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  • Automatizacion de Procesos Industriales

    (REPASO TEORIA DE CONTROL)

    Ingeniero de Organizacion. Curso 1o

    Jose Mari Gonzalez de DuranaDpto. I.S.A., EUITI e ITT - UPV/EHU

    Vitoria-Gasteiz

    Marzo 2002

  • 2

  • Indice

    1. Modelos de procesos continuos 51.1. Procesos de tiempo contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. La realimentacion en los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Elementos basicos un sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Diseno de los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.4.1. Nociones de estabilidad, rapidez y precision . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Clasificacion de los sistemas de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6. Modelo de funcion de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7. Modelo de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8. Linealizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.9. Transformaciones entre modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2. Respuesta temporal 212.1. Diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Grafos de flujo de senal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3. Calculo de la respuesta temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4. Sistema de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5. Sistema de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6. Respuesta del modelo de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2.6.1. Analisis Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    3. Respuesta de frecuencia 453.1. Respuesta de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2. Respuesta de un sistema a entrada sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3. Diagramas de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4. Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5. Trazado por computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.6. Criterio de estabilidad de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.7. Margenes de fase y de ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    4. Lugar de las races 634.1. Fundamento del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2. Reglas basicas del trazado del lugar de las races . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    4.2.1. Trazado del lugar de las races por computador . . . . . . . . . . . . . . . 674.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    3

  • 4 INDICE

    5. Funcionamiento de los sistemas de control 715.1. Especificaciones de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2. Analisis del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3. Sensibilidad a las variaciones de los parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.4. Sensibilidad a las variables perturbadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.5. Indicies de comportamiento de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.6. Estabilidad de los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.7. Controlabilidad y Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    6. Sistemas de Tiempo Discreto 956.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.2. Sistemas de tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    6.2.1. Sistemas intrnsecamente discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.2.2. Sistemas controlados por computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    6.3. Sistemas de tiempo continuo muestreados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.4. Reconstruccion de la senal muestreada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    6.4.1. Teorema del muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.4.2. Teorema de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.4.3. El elemento de retencion de orden cero (ZOH) . . . . . . . . . . . . . . . 1006.4.4. La transformada estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    6.5. La transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.5.1. Propiedades y teoremas de la transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.5.2. Transformadas de algunas funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . 1026.5.3. Transformada z de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    6.6. Ecuaciones diferencia y funciones de transferencia en z . . . . . . . . . . . . . . . 1046.7. Obtencion de la transformada z inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    6.7.1. Metodo de integracion compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.7.2. Metodo de la division directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.7.3. Metodo de expansion en fracciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

    6.8. Metodo de resolucion numerica de la ecuacion diferencia . . . . . . . . . . . . . . 1066.9. Modelos matematicos de los sistemas de tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . 107

    6.9.1. Filtros digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.9.2. Sistemas continuos muestreados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.9.3. Modelo de estado de tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    7. Sistemas controlados por computador 1137.1. Estabilidad en el plano z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.2. Diseno del controlador digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

    7.2.1. Equivalencia al muestreo y retencion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.2.2. Invariancia al impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.2.3. Invariancia al escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.2.4. Integracion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.2.5. Coincidencia de polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.2.6. Transformacion bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.2.7. Metodos modernos de diseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

  • Captulo 1

    Modelos de procesos continuos

    Los procesos continuos o, mejor dicho, de tiempo continuo, son los que admiten modelos mate-maticos relativamente simples, basados en ecuaciones diferenciales. Estos modelos muchas vecesson lineales, o admiten ser linealizados, por lo que se obtienen con relativa facilidad y son exactos(siempre y cuando las hipotesis supuestas sean ciertas). Suelen representar el comportamientode sistemas fsicos que siguen leyes fsicas elementales.

    Los procesos continuos pueden controlarse utilizando controladores analogicos o digitalesdando lugar, respectivamente, a sistemas de control analogicos a sistemas controlados por com-putador.

    1.1. Procesos de tiempo contnuo

    Tiempo continuo significa que la variable independiente de las ecuaciones del modelo ma-tematico es el tiemp t del proceso y que este vara de forma continua en un intervalo de R. Lasecuaciones diferenciales del modelo son, en general, ecuaciones en derivadas parciales (EDP)pero muchas veces se pueden reducir a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) e incluso aveces a ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y con coeficientes constantes. Esto da lugara la siguiente clasificacion de los sistemas de tiempo contnuo:

    Sistemas de parametros distribuidos (EDP)

    Sistemas de parametros concentrados (EDO)

    Sistemas lineales (EDO lineales)

    Sistemas lineales de parametros constantes (EDO lineales con coeficientes constantes)

    De todos ellos los ultimos son los mas simples y para ellos se ha desarrollado una teoramatematica muy potente basada en el Algebra Lineal. Esto es importante para el ingeniero yaque puede calcular con facilidad la solucion de muchos problemas que aparecen en algunas ramastecnicas como por ejemplo

    Circuitos electricos

    Sistemas mecanicos

    Sistemas termicos

    Sistemas de fluidos

    5

  • 6 CAPITULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS

    Amplificadores electronicos

    Sistemas de control

    Robotica

    Sistemas dinamicos lineales en general

    Los paquetes informaticos denominados Computer Aided Control System Design (CACSD)son de gran ayuda para estos menesteres. Algunos de ellos son Matlab y Scilab.

    Parametros y variables

    En los modelos matematicos las magnitudes que evolucionan en el tiempo se llaman variablesdel sistema o, a veces, senales. Estas variables son funciones de la variable independiente t, querepresenta el tiempo.

    Las magnitudes que no evolucionan (o cuya evolucion no se tiene en cuenta) se llamanparametros del sistema.

    En cada uno de los sistemas fsicos que vamos a estudiar (mecanicos, electricos, termicos, defluidos, termicos y mixtos) existe un conjunto de variables y parametros que lo caracterizan. Enlos sistemas electricos, por ejemplo, las variables son el voltaje, la carga, la intensidad, el flujomagnetico, etc. mientras que los parametros son la resistencia, el coeficiente de autoinduccion, lacapacidad, etc. En los sistemas mecanicos de translaci