7/25/2019 CONSULTA 2 Movimiento No Amortiguado

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Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias:Consulta N.3Movimiento no amortiguado delresorteDavid ZapataDepartamento de Ciencias de La Tierra y Construcci on

Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen varias aplicaciones, entre las que

destacan los circuitos electricos y justamente el estudio de resortes vibratorios, y den-

tro de esta ultima esta el movimiento amortiguado y no amortiguado del resorte.

Para una mejor comprension de este tema es necesario considerar agunas definiciones

fsicas basicas con respecto a las vibraciones y movimientos de un resorte.

Definicion 0.1.

Hay varios objetos que tienen un movimiento de vibracion respecto a un punto de equilibrio. Una partcula

oscilando de esta manera en un sistema dinde no hay resistencia (friccion) o su factor de amortiguadoes casi nulo, se dice que la partcula tiene un movimiento libre no amoritguado o mas conocido comomovimiento harmonico simple. La ecuacion diferencial de este movimiento es:

d2x

dt2 +0

2x= 0 (1)

Donde0 es una constante positiva, y x la posicion de la partcula en funcion de t. Si solucionamos laecuacion diferecial, obtenemos:

x= C1cos(omegaot) +C2sin(ot) (2)

x= C12 +C22sin(ot+) =C.sin(ot+) (3)x=

C1

2 +C22cos(ot+) =C.cos(ot+) (4)

Definicion 0.2.

Nota:Ley de Hooke: Segun esta ley hay una fuerza recuperado que hace que el objeto oscilando tienda a regresar

siempre a su posicion de equilibrio.

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Por hipotesis:F =kx,Dondek >0 es una constante que depende del resorte y x es la posicion del objeto.

Definicion 0.3.

La expresionT = 2

0 es el periodo del movimiento.Mientras que la frecuencia esv= 1

T.

Definicion 0.4.

El valor constante C se llama amplitud del movimiento y es la distancia mas lejana a la que llegara el

objeto desde su punto de equilibrio. Entonces se puede afirmar queC=

C12 +C2

2 y se puede reemplazar

esto en (3)y (4)

Definicion 0.5. es una constante llamada fase o fase angulo de x.

Ahora bien, aplicando todas estas definiciones en la solucion inicial de la ecuacion del movimiento(2),(3) y (4)

x= C1cos(0t) +C2sin (0t) (5)x= Ccos (0t+), (6)

x= Csin(0t+), (7)

En resumen este movimiento cumplen las ecuaciones anterior, pues se lo asemeja a la proyeccion delmovimiento de un objeto a lo largo de un diametro con una velocidad inicial 0 en una circunferencia deradio C.Ahora bien que tal si el sistema esta atado a un elastico con un peso w en libras en u extremo, comose muestra en la figura, y mediante la ley de Hooke antes expuesta tenemos en este caso que la fuerzarecuperadora es kl, si hacemos la sumatorio de fuerzas en equilibrio del sitema tendremos que:

kl= w; kl= mg (8)

Donde m es la masa el objeto y g es la aceleracion de la gravedad.Dejemos que y=0 es la posicion de equilibrio del resorte con el cuerpo atado a el. Cuando cominece elmovimiento entonces se movera una distancia adicional y; como resultado reemplazomos en (8) y tenemosk(l+y)

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Ahora hacemos sumatoria de fuerzas, siguiendo la segunda ley de Newton y obtenemos:

md2y

dt2 =mg k(1 +y) =mg kl ky

Aplicamos (8) y obtenemos:

m

d2y

dt2 =ky, d2y

dt2 +

k

m y= 0 (9)

La solucion de (9) sera:

y= Ccos (

k

mt+) (10)

o

y= Csin (

k

mt+) (11)

Movimiento pendulo simple

Movimiento forzado no amortiguado

El movimiento de una partcula de masa m que satisface las ecuaciones:

md2y

dt2 +m0

2y= f(t); d2y

dt2 +0

2y= 1

mf(t) (12)

Donde f(t) en una funcion que forza el sistema, en el movimiento harmonico simple f(t)=0, para este casoasumimos que:

f(t) =mFsin t+ (13)

Siendo F una fuerza constante.Entonces (12)nos queda:

d2y

dt2 +0

2y=

Fsin(

t+

) (14)

Por lo tanto, si solucionamos esta ecuacion diferencial, debemos considerar que sera: y=yh+yp, es decirla solucion sera la homogenea mas la particular de la ecuacion.La solucion homogenea de la ecuacion es:

yh = Csin (0t+) (15)

La solucion particular dependera del valor relativo que adquieran 0 y (Entendiendo como unafrecuencia impresa a la particula y0 la frecuencia establecida anteriomente). Esto puede causar dos casos:

Caso 1. 0 =

Si 0 = entonces la solucion particular es:

yp = F

02 2 sin(t+) (16)

Entonces la solucion de la ecuacion diferencial es:

y= Csin (0t+) + F

02 2 sin(t+) (17)

Y se dice que este es un movimiento estable.

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Caso 2. 0 = .

Si 0 = entonces (14) se conviente en:

d2y

dt2 +0

2y= Fsin(0t+) (18)

La solucion homogenea se mantiene, miestras que la particular seria:

yp = At sin(0t+) +Bt cos(ot+) (19)

yp =F

20+ cos (0t+) (20)

Entonces la solucion de la ecuacion diferencial es:

y= Csin (0t+) F

20+ cos (0t+) (21)

El mismo es llamado un movimiento inestable.

Cuando la es igual a 0 entonces se conoce el movimiento como resonante no amortiguado y la0 es la frecuencia resonante no amoriguado.

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