Modulo I: Oscilaciones (9 hs) - fisica.edu.uycris/teaching/oscilaciones_parte2_2012.pdf · El...
18
1. Movimiento Armónico Simple (MAS) 2. Oscilaciones Amortiguadas 3. Oscilaciones forzadas y resonancia 4. Superposición de MAS Modulo I: Oscilaciones (9 hs) 17/02/2012 1 Masoller, FII 2.1 Fuerza de fricción viscosa 2.2 Oscilaciones armónicas amortiguadas 2.3 Tipos de amortiguamiento 2.4 Oscilaciones débilmente amortiguadas 2.5 Energía de las oscilaciones amortiguadas 2.6 Factor de calidad Bibliografía : Tipler y Mosca, Capítulo 14
Transcript of Modulo I: Oscilaciones (9 hs) - fisica.edu.uycris/teaching/oscilaciones_parte2_2012.pdf · El...
1. Movimiento Armónico Simple (MAS)
2. Oscilaciones Amortiguadas
3. Oscilaciones forzadas y resonancia
4. Superposición de MAS
Modulo I: Oscilaciones (9 hs)
17/02/2012 1 Masoller, FII
2.1 Fuerza de fricción viscosa 2.2 Oscilaciones armónicas amortiguadas 2.3 Tipos de amortiguamiento 2.4 Oscilaciones débilmente amortiguadas 2.5 Energía de las oscilaciones amortiguadas 2.6 Factor de calidad
Bibliografía: Tipler y Mosca, Capítulo 14
Oscilaciones amortiguadas
17/02/2012 2 Masoller, FII
Fuerzas disipativas (rozamiento) producen el amortiguamiento de las oscilaciones
2.1 Fuerza de fricción viscosa Es proporcional y opuesta a la velocidad: b = coeficiente de fricción viscosa (constante de amortiguamiento) [b]: kg/s ¿Cómo se mueve una partícula bajo la acción de una fuerza de fricción
viscosa?
bvF
v
dvdt
m
b
dt
dvmbvmaF
00
ln
0v
vt
m
b
v
dvdt
m
bv
v
ttmbevv )/(
0
17/02/2012 3 Masoller, FII
2)/(
0
2
2
1
2
1 tmbevmmvK tmbeKK )/(2
0
La velocidad decrece exponencialmente
con el tiempo.
xx ee 22)(
La energía cinética también decrece exponencialmente con el tiempo (y más rápido que v).
Unidades [b/m]: 1/s
17/02/2012 Masoller, FII 4
t
mbt
x
x
mbt dtevdxevdt
dx
0
/
0
/
0
0
tmbeb
mvxx )/(
00 1
Movimiento bajo la acción de una fuerza de fricción viscosa
La partícula eventualmente se detiene:
b
mvxx
et tmb
00
)/( 0
0)/(
0 tmbevv
0)/(2
0 tmbeKK0 0.5 1 1.5 2
-15
-10
-5
0
5
10
Tiempo (s)
x (
m)
b/m=3.6 s-1, v0=-50 m/s b/m=7 s-1, v0=+50 m/s
00 x
A mayor b/m: el movimiento se amortigua más rápidamente.
0 2 2
0 xxx
m
b
2
17/02/2012 5 Masoller, FII
mk /0
Cuando una partícula esta sujeta a la acción de dos fuerzas: 1) viscosa y 2) elástica la ecuación del movimiento es:
v x -kx
-bv Ecuación diferencial ordinaria de 2º orden lineal y homogénea
Frecuencia angular natural del sistema:
: Parámetro de amortiguamiento. Unidades []: 1/s b : Constante de amortiguamiento (Fviscosa=-bv) Unidades [b]: kg/s
2.2 Oscilaciones armónicas amortiguadas
02
2
xm
k
dt
dx
m
b
dt
xdmakxbvmaFi
viscosa elástica
• Si < 0 la solución es
• Si =0: MAS de frecuencia angular 0:
• 1 : frecuencia angular del movimiento
• 0 : frecuencia angular natural del sistema (frecuencia con que oscilaría si no hubiera amortiguación)
)cos()()( 1 ttAtx
22
01
)cos()( 00 tAtx
teAtA
0)(
17/02/2012 6 Masoller, FII
0 2 2
0 xxx
Solución de la ecuación diferencial si < 0
mk /0
x0 = A0 cos
m
b
2
1) Débil
2) Crítico
3) Sobre-amortiguado
17/02/2012 Masoller, FII 7
2.3 Tipos de amortiguamiento
0
0
0
02 2
0 xxx
)cos()( 10 teAtx t
tetBAtx )( 00
ttteeBeAtx
)( 11
00
2
0
2
1
A0 y B0 son dos constantes que se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales (x0 y v0 )
22
01
1) Débil
17/02/2012 8 Masoller, FII
0 = 36 rad s-1
0 0.5 1 1.5 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t (s)
x (
m)
=1=3.6
0
22
01
17.02
0
0
T
La oscilación se amortigua más rápidamente para mayor
0 0.05 0.1 0.15 0.2-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
t (s)
x (
m)
v0=0
v0=50
v0=-50
2) crítico
17/02/2012 9 Masoller, FII
0 = 36 rad s-1 = 36 s-1
0
3) sobre amortiguado
17/02/2012 10 Masoller, FII
0 = 36 rad s-1
0 0.05 0.1 0.15 0.20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
t (s)
x(t
)
data1data2data3
v0=50
v0=0
v0=-50
= 100 s-1
0
Comparación
17/02/2012 11 Masoller, FII
0 = 36 rad s-1
0 0.5 1 1.5-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t (s)
x (
m)
=1=100=36
Para las mismas condiciones iniciales oscilación se amortigua más rápidamente cuando el amortiguamiento es crítico.
17/02/2012 Masoller, FII 12
2.4 Oscilaciones débilmente amortiguadas
• Si < 0 la oscilación es débilmente amortiguada
Características del movimiento:
• No es un movimiento periódico.
• Pero: si << 0 es ‘’casi’’ un MAS y podemos aproximar
• El ‘’período’’ del movimiento es:
• La “amplitud” efectiva es:
• El “período” no depende de la amplitud.
• La perdida relativa de amplitud por periodo es:
)cos()( 10 teAtx t
0
022
01
222TT
0
22
01
teAtA
0)(
TetA
TtAtAp 1
)(
)()(
Ejercicio: sabiendo que la frecuencia angular de un oscilador amortiguado es el 95% de su frecuencia propia, ¿en qué % se reducirá la amplitud en cada oscilación? Solución: se reduce en un 12.7%, A(t+T)=0.127A(t)
Espacio de fase (posición, velocidad)
17/02/2012 Masoller, FII 13
MAS MAS amortiguado
)cos()( 10 teAtx t
2.5 Energía de las oscilaciones amortiguadas
• Potencia disipada
• Podemos calcular la variación de la energía
• Haciendo la integral
• Si el movimiento es débilmente amortiguado (“casi MAS”):
Energía inicial:
Constante de tiempo
(o tiempo de relajación)
2)( bvvFtP v
t
dtbvEtEdt
dEP
0
2
0)(
)](cos2
)cos()sin(21[2
1)( 1
2
1
2
11
22
0
2
1 ttteAmtE t
17/02/2012 14 Masoller, FII
/
0
2
0
22
0
2
2
1)(
2
1)( ttt eEeEekAtkAtE
b
m
2
1
2
002
1kAE
teAtA
0)(
2.6 Factor de calidad
TTtt
t
eEE
E
eEeE
eEQ
2
00
0
)(2
0
2
0
2
0 22
1
22
12
2
12
T
Q
01
1
2Q
17/02/2012 15 Masoller, FII
|ciclopor perdida Energía |
oscilador delEnergía 2Q
Si el amortiguamiento es muy débil:
teEtE 2
0
0
)(
TeT T
21 1 2
2 2
01
0 01
)2/(1
Constante de tiempo (o tiempo de relajación)
17/02/2012 Masoller, FII 16
Resumen
Débilmente
amortiguado
si:
Críticamente amortiguado
Sobre-amortiguado
0 ttteeBeAx
11
00
2
0
2
1
tetBAx 000
0
0
)cos( 10 teAx t
22
01
)cos( 00 teAx t
El movimiento amortiguado ocurre en las oscilaciones reales y es causado por fuerzas de fricción.
Si el amortiguamiento es mayor que un cierto valor critico el sistema no oscila cuando regresa a su posición de equilibrio.
Si el oscilador esta débilmente amortiguado el movimiento es casi un MAS con amplitud que disminuye exponencialmente con el tiempo.
01
Problema 16 Una partícula de masa m esta unida a un muelle de constate k y todo ello dispuesto
en un plano horizontal. El muelle se estira respecto a su posición de equilibrio una longitud A0 y se suelta por lo que la partícula comienza a oscilar. La mesa ejerce una fuerza de rozamiento seco sobre la partícula determinada por el coeficiente de rozamiento . Despreciando la resistencia del aire calcular la diferencia de amplitudes entre dos oscilaciones consecutivas. ¿en que condiciones se detendrá la partícula?
Problema 22 Dos cuerpos unidos entre si de masas M y m están en equilibrio colgados del techo
mediante un muelle de constante k. En un determinado instante se retira el cuerpo de masa m por lo que el cuerpo M empieza a oscilar, realizando oscilaciones amortiguadas por el rozamiento con el aire. Se pide: a) Energía con la que empieza a oscilar el cuerpo. b) Perdida relativa de energía (q) en función de la pérdida relativa de amplitud (p). c) Si M=100g, m=30g, k=25N/m, p=1.5%, determinar el tiempo necesario para que
la energía sea la cuarta parte del valor inicial.
17/02/2012 Masoller, FII 17
kmgA /4
Problemas
Solución:
Solución: s 18.22 ,2 ),2/( 222
0 tppqkgmE
1. En un oscilador armónico amortiguado la energía decrece describiendo oscilaciones de amplitud decreciente.
2. La energía de un oscilador muy débilmente amortiguado es proporcional al cuadrado de su amplitud efectiva.
3. El parámetro de amortiguamiento tiene las mismas unidades que la constante de amortiguamiento.
4. Si ω0 < la partícula se aproximará a la posición de equilibrio sin realizar oscilaciones y en el menor tiempo posible.
5. El factor de calidad es una magnitud que sólo esta definida para el movimiento débilmente amortiguado.
6. La energía de un oscilador débilmente amortiguado decrece exponencialmente con el tiempo.
7. Los amortiguadores de un coche son un ejemplo de sistema débilmente amortiguado.
8. El periodo de un oscilador débilmente amortiguado aumenta a medida que la partícula pierde velocidad.
17/02/2012 Masoller, FII 18
Preguntas VF
