Condiciones de Kuhn-Tucker y

LagrangeRealizado por: Andrea Alfonzo

Condiciones de Kuhn-Tucker Definición

Historia

Aplicaciones

Definición:

  Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (también conocidas como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de programación matemática sea óptima. Se dice estas son una generalización del método de los multiplicadores de Lagrange.

Historia

 Condiciones de Kuhn-Tuvker fue desarrollado por  Albert William Tucker y complementada por Harold Kuhn, quien permitió mejoras en el proceso, pero se le adjudico un papel secundario.

Aplicaciones

  Supongamos que la función objetivo, por ejemplo, a minimizar, es  y las funciones de restricción son  y . Además, supongamos que son continuamente diferenciables en el punto . Si  es un mínimo local, entonces existe constantes ,  y  tales que:

Condiciones necesarias de primer orden

Aplicaciones

 

En la condición necesaria anterior, el multiplicador dual puede ser igual a cero. Este caso se denomina degenerado o anormal. La condición necesaria no tiene en cuenta las propiedades de la función sino la geometría de las restricciones. Existen una serie de condiciones de regularidad que aseguran que la solución no es degenerada. Estas incluyen:

*Cualificación de la restricción de independencia lineal (CRIL): los gradientes de las restricciones activas de desigualdad y los gradientes de las restricciones de igualdad son linealmente independientes en x* .

*Cualificación de la restricción de Mangasarian-Fromowitz (CRMF): los gradientes de las restricciones activas de desigualdad y los gradientes de las restricciones de igualdad son linealmente independientes positivos en x*.

Condiciones de regularidad (o cualificación de las restricciones)

*Cualificación de la restricción de rango constante (CRRC): para cada subconjunto de las restricciones activas de desigualdad y los gradientes de las restricciones de igualdad, el rango en el entorno de  es constante. *Cualificación de la restricción de dependencia lineal constante positiva (DLCP): para cada subconjunto de restricciones activas de desigualdad y de gradientes de las restricciones de igualdad, si es linealmente dependiente positivo en x* entonces es linealmente dependiente positivo en el entorno de x*. (es linealmente dependiente positivo si existe   distintos de cero tal que   ) *Condición de Slater: para un problema únicamente con restricciones de desigualdad, existe un punto x* tal que   para todo 

Aplicaciones

 

Sea la función objetivo y las funciones de restricción sean funciones convexas y sean las funciones de afinidad, y sea un punto x*. si existen constantes y tales que:

entonces el punto x* es un mínimo global.

Condiciones suficientes

Condiciones deLagrangeDefinición

Historia

Aplicaciones

Definición:

  Se define como un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones.

Historia

Fue desarrollada por Joseph Louis de Lagrange físico, matemático y astrónomo nacido en Italia, pero de nacionalidad norteamericana, que hizo grandes contribuciones en diversas disciplinas.

Aplicaciones

 

Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x   ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,..., s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:

Se procede a buscar un extremo para h

lo que es equivalente a

El método de los multiplicadores de Lagrange

Los multiplicadores desconocidos λk se determinan a partir de las ecuaciones con las restricciones y conjuntamente se obtiene un extremo para h que al mismo tiempo satisface las restricciones (i.e. gk=0), lo que implica que f ha sido optimizadaEl método de multiplicadores de Lagrange es generalizado por las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker.

Condiciones de Kuhn-Tucker y LagrangeDiferencia

La condicion de Kuhn-Tucker se desarrollo principalmente para trabajar en la solución de problemas de programación lineal, mientras que la de Langrange se adapta a una mayor cantidad de casos, incluyendo casos rutinarios o de cotidiniadad.