1) = 0

𝑆𝑆 = −2

𝑆𝑆 = −1


El sistema es estable

𝑆𝑆2 + 𝑠𝑠 − 2 = 0

(𝑆𝑆 + 2)(𝑆𝑆 − 1) = 0

𝑆𝑆 = −2

𝑆𝑆 = 1


El sistema es inestable

Ejemplo

𝒊𝒊(𝒔𝒔)𝒊𝒊(𝒔𝒔) =

𝟑𝟑𝒔𝒔(𝒔𝒔 + 𝟏𝟏)(𝒔𝒔 + 𝟐𝟐)

𝟏𝟏 + 𝟑𝟑𝒔𝒔(𝒔𝒔 + 𝟏𝟏)(𝒔𝒔 + 𝟐𝟐)

=𝟑𝟑

𝑺𝑺(𝑺𝑺 + 𝟏𝟏)(𝑺𝑺 + 𝟐𝟐) + 𝟑𝟑


𝟑𝟑𝑺𝑺𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝑺𝑺𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝑺𝑺 + 𝟑𝟑

𝑺𝑺𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝑺𝑺𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝑺𝑺 + 𝟑𝟑 = 𝒗𝒗

S1= -2.6717

S2= -0.1642 + 1.0469i

S3= -0.1642 - 1.0469i



𝟕𝟕𝒔𝒔(𝒔𝒔 + 𝟏𝟏)(𝒔𝒔 + 𝟐𝟐)

𝟏𝟏 + 𝟕𝟕𝒔𝒔(𝒔𝒔 + 𝟏𝟏)(𝒔𝒔 + 𝟐𝟐)

=𝟕𝟕

𝑺𝑺(𝑺𝑺 + 𝟏𝟏)(𝑺𝑺 + 𝟐𝟐) + 𝟕𝟕


𝟕𝟕𝑺𝑺𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝑺𝑺𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝑺𝑺 + 𝟕𝟕

𝑺𝑺𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝑺𝑺𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝑺𝑺 + 𝟕𝟕 = 𝒗𝒗

S1= -3.0867

S2= 0.0434 + 1.5053i

S3= 0.0434 - 1.5053i


B 5Nseg/m K 8N/m m 0,5kg







𝐹𝐹(𝑠𝑠) = 𝑓𝑓𝑘𝑘(𝑠𝑠) + 𝑓𝑓𝑆𝑆𝑘𝑘(𝑠𝑠) + 𝐴𝐴𝑆𝑆2𝑘𝑘(𝑠𝑠)

𝐹𝐹(𝑠𝑠) = 𝑘𝑘(𝑠𝑠)(𝑓𝑓 + 𝑓𝑓𝑆𝑆 + 𝐴𝐴𝑆𝑆2)

𝑋𝑋(𝑠𝑠)𝐹𝐹(𝑠𝑠)

=1

(𝑓𝑓 + 𝑓𝑓𝑆𝑆 + 𝐴𝐴𝑆𝑆2)


=1

(0,5𝑆𝑆2 + 5𝑆𝑆 + 8)


=1

(𝑆𝑆2 + 10𝑆𝑆 + 16)

𝑆𝑆2 + 10𝑆𝑆 + 16 = 0

𝑠𝑠 + 8)(𝑠𝑠 + 2) = 0

𝑆𝑆1 = −8

𝑆𝑆2 = −2


𝑉𝑉𝑖𝑖𝑉𝑉𝑖𝑖

=1

𝐿𝐿𝐶𝐶𝑆𝑆2 + 𝑅𝑅𝐶𝐶𝑆𝑆 + 1

𝐿𝐿𝐶𝐶𝑆𝑆2 + 𝑅𝑅𝐶𝐶𝑆𝑆 + 1 = 0

𝑆𝑆2 +𝑅𝑅𝑆𝑆𝐿𝐿

+1𝐿𝐿𝐶𝐶

= 0 => 𝑘𝑘2 + 2𝑘𝑘𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 = 0

𝑆𝑆2 + 2𝜆𝜆𝜆𝜆𝐴𝐴 + 𝜆𝜆𝐴𝐴2 = 0

𝑆𝑆2 + 2𝑆𝑆 + 1 = 0


Frecuencia natural (no amortiguada)

𝜆𝜆𝐴𝐴2 =1𝐿𝐿𝐶𝐶

𝜆𝜆𝐴𝐴 =1

√𝐿𝐿𝐶𝐶

Amortiguamiento real del sistema

2𝜆𝜆𝜆𝜆𝐴𝐴 =𝑅𝑅𝐿𝐿

𝜆𝜆 =𝑅𝑅

2𝜆𝜆𝐴𝐴𝐿𝐿

𝜆𝜆 =𝑅𝑅

2 � 1√𝐿𝐿𝐶𝐶

�2 =

𝑅𝑅2𝐿𝐿√𝐿𝐿𝐶𝐶

=𝑅𝑅2�𝐶𝐶𝐿𝐿

𝐶𝐶𝑖𝑖𝑒𝑒𝑓𝑓𝑖𝑖𝑐𝑐𝑖𝑖𝑒𝑒𝐶𝐶𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑚𝑚𝐴𝐴𝑖𝑖𝑎𝑎𝑑𝑑𝑖𝑖𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚𝐴𝐴𝑖𝑖𝑒𝑒𝐶𝐶𝑑𝑑𝑖𝑖

Oscilante 𝜆𝜆 = 0

Sub amortiguado 0 < 𝜆𝜆 < 1


Críticamente amortiguado 𝜆𝜆 = 1

Sobre amortiguado 𝜆𝜆 = 1

𝜆𝜆 = 0

0 < 𝜆𝜆 < 1

𝜆𝜆 = 1

𝜆𝜆 > 1


SISTEMA


CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH HUMWIST

𝑓𝑓0𝑠𝑠𝑚𝑚 + 𝑓𝑓1𝑠𝑠𝑚𝑚−1 + ⋯… … . 𝑓𝑓𝑛𝑛 − 1𝑠𝑠 + 𝑓𝑓𝑚𝑚

𝑚𝑚0𝑠𝑠𝑚𝑚 + 𝑚𝑚1𝑠𝑠𝑚𝑚−1 + ⋯… … . +𝑚𝑚𝑛𝑛−1𝑠𝑠 + 𝑚𝑚𝑛𝑛

Polos: P(s) = 𝑚𝑚0𝑠𝑠𝑚𝑚 + 𝑚𝑚1𝑠𝑠𝑚𝑚−1 + ⋯… … . +𝑚𝑚𝑛𝑛−1𝑠𝑠 + 𝑚𝑚𝑛𝑛 = 0

Verificar cuál de las los siguientes sistemas es estable o inestable dado su polinomio característico.

1) P(s) = 𝑠𝑠3 + 6𝑠𝑠2 + 11𝑠𝑠 + 6 𝑑𝑑1 = (6)(11)−66

𝑑𝑑1 =66 − 6

6

𝑑𝑑1 = 10 𝑑𝑑2 = (6)(0)−1

0

𝑑𝑑2 = 0 𝑑𝑑3 = (10)(6)−6(0)

10

𝑑𝑑3 = 6

2) P(s) = 𝑠𝑠3 + 4𝑠𝑠2 + 𝑠𝑠 + 16

𝑓𝑓1 =𝑚𝑚1𝑚𝑚2 − 𝑚𝑚0𝑚𝑚3

𝑚𝑚1 𝑐𝑐1=

𝑓𝑓1𝑚𝑚3 − 𝑚𝑚1𝑓𝑓2𝑓𝑓1

𝑓𝑓2 =𝑚𝑚1𝑚𝑚4 − 𝑚𝑚0𝑚𝑚5

𝑚𝑚1 𝑐𝑐2 =

𝑓𝑓1𝑚𝑚5 − 𝑚𝑚1(0)𝑓𝑓1

𝑐𝑐2 = 𝑚𝑚5

𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑚𝑚0 𝑚𝑚2 𝑚𝑚4 𝑠𝑠𝑛𝑛−1 𝑚𝑚1 𝑚𝑚3 𝑚𝑚5 𝑠𝑠𝑛𝑛−2 𝑓𝑓1 𝑓𝑓2 0

𝑐𝑐1 𝑐𝑐2 𝑠𝑠0

𝑠𝑠3 1 11 0

𝑠𝑠2 6 6 0

𝑠𝑠1 𝑑𝑑1: 10 𝑑𝑑2: 0

𝑠𝑠0 𝑑𝑑3: 6

Si es estable

R(s) C(s)

jw

𝙛𝙛


𝑑𝑑1 = (4)(1)−1(16)4

𝑑𝑑1 = −3 𝑑𝑑2 = 4(0)−1(0)

4

𝑑𝑑2 = 0 𝑑𝑑3 = (−3)(16)−4(0)

−3

𝑑𝑑3 = 16

Al existir cambio de signo el Sistema es inestable

P(s) = 𝑠𝑠4 + 2𝑠𝑠3 + 3𝑠𝑠2 + 4𝑠𝑠 + 5 = 0

𝑑𝑑1 =2(3) − 1(4)

2= 1

𝑑𝑑2 = 2(5)−1(0)

2= 5

𝑑𝑑3 = 1(4)−2(5)

1= −6

𝑑𝑑4 = (−6)5−1(0)

−6= 5

Sistema Inestable En el sistema mostrado en la fig. Determinar el rango de los valores que debe tomar el valor de k para garantizar la estabilidad del sistema.

𝑠𝑠3 1 1 0 𝑠𝑠2 4 16 0

𝑠𝑠1 − 3 0

𝑠𝑠0 16

𝑠𝑠4 1 3 5

𝑠𝑠3 2 4 0

𝑠𝑠2 1 5

𝑠𝑠1 − 6 0

𝑠𝑠0 5


𝐾𝐾𝑠𝑠(𝑠𝑠2 + 𝑠𝑠 + 1)(𝑠𝑠 + 2)

𝐶𝐶(𝑠𝑠)𝑅𝑅(𝑠𝑠)

=

𝑓𝑓𝑠𝑠(𝑠𝑠2 + 𝑠𝑠 + 1)(𝑠𝑠 + 2)

1 + 𝑓𝑓𝑠𝑠(𝑠𝑠2 + 𝑠𝑠 + 1)(𝑠𝑠 + 2)

=𝑓𝑓

𝑠𝑠(𝑠𝑠2 + 𝑠𝑠 + 1)(𝑠𝑠 + 2) + 𝑓𝑓

R(s) = 𝑠𝑠(𝑠𝑠2 + 𝑠𝑠 + 1)(𝑠𝑠 + 2) + 𝑓𝑓

= (𝑠𝑠3 + 𝑠𝑠2 + 𝑠𝑠)(𝑠𝑠 + 2) + 𝑓𝑓

= 𝑠𝑠4 + 𝑠𝑠3 + 𝑠𝑠2 + 2𝑠𝑠3 + 2𝑠𝑠2 + 2𝑠𝑠 + 𝑓𝑓

= 𝑠𝑠4 + 3𝑠𝑠3 + 3𝑠𝑠2 + 2𝑠𝑠 + 𝑓𝑓

𝑠𝑠4 1 3 𝑓𝑓 𝑑𝑑1 = 73

𝑠𝑠3 3 2 0 𝑑𝑑2 = 𝑓𝑓

𝑠𝑠2 𝑑𝑑1 = 73

𝑑𝑑2 = 𝑓𝑓 𝑑𝑑3 = 2 − 97𝑓𝑓

𝑠𝑠1 𝑑𝑑3 = 2−9𝑘𝑘7

𝑑𝑑3 = 0 𝑑𝑑4 = 0

𝑠𝑠0 𝑑𝑑5 = 𝑓𝑓 𝑑𝑑5 = 𝑓𝑓

i. 2 − 97𝑓𝑓 > 0

ii. 𝑓𝑓 > 0 [ 0; +∞ ] 2 − 9

7𝑓𝑓 > 0 0 < k < 14

9

− 97𝑓𝑓 > −2 El sistema será estable

𝑓𝑓 < 149

R (s) C (s)

K(s+2)

(s+3)(𝑠𝑠2 + 2𝑠𝑠 + 2)

0 14

9 1


𝐶𝐶 (𝑠𝑠)𝑅𝑅 (𝑠𝑠)

=𝑘𝑘(𝑠𝑠+2)

(𝑠𝑠+3)(𝑠𝑠2+2𝑠𝑠+2)

1+ 𝑘𝑘(𝑠𝑠+2)(𝑠𝑠+3)(𝑠𝑠2+2𝑠𝑠+2)

= 𝑘𝑘(𝑠𝑠+2)(𝑠𝑠+3)(𝑠𝑠2+2𝑠𝑠+2)+𝑘𝑘(𝑠𝑠+2)

𝑅𝑅(𝑠𝑠) = (𝑠𝑠 + 3)(𝑠𝑠2 + 2𝑠𝑠 + 2) + 𝑓𝑓(𝑠𝑠 + 2)

= 𝑠𝑠3 + 2𝑠𝑠2 + 2𝑠𝑠 + 3𝑠𝑠2 + 6𝑠𝑠 + 6 + 𝑓𝑓𝑠𝑠 + 2𝑓𝑓

= 𝑠𝑠3 + 5𝑠𝑠2 + 𝑠𝑠(8 + 𝑓𝑓) + (2𝑓𝑓 + 6)

𝑠𝑠3 1 (8+k) 0

𝑠𝑠2 5 (6+2k) 0

𝑠𝑠1 34+3𝑘𝑘5

0

S 6+2k

34+3𝑘𝑘5

> 0 6+2k> 0

34 + 3𝑓𝑓 > 0 2k=-6 3k=-34 k=-3 K=−34

3

−𝟑𝟑𝟒𝟒

𝟑𝟑< 𝐊𝐊 < −𝟑𝟑

𝑠𝑠4 + 𝑠𝑠3 + 𝑠𝑠2 + 2𝑠𝑠 + 𝑓𝑓 = 0

𝑠𝑠4 1 3 k

𝑠𝑠3 1 2 0 sistema estable

𝑠𝑠2 2-k 0 𝑠𝑠0 k 2-k> 0 k> 0; ]0;∞[ -k> −2 k< 2 CASOS ESPECIALES EN EL CRITERIO DE ESTABILIDAD (I CASO)

𝑠𝑠3 + 2𝑠𝑠2 + 5 + 2 = 0 𝑠𝑠3 1 1 𝑠𝑠2 2 2 𝜀𝜀 > 0 𝑠𝑠1 𝜀𝜀 𝑠𝑠0 2


𝑠𝑠5 + 𝑠𝑠4 + 2𝑠𝑠3 + 2𝑠𝑠2 + 3𝑠𝑠 + 15 = 0 𝑠𝑠5 1 2 3 sistema inestable 𝑠𝑠4 1 2 15 𝑠𝑠3 𝜀𝜀 -12 0 𝑠𝑠2 2𝜀𝜀+12

𝜀𝜀 15 𝜀𝜀 > 0

𝑠𝑠1 −15𝜀𝜀2−−24𝜀𝜀−1442𝜀𝜀+12

0 𝑠𝑠0 2

lim𝜀𝜀→0

2𝜀𝜀 + 12𝜀𝜀

= 2 +120

= 2 + ∞ = +∞

lim𝜀𝜀→0

�−15𝜀𝜀2− − 24𝜀𝜀 − 144

2𝜀𝜀 + 12� = −

14412

= −12

𝑠𝑠5 + 2𝑠𝑠4 + 2𝑠𝑠3 + 4𝑠𝑠2 + 11𝑠𝑠 + 10 = 0

𝑠𝑠5 1 2 11 sistema inestable 𝑠𝑠4 2 4 10 𝑠𝑠3 𝜀𝜀 6 0 𝑠𝑠2 4𝜀𝜀−12

𝜀𝜀 10 𝜀𝜀 > 0

𝑠𝑠1 −10𝜀𝜀2−+24𝜀𝜀−724𝜀𝜀−12

0 𝑠𝑠0 10

lim𝜀𝜀→0

4𝜀𝜀 − 12𝜀𝜀

= 4 −120

= −∞

lim𝜀𝜀→0

�−10𝜀𝜀2− + 24𝜀𝜀 − 72

4𝜀𝜀 − 12 � =

7212

= 6

(II CASO) CUANDO TODOS LOS 𝜀𝜀 DE UNA FILA SON CERO

𝑠𝑠4 + 2𝑠𝑠3 + 7𝑠𝑠2 + 4𝑠𝑠 + 10 = 0 Debemos recurrir al polinomio auxiliar

𝑠𝑠4 1 7 10 P(s)= 5𝑠𝑠2 + 10 o 5𝑠𝑠2 + 10 = 0

𝑠𝑠3 2 4 0 𝑑𝑑[𝑃𝑃(𝑠𝑠) ]𝑑𝑑𝑠𝑠

= 10𝑠𝑠 𝑠𝑠2 = −105

𝑠𝑠2 5 10 𝑠𝑠2 = −2

𝑠𝑠1 10 0 𝑠𝑠 = ±√2𝑗𝑗

𝑠𝑠0 10

P(s)


Estable

𝑠𝑠5 + 2𝑠𝑠4 + 24𝑠𝑠3 + 48𝑠𝑠2 − 25𝑠𝑠 − 50 = 0

𝑠𝑠5 1 24 − 25 𝑃𝑃(𝑠𝑠) = 2𝑠𝑠4 + 48𝑠𝑠2 − 50

𝑠𝑠4 2 48 − 50 𝑑𝑑[ 𝑃𝑃(𝑠𝑠)]𝑑𝑑𝑠𝑠

= 8𝑠𝑠3 + 96𝑠𝑠

𝑠𝑠3 8 96 0

𝑠𝑠2 24 − 50

𝑠𝑠1 112,7 0 Inestable

𝑠𝑠0 − 50

2𝑠𝑠5 + 12𝑠𝑠4 + 𝑠𝑠3 + 6𝑠𝑠2 + 3𝑠𝑠 + 18 = 0

𝑠𝑠5 2 1 3 P(s)= 12𝑠𝑠4 + 6𝑠𝑠2 + 18

𝑠𝑠4 12 6 18 𝑑𝑑 [ 𝑃𝑃(𝑠𝑠) ]𝑑𝑑𝑠𝑠

= 48𝑠𝑠3 + 12𝑠𝑠

𝑠𝑠3 48 12 0

𝑠𝑠2 3 18

𝑠𝑠1 − 276 0

𝑠𝑠0 18 Inestable

VERIFICAR LA ESTABILIDAD DE LOS SIGUIENTES SISTEMAS

𝑓𝑓𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 1)(𝑠𝑠 + 2)

1 + 𝑓𝑓𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 1)(𝑠𝑠 + 2)

=𝑓𝑓

𝑠𝑠3 + 3𝑠𝑠2 + 2𝑠𝑠 + 𝑓𝑓

𝑠𝑠3 + 3𝑠𝑠2 + 2𝑠𝑠 + 𝑓𝑓 = 0

𝑠𝑠3 1 2 6−𝑘𝑘3

> 0 K > 0 k > 0: [0;+ ∞ ] 0 < k < 6

P(s)

𝑓𝑓𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 1)(𝑠𝑠 + 2)

∞

C(s) R(s)


𝑠𝑠2 3 𝑓𝑓 6-k >0

𝑠𝑠1 6−𝑘𝑘3

0 -k > -6

𝑠𝑠0 𝑓𝑓 K < 6

Estable

10𝑠𝑠(𝑠𝑠 − 1)(2𝑠𝑠 + 3)

1 + 10𝑠𝑠(𝑠𝑠 − 1)(2𝑠𝑠 + 3)

=10

2𝑠𝑠3 + 𝑠𝑠2 − 3𝑠𝑠 + 10

2𝑠𝑠3 + 𝑠𝑠2 − 3𝑠𝑠 + 10 = 0

𝑠𝑠3 2 − 3

𝑠𝑠2 1 10

𝑠𝑠1 − 23 0

𝑠𝑠0 10 Inestable

LUGAR GEOMÉTRICO

Nos permite observar cual es el comportamiento

G(s)= 𝑘𝑘𝑠𝑠(𝑠𝑠+7)

𝐻𝐻(𝑠𝑠) = 1

0 6

10𝑠𝑠(𝑠𝑠 − 1)(2𝑠𝑠 + 3)

R(s) C(s)

𝑓𝑓𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 7)


𝐺𝐺(𝑠𝑠)𝐻𝐻(𝑠𝑠) = 𝑘𝑘𝑠𝑠(𝑠𝑠+7)

𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 7) = 0

S1=0

S2=-7

𝐺𝐺(𝑠𝑠)𝑅𝑅(𝑠𝑠) =

𝑓𝑓𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 7)

1 + 𝑓𝑓𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 7)

=𝑓𝑓

𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 7) + 𝐾𝐾

𝑠𝑠2 + 7𝑠𝑠 + 𝑓𝑓 = 0

𝑆𝑆1,2 =−7 ± √72 − 4𝑓𝑓

2

K 𝑺𝑺𝟏𝟏 𝑺𝑺𝟐𝟐 1 -0.10 -6.89 5 -0.80 -6.19 10 -2 -5 20 -3.5+2.8j -3.5-2.8j

37.25 -3.5+5j -3.5-2.8j 48.25 -3.5+6j -3.5-2.8j 76.25 -3.5+8j -3.5-2.8j 93.25 -3.5+9j -3.5-2.8j

112.25 -3.5+10j -3.5-2.8j

Ecuacion caracteristica


1 + 𝐺𝐺(𝑠𝑠)𝐻𝐻(𝑠𝑠) = 0

𝐺𝐺(𝑠𝑠)𝐻𝐻(𝑠𝑠) = −1

|𝐺𝐺(𝑠𝑠)𝐻𝐻(𝑠𝑠)| = |−1| = 1

°𝐺𝐺(𝑠𝑠)𝐻𝐻(𝑠𝑠) = 180° + 360°(2𝑓𝑓)

K∈ 𝑁𝑁 0,1,2,3 … ….

𝜎𝜎1 + 𝜎𝜎2 = 180°

𝐴𝐴1 = �(−3.5 + 7)2 + (10 − 0)2 = 10.59

𝐴𝐴2 = �(−3.5 − 0)2 + (10 − 0)2 = 10.59

�𝑓𝑓

𝐴𝐴1 𝐴𝐴2� = 1

�112.25

10.59 10.59� = 1

𝜎𝜎2 = tan−1103.5

= 70.7°

𝜎𝜎1 = 180° − 𝜎𝜎2 = 180° − 70.7° = 109.3°

Analisar la funcion de transferencia del siguente sistema

1) Polos y ceros

𝐺𝐺(𝑠𝑠) =𝑓𝑓

𝑠𝑠 (𝑠𝑠 + 1)(𝑠𝑠 + 2)

𝐻𝐻(𝑠𝑠)= 1

𝐺𝐺(𝑠𝑠)𝐻𝐻(𝑠𝑠) =𝑓𝑓

𝑠𝑠 (𝑠𝑠 + 1)(𝑠𝑠 + 2)

𝑠𝑠 (𝑠𝑠 + 1)(𝑠𝑠 + 2) = 0 𝑆𝑆1 =0


𝑆𝑆2 =-1 𝑆𝑆3 =-2

2) Numero de ramas

𝑁𝑁 = #𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑠𝑠 − #𝑐𝑐𝑒𝑒𝑎𝑎𝑖𝑖𝑠𝑠

𝑁𝑁 = 3 − 0 𝑁𝑁 = 3

3) Ubicación de centroide

𝛿𝛿0 =∑𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑠𝑠 − ∑𝑧𝑧𝑒𝑒𝑎𝑎𝑖𝑖𝑠𝑠

𝑁𝑁

𝛿𝛿0 =(0 − 1 − 2) − 0

3

𝛿𝛿0 = −1

4) Angulo de ramas

𝜎𝜎0 =180 (2(0) + 1)

3= 60°

𝜎𝜎1 =180 (2(1) + 1)

3= 180°

𝜎𝜎2 =180 (2(2) + 1)

3= 300°

5) Punto de quiebre

𝐶𝐶(𝑠𝑠)𝑅𝑅(𝑠𝑠) =

𝑓𝑓𝑠𝑠 (𝑠𝑠 + 1)(𝑠𝑠 + 2) + 𝑓𝑓

𝐶𝐶(𝑠𝑠)𝑅𝑅(𝑠𝑠) =

𝑓𝑓𝑠𝑠3 + 3𝑠𝑠2 + 2𝑠𝑠 + 𝑓𝑓

𝑠𝑠3 + 3𝑠𝑠2 + 2𝑠𝑠 + 𝑓𝑓 = 0 𝑓𝑓 = −𝑠𝑠3 − 3𝑠𝑠2 − 2𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑑𝑑𝑠𝑠

= −3𝑠𝑠2 − 6𝑠𝑠 − 2

𝑠𝑠2 + 𝑠𝑠 +23

= 0

𝑠𝑠2 + 2𝑠𝑠 + 1 = −23

+ 1

(𝑠𝑠 + 1)2 =13

S+1 = ±�13

𝑆𝑆1 = −0.42 𝑆𝑆2 = −1.57

6) Corte (jw)


𝑠𝑠3 + 3𝑠𝑠2 + 2𝑠𝑠 + 𝑓𝑓 = 0 (𝑗𝑗𝑑𝑑)3 + 3(𝑗𝑗𝑑𝑑)2 + 2(𝑗𝑗𝑑𝑑) + 𝑓𝑓 = 0 −𝑗𝑗𝑑𝑑3 − 3𝑑𝑑2 + 2𝑗𝑗𝑑𝑑 + 𝑓𝑓 = 0

7) Real -3𝑑𝑑2 + 𝑓𝑓 = 0 K= 3𝑑𝑑2 K=6

imaginario −𝑗𝑗𝑑𝑑3 + 2𝑗𝑗𝑑𝑑 = 0 −𝑑𝑑3 = −2𝑑𝑑 𝑑𝑑 = ± − √2j


1) Polos y ceros

𝐺𝐺(𝑠𝑠)𝐻𝐻(𝑠𝑠) =𝑓𝑓

𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 4)(𝑠𝑠2 + 8𝑠𝑠 + 32)

𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 4)(𝑠𝑠2 + 8𝑠𝑠 + 32) 𝑆𝑆1 =0 𝑆𝑆2 =-4 𝑆𝑆3 = −4 + 4𝑗𝑗 𝑆𝑆4 = −4 − 4𝑗𝑗 2) Numero de ramas


𝑁𝑁 = 4 − 0 𝑁𝑁 = 4 3) Ubicación de centroide


𝑁𝑁

𝛿𝛿0 =(0 − 4 − 4 − 4) − 0

4

𝛿𝛿0 = −3 4) Angulo de ramas

𝜎𝜎0 =180 (2(0) + 1)

4= 45°

𝜎𝜎1 =180 (2(1) + 1)

4= 135°

𝜎𝜎2 =180 (2(2) + 1)

4= 225°

𝜎𝜎3 =180 (2(3) + 1)

4= 315°

5) Punto de quiebre 𝐶𝐶(𝑠𝑠)𝑅𝑅(𝑠𝑠) = 1 +

𝑓𝑓𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 4)(𝑠𝑠2 + 8𝑠𝑠 + 32)

= 0


𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 4)(𝑠𝑠2 + 8𝑠𝑠 + 32) + 𝑓𝑓 = 0 𝑠𝑠4 + 12𝑠𝑠3 + 64𝑠𝑠2 + 128𝑠𝑠 + 𝑓𝑓 = 0 𝑓𝑓 = −𝑠𝑠4 − 12𝑠𝑠3 − 64𝑠𝑠2 − 128𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑑𝑑𝑠𝑠

= −4𝑠𝑠3 − 36𝑠𝑠2 − 128𝑠𝑠 − 128

−𝑠𝑠3 − 9𝑠𝑠2 − 32𝑠𝑠 − 32 𝑆𝑆1 =-1.58 𝑆𝑆2 =-3.71+2.55j 𝑆𝑆3 = −3.71 + 2.55𝑗𝑗

6) Corte (jw) 𝑠𝑠4 + 12𝑠𝑠3 + 64𝑠𝑠2 + 128𝑠𝑠 + 𝑓𝑓 = 0

(𝑗𝑗𝑑𝑑)4 + 12(𝑗𝑗𝑑𝑑)3 + 64(𝑗𝑗𝑑𝑑)2 + 128(𝑗𝑗𝑑𝑑) + 𝑓𝑓 = 0

𝑑𝑑4 − 12𝑗𝑗𝑑𝑑3 − 64𝑑𝑑2 + 128𝑗𝑗𝑑𝑑 + 𝑓𝑓 = 0 7) Real 𝑑𝑑4-64𝑑𝑑2 + 𝑓𝑓 = 0 K= 64𝑑𝑑2 − 𝑑𝑑4 K=568.88

imaginario −12𝑗𝑗𝑑𝑑3 + 128𝑗𝑗𝑑𝑑 = 0 12𝑑𝑑3 = 128𝑗𝑗𝑑𝑑

𝑑𝑑 = ±�12812

𝑑𝑑1 = 3.26𝑗𝑗 𝑑𝑑2 = −3.26𝑗𝑗


Trasar el lugar geometrico del siguente sistema

1) Polos y ceros

𝐺𝐺(𝑠𝑠)𝐻𝐻(𝑠𝑠) =𝑓𝑓(𝑠𝑠 + 1)

𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)(𝑠𝑠 + 3)

𝐴𝐴𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑠𝑠 zeros 𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)(𝑠𝑠 + 3) (𝑠𝑠 + 1) 𝑆𝑆1 =0 𝑆𝑆1 =-1 𝑆𝑆2 =-2 𝑆𝑆3 = −3 2) Numero de ramas


𝑁𝑁 = 3 − 0 𝑁𝑁 = 2 3) Ubicación de centroide


𝑁𝑁

𝛿𝛿0 =(0 − 2 − 3) − (−1)

2

𝛿𝛿0 = −2 4) Angulo de ramas

𝜎𝜎0 =180 (2(0) + 1)

2= 90°

𝜎𝜎1 =180 (2(1) + 1)

2= 270°

5) Punto de quiebre 𝐶𝐶(𝑠𝑠)𝑅𝑅(𝑠𝑠) = 1 +

𝑓𝑓(𝑠𝑠 + 1)𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)(𝑠𝑠 + 3)

= 0

𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)(𝑠𝑠 + 3) + 𝑓𝑓(𝑠𝑠 + 1)𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)(𝑠𝑠 + 3)

=

𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)(𝑠𝑠 + 3) + 𝑓𝑓(𝑠𝑠 + 1) = 0


𝑓𝑓 =𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)(𝑠𝑠 + 3)

(𝑠𝑠 + 1)

𝑓𝑓 = −𝑠𝑠3 − 5𝑠𝑠2 + 6𝑠𝑠

(𝑠𝑠 + 1)

𝑑𝑑𝑓𝑓𝑑𝑑𝑠𝑠

= −(𝑠𝑠 + 1)(𝑠𝑠3 − 5𝑠𝑠2 + 6𝑠𝑠)′ − (𝑠𝑠3 − 5𝑠𝑠2 + 6𝑠𝑠)(𝑠𝑠 + 1)′

(𝑠𝑠 + 1)2 = 0

𝑑𝑑𝑓𝑓𝑑𝑑𝑠𝑠

= (𝑠𝑠 + 1)(3𝑠𝑠2 + 10𝑠𝑠 + 6) − (𝑠𝑠3 − 5𝑠𝑠2 + 6𝑠𝑠) = 0

K’=𝑠𝑠3 + 4𝑠𝑠2 + 5𝑠𝑠 + 3 = 0 𝑆𝑆1 =-2.46 𝑆𝑆2 =-0.76+0.79j 𝑆𝑆3 = −0.76 − 0.79j

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