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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN

FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA

FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA

MÓDULO # 5: OSCILACIONES MECÁNICAS –RESONANCIA- Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.

Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Temas

Introducción

Oscilaciones amortiguadas

Disipación de la energía y el factor de calidad

Oscilaciones forzadas

Estudio en situaciones especiales del estado estacionario

Una discusión interesante

Introducción

Las oscilaciones consideradas en los módulos anteriores son de amplitud constante y se denominan

oscilaciones no amortiguadas. La constancia en la amplitud significa constancia en la energía; en la oscilación

alternativamente la energía cinética se transforma en energía potencial y viceversa.

Cualquier fuerza de rozamiento es disipativa, es decir su trabajo disipa energía en forma de calor, o lo que

es lo mismo, se consume energía mecánica. Si esta pérdida no se compensa aportando energía desde el

exterior, la amplitud se reduce constantemente: la oscilación es amortiguada.

Para evitar que el oscilador se detenga debido al amortiguamiento es necesario inyectarle energía a través

de otra fuerza externa; en este caso se dice que las oscilaciones son forzadas. En éste módulo se estudia

el caso en el cual ésta fuerza externa también es oscilante. En particular se hará especial énfasis en el

caso para el cual la frecuencia de dicha fuerza, fω , es cercana o igual a la frecuencia natural del oscilador,

ω (es decir la frecuencia del oscilador “libre”: oscilador NO amortiguado y NO forzado), importante

fenómeno conocido con el nombre de RESONANCIA.

Oscilaciones amortiguadas

Las fuerzas de rozamiento en medios fluidos se oponen a la velocidad, y a valores no muy altos de ésta, son

proporcionales a ella, es decir, rf = - bV . Aquí b es la constante de proporcionalidad y depende de la

viscosidad del fluido y de la geometría del cuerpo: en el caso de una esfera, b = 6π Rη siendo η la

viscosidad del medio fluido y R el radio de la esfera (esta es conocida como la ley de Stockes).

Supóngase por ejemplo, el sistema masa-resorte sumergido en un medio viscoso (aire, aceite,...). En la

Figura 1 se ilustra este sistema sumergido en un fluido de baja viscosidad, de tal forma que logre oscilar.

2

En la Figura 1A se ilustra el resorte con su longitud original; en la Figura 1B el sistema con la masa acoplada

y en situación de equilibrio dentro del medio viscoso; en la Figura 1C la masa se ha retirado de la posición

de equilibrio. En la Figura 2 se ilustran los diagramas de fuerzas para la masa, en las situaciones B

(equilibrio) y C (no equilibrio): E corresponde a la fuerza Arquimediana, kd y k d + y corresponden a la

fuerza Hookeana y Rf corresponde a la fuerza de rozamiento.

Figura 1

Figura 2

Aplicando la primera ley de Newton, en la situación de equilibrio (B) se obtiene,

yF = 0

mg - E - kd = 0 (1)

Aplicando la segunda ley de Newton, en la situación de no equilibrio (C) se obtiene,

3

2

y 2

d yF = m

dt

2

r 2

d ymg - E - f - k d + y = m

dt

2

2

dy d ymg - E - b - k d + y = m (2)

dt dt

Combinando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene,

2

2

d y b dy k + + y = 0 [1]

dt m dt m

que corresponde a la ecuación diferencial del oscilador armónico amortiguado. En ella se define como

constante de amortiguamiento a b

γ = 2m

. Además k

ω = m

es la frecuencia angular propia con la cual

oscilaría el sistema sin amortiguamiento. Con base en esto la ecuación se puede escribir así,

2

2

2

d y dy + 2γ + ω y = 0 [2]

dt dt

Sólo, en el caso en que γ < ω , habrá oscilación. La oscilación en este caso, es tal que su amplitud decrece

exponencialmente, y aunque el movimiento ya no es periódico, si es aproximadamente isocrónico. Cada

oscilación se hace en el mismo tiempo, pero con menos amplitud y con una frecuencia angular

2 2ω = ω - γ , donde ω < ω . A estas oscilaciones se les denomina subamortiguadas, y la solución de la

ecuación diferencial es,

-γt

oy = Ae sen ω t + φ [3]

Así como en el oscilador “libre”, A y oφ dependen de las condiciones iniciales. En la Figura 3 se ilustra la

gráfica de la elongación.

Aunque se ha designado a ω con el nombre de frecuencia angular, en un sentido estricto no es posible

definir una frecuencia cuando existe amortiguamiento, ya que entonces el movimiento no es periódico; esto

es, el oscilador no pasa dos veces por el mismo punto con la misma velocidad (observar en que la velocidad y

la energía total del oscilador van disminuyendo conforme se van completando más y más oscilaciones).

Cuando el amortiguamiento es muy débil, esto es, cuando γ ω , entonces,

4

2 2ω = ω - γ ω

de modo que se puede llamar "frecuencia angular" a ω , aunque esta terminología sólo es absolutamente

correcta cuando γ = 0 . Sin embargo, para simplificar, se pasará por alto estas consideraciones y se

referirá a ω como a la frecuencia angular de las oscilaciones amortiguadas, que será siempre menor que

la frecuencia natural ω del oscilador: sin embargo la diferencia entre ω y ω suele ser en la práctica muy

pequeña (incluso para un amortiguamiento relativamente alto) y difícil de apreciar. Consideraciones

análogas se pueden hacer acerca del periodo de las oscilaciones amortiguadas.

Figura 3

En el caso que γ = ω no habrá oscilación y la partícula se aproxima a la posición de equilibrio siguiendo

una exponencial, Figura 4: a esta situación se le denomina oscilador críticamente amortiguado. Si γ > ω

tampoco oscilará la partícula y se aproximará también a la posición de equilibrio demorándose más a mayor

viscosidad del medio, Figura 4: a esta situación se le denomina oscilador sobreamortiguado.

Figura 4

5

Un análisis detallado de las oscilaciones críticamente amortiguadas y sobreamortiguadas concluye que:

Para unas determinadas condiciones iniciales, un oscilador con amortiguamiento crítico se aproxima más

rápidamente a la posición de equilibrio que uno sobreamortiguado. Como ejemplo de sistema con

amortiguamiento crítico o casi-crítico está el sistema de suspensión de un vehículo automóvil; esto

puede comprobarse empujando hacia abajo la parte delantera o trasera de un automóvil (a fin de

comprimir los amortiguadores) y observando que se producen una o dos oscilaciones antes de que el

sistema quede en reposo.

Para un oscilador sobreamortiguado no habrán oscilaciones, y la partícula regresará a la posición de

equilibrio sin rebasarla o rebasándola una vez a lo sumo. Para unas condiciones iniciales dadas, cuanto

mayor sea el amortiguamiento más tiempo empleará el sistema en quedar en reposo en la posición de

equilibrio.

Disipación de la energía y el factor de calidad

Disipación de la energía

En contraste con el oscilador armónico simple, en el oscilador amortiguado la energía no se mantiene

constante. La energía del oscilador amortiguado se transfiere gradual y continuamente al medio resistivo y

es disipada en forma de calor o de radiación. La energía disipada por unidad de tiempo (potencia disipada)

es proporcional al cuadrado de la velocidad, por ser la fuerza de rozamiento (r

dxf = - b

dt) la responsable

de tal disipación de energía, de modo que,

2

r

dEP = = f •V = - bV [4]

dt

Observar entonces que la energía del oscilador no se disipa de modo uniforme. La energía disipada por

unidad de tiempo será máxima cuando el oscilador adquiera su velocidad máxima, cosa que ocurre cuando

está atravesando la posición de equilibrio. La energía disipada por unidad de tiempo será nula cuando, en

cada oscilación, el oscilador alcanza las posiciones de elongación máxima, ya que entonces su velocidad es

nula.

La energía mecánica E del oscilador armónico es,

2 21E = E mω A

2

por lo tanto para el oscilador subamortiguado es,

2 2 -2γt1E = mω A e

2

Observar que la energía disminuye a un ritmo que es el doble al de la disminución de la amplitud.

6

La disipación media de potencia viene dada por la variación de la energía total del oscilador por unidad de

tiempo,

2 2 -2γtdE 1P = mω A e - 2γ

dt 2

P = - 2γ E [5]

Puede parecer sorprendente que la media temporal de la energía total, E , sea función del tiempo t ,

cuando esa media lo es precisamente respecto al tiempo. Para comprender esto, se ha de tener muy

presente que se está observando el movimiento de un oscilador amortiguado a lo largo de muchas

oscilaciones de su movimiento y que esa expresión corresponde a la energía media en una oscilación,

expresada en el instante t . Como la energía se va disipando, es de esperar que dicho valor medio (en una

oscilación) vaya disminuyendo según se vaya completando más oscilaciones.

Factor de calidad

Es frecuente caracterizar un sistema oscilante por su Q o factor de calidad. El factor de calidad de un

sistema oscilante se define como 2 veces la razón entre la energía almacenada y la disipada por ciclo,

Energía promedio almacenadaQ=2π [6]

Energía disipada en un periodo

E EQ=2π 2π

2πP×periodo2γE ×

ω

ω ωQ = [7]

2γ 2γ

Es decir, Q es una buena medida del amortiguamiento. Valores de Q altos representan un

amortiguamiento muy débil.

Estimaciones interesantes:

Q es aproximadamente igual 3 veces el número de oscilaciones que un sistema hace mientras su amplitud

cae a 1/3 de la amplitud inicial:

Un sistema que pierde 1% de energía por cada ciclo, tendrá un Q aproximado de 628.

El Q de un vehículo con los amortiguadores en buen estado es un poco más grande que 1.

El Q de una cuerda de guitarra es de varios miles, es decir del orden de 103.

7

El Q de los cristales de cuarzo utilizados en electrónica como referencia de frecuencia es el orden de 1

millón (106).

El Q para ondas sísmicas terrestres está en el rango 250-1400.

El Q de átomo excitado es del orden de 107.

El Q de núcleo excitado es del orden de 1012.

En primera aproximación se puede aceptar un Q de 100 para un buen circuito oscilante.

Una copa de vidrio ordinario tiene un Q mucho más pequeño que una copa de vidrio de plomo (cristal).

Una aclaración para finalizar el estudio del oscilador amortiguado:

Es evidente que una fuerza de rozamiento del tipo - bV , tal como se ha supuesto en este análisis de las

oscilaciones amortiguadas, no puede representar exactamente las situaciones reales, en las que el oscilador

queda en reposo al cabo de un tiempo finito; con una fuerza de rozamiento de este tipo el reposo sólo se

alcanzaría al cabo de un tiempo infinitamente grande.

Oscilaciones forzadas

En las oscilaciones amortiguadas, se observó que para bajos rozamientos, el sistema oscilante se

amortiguaba exponencialmente. Si se desea que la partícula mantenga la oscilación se le debe entregar

energía y la mejor forma de hacerlo es mediante una fuerza externa oscilante (imaginarse "columpiando" a

un niño). En la Figura 5 se ilustra un sistema físico que puede oscilar forzadamente. Lo componen un

amortiguador, un resorte y una masa. El diagrama de fuerzas de la masa está ilustrado en la Figura 6.

Figura 5

Figura 6

8

Si se supone que la fuerza externa es armónica de amplitud Fo y frecuencia angular

fω , es decir tiene la

forma, o fF t = F sen ω t y que la fuerza de rozamiento (viscosa) tiene la forma, r

dxf = - b

dt, se obtiene

aplicando la segunda ley de Newton,

2

2

d xF = m

dt

2

2 of2

Fd x dx + 2γ + ω x = sen ω t [8]

dt dt m

en donde fω corresponde a la frecuencia angular de la fuerza oscilante externa, of la amplitud de dicha

fuerza, b

γ = 2m

la constante de amortiguamiento y k

ω = m

la frecuencia propia del oscilador (recordar

que la constante del oscilador armónico es , 2k = mω ).

La solución corresponde a una superposición de la solución a la ecuación diferencial homogénea ( hx ), con

una solución particular (px ):

h px = x + x

La solución de la homogénea corresponde a la del oscilador amortiguado,

-γt

h ox = Ae sen ω t + φ

donde 2 2ω = ω - γ y donde la amplitud A y la fase inicial oφ dependen de las condiciones iniciales de

la oscilación.

La solución de la homogénea se denomina transitoria ya que a medida que avanza el tiempo va decayendo en

forma exponencial hasta anularse. En definitiva permanece la solución px , a la cual se denomina solución

estacionaria, y que según la teoría general de ecuaciones diferenciales (que no se abordará en estas notas)

se puede expresar así,

p p fx = x = A sen ω t - δ [9]

con,

o

p2

2 2 2 2

f f

FA = [10]

m ω - ω + 4γ ω

9

f

2 2

f

2 γ ωtanδ = [11]

ω ω

donde la amplitud pA y la fase δ NO DEPENDEN de las CONDICIONES INICIALES sino de que tan

cerca se encuentren las frecuencias ω y fω : esto es debido a que las condiciones iniciales solo

interesan en la solución transitoria la cual se ha amortiguado completamente permaneciendo sólo a solución

estacionaria. Se observa además que δ corresponde a la diferencia de fase entre la elongación y la fuerza

externa oscilante.

Importantísimo:

En definitiva el oscilador SIEMPRE termina oscilando con la frecuencia de agente externo fω

Estudio en situaciones especiales del estado estacionario

De lo explicado en el párrafo anterior se deduce que el sistema siempre termina oscilando con la

frecuencia del agente externo, fω . Es decir la respuesta del sistema que permanece es simplemente la

particular,

p p fx = x = A sen ω t - δ [9]

Resonancia en la amplitud

Surge la siguiente pregunta: ¿Para qué valores de la frecuencia externa se obtiene el máximo valor en la

amplitud? A esta situación se le conoce con el nombre de resonancia en la amplitud. Para responder a esta

pregunta se debe calcular los puntos críticos de la ecuación [10],

p

f

dA = 0

dω

2 2

fω = ω - 2γ [12]

Evaluando la segunda derivada en este punto crítico se obtiene,

2 2f

2

p

2

f ω = ω - 2γ

d A < 0

dω

10

es decir, en 2 2

fω = ω - 2γ hay máxima amplitud pA , que es:

op max 2 2

FA =

2γm ω - γ

En el caso ideal de que no existiese la fuerza de amortiguamiento, γ = 0 , la amplitud de la oscilación

forzada se haría muy grande, tendería a infinito, y la frecuencia de la fuerza oscilante es igual a la

frecuencia propia del oscilador fω . En la Figura 7, se muestra la amplitud vs la frecuencia de la fuerza

externa, en estado estacionario.

Figura 7

Como se observa en la gráfica, la amplitud de la oscilación forzada en el estado estacionario disminuye

rápidamente cuando la frecuencia fω de la fuerza oscilante externa se hace mayor que la frecuencia

propia de la fuerza recuperadora del oscilador ω .

Resonancia en la energía cinética

Otra pregunta que surge es la siguiente: ¿Para qué valores de la frecuencia externa fω se obtiene el

máximo valor en la amplitud de velocidad? A esta situación se le conoce con el nombre de resonancia en la

energía cinética. Para responder a esta pregunta se debe tener en cuenta que la velocidad del oscilador

forzado en el estado estacionario es,

x f p fV = ω A cos ω t - δ

Por tanto la amplitud de la velocidad es igual,

f o

o f p2

2 2 2 2

f f

ω FV = ω A =

m ω - ω + 4γ ω

Para buscar el máximo se hace,

11

o

f

dV = 0

dω

Obteniéndose (ejercicio para el lector),

fω = ω

Es decir, cuando fω = ω , hay un máximo en la amplitud de velocidad, es decir también hay un máximo en

la energía cinética, lo que se denomina resonancia en la energía cinética.

De la ecuación [11], se deduce que cuando hay resonancia en la energía cinética,π

δ = 2

, es decir en estado

estacionario, en resonancia en la energía, la velocidad y la fuerza externa oscilante o fF = F sen ω t

están en fase:

x f p f

πV = ω A cos ω t -

2

x f p fV = ω A sen ω t

Cuando la constante de amortiguamiento es pequeña, γ 0 , y hay resonancia en la energía cinética

fω = ω corresponde simultáneamente a la resonancia en la amplitud.

La frecuencia de resonancia en la energía cinética coincide con la frecuencia de resonancia en la

transferencia de potencia al oscilador por la fuerza impulsora. Puesto que la energía potencial es

proporcional al cuadrado de la amplitud, la resonancia en la energía potencial ocurrirá en la resonancia de la

amplitud. El que no coincidan estas dos frecuencias de resonancia (para la amplitud y para la energía

cinética) es característico del oscilador forzado con amortiguamiento y es consecuencia de que dicho

sistema no sea conservativo, por haber un intercambio continuo de energía entre el oscilador, el medio

resistivo y el mecanismo impulsor.

Algo más sobre el fenómeno de resonancia

El fenómeno de resonancia es muy importante para explicar muchos avances tecnológicos como: la

televisión, la radio, los espectros de la luz, la construcción de edificios sismoresistentes, el láser, las cajas

de resonancia en los instrumentos musicales, ...

Un ejemplo claro del fenómeno de resonancia es el desafortunado colapso del puente de Tacoma: en el año

de 1940 en un puente en Tacoma, EUA, unos meses después de haber sido completado, un temporal azotó la

región, y una de las componentes de la fuerza del viento fue de frecuencia justamente igual a una de las

frecuencias características del puente (más exactamente fue debido a los efectos periódicos de la

turbulencia del aire generada en el puente). El puente entró en resonancia con el viento y empezó a oscilar

con una amplitud muy grande que lo destruyó. Este hecho es general: si un sistema mecánico entra en

resonancia puede ocurrir que se destruya.

12

A continuación se puede acceder a algunos videos que ilustran claramente este fenómeno.

Video

Caída del puente de Tacoma por el efecto de la resonancia (un famoso desastre de la ingeniería).

Video

Resonancia en un oscilador mecánico.

Video

Resonancia en varillas en voladizo (cantilever).

Video

Haciendo cantar copas.

Video

Figuras de Cladni en placa circular.

Video

Figuras de Cladni en placa rectangular.

Promedio de la potencia recibida en estado estacionario

El sistema físico recibe energía de la fuerza oscilante externa. La potencia recibida en estado estacionario

es,

recibida x xP = F V = FV

recibida 0 f f p fP = F sen ω t ω A cos ω t - δ

Promediando en un periodo de oscilación.

P

recibida recibida o f p

0

1P = P dt = F ω A senδ

2

o f

recibida o f2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

f f f f

F 2γω1P = F ω

2m ω - ω + 4γ ω ω - ω + 4γ ω

13

2 2

o frecibida 2

2 2 2 2

f f

F γωP =

ω - ω + 4γ ωm

Promedio de la potencia disipada en estado estacionario

El sistema físico disipa energía debido al trabajo realizado por la fuerza de amortiguamiento,

2

disipada r xP = f V = - bVx

2 2 2

disipada f p fP = - bω A cos ω t - δ

2 2

disipada f p

1P = - 2mγ ω A

2

2 2

o fdisipada 2

2 2 2 2

f f

F γωP =-

m ω - ω + 4γ ω

En el estado estacionario, el valor medio de la energía por unidad de tiempo suministrada por la fuerza

externa oscilante, es igual al valor medio de la energía por unidad de tiempo que disipa el oscilador a causa

de su interacción con el medio que le rodea. De esta forma se mantiene la energía del oscilador forzado

constante en valor medio.

En resonancia de energía la potencia obtiene su mayor valor promedio,

recibida o f p

1P = F ω A [13]

2

que corresponde al valor máximo de energía recibida por el oscilador. Es decir, en resonancia de energía

( fω = ω ), la fuerza oscilante externa realiza la máxima transferencia de potencia al sistema.

Resumen

Cuando un oscilador es forzado por una fuerza oscilante externa:

El oscilador termina oscilando con la frecuencia del agente externo (de la fuerza oscilante externa).

Al comienzo del forzamiento, el oscilador entra en un transiente. No "sabe" cómo acomodarse a la

vibración que le están imponiendo, que generalmente es a una frecuencia que no es la propia.

Si la frecuencia de la fuerza oscilante externa es igual a la frecuencia propia del oscilador (o al

menos está muy cerca), éste adquiere oscilaciones de muy buena amplitud y a este estado se le

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denomina RESONANCIA.

En resonancia, la fuerza oscilante externa y la velocidad del oscilador quedan en fase, permitiendo

máxima transferencia de energía en la unidad de tiempo (máxima potencia).

Una discusión interesante

En un parágrafo atrás, se ilustró que la solución de la ecuación diferencial del oscilador armónico forzado

es,

p p fx = x = A sen ω t - δ [5]

en donde pA y δ están dadas por la ecuaciones [6] y [7].

Se discutirán las siguientes situaciones especiales,

fω ω

fω ω

fω ω

Analizando la ecuación de la dinámica del oscilador forzado,

2

o f2

d x dxm + b + kx = F sen ω t (1)

dt dt según la solución, se tiene para las derivadas,

f p f

dx = ω A cos ω t - δ

dt

2

2

f p f2

d x = - ω A sen ω t - δ

dt

considerando que el orden de magnitud de las funciones seno y coseno es uno y que todos los términos de la

ecuación (1) los contienen como factores. Por lo tanto, se puede decir que los órdenes de magnitud para los

términos del miembro izquierdo de dicha ecuación son los siguientes,

Para la fuerza de inercia, 2

2

f p2

d xm mω A

dt

Para la fuerza amortiguadora, f p

dxb b ω A

dt

Para la fuerza recuperadora, pkx kA

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Estos tres términos deben compensar la fuerza externa oscilante cuyo orden de magnitud es oF . Con base

en esto se puede concluir:

Caso 1: fω ω

La fuerza de inercia y la fuerza amortiguadora son despreciables frente a la fuerza recuperadora. En este

caso la fuerza externa oscilante se compensa con la fuerza recuperadora. El sistema es estirado y

distendido por la fuerza exterior de forma “cuasiestática”, sin tener en cuenta la masa ni el rozamiento.

Los efectos de inercia y rozamiento son pequeños porque las aceleraciones y velocidades son pequeñas. No

existe diferencia de fase entre la elongación y la fuerza oscilante, δ = 0 . Esto corresponde a la solución,

of

Fx = sen ω t

k

tal y como se dedujo en la tabla ya, tabla 1.

En cuanto a la absorción de energía del sistema: la fuerza exterior solamente aporta energía al cuerpo

cuando se mueve en la misma dirección que la velocidad (potencia positiva). Por lo tanto el sistema absorbe

energía en el primer y cuarto del periodo, mientras que en el segundo y tercero, donde la fuerza y

velocidad son antiparalelas, devuelve la misma cantidad. Es decir la recepción de potencia total por el

sistema es nula en un periodo.

Caso 2: fω ω

La fuerza amortiguadora y la fuerza recuperadora son despreciables frente a la fuerza de inercia. En este

caso la fuerza externa oscilante se compensa con la fuerza de inercia. El sistema es "cuasilibre". La

aceleración y la fuerza están en fase, δ = π . Esto corresponde a la solución,

of2

f

Fx = sen ω t + π

mω

tal y como se dedujo en la tabla ya, tabla 1.

En cuanto a la absorción de energía del sistema: En el primer y cuarto del periodo, la fuerza y la velocidad

son antiparalelas y el sistema cede energía; en el segundo y tercer cuarto del periodo absorbe la misma

cantidad. El efecto total en un periodo vuelve a ser nulo.

Caso 3: fω ω

La fuerza de inercia se compensa con la fuerza recuperadora. Por tanto la fuerza externa oscilante se

compensa con la fuerza amortiguadora. Esto corresponde a la solución,

of

f

F πx = sen ω t +

bω 2

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tal y como se dedujo en la tabla ya, tabla 1.

En cuanto a la absorción de energía del sistema, como la velocidad estará en fase con la fuerza oscilante, el

sistema absorberá potencia constantemente. Sin embargo como se demostró arriba, ecuación [9], el

sistema disipará esa misma cantidad de energía: hay equilibrio energético entre lo que entra de energía por

unidad de tiempo y lo que sale.

Tabla 1

Caso 1 fω ω op 2

FA

mω tanδ +0 δ 0 o

f

Fx = sen ω t

k

Caso 2 fω ω op 2

f

FA

mω tanδ -0 δ π o

f2

f

Fx = sen ω t + π

mω

Caso 3 fω ω op 2

f

FA

bω

πtanδ δ

2

of

f

F πx = sen ω t +

bω 2

Sobre el factor de calidad

El factor de calidad, Q, de un oscilador mide cómo es de agudo el pico de una resonancia. Se define, en

términos de la energía como,

Energía promedio almacenadaQ=2π [6]

Energía disipada en un periodo

donde las cantidades se evalúan en la frecuencia de resonancia ω.

La cantidad media de energía absorbida en un ciclo es igual a la potencia media producida por la fuerza

impulsora. En la Figura 8 se muestra un diagrama de la potencia media transmitida a un oscilador en función

de la frecuencia de la fuerza impulsora o externa para dos valores diferentes de amortiguamiento (y por

tanto de Q).

Figura 8

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Estas curvas reciben el nombre de curvas de resonancia. Cuando el amortiguamiento es pequeño (el valor

de Q es alto), la potencia consumida en la resonancia es mayor y la resonancia es más aguda; es decir, la

curva de resonancia es más estrecha, lo que quiere decir que la potencia suministrada es grande sólo cerca

de la frecuencia de resonancia. Cuando el amortiguamiento es grande (el valor de Q es pequeño), la curva

de resonancia es más achatada y la potencia suministrada toma valores más para frecuencias diferentes

de la de resonancia.

La anchura de la resonancia es otra característica importante de estas curvas. Se define como el

intervalo de frecuencias de la fuerza oscilante para los cuales la potencia P es mayor que la mitad de la

máxima. El intervalo de frecuencias fω alrededor de la frecuencia ω propia del oscilador vale

aproximadamente 2γ . Por lo tanto con base en la ecuación [7] se concluye que para amortiguamientos

relativamente pequeños, el cociente entre la frecuencia de resonancia ω y la anchura total a la mitad del

máximo fΔω es igual al factor Q:

f f

ω fQ= [11]

Δω Δf

Por tanto, el factor Q nos indica directamente si la resonancia es aguda o no y en qué medida lo es.

Resumiendo, cuando se está en resonancia:

la amplitud del oscilador es máxima,

la energía absorbida por el oscilador es máxima,

π

δ = 2

,

la velocidad está en fase con la fuerza impulsora como se observa al operar, es decir, el oscilador

está moviendo en el sentido en que actúa la fuerza impulsora, por lo que se consigue el máximo

aporte de energía.

FIN