1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN

FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA

FÍSICA MECÁNICA

MÓDULO #2: FUNDAMENTOS SOBRE VECTORES

Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.

Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Última revisión en junio 09 de 2013

Temas

Magnitudes vectoriales y escalares.

Clasificación de vectores.

Suma de vectores por los métodos: paralelogramo, triángulo, polígono.

Componentes rectangulares de un vector: en el plano y en el espacio.

Suma de vectores por el método de las componentes rectangulares.

Producto escalar por vector.

Producto escalar de vectores.

Producto vectorial de vectores.

Derivada de un vector

Nota: En el desarrollo de este módulo se asume que los estudiantes ya cursaron Geometría Vectorial. Es

decir, el módulo considera sólo un breve REPASO.

I. ¿Qué es un vector?

Las magnitudes físicas se pueden clasificar en escalares y vectoriales. Las magnitudes escalares tienen sólo tamaño (que de ahora en adelante se denominará módulo o

simplemente magnitud). Son ejemplos de estas: el tiempo, la masa, la rapidez, la longitud de un

recorrido, la energía, el trabajo, el voltaje, la potencia.

Las magnitudes vectoriales poseen además de módulo, dirección y sentido. Se representan mediante un

segmento orientado (flecha), como lo indica la figura 1.

Figura 1

La dirección de la cantidad vectorial, está dada por el valor del ángulo que define la pendiente de la

recta sobre la cual se "apoya" la "flecha" que la representa. El sentido queda definido por la

"cabeza" o "punta" de la misma. El tamaño (módulo o magnitud) del vector lo da el tamaño de dicha

"flecha". Así por ejemplo, si la cantidad vectorial se duplica, la "flecha" que la representa se deberá

dibujar de doble tamaño.

2

Son ejemplos de magnitudes vectoriales: la posición, el desplazamiento, la velocidad, la aceleración,

la fuerza, la cantidad de movimiento (momentum), la elongación, el peso, el campo eléctrico, el

campo magnético.

Algebraicamente los vectores se representan con letras del alfabeto castellano, mayúsculas o

minúsculas; usualmente en un texto impreso se utiliza la letra en negrita, por ejemplo b, que

significa ambas propiedades del vector, magnitud y dirección (incluyendo el sentido dentro de la

dirección). En la escritura manual se suele poner una flecha sobre la letra, b .

La magnitud o longitud de un vector se representa colocando el vector entre barras o simplemente

la letra, b = b .

II. Clasificación de vectores

Línea de acción de un vector es la recta a la que pertenece el vector, Figura 2.

Figura 2

Vectores paralelos

Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas e igual sentido, Figura 3.

Figura 3

Vectores antiparalelos

Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas y sentido opuesto, Figura 4.

3

Figura 4

Vectores iguales

Son aquellos vectores que tienen la misma magnitud, dirección y sentido aunque no tengan el mismo punto

de aplicación, Figura 5.

Figura 5

Vector opuesto de un vector

Es aquel que tiene la misma magnitud del vector, pero está rotado 180° respecto a éste, Figura 6.

Figura 6

Vectores fijos

Son aquellos vectores que no pueden deslizarse sobre su línea de acción. Su origen está anclado al punto de

aplicación. Ejemplos son: el vector posición (Figura 7), la velocidad (Figura 7), el campo eléctrico.

4

Figura 7

Vectores deslizantes

Son aquellos vectores que pueden moverse sobre su línea de acción sin cambiar su magnitud y dirección.

Ejemplo. Las fuerza que actúan sobre los cuerpos rígidos, Figura 8.

Figura 8

Vectores libres

Son aquellos vectores que pueden moverse libremente en el espacio con sus líneas de acción paralelas.

Ejemplo. El torque de una cupla (también denominado par de fuerzas), Figura 9.

Figura 9

5

Vector unitario (versor de un vector)

Es un vector de magnitud 1 y de igual dirección del vector dado, Figura 10. Se obtiene

dividiendo el vector entre su magnitud,

au = [1]

a

Figura 10

Ejemplos de versores son los que representan las direcciones de los ejes cartesianos (eje x, i ; eje y, j ;

eje z, k ), Figura 11.

Figura 11

III. Suma de vectores por los métodos: paralelogramo, triángulo, polígono

Para sumar vectores se emplean diferentes métodos: el método del paralelogramo, el método del triángulo,

el método del polígono y el método de las componentes rectangulares. A continuación se tratarán los tres

primeros.

Método del paralelogramo

En este método, se desplazan los vectores para unir sus "colas". Luego se completa el paralelogramo y el

vector resultante será la diagonal trazada desde las "colas" de los vectores a sumar. Este vector tendrá

también la "cola" unida a las colas de los otros dos y su "cabeza" estará al final de la diagonal. En la Figura

12 se ilustra este método.

6 Figura 12

Para realizar los cálculos se emplear las leyes de seno y coseno.

Ley de cosenos:

2 2 2s = a + b - 2abcosφ [2-a-]

2 2 2a = s + b - 2sbcosα [2-b-]

2 2 2b = s + a - 2sacosβ [2-c-]

Ley de senos:

a b = [3-a-]

senα senβ

b s = [3-b-]

senβ senφ

a s = [3-c-]

senα senφ

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a la suma de vectores por el método del

paralelogramo. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 12. En ésta

hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics

7

Figura 12

Ejemplo 1:

Dados dos vectores: a de 6,00 unidades haciendo un ángulo +36,0o con el eje X; b de 7,00 unidades y

apuntando en la dirección negativa del eje X, Figura 13. Hallar la suma de los dos vectores.

Figura 13

Solución:

En la Figura 14 se ilustra la suma de los dos vectores empleando el método del paralelogramo. Aplicandola

ley de cosenos se obtiene,

Figura 14

8

2 2 2 os = a + b - 2abcos36

2 22 os = 6,00 u + 7,00 u - 2 6,00 u 7,00 u cos36,0

s = 4,13 u

La dirección se obtiene calculando el ángulo que forma con el eje X. Aplicando ley de senos,

o

s b =

sen36,0 senφ

ob sen36,0senφ =

s

o7,00 u sen36,0senφ =

4,13 u

senφ = 0,996 2

oφ = 85,0

Por lo tanto el ángulo que forma el vector resultante con el eje X es igual a,

o o oφ = 36,0 + 85,0 121,0

Ejemplo 2:

Dos vectores forman un ángulo de 110,0o. Uno de ellos tiene 20,0 unidades de longitud y hace un ángulo de

40,0o con el vector resultante (vector suma) de los dos. Encontrar la magnitud del segundo vector y la del

vector suma.

Solución:

Figura 15

En la Figura 15 se ilustra la suma de estos dos vectores empleando el método del paralelogramo. Sea b= 20

u, aplicando ley de senos,

9

s b =

senφ senβ

Pero oφ = 70,0 ya que es el suplemento de 110,0o (esta es una propiedad de los paralelogramos), y como

los ángulos interiores de un triángulo suman 180o,oβ = 70,0 , entonces,

b senφs =

senβ

0

o

20,0 u ×sen70,0s =

sen70,0

s = 20,0 u

Aplicando ley de cosenos,

2 2 2 oa = s + b - 2sbcos40,0

2 22 oa = 20,0 u + 20,0 u - 2 20,0 u 20,0 u cos40,0

a = 13,7 u

Método del triángulo

En este método, los vectores se deben trasladar (sin cambiarle sus propiedades) de tal forma que la

"cabeza" del uno se conecte con la "cola" del otro (el orden no interesa, pues la suma es conmutativa). El

vector resultante se representa por la "flecha" que une la "cola" que queda libre con la "cabeza" que

también está libre (es decir se cierra un triángulo con un "choque de cabezas"). En la Figura 16 se ilustra el

método.

Figura 16

En la Figura 16 el vector de color verde es la suma vectorial de los vectores de color rojo y de color azul.

10

Si la operación se hace gráficamente con el debido cuidado, sólo bastaría medir con una regla el tamaño del

vector de color verde utilizando la misma escala que se utilizó para dibujar los vectores sumandos (el rojo y

el azul). Esa sería la magnitud de la suma. La dirección se podría averiguar midiendo con un transportador el

ángulo que forma la resultante con una línea horizontal.

Pero no basta con saberlo hacer gráficamente. Se debe aprender a realizar analíticamente. Para ello se

deben utilizar los teoremas del seno y del coseno, y si es un triángulo rectángulo se utilizará el teorema de

Pitágoras y las definiciones de las funciones seno y coseno.

Ejemplo 3:

Resolver el ejemplo 1 usando el método del triángulo.

Solución:

Figura 17

En la Figura 17 se ilustra la suma de los dos vectores empleando el método del triángulo. Aplicando ley de

cosenos,

2 2 2 os = a + b - 2abcos36

2 22 os = 6,00 u + 7,00 u - 2 6,00 u 7,00 u cos36,0

s = 4,13 u

La dirección se obtiene calculando el ángulo que forma con el eje X. Aplicando ley de senos,

o

s a =

sen36,0 senβ

oa sen36,0senβ =

s

o6,00 u ×sen36,0senβ=

4,13 u

senφ = 0,854

11

oφ = 58,6

Por lo tanto el ángulo que forma el vector resultante con el eje X es igual a,

o o oφ = 180 - 58,6 121

Método del polígono

Cuando se van a sumar más de dos vectores, se puede sumar dos de ellos por el método del triángulo. Luego

el vector resultante sumarlo con otro vector también por el método del triángulo, y así sucesivamente

hasta llegar a obtener la resultante final: la suma de vectores es conmutativa y asociativa.

Otra forma de hacer la suma, es utilizando el llamado método del polígono. Este método es simplemente la

extensión del método del triángulo. Es decir, se van desplazando los vectores para colocarlos la "cabeza"

del uno con la "cola" del otro (un "trencito") y la resultante final es el vector que cierra el polígono desde la

"cola" que quedo libre hasta la "cabeza" que quedo también libre (cerrar con un "choque de cabezas").

Nuevamente el orden en que se realice la suma no interesa, pues aunque el polígono resultante tiene forma

diferente en cada caso, la resultante final conserva su magnitud, su dirección y su sentido.

Este método sólo es eficiente desde punto de vista gráfico, y no como un método analítico. En la Figura 18

se ilustra la suma de cuatro vectores.

Figura 18

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a la suma de vectores por el método del polígono.

Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 19. En ésta hacer las

variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics

12

Figura 19

IV. Componentes de un vector

Todo vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores a los cuales se les denomina

componentes. En la Figura 20 se ilustra esto.

Figura 20

En esta figura el vector verde tiene como componentes los vectores azul y rojo. Estos últimos sumados

componen al vector verde.

Componentes rectangulares de un vector en el plano

Cuando las componentes forman un ángulo recto, se les llama componentes rectangulares. En la Figura 21 se

ilustran las componentes rectangulares del vector verde.

Figura 21

Las componentes rectangulares cumplen las siguientes relaciones:

13

xa = a cosα [4-a]

ya = a senα [4-b]

2 2

x ya = a +a [5]

y

x

atanα = [6]

a

Estas componentes se pueden escribir en función de los versores correspondientes a los ejes cartesianos,

x yˆ ˆa = a i + a j [7]

Componentes rectangulares de un vector en el espacio

Componentes rectangulares Ángulos directores

Figura 22

De la Figura 22 se puede concluir que,

x y zˆ ˆ ˆa = a i + a j + a k [8]

x xa = a cosθ [9-a]

y ya = a cosθ [9-b]

z za = a cosθ [9-c]

En donde xcosθ , ycosθ y zcosθ se denominan cosenos directores y cumplen,

14

2 2 2

x y zcos θ + cos θ + cos θ 1 [10]

es decir los cosenos directores no son independientes.

Ejemplo 4:

Una fuerza F tiene magnitud igual a 10,0 N y dirección igual a 240,0º. Encontrar las componentes

rectangulares y representarlas en un plano cartesiano.

Solución:

Calcular las respectivas componentes:

o

xF = 10,0N cos240,0 = -5,00 N

o

yF = 10,0N sen240,0 = -8,66 N

El resultado lleva a concluir que la componente de la fuerza en X tiene módulo igual a 5,00 N y apunta en

dirección negativa del eje X. La componente en Y tiene módulo igual a 8,66 N y apunta en el sentido

negativo del eje Y. Esto se ilustra en la Figura 23.

Figura 23

Adicionalmente el vector se puede escribir en función de sus componentes rectangulares,

ˆ ˆF = -5,00 i - 8,66 j N

15

Ejemplo 5:

En la Figura 24 se ilustra un poste vertical AE que está sujetado por cables (tensores) AB, AC y AD. Si la

fuerza de tensión F en el cable AD tiene una magnitud igual a 1 200 N, escribir esta fuerza en forma

vectorial.

Figura 24

Solución:

A: (0,0 m, 0,0 m, 3,6 m)

D: (1,2 m, 1,8 m, 0,0 m)

Nota: Dado un sistema de coordenadas, a cada punto del espacio se le puede asignar un vector posición y

solo uno (es decir un vector cuya “cola” está anclada en el origen del sistema de coordenadas elegido y cuya

“cabeza” está ubicada en dicho punto). Por lo tanto al punto A se le asigna el vector posición A y al punto

D se le asigna el vector posición D . Las componentes rectangulares de estos vectores corresponden a las

respectivas coordenadas de los puntos,

ˆA = 3,6 k m

ˆ ˆD = 1,2 i + 1,8 j m

El vector AD es igual a la diferencia de los vectores posición D y A (FINAL menos INICIAL),

ˆ ˆ ˆAD D-A= 1,2 0,0 i 1,8 0,0 j 0 3,6 k m

ˆ ˆ ˆAD = 1,2 i + 1,8 j - 3,6 k m

16

La fuerza de tensión en el cable AD se escribe,

F2 22

ˆ ˆ ˆAD 1,2 i + 1,8 j - 3,6 kˆF = Fu = F = 1 200 N

AD 1,2 + 1,8 + -3,6

ˆ ˆ ˆF = 342,86 i + 514,29 j - 1 028,57 k N

2 2 3ˆ ˆ ˆF = 3,4x10 i + 5,1x10 j - 1,0x10 k N

V. Suma de vectores empleando el método de las Componentes Rectangulares

Cuando se suman vectores, se puede optar por descomponerlos en sus componentes rectangulares y luego

realizar la suma vectorial de estas. El vector resultante se logrará componiéndolo a partir de las

resultantes en las direcciones x e y.

A continuación se ilustra este método mediante un ejemplo. Este será en la mayor parte de los casos el

método que se usará a través del curso.

Ejemplo 6:

Sumar los vectores de la Figura 25 mediante el método de las componentes rectangulares: a=8,00 u,

b=7,50 u, c= 4,30 u, d=7,80 u.

Figura 25

Lo primero que se debe hacer es llevarlos a un plano cartesiano para de esta forma orientarse mejor (las

colas deben anclarse al origen). Esto se ilustra en la Figura 26.

17

Figura 26

Calcular las componentes rectangulares:

o

xa = 8,00 u cos50,0 = 5,14 u o

ya = 8,00 u sen50,0 = 6,13 u

o

xb = 7,50 u cos 0 = 7,50 u o

yb = 7,50 u sen0 = 0 u

o

xc = 4,30 u cos120,0 = -2,15 u o

yc = 4,30 u sen120,0 = 3,72 u

o

xd = 7,80 u cos200,0 = -7,33 u o

yd = 7,80 u sen200,0 = -2,67 u

A continuación se realiza la suma de las componentes en X y de las componentes en Y:

xS = 5,14 u + 7,50 u - 2,15 u - 7,33 u = 3,16 u

yS = 6,13 u + 0 u + 3,72 u - 2,67 u = 7,18 u

Se representa estos dos vectores en el plano cartesiano y de una vez se hace la composición (suma

vectorial de las componentes xS y yS ), Figura 27

Figura 27

18

Se calcula ahora el módulo de la resultante y su dirección:

2 22 2

x yS = S +S = 3,16 u + 7,18 u = 7,84 u

y-1 -1 o

x

S 7,18 uα = tan = tan = 66,2

S 3,16 u

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a la suma de vectores por el método de las

componentes rectangulares. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 28.

En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics

Figura 28

Resta de Vectores

Para restar vectores se aprovecha del elemento inverso de la suma. Así la resta de dos vectores se puede

ver como una suma:

a - b = a + -b

El negativo de un vector es otro vector con sentido contrario. De ahí en adelante la operación sigue como

una suma de vectores.

En la Figura 29 se ilustra un ejemplo de una resta.

19

Figura 29

Ejemplo 7:

Para los vectores del ejemplo 1 encontrar b - a .

Solución:

En la Figura 30 se ilustra la operación R = b - a = b + -a usando el método del triángulo.

Figura 30

Aplicando la ley de cosenos,

2 2 2 oR = a + b - 2abcos144,0

2 22 oR = 6,00 u + 7,00 u - 2 6,00 u 7,00 u cos144,0

R = 12,37 u

Aplicando ley de senos,

o

R b =

sen144,0 senβ

20

0b sen144,0senβ =

R

7,00 u 0,588enβ =

12,37 us

oβ = 19,44

oφ = 196,56

Por lo tanto R mide 12,4 u y forma un ángulo igual a 197o con el eje X.

VI. Producto de un Escalar por un Vector

El producto de un escalar por un vector da como resultado otro vector que tiene la misma dirección que el

vector factor. Si el número que multiplica al vector es positivo, conservará el sentido y si es negativo

invertirá su sentido. Si el número además es mayor que uno el vector resultante será proporcionalmente

mayor que el vector factor. Si el número es menor que uno el vector resultante será proporcionalmente

menor que el vector factor. En la Figura 31 ilustramos varios ejemplos de producto de escalares por

vectores.

Figura 31

VII. Producto Escalar de dos Vectores

Al producto escalar entre dos vectores a y b se denota como a b . Por definición es el resultado de la

magnitud del vector a por la magnitud del vector b por el coseno del ángulo que forman entre ellos,

a b abcosφ [11]

El resultado de este producto es una cantidad escalar. Si se observa la Figura 32 se puede interpretar

esta operación vectorial como el producto de la proyección del vector a sobre el vector b por la magnitud

de b y viceversa.

Muchas relaciones físicas se pueden expresar como este producto (por ejemplo, el concepto de trabajo).

Para operar, se llevan los dos vectores a un origen común, siendo el ángulo que forman entre sí los

vectores a y b .

21

Figura 32

El producto escalar es un número, no es un vector y puede ser positivo, negativo o nulo.

Si el ángulo entre los vectores es menor que 90º el producto escalar es positivo, si es mayor que 90º pero

menor que 180º el producto es negativo y si es igual a 90° el producto escalar es nulo.

Atención:

El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero.

Producto escalar de los versores que dan las direcciones de los ejes cartesianos,

ˆ ˆi i = 1 ˆ ˆi j = 0

ˆ ˆi k = 0

ˆ ˆj i = 0 ˆ ˆj j = 1

ˆ ˆj k = 0

ˆ ˆk i = 0 ˆ ˆk j = 0 ”

ˆ ˆk k = 1

Ejemplo 8:

Dos vectores a y b cuyas magnitudes son iguales a 20,4 unidades (u) y 30,6 unidades (u) forman un

ángulo de 60,0º, calcular su producto escalar.

Solución:

Según la definición,

a b abcosφ [11]

por lo tanto:

o 2a b 20,4 u 30,6 u cos60,0 = 312 u

Producto escalar en componentes rectangulares

Sean,

22

x y zˆ ˆ ˆa = a i + a j + a k

x y zˆ ˆ ˆb = b i + b j + b k

entonces,

x y z x y zˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆa b = a i + a j + a k b i + b j + b k

x x x y x y x y y y

z x z y z

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆa b = a b i i + a b i j + a b i k + a b j i + a b j j + a b j k +

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + a b k i + a b k j + a b k k

z z

z

x x y y za b = a b + a b + a b [12]z

El ángulo entre dos vectores se puede calcular empleando el producto escalar,

x x y y za b = a b + a b + a b = abcos z

x x y y z za b + a b + a ba bcosφ = [13]

ab ab

en donde,

2 2 2

x y za = a +a +a

2 2 2

x y zb = b +b +b

Ejemplo 8:

Calcular el ángulo que forman las cuerdas AC y AD de la Figura 33.

23

Figura 33

Solución:

ˆA = 3,6 k m

ˆ ˆC = 0,9 i - 1,2 j m

ˆ ˆD = 1,2 i + 1,8 j m

Si α es el ángulo entre ambas cuerdas, según la ecuación [13] se obtiene,

AC ADcosα =

AC AD

como,

ˆ ˆ ˆAC = C - A = 0,9 i - 1,2 j - 3,6 k m

24

ˆ ˆ ˆAD = D - A = 1,2 i + 1,8 j - 3,6 k m

2 2 2

AC 0,9 m 1,2 m 3,6 m 3,9 m

2 2 2

AD 1,2 m 1,8 m 3,6 m 4,2 m

Por lo tanto,

0,9 m 1,2 m + -1,2 m 1,8 m + -3,6 m -3,6 mcosα =

3,9 m 4,2 m

oα = 43,5

oα = 44

VIII. Producto Vectorial de dos Vectores

Al producto vectorial entre dos vectores a y b se denota como a × b . Ejemplos de la física que emplean

esta operación son el torque y la fuerza magnética.

Para definirlo se lleva ambos vectores a un origen común. A diferencia con el producto escalar, el resultado

de este producto es un vector, cuya dirección es perpendicular al plano que contiene a los vectores a y b ,

cuyo sentido se obtiene aplicando la denominada regla de la mano derecha y cuyo módulo (magnitud) es igual

al producto entre las magnitudes de los vectores por el seno del ángulo que forman, Figura 34,

a×b absenφ [14]

Regla de la mano derecha:

El sentido del producto vectorial a × b se obtiene aplicando la regla de la mano derecha: se coloca la palma

de la mano derecha en la dirección del vector a y se envuelven los dedos en el sentido de rotación hacia el

vector b eligiendo siempre el menor ángulo posible manteniendo erecto el pulgar. El sentido en que apunta

el pulgar, es el sentido del producto vectorial a × b , Figura 34.

Como se puede observar no es lo mismo hacer el producto vectorial de a × b que el de b × a . Un vector se

define por: el módulo, la dirección y el sentido. En los dos casos tanto el módulo como la dirección no

cambian pero el sentido es opuesto, Figura 34.

El producto vectorial es anticonmutativo. Es decir que:

a × b = - b a

25

Figura 34

Atención:

Si los vectores a y b son paralelos (ángulo entre ellos igual a 0º) o antiparalelos (ángulo entre ellos

igual a 180º) el producto vectorial será nulo. En particular, el producto vectorial de un vector por sí

mismo es cero.

Producto escalar de los versores que dan las direcciones de los ejes cartesianos,

ˆ ˆi × i = 0 ˆ ˆ ˆi × j = k

ˆ ˆ ˆi × k = - j

ˆ ˆ ˆj × i = - k ˆ ˆj × j = 0

ˆ ˆ ˆj × k = i

ˆ ˆ ˆk × i = j ˆ ˆ ˆk × j = - i

ˆ ˆk × k = 0

Regla nemotécnica: El producto de dos de los vectores da como resultado el otro, con signo positivo si es en

el sentido indicado por la Figura 35 y negativo en el sentido contrario.

26

Figura 35

Producto vectorial de dos vectores en componentes rectangulares

Sean,

x y zˆ ˆ ˆa = a i + a j + a k

x y zˆ ˆ ˆb = b i + b j + b k

entonces,

x y z x y zˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆa b = a i + a j + a k b i + b j + b k

x x x y x y x y y y z x

z y z

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆa b = a b i i + a b i j + a b i k + a b j i + a b j j + a b j k + a b k i +

ˆ ˆ ˆ ˆ + a b k j + a b k k

z z

z

x y z y z z y x z z x x y y x

x y z

ˆ ˆi j k

ˆ ˆ ˆa×b = a a a = a b - a b i - a b - a b j + a b - a b k [15]

b b b

Ejemplo 9:

Calcular un versor ortogonal y saliente al plano al cual pertenecen las cuerdas AD y AB de la Figura 35.

Calcular ahora el versor ortogonal a ese plano pero entrante.

27

Figura 35

Solución:

ˆA = 3,6 k m

ˆB = - 2,7 i m

ˆ ˆD = 1,2 i + 1,8 j m

El versor ortogonal saliente es,

s

AD×ABu =

AD×AB

pero,

ˆ ˆ ˆAD = D - A = 1,2 i + 1,8 j - 3,6 k m

28

ˆ ˆAB = B - A = - 2,7 i - 3,6 k m

2 2 2

AD 1,2 m 1,8 m 3,6 m 4,2 m

2 2

AB 2,7 m + 3,6 m 4,5 m

El versor ortogonal entrante es,

2

s

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1,2 i + 1,8 j - 3,6 k × - 2,7 i -3 ,6 k mu =

4,2 m 4,5 m

2

s

ˆ ˆ ˆ- 6,48 i +14,04 j + 4,86 k mu =

4,2 m 4,5 m

sˆ ˆ ˆu = - 0,34 i + 0,74 j + 0,26 k

Este resultado se ilustra en la Figura 36

Figura 36

El versor ortogonal entrante,

29

s sˆ ˆ ˆˆ ˆu = - u 0,36 i - 0,74 j - 0,026 k

IX. Derivada de un vector

Casi en la totalidad de los casos, en física, los vectores van a variar con respecto al tiempo, en otras

palabras son vectores que dependen del tiempo. Antes de continuar es muy importante recordar que un

vector se compone de módulo y dirección (incluyendo el sentido dentro de esta), y que por lo tanto éste

puede variar, en módulo o en dirección o en ambas cosas a la vez, y que en todos los casos admitiría

derivada.

Figura 37

Teniendo en cuenta que un vector puede expresarse en función de su vector unitario de la forma, Figura

37:

aˆa = au

si se deriva esa expresión,

aa

ˆduda daˆ = u + a

dt dt dt

Como,

aˆ ˆu = cosφ i + senφ j

Entonces,

aˆdu dφ dφˆ ˆ = -senφ i + cosφ j

dt dt dt

aˆdu dφˆ ˆ = -senφ i + cosφ j

dt dt

30

Observar que,

nˆ ˆu = -senφ i + cosφ j

En donde nu es ortogonal a au , Figura 38,

Figura 38

Por lo tanto,

an

ˆdu dφˆ= u [16]

dt dt

Obteniéndose,

a n

da da dφˆ ˆ = u + a u [17]

dt dt dt

Como se observa, la derivada de un vector puede descomponerse en dos vectores:

• El primer sumando es un vector en la dirección y sentido de a , ya que tiene la dirección y sentido de su

vector unitario.

• El segundo sumando es un vector normal al vector a .

Si sólo cambia la dirección del vector solo permanece la segunda componente y si sólo cambia la magnitud

permanece la primera componente.

Ejemplo 10:

31

El vector V

tiene su módulo constante pero su dirección cambia con el tiempo. Demostrar que dt

Vd

es

ortogonal a V

.

Solución:

Según la ecuación [17],

V n

dV dV dφˆ ˆ = u + V u

dt dt dt

En donde φ es el ángulo que forma V . Como este vector mantiene su magnitud constante, esta expresión

se reduce a,

n

dV dφˆ = V u

dt dt

que corresponde a un vector ortogonal a V .

Taller

1. Dos vectores de 6 y 9 unidades de longitud, forman un ángulo entre ellos de (a) 0o, (b) 60o, (c) 90o, (d)

150o y (e) 180o. Encontrar la magnitud de su resultante y su dirección respecto al vector más pequeño.

Rp: (a) 15 unidades, 0o; (b) 13,1 unidades, 35o 27’; (c) 10,8 unidades, 56o 19’; (d) 4,8 unidades, 111o 36’;

(e) 3 unidades 180o.

(Tomado de Alonso, M., Finn, E., Física Volumen I, Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1976.)

2. Dos vectores forman un ángulo de 110o. Uno de ellos tiene 20 unidades de longitud y hace un ángulo de

40o con el vector suma de ambos. Encontrar la magnitud del segundo vector y la del vector suma.

Rp: 13,7 unidades; 20 unidades.

(Tomado de Alonso, M., Finn, E., Física Volumen I, Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1976.)

3. Dos vectores de 10 y 8 unidades de longitud, forman entre sí un ángulo de (a) 60o, (b) 900 y (c) 120o.

Encontrar la magnitud de su diferencia y el ángulo con respecto al vector mayor.

Rp: 9,2 unidades, -49o; (b) 12,8 unidades, -38o 40’; 15,6 unidades, -26o.

32

(Tomado de Alonso, M., Finn, E., Física Volumen I, Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1976.)

4. Tres vectores situados en un plano, tienen 6, 5 y 4 unidades de longitud. El primero y el segundo

forman un ángulo de 50o, mientras que el segundo y tercero forman un ángulo de 75o. Encontrar la

magnitud del vector resultante y su dirección con respecto al vector mayor (emplear el método de las

componentes rectangulares).

Rp: 9,92 unidades, 45o 45’.

(Tomado de Alonso, M., Finn, E., Física Volumen I, Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1976.)

5. Considerar los vectores:

jiV1

j-iV2

Calcular:

(a) 21 V5V10

(b) 21 VV

(c) 21 VV

6. Considerar el vector velocidad s

m k-ji2V

(a) Calcular la longitud del vector V

(b) Hallar el vector unitario en la dirección de V

7. Sean m kj2i2r1

y m k11j10i2r2

(a) Encontrar la proyección del vector 1r

sobre el vector 2r

. Ilustrarla gráficamente.

(b) Encontrar la proyección del vector 2r

sobre el vector 1r

. Ilustrarla gráficamente.

(c) Encontrar las proyecciones del vector 1r

sobre los versores i , j y k . Ilustrar los resultados

gráficamente.

8. Sin evaluar cada cantidad en detalle, demostrar que cada una de las siguientes cantidades es igual a

cero o al vector nulo:

(a) 121 V10VV

(b) 2121 VVVV

(c) j5ij5-i10

9. Encontrar el área del paralelogramo cuyos lados son los vectores:

cm kj2i2V1

cm k11j10i2V2

33

Ilustrar esto gráficamente.

10. Encontrar el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas son los vectores:

cm ji10V1

cm j10i2V2

cm k12V3

Ilustrar esto gráficamente.

11. Considerar el vector

s

m 10tsen j10tcos iV

en donde t es tiempo:

(a) Mostrar que V

tiene longitud constante.

(b) Calcular dt

Vda

(c) Verificar que dt

Vd

es ortogonal a V

.

(d) ¿A qué magnitudes físicas se refieren V

y dt

Vd

?

12. Calcular los cosenos directores del vector fuerza:

N kj2i2F

13. Dados los puntos A (3 m, 0 m, -2 m); B (1 m, -1 m, 3 m); C(-2 m, 3m, -4 m) obtener:

(a) el módulo del vector BCAB S

(b) el módulo del vector CACBD

(c) el ángulo entre los vectores S

y D

.

Nota: AB en negrillas significa el vector que va desde el punto A hasta el punto B (análogamente BC ,

CB , CA ).

Rp. (a) 6,16 m (b) 5,48 m (c) 95,1o.

14. En la cuña de la Figura 39 obtener un vector unitario saliente y normal al rectángulo ABCD.

34

Figura 39

Rp: k0,8i0,6

15. En la Figura 40 las longitudes están expresadas en m. Calcular: (a) la longitud de la viga, (b) el ángulo

entre los cables AB y AC, (c) un versor ortogonal al plano donde se encuentran los cables AB y AC

(discutir posibles soluciones), (d) si la magnitud de la fuerza que ejerce el cable AC sobre la barra PA

es igual a 100 N, expresar esta fuerza vectorialmente (ayuda: calcular el versor que expresa la

orientación AC y multiplicarlo por la magnitud de la fuerza).

Figura 40

35

FIN

REFERENCIAS:

Londoño M., Introducción a la Mecánica, Universidad Nacional de Colombia, Medellín, 2003.

Singer F., Mecánica para Ingenieros, Estática, Ed Harla, México, 1979.

Finn E., Alonso M., Física, Vol. I: Mecánica, Fondo Educativo Interamericano, S.A., 1980.