COLEGIO DE BACHILLERESrepositorio.cbachilleres.edu.mx/wp-content/... · integrales indefinidas de...

COLEGIO DE BACHILLERES

Guía para presentar exámenes de Recuperación o Acreditación Especial

(Apoya a Plan 92)

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

“Un proceso pertinente de formación para la vida”

ii

Cálculo Diferencial e Integral II

Guía para presentar exámenes de Recuperación o Acreditación Especial. Cálculo diferencial e Integral II (Versión preliminar) Esta guía fue elaborada por la Secretaría Académica, a través de la Dirección de Planeación Académica. Colaborador Profr. David S. Contreras Rivas.

Colegio de Bachilleres, México. www. cbachilleres.edu.mx Rancho Vista Hermosa No. 105 Ex-Hacienda Coapa, 04920, México, Distrito Federal.

La presente obra fue editada en el procesador de palabras Word 2000 (Office xp). Word 2000 es marca registrada de Microsoft Corp. Este material se utiliza en el proceso de enseñanza - aprendizaje del Colegio de Bachilleres, institución pública de educación media superior del sistema Educativo Nacional. Ninguna parte de esta publicación, incluido el diseño de la cubierta, puede reproducirse, almacenarse o transmitirse en forma alguna, ni tampoco por medio alguno, sea éste eléctrico, electrónico, químico, mecánico, óptico, de grabación o de fotocopia, sin la previa autorización escrita por parte del Colegio de Bachilleres, México.

ENERO 2003

iii


ÍNDICE

Pág. PRESENTACIÓN PRÓLOGO UNIDAD 1 LA INTEGRAL DEFINIDA ..............................................................................…. 1.1 Integración numérica ............................................................................................…….

Aplicación del conocimiento .............................................................................……….. Ejercicios ........................................................................................................…………. Tabla de comprobación ....................................................................................………..

1.2 La Integral Definida ....................................... ..........................................................…..


Ejercicios de autoevaluación ..............................................................................…………. Clave de respuestas.............................................................................................................

IV V

1 3 8 13 17 23 26 28 31 36 41

UNIDAD 2 LA INTEGRAL INDEFINIDA .........................................................................….. 2.1 La Integral Indefinida ............................................................................................…….


2.2 Aplicación de la Integral ......................................................................................…......


Ejercicios de autoevaluación ..............................................................................…………. Clave de respuestas.............................................................................................................

43 45 47 50 54 55 60 69 75 80 84

BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................……………................ SUGERENCIAS PARA PRESENTAR EXÁMENES DE RECUPERACIÓN O ACREDITACIÓN ESPECIAL ............................................……………

85 86

iv


PRESENTACIÓN

Las evaluaciones de recuperación y de acreditación especial son oportunidades que debes aprovechar para aprobar las asignaturas que, por diversas razones, reprobaste en el curso normal; pero ¡cuidado!, presentarse a un examen sin la preparación suficiente significa un fracaso seguro, es una pérdida de tiempo y un acto irresponsable que puedes evitar. ¿Cómo aumentar tu probabilidad de éxito en el examen mediante la utilización de esta guía? La respuesta es simple, observa las siguientes reglas: Convéncete de que tienes capacidad necesaria para acreditar la asignatura. Recuerda que fuiste capaz

de ingresar al Colegio de Bachilleres mediante un examen de selección. Sigue al pie de la letra las instrucciones de la guía. Procura dedicarte al estudio de este material, durante 15 días al menos, tres horas diarias continuas. Contesta toda la guía: es un requisito que la presentes resuelta y en limpio al profesor aplicador antes

del examen correspondiente.

v


PRÓLOGO En el marco del programa de desarrollo institucional 2001 y 2006, el estudiante adquiere una especial relevancia, por lo que el Colegio de Bachilleres metropolitano se ha avocado a la elaboración de diversos materiales didácticos que apoyen al estudiante en diversos momentos del proceso de enseñanza aprendizaje. Uno de los materiales elaborados son las guías de estudio, las cuales tienen como propósito apoyar a los estudiantes que deben presentar exámenes de recuperación o acreditación especial favoreciendo sus probabilidades de éxito. En este contexto, la guía para presentar exámenes de recuperación y acreditación especial de Cálculo Diferencial e Integral II se ha elaborado con el propósito de que los estudiantes que se encuentran en situación académica irregular y que tienen necesidad de presentar exámenes en periodos extraordinarios para acreditar la asignatura cuenten con este material para llevar a cabo su preparación y, así, contar con más elementos para incrementar sus posibilidades de éxito. Esta guía aborda en forma integral y sintética las principales temáticas establecidas en el programa de estudio; las actividades y ejercicios que se plantean son un apoyo para que el estudiante recupere los conocimientos previos, los relacione con otros más complejos y, en su caso, los aplique en el desarrollo de procedimientos y modelos matemáticos propios del cálculo. Esto permitirá que, con el estudio de la guía, continúe desarrollando y ejercitando sus habilidades de análisis y razonamiento matemático. Al final del desarrollo de las unidades la guía contiene una autoevaluación sobre los elementos esenciales de toda la unidad, para que el alumno verifique su grado de comprensión y dominio. Asimismo se incluyen algunas sugerencias para reforzar el apoyo sobre los aspectos estratégicos del tema. En la primera unidad, LA INTEGRAL DEFINIDA, se aborda de manera gráfica y algebraica el cálculo del límite de una suma, se analiza la variación de cambios acumulados, para llegar al cálculo de un área bajo una curva. Posteriormente se identifican las propiedades de la integral definida para aplicarla en la solución de diversos problemas, al final de la unidad se aborda el teorema fundamental del cálculo, así como el planteamiento de problemas en los cuales se aplican y verifican los procedimientos y modelos matemáticos estudiados en el planteamiento de la solución. En la segunda unidad, LA INTEGRAL INDEFINIDA, se abordan las propiedades de la integral indefinida, se estudia cómo determinar una función original a partir de su derivada y enseguida se calculan las integrales indefinidas de funciones algebraicas y trascendentes, para encontrar su aplicación en diferentes tipos de problemas. Por último se proporciona una bibliografía básica en la que se pueden consultar los temas desarrollados en la guía. En síntesis, la guía para presentar exámenes de recuperación y acreditación especial constituye un material didáctico producto del esfuerzo académico orientado a fortalecer los niveles de aprovechamiento y acreditación de los estudiantes.

vi


UNIDAD I

LA INTEGRAL DEFINIDA

2


3


UNIDAD 1

1.1 Integración Numérica

Aprendizajes

Calcular por aproximación el límite de una suma. Analizar la variación de la razón de cambios acumulados. Calcular el área bajo una curva.

Arquímedes calculó el área de un círculo por medio de aproximaciones sucesivas, inscribió rectángulos dentro del círculo, calculó el área de cada rectángulo y sumó todas éstas. Después construyó rectángulos más estrechos de modo que la suma de las áreas de los rectángulos se aproximaba cada vez más al área del círculo.1 En esta unidad se estudiará como se determina el área que existe entre curvas, haciendo uso del cálculo integral, así como su definición y uso de las fórmulas de integración. Para lograr los aprendizajes anteriores, es recomendable repasar los siguientes temas: álgebra, funciones trigonométricas, ecuación de la recta, gráficas y derivadas. Para una función, la idea intuitiva de continuidad es que la curva que represente a la gráfica debe dibujarse con un trazo continuo, o sea, que no tenga saltos. Por ejemplo: sea A el área de una región limitada por el eje “x” y la gráfica de una función no negativa y = f(x), la cual está definida en un cierto intervalo cerrado a, b, como se observa en la siguiente figura.

y 0 x El cálculo del área A se lleva a cabo dividiendo dicha área en un determinado número de rectángulos, es decir, en “n” rectángulos sobre el intervalo a, b.

1 Bosch Giral, Carlos. Et al. “Cálculo Diferencial e Integral”. p.p. 171-173

A = área

y = f(x)

a b

4


Lo anterior se representa en la gráfica siguiente:

0 La gráfica anterior representa las áreas de los rectángulos, la cual es una aproximación al área real. Generalmente dichas áreas se representan en unidades cuadradas (u2). Como podrás observar, la suma de todas las áreas de los rectángulos son una aproximación al área bajo la curva, esta área se representa con la siguiente definición, donde el símbolo (sigma) indica una suma. Definición 1.1 Sea f(x) una función continua en el intervalo cerrado a, b y f(x) 0, para toda “x” en el intervalo a, b. Se define el área bajo la gráfica en el intervalo como:

n

kkk xxfA

1

* )(

De la fórmula anterior, *kx , kx y )( *

kxf , se representan en la siguiente gráfica.

y

kx

Donde *kx representa el punto que será evaluado por la función y )( *

kxf representa la altura del

rectángulo, el valor x representa la base de cada rectángulo.

)( *kxf

f(x)

a b x *kx

a b

)(xfy y

5


UNIDAD 1

A partir de la gráfica, se tienen las siguientes condiciones:

Al dividir el área en “n” rectángulos, el lado derecho de cada uno éstos, está representado por *kx .

La amplitud (base del rectángulo) en cada uno de ellos es igual a x .

La altura del rectángulo construido bajo la curva se representa por: )( *kxf .

Para utilizar la fórmula de la definición 1.1, es conveniente realizar los siguientes pasos: Paso 1: Divide el intervalo a, b en “n” subintervalos, esto es:

n

abx

Paso 2: Haz que los *kx sean los lados derecho de cada subintervalo. Si x0 = a, entonces para efectuar los

cálculos se utiliza la siguiente fórmula:

n

abaxxx 110

*1

n

abaxxx 220

*2

n

abaxxx 330

*3

n

abkaxkxxk 0

*

baban

abnaxnxxn

0*

Es importante revisar la sustitución de los valores, así como sus signos y realizar correctamente las

operaciones. Por otra parte el ultimo valor de *kx depende del valor de “n”, por ejemplo si n = 4, entonces

*kx debe calcularse hasta n-1, en esta caso *

3x .

Para obtener la altura de cada uno de los rectángulos )( *kxf , se sustituyen los valores de ,, *

2*1 xx ... *

1kx

en la función.

6


Las condiciones anteriores no siempre se satisfacen en la solución de problemas. Por esto es necesario generalizar los conceptos a los siguientes casos2:

La función puede ser discontinua en algunos puntos de a, b.

f(x) puede ser negativo para alguna “x” en el intervalo a, b.

Las longitudes de los subintervalos k1 , xxk pueden ser diferentes entre sí.

El número kw puede ser cualquier número en k1 , xxk .

Una partición P de un intervalo cerrado a, b, es una descomposición cualquiera del intervalo a, b en subintervalos de la forma:

x0,, x1, x1, x2, x2, x3, ...xn-1, xn

Donde “n” es un número entero positivo y los kx son números tales que:

a = x0 x1 x2 x3 ... xn-1 xn = b

La longitud del k-esimo subintervalo xk-1, xk, se denota por kx , es decir:

1 kkk xxx

La partición x contiene “n” subintervalos, donde uno de éstos es el más largo, sin embargo puede haber más de uno. La longitud del subintervalo más largo de la partición x se le llama Norma de la Partición

P y se denota por P .

En la siguiente figura se observa una partición del intervalo a, b. El siguiente concepto la suma de Riemann, es llamado así en honor del matemático B. Riemann, y es un concepto fundamental para la definición de la Integral definida.

Definición 1.2 Sea f una función definida en un intervalo cerrado a, b y sea P una partición de a, b. Una suma de Riemann de f para P es cualquier expresión Rp de la forma:

n

kkkp xwfR

1

)(

donde wk es un número en el intervalo xk-1, xk.

2 Cfr. Swokowski W., Earl. “Introducción al Cálculo con Geometría Analítica” p.p. 226 – 231.

a = x0 x1 x2 ..... xk-1 xk ... xn-1 xn

7


UNIDAD 1

La siguiente es la representación gráfica de la integral definida. y )(xfy

x0 x1 xn x

1kx wk kx

Las flechas indican donde se localizan estos puntos. Observa en la gráfica que la altura de los rectángulos está dada por la función evaluada en el punto wk, o sea f(wk). Se debe tomar en cuenta que un área es positiva si está por arriba del eje x y se le asigna un signo menos a las áreas que están por debajo del eje x.

kwf

8


APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO Analiza el procedimiento con el cual se resuelven los siguientes ejemplos. Sea la función f(x) = 4 – x2 en el intervalo cerrado -1, 2, con n =4. Paso 1: Se gráfica la función y se divide el intervalo -1, 2 en 4 subintervalos.

y

n

abx

4

3

4

12

4

)1(2

x

4

3x

Paso 2: Al sustituir los datos, se obtienen los siguientes resultados:

4

1

4

31

4

311110

*1

n

abaxxx

Recuerda que el valor de x0 = a = -1

2

1

4

61

4

321220

*2

n

abaxxx

4

5

4

91

4

331330

*3

n

abaxxx

Es importante revisar la sustitución de los valores, así como sus signos y realizar correctamente las

operaciones. Por otra parte, el ultimo valor de *kx depende del valor de “n”, en este caso n = 4, entonces

*kx debe calcularse hasta el valor de n-1, en este ejercicio hasta *

3x .

-4

-2

0

2

4

-3 -2 -1 1 2 3x

9


UNIDAD 1

Paso 3: Para obtener la altura de cada uno de los rectángulos )( *kxf , se sustituyen los valores de

*3

*2

*1 y x x,x en la función 24)( xxf

16

63

16

14

4

144)(

22*

1*1

xxf recuerda que:

16

644

16

60

4

15

4

14

2

144)(

22*

2*2

xxf

16

39

16

254

4

544)(

22*

3*3

xxf

Paso 4: Se sustituyen los valores en la fórmula

n

kkk xxfA

1

* )(

xxfxxfxxfA )()()( *3

*2

*1

4

3

16

39

4

3

16

60

4

3

16

63A

2u 59.764

486

64

117

64

180

64

189A

Por lo tanto el valor del área es: A = 7.59 u2.

Observa el siguiente procedimiento para resolver otro ejercicio.

Considera la función 2

2

18)( xxf , sea P una partición del intervalo cerrado 0, 6 en

cinco subintervalos determinados por: x0 = 0, x1 = 1.5, x2 = 2.5, x3 = 4.5, x4 = 5 y x5 = 6. Encuentra:

a) La norma de la Partición.

b) La suma de Riemann Rp sí w1 = 1, w2 = 2, w3 = 3.5, w4 = 5 y w5= 5.5

10


Paso 1: Se gráfica la función 2

2

18)( xxf y se indican los puntos correspondientes a wk.

Se indican los rectángulos de alturas )( kwf para k = 1, 2, 3, 4 y 5 intervalos.

y Paso 2: Se determinan las bases de los rectángulos de la siguiente manera:

15.15.2

5.105.1

2

1

x

x

25.25.43 x Ésta es la norma de la partición P

(Cantidad mayor de los x )

156

5.05.45

5

4

x

x

-8

-6

-4

-2 0

2

4

6

8

-4 -2 2 4 6 8 10 12 x

11


UNIDAD 1

Paso 3: Se aplica la fórmula

n

kkkp xwfR

1

)( y se calculan los )( kwf , sustituyendo los valores en la

función.

5544332211 )()()()()( xwfxwfxwfxwfxwfR p

125.7125.1585.52

18)5.5(

5.45.12852

18)5(

875.1125.685.32

18)5.3(

62

482

2

18)2(

5.72

181

2

18)1(

2

2

2

2

2

f

f

f

f

f

Sustituyendo los valores se obtiene:

2u tanto lo por 625.11

)1)(125.7()5.0)(5.4()2)(875.1()1)(6()5.1)(5.7(

)1)(5.5()5.0)(5()2)(5.3()1)(2()5.1)(1(

p

p

p

R

R

fffffR

12


Ahora, tomando en cuenta el ejemplo anterior, resuelve el siguiente ejercicio.

Sea 825)( 23 xxxxf calcula la suma de Riemann Rp de la función para la partición P de 0, 5 en los cinco subintervalos determinados por: x0 = 0, x1 = 1.1, x2 = 2, x3 = 3.2, x4 =4 y x5 = 5; w1 = 0.5, w2 = 1.5, w3 = 2.5, w4 = 3.6 y w5 = 5 Paso 1: Elabora la gráfica la función.

Paso 2: Calcula los valores de kx y obtén la norma de la partición P .

Paso 3: Calcula los valores )( kwf .

Paso 4: Aplica la fórmula

n

kkkp xwfR

1

)( y calcula la sumatoria de Riemann.

13


UNIDAD 1

EJERCICIOS INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes reactivos, y contesta lo que se solicita en cada uno de ellos. 1) Sea 63)( xxf en el intervalo cerrado 2, 4 con n = 4.

I.- Calcula el área A aplicando la definición 1.1 II.- Realiza la gráfica.

2) Sea 21)( xxf en el intervalo cerrado 0, 1 con n = 4.

I.- Calcula el área A aplicando la definición 1.1 II.- Realiza la gráfica.

14


3) Sea 42)( xxf en el intervalo cerrado 0, 2 con n = 8.

I.- Calcula el área A aplicando la definición 1.1 II.- Realiza la gráfica. INSTRUCCIONES: En cada uno de los siguientes ejercicios, los números dados: (x0, x1, ... xn) determinan una partición P del intervalo cerrado a, b. 4) 0, 5, x0 = 0, x1 = 1.1, x2 = 2.6, x3 = 3.7, x4 = 4.1 y x5 = 5

I.- Calcula los nxxx ..., , , 21

II.- Calcula la norma P de la partición.

15


UNIDAD 1

5) 2, 6, x0 = 2, x1 = 3, x2 = 3.7, x3 = 4, x4 = 5.2 y x5 = 6



6) -3, 1, x0 = -3, x1 = -2.7, x2 = -1, x3 = 0.4, x4 = 0.9 y x5 = 1



16


INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes ejercicios y contesta lo que se solicita. 7) Aplica la definición 1.2 a la siguiente función y calcula la suma de Riemann. Sea 32)( xxf en el intervalo cerrado 1, 5 dividido en 4 subintervalos determinados por: x0 = 1, x1 =

2, x2 = 3, x3 = 4 y x4 = 5, si: w1 = 1.5, w2 = 2.5, w3 = 3.5 y w4 = 4.5 8) Aplica la definición 1.2 a la siguiente función y calcula la suma de Riemann.

Sea 3)( xxf en el intervalo cerrado -2, 4 dividido en los cuatro subintervalos determinados por: x0

= -2, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3, y x4 = 4, si: w1 = -1, w2 = 1, w3 = 2 y w4 = 4 9) Aplica la definición 1.2 a la siguiente función y calcula la suma de Riemann

Sea 2

8)(2x

xf en el intervalo cerrado 0, 6 dividido en los cuatro subintervalos determinados

por: x0 = 0, x1 = 1.5, x2 = 3, x3 = 4.5 y x4 = 6, si: w1 = 1, w2 = 2, w3 = 4 y w4 = 5

17


UNIDAD 1

TABLA DE COMPROBACIÓN

Número de pregunta Respuesta correcta

1

I

2

1

4

24

4 ,2 ,4 4,2

63)(

0

n

abx

bxan

xxf

2

7

2

132

32

122

2

5

2

112

*3

*2

*1

x

x

x

2

96

2

73

2

7

36)3(3)3(

2

36

2

53

2

5

f

f

f

2 2

9

4

9

2

3

4

3

2

1

2

9

2

13

2

1

2

3uA

II

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

-2 -1 1 2 3 4 5 x

18



2

I

4

3

4

130

2

1

4

120

4

1

4

1)1(0

4

1

4

011041,01)(

*3

*2

*1

02

x

x

x

xbxanxxf

16

25

16

91

4

31

4

3

4

5

4

11

2

11

2

1

16

17

16

11

4

11

4

1

2

2

2

f

f

f

2

32

31

64

62

64

25

16

5

64

17

4

1

16

25

4

1

4

5

4

1

16

17

uA

A

II

-1

0

1

2

3

-1 -0.5 0.5 1x

y

19


UNIDAD 1


3

I

4

1 ,2 ,0 ,8 2,0 42)( 0 xbxanxxf

4

7

4

170

4

6

4

160

4

5

4

150

4

4

4

140

4

3

4

130

4

2

4

120

4

1

4

110

*7

*6

*5

*4

*3

*2

*1

x

x

x

x

x

x

x

4

24

4

72

4

7

4

44

4

62

4

6

4

64

4

52

4

5

4

84

4

42

4

4

4

104

4

32

4

3

4

124

4

22

4

2

4

144

4

12

4

1

f

f

f

f

f

f

f

20


-4

-2

0

2

4

6

8

-2 -1 1 2 3 4 x

2

2

7

16

56

16

2

16

4

16

6

16

8

16

10

16

12

16

14

4

1

4

2

4

1

4

4

4

1

4

6

4

1

4

8

4

1

4

10

4

1

4

12

4

1

4

14

uA

A

II

4

I

9.01.45

4.07.31.4

1.16.27.3x

1.51.1-2.6

1.101.1

5

4

3

2

1

x

x

x

x

II

5.1P

5

I

8.02.56

2.142.5

3.07.34

7.037.3

123

5

4

3

2

1

x

x

x

x

x

II

2.1P

Número d pregunta Respuesta correcta

21


UNIDAD 1

6

1.09.01

5.04.09.0

4.114.0

7.17.21

3.037.2

5

4

3

2

1

x

x

x

x

x

II

7.1P

7

5.4 145

5.3 134

5.2 123

5.1 112

5 ,1 32)(

44

33

22

11

wx

wx

wx

wx

xxf

12)3)5.4(2)5.4(

103)5.3(2)5.3(

83)5.2(2)5.2(

635.12)5.1(

f

f

f

f

2 36)1(12)1(10)1(8)1(6 uRp

8

1 2)2(0

4 ,2 )(

11

3

wx

xxf

2 213

1 101

33

22

wx

wx

4 134 44 wx

1)1()1( 3 f

1)1()1( 3 f

8)2()2( 3 f

64)4()4( 3 f

279

641612)1)(64()2)(8()1)(1()2)(1(

uR

R

p

p


22



9

2 5.15.13

1 5.105.1

6 ,0 2

8)(

22

11

2

wx

wx

xxf

5 5.15.46

4 5.135.4

44

33

wx

wx

6

2

28)2(

2

15

2

18)1(

2

2

f

f

2

9

2

58)5(

02

48)4(

2

2

f

f

2 2

27

4

54

2

3

2

9

2

3)0(

2

3)6(

2

3

2

15

uR

R

p

p

Sugerencias

Si te equivocaste en los reactivos 1,2 ó 3, revisa con detenimiento los ejemplos resueltos. Si te equivocaste en los reactivos 4, 5 ó 6 revisa el libro de Swokowski, “Introducción al Cálculo con Geometría Analítica”, pág. 227. Si te equivocaste en los reactivos 7, 8 ó 9 revisa la definición 1.2 y consulta el libro de Swokowski, p.p. 226 – 230

23


UNIDAD 1

1.2 La Integral Definida

Aprendizajes Identificar las propiedades de la integral definida. Aplicar la noción de integral definida a la solución de problemas. Aplicar el teorema fundamental del cálculo en la solución de

problemas.

La integral definida puede interpretarse como el área bajo la curva y en forma equivalente como un límite. En el tema anterior se aproximó el valor del área bajo la curva mediante suma de las áreas de un conjunto de rectángulos contenidos dentro del área a determinar. Calcular la integral definida aplicando las sumas de Riemann, es bastante tedioso y frecuentemente difícil. Para hacerlo más simple, necesitamos desarrollar algunas propiedades de la integral definida, las cuales se presentan con los siguientes teoremas. Propiedades de la integral definida. Teorema:

Sea f la función constante, definida por cxf )( para toda x en el intervalo cerrado a,

b, entonces:

)( )( abcdxcdxxfb

a

b

a

En donde:

:b Representa el límite superior.

:a Representa el límite inferior.

: Se le llama signo de integración, el cual indica “suma”.

:)(xf Se le llama integrando.

:)(xfb

a

Se le llama integral definida, que indica el límite de una suma.

24


La representación gráfica de la función constante cxf )( , es la siguiente:

y c cxf )( (función constante)

dxcb

a

a b x Teorema:

Sí f es integrable en b ,a y k es un número real cualquiera, entonces kf es integrable

en b ,a y

dxxfkdxxfb

a

b

a

)( )(k

“La conclusión del teorema anterior a veces se enuncia de la siguiente forma: Un factor constante en el integrando se puede sacar del signo de la integral. No está permitido sacar fuera del signo de integral a expresiones en las cuales aparece la variable”3 Teorema:

Sí f y g son funciones integrables en b ,a , entonces gf es integrable en b ,a y

dxxgdxxfdxxgxfb

a

b

a

b

a

)( )( )( )(

Teorema:

Sí f es integrable en un intervalo cerrado y sí a, b y c son tres números cualesquiera en ese intervalo, entonces:

dxxfdxxfdxxfc

b

b

a

c

a

)( )( )(

3 Cfr. Swokowski. W. Earl. “Introducción al Cálculo con Geometría Analítica”. Pág. 235.

25


UNIDAD 1

Las siguientes definiciones forman parte de las propiedades de la integral definida.

Sí a b y f es una función integrable en el intervalo cerrado b ,a , entonces:

0 )(

)( )(

dxxf

dxxfdxxf

a

a

b

a

a

b

Observa que al cambiar los límites de integración, la integral cambia de signo; por otra parte si los límites de integración son iguales, resulta cero la integral porque no hay área para calcular, sino que se trata de un punto. El siguiente teorema enuncia el hecho notable de que “G” es una antiderivada de f. Además muestra como se puede usar cualquier antiderivada para encontrar la integral definida de f. A este teorema se le conoce como: Teorema Fundamental del Cálculo.

Sea f una función continua en un intervalo cerrado b ,a

Parte I: Sí se define G como:

dttfxGx

a

)()(

para todo x en b ,a , entonces G es una antiderivada de f en b ,a .

Parte II: Sí F es una antiderivada de f, entonces:

)()( )( aFbFdxxfb

a

“Este Teorema fue descubierto de manera independiente en Inglaterra por Sir Isaac Newton (1642 – 1727) y en Alemania por Gottfried Leibnitz (1646 – 1716). Es principalmente debido a este descubrimiento que se les atribuye a estos sobresalientes matemáticos la invención del Cálculo”4 Para aplicar el teorema fundamental del cálculo, debemos recordar que una función continua es aquella que se representa con un solo trazo o sea sin despegar el lápiz. Por otra parte, una antiderivada es una

función que al derivarla ésta se convierte en la función a integrar, por ejemplo: la antiderivada de x es 2

2x,

porque si derivamos 2

2x obtenemos:

dx

d

2

2xxxx 112

2

2)2(

2

1

4 Cfr. Swokowski W. Earl “Introducción al Cálculo con Geometría Analítica”. Pág. 243.

26


APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO Observa cuidadosamente los pasos para resolver la siguiente integral, utilizando el teorema fundamental del cálculo y haciendo uso de las propiedades de la integral definida.

Calcula la integral definida dada por la función 196)( 23 xxxxf en el intervalo cerrado 2 ,1 .

Paso 1: Dada la función se debe buscar una antiderivada de ésta, esto es:

xxxx

2

9

3

6

4

234

si ésta función se deriva, se obtiene la función original. Paso 2: Se sustituye la función original con el signo de integral y se escriben los límites de integración.

dxxxx 196 232

1

Paso 3: Se aplican las propiedades de la integral definida.

dxdxxdxxdxxdxxxx2

1

2

1

22

1

32

1

232

1

1 9 6 196

2

1

2

1

22

1

32

1

4

2

9

3

6

4x

xxx

Paso 4: Se evalúan las integrales, sustituyendo el límite superior (2) menos el límite inferior (1); estos valores se sustituyen por la “x” en la ecuación anterior, de la siguiente manera:

2

1

2

1

22

1

32

1

4

2

9

3

6

4x

xxx =

)1(

2

)1(9

3

)1(6

4

1)2(

2

)2(9

3

)2(6

4

2 234234

2 4

17 1

2

9

3

6

4

12

2

36

3

48

4

16u

Por lo tanto el valor de la integral es:

2232

1

4

17 196 udxxxx

27


UNIDAD 1

Siguiendo los pasos anteriores resuelve el siguiente ejercicio.

Calcula la integral definida, dada la función xxxf 23)( 2 en el intervalo cerrado 3 ,0 .

Paso 1: Busca una antiderivada de la función. Paso 2: Representa la función original como una integral, sustituyendo los límites de integración. Paso 3: Aplica las propiedades de la integral. Paso 4: Evalúa la integral, sustituyendo primero el límite superior y restando el límite inferior. Paso 5: Simplifica y obtén el resultado.

28


EJERCICIOS INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes ejercicios y aplica las propiedades de la integral definida y encuentra el valor de las siguientes integrales.

1. dxx

2

4

2

2. dxxx 23 23

1

3. dxx 32

2

INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes problemas y contesta lo que se solicita, anotando el desarrollo y la solución.

4. Sea la función 5)( xf en el intervalo cerrado 2 ,0 .

I.- Calcula el área bajo la curva. II.- Realiza la gráfica.

29


UNIDAD 1

4. Sea la función 5)( xxf en el intervalo cerrado 3 ,2 .


6. Sea la función 2)( xxf , en el intervalo cerrado 2 ,2 .

I.- Calcula el área bajo la curva. II.- Realiza la gráfica. INSTRUCCIONES: En los siguientes reactivos aplica el teorema fundamental del cálculo y calcula el valor de las siguientes integrales.

7. Cada la función 22)( xxxf en el intervalo cerrado 2 ,0 .

I.- Calcula el área de la región comprendida por la función. II.- Realiza la gráfica.

30


8. Dada la función xxxxf 6)( 23 entre x = 0 y x = 3.


9. Dada la función 33)( 23 xxxxf , entre x = -1 y x = 2.


31


UNIDAD 1



1

dxxdxx

2

1

2

4

2

4

2

2

224

2

2

4

2

2

3144

4

4

16

)2(4

1)4(

4

1

4

1

22

1

u

x

x

2 3 uA

2

2

2

2323

3

1

233

1

23

3

1

23

1

23

1

34

3411927

1133

2

2

3

3

2 3 23

uA

u

xxxx

dxxdxxdxxx

3

0

4

2

4

2

4

442

2

43

2

2

x

dxx

0A

32



4

I

10)0(5)2(55 52

0

2

0

xdx 2 10 uA

II y

5

I

2

5510215

2

9

)2(52

2)3(5

2

3

52

5

22

3

2

23

2

xx

dxx

2 2

55uA

II y

-2

8

0

2

4

6

-3 -2 -1 1 2 3x

-2

0

2

4

6

8

-3 -2 -1 1 2 3 4 x

33


UNIDAD 1


6

I

2

332

2

32

2

2

3

16

3

16

3

8

3

8

3

2

3

2

3

uA

xdxx

II y

7

I

3

12

3

00

3

22

32

32

32

2

0

322

2

0

xxdxxx

2 3

4uA

y II }

-4

-2

0

2

4

-1 1 2 3 4 5 x

-20

2

4

6

8

10

-3 -2 -1 1 2 3 x

34



8

dxxxxdxxxx 6 6 232

0

232

0

2

0

234

2

6

34

xxx

02

26

3

2

4

2 234

2 3

323

3212

3

84

123

84

uA

y

-10

-5

0

5

10

-4 -2 2 4 x

35


UNIDAD 1


9

I

2

1

23

41

1

23

4

232

1

231

1

232

1

324

324

33 33

33

xx

xx

xx

xx

dxxxxdxxxx

dxxxx

132

11

4

123

2

22

4

2

132

11

4

113

2

11

4

1

23

423

4

23

423

4

3

2

11

4

162843

2

11

4

13

2

11

4

1

3

2

11

4

162843

2

11

4

13

2

11

4

1

4

232

1

4

252

1

4

16

2

1

4

1713

32

11

4

162844

2 4

23uA

II y

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-4 -2 2 4 x

36


EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes reactivos y contesta lo que se solicita, anotando el desarrollo y la solución.

Para resolver estos ejercicios cuentas con noventa minutos.

1. Dada la función 4)( xxf , en el intervalo cerrado 2 ,0 , con n = 4.

I.- Determina el área bajo la curva. II.- Realiza la gráfica.

2. Dada la función 2)( xxf en el intervalo cerrado 1 ,1 , con n = 8.


37


UNIDAD 1

3. Calcula la suma de Riemann para la función 1)( 2 xxf en el intervalo cerrado 3 ,2 con cinco

subintervalos determinados por:

3 ,4

7 ,1 ,0 ,

2

1 ,2 543210

xxxxxx

para: 2

5 ,

2

3 ,

2

1 ,

4

1 ,1 54321 wwwww

INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes reactivos y aplica las propiedades de la integral definida para evaluar las siguientes integrales. 4. Calcula el área bajo la curva de la integral:

dxx 3

12

1

5. Calcula el área bajo la curva de la integral:

dxx 3 24

0

38


6. Calcula el área bajo la curva de la integral:

dxxx 652 231

0

INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes reactivos y aplica el teorema fundamental del cálculo, mostrando el desarrollo y la solución.

7. Sea la función 3)( 2 xxf , en el intervalo cerrado 2 ,0 .

I.- Calcula área bajo la curva. II.- Realiza la gráfica.

39


UNIDAD 1

8. Sea la función 24)( xxf , en el intervalo cerrado 2 ,2 .


40


9. Dada la función 33)( 23 xxxxf , en el intervalo cerrado 3 ,1 .


41


UNIDAD 1

CLAVE DE RESPUESTAS


1

I

2 2

15uA

y II

2

I

2 16

7uA

y II

3 22 28.16 32

916 uuRp

4 2 2

1uA

5 2 64 uA

6 2 6

29uA

-2

-4

-2

0

2

4

-4 -2 2 4 x

0

2

4

6

-2 -1 1 2 3 4 5 x

42



7

I

2 3

26uA

II y

8

I

2 3

32uA

II y

9

I 2 8 uA

y II

-2

0

2

4

6

-3 -2 -1 1 2 3 x

-4

-2

0

2

4

-2 -1 1 2 3 4 5 x

-2

0

2

4

6

8

10

-3 -2 -1 1 2 3 x

UNIDAD II

LA INTEGRAL INDEFINIDA

44


45


UNIDAD 2

2.1 La integral indefinida

Aprendizajes Identificar las propiedades básicas de la integral indefinida. Determinar la función original a partir de su derivada. Calcular la integral indefinida de funciones algebraicas. Calcular la integral indefinida de funciones trascendentes.

En el estudio del cálculo integral es muy importante que identifiques que dada la derivada de una función, encuentres la función original, esto es, la antiderivada o primitiva de la función, a la cual le llamaremos integral indefinida. Para diferenciar a la integral definida de la integral indefinida, a ésta no se le escriben los límites de integración, sino que se le agrega una “c” que significa constante de integración, a f(x) se le llama integrando y x representa la variable de integración, la representamos con la siguiente Definición

Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I, si )()( xfxFdx

d

en I, es decir, si F´(x) = f(x) para toda x en I, esto es:

)()(' )()( xfxFsisóloysícxFdxxf

Esta definición se puede interpretar de la siguiente manera: Al integrar una función f(x) obtenemos como resultado F(x); si este resultado se deriva obtendremos como resultado al integrando y además nos sirve como comprobación. Propiedades básicas de la integral indefinida.

Observa las siguientes propiedades, las cuales debemos tomar en cuenta para el cálculo de integrales indefinidas. Sí f es integrable y k es un número real cualquiera, entonces kf es integrable.

dxxfkdxxfk )( )(

Sean f y g dos funciones integrables, entonces:

dxxgdxxfdxxgxfii

dxxgdxxfdxxgxfi

)( )( )()( )

)( )( )()( )

46


Un factor constante k puede escribirse antes del signo de integral, donde c es la constante de integración.

cxkdxkdxk

Regla de las potencias para integrales indefinidas.

cx

ndxx nn 1

1

1

Donde el exponente n es un número racional y n -1 En las funciones trascendentes se encuentran las trigonométricas, las exponenciales y las logarítmicas. Para calcular este tipo de integrales se usan las siguientes fórmulas de integración.

cuduu

cuduu

sen cos

cos sen

cuduu

cutanduu

cuduutan

cot csc

sec

sec ln

2

2

cutanuduu

cuduu

cuduuu

cuduutanu

sec ln sec

sen ln cot

csc cot csc

sec sec

cuuduu cot csc ln csc

ca

adua

cuu

du

cedue

uu

uu

ln

ln

47


UNIDAD 2

APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO Observa en los siguientes ejemplos cómo se aplican las propiedades de la integral indefinida.

Vamos a calcular la siguiente integral indefinida dxx3 5

Paso 1: El 5 es una constante que se puede escribir fuera de la integral.

dxxdxx 5 5 33

Paso 2: Para encontrar una antiderivada de x3 (o sea la primitiva) aplicamos la fórmula siguiente:

cxn

dxx nn

1

1

1

o sea que:

cxdxx

133

13

1 5 5

Paso 3: Se realizan las operaciones indicadas y se obtiene finalmente el resultado.

cxdxx 43 4

5 5

Para realizar la comprobación de la integral, se deriva el resultado, esto es:

dx

cdxcx

dx

d 4

4

5

4

5 144

Recuerda que la derivada de una constante es igual a cero. Al simplificar se obtiene al integrando.

34 54

5xcx

dx

d

Nota: recuerda que al hacer mención de la antiderivada o primitiva nos estamos refiriendo a la integral indefinida. Ahora veamos la aplicación de estas propiedades en una función polinomial.

Calcula la integral indefinida dxxxx 2543 35 y realiza la comprobación.

Paso 1: Se escribe la integral, recordando que la suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de las integrales, esto es:

dxdxxdxxdxxdxxxx 2 5 4 3 2543 3535

48


Paso 2: Los factores constantes se escriben fuera de la integral y se aplica la fórmula de una potencia, como se muestra a continuación:

dxdxxdxxdxxdxxxx 2 5 4 3 2543 3535

Paso 3: Se integra cada una de éstas.

4

311

2133

1155

22

11

1 5 5

13

1 44

15

1 33

cxdx

cxdxx

cxdxx

cxdxx

Paso 4: Se sustituyen los valores, tomando en cuenta que 4321 ccccc .

cxxxxdxxxx 22

5

4

4

6

3 2543 24635

Paso 5: Finalmente se simplifica el resultado.

cxxxxdxxxx 22

5

2

1 2543 24635

Para verificar el resultado, se deriva el polinomio y se obtiene el integrando.

02)2(2

546

2

12

2

5

2

1 35246

xxxcxxxx

dx

d

Simplificando se obtiene:

254322

5

2

1 35246

xxxcxxxx

dx

d

Analiza los siguientes procedimientos para calcular integrales indefinidas trascendentes.

Calcula la integral indefinida dxx sen y realiza la comprobación.

Paso 1: Este tipo de integrales se resuelven de forma inmediata, por lo tanto:

cxdxx cos sen

49


UNIDAD 2

Paso 2: Se realiza la comprobación derivando el resultado.

xxcdx

dx

dx

dcx

dx

d sen0 sen cos) (cos

Ahora resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las propiedades de la integral indefinida.

a) Calcula la integral dxxxx 4839 23 y realiza la comprobación.

b) Calcula la integral dxx cos y realiza la comprobación.

50


EJERCICIOS INSTRUCCIONES: Analiza con atención cada uno de los siguientes expresiones y calcula las integrales aplicando el método de integración respectivo.

1. dxxxxx 72 234

2.

dxxxx 8

5

62 23

3.

dxxx

2

3

4

1

3

2 2

51


UNIDAD 2

4. dxxx 304 23

5. dxx 2 3

6. dxx 2

3

7. dxxx 96 24

52


8. dxxx 123

9. dxxx 231

INSTRUCCIONES: Analiza las siguientes expresiones y aplicando el procedimiento adecuado, calcula las integrales trascendentes.

10. dxxe x )2(

11. dxx

1

53


UNIDAD 2

12. dxx sec2 2

13. dxx cos5

14. dxx

3

sen

15. dxx

3

8

54




1. cxxxxxdxxxxx 72

1

3

1

2

1

5

172 2345234

2.

cxxxdxxxx 23423 4

5

2

2

18

5

62

3. cxxxdxxx

2

3

8

1

9

2

2

3

4

1

3

2 232

4. cxxxdxxx 303

4

4

1)304( 3423

5. cxdxx 23 2

6. cxdxx 2

5

2

3

5

2

7. cxxxdxxx 925

196 3524

8. cxxxdxxx 22

3

3

212

9. cxxxdxxx 22

1231 23

10. cxedxxe xx 22

11. cxdxx

ln1

12. cxtandxx 2 sec2 2

13. cxdxx sen5 cos5

14. cxdxx

cos3

1

3

sen

15. cxdxx

ln3

8

3

8

55


UNIDAD 2

2.2 Aplicación de la integral.

Aprendizajes

Aplicar el método de sustitución al cálculo de integrales. Aplicar el método de integración por partes al cálculo de la integral. Aplicar el método de expansión en fracciones parciales al cálculo de la integral. Aplicar las técnicas de integración en el cálculo de áreas entre gráficas de funciones. Calcular el volumen generado por sólidos de revolución.

I.- El método de sustitución o cambio de variable Consiste en sustituir la variable “x” por una nueva variable; veamos el siguiente: Teorema: Sea g una función derivable y supóngase que F es una antiderivada de f. Entonces u = g(x).

cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()(')(

Observa el siguiente ejemplo donde se aplica este método.

Evalúa la siguiente integral: dxxx 4 2

Paso 1: Se hace el cambio de variable, tomando 42 xu , entonces la derivada de u es

dxxdu 2 Paso 2: Se sustituyen estos valores en la integral, esto es:

2

4 2

12 du

udxxx

Observa que dxxdu 2 y en el integrando sólo se tiene dxx , entonces dxxdu

2

.

Paso 3: Se aplican las propiedades de la integral; esto es, 2

1se escribe fuera de la integral por ser una

constante.

2

1 4 2

12 duudxxx

56


Paso 4: Se realiza la integral, obteniendo lo siguiente:

cu

duu1

2

12

1

2

11

2

1

2

1

cucucu

2

3

2

32

3

3

1

6

2

2

32

1

Paso 5: Se hace el cambio de variable de 42 xu y se sustituye en el resultado:

cxdxxx 2

322 4

3

1 4

por lo tanto: cx 32 4

3

1

Más adelante desarrollaremos otros ejemplos donde se aplique este método. II. Método de integración por partes: El método de integración por partes se basa en la integración de la fórmula derivada del producto de dos funciones. Veamos el siguiente procedimiento para obtener la fórmula de integración por partes: Sea u = u(x) y v = v(x), entonces:

)(')()(')()()( xuxvxvxuxvxuDx

Integrando ambos lados de la ecuación se obtiene la siguiente expresión:

dxxuxvdxxvxuxvxu )(')( )(')()()(

Despejando la primera integral tenemos:

dxxuxvxvxudxxvxu )(')()()( )(')(

Sí dxxuduydxxvdv )(' )(' , entonces la ecuación anterior se puede escribir de la forma

siguiente:

duvvudvu

57


UNIDAD 2

La cual es la fórmula para integrar por partes. El éxito de éste método, depende de la elección apropiada de u y dv , lo cual se consigue solamente con la práctica.

Para aplicar este método, vamos a evaluar la siguiente integral: dxxx cos

Paso 1: Se escribe dxxx cos como dvu ; entonces dxduyxu

Paso 2: Si dxxdv cos , entonces, para encontrar v se integran ambos lados, obteniendo:

dxxdv cos , entonces

cxv sen

Paso 3: Los valores de vydvduu , , se sustituyen en la fórmula, quedando de la siguiente manera:

dxxxxdxxx sensen cos

La integral de cxdxx cos sen , sustituyendo este resultado en la integral anterior, se obtiene el

resultado.

cxxxdxxx cossen cos

Recuerda que las constantes de integración están incluidas en “c”. III. Método de integración de funciones racionales (Método de expansión en fracciones parciales). Una función racional es, por definición, el cociente de dos polinomios, por ejemplo:

xx

xxxxh

xx

xxg

xxf

5

12)( ,

84

22)( ,

1

2)(

3

35

23

Teóricamente cualquier expresión racional )(

)(

xg

xf se puede expresar como una suma de expresiones

racionales cuyos denominadores son potencias de polinomios de grado menor o igual a dos.

rFFFxg

xf ....

)(

)(21

La suma de rFFF ...21 es la descomposición en fracciones parciales de )(

)(

xg

xf y cada kF se llama

fracción parcial.

58


Observa con detenimiento los siguientes pasos para obtener la descomposición en fracciones parciales de

)(

)(

xg

xf 5

1. Si el grado de f(x) no es menor que el de g(x), se realiza la división. 2. Expresar g(x) como un producto de factores lineales qpx o formas cuadráticas irreducibles

cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que g(x) quede expresado como un producto de

factores distintos de la forma mqpx o bien ncbxax 2 con m y n enteros no negativos.

3. Aplicar las siguientes reglas:

a) Por cada factor de la forma mqpx con 1m , la descomposición en fracciones parciales contiene

una suma de m fracciones parciales de la forma:

mm

qpx

A

qpx

A

qpx

A

)(.....

)( 221

Donde cada numerador kA es un número real.

b) Por cada factor ncbxax 2 , con 1n , donde cbxax 2 es Irreducible, la descomposición

en fracciones parciales contiene una suma de n fracciones parciales de la forma:

nnn

cbxax

bxA

cbxax

bxA

cbxax

bxA

)(...

)( 22222

211

Donde todos los kk byA son números reales.

5Cfr. Swokowski W., Earl. “Introducción al Cálculo con Geometría Analítica”. p.p. 476-478.

59


UNIDAD 2

Cálculo de áreas entre gráficas de funciones6 Consideremos las curvas )( )( xgyyxfy con ambas funciones sobre el intervalo .bxa

Ellas determinan la región que se muestra a continuación: y )(xfy

A )(xgy

x a b

Observa que )( )( xgyxf son funciones continuas en el intervalo cerrado ba , . El área de )(xf en el

intervalo ba , esta dada por dxxfb

a

)( . Si g es otra función y )()( xgxf para toda x en ba , ,

entonces el área A de la región acotada por las gráficas de )( )( xgyxf , bxyax , está dada

por

dxxgxfdxxgdxxfAb

a

b

a

b

a

)()( )( )(

Es importante que conozcas que para encontrar los puntos de intersección, estos se calculan resolviendo simultáneamente las ecuaciones; es decir se igualan las dos funciones y se resuelven éstas, encontrando los límites de integración. Sólidos de revolución. Si una región plana situada completamente a un lado de una línea fija en su plano, gira alrededor de ésta, entonces se genera un Sólido de revolución. La recta fija se llama eje del sólido de revolución. Por lo tanto el volumen del sólido de revolución se define de la siguiente manera:

Sea f una función continua en el intervalo cerrado ba , y sea R la región acotada por la gráfica de f, el eje

“x” y las rectas x=a y x=b. El volumen V del sólido de revolución generado al girar R alrededor del eje “x” es:

dxxfVb

a

2 )(

6 Purcell, Edwin, J. Varberg, Dale. “Cálculo Diferencial e Integral”, p.p. 284-287.

60


APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO Observa con detenimiento los siguientes ejemplos, donde se aplican los métodos de integración y realiza los ejercicios propuestos. Evaluaremos la siguiente integral indefinida aplicando el método de sustitución.

dxxx 1243

Paso 1: Se toma como 124 xu , entonces la derivada de u es dxxdu )04( 3 , recuerda que la

derivada de una constante es cero.

Paso 2: Observa que en la integral están x3 y dx y al realizar el cambio de variable dxxdu 4 3 , queda de la siguiente forma:

dxxdu 3

4

Paso 3: Se sustituyen los valores de u y du en la integral, obteniendo de esta manera el cambio de variable.

dxxx 1243 4

2

1 duu

Paso 4: Cómo 4

1es una constante, se aplican las propiedades de la integral y se coloca fuera de dicha

integral este valor, esto es:

duudu

u 4

1

42

1

2

1

Paso 5: Se realiza la integral.

cucu

cu

dxxx

2

32

31

2

1

43

12

2

2

34

1

12

14

1 12

Paso 6: Se sustituye el valor que se tomó como 124 xu y se obtiene el resultado de dicha integral, esto es:

cx

cxdxxx

34

2

3443

126

1

126

1 12

61


UNIDAD 2

Ejercita tus conocimientos y aplica este método de sustitución en la siguiente integral.

dxxx 23 2

Vamos a resolver un ejemplo aplicando el método de integración por partes en la siguiente integral.

dxxx sen2

Paso 1: Se toma como 2xu ; la derivada de u es dxxdu 2 ; de esta manera xdv sen , entonces v es la integral de xsen

1cos sen cxdxxv

Paso 2: Con estos valores se sustituyen en la fórmula vduuvudv .

dxxxxx

dxxxxxdxsenxx

cos2cos

2coscos

2

22

Paso 3: Observa que la integral del lado derecho otra vez se tiene que realizar por partes, entonces se hacen los siguientes cambios:

2 cos

csenxvxdxdv

dxduxu

De esta manera, la integral dxxx cos , queda de la siguiente manera:

3cos cos cxxsenxdxsenxxsenxdxxx

Nota: es importante que Las constantes c1, c2, y c3 se incluyen al final del resultado de la integral para no crear confusión con dichas constantes. Paso 4: Sustituyendo los valores, se obtiene el resultado de la integral.

cxxsenxxx

cxxsenxxxdxxxxxdxsenxx

cos22cos

cos2cos cos2cos

2

222

62


Ejercita tus conocimientos y calcula la siguiente integral: dxxx 2sen2

El siguiente ejercicio se resuelve aplicando el método de expansión en fracciones parciales.

dxxxx

x

32

3523

Paso 1: Se factoriza el denominador, quedando de la siguiente forma.

)1)(3( )32(32 223 xxxxxxxxx

Paso 2: Al factor x le corresponde una fracción parcial de la forma x

A, de la misma forma, a los factores

)1( 3 xyx les corresponden fracciones parciales de la forma: 1

;3 x

C

x

B, respectivamente; la

descomposición en fracciones parciales tiene la siguiente forma:

13)1)(3(

35

32

3523

x

C

x

B

x

A

xxx

x

xxx

x

Paso 3: Se multiplica por 13 xxx ambos lados de la igualdad y se obtiene lo siguiente:

1

)1)(3(

3

)1)(3()1)(3(

13

)1(335

x

xxCx

x

xxbx

x

xxAx

xxx

xxxx

Simplificando tenemos que:

)( )3()1()1)(3(35 xCxxBxxxAx ver paso 4

63


UNIDAD 2

Paso 4: Los valores de A, B y C pueden encontrarse sustituyendo por “x” valores que hagan que los factores sean cero en la ecuación ( ), es decir, en este caso, “x” toma los valores de: 0, -3 y +1. Para: 0x

)30)(0()10)(0()10)(30(3)0(5 CBA


1A Para: 3x

)33)(3()13)(3()13)(33(3)3(5 CBA


1B Para: 1x

)31)(1()11)(1()11)(31(3)1(5 CBA


2C Paso 5: La descomposición en fracciones parciales es:

1

2

3

11

)1)(3(

35

xxxxxx

x

Paso 6: Se integra y la suma de las constantes, la denotamos como “c”; de esta forma obtenemos el resultado final.

1

2

332

3523 x

dx

x

dx

x

dxdx

xxx

x

cx x x 1ln23lnln

Aplica tus conocimientos y realiza la siguiente integral, aplicando el método de fracciones parciales.

dxxx

x

6

132

64


Observa como se calcula el área entre dos curvas en el siguiente ejemplo:

Encontraremos el área de la región acotada por las gráficas 62 xy y 032 xy y realizaremos

la gráfica. Paso 1: Una forma de encontrar los límites de integración es realizando la gráfica. La otra forma es igualando las dos funciones. Para este ejemplo, encontraremos los límites de integración de las dos formas.

Sea 62 xy Ecuación (1)

032 xy Ecuación (2)

Despejando “y” de la ecuación (1) y (2), tenemos que: De la ecuación (1)

62 xy Ecuación (3)

De la ecuación (2)

32 xy Ecuación (4)

Igualando las ecuaciones (3) y (4), se tiene:

0632

326

2

2

xx

xx

0322 xx Factorizando esta ecuación:

0)1)(3(322 xxxx

Igualando a cero cada factor:

3 03 xx

1 01 xx

Por lo tanto, los límites de integración es: 3 ,1

65


UNIDAD 2

La otra forma es realizando la gráfica. De la ecuación (1) se despeja a la incógnita “y”, y se elabora una tabla dando valores a “x” para encontrar el respectivo valor de “y”.

x 6 xy yx,

-3 -(-3)2 + 6 = -9 + 6 = - 3 (-3, -3)

-2 -(-2)2 + 6 = - 4+6 = 2 (-2, 2)

-1 -(-1)2 + 6 = -1 +6 = 5 (-1, 5)

0 -(0)2 + 6 = 6 (0, 6)

1 -(1)2 + 6 = -1 +6 = 5 (1, 5)

2 -(2)2 + 6 = - 4 +6 = 2 (2, 2)

3 -(3)2 + 6 = - 9 + 6 = - 3 (3, -3)

De la ecuación (2) se despeja la incógnita “y” y se elabora otra tabla dando valores a “x” para encontrar su respectivo valor de “y”.

x 32 xy yx,

-3 -2(-3) + 3 = 6 + 3 = 9 (-3, 9)

-2 -2(-2) + 3 = 4 + 3 = 7 (-2, 7)

-1 -2(-1) + 3 = 2 + 3 = 5 (-1, 5)

0 -2(0) + 3 = 0 + 3 = 3 (0, 3)

1 -2(1) + 3 = - 2 + 3 = 1 (1, 1)

2 -2(2) + 3 = -4 + 3 = -1 (2, -1)

3 -2(3) + 3 = -6 + 3 = -3 (3, -3)

Paso 2: Se realiza la gráfica con los valores obtenidos de las dos tablas. y

32 xy

Como puedes observar en la gráfica los puntos donde se intersectan las dos gráficas son (-1, 5) y (3, -3), esto nos indica que 3 1 xyx son los límites de integración.

-4

-2

0

2

4

6

8

-4 -2 2 4 x

(3, -3)

(-1, 5) 62 xy

66


Paso 3: La gráfica que esta por encima de la región es la que tiene por ecuación 62 xy , como se

observa en la gráfica, y la que está por debajo del área a determinar es la que tiene por ecuación 32 xy . Esto nos indica que el área A entre las curvas está dada por la diferencia de las funciones,

es decir, la ecuación 62 xy menos la ecuación 32 xy , esto se representa por la integral

siguiente:

dxxx 32623

1

Paso 4: Se calcula la integral anterior.

2

23

23

3

1

23

23

1

23

1

3

32

3

111 31

3

19

313

1999

19(3)1(3

)1(333

3

)3(

32

2

3

)32( 326

u

xxx

dxxxdxxx

Por lo tanto el área es: 2 3

32uA

Ejercita tus conocimientos y calcula el área entre las curvas de las siguientes funciones: 22)( xxxf y 4)( xxg , realiza las gráficas correspondientes.

67


UNIDAD 2

Para calcular el volumen de un sólido revisa con atención el siguiente ejemplo:

Sea 1)( 2 xxf , observa como se calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar la

región bajo la gráfica de f(x) con x = -1 y x = 1 alrededor del eje “x”.

Paso 1: Se gráfica la función 1)( 2 xxf , en el intervalo que se indica.

y x

Paso 2: Se aplica la fórmula para encontrar el volumen, en el intervalo 1 ,1 .

dxxxdxxV 12 1 241

1

21

1

Paso 3: Se integra y se evalúa dicha integral, obteniendo de esta manera el volumen del sólido de revolución.

1

1

35

3

2

5

x

xxV

13

2

5

11

3

2

5

1

13

2

5

11

3

2

5

1

)1()1(3

2

5

)1()1(1

3

2

5

1 35

35

V

V

V

Por lo tanto el volumen del sólido de revolución es: 15

56V

1

-1

1)( 2 xxf

68


Ejercita tus conocimientos y calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar la región bajo la

gráfica de 2)( xf , en el intervalo 3 ,0 . Realiza la gráfica.

69


UNIDAD 2

EJERCICIOS INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y resuelve lo que se pide. I.- Aplica el método de sustitución y evalúa las siguientes integrales, escribe tu desarrollo y la solución.

1. dxxx432 5

2. dxx 693

3.

dxe

ex

x

21

70


4. dxx 51

5. dxxx cos sen3

6.

dxx

x

9

32

71


UNIDAD 2

II.- Aplica el método de integración por partes y calcula las siguientes integrales.

7. dxxx sen

8. dxx ln

9. dxex x2

10. dxxx cos 4

72


III.- Aplica el método de fracciones parciales a las siguientes integrales.

11.

dxxx 2

52

12.

dx

xx

x

43

112

13.

dxxxx

xx

2

4223

2

73


UNIDAD 2

IV.- Calcula el área entre las gráficas de las funciones que se indican y realiza la gráfica correspondiente.

14. 42 )( ,2)( xxgxxxf

15. 5)( ,1)( 2 xgxxf

16. xxgxxf )( ,)( 2

V.- Calcula el volumen generado por el sólido de revolución alrededor del eje “x”, dado en cada una de las siguientes funciones, en el intervalo que se indica. Realiza la gráfica correspondiente.

17. 2 ,0 )( xxf

74


18. 1 ,1 )( 2 ttg

19. 4 ,0 )( tth

20. 0 ,3 3 xy

75


UNIDAD 2



1

dxxdu

dxxduxu 223

3 3 5

cxdxxx53432 5

15

15

2

dxdu

dxduxu 3

3 93

cxdxx 76 9321

193

3

dxedu

dxedueu xxx 2

2 21

cedxe

e xx

x

21ln2

1

21

4

dxduxu 1

cxdxx 65 16

11

5

dxxduxu cos sen

cxdxx 43 sen4

1 sen

6

dxxdu

dxxduxu 2

2 92

cxdxx

x9ln

2

3

9

3 22

7

xvdxxdvdxduxu cos sen

cxxxdxxx coscos sen

8

xvdxdvdxx

duxu 1

ln

cxxxdxx ln ln

76



9

xx evdxedvxdxduxu 2 2

dxxeexdxex xxx 222

La integral del lado derecho se realiza otra vez por partes, esto es:

xx evedvdxduxu 1111 2 2

cxxedxex xx 2222

10

xvdxxdvdxduxu sen cos 4 4

cxxxdxxx cos4sen4 cos4

11

2

5

2

5 BA

cxxdxxx

2ln2

5ln

2

5

2

52

12

2 3 BA

cxxdx

xx

x1ln24ln3

43

112

13

1 1 2 CBA

cxxxdxxxx

xx1ln2lnln2

2

4223

2

77


UNIDAD 2


14

1 ,0 )( 2)( 42 xxgxxxf

2421

0

421

0

15

7 2 )(2 udxxxxdxxxx

y

15

2 ,2 5)( 1)( 2 xgxxf

222

2

22

2

3

32 4 15 udxxdxx

y

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 1 2 3 4 x

-2

0

2

4

6

8

-3 -2 -1 1 2 3 x

78



16.

1 ,0 )( )( 2 xxgxxf

222

11

0

21

0

3

1 udxxxdxxx

y

17.

2 ,0 )( xxf

32

0

22

0

2 udxxdxxV

y x

18.

1 ,1 )( 2 ttg

3221

1

5

2udttV

y

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 x

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0.5 1 x

79


UNIDAD 2

19.

4 ,0 )( tth 324

0

3

64udttV

20.

0 ,3 3 xy

320

3

93 udxxV

Sugerencias

Si te equivocaste en los reactivos del 1 al 6, revisa los ejercicios resueltos y consulta el libro de Edwin J. Purcell y Dale Varberg. “Cálculo Diferencial e Integral”, p.p. 270-273. Si te equivocaste en los reactivos del 7 al 13, revisa los ejercicios resueltos y consulta el libro de Earl W. Swokowski. “Cálculo con Geometría Analítica”, p.p. 460-485. Si te equivocaste en los reactivos del 14 al 20 revisas los ejercicios resueltos y consulta el libro de Edwin J. Purcell y Dale Varberg. “Cálculo Diferencial e Integral”, p.p. 281-301.

Recuerda que cuu

duln

-4

-2

0

2

4

-1 1 2 3 4x

-4

-2

0

2

4

-4 -3 -2 -1 1 x

y

y


80


EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes reactivos y contesta lo que se solicita, anotando el desarrollo y la solución.

Para resolver estos ejercicios cuentas con noventa minutos. I.- Aplica las propiedades de la integral indefinida y evalúa la siguiente integral.

1. dxxxx 7642 23

2. Encuentra una antiderivada (primitiva) de la función: 25)( 3 xxf

3. Evalúa la siguiente integral indefinida.

dxxx 11

81


UNIDAD 2

4. Evalúa la siguiente integral indefinida.

dxxtan 3

II.- INSTRUCCIONES: Aplica el método de sustitución y evalúa las siguientes integrales indefinidas.

5. dx

x

x

25

22

6. dxx 15 cos

82


III.- Aplica el método correspondiente y calcula las siguientes integrales indefinidas.

7. dxxe x cos

8.

dxxxx

xx

6

62423

2

IV.- Calcula el área entre las gráficas.

9. 1)( 543

1)( 22 xxgyxxxf . Realiza la gráfica.

83


UNIDAD 2

V.- Calcula el volumen del sólido de revolución.

10. Sea 1)( 2 xxf . Calcula el volumen del sólido de revolución al girar la gráfica de la función f(x)

alrededor del eje “x” en el intervalo 2 ,0 . Realiza la gráfica.

84


CLAVE DE RESPUESTAS Número de pregunta Respuesta correcta

1 cxxxx 733

4

2

1 234

2 cxxxF 24

5)( 4

3 cxx 3

3

1

4 cxócx 3cosln3

1 3secln

3

1

5 cx 25ln 2

6 cx 15sen5

1

7 cxxe x sencos2

1

8 cxxx 2ln5

33ln

5

12ln

9

2 6 uA y

10

3 15

206uV

y

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-4 -2 2 4 x

-4

-2

0

2

4

0.5 1 1.5 2 x

85


BIBLIOGRAFÍA BOSCH GIRAL, CARLOS., GUERRA TEJADA, MANUEL. Cálculo Diferencial e Integral. 8ª

reimpresión. Publicaciones Cultural, México, 1992. SWOKOWSKI EARL W. Introducción al Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial

Iberoamérica, México, 1987. LEITHOLD LOUIS. El Cálculo con Geometría Analítica. Harla, México, 1973. PURCELL EDWIN J., VARBERG DALE. Cálculo Diferencial e Integral. Prentice Hall

Hispanoamericana, México, 1993.

86


SUGERENCIAS PARA PRESENTAR EXÁMENES DE RECUPERACIÓN O ACREDITACIÓN ESPECIAL

Para evitar cualquier contratiempo al presentar el examen de recuperación o acreditación especial debes considerar las siguientes recomendaciones: Organización: Preséntate al menos con 10 minutos de anticipación al salón indicado. Debes mostrar esta guía

resuelta al profesor aplicador. Lleva el comprobante de inscripción al examen y tu credencial actualizada. Lleva dos lápices del No. 2 ó 2 ½. No olvides una goma que no manche. Durante el examen: Lee con atención tanto las instrucciones como las preguntas y si tienes alguna duda consúltala con el

aplicador. Contesta primero las preguntas que te parezcan “fáciles” y después concentra toda tu atención en las

“difíciles”. Si te solicitan explicar o desarrollar algún tema, identifica las ideas principales que quieras exponer y

escríbelas de la manera más concreta y clara que puedas, evita el planteamiento de ideas innecesarias.

Escribe tus respuestas con letra clara, legible y sin faltas de ortografía. Al terminar de contestar el examen, revísalo nuevamente para asegurarte que todas las preguntas

estén contestadas. Centra tu atención en el examen, no trates de copiar, recuerda que el compañero de junto puede estar

equivocado.

87

La Guía para presentar exámenes de Recuperación o Acreditación Especial de

Cálculo Diferencial e Integral II se terminó de reimprimir en el mes de marzo de 2006

en los talleres del Colegio de Bachilleres. Prol. Rancho vista Hermosa Núm. 105

Col. Ex–Hacienda Coapa México, D.F.

El tiraje fue de 1 400 ejemplares más sobrantes para reposición.

COLEGIO DE BACHILLERESrepositorio.cbachilleres.edu.mx/wp-content/... · integrales indefinidas de...

Documents

Transcript of COLEGIO DE BACHILLERESrepositorio.cbachilleres.edu.mx/wp-content/... · integrales indefinidas de...