Ecuación diferencial ordinaria

En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es

la ecuación que relaciona una función desconocida de una variable independiente con sus

derivadas. Es decir, una sola variable independiente (a diferencia de las ecuaciones

diferenciales parciales que involucran derivadas parciales de varias variables), y una o más

de sus derivadas respecto de tal variable.

Recursos de la física, la ingeniería, la economía, la meteorología y en aplicaciones como las

de modelado en ciencias, se las estudia en diversas áreas

(como geometría, mecánica y astronomía) y perspectivas. Matemáticamente es de crucial

interés el conjunto de funciones que verifican la ecuación y establecen sus soluciones. Sólo

las ecuaciones diferenciales más sencillas admiten soluciones dadas por fórmulas explícitas

(como las lineales asociadas a una teoría desarrollada prácticamente por completo). No

obstante, pueden determinarse algunas propiedades de las soluciones de una ecuación

diferencial sin requerirse su formulación exacta. Clave para resolver la mayoría de las

ecuaciones diferenciales no lineales de sumo interés en numerosos casos. Casos carentes de

una fórmula auto-contenida para su solución que se suple con la aproximada

numéricamente con el auxilio crucial de las computadoras.

La matemática pura centra el foco formal en la solución, su existencia y si es o no única.

La aplicada controla la validez de los métodos para la solución numéricamente aproximada

y el rigor de las justificaciones con que se los sustenta.

La teoría de los sistemas dinámicos prioriza el análisis cualitativo de sistemas descriptos

por ecuaciones diferenciales mientras se han venido sumando numerosos métodos

numéricos para determinar soluciones con un grado dado de precisión.

La trayectoria de un proyectil lanzado desde un cañón sigue una curva definida por una

ecuación diferencial ordinaria que se deriva de la segunda ley de Newton.

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Una ecuación diferencial de primer orden con el valor inicial se expresa de la siguiente

forma:

Donde   es la condición inicial.

Entre los tipos de EDOs de primer orden se encuentran:

Ecuación de variables separables

Son EDOs de la forma:

En donde es posible "despejar" todos los términos con la variable dependiente en función

de la variable independiente, quedando ahora la ecuación:

En donde se procede integrando ambos miembros de la ecuación

De donde es posible obtener la solución

Ejemplo (ver video)

Ecuación exacta

Una ecuación de la forma:

Se dice exacta si existe una función F que cumpla:

y,

Su solución es entonces:

Metodo para resolver una E.D.O. Exacta

METODO DE 4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Primero definimos si la ecuacion es exacta o no, mediante los siguiente doscriterios:

FORMA ESTÁNDAR DE LA ED EXACTAM(x,y)dx+N(x,y)dy=0M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 CRITERIO PARA DEFINIR EXACTITUD DE LA EDδMδy=δNδxδMδy=δNδx

4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

1. F(x,y)=∫M(x,y)dx+g(y)F(x,y)=∫M(x,y)dx+g(y)2. δδy∫M(x,y)dx+g′(y)=N(x,y)δδy∫M(x,y)dx+g′(y)=N(x,y)3. g(y)=∫N(x,y)dy−∫δδy∫M(x,y)dxdyg(y)=∫N(x,y)dy−∫δδy∫M(x,y)dxdy4. Sustituimos g(y)g(y) del paso (3) en (1) e igualamos a cc (c = constante)∫M(x,y)dx+g(y)=c∫M(x,y)dx+g(y)=cSi encontramos que la funcion N(x,y)N(x,y), es más facilmente integrable podemos utilizar los mismos cuatro pasos en funcion de NN, ver el Ejemplo 5 al final y/o revisar los 4 pasos del método alternativo, click aqui.

EDO de primer orden y homogénea

La ecuación diferencial ordinaria de primer orden:

Para resolver se usa la sustitución y=xv, siendo v= v(x) una función desconocida. Sin

embargo, la palabra ' homogénea' asume otro significado, dentro del estudio de las EDOs,

fuera de este contexto.

Ecuación lineal

Una ecuación diferencial es lineal si presenta la forma:

Y que tienen por solución:

Como se puede apreciar, esta ecuación es una ecuación diferencial de Bernoulli, con n=0.

Ecuación de Bernoulli

Una ecuación diferencial de Bernoulli, que es a su vez una generalización de la ecuación

diferencial lineal, fue formulada por Jakob Bernoulli y resuelta por su hermano, Johann

Bernoulli y presenta la forma:

En la cual, si se hace la sustitución , la ecuación se transforma en una ecuación

lineal con z como variable dependiente, resolviéndose de manera análoga.