CONCEPTOS BASICOS DE ECUACIONES

DIFERENCIALES

Es una ecuación que contiene las derivadas de una o mas variables ( ) dependientes respecto a una o mas variables independientes (x)(y).

Otra definición puede ser la ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de una o mas variables.

¿QUE SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?

Se denomina orden de una Ec. Dif. al orden de la derivada que lo tenga mas alto entre todas las que figuran en dicha ecuación. Ejemplo:

Dicha Ec. Dif. Es de segundo orden puesto que la derivada mas elevada que aparece es una derivada segunda.

¿QUE ES ORDEN?

Existe si la función incógnita se puede expresar como un polinomio en los distintos órdenes, el grado de la ecuación diferencial se considera el grado mayor en que aparece el orden mayor.

Ejemplo: La siguiente ecuación es de primer orden

definida por la potencia mas alta de en la derivada y de grado tres definido por la potencia mas alta de la incógnita, que se encuentre junto a la derivada de mayor orden.

¿A QUE SE LE LLAMA GRADO?

Clasificación por variables: Ec. Dif. Ordinaria: en la que aparecen

derivadas ordinarias de una o mas variables independientes. Ejemplo:

Ec. Dif. En derivadas parciales: en la que aparecen derivadas parciales de una o mas variables dependientes respecto a mas de una variable dependiente. Ejemplo:

CLASIFICACION Y TIPOS

Clasificación por orden mas elevado:

Ec. Dif. Ordinaria de orden N(1,2,3,…N). Ec. Dif. Derivadas parciales de orden N

(1,2,3,…N).

Ec. Dif. Lineales. Ec. Dif. No lineales.

CLASIFICACION Y TIPOS

En general una ecuacion de orden N tendra una solucion que involucra N constantes albitrarias

La constante arbitraria que encontramos al resolver la ecuacion la llamamos solucion general y que apartir de esta podemos llegar a la solucion particular.

SOLUCION GENERAL

Ahora suponga que nos dan un problema de valor inicial o de frontera que busca determinar la solución de una ecuación diferencial de orden N, satisfaciendo N condiciones especificadas.

Evaluaremos las condiciones iniciales en el resultado de la solución general.

El resultado que nos de esta evaluación se le llama solución particular.

SOLUCION PARTICULAR

Esto sirve para soportar el uso de la terminología de solución general puesto que si se satisfacen las condiciones del teorema no existe otras soluciones R. pueden surgir complicaciones si tratamos de extender la solución mas allá de la región R, como lo muestra el grafico:

INTERPRETACION GEOMETRICA

Definicion: Sea una familia uniparametrica

dada de curvas en el plano xy. Cuando una curva corta a las curvas de la familia en angulos rectos recibe el nombre de trayectoria ortogonal a la familia dada.

TRAYECTORIAS ORTOGONALES

Cada vez que se formule un problema de valor inicial o de frontera, hay tres preguntas en relación a este que podrían y deberían hacerse.

Pregunta de existencia. ¿Existe una solución de la ecuación diferencial que satisfaga las condiciones dadas?

Pregunta de unidad. Si existe una solución que satisfaga las condiciones dadas, ¿puede haber una solución diferente que también satisfaga las condiciones?

Pregunta de determinación. ¿Cómo encontrar las soluciones que satisfagan las condiciones dadas?

Si tuviéramos éxito en encontrar una solución, respondiendo a la primera pregunta, estaría todavía la pregunta de unidad.

EXISTENCIA Y UNIDAD

Si se pueden encotrar dos a mas soluciones, esto violaria el principio cientifico de fundamental de que un sistema no puede comportarse en varias formas bajo las mismas condiciones.

Es costumbre llamar una solucion singular, no usual o extrañas a cualquier solucion de una Ec. Dif. que no pueda obtenerse de la solucion general mediante una particular. Ocacionalmente estas aparecen en Ec. Dif. No lineales.

Esto nos lleva a los teoremas de existencia y unicidad, que sirven para decirnos donde se puede garantizar la existencia y unicidad de las soluciones en vez de confiar en el azar.

EXISTENCIA Y UNIDAD

TEOREMA DE EXISTENCIA-UNICIDAD. Dada la Ec. Dif. de primer orden si satisface las siguientes condiciones:

1. es real, finita, simple valorada y continua en todos los puntos de una región R del plano xy (que puede contener todos los puntos).

2. es real, finita, simple valorada y continua en R.

Entonces existe una y solo una solución en R, tal que cuando esto es,

EXISTENCIA Y UNIDAD

Observación: este teorema da las condiciones suficientes para la existencia y unidad de una solución, si las condiciones se cumplen, la existencia y unidad esta aseguradas. Sin embargo, las condiciones no son condiciones necesarias: esto es, si no se cumplen todas las condiciones puede que aun haya una condición única. Para eso debemos notar que el teorema nos dice como obtener esta solución.

EXISTENCIA Y UNIDAD

A partir de la Ec. Dif. donde satisface las condiciones del teorema E-U.

En cada punto (a,b) de la región R de la figura podemos construir una línea corta (elemento de línea) con pendiente . Si hacemos esta para varios puntos obtenemos el llamado campo de direcciones de la Ec. Dif. el grafico muestra la solución general de la ecuación.

CAMPO DIRECCIONAL

CAMPO DIRECCIONAL

Ecuaciones diferenciales, Shepley L. Ross, Editorial Reverte.

Ecuaciones diferenciales aplicadas, Murray R. Spiegel, Editorial Prentice-Hall Hispanoamericana.

http://sai.uam.mx/apoyodidactico/ED/concbasi/EjmOrGr.html

FUENTES Y REFERENCIAS