capitulo 4 CONTROL AUTOMATICO

CAPITULO IVFUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE

CONTROL CON RETROALIMENTACION

Juan F. del Pozo L.

FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROLSistema de control de circuito cerradoEspecificaciones en el dominio de tiempo para un

sistema de controlRelación entre la ubicación de los polos de la

función de transferencia y la respuesta transitoria

El error en estado estacionario de los sistemas de control realimentados

Ejemplo de diseño. La selección del Controlador y su acción en el error de estado estacionario y en la respuesta dinámica del sistema.

19/04/23 FIEC 2

FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL Sistema de control de circuito cerrado

Se especifica la señal de salida para el sistema Se genera una señal que es la diferencia entre la respuesta

deseada y la real, Error del sistema: E(s)=R(s)-C(s), igual unidades.

La señal de error se utiliza para controlar el proceso Dado un sistema general:

C(s) Señal de salida, por ejemplo: velocidad rad/seg R(s) Señal de referencia, por ejemplo: velocidad rad/seg Ea(s) Señal del error actuante, por ejemplo: voltios

19/04/23 FIEC 3

FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL Sistema de control de circuito cerrado

Hacemos: G*(s)=Gr(s)=H(s) El sistema está configurado mediante “Realimentación

Unitaria” Bajo operación normal, la señal de error debe reducirse a un

valor mínimo Para lograrlo, la magnitud de 1+G*(s)G(s) debe ser mucho mayor

que la unidad en el intervalo de “s” bajo consideración

19/04/23 FIEC 4

( ) ( ) ( ) ( ) *( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ; *( ) ( ) 1 ; ( ) 0

1 *( ) ( )

C PE s R s C s R s G s G s E s G s G s G s

E s R s G s G s E sG s G s

FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

Especificaciones en el dominio de tiempo para un sistema de controlSe debe tener la habilidad de poder ajustar la

respuesta transitoria como de estado estable de un sistema

Un sistema de control debe ser diseñado en base a especificaciones previamente establecidas

Previo el examen del sistema real , se lo somete a ensayo de laboratorio con señales de prueba que simulen a las señales verdaderas

Señales de prueba utilizadas muy frecuentemente son: Escalón Au(t) A/s Rampa o Velocidad At A/s2

Paralólica o Aceleración 1/2At2 A/s3

Impulso t 119/04/23 FIEC 5


Especificaciones en el dominio de tiempo para un sistema de control Funcionamiento de un sistema de

“segundo orden” El conocimiento del sistema de

segundo orden es muy importante porque muchos sistemas reales pueden ser aproximados a este caso Un polo en el origen “s = 0” y otro en “s

= –p”. No hay ceros.

19/04/23 FIEC 6

2

2

2

2 2

ζω

2 1

( ) ( ) ; ( ) 1

; 2

( ) ( )2

1( )

1( ) 1 sen( )

1 ; tan /

n n

n

n n

tn

KC s R s H s

s ps K

K p

C s R ss s

R ss

c t e t

n


Especificaciones en el dominio de tiempo para un sistema de control

Funcionamiento de un sistema de “segundo orden”

19/04/23 FIEC 7



Funcionamiento de un sistema de “segundo orden” Probaremos el sistema con una señal “escalón

unitario” Utilizando SIMULINK observaremos su respuesta

para diferentes valores de su “constante de amortiguamiento”

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Probaremos el sistema con una señal “escalón unitario”

Constante de Amortiguamiento: 2.0, 1.0, 0.5 Frecuencia Natural: 1.0

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FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROLEspecificaciones en el dominio de tiempo para un sistema de control

Funcionamiento de un sistema de “segundo orden” sub-amortiguados. En base a este comportamiento estableceremos las “medidas de

funcionamiento”

19/04/23 FIEC 10

Tiempo de subida Tr Tiempo de pico Tp Tiempo de estabilización

Ts Valor de pico

Mpt Sobrenivel porcentual SP =2%

2

2

/ 1

2

/ 1

40.02 ; ; 1

1 ;1

1100% 100

1

nTs s

n

pt p

n

pt

e T

M e T

MSP e

FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROLEspecificaciones en el dominio de tiempo para un sistema de control

Funcionamiento de un sistema de “segundo orden” sub-amortiguados. En base a este comportamiento estableceremos las “medidas de

funcionamiento”

19/04/23 FIEC 11

2 2

2

/ 1 / 1

/ tan

4

1

100 100

100

n n

s

n

p

n

T

T

SP e e

e




Curvas que muestran la relación de: Sobrenivel Porcentual vs.

Constante de amortiguación Producto Tiempo de Pico por

Frecuencia natural vs. Constante de Amortiguación

Nota: En caso de haber ceros, la respuesta transitoria se vería afectada

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Especificaciones en el dominio de tiempo para un sistema de control Ajuste de un sistema de

“segundo orden” en función Tiempo de Estabilización: Ts

= 4 seg. Sobrenivel Porcentual: SP =

5 % Nota: “log” equivale a

logaritmo natural

19/04/23 FIEC 13

2/ 1

2

2 2

2

4; 100

(log(0.01· ))

(log(0.01· ))

; 2

s

n

n n

T SP e

SP

pi SP

K p

FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROLEspecificaciones en el dominio de tiempo para un

sistema de controlAjuste de un sistema de “segundo orden” en función

Tiempo de Estabilización Ts = 4 seg.

Sobrenivel Porcentual SP = 5 %

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c(t)

r(t)

e(t)

FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL Relación entre la ubicación de los polos de la función de

transferencia y la respuesta transitoria

1 1... ...n m

n o m on m

d y dy d x dxA A A y B B B x

dt dt dt dt

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Sistemax(t) y(t)

X(s) Y(s)

1 1

1 1 2

1 1 2

( ... ) ( ) ( ... ) ( )

( )( )...( )( ) ...( )

( ) ... ( )( )...( )

( ) ( )· ( )

n mn o m o

mm o m

nn o n

A s A s A Y s B s B s B X s

s z s z s zY s B s B s BK G s

X s A s A s A s p s p s p

Y s G s X s

Para una señal de prueba tipo impulso el sistema responderá de acuerdo a su característica propia, “solución característica”.

FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROLRelación entre la ubicación de los polos de la función de

transferencia y la respuesta transitoria La salida de un sistema sin raíces repetidas a la entrada de escalón unitario

representada en forma de fracciones parciales:

Ai , Bk , Ck son residuos. Polos reales: -i. Polos complejos conjugados: -k ± jk La transformada inversa de Laplace de la señal de salida. Ver Tabla 2.3

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2 2 21 1

( ) 1( ) ( )· ( ) ; ( ) ; 1 ; ( )

( )

1( )

2 ( )

M Ni k k

i ki k k k

p sY s G s X s G s K K X s

q s s

A B s CY s

s s s s

1 1

( ) 1 ( )i k

M Nt t

i k k ki k

y t Ae D e sen t


Pares importantes de transformadas de Laplace

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Pares importantes de transformadas de Laplace

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FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL Relación entre la ubicación de los polos de la función de transferencia y la

respuesta transitoria Respuesta a un impulso para varias localizaciones de las raíces en el plano

“s”. Estabilidad Absoluta Estabilidad Relativa

19/04/23 FIEC 19

FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROLEl error en estado estacionario de los sistemas de

control realimentados El “error del sistema” se define como: E(s) = R(s) - C(s) Gr(s) sirve para acondicionar la señal de referencia con el fin de comparar con

las mismas unidades la señal de entrada con la salida Para un sistema estable, el error de estado estacionario:

19/04/23 FIEC 20

0 0

( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ; ( )

1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )

lim ( ) lim ( ) lim 1 ( ) (

r d

r c p dr d

c p c p

r d r d

ss rt s s

E s R s C s C s T s R s T s D s

G s G s G s G sT s T s

H s G s G s H s G s G s

E s R s T s R s T s D s T s R s T s D s

e e t s E s s T s R

) ( ) ( )ds T s D s


El error en estado estacionario de los sistemas de control realimentados El “error del sistema” se define como: E(s) = R(s) - C(s) Gr(s) sirve para acondicionar la señal de referencia con el fin de

comparar con las mismas unidades la señal de entrada con la salida Para un sistema estable, el error de estado estacionario cuando D(s)=0:

19/04/23 FIEC 21

0

( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) 0 ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 ( ) ( )

1( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( )

lim ( ) lim ( )

c p

r

r

r

sst s

E s R s C s G s G s G s

G s G sD s E s R s R s

H s G s

H s G s G s G sE s R s

H s G s

G s H s E s R sH s G s

e e t s E s

)(lim)(lim ssEtee0st

ss


El error en estado estacionario de los sistemas de control realimentados El “error del sistema” se define como: E(s) = R(s) - C(s) Se bebe cumplir con: Gr(s) = H(s) ; G(s)·H(s) = GH(s) Prueba del sistema con diferentes señales de entrada tipo

estándar: Entrada de escalón unitario: 1/s

Entrada rampa o velocidad: 1/s2

Entrada de aceleración: 1/s3

19/04/23 FIEC 22

)0(11

)(lim111

)(11

lim)(lim0

00 GHsGHssGHsssEe

sss

ss

)(1

lim))((lim

11)(1

1lim

00

20 ssGHssGHsssGHse

ss

sss

)(1

lim))((lim

11)(1

1lim 2022

0

30 sGHssGHssssGHse

ss

sss



En términos generales un sistema puede ser representado por:

“N” establece el “tipo de función de transferencia” en base al número de polos en el origen; por ejemplo: “Tipo Cero” equivale a cero polos en el origen

Prueba del sistema con diferentes señales de entrada tipo estándar: Para sistema “Tipo Cero” y señal de entrada de escalón unitario:

El error de estado estacionario: Kp : “Constante de Posición”

19/04/23 FIEC 23

)()(

)(k

Q1k

Ni

M1i

psszs

KsGH

1 1

01 1

( )( ) ; lim ( )

( )

M Mi i i i

pQ Qsk k k k

s z zGH s K GH s K K

s p p

pss K1

1e



Prueba del sistema con diferentes señales de entrada tipo estándar: Para sistema “Tipo Uno” y señal de entrada de rampa:

El error de estado estacionario: Kv : “Constante de Velocidad”

19/04/23 FIEC 24

1 1

01 1

( )( ) ; lim ( )

( )

M Mi i i i

vQ Qsk k k k

s z zKGH s sGH s K K

s s p p

vss K

1e



Prueba del sistema con diferentes señales de entrada tipo estándar: Para sistema “Tipo Dos” y señal de entrada de aceleración:

El error de estado estacionario: Ka : “Constante de Aceleración”

19/04/23 FIEC 25

21 12 0

1 1

( )( ) ; lim ( )

( )

M Mi i i i

aQ Qsk k k k

s z zKGH s s GH s K K

s s p p

ass K

1e

FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROLEl error en estado estacionario de los sistemas de

control realimentados Prueba del sistema con diferentes señales de entrada tipo

estándar: Cuando: Gr(s) = H(s) ; G(s)·H(s) = GH(s)

Tipo de GH(s) Escalón=Au(t)

R(s)=A/s

Rampa=At

R(s)=A/s2

Parábola=At2/2

R(s)=A/s3

0 ess=A/(1+Kp) Infinito Infinito

1 ess=0 A/Kv Infinito

2 ess=0 0 A/Ka

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Prueba del sistema de segundo orden “TipoUno” con una señal de entrada tipo rampa: Ajustar en función del: Tiempo de Estabilización

Ts = 4 seg. Sobrenivel Porcentual

SP = 5 %

19/04/23 FIEC 27

vss

0sv

K1

e

pK

pssK

sK

)(

lim



Prueba del sistema de segundo orden “TipoUno” con una señal de entrada tipo rampa: Ajustar en función del Tiempo de Estabilización y el Sobrenivel

Porcentual Ts = 4 seg. SP = 5 %

19/04/23 FIEC 28

c(t)

r(t)

e(t)

FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROLEjemplo de diseño. La selección del Controlador y su acción en

el error de estado estacionario y en la respuesta dinámica del sistema.

Caso de estudio: Tomaremos el caso de un generador de corriente continua. El generador es impulsado por una turbina la que mantiene la velocidad

constante. Se dispone de un amplificador que se encargará de controlar al sistema. Debemos seleccionar un amplificador adecuado de tal manera de poder

restablecer el nivel del voltaje de servicio en su valor nominal después que el sistema ha sido perturbado con una variación de carga tipo escalón.

19/04/23 FIEC 29

)(1

)(

)()(

)()()()(

sVsLR

sI

sIKsE

sIsRsEsV

fff

f

fgg

aaga



Caso de estudio: Tomaremos el caso de un generador de corriente continua. Debemos seleccionar un amplificador adecuado “Kc(s)” de tal manera de

poder restablecer el nivel del voltaje de servicio “Va(s)” en su valor nominal después que el sistema ha sido perturbado con una variación de carga “Ia(s)” tipo escalón.

19/04/23 FIEC 30

1( ) · ( ) ( )· (

()( )

)c

ca t g r a f f a

f f t gKV s KK V s R R sL I s

sL Rs

KKK s



Caso de estudio: Tomaremos el caso de un generador de corriente continua.

Debemos seleccionar un amplificador adecuado “Kc(s)” de tal manera de poder restablecer el nivel del voltaje de servicio “Va(s)” en su valor nominal después que el sistema ha sido perturbado con una variación de carga “Ia(s)” tipo escalón.

19/04/23 FIEC 31

00

( ) ( ) ( ) ; ( ) 0

( ) ( )

( )( ) ( ) ; ( )

lim ( )lim

( )

( )

r a r

a

a f fa a a

f f t g

a fa

c

sss f t g

sc

E s V s V s V s

E s V s

R R sL AV s I s I s

sL R KK s

R Re sV s A

R KK

K s

K s




Debemos seleccionar un amplificador adecuado “Kc(s)” de tal manera de poder restablecer el nivel del voltaje de servicio “Va(s)” en su valor nominal después que el sistema ha sido perturbado con una variación de carga “Ia(s)” tipo escalón.

Si el amplificador es simplemente una constante “Kc(s)=Kp”, caso del Controlador Proporcional “P”, se observa que el valor de estado estacionario del voltaje de servicio “ess = -vass” es finito; esto es, no se recupera a su valor original.

Aumentando el valor de “Kp”, el valor de la desviación del voltaje de servicio disminuye

19/04/23 FIEC 32

a f

ssf g pt

R Re A

R KK K



Si el amplificador es simplemente una constante “Kc(s)=Kp”, caso del Controlador Proporcional “P”, (Ki(s)=0), utilizando SIMULINK Ra = 5 Kg =15 Lf = 50 Rf = 10 Kt = 1

19/04/23 FIEC 33



Efecto en Va(t) por cambio en: Referencia Carga

Ajuste del Controlador Proporcional “P”: Kp = 1 Kp = 4

19/04/23 FIEC 34

Va(t)

Vr(t)

Ia(t)Vf(t)



Debemos seleccionar un amplificador adecuado “Kc(s)” de tal manera de poder restablecer el nivel del voltaje de servicio “Va(s)” en su valor nominal despues que el sistema ha sido perturbado con una variación de carga “Ia(s)” tipo escalón.

Si el amplificador es un Controlador Integral “I”, la función de tranferencia será:

19/04/23 FIEC 35

2

0

( )

( )( ) ( )

lim ( ) 0

Ic

f f aa

f f t g

ass

I

s

KK s

ss R sL R A

E s V ss L sR KK s

e sV s

K




Ajuste del Controlador Integral “I”: KI = 1 KI = 4

19/04/23 FIEC 36


Caso de estudio: Tomaremos el caso de un generador de corriente continua. Aprovechando en forma conjunta las características de

ambos controladores tenemos el caso del Controlador Proporcional-Integral “PI”

El valor final del error del sistema de estado estacionario:

19/04/23 FIEC 37

2

0

( )( ) ( )

lim ( ) 0

f f aa

f f t g t g

asss

P I

s R sL R AE s V s

s L s R KK KK s

e sV s

K K

( )I

pK

Kc s Ks



Aprovechando en forma conjunta las características de ambos controladores tenemos el caso del Controlador Proporcional-Integral “PI”


Ajuste del Controlador “PI”: KP = 1 ; KI = 4 KP = 2 ; KI = 2

19/04/23 FIEC 38



Dado que el sistema es de segundo orden, ajustaremos el Controlador “PI” para que el sistema tenga un Sobrenivel Porcentual de 5% y un Tiempo de Estabilización de 10 seg.

Usaremos el método de comparación de coeficientes entre su Ecuación Característica y la ecuación de segundo orden:

2

22

2

2

(. . : 0 ;

1. 2 0

2. 0

2. 2

) (

.

)f f t g

n n

f t g t g

f f

f ff t g

Ic c p

P I

P n

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nf t g

ft g

nf

P

II

t g

KK s K s K

s

K K

KK

KK

E C R L s KK

s s

R KK KKs s

L L

L RR KKa

L KK

LKKb

L KK

21 0.4

100 ;7 0.58s

nnSP T

19/04/23 FIEC 39



Dado que el sistema es de segundo orden, ajustaremos el Controlador PI =KP+KI/s, para: Sobrenivel Porcentual

de 5% Tiempo de

Estabilización de 10 seg.

19/04/23 FIEC 40



Aplicación del Pre-Filtro Ajuste del Controlador “PI”:

S.P = 5 %; Ts = 10 s.

2

2

( ) ( ) ;

( ) /( ) ( )

( ) / /

_ Pr

( ) /( ) ( )

( )

( ) / /

( )( )

t ga r

f f t g

t g fa r

f t g f t g f

t g fa r

f t

c Ic

g f t

Pc

P I

P I

P I

g I

I

P fI P

KKV s V s

sL R KK

s KK LV s V s

s s R KK L KK L

Con efiltro

s KK LV s V s

s s R KK

K s KK s K

K s s

K K

K K

K K

K

K

sK K LKKK L

19/04/23 FIEC 41

Vr(t)



El sistema será ajustado para: Sobrenivel Porcentual de 5% Tiempo de Estabilización de 10

seg. La simulación será realizada

con la herramienta de MATLAB denominada SISO.

19/04/23 FIEC 42



El sistema será ajustado para: Sobrenivel Porcentual de 5% Tiempo de Estabilización de

10 seg. La simulación será

realizada con la herramienta de MATLAB denominada SISO.

19/04/23 FIEC 43


Caso de estudio: Tomaremos el caso de un generador de corriente continua. El sistema será ajustado para:

Sobrenivel Porcentual de 5% y Tiempo de Estabilización de 10



Nota: observe el efecto del cero en la función de transferencia incorporado por el controlador.

19/04/23 FIEC 44



El sistema será ajustado para: Sobrenivel Porcentual de 5% y Tiempo de Estabilización de 10



Eliminación del efecto del cero del controlador PI mediante el uso del Prefiltro F(s).

2

0.6( 0.55)( )

0.8 0.330.55

( )0.55

sT s

s s

F ss

19/04/23 FIEC 45

capitulo 4 CONTROL AUTOMATICO

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