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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN

FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA

FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA

MÓDULO # 2: OSCILACIONES MECÁNICAS –EJEMPLOS TÍPICOS- Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.

Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Temas

Introducción

Sistema Masa-Resorte

Péndulo Simple

Péndulo Físico

Otros ejemplos

Taller

Introducción

El estudio de las oscilaciones en resortes y péndulos facilita la comprensión de sistemas más complejos

como: oscilaciones en moléculas y átomos (espectroscopía), oscilaciones de estructuras como edificios y

puentes, incluso facilitan la comprensión de las oscilaciones electromagnéticas que son la base del estudio

de las telecomunicaciones (televisión, radio, telefonía celular,…).

En este módulo se hará el análisis con suficiente detalle las oscilaciones mecánicas libres correspondientes

a:

El sistema masa-resorte.

El péndulo simple.

El péndulo físico.

Sistema Masa-Resorte

En la Figura 1 se ilustra los estados en los que se puede encontrar el sistema masa-resorte (se considera

resorte ideal, es decir, con masa despreciable): longitud natural del resorte (A), masa acoplada y en

equilibrio (B) y masa desplazada del equilibrio (C). En la Figura 2 se ilustran los diagramas de fuerza de la

masa m en la situación de equilibrio y en la situación de no equilibrio. El marco de referencia elegido es el

techo y el sistema de coordenadas el eje Y apuntando hacia abajo con su origen en la posición de equilibrio

de la masa m.

Las fuerzas que actúan sobre la masa m son: la fuerza que le ejerce el planeta Tierra (el peso mg) y la

fuerza que le ejerce el resorte (en equilibrio es igual a kd y en la situación de no equilibrio es igual a

k d + y ). Se están despreciando las fuerzas que por ejemplo ejerce el aire sobre el cuerpo de masa m

(el empuje y la fuerza de fricción).

2

Figura 1

Figura 2

En la situación de equilibrio se aplica la primera ley de Newton,

yF = 0

3

mg - kd = 0

mg = kd (1)

En la situación de no equilibrio se aplica la segunda ley de Newton,

y y+ F = m a

ymg - k d + y = m a (2)

Sabiendo que

2

y 2

d ya =

dt

y combinando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene,

2

2

d y k + y = 0 [1]

dt m

que corresponde a la ecuación diferencial del oscilador armónico con,

2 kω =

m

Es decir, se concluye que las oscilaciones del sistema masa-resorte son armónicas (MAS) con frecuencia

angular natural o propia igual a,

kω =

m

En donde k que corresponde a la constante del MAS, es igual la misma constante de rigidez del resorte

y m la masa del cuerpo que está acoplado a éste. El periodo P y la frecuencia propia en Hz de este

sistema son respectivamente,

mP = 2π [2]

k

1 kf = [3]

2π m

4

Entre mayor sea la masa acoplada, menor es la frecuencia natural con que oscila, o lo que es lo mismo, más

se demora en hacer una oscilación completa. Entre mayor se k , es decir entre más rígido sea el resorte,

mayor es la frecuencia natural con la que oscila.

Las ecuaciones cinemáticas correspondientes son,

oy = A sen ω t + φ [4]

y oV = ωA cos ω t + φ [5]

2 2

y oa = - ω A sen ω t + φ = - ω y [6]

Video:

Variando la masa en el sistema masa-resorte.

Video:

Variando la constante de rigidez mediante la composición de dos resortes en paralelo.

Video:

Variando la constante de rigidez mediante la composición de dos resortes en serie.

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a Dinámica del MAS, Sistema masa-resorte. Para

acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 3. Se despliega la simulación de la

Figura 4. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

5

Figura 3

Figura 4

Ejemplo 1:

Encontrar el período natural de oscilación de los dos sistemas ilustrados en la Figura 5. Aquí, 1k y 2k

corresponden a las constantes de rigidez de los resortes individuales, m corresponde a la masa del cuerpo

que está sujeto al sistema de resortes.

Figura 5

Solución:

El periodo con que oscila un sistema masa-resorte es según la ecuación [2],

6

mP = 2π [2]

k

Una solución es buscar en cada uno de los sistemas de la Figura 5 un sistema equivalente de constante

resultante rk . En otras palabras buscar la constante

rk de un resorte que reemplace a los dos resortes

de constantes 1k y

2k de cada uno de los sistemas de la Figura 5 y que oscilará con un periodo igual a,

r

mP = 2π (1)

k

Sistema 1: Resortes en serie.

A continuación se demostrará que si se tiene dos resortes de longitudes naturales L1 y L2 y constantes de

rigidez 1k y 2k y se empalman en serie, es equivalente a tener un resorte de longitud natural L1 + L2 con

una constante de rigidez rk que cumple,

r 1 2

1 1 1 = + (2)

k k k

Demostración:

En la figura 6 se ilustra el sistema de resortes empalmados en serie. Como se están considerando resorte

ideales, sus masas son despreciables, y por lo tanto la fuerza Fr que se realiza sobre el resorte 1 se

transmite con la misma “intensidad” a través de éste y a través del resorte 2 estén o no en equilibrio: se

deja al lector para que mediante la aplicación de las leyes de Newton muestre esto (ayuda: elaborar el

diagrama de fueras de cada resorte).

Figura 6

7

Por lo tanto como,

1 2d = d + d

y de la aplicación dela ley de Hooke a cada resorte,

r 1 1 2 2 rF = k d = k d = k d

Se obtiene,

r 1 2

1 1 1 = + (2)

k k k

Si por ejemplo dos resortes de igual constante k se empalman en serie, la constante del conjunto de estos

dos resortes sólo es la mitad, k

2 : es menos rígido.

De la ecuación (1) se deduce que la constante equivalente es,

1 2r

1 2

k kk =

k + k

y por lo tanto reemplazando en la ecuación (1) se obtiene para el periodo de oscilación del sistema

resultante,

1 2

1 2

m k + kP = 2π

k k

Sistema 2: Resortes en paralelo

A continuación se demostrará que si se tiene dos resortes de longitudes naturales L1 y L2, con L1=L2, y

constantes de rigidez 1k y 2k , y se empalman en paralelo, es equivalente a tener un resorte de longitud

natural L=L1=L2 con una constante de rigidez rk que cumple,

r 1 2k = k + k (2)

Si por ejemplo dos resortes de igual constante k y longitud L se empalman en paralelo, la constante del

conjunto de estos dos resortes es el doble, 2k : es más rígido.

Tarea: Se deja al lector éste análisis.

El periodo de oscilación de este sistema es,

8

1 2

mP = 2π

k + k

Algo bien interesante:

Los resortes en serie se distribuyen la deformación,

1 2d = d + d

1 2F = F = F

Los resortes en paralelo se distribuyen la fuerza,

r 1 2F = F + F

1 2d = d = d

Péndulo Simple

Se define el péndulo simple como una masa puntual que pende de un hilo inextensible. En la Figura 7 se

ilustra una posición general de un péndulo simple oscilando; en la misma figura se representa las fuerzas

que actúan sobre la masa pendular: el marco de referencia elegido es el techo y el sistema de coordenadas

elegido de acuerdo a la simetría es el que corresponde a ejes que tienen las direcciones de la aceleración

tangencial y de la aceleración centrípeta de la masa.

Figura 7

9

Aplicando la segunda ley de Newton, se obtiene,

2

N N

dθF = ma F - mg cos θ = m L (1)

dt

2

T T 2

d θF = ma -mg senθ = m L (2)

dt

En estas ecuaciones F corresponde a la tensión en la cuerda, g es la aceleración de la gravedad, m es la

masa pendular, θ es la posición (elongación) angular, dθ

dtes la velocidad angular,

2

2

d θ

dt es la aceleración

angular y L es la longitud pendular.

De la ecuación (2) se obtiene,

2

2

d θ g + senθ = 0

dt L

De la ecuación (2) se obtiene,

2

2

d θ g + senθ = 0

dt L

Esta ecuación diferencial NO es lineal, y por lo tanto el péndulo simple no oscila con MAS. Sin embargo

para pequeñas oscilaciones, senθ θ , por tanto,

2

2

d θ g + θ = 0 [7]

dt L

es decir, para pequeñas amplitudes (pequeñas oscilaciones) el movimiento pendular es armónico. La

frecuencia angular propia de oscilación de este sistema es,

gω =

L

y el periodo y la frecuencia propia en Hz son,

10

LP = 2π [8]

g

1 gf = [9]

2π L

y No dependen de la masa pendular.

La cinemática del movimiento pendular para pequeñas oscilaciones es en función de las variables angulares

(elongación angular θ , velocidad angular ω y aceleración angular α ),

o oθ = θ sen ω t + φ [10]

o o

dθΩ = = ω θ cos ω t + φ [11]

dt

0

22 2

o2

d θα = = - ω θ sen ω t + φ = - ω θ [12]

dt

Video:

Independencia del período de oscilación de un péndulo simple de la masa pendular.

Video:

Dependencia del período de oscilación de un péndulo simple de la longitud del hilo.

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a Dinámica del MAS, Péndulo simple. Para

acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 8. Se despliega la simulación de la

Figura 9. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

11

Figura 8

Figura 9

Ejemplo 2:

Un péndulo simple tiene una masa de 0,250 kg y una longitud de 1,00 m. Se desplaza un ángulo de 15,0º y se

suelta. Calcular: (a) su rapidez máxima, (b) la aceleración angular máxima, (c) la máxima fuerza de

restitución.

12

Solución:

Una representación de la escena física y del diagrama de fueras sobre la masa pendular se ilustra en la

Figura 7. También allí se observa el sistema de coordenadas elegido; como marco de referencia se escogió

el techo.

Con la condición inicial dada la masa pendular oscila con una amplitud angular o

oθ = 15,0 que podría

considerarse pequeña y por lo tanto las oscilaciones serán armónicas: las siguientes ecuaciones cinemáticas

están dadas por las ecuaciones [10], [11] y [12],

o oθ = θ sen ω t + φ [10]

o o

dθΩ = = ω θ cos ω t + φ [11]

dt

2

2 2

o o2

d θα = = - ω θ sen ω t + φ = - ω θ [12]

dt

(a) La rapidez angular máxima se presenta cuando la masa pendular pasa por la posición de equilibrio y es

igual a,

max oΩ = ω θ (1)

Se debe tener la precaución de no olvidar expresar las variables angulares en radianes,

o

o o

3,14radθ = 15,0 × = 0,261rad

180

El periodo, ecuación [8],

LP = 2π

g

2

1,00 mP = 6,28 rad 2,01 s

m9,80

s

La frecuencia angular,

2πω =

P

13

6.28 rad radω = 3,12

2,01 s s

Reemplazando en (1),

max

rad radΩ = 3,12 × 0,261 rad = 0,814

s s

La rapidez lineal máxima es,

max maxV = Ω L

max

radV = 0,814 × 1,00 m

s

max

mV = 0,814

s (b) La aceleración angular máxima se presenta cuando la masa pendular se encuentra en algunos de los

extremos de la oscilación y es igual a,

2

oα = ω θ (2)

Reemplazando valores,

2

max 2

rad rad α = 3,12 0,261 rad = 2,54

s s

Nota: no confundirse con el manejo de rad, rad2 y rad3, ya que dimensionalmente son la unidad: en otras

palabras ω se mide en s-1 y α en s-2.

(c) La magnitud de la máxima fuerza de restitución es,

tangencial, max tangencial, maxF m a

tangencial,max maxF = m α L

tangencial,max 2

radF = 0,250 kg × 2,54 × 1,00 m

s

tangencial,maxF = 0,635 N

14

Ejemplo 3

En el techo de un ascensor se cuelgan un sistema masa-resorte y un péndulo simple. Comparar los periodos

de oscilación de estos sistemas oscilantes cuando el ascensor está en reposo respecto al edificio, con los

valores de éstos cuando el ascensor está: (a) subiendo con velocidad constante, (b) bajando con velocidad

constante, (c) subiendo con aceleración constante a < g , (b) bajando con aceleración constante a < g , (e)

en caída libre.

Solución:

Figura 10

En la Figura 10 se ilustra una representación de la escena física. El piso del edificio es un marco de

referencia inercial, mientras que el ascensor solo es marco de referencia inercial cuando se mueve con

velocidad constante respecto al edificio.

En primera instancia se analizará la situación en la cual el ascensor sube con aceleración a < g . Respecto al

ascensor, que es un marco de referencia NO inercial la gravedad medida denominada gravedad “aparente” o

mejor gravedad “efectiva”, efectg , cuyo valor se puede obtener mediante el uso de la relaciones de

movimiento relativo. Para comprender bien esto, supóngase la masa m en caída libre dentro del ascensor:

m m o'o' o o

a = a - a

En donde, mo

a es la aceleración de la masa m respecto a O, mo'

a es la aceleración de m respecto a O’

(gravedad “efectiva” y es la medida en marco de referencia no inercial), o'

a o es la aceleración de O

respecto a O’,

mo

ˆa = - g j (aceleración de la masa m respecto al edificio, que es un marco de referencia inercial)

15

'o

ˆa = + a jo (aceleración del ascensor respecto al edificio)

Por lo tanto la aceleración de m respecto al ascensor es,

mo'

ˆ ˆa = - g j - a j”

mo'

ˆa = - g + a j

siendo entonces la gravedad efectiva igual a,

efectg = g + a

Por lo tanto el periodo del péndulo se ve afectado, siendo para el ascensor en reposo,

LP = 2π

g

y en el ascenso subiendo con aceleración a,

efec

LP = 2π

g

LP = 2π

g + a

Es decir el periodo se ve disminuido y por lo tanto la frecuencia aumenta.

Para los casos en los que el ascensor sube o baja con velocidad constante, sería una situación equivalente a

cuando el ascensor está en reposo (marco de referencia inercial), y la gravedad medida sería la “real”: el

periodo no cambia respecto a su valor con el ascensor en reposo.

Cuando el ascensor baja con aceleración a < g ,

LP = 2π

g - a

y si el ascensor baja en caída libre el péndulo no oscila, P .

Tarea: Analizar el caso del sistema masa-resorte.

16

Péndulo Físico

Un péndulo compuesto (o péndulo físico) es cualquier cuerpo rígido que puede oscilar alrededor de un eje

horizontal bajo la acción de la fuerza de gravedad. En la Figura 11 se ilustra una posición general de un

péndulo compuesto oscilando. En la misma figura se representa las fuerzas que actúan sobre el cuerpo

rígido (se han despreciado el torque de fricción en el eje, el rozamiento con el aire y la fuerza

arquimediana). El marco de referencia elegido es el piso sobre el que se ubica el soporte del péndulo; el

sistema de coordenadas es el normal-tangencial.

Figura 11

La distancia desde el punto de apoyo O hasta al centro de gravedad del cuerpo es igual a b . Si el momento

de inercia del cuerpo rígido respecto a un eje que pasa por O es oI , la segunda ley de Newton de rotación

da como resultado,

2

o o 2

d θτ = I

dt

2

o 2

d θ- mg b senθ = I

dt

2

2

o

d θ mg b + senθ = 0

dt I

Se debe observar que la fuerza de reacción R que ejerce el pivote en O sobre el cuerpo rígido no hace

torque, por lo que no aparece en la ecuación. Además, también es necesario resaltar que esta ecuación

diferencial no es lineal, y por lo tanto el péndulo físico no oscila con MAS. Sin embargo, para pequeñas

oscilaciones, senθ θ , por tanto,

17

2

2

o

d θ mg b + θ = 0 [13]

dt I

es decir, para pequeñas amplitudes (pequeñas oscilaciones) el movimiento pendular es armónico. La

frecuencia angular propia de oscilación de este sistema es,

o

mgbω =

I

y el periodo y la frecuencia propia en Hz son,

oIP = 2π [14]

mgb

o

1 mgbf = [15]

2π I

Aplicando el teorema de ejes paralelos,

2

o CMI = I + mb

en donde CMI es el momento de inercia del cuerpo rígido respecto a un eje que pasa por el centro de

masa y es paralelo al eje que pasa por O.

Aplicando la definición de radio de giro,

2

CM CMI = m R

En donde CMR corresponde al radio de giro del cuerpo rígido respecto al CM.

Por lo tanto,

2 2

o CMI = mR + mb

Y reemplazando en la ecuación [14],

18

2 2

CMR + bP = 2π [16]

gb

Tarea: ¿Cuál es la interpretación física del radio de giro?

Tabla de radios de giro de algunos cuerpos homogéneos y con simetría

Cuerpo

Anillo

2 2

CMR = R

Disco

2 2

CM

1R = R

2

Cilindro

0

2 2

CM

1R = R

2

19

Placa rectangular

2 2 2

CM

1R = a + b

12

Varilla

2 2

CM

1R = L

12

Esfera hueca

2 2

CM

2R = R

3

Esfera maciza

2 2

CM

2R = R

5

Longitud de péndulo simple equivalente ( eL ):

Es la longitud que debe tener un péndulo simple para que oscile con el mismo periodo de un péndulo físico.

Para calcularla basta con igualar las ecuaciones [8] y [16] y se obtiene,

20

2 2

CMe

R +bL = [17]

b

Las ecuaciones cinemáticas del péndulo físico son las mismas que para el péndulo simple,

o oθ = θ sen ω t + φ [10]

o o

dθΩ = = ω θ cos ω t + φ [11]

dt

0

22 2

o2

d θα = = - ω θ sen ω t + φ = - ω θ [12]

dt

Ejemplo 4:

Un aro circular de radio R se cuelga sobre el filo de un cuchillo. Demostrar que su período de oscilación es

el mismo que el de un péndulo simple de longitud 2R.

Solución:

La longitud de péndulo simple equivalentes, ecuación [17] es,

2 2

CMe

R +bL =

b

y por lo tanto en este caso,

2 2

e

R + RL =

R

eL = 2R

Es decir un péndulo simple de longitud igual a dos veces el radio del anillo oscila con igual periodo que éste.

Ejemplo 5:

Una varilla delgada tiene una masa M y una longitud L. Uno de los extremos de la varilla se sujeta en un

pivote fijo y la varilla oscila alrededor del pivote con oscilaciones pequeñas. Encontrar la frecuencia de

estas oscilaciones. Si se apoya una partícula de masa M al extremo final de la varilla, ¿cuál será su nuevo

periodo?

21

Solución:

En la Figura 12 se ilustran las dos situaciones físicas: a la izquierda la varilla y a la derecha la varilla con

otra masa en su extremo inferior.

Figura 12

Periodo de la varilla:

De la ecuación [16],

2 2

CMR + bP = 2π

gb

22L L

+ 12 2

P = 2π L

g2

2 LP = 2π

3 g

Periodo de la varilla con masa en su extremo:

De la ecuación [14] se obtiene,

oIP = 2π (1)

m g b

22

en donde las primas significa los valores de esas magnitudes para el nuevo sistema: varilla + partícula en su

extremo. Así:

m = M + M = 2M (2)

o o,varilla o,particulaI = I + I (3)

Pero según el teorema de ejes paralelos,

2

o,varilla CM,varilla

LI = I + M

2

2

2

o,varilla

1 LI = ML + M

12 2

2

o,varilla

1I = ML (4)

3

Como para la partícula que se ubicó en el extremo de varilla, 2

o,particulaI = ML y reemplazando (4) en (3), se

obtiene,

2 2

o

1I = ML + ML

3

2

o

4I = ML (5)

3

Ahora se ubicará la posición del nuevo CM. Este es equivalente al CM de dos partículas, una ubicada en el

CM de la varilla y la otra ubicada en el extremo de la varilla, por lo tanto,

LM + ML

2b =

M + M

3

b = L (6)4

Reemplazando (2), (5) y (6) en (1),

23

4π 2LP =

3 g

Otros ejemplos de sistemas oscilando con MAS

Ejemplo 6:

Un bloque de madera cuya densidad relativa respecto al agua es ρ tiene dimensiones a, b, c. Mientras está

flotando en el agua con el lado a vertical, se le empuja hacia abajo y se le suelta. Hallar el período de las

oscilaciones resultantes ¿Es armónico el movimiento?

Solución:

En la Figura 13 se ilustra la escena física. El marco de referencia puede ser la el recipiente que contiene el

agua y el sistema de coordenadas elegidos es el eje Y con origen O en la superficie del agua. En la misma

figura se ilustra el diagrama de fuerzas: mg es el peso del bloque y E y E’ las correspondientes fuerzas

arquimedianas (se ha despreciado la fuerza de rozamiento de viscosidad).

Figura 13

Aplicando la primera ley de Newton en la situación de equilibrio,

yF = 0 mg - E = 0

El principio de Arquímedes expresa que el empuje E es igual al peso del fluido desalojado,

aE= d b c ρ g

24

En donde aρ es la densidad del agua, por lo tanto,

amg = d b c ρ g (1)

Aplicando la segunda ley de Newton en la situación de No equilibrio,

2 2

y 2 2

d y d yF = m mg - E = m

dt dt

Aplicando el principio de Arquímedes,

aE' = d + y b c ρ g

Y por lo tanto,

2

a 2

d ymg - d + y b c ρ g = m (2)

dt

Reemplazando (1) en (2),

2

a 2

d y- b c ρ g y = m

dt

y como,

cm = a b c ρ

en donde cρ es la densidad del cuerpo, se obtiene,

2

a

2

c

ρd y g + y = 0

dt ρ a

que corresponde a la ecuación diferencial del oscilador armónico. Es decir el bloque oscila con MAS y con

una frecuencia angular natural igual a,

a

c

ρ gω =

ρ a

gω =

ρ a

siendo,

25

c

a

ρρ =

ρ

y su periodo de oscilación es,

aP = 2π ρ

g

Sería como el periodo de un péndulo simple con longitud equivalente,

eL = aρ

Ejemplo 7:

La Figura 14 muestra una barra uniforme que se apoya sobre dos cilindros que giran en sentidos contrarios.

El coeficiente de fricción entre la barra y los cilindros es μ . Mostrar que el efecto neto de las fuerzas de

fricción es una fuerza restauradora lineal y que la frecuencia angular natural con que oscila el centro de

masa de la barra será igual a:

2μω = g

a

Solución:

Figura 14

26

En la misma figura se ilustra el diagrama de fuerzas tanto en situación de equilibrio como de NO equilibrio.

El marco de referencia puede ser el piso y el sistema de coordenadas elegido es XY con origen en la

posición de equilibrio de la barra.

Las ecuaciones correspondientes a las leyes de newton en la situación de No equilibrio son,

2 2

x 1 22 2

d x d xF = m f - f = m (1)

dt dt

y 1 2F = 0 N + N - mg = 0 (2)

1 2 = 0 - N + N = 0 (3)2 2

CM

a ax x

Adicionalmente,

1 1f = μN (4)

2 2f = μN (5)

De (1), (2), (3), (4) y (5) se obtiene,

2

2

d x 2μg + x = 0

dt a

Que corresponde a un MAS con frecuencia angular propia,

2μω = g

a

y su periodo de oscilación es,

aP = 2π

2μg

Es decir su periodo es el mismo que el de un péndulo simple cuya longitud equivalentes es,

e

aL =

2μ

27

Taller

1. Se cuelga un resorte del techo de un ascensor en reposo. Su longitud natural es de igual a 30,0 cm y su

constante elástica de 500 N/m. Se coloca un cuerpo en el extremo libre del resorte y éste se estira

10,0 cm, quedando en reposo. Un pasajero observa que, durante algunos segundos la posición en la que el

cuerpo queda en reposo respecto de él corresponde a un estiramiento del resorte de 13,0 cm.

Entonces, en ese lapso, ¿cuál es la aceleración del ascensor respecto a la planta baja del edificio?

Rp. 3,00 m/s2

2. Un bloque de 25,0 kg se cuelga de una serie de resortes como se indica en la Figura 15: k1= 8,00 kN/m,

k2= 12,00 kN/m, k3= 16,00 kN/m, k4=6,00 kN/m, k5= 24,00 kN/m y k6= 3,00 kN/m. Para cada uno los

arreglos de resortes determinar para sus oscilaciones de amplitud 3,00 cm: (a) el periodo, (b) la

frecuencia, (c) la rapidez máxima, (d) la aceleración máxima.

Rp. (a) 0,517 s y 0,356 s (b) 1,93 Hz y 2,81 Hz (c) 0,365 m.s-1 y 0,530 m.s-1 (d) 4,43 m.s-2 y 9,36 m.s-2

Figura 15

3. Un péndulo simple tiene una longitud de 5,00 m. (a) ¿Cuál es el periodo del MAS de este péndulo si está

colgado de un elevador que acelera hacia arriba a 5,00 m.s-2?, (b) ¿cuál es su periodo si el elevador

acelera hacia abajo a 5,00 m.s-2?, y (c) ¿cuál es el periodo para este péndulo si es puesto en un camión

que acelera horizontalmente a 5,00 m.s-2?

Rp. (a) 3,65 s, (b) 6,41 s, (c) 4,24 s.

4. Un péndulo físico consiste de una barra de masa despreciable de longitud 2L que oscila en torno a un

eje a través de su centro, Figura 16. Una masa m1 se une al extremo inferior de la barra y una masa m2

al extremo superior. ¿Cuál es el periodo de este péndulo?

Rp. 1 2

1 2

m + mLP=2π

g m - m

Figura 16

28

5. Una partícula de masa m resbala dentro de una superficie semiesférica de fricción despreciable y de

radio R. Mostrar que si ésta se suelta muy cerca de la posición de equilibrio, oscilará armónicamente

con una frecuencia angular propia igual a la de un péndulo simple de longitud R.

6. Un carro consiste en un cuerpo y cuatro ruedas sobre ejes con fricción despreciable. El cuerpo tiene

una masa m. Las ruedas son discos uniformes de masa M y radio R. Suponer que el carro puede oscilar

sin deslizarse bajo la acción de un resorte de constante de rigidez k, Figura 17. Si se toma en cuenta el

momento de inercia de las ruedas, mostrar que las oscilaciones del carro son armónicas con frecuencia

natural,

1 kf =

2π m + 6M

Ayuda: En la Figura 17 se ilustra el diagrama de fuerzas cuando el carro se desplaza hacia X creciente.

f es la fuerza de fricción sobre cada rueda. Tener en cuenta que si cada rueda rota θ , el carro se

desplaza x = Rθ .

Figura 17

FIN.