Apuntes Control Automatico UdeC

8/3/2019 Apuntes Control Automatico UdeC

1/149

Universidad de ConcepcinFacultad de IngenieraDepto. de Ingeniera Elctrica

Apuntes

Control Automtico - 543 444

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

100

200

300

400

d(kT)

(t), (kT)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

v(kT), va(t)

ia(t)tl(t)

6ta edicin

Prof. Jos R. Espinoza C.

Mayo 2006


2/149

Apuntes: 543 444 ii

Copyright por Prof. Jos R. Espinoza C.

Tabla de contenidos

PRLOGO ................................................................................................................................................. IV

NOMENCLATURA ....................................................................................................................................... V

ABREVIACIONES ..................................................................................................................................... VIII

1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL..................................................................................11.1 Sistemas en Lazo Abierto (L.A.) y en Lazo Cerrado (L.C.). ...................................................11.2 Terminologa y Definiciones...................................................................................................41.3 Representacin Matemtica....................................................................................................51.4 Control en los diferentes Tipos de Sistemas. ..........................................................................71.5 Otras Estrategias de Control. ...............................................................................................10

1.6 Clasificacin de Sistemas de Control. ..................................................................................161.7 Alcances del Curso 543 444..................................................................................................191.8 Ejercicios Propuestos. ..........................................................................................................19

2 SISTEMAS HBRIDOS........................................................................................................................212.1 Introduccin. .........................................................................................................................212.2 Sistemas Equivalentes en z....................................................................................................222.3 Sistemas Equivalentes en kT. ................................................................................................252.4 Retardos Intrnsecos. ............................................................................................................302.5 Polos de un Sistema Discreto Equivalente............................................................................302.6 Mapeo de Polos de Sistemas de 1ery 2do Orden. ..................................................................33

2.7 Seleccin del Tiempo de Muestreo........................................................................................352.8 Ejercicios Propuestos. ..........................................................................................................36

3 ESTADO ESTACIONARIO EN SISTEMAS REALIMENTADOS.................................................................393.1 Introduccin. .........................................................................................................................393.2 Efectos de la Realimentacin................................................................................................413.3 Estabilizacin utilizando Realimentacin.............................................................................483.4 Errores en Estado Estacionario............................................................................................493.5 Controladores para Premisas de Error Estacionario. .........................................................543.6 Ejercicios Propuestos. ..........................................................................................................55

4 RGIMEN TRANSIENTE EN SISTEMAS REALIMENTADOS...................................................................584.1 Comportamiento Transitorio de Sistemas de Primer Orden. ...............................................584.2 Comportamiento Transitorio de Sistemas de Segundo Orden..............................................624.3 Especificaciones en el Dominio de la Frecuencia. ...............................................................654.4 Polos Dominantes y Reduccin de Orden.............................................................................674.5 Sistemas con Retardo. ...........................................................................................................714.6 Ejercicios Propuestos. ..........................................................................................................75

5 LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES. .............................................................................................785.1 Introduccin. .........................................................................................................................785.2 El Mtodo del L.G.R. ............................................................................................................815.3 Reglas Adicionales para la Construccin del L.G.R. ...........................................................83

5.4 Anlisis de Sistemas y Ejemplos de Sintonizacin................................................................89


3/149

Apuntes: 543 444 iii


5.5 Ejercicios Propuestos. ..........................................................................................................97

6 CRITERIO DE NYQUIST...................................................................................................................1016.1 Introduccin. .......................................................................................................................1016.2 Teorema de Cauchy. ...........................................................................................................1036.3 Criterio de Nyquist para Sistemas Continuos.....................................................................1066.4 Criterio de Nyquist para Sistemas Discretos......................................................................1106.5 Estabilidad Relativa............................................................................................................1136.6 Ejercicios Propuestos. ........................................................................................................116

7 DISEO Y COMPENSACIN DE SISTEMAS DE CONTROL..................................................................1197.1 Introduccin. .......................................................................................................................1197.2 Compensacin en Adelanto para Sistemas Continuos........................................................1207.3 Compensacin en Atraso para Sistemas Continuos. ..........................................................1247.4 Compensacin con Redes de Primer Orden Discretas.......................................................128

7.5 Compensacin Adelanto-Atraso. ........................................................................................1297.6 Compensador P.I.D. Anlogo. ............................................................................................1317.7 Compensador P.I.D. Discreto.............................................................................................1347.8 Ejercicios Propuestos. ........................................................................................................136

BIBLIOGRAFA .........................................................................................................................................139

NDICE ALFABTICO................................................................................................................................140


4/149

Apuntes: 543 444 iv


Prlogo.

El curso "Control Automtico"es obligatorio para alumnos de pre-grado de las carreras de IngenieraCivil Elctrica y Electrnica de la Universidad de Concepcin y pertenece al plan de asignaturasorientadas al rea de Control Automtico del Departamento de Ingeniera Elctrica. En ste seentregan herramientas para el tratamiento de sistemas lineales continuos y discretos, dinmicos einvariantes en el tiempo tipo SISO (una entrada una salida), transformndose en una aplicacinnatural de los temas y herramientas revisadas en el curso Sistemas Lineales Dinmicos.

Los tpicos aqu revisados permiten analizar sistemas lineales, con nfasis en estructurasrealimentadas. En particular, se abordan temas como el anlisis en estado estacionario y dinmico desistemas que se caracterizan por tener una entrada y una salida, tambin se introducen herramientascomo son elLugar Geomtrico de las Races, y el Criterio de Nyquist. Finalmente, se revisa el diseode controladores utilizando las herramientas anteriores. Los temas son ilustrados con aplicaciones asistemas continuos, discretos e hbridos (plantas continuas controladas por sistemas digitales).

El lector debe tener dominio de los temas entregados en el curso de Sistemas Lineales Dinmicos paraavanzar fluidamente en las materias de este texto. En particular, el uso de transformaciones como loson la Transformada Z y la de Laplace y todas sus propiedades. Adems, un holgado manejo deprogramas de simulacin es definitivamente necesario para seguir los ejemplos y desarrollar losejercicos propuestos en el texto. Se recomienda, MatLabTM y/o MathCad TM.

El documento fue digitado enteramente en Word for Windows de MicroSoftTM y los ejemplos fuerondesarrollados en MatLabTM y/o MathCad TM. Se desea agradecer sinceramente a los alumnos quecursaron la asignatura en aos anteriores por su comprensin y cooperacin en corregir las versionespreliminares de estos apuntes. Se agradece tambin al apoyo recibido del Proyecto de Docencia 04-074 de la Universidad de Concepcin para la confeccin de esta ltima edicin del material.

En honor a la gratuidad y fcil acceso a este material, espero recibir correcciones, comentarios, y loms importante, ejemplos de sistemas fsicos abordables por los temas aqu expuestos. Los aportes sepueden enviar a cualesquiera de las direcciones indicadas ms abajo.

Dr. Jos R. Espinoza C.

Profesor TitularDepto. de Ingeniera Elctrica, of. 220Facultad de IngenieraUniversidad de ConcepcinCasilla 160-C, Correo 3Concepcin, CHILE

Tel: +56 (41) 2203512Fax: +56 (41) 2246999e-mail: [email protected]: http://www2.udec.cl/jose.espinoza


5/149

Apuntes: 543 444 v


Nomenclatura

Matrices

A : matriz de parmetros de dimensin nn.B : matriz de parmetros de dimensin np.C : matriz de parmetros de dimensin qn.D : matriz de parmetros de dimensin qp.E : matriz de parmetros de dimensin nm.F : matriz de parmetros de dimensin qm.T : matriz de transformacin de dimensin de nn.AT : matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin nn. AT = TAT

-1BT : matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin np. BT = TBCT : matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin qn. CT = CT

-1

DT : matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin qp. DT = DET : matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin nm. ET = TEFT : matriz de parmetros transformada mediante T de dimensin qm. FT = FTabc-0 : matriz de transformacin de ejes abc a 0, dimensin 33.T0-abc : matriz de transformacin de ejes 0 a abc, dimensin 33.T0-dq0 : matriz de transformacin de ejes 0 a dq0, dimensin 33.Tdq0-0 : matriz de transformacin de ejes dq0 a 0, dimensin 33.Tabc-dq0 : matriz de transformacin de ejes abc a dq0, dimensin 33.Tdq0-abc : matriz de transformacin de ejes dq0 a abc, dimensin 33.H(s) : matriz de transferencia. H(s) = C(sI - A)-1B + D.

)( sH : matriz de transferencia inversa. )( sH = H-1(s).

H(s)H : matriz conjugada transpuesta de H(s). H(s)H= (H(s)*)T.C : matriz de controlabilidad.O : matriz de observabilidad.L(s) : matriz de transferencia en L.D.(t) : matriz de transicin.Adj{P} : matriz adjunta de la matriz P.diag{x1,} : matriz diagonal compuesta por los valoresx1,x2, .e{X} : matriz parte real de la matriz X.m{X} : matriz parte imaginaria de la matriz X.

Vectores

x : vector de n variables de estados, x = [x1 x2 xn]T

u : vector dep variables de entrada, u = [u1 u2 up]T

y : vector de q variables de salida, y = [y1 y2 yq]T

p : vector de m perturbaciones, p = [p1 p2 pm]T

x : vector de n variables de estados, x = [ 1x 2x nx ]T(estimacin de x).

y : vector de q variables de estados, y = [ 1y 2y qy ]T(estimacin de y).

x~ : vector de n variables de estados, x~ = [ 1~x 2~x nx~ ]T(error de estimacin de x~ = x - x ).

xabc : vector de tres variables de estados, xabc = [xa xb xc]T(ejes estacionarios abc).x0 : vector de tres variables de estados, x0 = [x x x0]T(ejes estacionarios 0).xdq0 : vector de tres variables de estados, xdq0 = [xdxq x0]T(ejes rotatorios dq0).


6/149

Apuntes: 543 444 vi


x0 : condicin inicial del vector de estados, x0 = [x10 x20 xn0]T

xo : vector de estados en el punto de operacin, xo = [x1o x2o xno]T

uo : vector de entradas en el punto de operacin, uo = [u1o u2o upo]T

yo : vector de salidas en el punto de operacin, yo = [y1o y2o yqo]T

yd : vector deseado (referencia) de q variables de salida, yd = [y1d y2d yqd]Tpo : vector de perturbaciones en el punto de operacin, po = [p1o p2o pqo]

Tx : variacin del vector de estados x en torno a xo, x = [x1x2 xn]Tu : variacin del vector de entradas u en torno a uo, u = [u1u2 up]Ty : variacin del vector de salidas y en torno a yo, y = [y1y2 yq]Tp : variacin del vector de perturbaciones p en torno a po, p = [p1p2 pm]Tx(s) : Laplace de x, x(s) = [x1(s) x2(s) xn(s)]

Tu(s) : Laplace de u, u(s) = [u1(s) u2(s) up(s)]

Ty(s) : Laplace de y, y(s) = [y1(s) y2(s) yp(s)]

Tp(s) : Laplace de p, p(s) = [p1(s) p2(s) pm(s)]

T

vk : k-simo vector propio de A.wk : k-simo vector propio de AT.

vk* : conjugado del k-simo vector propio de A.

xec : vector de estados para entrada cero.xci : vector de estados para c.i. nulas.yec : vector de salidas para entrada cero.yci : vector de salidas para c.i. nulas.ck : k-sima fila de la matriz C.bk : k-sima columna de la matriz B.V(x) : gradiente de la funcin V(x). V(x) = V(x)/x.

Escalares

xk : k-sima variable de estado.dxk/dt = kx : derivada de la k-sima variable de estado.ak : k-simo coeficiente del polinomio caracterstico de A.k : k-simo valor propio de A.k* : conjugado del k-simo valor propio de A.ij : ganancia relativa entre la entrada i-sima y la salidaj-sima.l(s) : funcin de transferencia en L.D.dij : elemento ij de la matriz D.hij(s) : elemento ij de la matriz H(s).

)( shij : elemento ij de la matriz )( sH = H-1(s).

rango{P(s)} : rango de la matriz P(s).det{P(s)} : determinante de la matriz P(s).arg{x} : ngulo del nmero complejox.tr{P(s)} : traza de la matriz P(s).maxij{wij}l : mximo elemento de la matriz Wl.max{} : mximo valor.min{} : mnimo valor.log{} : logaritmo en base 10.u(t) : entrada escaln.r(t) : entrada rampa.

|| e || : norma del elemento e.


7/149

Apuntes: 543 444 vii


l(A) : l-simo valor singular de A. (A) : mximo valor singular de A. (A) : mnimo valor singular de A.

(A) : radio espectral de A.(A) : nmero de condicin de A.V(x) : funcin de Lyapunov. : vecindad en el espacio de estados de x.G : conjunto invariante.R : conjunto invariante subconjunto de G.ess : vector de error en estado estacionario. : banda de asentamiento.ts : tiempo de asentamiento.V : valor medio (RMS) de la seal continua (alterna) v(t).f(t) : funcin en el tiempo continuo.

f(k) : funcin en el tiempo discreto (tambin escritaf(kT), con Tel tiempo de muestreo).f(s) : funcin en el plano de Laplace.f() : funcin en frecuencia continua de tiempo continuo.f() : funcin en frecuencia continua de tiempo discreta.f(n) : funcin en frecuencia discreta de tiempo continuo.f(m) : funcin en frecuencia discreta de tiempo discreta.


8/149

Apuntes: 543 444 viii


Abreviaciones.

Maysculas

L.A. : lazo abierto.L.C. : lazo cerrado.L.D. : lazo directo.L.I.T. : lineal invariante en el tiempo.S.P.I. : semi-plano izquierdo.S.P.D. : semi-plano derecho.F. de T. : funcin de transferencia.F.D. : funcin descriptora.M. de T. : matriz de transferencia.B.W. : ancho de banda.

E.S. : entrada/salida.S.S. : estado estacionario.SISO : sistema de una entrada y una salida (single input single output).MIMO : sistema de varias entradas y varias salidas (multiple inputs multiple outputs).L.G.R. : lugar geomtrico de las races.P.I.D. : controlador proporcional integral derivativo.S.P. : sobrepaso.M.G. : margen de ganancia.M.F. : margen de fase.FCD : forma cannica diagonal.FCC : forma cannica controlable.

FCO : forma cannica observable.FCJ : forma cannica de Jordan.T.L. : Transformada de Laplace.T.F. : Transformada de Fourier.T.F.F.D. : Transformada de Fourier de Frecuencia Discreta.T.Z. : Transformada Z.T.F.T.D. : Transformada de Fourier de Tiempo Discreta.T.F.D. : Transformada de Fourier Discreta.D. de B. : Diagrama de Bode

Minsculas

c.i. : condiciones iniciales.l.i. : linealmente independiente.l.d. : linealmente dependiente.c.c. : corriente continua (en Ingls es d.c.).c.a. : corriente alterna (en Ingls es a.c.).a.c.a. : abscisa de convergencia absoluta.


9/149

Apuntes: 543 444 1


1 Introduccin a los Sistemas de Control.

En este c ap tulo se introd uce el conc ep to d e c ontrol como una nec esidad

fundamental para lograr objetivos especficos en los sistemas fsicos.

Especial nfasis se da a las estructuras realimentadas y pre-alimentadas y

se muestra que la mayora de las realidades han funcionado desde

siempre como estructuras realimentadas. Producto de la aparicin de los

sistemas digitales como alternativa de implementacin de tareas de

control, se introducen los sistemas hbridos que combinan la tecnologa

tiempo continuo y tiempo discreto. Para tener un vocabulario uniforme, se

revisa la terminologa inherente a sistemas de control. Finalmente, se

indican los alcances del curso en el contexto ms general de los sistemas

de control.

1.1 Sistemas en Lazo Abierto (L.A.) y en Lazo Cerrado (L.C.).

A continuacin se revisa mediante ejemplos el uso de estrategias de control como forma inherente defuncionamiento. Adems, se muestra que el ser humano ha incluido el control para conseguir objetivosespecficos desde siempre en las variadas realidades fsicas.

A . Automvil.

Sea el caso del automvil que enfrenta una pendiente positiva y que el conductor mantiene la posicindel acelerador en un ngulop constante, Fig. 1.1. La pendiente luego desaparece por lo que el vehculoeventualmente llega a su velocidad inicial, que se supone en 120 km/hr. Las cantidades involucradasson:

v

t

120

infraccin !

v [km/hr]

20

Fig. 1.1 El automvil y su perfil de velocidad con el pedal de aceleracin en una posicin fija.


10/149

Apuntes: 543 444 2


- posicin del acelerador (p),- velocidad del automvil (v),- pendiente del camino (),- peso del vehculo (m),- ancho de los neumticos (w),- velocidad del viento en contra (vv),- cc del vehculo (cc),- tipo de bencina (tv),

Las cantidades involucradas se pueden clasificar de lasiguiente manera:

- v: cantidad a controlar,- p: cantidad a manipular,- , m vv: perturbaciones (que modifican v pero

que no son manipulables),- w, cc, tv: parmetros (que definen el sistema),

las cuales se pueden representar como se ilustra en laFig. 1.2 y que corresponde a un Sistema en LazoAbierto (L.A.). Para mantener la velocidad fija, elconductor observa el odmetro y cambia la posicindel pedal, Fig. 1.3, de manera de lograr una velocidaddada que se conocer como la referencia, vd (tambinconocida como consigna o valor deseado). Este es el objetivo bsico que se supone se tiene al conduciren la carretera. Esta estructura que se fundamenta en la correccin de la cantidad manipulada deacuerdo a la desviacin entre la cantidad deseada y la controlada se conoce como Sistema en LazoCerrado (L.C.). El diagrama de bloques resultante se puede considerar como el ilustrado en la Fig. 1.4.En ste, el conductor puede ser representado por un cerebro que reacciona a la diferencia entre lavelocidad deseada y la que se tiene, y por un sistema que transforma la salida del cerebro en un ngulodel pedal del acelerador. Un anlisis primario indicara que el cerebro reacciona a la diferencia, laderivada y la integral de la diferencia entre la velocidad deseada y la que se tiene. Es decir,

( )( ) ( )d p d d i d

d v vu k v v k k v v dt

dt

= + + .

m vv

p vautomvilw, cc,tv, ...

Fig. 1.2 Diagrama en bloques del ejemplo delautomvil.

vd

odmetro

m vv

p vautomvil

w, cc,tv, ...

Fig. 1.3 El conductor actualiza la variable manipuladade acuerdo a la variable a controlar.

v

Automvilpierna

Sensor develocidad

Transmisorde seal

cerebrovd

+

conductor

-

u

m vv

Fig. 1.4 Esquema realimentado para el sistema conductor-automvil.


11/149

Apuntes: 543 444 3


Este resultado es muy auspicioso puesto que permitira reemplazar al cerebro del conductor por unelemento que tenga una relacin entrada/salida equivalente. Este podra ser el caso de un circuitoelectrnico, en donde adems, la pierna del conductor tambin es reemplazable por un sistemamecnico equivalente. Esta solucin existe hace algn tiempo y es conocida como control crucero.Una pregunta que podra plantearse es: se puede extender esta estructura de control a otros sistemas ?.

B . Estanque Simplificado.

Se asume que el flujo de salida no depende de la altura del contenido del estanque, Fig. 1.5, y que estdado por lo que ocurre con el consumo aguas abajo de ste. Por lo tanto, se reconocen las siguientescantidades involucradas:

- cantidad a controlar: altura (h),- cantidad a manipular: flujo de entrada (fe),- cantidad perturbadora: flujo de salida (fs), y

- parmetros: rea del estanque (A) y dimetro de caera ().En este caso se desea que el estanque opere con un nivel de agua h constante e igual a una referenciahd. Para esto se utiliza un esquema similar al que utiliza el conductor de un automvil; es decir, unsensor de altura, un transmisor de altura, una vlvula y un controlador de altura como se ilustra en laFig. 1.5. Las preguntas que surgen, entre otras, son: cmo disear el controlador de altura de maneraque ste cumpla con ciertas premisas ?, sera posible disear esta parte del esquema de manera que laaltura h sea siempre igual a hd ?, es siempre conveniente este ltimo objetivo ?, cmo abordar elproblema matemticamente ?.Una herramienta disponible de anlisis es la Transformada de Laplace, que si bien es utilizable enS.L.I., se constituye en la herramienta ms poderosa de anlisis y diseo en este curso. As, si se

requiere que la altura h sea siempre igual a hd, entonces el objetivo se puede escribir como,1

)(

)(=

sh

sh

d

.

En este curso, disear el controlador consistir en encontrar la F. de T. que mejor cumpla con losobjetivos propuestos en una estructura ms general como la ilustrada en la Fig. 1.6. Una etapa posteriordebiera considerar la implementacin prctica de ste, la cual puede ser por ejemplo electrnica (uncircuito analgico, un sistema digital, etc.) en combinacin con una neumtica (vlvula).

fe

h

y

l

fs xl

controlador

de altura

SH TH

hd

u

s

e hEstnqueVlvula

SensorTransmisor

Controladorde altura

hd u

(a) (b)

Fig. 1.5 Estanque con control de altura; (a) diagrama de operacin, (b) esquema de control.


12/149

Apuntes: 543 444 4


1.2 Terminologa y Definiciones.

Def.: La variable controlada es la cantidad que se mide y se controla. (h)

Def.: La variable manipulada es la cantidad modificada a fin de afectar la variable controlada. (fe)

Def.: Las perturbaciones son cantidades que afectan adversamente la variable controlada, y que nopueden ser manipuladas directamente. (fs)

Def.: Control significa medir el valor de la variable controlada y aplicar la variable manipulada tal quese corrige o limita la variable de salida a un valor deseado.

Def.: La variable de salida es la o las variables controladas o funcin de ellas que se desea limitardentro de mrgenes pre-establecidos durante rgimen transiente y/o estacionario. (h)

Def.: Un sistema es una combinacin de componentes que actan conjuntamente y cumplen con unobjetivo determinado. Los hay fsicos, biolgicos, econmicos, etc. y combinacin de ellos.(estanque)

Def.: Proceso es una operacin natural o artificial caracterizado por una serie de cambios graduales,progresivamente continuos que consisten en una serie de acciones controladas o movimientosdirigidos sistemticamente hacia determinado resultado o fin. (produccin de papel)

Def.: Una planta es un equipo cuyo objetivo es realizar una operacin determinada. (estanque, poleas)

Def.: Un sistema de control realimentado es aquel que tiende a mantener una relacin pre-establecidaentre la salida y la referencia, comparndolas y utilizando la diferencia como medio de control.(tambin conocido como sistema de control en L.C.)

p

u yProcesoActuador

SensorTransmisor

Controladore v

ys

+

-

yd

Fig. 1.6 Esquema general de control con realimentacin.


13/149

Apuntes: 543 444 5


Def.: Un sistema de control en lazo abierto (L.A.) es aquel en que la salida no tiene efecto sobre laaccin de control.

De acuerdo a las definiciones anteriores se tiene que la estructura general de control realimentado estdada por la Fig. 1.6. Ntese que el actuador, sensor y transmisor no son diseables a voluntad, puestoque stos estn disponibles en el mercado, y por lo tanto su relacin entrada/salida debe ser consideradapre-establecida. Ser menester de este curso proponer y disear solamente la estrategia de control y elcontrolador.

1.3 Representacin Matemtica.

Como revisado en cursos anteriores, los sistemas lineales permiten dos formas de abordar surepresentacin. La primera es a travs de variables de estado y la segunda es a travs de la Funcin deTransferencia, las cuales estn relacionadas al considerar las relaciones de entrada y de salida.

A . Representacin en Variables de Estado.

Se considera a x(t) = [x1(t) ...xn(t)]Tel vector de variables de estado, u(t) la entrada,y(t) la salida,p(t) la

perturbacin, entonces,

( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )t t u t p t y t t fp t = + + = +x Ax b e cx ,

ntese que se ha considerado d= 0, como es en la mayora de los casos. Por otro lado, se considera alactuador como una ganancia ka y la combinacin sensor/transmisor tambin como una ganancia kst.Finalmente, si se asume que el controlador tiene por variables de estado al vector (t) y que reaccionaal error e(t) =yd(t) -ys(t), entonces, su entrada es e(t), la salida es v(t) y la relacin entre estascantidades es,

( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )ct t e t v t t d e t = + = +c c c A b c ,

donde Ac, bc, cc, y dc son matrices de parmetros con dimensiones apropiadas. Combinando se puedeescribir,

( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ( )), ( ) ( ) ( ( ) ( ))

a

d s c d s

t t k v t p t y t t fp t

t t y t y t v t t d y t y t

= + + = +

= + = + c c c

x Ax b e cx

A b c

,

dado queys(t) = ksty(t), entonces,

( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ( ))) ( ), ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ( )),

a c d st

d st

t t k t d y t k y t p t y t t fp t

t t y t k y t

= + + + = +

= +

c

c c

x Ax b c e cx

A b

,

lo que se reduce a,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

a c st a a c d a c st

st d st

t k d k t k t k d y t k d k f p t y t t fp t

t k t t y t k fp t

= + + + = +

= + + c

c c c c

x A b c x b c b e b cx

b cx A b b

,

o escrito en forma matricial.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )a c st a a c a c st

d

st st

k d k k k d k d k f t t y t p t

k k ft t

= + +

c

c c c c

A b c b c b e bx x

b c A b b

,


14/149

Apuntes: 543 444 6


( )( ) [ ] ( )

( )

t y t fp t

t

= +

xc 0

.

Esta representacin implica un nuevo vector de estados dado por [x(t)T(t)T]T y entradas yd(t) y p(t),quedando claro que se desea ay(t) yd(t) cuando t.

B . Representacin con Funciones de Transferencia.

La F. de T. que relaciona la saliday(s) con la entrada u(s) est dada por,1( ) ( ) ( ) ( ) ( )yuy s s u s h s u s

= =c I A b ,

similarmente, la F. de T. que relaciona la saliday(s) con la perturbacinp(s) est dada por,1( ) { ( ) } ( ) ( ) ( )ypy s s f p s h s p s

= + =c I A e ,

por lo que se puede escribir,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yu yps h s u s h s p s= + .

Por otro lado, se considera al actuador con una F. de T. dada por u(s) = ha(s)v(s), y la combinacinsensor/transmisor con una F. de T. dada por ys(s) = hst(s)y(s). Finalmente, si se asume que elcontrolador tiene por entrada a e(s) =yd(s) -ys(s) y una F. de T. dada por v(s) = hc(s)e(s), la relacinentre estas cantidades es,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ( ) ( )) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( )) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

yu a yp

yu a c yp

yu a c d s yp

yu a c d st yp

yu a c d yu a c st

y s h s h s v s h s p s

h s h s h s e s h s p s

h s h s h s y s y s h s p s

h s h s h s y s h s y s h s p s

h s h s h s y s h s h s h s h s y s

= +

= +

= +

= += + ( ) ( )yph s p s

,

por lo que finalmente se puede escribir que,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) yu a c yp

d

yu a c st yu a c st

h s h s h s h s y s y s p s

h s h s h s h s h s h s h s h s= +

+ +.

De acuerdo a los resultados inmediatamente anteriores, se puede concluir que,1

( ) ( ) ( )[ ]

1 ( ) ( ) ( ) ( )

yu a c a c st a a c

st yu a c st

h s h s h s k d k k k d s

kh s h s h s h s

= +

c

c c c

A b c b c bc 0 I

b c A b,

1( )

[ ]1 ( ) ( ) ( ) ( )

yp a c st a a c st

st st yu a c st

h s k d k k k d k f s f

k k fh s h s h s h s

= + +

c

c c c

A b c b c e bc 0 I

b c A b,

considerando las restricciones indicadas para el actuador y sensor/transmisor. Se recuerda que en estecurso se tratarn sistemas con una entrada y una salida, por lo que yd(t), y(t), u(t), e(t) y v(t) son enrealidad escalares. Consecuentemente, b y bc son vectores, c y cc son filas, y dc es un escalar. Paraefectos de simplicidad, tambin se considerar slo una perturbacin, por lo que p(t) es un escalar y portanto e es un vector y fun escalar. Es importante destacar que los polos del sistema en la estructuraresultante estn dados por las races del polinomio caracterstico 1+hyu(s)ha(s)hc(s)hst(s). Por lo tanto, el

factor hc(s) a proponer definir la dinmica y ciertamente la estabilidad del sistema resultante.


15/149

Apuntes: 543 444 7


1.4 Control en los diferentes Tipos de Sistemas.

A continuacin se ilustran algunos ejemplos, en donde se muestra que las realidades fsicas que tienenla necesidad de control tienen distintos grados de complejidad. Esto se debe en parte a las mltiplesentradas, mltiples salidas, no-linealidades, variables que no se pueden medir, perturbaciones,cantidades discretas, etc. que se pueden encontrar en los sistemas reales.

A . Sistema Multi-Variable.

Si bien en esta asignatura se estudiarn sistemas con una entrada y un salida (sistemas SISO), eningeniera abundan los sistemas en donde se tienen varias entradas y varias salidas (sistemas MIMO).Estos sistemas quedan mejor representados por las ecuaciones,

x = Ax + Bu + Ep, y = Cx + Du + Fp,

donde u e y (y eventualmente p si hay ms de una perturbacin) tendrn dimensiones mayores a 1. Larepresentacin de estos sistemas en el plano de Laplace toma la forma de Matriz de Transferencia, temareservado para cursos superiores. Un caso tpico en ingeniera elctrica se muestra en el Ejemplo 1.1,en donde dos motores elctricos mueven un molino. Las entradas son los dos voltajes de armmadura ylas salidas son la velocidad del tambor y la otra es generalmente la reparticin de carga entre losmotores. Sistemas de dos entradas y dos salidas, como el ejemplo anterior, se conocen tambin comosistemas TITO (two inputs two outputs).

Ejemplo 1.1. Es de inters el caso ilustrado en la Fig. 1.7 en donde se desea que el tambor mayor gire a una velocidaddada y que la reparticin de carga entre los motores sea equitativa; es decir, que ambos consuman igual potencia. Loanterior independiente del torque de carga que es variable dentro de un rango (perturbacin). En este sistema se considerancomo variables de estado a x = [x1x2x3x4x5x6 x7]

T = [ia1ia2om1m2tm1tm2]T, a las entradas u = [u1u2]T = [va1va2]T, laperturbacinp = to y a las salidas o y a ia1 - ia2, puesto que si esta ltima diferencia es cero, entonces se asegura una

reparticin de carga simtrica. Claramente, el sistema tiene dos entradas y dos salidas y por lo tanto, concebir algunaestrategia que permita controlar ambas salidas simultneamente se torna compleja. Basta pensar en lo complicado que serapara un ser humano el manipular ambas tensiones continuas para regular la velocidad y la reparticin de carga ante cambiosde torque de carga. Esto queda de manifiesto por lo complicado de las ecuaciones dinmicas de este sistema dadas por laforma general, x = Ax + Bu + ep, y = Cx, donde las matrices y vectores estn dados por,

+ va1 -

ia1 1, 1,J1, T1

o, o,

Jo, ton : 11/k1

+ va2 -

ia2 2, 2,J2, T2

n : 1

1/k2

Fig. 1.7 Control de velocidad y reparticin de carga.


16/149

Apuntes: 543 444 8


1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1

2 2 2

1 1

2 2

/ 0 0 / 0 0 0

0 / 0 0 / 0 0

0 0 0 0 0 / /

/ 0 0 0 0 1/ 00 / 0 0 0 0 1/

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

a a m a

a a m a

o o

m m m

m m m

R L k L

R L k L

n J n J

k J Jk J J

nk k

nk k

=

A ,

1

2

1/ 0

0 1/

0 0

0 00 0

0 0

0 0

a

a

L

L

=

B ,

0

0

1/

00

0

0

o

=

e , y

0 0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0

=

C .

B . Sistema No-Lineal.

La naturaleza rara vez es lineal, sin embargo, la mayora de los sistemas en ingeniera admitenlinealizacin. En general, si consideramos un sistema no-lineal MIMO como,

),,(),,,( puxhypuxfx == ,

o en sus componentes,

=

=

),,(

),,(

,

),,(

),,(

1111

pux

pux

pux

pux

qqnn h

h

y

y

f

f

x

x

,

una representacin lineal en torno a un punto de operacin dado por uo, xo, po, yo es,

, = + + = + + x A x B u E p y C x D u F p ,

donde,

o

o

o

ppuuxxx

puxfA

===

= ),,( ,

o

o

o

ppuuxxu

puxfB

===

= ),,( , ( , , ) ===

= o

o

o

x x

u up p

f x u pCx

,

o

o

o

ppuuxxu

puxhD

===

= ),,( ,

o

o

o

ppuuxxp

puxfE

===

=

),,(,

o

o

o

ppuuxxp

puxhF

===

=

),,(; y x, u, p, y y, son variaciones de x, u, p e y,

respectivamente, en torno al punto de operacin dado por uo, xo, po, yo. Es decir, x = xo + x, u = uo +u, p = po + p, e y = yo + y. Ntese que en el caso no-lineal uo, xo, y po satisfacen,0 = f(xo, uo, po).

Este el caso de un circuito conmutado como el ilustrado en el Ejemplo 1.2.

Ejemplo 1.2. Modelar el circuito reductor/elevador ilustrado en la Fig. 1.8(a),R = 10 ,L = 12 mH, C= 250 F, do = 0.5,

eo = 10. R.: Se cumple que para el switch ON, Sw = 1, Fig. 1.8(b), 0dv v

Cdt R

= + ydi

e Ldt

= y que para el switch OFF, Fig.

1.8(c), Sw = 0,dv v

i Cdt R

= + y 0di

L vdt

= + . Lo que se puede escribir como, (1 )dv v

i Sw C dt R

= + y (1 )di

eSw L v Swdt

= + .

La razn entre el tiempo encendido y el tiempo de encendido ms apagado es d(t), en la prctica, para la operacin delcircuito se compara una seal continua d(t) con una portadoras(t) (por ejemplo, triangular o diente de sierra, Fig. 1.8(d), (e))y para d(t) >s(t), Sw(t) = 1 (switch ON) y para d(t) < s(t), Sw(t) = 0 (switch OFF). El modelo anterior se puede aproximar

por su modelo promedio reemplazando Sw(t) por d(t). As el modelo es, (1 )dv v i

ddt RC C

= + y (1 )di v e

d ddt L L

= + .


17/149

Apuntes: 543 444 9


Estas ecuaciones son no lineales por cuanto la entrada d(t) multiplica a las variables de estado v e i y a la perturbacin e(t).Dado que la entrada d(t) es constante en S.S. a diferencia de la entrada Sw(t) se puede encontrar la relacin de lasvariables en S.S. la que es, (1 )o o ov Ri d = y (1 )o o o ov d e d = . Claramente, la tensin de salida est dada por,

1

o

o oo

d

v ed= , lo que implica que vo 0 para do 0, que vo = eo para do = 0.5 y que vo para do 1. Lo que le vale elnombre de circuito reductor/elevador de tensin.

Al ser linealizado resulta en,11 o od id v v i d

dt RC C C

= + y

1o o o

o

d v dd iv d e

dt L d L L

= + + . Normalmente, las

ecuaciones son normalizadas entre 0 y el valor de la variable en S.S.. As se definen las variables normalizadas,n

o

vv

v

= ,

n

o

ii

i

= , y n

o

dd

d

= , lo que resulta en un modelo promedio lineal normalizado

1 1 1

1n o

n n n

o

d v dv i d

dt RC RC RC d

= +

,

2 2(1 ) (1 ) (1 )n o o on n n

d i R d R d R d v d e

dt L L L

= + + . El modelo anterior

se puede escribir matricialmente con2

1 1

(1 )0o

RC RC

R d

L

=

A ,1

1

(1 )

o

o

o

d RC d

R d

L

=

b , 20

(1 )o

R d

L

=

e , y c = [1 0]. Formas

de onda simuladas se muestran en la Fig. 1.8(f), (g), y (h). No hay dudas de que el modelo lineal se equivoca tanto para

+

-

Le(t)

i(t)C

-

+

v(t)R

Sw(t)

a)

diente de sierra d(t) d)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

1

+

-

Le(t)

i(t)C

-

+

v(t)R

Sw(t)

b)

Sw(t) e)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

1

+

-

Le(t)

i(t)C

-

+

v(t)R

Sw(t)

c)v(t)

10 i(t)

f)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1010

20

30

40

v(t) realg)

romedio

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

10

20

lineal

i(t) real h)

romedio

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.102

0

2

4

6

lineal

Fig. 1.8 Convertidor dc/dc reductor/elevador de tensin; a) circuito, b) equivalente, Sw = 1 (ON), c) equivalente, Sw = 0 (OFF),d) generacin de Sw, e) seal Sw, f) simulacin modelo real (con switch), g) comparacin de voltajes, h) comparacin de

corrientes.


18/149

Apuntes: 543 444 10


rgimen transiente como para estacionario. No hay opcin de obtener mejores resultados, excepto que las entradas y lasperturbaciones sean slo pequeas desviaciones.

C . Sistemas Discretos.

En este caso se considera que la planta es discreta y por tanto el modelo ms apropiado para sta es,

( ) ( ) ( ) ( )kT T kT kT kT + = + +x Ax Bu Ep , ( ) ( ) ( ) ( )kT kT kT kT = + +y Cx Du Fp .

Este es el caso de muchos de los problemas encontrados en economa (depsitos a plazo) y estudios depoblacin (Ejemplo 1.3), en donde los datos estn disponibles o se necesitan a instantes dados (das,semanas, meses, etc.). Estos no son el tipo de sistemas a estudiar en este curso. Sin embargo, sedemostrar que los sistemas encontrados en ingeniera y que se controlen mediante un sistema digital,quedarn mejor representados por un equivalente discreto. Por lo tanto, gran parte de este materialestar dedicado a sistemas discretos.

Ejemplo 1.3. El ingreso nacional de un pasy(kT) en el ao kTse puede escribir en trminos del gasto de los consumidoresc(kT), inversiones privadas i(kT) y el gasto del gobiernog(kT) de acuerdo a, ( ) ( ) ( ) ( )y kT c kT i kT g k = + + . Estas cantidadesestn relacionadas de acuerdo a las siguientes suposiciones. Primero, el gasto del consumidor en el ao (k +1)T esproporcional al ingreso nacional en el ao kT; es decir, c(kT+1) = y(kT). Segundo, la inversin privada en el ao (k+1)Tesproporcional al incremento del gasto de los consumidores del ao kTal ao (kT+T); es decir, i(kT+T) = {c(kT+T) - c(kT)}.Tpicamente, 0 < < 1, > 0. De las suposiciones anteriores se puede escribir, ( ) ( ) ( ) ( )c kT T c kT i kT g k + = + + ,( ) ( ) ( ) ( ) ( )i kT T c kT i kT g k + = + + , definiendo a las variables de estado a x(kT) = [x1(kT) x2(kT)]T = [c(kT)

i(kT)]T, a la entrada u(kT) = g(kT), y a la salida y(kT) = y(kT), se obtiene la representacin final dada por,

( ) ( ) ( )( 1)

kT T kT u kT

+ = + x x , ( ) [1 1] ( ) ( ) y kT kT u kT = +x . El resultado de la modelacin es un sistema

discreto de segundo orden. Es de esperarse que el controlador en este caso genere seales discretas,u(kT), de manera que lasalida ,y(kT), sea igual a una referencia dada,yd(kT).

1.5 Otras Estrategias de Control.

En la conduccin de un vehculo, el conductor no slo mira el odmetro para decidir cunto presionar oliberar el pedal del acelerador, tambin considera elementos adicionales como lo es la pendiente delcamino (perturbacin). Es decir, se considera la presencia de la perturbacin antes de que esta afectela variable de salida. La estructura ms probable de procesamiento para este caso se muestra en la Fig.1.9, en donde se puede apreciar una rama ms que se conoce como prealimentacin. No hay dudas que

esta alternativa de adelantarse a los efectos de la perturbacin sobre la variable controlada esbeneficiosa, por lo tanto, es de inters estudiarla para tal vez incorporarla en el diseo de controladores.La factibilidad depender de variados factores; de hecho, uno de ellos ya es evidente: la perturbacindebe ser medible o estar disponible. Por ejemplo, en el caso del automvil, la velocidad del viento noest disponible y por tanto el conductor no tiene alternativa de pre-alimentar. Al igual que la estrategiade pre-alimentacin hay otras estructuras con beneficios para el control; entre stas se cuenta el controlde razn y control en cascada.

A . Control Prealimentado.

Hay varias formas de implementar una estructura pre-alimentada. En el ejemplo del estanque sedemostrar que una buena seleccin del controlador realimentado permite que la perturbacin fs altere


19/149

Apuntes: 543 444 11


la altura slo en rgimen transiente. Si se desea mitigar an ms su efecto, se podra anexar uncontrolador prealimentado como ilustrado en la Fig. 1.10, en donde m(s) se debe escogerapropiadamente. En este caso se cumple que,

h ( )1 e sh f f= ( )1 a sh h v f =

( )1 ( ' )a s sh h v mf f = +

( )1 'a a s sh h v h mf f = +

( ) ( )1 1 1a c d st a sh h h h h h h h m f = +

( )1 1 1 1a c d a c st a sh h h h h h h h h h h m f = + ,

v

Automvilpierna

Sensor develocidad

Transmisorde seal

cerebrovd

+

conductor

-

m vv

Fig. 1.9 Prealimentacin en la conduccin de un automvil.

-

-

m(s)

v'hdhc(s)

s

e h

EstnqueVlvula

v

+

-1

Asha(s)++

prealimentacin

Controlador

hst(s)

Sensor/Transmisor

Fig. 1.10 Control del estanque que incluye realimentacin y prealimentacin.

pnm(t)

u(t) y(t)ProcesoActuador

S/T

Controladoryd(t)

pm(t)

S/T

Fig. 1.11 Estructura general que incluye realimentacin y prealimentacin.


20/149

Apuntes: 543 444 12


de donde,

( ) ( )1 11 1a c st a c d a sh gh h h h h h h h h m f + = + ,

por lo que finalmente se tiene que,( )11

1 1

1

1 1aa c

d s

a c st a c st

h h mh h hh h f

h h h h h h h h

= +

+ +,

de donde claramente se ve que si m(s) se escoge como m(s) = 1/ha(s) se elimina el efecto de laperturbacin fs en la salida h. Esto se ilustra en la Fig. 1.12(f). As, se tiene que la F. de T. resultante essimplemente,

1

11a c

d

a c st

h h hh h

h h h h=

+.

Es decir, la perturbacin es totalmente eliminada de la salida. Como es de esperarse esto corresponde ala situacin ideal y se da cuando se conoce totalmente la F. de T. de v(s), es posible de implementar suinversa y es posible medir la totalidad de las perturbaciones. Estas condiciones no siempre sonatendibles en la prctica.En el caso ms general ilustrado en la Fig. 1.11 se puede tener que el vector de perturbaciones pT =[pm

T pnmT] que afecta la salida y se puede separar en las perturbaciones medibles pm y en las no

medibles pnm. En este caso, la mejor implementacin eliminar slo el efecto de pm en la salida.La siguiente tabla muestra algunos aspectos comparativos de la estructura realimentada yprealimentada.

Estructura Mide Requiere Comportamiento Posibles Problemas

Prealimentado perturbacin conocer y/p perturbacin no afecta irrealizable

Realimentado salida debe producirse error inestabilidad

Ntese que las perturbaciones son variables de entrada y como tal no tienen perfiles definidos, puedenser fijas, variables, peridicas, etc. El ngulo del sol sol en la Fig. 1.13 es peridica y se asemeja a unadiente de sierra con un perodo de 24 horas.

Ejemplo 1.4. Estudiar el comportamiento del estanque en L.A. y luego en L.C..R.: El modelo del estanque como ilustrado

en la Fig. 1.12(a) est dado por es ffdt

dhA

dt

dV+== . Tomando Laplace se tiene: )(sAshff es =+ lo que es

representado como se ilustra en la Fig. 1.12(a). Si la vlvula tiene por F. de T. a ha(s) = 1 y se considera que A = 2.5,entonces el modelo es

1( ) ( )

2.5 sh s v f

s= . Si se considera que v =fs = 0, la altura es constante, matemticamente se tiene

que,1

( ) ( )2.5 s

h s v f s

= , por lo que0

( ) ( ) (0) (0)t

sh t v f dt h h= + = . Si por el contrario la perturbacinfs est dada por:fs(t)

= 0 + u(t1), se tiene que0

( ) (0 0 ( 1)) (0)t

h t t dt h= + u ( 1) (0)t h= +r . Esta situacin est ilustrada en la Fig. 1.12(c).Si por otro lado, la entrada a la vlvula se determina en un esquema realimentado como el ilustrado en la Fig. 1.12(b),

considerando que los bloques sensor y transmisor tienen F. de T. unitaria y el controlador tiene una F. de T. ( )1

p

c

kh s

s=

+,


21/149

Apuntes: 543 444 13


se tiene que,1

( ) ( )sh s v f As

= , con ( )c dv h h h= , entonces h(s) =1

( )c d c sh h h h f As

= c c sdh h f

h h As As As

, con lo que

( ) 1 ch

h sAs

+

= c sdh f

h As As

, si se define 11

( )h sAs

= , entonces, 1( )(1 )ch s h h+ = 1 1c d sh h h h f . Por lo que finalmente se

tiene que, h(s) = 1 1

1 11 1c

d s

c c

h h hh f

h h h h

+ +. Claramente, la altura depende de la entrada hd y la perturbacinfs. Lo ideal sera

que el factor que multiplica afs fuera 0 y que el factor que multiplica ahd fuera 1. Sin embargo, para el controlador indicado

se tiene que los factores son, 12

1

1/ 1 1

1 1 ( 1) ( 1)c p p p

h As s s

h h k s As s As k As As k

+ += = =

+ + + + + + +,

12

1

( 1)

1 1 ( 1) ( 1) p p pc

c p p p

k s As k k h h

h h k s As s As k As As k

+= = =

+ + + + + + +.

Las expresiones anteriores no son lo esperado y es ms, sus ganancias dc son 1/kp (que debiera ser 0) y 1, respectivamente.Es decir, un cambio escaln en la perturbacin se reflejar en S.S. en un factor 1/kp. Esto se ilustra en la Fig. 1.12(d).

Si en cambio, el controlador a utilizar es1

( )c ps

h s k

s

+ =

, se encuentra que h(s) = 1 1

1 11 1

cd s

c c

h h hh f

h h h h

+ +

en donde los

coeficientes son: 12 2

1

1/

1 1 ( 1)c p p p

h As s

h h k s As As k s k = =

+ + + + +,

fe

h

y

l

fs xl

s

e h

EstnqueVlvula

v

+

-1

Asha(s)

hd

+

-

Controlador

hc(s)

hst(s)

Sensor/Transmisor

(a) (b)

h(t)

v(t)

s(t)

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

h(t)

v(t)

s(t)

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

hd(t)

(c) (d)

h(t)

v(t)

s(t)

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

hd(t)

h(t)

v(t)

s(t)

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

hd(t)

(e) (f)

Fig. 1.12 Estanque operando en L.A. y L.C.; (a) diagrama del estanque operando en L.A.; (b) diagrama delestanque operando en L.C.; (c) formas de onda del estanque en L.A.; (d) formas de onda del estanque en L.C. Caso

1; (e) formas de onda del estanque en L.C. Caso 2;(f) formas de onda del estanque en L.C. y prealimentacin.


22/149

Apuntes: 543 444 14


2

12 2

1

( 1) ( 1)

1 1 ( 1)p pc

c p p p

k s As k sh h

h h k s As As k s k

+ +=

+ + + + +. Las expresiones anteriores no son tampoco lo esperado pero sus ganancias dc

son 0 y 1, respectivamente. Es decir, en estado estacionario este controlador permite lograr los objetivos de diseo y slo enrgimen transitorio se obtienen variaciones no deseadas de la altura en el estanque respecto del valor deseado. Esto se ilustraen la Fig. 1.12(e) conA = 2.5 m.

B . Control de Razn.

Se usa cuando dos a ms componentes deben ser empleados en una determinada proporcin. Porejemplo, el estanque de la Fig. 1.14 debe ser suministrado con raznfa/fm = 2/3 para lo cual se utiliza laestructura ilustrada en la Fig. 1.14. En este caso v1 + v2 = 10 y v1/v2 = 2/3; por lo tanto, v1 = 4 y v2 = 6.

C . Control en Cascada.

Este controlador ha sido ampliamente utilizado en sistemas SISO de orden superior o igual a dos. Larazn es su capacidad de limitar una variable del sistema mientras se controla otra. Lo usual es limitaralguna variable de dinmica rpida respecto de la variable controlada. As, se asegura la integridad delsistema por cuanto todas las variables y no slo la salida estarn acotadas. Este caso se ilustra en elsiguiente ejemplo.

Ejemplo 1.5. El motor de corriente continua ilustrado en la Fig. 1.15(a) el cual es alimentado independientemente. Por lo

tanto, las ecuaciones son, aa a a a adi

v R i L edt

= + + , le l ld

t J d t dt

= + + , donde, ea = kml, te = kmia,J=Jm +Jl. Una primera

alternativa es utilizar la estrategia ilustrada en la Fig. 1.15(b). En este caso, para cambios bruscos de va para ajustar lavelocidad, la corriente de armadura puede exceder el valor mximo del motor. Este es el caso ilustrado en la Fig. 1.15(d)donde la referencia de velocidad es llevada a su mximo, con lo que el controlador entrega un va = kakcld, Fig. 1.15(c),

puesto que la velocidad real de la mquina l no cambia instantneamente y por lo tanto es cero para t= 0+. Esto genera unacorriente de armadura a la partida de un alto valor dado por ia = va/Ra, Fig. 1.15(d). Tanto va como ia son prohibitivos ydaaran la mquina. Para evitar esto, se prefiere controlar la corriente con un lazo interno. La alternativa de utilizar un lazointerno es conocida como el control en cascada. Bsicamente, hay un lazo interno y uno externo, en donde el externo fija lareferencia del interno, Fig. 1.16(a). En el motor de c.c., el lazo de velocidad fija la referencia de corriente de armadura laque es limitada a un valor mximo/mnimo. El lazo de corriente fija la tensin de armadura, la que tambin es limitada a unvalor mximo/mnimo, de manera que la corriente de armadura sea igual o cercana al valor entregado por el controlador develocidad. La operacin se muestra en las formas de onda de la Fig. 1.16(b), (c), (d), y (e), donde se han utilizado

sol

21

cel

vc

v1

v2vout

control

de razn

SH TH

hd= 5controlde altura

v = 10

v1 = 4

s = 10,cs

a = 4m = 6, cm

h = 5

v2 = 6

x

y

y = 2ax

Fig. 1.13 Sistema de posicionamiento unidimensional. Fig. 1.14 Ejemplo del control de razn (valores en S.S.).


23/149

Apuntes: 543 444 15


controladores de ganancia para ambos lazos. Ntese el error en S.S. entre la velocidad deseada y la actual, probablemente laeleccin de los controladores no fue la ms apropiada. Se considera d= 0.08,Ra = 1.2 ,J= 0.135, km = 0.6,La = 50 mH, tl= 60.

D . Controladores Adaptivos.

Cuando los parmetros de la planta (masa, rea, ...) cambian con el tiempo por acciones noprogramadas o estipuladas, el sistema cambiar su comportamiento para mejor o peor. Si se deseamantener el comportamiento de diseo, se debera realizar una actualizacin de los parmetros del

d

+ va -

ifia

m, Te

m, tl,Jl

mquina cccarga

- vf+

kc motor+-

ld vatl

lka

v

(a) (b)

ld

0 1 20

2000

4000

l

va

0 1 22000

0

5000

500

-500

ia

300

-3000 1 21000

0

1000

2000

(b) (c) (d)Fig. 1.15 Control proporcional del motor de c.c.; (a) diagrama c.c, (b) diagrama de control, (c) referencia y velocidad actual, (d)

voltaje de armadura, (e) corriente de armadura.

control+

-

ld

tl

controlia+

-

iad Actuador(convertidor)

ia

v vaMotor

Lazo interno (de corriente)

Lazo externo (de velocidad)

(a)

ld

0 1 20

2000

4000

l

va

0 1 2

500

0

500

iad

300

-300

0 1 2400

200

0

200

400

ia

300

-300

0 1 2400200

0200400

(b) (c) (d) (e)

Fig. 1.16 Control en cascada del motor de c.c.; (a) diagrama, (b) velocidad de referencia y actual, (c) voltaje de armadura, (d)corriente de armadura de referencia, (e) corriente de armadura.


24/149

Apuntes: 543 444 16


controlador en funcin de los cambios producidos en los parmetros de manera de cancelar loscambios. Por ejemplo, si if cambia en el motor de c.c. entonces km cambia por lo que debera serestimado para actualizar el controlador y as obtener un desempeo uniforme. Los cambios detemperatura son tambin una fuente importante de cambio de parmetros. Una estructura para este tipode estrategias est dada en la Fig. 1.17. Estas estructuras estn fuera del alcance de este curso.

1.6 Clasificacin de Sistemas de Control.

La clasificacin de sistemas se realiza en funcin de las caractersticas de la planta.

A . Sistemas Lineales No-lineales.

En rigor la mayora de los sistemas de control son no-lineales. Sin embargo, en un punto de operacinpuede asumirse lineal, en cuyo caso se obtiene un modelo linealizado con el cual se puede trabajar (enel motor de c.c. se asume ifconstante para obtener un sistema lineal).

B . Sistemas Invariantes Variantes.

Los invariantes son aquellos que tienen parmetros que no varan con el tiempo. Su respuesta nocambia para una entrada dada en funcin del tiempo (el rea de un estanque cambia con el tiempo).

C . Sistemas Continuos Discretos.

En un sistema continuo todas las variables son funcin de un tiempo continuo. Los discretos secaracterizan por tener valores en instantes fijos (el valor de la UF es discreto).

D . Sistemas SISO MIMO.

Los SISO (Single Input Simple Output) tienen una entrada y una salida. Los MIMO tienen variasentradas y varias salidas (SISO: motor con if= cte, MIMO: dos motores moviendo un tambor).

E . Sistemas de Parmetros Concentrados Distribuidos.

Los sistemas que pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales ordinarias son con parmetrosconcentrados. Los que deben describirse mediante ecuaciones diferenciales parciales son conparmetros distribuidos (temperatura en una barra: ( , ) / ( ( , ) / )T x t x k T x t t = ).

F . Sistemas Determinsticos Estocsticos.

Es determinstico si la respuesta a la entrada es predecible y repetible; de no serlo, es estocstico.

lControly actuador+

-

ld vaMotor

Estimadorkm,Ra

tl

Fig. 1.17 Control adaptivo.


25/149

Apuntes: 543 444 17


G . Sistemas Hbridos.

Si bien los sistemas se pueden clasificar en los listados anteriormente, lo natural es encontrarcombinaciones de stos. Por ejemplo, es comn encontrar plantas no-lineales combinadas con

controladores lineales, Fig. 1.18(a), en este caso la planta queda modelada por,( ) ( ( ), ( ), ( )), ( ) ( ( ), ( ), ( ))t t u t p t y t h t u t p t = =x f x x ,

o en sus componentes,

1 1( ) ( ( ), ( ), ( ))

, ( ) ( ( ), ( ), ( ))

( ) ( ( ), ( ), ( ))n n

x t f t u t p t

y t h t u t p t

x t f t u t p t

= =

x

x

x

.

En el caso del controlador se puede escribir,

(t) = Ac(t) + bc(yd(t) -ys(t)), v(t) = cc(t) + dc(yd(t) -ys(t)),en donde se ha asumido que el controlador tiene por entrada al error e(t) = yd(t) - ys(t). Si este fuera elcaso en estudio, se optar por un modelo linealizado de la planta no-lineal y por tanto se podrn utilizarlas herramientas a revisar en esta asignatura.Por otro lado, existe la combinacin ms recurrida hoy por hoy que es tener un sistema continuocontrolado por un sistema digital, Fig. 1.18(b), que puede ser un computador personal, unmicrocontrolador (PIC, dsPIC), un PLC (programmable logic computer), un DSP (procesador deseales digitales), o algn hardware digital dedicado a estas funciones. Un ejemplo de este caso semuestra a continuacin y por la relevancia de esta combinacin, el tema se tratar en el captulosiguiente.

u(t) (t)PlantaActuadorControlador

v(t)

S/T

(t)

s(t)

d(t) e(t)+

-

(a)

u(t) (t)PlantaActuadorControlador

(t)

S/Hv(kT) v(t)

S S/Ts(kT)

d(kT) e(kT)+

-

s(t)

(b)

Fig. 1.18 Estructura general de control a estudiar en este curso;(a) control y planta tiempo continuos,

(b) planta tiempo continua y controlador tiempo discreto.


26/149

Apuntes: 543 444 18


Ejemplo 1.6. El levitador magntico de la Fig. 1.19(a) tiene primero la ecuacin elctrica del electro-imndi

e L Ridt

= + ,

donde e es le tensin aplicada e i es la corriente circulante. La ecuacin mecnica por su parte es,2

02 ( )md x dxm mg F k l x d dtdt = + + , dondeFm es la fuerza magntica producida pro el electroimn. Ahora es necesario

relacionar las ecuaciones anteriores haciendoFm = kii2/(y + a) = kii

2/(l1 x + a), reemplazando en las ecuaciones anteriores y

definiendo x1 = i, x2 = x, x3 = dx/dt = v y u = e se tiene la representacin en variables de estado,1

2

3

x

x

x

=

x

=

1

321 1 2 0 2 3

/ /

/[ ( )] ( ) / / i

Rx L u L

x

g k x m l x a k l x m dx m

+ + + +

=1

321 1 2 0 2 3

/

/[ ( )] ( ) / / i

Rx L

x

g k x m l x a k l x m dx m

+ + +

+

1/

0

0

L

u

. El

modelo resultante es no lineal debido a la presencia de trminos cuadrticos. La linealizacin del esquema resulta en

2

2

0 0

0 0 1

2( )

i o i o

l o l o

R

L

k i k i K d

m l x a m m ml x a

= + +

A ,

1/

0

0

L =

b , c = [0 1 0], donde en el punto de operacin se cumple que

Rio = eo,2

01

( )oi oo

img k k l x

l x a= +

+. Una alternativa para escoger y disear el controlador, Fig. 1.19(b), es transformar la

planta en combinacin con el actuador y sensor/transmisor a un sistema discreto. Esta y otras herramientas se revisarnen el prximo captulo. Se consideraR = 1 ,L = 50 mH,g= 9.8 m/s2, m = 250 gr, ki = 0.003, a = 2 cm,K= 24.5, ll = 50

+

-

y(t)

M

R

e(t)

i(t)

L

kd

x(t)

a

l1

(a)

e(t) x(t)LevitadorActuadorControlador S/H

v(kT) v(t)

S S/Ts(kT)

d(kT) e(kT)+

-

s(t)

(b)

Fig. 1.19 Levitador magntico; (a) estructura, (b) esquema de control.


27/149

Apuntes: 543 444 19


cm, d= 1.5, lo = 30 cm.

1.7 Alcances del Curso 543 444.En este curso se estudiarn sistemas (plantas) lineales, invariantes, continuas, SISO, concentradas ydeterminsticas, como las ilustradas en la Fig. 1.18. No obstante, tambin se estudiarn sistemas fsicosno-lineales que admitan linealizacin en torno a un punto de operacin. Para controlarlos se estudiarncontroladores esencialmente realimentados y prealimentados del tipo tiempo continuo y tiempodiscreto. Esta ltima alternativa dar origen a sistemas lineales de tipo hbrido por lo que el uso de laTransformada de Laplace, la Transformada Zy las propiedades de stas ser intensivo. Especial nfasisse dar a los controladores en adelanto, atraso y el P.I.D. (proporcional, integral, derivativo). Lomnimo que se exigir al diseo ser estabilidad y lo ptimo ser de acuerdo al diseo en particular. Sedebe considerar que el control se realiza por dos razones:

- Mantener un proceso en un punto de operacin (regulacin).- Llevar el proceso de un punto de operacin a otro (seguimiento).

Las herramientas a utilizar son esencialmente el Diagrama de Bode, el L.G.R. (lugar geomtrico de lasraces), y el Criterio de Nyquist.

1.8 Ejercicios Propuestos.

Resuelva los problemas siguientes. Anote todo su trabajo.

A . Nivel bsico.

1.- Clasifique los siguientes sistemas en lineal (no-lineal), causal (no-causal), variante (no variante),continuo (discreto).

(a) dy(t)/dt= u(t) + 1 (b) d2y(t)/dt2 + y(t)dy(t)/dt= u(t- 5)(c) dy(t)/dt= u(t+ 5) (d) dy(t)/dt= tsin(u(t))

(e) y(t) =3

( )t

u d

(f) y(t)0 0

( ) ( 10) 0

t

u t u t t


28/149

Apuntes: 543 444 20


(g) y(s) =1

pk

s +u(s); v(s) =

( 1)c

sk

s

+e(s) (h) y(s) =

1pk

s +u(s); v(s) = 1

2

( 1)

( 1)cs

ks s

+ +

e(s)

B . Nivel intermedio.1.- Para todos los casos anteriores determine la ganancia dc de la F. de T. y(s)/yd(s) e y(s)/p(s).

Cules opciones le merecen una mejor eleccin del controlador ?. Cmo cambia su anlisissi el actuador tuviera un retardo tr; es decir, u(s) = kae

-trsv(s) ?.2.- Determine para todos los casos anteriores lim ( )

te t

si la entrada yd(t) es una rampa. Cules

opciones le merecen una mejor eleccin del controlador ?. Cmo cambia su anlisis si elactuador tuviera un retardo tr; es decir, u(s) = kae

-trsv(s) ?.3.- Para todos los casos anteriores utilice la estructura de prealimentacin como ilustrada en la Fig.

1.10 y determine la F. de T. m(s) tal que se elimina el efecto de la perturbacinp(s) en la salida.Cmo cambia su anlisis si el actuador tuviera un retardo tr; es decir, u(s) = kae

-trsv(s) ?.

4.- Si la planta - ver Fig. 1.18(a) - cumple con y(s) =1

pk

s +u(s), el actuador con u(s) = kav(s), el

sensor/transmisor con ys(s) = ksty(s), determine un controlador (y eventualmente elementosadicionales) de manera que la F. de T. entre yd(s) e y(s) tenga la forma de una F. de T. dessegundo estndar.

C . Nivel avanzado.

1.- Si la planta - ver Fig. 1.18(a) - cumple con ( ) ( ) ( ), ( ) ( )t t u t y t t = + =x Ax b cx , el actuador con u(s)= kav(s), el sensor/transmisor con ys(s) = ksty(s) y el controlador con v(s) = kce(s), determine lacondicin que debe cumplir A, b, y/o c para que lim( ( ) ( )) 0d

ty t y t

= .

2.- Si la planta - ver Fig. 1.18(a) - cumple con y(s) = hyu(s)u(s) + hyp(s)p(s), el actuador con u(s) =ha(s)v(s), el sensor/transmisor conys(s) = hst(s)y(s) y la del controlador v(s) = hc(s)e(s), determinela condicin que debe cumplir el sistema en su conjunto para que cambios en la perturbacin noalteren la salida en estado estacionario.

3.- En el control en cascada del motor cc. - ver Fig. 1.16 - se observa que las velocidades cumplencon lim( ( ) ( )) 0ld l

tt t

. Puede el controlador de corriente hacer el resultado anterior cero

independiente del controlador de velocidad ?. Puede el controlador de velocidad hacer elresultado anterior cero independiente del controlador de corriente?.


29/149

Apuntes: 543 444 21


2 Sistemas Hbridos.

Hoy por hoy la tendencia en ingeniera de control es utilizar controladores

digitales. Esto es debido a la reduccin de sus limitantes tcnicas y a la

p roliferac in d e a mb iente s amiga b les para su imp lem enta c in. Entre stos

se cuentan los PCs (computadores personales), los PLCs (programmable

log ic com puters), y DSPs (proc esador de sea les d igitales) po r nom brar

a lgunos. En esenc ia, se m uestrea n las sea les de un sistema (conve rsin

anlogo/digital), se realizan clculos (controlador) y se entregan los

resultad os al ac tuad or (c onversin d igital/a nlogo ). Afortunad am ente, en

sistemas linea les, el uso de la Transformada Z y la Transforma da deLaplace permiten abordar cabalmente esta problemtica. En este

captulo se revisan los aspec tos ma tem ticos que sienta n las bases para el

estudio del control de sistemas tiempo continuo controlados con sistemas

tiemp o d isc retos.

2.1 Introduccin.

La estrategia ilustrada en la Fig. 2.1 combina una planta tiempo continuo (por ejemplo, estanque,circuito elevador, levitador magntico, etc.) con un controlador digital. Es decir, la salida y(t) se

muestrea a una tasa regular Ty como resultado se tiene una medicin discreta de la salida ys(kT), elcontrolador genera una salida v(kT) que depende de las ecuaciones que describen al controlador yobviamente del error e(kT) = yd(kT) - ys(kT). Por ejemplo, esta salida podra estar dada por larepresentacin en variables de estado,

1 1 1

2 2 2

( ) ( ) ( )0.2 0 1( ), ( ) [1 0] ( )

( ) ( ) ( )0 0.5 0.2

kT T kT kT e kT v kT e kT

kT T kT kT

+ = + = + +

,

donde claramente la entrada es e(kT) y la salida es v(kT), o bien por su F. de T., por ejemplo,

2

2

( ) 0.2( )

( ) ( 0.5 )cv z z

h ze z z z z

+= =

+.

u(t) (t)ActuadorControlador

(t)

S/Hv(kT) v(t)

S S/Ts(kT)

sistema digital

Plantad(kT) e(kT)

+

-

s(t)

Fig. 2.1 Sistema tiempo continuo con un controlador tiempo discreto.


30/149

Apuntes: 543 444 22


Finalmente, la salida discreta del controlador v(kT) se transforma en una seal continua v(t) mediante eluso de un muestreador con retencin (normalmente de orden cero). Para estudiar este sistema se puedeoptar por encontrar un modelo enteramente discreto que sea equivalente al hbrido. Esto permitiraproponer y disear el controlador de acuerdo a los objetivos de estudio con las herramientasdisponibles para sistemas tiempo discreto. Para tales efectos se recuerda que el sistema ilustrado en laFig. 2.1 puede ser representado como se muestra en la Fig. 2.2, donde claramente hay una combinacinde la Transformada de Laplace y la Transformada Z, o bien de representaciones en variables de estadocontinuas y discretas. El modelo discreto equivalente se puede encontrar en variables de estadodiscretas o bien una F. de T. enz.

2.2 Sistemas Equivalentes en z.

La F. de T. de un sistema discreto es la T.Z. de su respuesta a impulso. Por lo tanto, si se aplica unimpulso discreto en v(kT) la salida en ys(kT) corresponde a la respuesta a impulso de la F. de T. quedeseamos obtener, Fig. 2.3. Esta F. de T. entre v(z) e ys(z) estar dada por Z{ys(kT)}. En la prcticaconviene separar este anlisis en dos casos; stos son sistemas sin y con retardos

A . Sistemas sin Retardo.

La Fig. 2.3 muestra un ejemplo en donde no hay retardo en el actuador, planta ni el sensor/transmisor.El bloque S/H es un muestreador con un retentor de orden cero (ver Apuntes de Sistemas LinealesDinmicos - 543 214), el que permite mantener la entrada muestreada (el impulso en este caso) hasta elprximo muestreo. Consecuentemente, al aplicar un impulso discreto en v(kT), la entrada al actuador esun pulso de amplitud unitaria y duracin T. Por lo que su T. de L. es,

1( ) ( ( ) ( ))

sTe

v s t t T

s

= =Lu u ,

por lo que la salida del actuador es,

1( ) ( )

sT

a

eu s h s

s

= ,

as, la salida de la planta (sin considerar las perturbaciones) es,

1( ) ( ) ( )

sT

a yu

ey s h s h s

s

= ,

por lo que, finalmente, la salida del sensor/transmisor es,

hc(z){Ac, bc, cc, dc}

d(z)d(kT)

S/H

S

sistema digital

e(z)e(kT)

+

-controlador actuador

sensor/transmisor

plantau(s)u(t)

(s)y(t)

(s)(t)

v(z)v(kT)

v(s)v(t)

s(z)s(kT)

hyu(s), hyp(s){A, b, c, d, e,f}

ha(s){Aa, ba, ca, da}

s(s)s(t)

hst(s)

{Ast, bst, cst, dst}

Fig. 2.2 Formas de representacin y simplificaciones de un sistema continuo / controlador discreto.


31/149

Apuntes: 543 444 23


1( ) ( ) ( ) ( )

sT

s a yu st

ey s h s h s h s

s

= .

Entonces, la respuesta en el tiempoys(t) es,

{ }1 11

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sT

s s a yu st

ey t y s h s h s h s

s

= =

L L ,

y por ende la respuesta muestreada - que corresponde a la respuesta a impulso - es,

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )sT

s a yu st t kT

t kT

e y kT t h s h s h s

s

==

= =

sy L .

Finalmente, la T.Z. de esta respuesta - que corresponde a la F. de T. ys(z)/v(z) - es,

1

1 1

1

( ) 1{ ( )} ( ) ( ) ( )( )

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( )

sT

s s a yu st

t kT

sT

a yu st a yu st

t kT t kT

a yu st

t kT

y z e y kT h s h s h sv z s

eh s h s h s h s h s h s

s s

h s h s h ss

=

= =

=

= =

=

=

Z Z L

Z L Z L

Z L 1 1

1 1

1

1( ) ( ) ( )

1(1 ) ( ) ( ) ( )

1 1 ( ) ( ) ( )

a yu st

t kT

a yu st

t kT

a yu st

t kT

z h s h s h ss

z h s h s h ss

zh s h s h s

z s

=

=

=

=

=

Z L

Z L

Z L

.

Este clculo que parece bastante engorroso, no lo es para sistemas de bajo orden (n 3).

Ejemplo 2.1. Para un sistema como el mostrado en la Fig. 2.3 dondeha(s) = 1, hyu(s) = 1/s2, hst(s) = 1, determine el sistema

equivalente. R.: En este caso, ha(s)hyu(s)hst(s)/s = 1/s3, por lo que { }1 2( ) ( ) ( ) / / 2a yu st h s h s h s s t

=L , al reemplazar t= kTse

u(s)u(t)

(s)y(t)

(s)(t)

S/H

v(z)v(kT)

v(s)v(t)

S

s(z)s(kT)

hyu(s), hyp(s){A, b, c, d, e,f}

ha(s){Aa, ba, ca, da}

actuador

sensor/transmisor

planta

s(s)s(t)

T

1

1

1

T

v(kT)

v(t)

s(t)

s(kT)

hst(s){Ast, bst, cst, dst}

Fig. 2.3 Sistema equivalente.


32/149

Apuntes: 543 444 24


obtiene (kT)2/2 y su T. Z. es 23

1 1

2 ( 1)

zT z

z

+

, por lo que 2 23 2

( ) 1 1 1 1 1{ ( )}

( ) 2 2( 1) ( 1)s

s

y z z z z y kT T z T

v z zz z

+ += = =

Z .

Si se desea conocer la salida y(t) discreta; es decir, y(kT), el desarrollo matemtico anterior deberaconsiderar slo las F. de T. ha(s) y hyu(s). Es decir, la F. de T. entre la seal v(kT) y el muestreo de lasaliday(t) que se representara pory(z)/v(z) estara dado por,

1( ) 1 1{ ( )} ( ) ( )( ) a yu

t kT

y z z y kT h s h s

v z z s

=

= =

Z Z L .

Este resultado es til si se considera en el diseo acotar y/o conocer el comportamiento de la salida alproponer y disear el controlador discreto.

B . Sistemas con Retardo.

En este curso slo se considerarn sistemas con retardos que son mltiplos del tiempo de muestreo T.En la prctica, es usual ajustar el tiempo de muestreo para que se cumpla esta premisa. Por ejemplo,una planta de primer orden con retardo sera,

1( ) ( )

1rt s lTs

yu p yuoh s k e h s es

= = +

,

en donde el retardo tres lTcon lentero positivo. En este caso se tiene que,

1 1

1 1

1 1

11

( ) 1{ ( )} (1 ) ( ) ( ) ( )

( )

1(1 ) ( ) ( ) ( )

1(1 ) ( ) ( ) ( )

1 1(

s s a yu st

t kT

lTsa yuo st

t kT

l

a yuo st

t kT

al

y z y kT z h s h s h s

v z s

z h s h s e h ss

z z h s h s h ss

zh s

z s

=

=

=

+

= =

= =

=

Z Z L

Z L

Z L

Z L ) ( ) ( ) yuo st t kT

h s h s=

.

Ntese que este retardo puede estar en la planta, en el actuador y/o en el sensor/transmisor y eltratamiento sera igual.

Ejemplo 2.2. Para un sistema como el mostrado en la Fig. 2.3 dondeha(s) = 1, hyu(s) = kpe-Ts/(s+1), hst(s) = 1, determine el

sistema equivalente. R.: En este caso la parte de la planta sin retardo es hyuo(s) = kp/(s+1) y l= 1, pues el retardo es igual aun tiempo de muestreo T, por lo que ha(s)hyuo(s)hst(s)/s = kp/(s(s+1)), { }1 ( ) ( ) ( ) / a yuo st h s h s h s sL = kp(1 - e

-t/), al reemplazar

t= kTse obtiene kp(1 - e-kT/) y su T. Z. es

/

/

1

( )( 1)

T

p T

ek z

z e z

, por lo que el sistema equivalente est dado por( )

( )sy z

v z=

{ ( )}s y kTZ =/

/ 2

1 1

( )( 1)

T

p T

e zk z

z e z z

=/

/

1

( )

T

p T

ek

z z e

.


33/149

Apuntes: 543 444 25


Ejemplo 2.3. Encontrar para el modelo del estanque como el mostrado en la Fig. 2.4(a) su equivalente discreto de la F. deT. puesto que ser controlado mediante un esquema digital Fig. 2.4(b). R.: En este caso el modelo est dado por

1( )e s

dhf f

dt A= o bien

1( ) [ ( ) ( )]e sh s f s f s

sA= , por lo que hhfe(s) =

1( )hfeh s

sA= , ha(s) = kae-s, hst(s) = kst. As,

1 1 1 14

( ) 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( ) (1 )

( ) ( 1)s s a st

a yu st a st

t kT t kT

y z k k Tz h s h s h s z k e k

v z s s sA Az z

= =

= = =

Z L Z L . Por lo que para

la entrada escaln retardada en v(kT) = u(kT 2T) se tiene la seal sensada 14 2

1( )

1( 1)a st

st

k kT z y kT

A z z z z

=

Z =

( ) ( 6 ) ( 6 )a ststk k

y kT T kT T kT T A

= u .

De acuerdo a las expresiones anteriores, esta alternativa ser de utilidad al tener los subsistemasactuador, planta y sensor/transmisor representados por sus respectivas F. de T. en s. Sin embargo,

tambin ser de mucha utilidad tener una representacin en variables de estado; es decir, obtener lasecuaciones que relacionen la entrada v(kT) con la salidays(kT).

2.3 Sistemas Equivalentes en kT.

Al obtener una representacin en variables de estado discreta, es de inters que stas sean las variablesde estado continuas muestreadas. Naturalmente estn las de la planta x(t) y eventualmente las delactuador (t) y/o sensor/transmisor (t). Para tales efectos, se obtiene una representacin en variablesde estado en tiempo continuo entre la entrada v(kT) y la salidays(kT), preservando las definiciones de(t) y/o (t). Anlogamente al caso anterior, se distinguen dos casos; stos son sistemas sin y conretardos

A . Sistemas sin Retardo.

La Fig. 2.3 muestra que la relacin en la planta se puede escribir como,

( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )t t u t p t y t t du t fp t = + + = + +x Ax b e cx ,

la relacin en el actuador es,

( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )at t v t u t t d v t = + = +a a aA b c ,donde (t) es el vector de estados asociados al actuador; sin embargo, se recuerda que en este curso elactuador ser considerado en la mayora de los casos como una ganancia ka, en cuyo caso el modelo del

e

h

y

l

fs xl

controlador

de altura

SH TH

hd

v

a)

hst

u(t)e(t)

(t)h(t)

(t)s(t)

S/H

v(kT)v(kT)

v(t)v(t)

S

s(kT)hs(kT)

hhfe(s)hhfs(s)

kae-s

actuador

sensor/transmisor

estanque

s(t)hs(t)

kst

b)

Fig. 2.4 Estanque con control de altura; (a) esquema, (b) diagrama equivalente.


34/149

Apuntes: 543 444 26


actuador es simplemente u(t) = dav(t) = kav(t). La relacin en el sensor/transmisor se puede escribircomo,

( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) s st t t y t y t t d y t = + = +st st stA b c ,donde (t) es el vector de estados asociados al sensor/transmisor; sin embargo, se recuerda que en estecurso el sensor/transmisor ser considerado en la mayora de los casos como una ganancia kst, en cuyocaso el modelo del actuador es simplementeys(t) = dsty(t) = ksty(t). Luego de algo de algebra se llega alas expresiones generales,

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )a

a

t t

t t d v t p t

t d t dd f

= + +

a a

a

st a st st st st

A 0 0 b 0

x bc A 0 x b e

b c b c A b b

,

y para la salida,

( )( ) [ ] ( ) ( ) ( )

( ) s st st st a st

t

y t d d d t d dd v t d fp t

t

= + +

a stc c c x

.

En el caso de considerar al actuador una ganancia (es decir, u(t) = kav(t)) y al sensor/transmisor unaganancia (es decir,ys(t) = ksty(t)). Las ecuaciones se reducen a,

( ) ( ) ( ) ( )at t k v t p t = + +x Ax b e , ( ) ( ) ( ) ( ) s st st a st y t k t k dk v t k fp t = + +cx .

Cualesquiera sea el caso, el sistema anterior se puede expresar como,

( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )st t v t p t y t t v t p t = + + = + +b e c d f ,donde (t) es el vector de estados (t) = [(t)Tx(t)T(t)T]To bien (t) = x(t) para el caso simplificado ylas matrices A, B, c, d, e, y fdefinidas de acuerdo a las expresiones anteriores. Un modelo discretoequivalente de las ecuaciones anteriores (ver Apuntes de Sistemas Lineales Dinmicos - 543 214) paraentradas constantes entre cada muestreo est dado por,

( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) s d d kT T kT v kT p kT y kT kT d v kT f p kT + = + + = + +d d d dA b e c ,donde,

( ) TT e= =dAA , { }( )

TTe d= db A b0 , { }( )0

TTe d= de A e , =dc c , dd = d y df = f .

Ejemplo 2.4. Considere el sistema ilustrado en la Fig. 2.3 donde la planta es una mquina de c.c. (Fig. 2.5), el actuadortiene ka= 1 y el sensor/transmisor kst = 1. Encuentre un equivalente discreto entre v(kT) e ys(kT). R.: El modelo de la

mquina con x1 = ia y x2 = es1 1

2 2

/ / 01/

/ / 1/ 0m

a l

m l l l

R L k Lx x Lv t

k J d J J x x

= + +

, [ ] 1

2

0 1x

x

=

, o bien

( ) ( ) ( ) ( )t t v t p t = + +x Ax b e , ( ) ( )s

y t t = cx . En este caso se tienen la entrada u = v = va y la perturbacinp = tl, por lo tanto

se calculan los vectores bd como { }( )0T

Te d= Adb b y ed como { }( )0T

Te d= Ade e . Las matrices resultantes son para

t= T= 0.5,0.029 0.136

0.050 0.236

=

dA ,

0.359

0.997

=

db , y

0.997

2.077

=

de , donde Ad, bd, y ed corresponden a los parmetros del

modelo discreto x(kT+ T) = Adx(kT) + bdva(kT) + edtl(kT), equivalente al continuo. La Fig. 2.5 muestra la simulacin del


35/149

Apuntes: 543 444 27


sistema continuo y discreto. Ntese la equivalencia perfecta debido a que la entrada continua es constante entre cadamuestreo.

B . Sistemas con Retardo.

Se asumir que algn elemento en la Fig. 2.3 (actuador, planta y/o sensor/transmisor) tiene un retardoque es mltiple del tiempo de muestreo. Por ejemplo, si se considera al actuador con un retardo trde lTunidades de tiempo, entonces, de la Fig. 2.3 se puede escribir para la planta,

( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )t t u t p t y t t du t fp t = + + = + +x Ax b e cx ,

para el actuador,

( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )r a rt t v t t u t t d v t t = + = + a a aA b c ,y la relacin en el sensor/transmisor es,

( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) s st t t y t y t t d y t = + = +st st stA b c .Luego de algo de algebra,

d

+ va -

ifia

, te

, tl,Jl

mquina cccarga

- vf+ a)

u(t)va(t)

y(t)(t)

(t)tl(t)

S/H

v(kT)va(kT)

v(t)va(t)

S

s(kT)(kT)

{A, b, c, e }1

actuador

sensor/transmisor

m c.c.

s(t)(t)

1

b)

(t)c)

0 2 4 6 8 1001

3

5

ia(t)

(kT)

ia(kT)

va(t)d)

0 2 4 6 8 1001

3

5

tl(t)

va(kT)

tl(kT)

Fig. 2.5 Equivalente discreto de la mquina c.c.; a) esquema, b) diagrama discreto equivalente, c) salidas continuas y

discretas, d) entradas continuas y discretas.


36/149

Apuntes: 543 444 28


( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )a r

a

t t

t t d v

Apuntes Control Automatico UdeC

Documents

Transcript of Apuntes Control Automatico UdeC