ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE MECÁNICA

INGENIERIA MECÁNICA

GEOMETRÍA

TÍTULO DE CONSULTA: Aplicaciones de la Geometría Plana en el campo de la Ingeniería Civil

NOMBRE: Daniel Orozco

FECHA: 2014-05-12

ÍNDICE GENERAL

Pág.

INDICE…………………………………………………………………………...1

1 INTRODUCCIÓN………………………............................................…...3

1.1 Planteamiento del problema…………………..…………….…..…………3

1.2 Objetivos……………………….……………………………....………….3

1.3 Justificación…………….…………………………..………….....……… 4

1.4 Preguntas……………………………………………………...……..…… 4

2 MARCO CONCEPTUAL

2.1 GEOMETRIA PLANA

2.2 Proposición……………………………..……….……………………….. 4

2.3 Axiomas………………………….………………...…………….………. 5

2.4 Postulados………………………………………………...…...…………. 5

2.5 Teorema……………….……………….……………….……………...… 5

2.6 Hipótesis:………………………….………….......................................… 5

2.7 Tesis: …………………………………………………………….………. 5

2.8 Corolario…………………………………………..……….…………….. 5

2.9 Razonamiento Lógico………………………………...………………...…6

2.10 Demostraciones……………………………….………………………….. 6

2.10.1 Métodos de Demostraciones…….……………………………...………. 6

2.10.2 Método Inductivo……………………………………...………….……. 6

2.10.3 Método Deductivo.……………….……………….….………….…...… 6

2.10.4 Procedimiento de una Demostración…………….…………………...… 6

2.11 Viga………………………………………..….…………………...……. 6

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CONNTENIDO

3. MARCO METODOLÓGICO…………………………………………….7

3.1 ¿Cómo se usa la geometría en la ingeniería civil?......…………..……..… 7

3.2 Materiales utilizados y su obtención……………………………....…...… 7

3.3 Área y volumen de figuras………………..…………………......……..… 8

3.3.1 Fórmulas para Superficie y volumen de figuras…………….……..…..… 8

3.4 Medición y obtención de ángulos………………………..….……..….…. 9

3.5 Aplicación de escalas (Semejanza)…………………………..……….… 10

3.6 Triángulos y Edificios………………………………………………...… 11

3.7 Triángulo equilátero......……..………………………………………..… 11

3.8 Triángulo isósceles…………………………………………………...… 12

4. RESULTADOS…………………………………………...….…..…...…12

5. CONCLUSIONES……………………………………….…………...… 12

6. APUNTES DE CLASE…………………………………….………...… 13

7. BIBLIOGRAFÍA………………………………………………...…...… 13

8. WEBGRAFIA………………………………………………………...… 13

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INTRODUCCIÓN

La geometría ha sido desde los principios de la humanidad un mecanismo utilizado para encontrar soluciones a los problemas más comunes de quienes la han aplicado en su vida, pues, entre otros usos, facilita la medición de estructuras sólidas reales, tanto tridimensionales como superficies planas y además es bastante útil para la realización de complejas operaciones matemáticas.

La geometría surgió de la práctica en el antiguo Egipto por la necesidad de calcular el espacio de las granjas para permitir tasar los impuestos de forma precisa. La geometría como disciplina matemática fue originada por griegos en la antigüedad, como Pitágoras y Euclides, de quien se acuñó la frase "geometría euclidiana". El matemático francés Descartes añadió el álgebra a los teoremas geométricos en el siglo XVII, creando la geometría analítica, o "no euclidiana".

En este trabajo se busca destacar y lograr reconocer la geometría en teoría y aplicación en la ingeniería.

1.1 Planteamiento del problema

Saber la importancia y los procesos en donde se aplica la geometría en el

campo de la Ingeniería Civil.

1.2 Objetivos

Se pretende mediante la realización de este trabajo, reconocer y destacar la

importancia de la geometría en el campo Ingenieril.

Reconocer los procesos que se utilizan en las diferentes ingenierías

utilizando a la geometría.

Destacar y lograr reconocer la geometría en teoría y aplicación en la ingeniería.

Proporcionar un ejemplo de una teoría axiomática.

Demostrar q la geometría sirve también como una herramienta para otras

áreas relacionadas con la matemática.

Enriquecer la percepción pública de la importancia de la geometría.

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1.3 Justificación

Los estudiantes deben conocer lo que las ciencias matemáticas y los matemáticos han aportado a nuestra cultura y civilización.

1.4 Preguntas

¿Por qué estudiar geometría?

Uno de los beneficios de la geometría es que el estudiante adquiere un

criterio al escuchar leer y pensar.

¿Qué es la geometría?

La geometría es una parte de la matemática que se encarga de estudiar las

propiedades y las medidas de una figura en un plano o en un espacio.

¿Que gano con estudiarla?

Cuando estudia geometría, deja de aceptar a ciegas proposiciones e ideas y

se le enseñe a pensar en forma clara y critica, antes de hacer conclusiones.

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MARCO CONCEPTUAL

2.1 Geometría Plana

Estudia las figuras planas, esto es aquellas figuras que se hallan en un mismo plano, en las que para ubicar un punto, se refiere de dos coordenadas.

2.2 Proposición

Es un enunciado o juicio el cual solo puede originar uno y solo uno de los

términos verdadero o falso.

Las proposiciones más comunes que se utilizan son: axiomas, postulados,

teoremas y corolarios.

2.3 Axiomas

Es una verdad que no requiere demostración y se la cumple en todas las ciencias del conocimiento.

2.4 Postulados

Es una proposición aceptada como verdadera. A diferencia de los axiomas,

estos se los emplea generalmente en geometría, los mismos que no se han

constituido al azar, sino que han sido escogidos cuidadosamente para

desarrollar la geometría

2.5 Teorema

Es la proposición cuya verdad necesita ser demostrada: una vez que el

teorema se ha probado se lo puede utilizar para la demostración de otros

teoremas, junto con axiomas y postulados.

2.6 Hipótesis

Son las condiciones o datos del problema

2.7 Tesis

Es la propiedad a demostrarse.

2.8 Corolario

Es la consecuencia de un teorema demostrado.

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2.9 Razonamiento Lógico

Cuando una persona se empeña en una "reflexión clara" o en una reflexión rigurosa, está empleando la disciplina del razonamiento lógico.

2.10 Demostraciones

Es un conjunto de razonamientos que demuestra la verdad de la proposición junto con axiomas y postulados.

Una demostración bien elaborada solo puede basarse en proposiciones antes demostradas, la demostración también es necesaria para fundamentar la generalidad de la proposición que se demuestra.

Por medio de las proposiciones, las verdades geométricas se reducen a un sistema armonioso de conocimientos científicos.

2.10.1 Métodos de Demostraciones

2.10.2 Método Inductivo

Es un razonamiento que parte de conocimientos o verdades particulares para obtener mediante ellos una verdad general.

2.10.3 Método Deductivo

Es un razonamiento que parte de conocimientos o verdades generales para obtener mediante ellos una verdad particular.

La mayoría de los problemas geométricos se demuestran usando el método deductivo.

2.10.4 Procedimiento de una Demostración

La demostración formal de un teorema consiste en cinco partes El enunciado del teorema. Hacer un gráfico que ilustre el teorema. Una afirmación de lo que es el dato (s) en términos del gráfico (hipótesis). Una afirmación de lo que debe probarse (tesis).

2.11 Viga

Se denomina viga a una barra prismática, generalmente situada en posición horizontal que puede estar apoyada en dos o más puntos, o empotrada en uno de sus extremos. Cada punto de apoyo puede tener dos grados de libertad o sólo uno. Si un apoya está empotrado, no tiene ningún grado de libertad.

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CONTENIDO

3. MARCO METODOLÓGICO

3.1 ¿Cómo se usa la geometría en la ingeniería civil?

La geometría es el método de medir y calcular ángulos y espacios. La palabra "geometría" en sí significa "medir la tierra".

La ingeniería civil estudia el diseño y analiza las estructuras que soportan cargas, como edificios, máquinas y vehículos. Mucho del trabajo de los ingenieros de estructuras se focaliza en garantizar la seguridad de las personas que harán uso de la obra, y esto normalmente se logra haciendo que la estructura sea lo suficientemente fuerte para soportar cargas muchos mayores que las que se verá sometida habitualmente. La geometría, la rama de las matemáticas que estudia las formas, medidas y posición relativa, es una herramienta vital para los ingenieros estructurales.

3.2 Materiales

La geometría ayuda a los ingenieros civiles y estructurales a determinar la cantidad de materiales requerida en un proyecto dado. Por ejemplo, si se usan vigas de acero tipo "I", las preguntas importantes serían ¿Cuánto acero se utilizará? ¿Cuál es el costo del acero? ¿Cuánto pesarán las vigas? Para contestar las preguntas, un ingeniero de estructuras debe calcular primero el volumen de la viga, utilizando la geometría para hacerlo

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3.3 Área y volumen

A veces, en lugar del volumen de un material, los ingenieros de estructuras deben conocer un área, por ejemplo, cuando instalan paneles de vidrio de distintas formas. En ese caso, el ingeniero debe emplear fórmulas de formas geométricas en dos dimensiones, como trapezoides y romboides.

3.3.1 Fórmulas para Superficie y volumen de figuras

Cuadrado y Rectángulo:

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A=b .h

V=b .h.a

Rombo:

Trapecio:

Círculo y circunferencia:

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3.4 Medición y obtención de ángulos

Los ingenieros civiles deben calcular ángulos usando la geometría para asegurarse de que el edificio sea seguro y la construcción sea precisa. Por ejemplo, si una rampa de acceso para discapacitados debe tener un ángulo ascendente de no más de 10 grados, el ingeniero variará la altura y longitud de la rampa hasta que, por trigonometría (una rama de la geometría), la rampa alcance el ángulo adecuado.

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3.5 Aplicación de escalas (Semejanza)

Para presentar un diseño a supervisores y eventualmente a los obreros que lleven a cabo la obra, un ingeniero civil debe usar dibujos en escala. Éstos encogen el tamaño de la estructura para que pueda observarse en un plano, manteniendo todas las formas en la misma proporción y relación unas con otras. La idea de la escala y de las formas semejantes proviene de la geometría.

3.6 Triángulos y Edificios

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Los triángulos son herramientas eficaces para la arquitectura y se utilizan en el diseño de los edificios y otras estructuras, ya que proporcionan resistencia y estabilidad. Cuando se utilizan materiales de construcción para formar un triángulo, el diseño tiene una gran base y el pináculo de la parte superior es capaz de administrar el peso porque la energía se distribuye a través de todo el triángulo. Esta es la razón por la que muchos hogares residenciales tienen cabriadas que proporcionan una estructura robusta. El triángulo de uso en la arquitectura data de hace más años que otras formas comunes como el domo, arco, cilindro, e incluso es anterior a la rueda. Los más resistentes son los triángulos equiláteros y los isósceles; su simetría ayuda a distribuir peso.

3.7 Triángulo equilátero

El triángulo equilátero es el más común usado en arquitectura. Un triángulo equilátero tiene tres lados congruentes y ángulos de 60 grados en cada esquina. La longitud de los lados varía. Un ejemplo común de triángulos equiláteros en arquitectura es el complejo de las pirámides de Gizah en Egipto. Cada uno de los cuatro lados triangulares que forman las pirámides son triángulos equiláteros. Estos son ejemplos de la fortaleza del triángulo en la arquitectura, ya que las pirámides se mantienen en pie desde hace más de 4000 años.

3.8 Triángulo isósceles

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Los triángulos isósceles, que tienen dos lados iguales, también se encuentran en la arquitectura de todo el mundo, especialmente en la moderna arquitectura piramidal. Los isósceles fueron utilizados en la arquitectura del Edificio Este en la Galería Nacional de Arte en Washington, D. C. Su estilo arquitectónico se caracterizó por el uso del triángulo isósceles y otras formas geométricas. El Edificio Este fue representado gráficamente sobre un trozo de tierra de forma extraña. Pei utiliza un triángulo isósceles también como la base del edificio para albergar la forma de la parcela. El edificio Flatiron en la ciudad de Nueva York es uno de los rascacielos pioneros del mundo. Este edificio ha sido construido sobre un bloque triangular en Manhattan, dándole una forma triangular, más concretamente, de un triángulo isósceles. Se ha mantenido por más de 100 años, lo que demuestra la fortaleza de la arquitectura triangular.

4. RESULTADOS

Se ha obtenido conclusiones que la geometría es indispensable en general

para todas las ingenierías ya que permite la obtención de medidas

mediante el uso de teoremas, axiomas, etc.

5. CONCLUSIONES

La geometría es fundamental para el cumplimiento del trabajo de un

ingeniero Civil, ya que se relaciona con el diseño de construcciones q

contiene figuras geométricas variadas.

La geometría se aplica en la ingeniería civil en la obtención de medidas de

ángulos, valores de superficies, volúmenes, cálculo de segmentos,

plasmándolo de forma gráfica y de una manera precisa.

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6. APUNTES DE CLASE

Nombre del profesor: Ing. Víctor H. Váscones V.

Asignatura: Geometría

Semestre: Primer Semestre

Año: 2014

Institución: Escuela Superior Politécnica de Chimborazo

7. BIBLIOGRAFÍA

G. CALVACHE, M. YACELGA “Geometría plana y del espacio,

Geometría analítica” 2012

VÍCTOR H. VÁSCONES V. “Geometría”, Riobamba – Ecuador 2011

8. WEBGRAFIA

Conceptos básicos de geometría

http://www.monografias.com/trabajos6/gepla/gepla.shtml

Definición de geometría

http://definicion.de/geometria/#ixzz31z7KIqOt

Origen de la ingeniería

http://perso.wanadoo.es/idmb/a_ing/ingenieria/ingindustrial.htm

¿Cómo se usa la geometría en la ingeniería estructural? http://www.ehowenespanol.com/geometria-ingenieria-estructural-info_244449/

¿Qué tan importante es la geometría en la arquitectura?

http://www.ehowenespanol.com/impotante-geometria-arquitectura-

info_207646/

Triángulos usados en arquitectura

http://www.ehowenespanol.com/triangulos-usados-arquitectura-

info_129100/

Ingeniería Civil

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_civil

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