Conteo de Puntos Muestrales

Ing. Mario Manuel Antonio Balderas MartnezPROBABILIDAD Y [email protected] AUNMSM - FQIQ ING.JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO1Objetivos de AprendizajeDefinir lo que es probabilidad.Describir los enfoques clsicos.Calcular las probabilidades aplicando las reglas de adicin y multiplicacin.Determinar el numero de permutaciones.Determinar el numero de combinacionesCalcular la probabilidad utilizando el Teorema de Bayes. 22ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO3Cmo osamos hablar de leyes del azar? No es, acaso, el azar la anttesis de cualquier ley?

Bertrand Rusell

3ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO Por qu una encuesta de 1000 o 1500 personas permite predecir bastante bien el resultado de la eleccin con 8 millones de votantes?

Cmo se logra este resultado?

Cmo se mide la precisin del resultado?4ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO5La probabilidad de tener un accidente de trfico aumenta con el tiempo que pasas en la calle. Por tanto, cuanto mas rpido circules, menor es la probabilidad de que tengas un accidente.

5ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO6El 33 % de los accidentes mortales involucran a alguien que ha bebido. Por tanto, el 67 % restante ha sido causado por alguien que no haba bebido. A la vista de esto y de lo anterior, esta claro que la forma ms segura de conducir es ir borracho y a gran velocidad.

6ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO7En un estudio de control de calidad de una fbrica de focos, sera muy costoso examinar cada una. Se usa una muestra de 500 focos. Las normas de calidad exigen que a lo ms 3% de los focos pueden durar menos de 1000 horas en un lote de 5000 focos.Si obtenemos 3,2% de focos defectuosos en una muestra de 500 focos, podemos declarar el lote completo defectuoso?

Cmo se usa este resultado obtenido de una muestra?7ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOQUE ES PROBABILIDAD?

8ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO9La Probabilidad es una disciplina matemtica cuyos propsitos son de la misma clase que, por ejemplo, los de la Geometra o la Mecnica Analtica. En cada campo debemos distinguir tres aspectos de la teora: a) el contenido lgico-formal, b) el antecedente intuitivo, c) las aplicaciones. El carcter y el encanto de toda la estructura no pueden ser apreciados sin considerar los tres aspectos adecuadamente relacionados.

William Feller, Introduccin a la Teora de Probabilidades y sus aplicaciones.

9La aficin al juego fue lo que impuls el desarrollo de la probabilidad.

En un esfuerzo por aumentar sus ganancias pidieron a los matemticos que les proporcionaran las estrategias ptimas para varios juegos de azar.

Como resultado de este primer desarrollo de la teora de la probabilidad, se extiende junto con la estadstica a muchos campos, como la poltica, los negocios, la prediccin del clima, y la investigacin cientfica.1010ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOProbabilidad: Una medicin de la posibilidad de que un evento ocurra en el futuro, esta puede asumir solamente valores entre 0 y 1.

11ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOProbabilidad. Una medicin de la posibilidad de que un evento ocurra en el futuro, esta puede asumir solamente valores entre 0 y 1.

Existe un 1% de probabilidad de que la Tierra sea golpeada por un NEO de 300 metros de dimetro durante el siglo XXI. 12ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOExperimento: La observacin de alguna actividad o el acto de realizar alguna medicin.

13ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOExperimento Aleatorio: Cualquier situacin que, realizada en las mismas condiciones, proporcione un resultado imposible de predecir a priori.

14ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOEvento o Suceso: Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (E).

15ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOEjemplo de Evento:

El resultado de la TINKA es un evento estadstico.16ESTADISTICA APLICADA A LA INGENIERIAUNMSM - FQIQ- IQ - 2008 -IIING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOEspacio Muestral: Es el conjunto de todos los resultados de un experimento aleatorio. Se simboliza con S.Ejemplo: Espacio muestral del lanzamiento de un dado.17ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOEjemplo: Espacio muestral del lanzamiento de dos dados.

18ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOProbabilidad de que el sol desaparezca: 0.0Probabilidad de que Universitario campeon: 0.2Probabilidad de que una moneda de : 0.5Probabilidad de suba el precio del petrleo: 0.7Probabilidad de que el ao 2011 venga El Nio: 0.919

PROBABILIDAD19ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOCONCEPTOS DE LA PROBABILIDAD20ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO21CONCEPTO CLSICO DE LA PROBABILIDAD El enfoque clsico o a priori de la probabilidad est basado en la suposicin de que todos los resultados del experimento son igualmente posibles. La probabilidad se calcula de la siguiente manera: =Probabilidad del evento nmero de posibles resultados del eventonmero total de resultados posibles del experimento21ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOEjemplo El experimento es lanzar un dado. Cul es la probabilidad de que caiga un dos hacia arriba? P( caiga 2 ) = 1/6= 0.166

Cuando solo puede ocurrir un evento a la vez se dice que son eventos mutuamente exclusivos.22

22ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO23CONCEPTO FRECUENTISTA DE PROBABILIDADLa probabilidad de que suceda un evento es determinada observando como sucede el evento en el pasado. En trminos de frmula:=Probabilidad de que suceda un evento nmero de veces que sucedi el evento en el pasadonmero total de observaciones23ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOEjemplo Se sabe que una moneda est cargada. Para determinar la probabilidad de que caiga guila se lanza 60 veces la moneda al aire, de las cuales 25 veces cay guila. Si aplicamos la frmula: P(cae guila ) 25 = 0.41

24 60

24ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO25CONCEPTO SUBJETIVO DE LA PROBABILIDAD Si no hay experiencia anterior o hay muy poca sobre la cual basar una probabilidad, esta se fundamenta en la intuicin, opiniones, creencias personales y otra informacin indirecta. Este tipo de probabilidad es el enfoque subjetivo de la probabilidad. Concepto subjetivo de probabilidad .La probabilidad de que un evento en particular suceda es asignada por un individuo basado en cualquier informacin disponible, como intuicin, opiniones etc.25ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOEjemplo:

Hay una probabilidad del 80% de que el Alianza le gane al San Martn.Hay una probabilidad del 90% de que las ventas mejoren el ao prximoHay una alta probabilidad de sacarme un 20.26

26ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOTEOREMAS DEPROBABILIDAD27ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO28Interseccin de dos eventos es el conjunto de resultados de un experimento que pertenece a los dos eventos dados. El operador de la interseccin es Unin de dos eventos es el conjunto de resultados de un experimento que pertenece a alguno de los dos eventos dados. El operador de la unin es U.REGLA DE ADICIoN 28ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO29Interseccin de dos eventos es el conjunto de resultados de un experimento que pertenece a los dos eventos dados. El operador de la interseccin es Unin de dos eventos es el conjunto de resultados de un experimento que pertenece a alguno de los dos eventos dados. El operador de la unin es U.REGLA DE ADICION 29ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO La probabilidad de que alguno de dos eventos pertenecientes a un mismo espacio muestral ocurra se determina mediante la siguiente ecuacin: P( A U B ) = P( A ) + P( B ) P( A B ) Ejemplo: Si el experimento es lanzar un dado una vez, el espacio muestral es: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Si el evento A es cae un nmero par A = { 2, 4, 6 } Si el evento B es cae un nmero menor de 3 B = { 1, 2 }3030ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO Cul ser la probabilidad de que suceda alguno de estos dos eventos? Entonces la probabilidad de A y la probabilidad de B es: P(A) =3= 0.50 P(B) =2= 0.3366 Para aplicar el teorema es necesario conocer la probabilidad de la interseccin de estos dos eventos, es decir, la probabilidad de que caiga un nmero par y menor de 3.

A B = { 2 }P(A B) =1= 0 .166

Si aplicamos la regla de adicin: P( A U B ) = P( A ) + P( B ) P( A B ) P( A U B ) = 0.50 + 0.33 0.16 = 0.673131ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO Cual en la probabilidad de que una carta elegida al azar de una baraja de 52 naipes sea un rey o una de corazones? Solucin:

CartaProbabilidadExplicacinReyP(A) = 4/52Hay 4 reyes en una barajaDe corazonesP(B) = 13/52Hay 13 corazones en una barajaRey de corazonesP(AyB)=1/52Hay un rey de corazones en una baraja32 Resolviendo: P(AoB)=P(A)+P(B)- P(AyB) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 0.307732ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO33REGLA DE ADICION

ESPECIAL Para dos eventos:

P(AoB)=P(A)+P(B)

Para tres eventos:

P(AoBoC)=P(A)+P(B) + P(C)33ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO Una mquina llena bolsas de plstico con mezcla de frijoles, brcolis y legumbres. La mayora tiene pesos correctos, pero debido a ligeras variaciones en el tamao de los frijoles y de las otras legumbres, un paquete puede tener un peso ligeramente menor o mayor. Una verificacin anterior de muchos paquetes indico:PESOEVENTON PAQUETEPROBABILIDAD DE OCURRENCIACon peso menorA1000.025SatisfactorioB36000.900Con peso mayorC3000.07540001.0003434ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

35P(AoC)=P(A) + P(C)P(AoC)= 0.025 + 0.07P(AoC)= 0.1035ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO36La probabilidad condicional es la probabilidad de que un evento dado ocurra dado que otro evento ocurre. El operador de la probabilidad condicional es el signo .REGLA DE MULTIPLICACION36ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOLa probabilidad de que dos eventos dados ocurran si uno de ellos depende de que ocurra el otro es: P(AB) = P(A) P(AB) Ejemplo: El experimento es extraer aleatoriamente dos canicas de una urna que contiene 5 canicas rojas y 5 canicas verdes. Cul es la probabilidad de que ambas canicas sean rojas? P(A) = {la primer canica es roja} P(B) = {la segunda canica es roja} 3737ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO P(BA) = {la segunda canica es roja dado que la primer canica es roja} P(AB) ={las dos canicas son rojas} Al extraer la primer canica hay en la urna 5 canicas rojas de un total de 10, por lo que la probabilidad es: P(A) =5= 0.5010 Al extraer la segunda canica hay en la urna 4 canicas rojas de un total de 9, por lo que la probabilidad de que la segunda sea roja dado que la primera fue roja es:3838ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO39REGLA DE MULTIPLICACIONESPECIALPara dos eventos: P(AyB)=P(A)*P(B)

Para tres eventos: P(AyByC)=P(A)*P(B)* P(C)39ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOEjemplo Se lanzan dos monedas Cul es la probabilidad de que ambas caigan guila? Solucin: P(AyB) = P(A) * (P(B) = (1/2)*(1/2) = 0.25 4040ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOPROBLEMAS

41ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO 1.- Suponga que de un grupo de 500 estudiantes universitarios se encuentra que 300 fuman, que 350 consumen bebidas alcohlicas y que 250 tienen estos dos hbitos nocivos para la salud. Cul es la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente

tenga alguno de estos dos malos hbitos?no tenga ninguno de estos dos psimos hbitos?fume pero no tome?tome pero no fume?No fume?No tenga alguno de estos nefastos hbitos?4242ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO 2.-La probabilidad de que una compaa norteamericana ubique una de sus plantas en Jurez es 0.7, la probabilidad de que instale una planta en Chihuahua es 0.4, la probabilidad de que no se ubique ni en Jurez ni en Chihuahua es .20. Cul es la probabilidad de que

Se ubique en alguna de estas dos ciudades?Se ubique en ambas ciudades?No se ubique en alguna de estas dos ciudades?Se ubique en Chihuahua pero no en Jurez?Se ubique en Jurez pero no en Chihuahua?Ubique una planta en Jurez dado que ya se ubic en Chihuahua?Ubique una planta en Chihuahua dado que ya se ubic en Jurez?4343ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO 3.- En cierta escuela de 45 estudiantes que reprobaron Estadsticas I, 32 dijeron que reprobaron por no estudiar, 18 porque no le entienden al maestro, 9 por causas diferentes a estas dos. Encuentre la probabilidad de los siguientes eventos:

Reprob porque no estudi o porque no le entiende al maestroReprob porque no estudi y porque no le entiende al maestroReprob porque no estudi y no porque no le entiende al maestroReprob porque no le entiende al maestro y no porque no estudi4444ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO 4.- Se realiz una encuesta sobre preferencias en materia de peridicos, de 350 personas entrevistadas, 200 leen el Heraldo, 140 leen el Diario y 105 leen los dos peridicos. Encontrar la probabilidad de los siguientes eventos:

Lee alguno de estos dos peridicosNo lee ninguno de estos dos peridicosLee el Diario pero el Heraldo noLee el Heraldo pero el Diario noLee el Heraldo dado que lee el DiarioLee el Diario dado que lee el HeraldoNo lee alguno de estos dos Peridicos4545ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO 5.- La probabilidad de que en un matrimonio, el esposo vea cierto programa de TV es 0.4, la probabilidad de que la esposa lo haga es de 0.5. La probabilidad de que el esposo vea el programa de TV dado que la esposa lo hace es de 0.7. Encuentre la probabilidad de que:

Ambos vean el programa de TVAlguno de los dos vea el programa de TVNinguno vea el programa de TVEl esposo vea el programa pero la esposa noLa esposa vea el programa pero el esposo noLa esposa vea el programa dado que el esposo lo haceAlguno de los dos no ve el programa4646ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZODIAGRAMA DE ARBOL4747ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZODIAGRAMA DE ARBOLEs una tcnica en la que se determinan y despliegan sistemticamente los medios necesarios para alcanzar un objetivo hasta llegar al nivel de acciones concretas (Plan de Implementacin).48

48ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZODIAGRAMA DE ARBOL49

49ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO Desarrollo de ideas para resolver problemas . Desarrollo de metas, polticas y programas. Desarrollo de requisitos de calidad. 50CAMPOS DE APLICACIN PRCTICA DEL DIAGRAMA DE RBOL DIAGRAMA DE ARBOL50ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO51

DIAGRAMA DE ARBOL51ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO52Diagrama de Arbol: EjemploCmo disminuir los costes de calidad?Optimizar costes de realizacin de procedimientosOptimizar costes de formacinOptimizar costes de pautas de inspeccinOptimizar costes de inspeccin de recepcinOptimizar costes de inspeccin de procesosOptimizar costes de inspeccin finalDisminuir costes de reprocesoDisminuir costes de disposicin de materialDisminuir costes de garantasDisminuir costes de reprocesoDisminuir costes de calidadOptimizar costes de prevencinOptimizar costes de fallo internoOptimizar costes de evaluacinOptimizar costes de fallo externo52ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZODe cuntas maneras distintas puede Laura efectuar el viaje? Representemos con un diagrama de rbolEjemplo: Laura se gan un viaje para dos personas, al entregrselo le presentaron las siguientes opciones:* Lugar: Acapulco o Cancn* Transporte: Autobs o Avin* Acompaante: Pap, mam o hermanoDiagrama de rbolAcapulcoAutobsAvinPapMamHermanoPapMamHermanoCancnAutobsAvinPapMamHermanoPapMamHermanoContamos ahora, todas las opciones de la ltima columna solamente y tendremos el total de formas posibles en las que Laura puede efectuar su viaje.

Por lo tanto, Laura puede viajar de 12 maneras diferentes. Esto corresponde a:56TEOREMA DE BAYES56ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO57En el siglo XVII el reverendo Thomas Bayes, ministro presbiteriano ingls, interesado en las ciencias matemticas intento desarrollar una formula para llegar a probar la probabilidad de que Dios Exista.Laplace, afino dicho trabajo y le dio el nombre de Teorema de BayesTEOREMA DE BAYES

57ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO58Donde:A1 y A2 = son eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un evento se denominan "probabilidades a priori.Una vez que incorporamos la informacin de que ha ocurrido un evento, las probabilidades del suceso (A) cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".TEOREMA DE BAYESP(A1|B)= P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)P(A1)P(B|A1)58ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO59Ejemplo: La textilera Ecotexa, compra un cargamento de telas de tres casas proveedoras.Un 30% de las telas se adquieren en Casa Ochoa, 20% a Casa Textiles del Sur, y el 50% sobrante a Tituanatex.Ecotexa posee informacin de las tres casas y sabe que 3% de la mercadera de Casa Ochoa son defectuosas,5% de telas de Casa Textiles del Sur no son aceptables, y que 4% de telas de Tituanatex tienen algn tipo de defecto.Al llegar a bodega no son seleccionados y se toma un paquete de telas que resultan ser defectuosas. Cual es la probabilidad de que esta mercadera sea de Casa Ochoa?.TEOREMA DE BAYES - Ejemplo59ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO60Solucin: Existen tres eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, que son las tres casas:A1 mercadera de compro en Casa Ochoa, A2 mercadera de compro en Casa Textiles del Sur, A3 mercadera de compro en Tituanatex.Las probabilidades a priori son:P(A1) =(30/100)= 0.30 probabilidad de mercadera adquirida por Casa Ochoa.P(A2) =(20/100)= 0.20 probabilidad de mercadera adquirida por Casa Ochoa.P(A3) =(40/100)= 0.40 probabilidad de mercadera adquirida por Casa Ochoa.TEOREMA DE BAYES - Ejemplo60ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO PROBABILIDADES CONDICIONALES:

TEOREMA DE BAYES - EjemploP(B|A1) = (3/100)= 0.03 mercadera de Casa Ochoa , sea defectuosa.P(B|A2) = (5/100)= 0.05 mercadera de Textiles de Sur , sea defectuosa.P(B|A3) = (4/100)= 0.04 mercadera de Tituanatex , sea defectuosa.UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJALa informacin se la puede resumir en la siguiente tabla:Evento AiProbabilidad a Priori, P(Ai) Probabilidad condicional, P(B1|Ai)

Probabilidad conjunta, P(Ai|B1)

Probabilidad posteriori, P(Ai|B1) Casa Ochoa0.300.030.0090.009/0.039=0.2308Textiles de Sur0.200.020.0100.010/0.039=0.2564Tituanatex0.500.050.0200.020/0.039=0.51280.39Para obtener la probabilidad posteriori, dividimos la probabilidad de cada evento para el total de probabilidades conjuntas.TEOREMA DE BAYES - EjemploUNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJALa probabilidad de que un paquete de telas que resultan ser defectuosas sea de Casa Ochoa, lo podemos encontrar aplicando el Teorema de Bayes. Se desea calcular P(A1|B1) , donde A1 se refiere a Casa Ochoa, y B1 de que la mercadera resulte defectuosa.

P(A1 |B1)= P(A1)P(B1|A1) P(A1)P(B1|A1) + P(A2) P(B1|A2) + P(A3) P(B1|A3)

= (0.30)(0.03) (0.30)(0.03)(0.20)(0.02)(0.50)(0.05)

= 0.009 = 0.2308 0.039Nos podemos dar cuenta que nos proporciona el mismo resultado obtenido en la tabla anterior.

TEOREMA DE BAYES - EjemploUNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJA

64ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOProblema 01: Tres mquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fbrica. Los porcentajes de produccin defectuosa de estas mquinas son del 3%, 4% y 5%. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la mquina B. Qu mquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?6565ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

Solucin al problema 01: Sea D = "la pieza es defectuosa" y N = "la pieza no es defectuosa".La informacin del problema se expresa en el diagrama de rbol adjunto.

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a) Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total, P(D) = P(A) P(D/A) + P(B) P(D/B) + P(C) P(D/C) = = 0.45 0.03 + 0.30 0.04 + 0.25 0.05 = 0.038

66ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOSolucin al problema 01(sigue): b) Debemos calcular P(B/D), Por el teorema de Bayes,

c) Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparndolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

La mquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A 67ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOProblema 02: Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, cul es la probabilidad de haber sido extrada de la urna A?68Solucin del Problema 02: Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de rbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.

68ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOSolucin al problema 02: La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

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69ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOProblema 03: El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas tambin, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. Cul es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?Solucin al problema 03: La probabilidad de que haya un accidente en una fbrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta s se ha producido algn incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningn incidente es 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, cul es la probabilidad de que no haya habido ningn incidente?70ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

71ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOEn el supuesto de que haya funcionado la alarma, cul es la probabilidad de que no haya habido ningn incidente?72Sean los sucesos:I = Producirse incidente.A = Sonar la alarma.

72ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOProblema 04: Considera una fbrica de botellas que cuenta con dos mquinas para producir sus botellas. En esa fbrica se producen 10,000 botellas al da. La mquina A produce 6,500 botellas diarias de las cuales el 2% son defectuosas. La mquina B produce 3,500 botellas cada da de las cuales el 1% son defectuosas.Si un inspector de calidad de la compaa selecciona una botella al azar y encuentra que esta defectuosa Cul es la probabilidad de que la botella haya ha sido producida por la maquina A?73ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOABDDDDCCMAQUINABOTELLA0.650.350.020.980.010.9974ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOP(A D) =P(A) P(DA)P(DA) P(A) + P(DB)P(B) 6,50010,000x 0.026,50010,000x 0.023,50010,000x 0.01+P(A D) =P(A D) =0.0130.013 + 0.0035= 0.78875ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO76PROBLEMAS PROPUESTOS DE TEOREMA DE BAYES

76ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO 1.- Una urna contiene dos monedas de bronce y tres de cobre. Otra urna contiene cuatro monedas de bronce y tres de cobre. Si se elige una urna al azar y se extrae una moneda al azar, cul es la probabilidad de que la moneda extrada sea de bronce? 2.- En tres plantas, A, B y C, fabrican el 50 %, el 30 % y el 20 %, respectivamente, del total de los objetos de una empresa. Los porcentajes de produccin defectuosa de estas plantas son, respectivamente, el 3 %, el 4 % y el 5 %. a) Si se selecciona un objeto al azar, qu probabilidad tiene de salir defectuoso?b) Suponiendo que es defectuoso, cul es la probabilidad de que se haya producido en la planta A?7777ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO 3.- En un instituto se ofertan tres modalidades excluyentes, M, P y Q, y dos idiomas excluyentes, alemn y francs. La modalidad M es elegida por un 50 % de los alumnos, la P por un 30 % y la Q por un 20 %. Tambin se conoce que han elegido alemn el 80 % de los alumnos de la modalidad M, el 90 % de la modalidad P y el 75 % de la Q, habiendo elegido francs el resto de los alumnos. a) Qu porcentaje de estudiantes del instituto ha elegido francs? b) Si se elige al azar un estudiante de francs, cul es la probabilidad de que sea de la modalidad M?

7878ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO

4.- En un IES hay tres profesores de Matemticas. Cuando un alumno se matricula en el centro tiene igual probabilidad de que le asignen uno y otro profesor de Matemticas. La probabilidad de obtener como nota final un sobresaliente con el profesor A es 0,3: la de obtenerlo con el profesor B es de 0,28; y la de obtenerlo con el profesor C es 0,35. a) Calcular la probabilidad de que un alumno matriculado en Matemticas obtenga como nota final un sobresaliente. b) Sabiendo que un alumno ha obtenido un sobresaliente como nota final en Matemticas, cul es la probabilidad de que le hubiesen asignado al profesor C?


5.- Un club tiene un 75 % de sus miembros que son mujeres y un 25 % que son hombres. De este club tiene celular un 25 % de las mujeres y un 50 % de las hombres. a) Calcular el porcentaje de miembros de este club que no tienen telfono mvil. b) Calcular la probabilidad de que un miembro de este club elegido al azar entre los que tienen telfono mvil sea hombre. 6.- Dos amigos comparten piso. El primero prepara la comida el 40 % de los das y el resto de los das lo hace el segundo. El porcentaje de veces que se le quema al primero es el 5 %, mientras que el del segundo es el 8 %. a) Calcular la probabilidad de que un da, elegido al azar, la comida est quemada. b)Si cierto da se ha quemado, calcular la probabilidad de que haya cocinado el primero.


7.- Hay 2 cines. En el 1ero el 50% de las pelculas son de accin mientras que en el 2do lo son el 70%. Un espectador elige al azar un cine siguiendo un mtodo que implica que la probabilidad de elegir le primero es el triple que la de elegir el segundo. Una vez llega al. a) Calcular la probabilidad de que la pelcula que vea sea de accin. b) Sabiendo que la pelcula que ha visto es de accin, obtener la probabilidad de que haya acudido al primer cine.8.- En una urna A hay 5 bolas blanca y 2 roja, y en otra B hay 3 bolas verdes, 6 blancas y 5 rojas. Se lanza un dado trucado, con las caras numeradas del 1 al 6 y en el que la probabilidad de obtener un 6 es el doble que la de obtener cualquier otro nmero. Si al lanzar el dado sale un nmero par, se saca una bola de la urna A, y si sale un nmero impar, la bola se saca de la urna B. Determinar la probabilidad de que la bola que se saque sea roja.


9.- Dos amigos A y B comparten un nmero de telfono. De las llamadas que llegan, 2/5 son para A y 3/5 son para B. Sus ocupaciones les alejan de este telfono, de modo que A est fuera de este telfono el 50 % de l tiempo y B el 25 % . Calcula la probabilidad de que alguien conteste el telfono cuando suene.

10.- Tenemos la urna A con 4 bolas rojas y 6 blancas la urna B con 7 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona una urna al azar, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. continuacin se extrae una bola de la segunda urna . calcula la probabilidad de que las dos bolas extradas sean el mismo color. 82ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZO 11.- En un mercado, el 70 % de las compras las realizan mujeres; de las compras realizadas por stas, el 80% supera los 20 , mientras que las compras realizadas por los hombres slo el 30 % supera esa cantidad. a) Elegido un ticket de compra al azar, cul es la probabilidad de que supere los 20 ? b) Si se sabe que un ticket de compra no supera los 20 , cul es la probabilidad de que la compra haya sido hecha por una mujer? 12.- Una prueba diagnstica para el cncer uterino tiene un coeficiente falso-positivo de 0,05 y falso-negativo de 0,10. Una mujer con una probabilidad pre-prueba de padecer la enfermedad de 0,15 tiene un resultado negativo con la misma. Calcular la probabilidad de que no est enferma.83ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOSolucin:1. 0,4855. a: 0,6875 b: 0,49. 0,652. a: 0,037 b: 0,4056. a: 0,068 b: 0,29410. 0,5093. a: 0,18 b: 0,557. a: 0,55 b: 0,6811. 0,354. a: 0,31 b: 0,3768. 0,31612. 0,98284ESTADISTICA AUNMSM - FQIQING. JOSE MANUEL GARCIA PANTIGOZOFORMULA DE MULTIPLICACION

8586CONTEO Si se tienen m elementos de un tipo y n de otro tipo, el nmero de parejas que se puede formar es: En trminos de frmula:Nmero total de arreglos = m * nY para mas de dos eventos tenemos:Nmero total de arreglos = m * n * o

86Ejemplo 1: Un fabricante desarroll 5 bases para lmpara y 4 pantallas que se pueden usar juntas. Cuntos arreglos distintos de base y pantalla se pueden ofrecer?

Nmero total de arreglos = m * n = 5 * 4 = 2087

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Ejemplo 2: Una industria fabrica 3 modelos de Home Theatre, 4 Televisores Plasma y 2 DVD Blue Ray. Cuntos sistemas distintos puede ofrecer esta industria? Nmero total de arreglos = m*n*o Nmero total de arreglos = 3*2*4 = 2488

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Ejemplo 3: Una tienda anuncia que por US$ 20,000.00 se puede adquirir un convertible, un dos puertas o un modelo de cuatro puertas, con eleccin de cubre ruedas deportivos o comunes. Cuntos arreglos diferentes de modelos y cubre ruedas puede ofrecer la tienda? Nmero total de arreglos = m * n = 3 * 2 = 689

89Ejemplo 4: Verificar las 56 combinaciones mencionadas en el prrafo anterior.

Como un plan alternativo para codificar por color las 42 partes, se sugiri que se colocaran solo dos colores en cada una. Serian adecuados 10 colores para codificar las 42 partes?90

8C3 = 8! 3!(8 3)! = 5610C2= 10! 2(10 3) = 4290 Ejemplo 5: Una persona es contratada para llevara a cabo una encuesta en 50 ciudades del pas. Cuntas rutas posibles podr planear para dicha encuesta? Solucin: Si se aplica la Regla Factorial tendremos lo siguiente: 50!

30,414,093,201,713,378,043,612,608,166,064, 768,844,377,641,568,960,512,000,000,000,000 Ahora si tenemos un nmero grande.

91 Ejemplo 6: Los sistemas comunes de alarma para casas tienen un cdigo que consta de cuatro dgitos. Los dgitos (0 a 9) pueden estar repetidos, aunque deben ingresarse en el orden correcto. Suponer que Ud. planea tener acceso intentando cdigos hasta encontrar el correcto Cuntos cdigos diferentes son posibles? 92 10*10*10*10=10,000 cdigos Solucin: Hay 10 valores posibles para cada uno de los cuatro dgitos, entonces:

92Ejemplo 6:Tres miembros de una organizacin social se ofrecen como voluntarios para fungir como dirigentes el siguiente ao, en los puestos de presidente, tesorero y secretario. El nmero de maneras (permutaciones) en que los tres pueden asumir los puestos es:Solucin:93

93Ejemplo 7: Una inmobiliaria ofrece por $35.000,00 una casa de dos pisos, o simple. Adems puede elegir el tipo de pago Crdito o Contado. Cuantos arreglos diferentes de departamentos y formas de pago puede hacer?. Solucin: Podemos utilizar la formula de la multiplicacin para verificar, donde m es el nmero de modelos y n el tipo de pago. Total de arreglos posibles=(m)(n)=(2)(2)=4

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FORMULA DE PERMUTACION9596PERMUTACIONDisposicin en orden de un conjunto de objetos en el que hay un primero, un segundo, un tercero, etc. hasta n.nPr = n! (n r)! P: nmero de permutacionesn: nmero total de objetosr: nmero de objetos que se dispondr

96Ejemplo 1: Se desea ensamblar tres elementos electrnicos en cualquier orden. de cuantas formas diferentes se pueden reunir?:

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nPr = n! (n r)! 3! (3 3)! == 697 Ejemplo 2: a que es igual 6!? = 6*5*4*3*2*1= 720 a que es igual 6!2!/4!3!? = 10 Un operador debe realizar 4 verificaciones de seguridad antes de activar una mquina. No importa el orden en que se realicen las verificaciones. De cuantas formas diferentes se puede realizar las verificaciones el operador?

984P4 = 4! (4 4)! = 24

98Ejemplo 3: Utilizar 10 nmeros del 0 al 9 para crear grupos de cdigo de 4 cifras fin de identificar un artculo de ropa. El cdigo 1083 podra ser una blusa azul, talla media. El grupo cdigo 2031 podra identificar unos pantalones, talla 18, etc. No se permiten repeticiones de los nmeros. Es decir, el mismo nmero no puede utilizarse dos veces o mas en una secuencia total. Por ejemplo 2256, 2562, o 5559 no se permitirn Cuntos grupos de distintos cdigos pueden establecerse?9910P4 = 10! (10 4)! = 5040

99Ejemplo 4: Un msico desea escribir una partitura basada solamente en cinco notas (la, si, do, re y mi). Sin embargo, solo tres notas de las cinco se utilizarn en sucesin, como do, la y mi. No se permitirn repeticiones como la, la y mi. 1) Cuantas permutaciones de las cinco notas, tomadas tres cada vez, son posibles? = 5*4*3 = 602) Utilizando la formula para permutaciones, Cuntas permutaciones son posibles?1005P3 = 5! (5 3)! = 60

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Ejemplo 5: Supongamos que la organizacin social se compone de 10 miembros y que an no se ha presentado ninguna nominacin para los puestos de presidente, tesorero y secretario. El nmero de diferentes disposiciones de los tres dirigentes elegidos entre los 10 miembros del organismo es: Solucin:101

101

Ejemplo 6: Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes?Aplicando la formula de la permutacin tenemos:nPr= n! (n - r)! = 15!= 15*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760Donde:n= nmero total de objetosr= nmero de objetos seleccionados!= factorial (producto entre 1 y n).NOTA: se puede cancelar nmeros cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador.

102103PERMUTACION CON REPETICIONDisposicin en orden de un conjunto de objetos en el que hay un primero, un segundo, un tercero, etc. hasta n, pero que se permiten las repeticiones.nPr = nrP: nmero de permutacionesn: nmero total de objetosr: nmero de objetos que se dispondr

103Auto examen 5-16Un msico desea escribir una partitura basada solamente en cinco notas (la, si, do, re y mi). Sin embargo, solo tres notas de las cinco se utilizarn en sucesin, como do, la y mi. Se permitirn repeticiones como la, la y mi. Hay 60 permutaciones sin repeticin de tres notas Cuantas permutaciones son posibles si se permiten las repeticiones?

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5P3 = 53= 125104FORMULA DE COMBINACION

105106COMBINACIONDado un conjunto de n elementos, se denomina combinaciones de tamao r a todos los conjuntos que se pueden formar con r elementos tomados de entre los n elementos, de modo que cada conjunto difiera de los dems en por lo menos un elemento. P: nmero de permutacionesn: nmero total de objetosr: nmero de objetos que se dispondr

nCr = n! r!(n r)! 106 Ejemplo 1: A un Dpto. de Pinturas le han pedido que disee cdigos de color para 42 elementos distintos. Se van a utilizar tres de cada uno. sern adecuados siete colores tomados de tres cada vez para codificar las 42 partes mecnicas ?

1077C3 = 7! 3!(7 3)! = 35

107Ejemplo 2: Verificar las 56 combinaciones mencionadas en el prrafo anterior.


8C3 = 8! 3!(8 3)! = 5610C2= 10! 2(10 3) = 42108 Ejemplo 3: Supongamos que se elegir a tres miembros de una pequea organizacin social con un total de 10 miembros para que integren un comit. El nmero de grupos diferentes de tres personas que pueden ser elegidos, sin reparar en el diferente orden en el que cada grupo podra elegirse, es: Solucin:

109 Ejemplo 4: Hay 7 candidatos para desempear 3 tareas, si todos los candidatos son igualmente eficientes, De cuntas maneras se puede efectuar la asignacin? Solucin:

P7,3 =

110Ejemplo 5: Un entrenador de ftbol tiene 5 balones de las marcas A, B, C, D y E para los entrenamientos en un bolso. Forma 5 equipos numerados del 1 al 5, orden en que recibirn los balones. De cuntas maneras pueden salir del bolso los balones?Solucin: El grupo 1 puede recibir cualquiera de las 5 marcas; el grupo 2 puede recibirlos balones de 4 marcas el grupo 3 de 3 marcas, el grupo 4 de 2 marcas el grupo 5 puede recibirlo nicamente de la marca que no se haya entregado. El nmero de ordenaciones de 5 balones en una fila de grupos es: 5 4 3 2 1 = 5! = 120.

Ejemplo 6: Verificar las 56 combinaciones mencionadas en el prrafo anterior.


8C3 = 8! 3!(8 3)! = 5610C2= 10! 2(10 3) = 42112Ejemplo 7: La Empresa El Cafetal, tiene vacantes cinco puestos de gerentes, y hay diez profesionales listos para ocupar estas vacantes. De cuantos modos se pueden distribuir las cinco vacantes?Solucin:FRMULA: nCr = n! r!(n - r)! = 10! 5!(10-5)! = 10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 5!(10-5!) 5*4*3*2*1(5*4*3*2*1)

= 30240 = 252 120Donde: n= nmero total de objetos.r= nmero de objetos seleccionados.

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UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE LOJAEjemplo 8: Tres mquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fbrica. Los porcentajes de produccin defectuosa de estas mquinas son del 3%, 4% y 5%. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la mquina B. Qu mquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?

Solucin:

114Solucin del Ejemplo 8: Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La informacin del problema puede expresarse en el diagrama de rbol adjunto. a) Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total, P(D) = P(A) P(D/A) + P(B) P(D/B) + P(C) P(D/C) = = 0.45 0.03 + 0.30 0.04 + 0.25 0.05 = 0.038

115Solucin del Ejemplo 8:b) Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,

116Solucin del Ejemplo 8:c) Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparndolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

La mquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A 117

Conteo de Puntos Muestrales

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