Integrales indefinidas resueltas Matem.II

INTEGRALES INDEFINIDAS RESUELTAS

1

RELACIÓN DE EJERCICIOS DE INTEGRALES.

1. ∫ dxx 5

kx

kx

dxx +=++

=+

∫ 615

6155

2. ∫ + dxxx )(

=++=++=++

++

=+=+++

∫∫ kxx

kxx

kxx

dxxxdxxx3

22

2321

2111

)()(322

32

12

111

2/1

kxxx ++=

32

2

2

3. dxxx

x∫

−

43

Sol: kxxx +− 2

101

6

=+⋅−⋅=++

⋅−+−

⋅=−=

−

++−−

∫∫ kxx

kxx

dxxxdxxx

x254

1

21

31

234

1

121

3)41

3(4

3 2

5

2

11

2

31

2

1

2

3

2

1

kxxxkx

x +−=+−= 25

101

652

16

4. ∫ x

dxx 2

Sol: kxx +2

52

kxx

kx

kx

kx

dxxdx

x

x

x

dxx +=+=+=++

===+

∫∫∫ 52

52

25

123

252

51

2

3

2

3

2

1

22

5. dxxxx∫

++ 241

2 Sol: kx

xx++−− 2

81

=+++−

++−

=++=

+++−+−−−∫∫ kx

xxdxxxdx

xxx2

123

412

)24(241

12

312

2

32

2

kxxx

kx

xx

kxxx ++−−=++⋅−−=++−

+−

=−−

281

21

81

2

21

41

2

1

2

11


2

6. ∫ 4 x

dx Sol: kx +4 3

34

kxkx

kx

kx

dxxx

dx +=+=+=++−

==+−

−

∫∫ 4 34

3

4

31

4

1

4

1

4 34

34

43

141

7. dxx

x2

3

2 1∫

+ Sol: kxxxx +++ 33 22

5

343

5

=++⋅+=++=

+=

+ ∫∫∫−−

Kxxx

dxxxxdxxxdxx

x

31

38

25

).2(1 3

1

3

85

3

2

3

54

2

3

12

2

3

2

=++⋅+⋅=++⋅+⋅= KxxxKxxx 33 853

1

3

85 .3

43

51

.343

51

Kxxxx ++⋅+⋅= 33 225 .3.43

51

8. dxxxL ⋅∫ Sol: kxL +2

21

kx

dxffdxx

xdxx

x +=

⋅=⋅⋅=⋅ ∫∫∫ 2

))(Ln('

1)Ln(

)Ln( 2αααα

9. ∫ ⋅⋅ dxxx 2sec tg Sol: kx +⋅ tg21 2

kx

dxffdxxx +=

⋅=⋅⋅ ∫∫ 2

) tg('sec tg

212

10. ∫ ⋅⋅ dxxx cos sen2 Sol: kx +

3 sen3

kx

dxffdxxx +=

⋅==⋅⋅ ∫∫ 3

sen'cos sen

322

11. dxxx ⋅⋅∫ sencos3 Sol: kx +−

4 cos4

kx

dxxxdxxxff

+=⋅−⋅−=⋅⋅ ∫∫ 4cos

) sen(cos sencos4

'

33

3��


3

12. dxxx ⋅+∫ 12 Sol: kx ++ 32 )1(31

�k

xk

xdxxxdxxx

ff

++

=++⋅=+⋅=⋅+ ∫∫ 3

)1(

23

)1(21

)1(221

1322

32

2

12

'

2

2/1

��

13. ∫ + 32 2x

xdx Sol: kx ++ 32

21 2

�kxk

xdxxx

x

xdx

ff

++=++⋅=+⋅=+ ∫∫

−

−32

21

21

)32(41

)32(441

322

2

12

2

12

'2

2/1

�� o

kxkfdxf

f

x

xdx

x

xdx ++=

+==+

=+ ∫∫∫ 32

21

2

'

322

442

322

22

14. ∫ + 13

2

x

dxx Sol: kx ++ 1

32 3

kxkx

dxxxdxxxx

dxx ++=++⋅=+=+=+ ∫∫∫

−−1

32

21

)1(31

)1(331

)1(1

32

13

2

1322

132

3

2

kxkfdxf

f

x

dxx

x

dxx ++=

+==+

=+ ∫∫∫ 1

32

2

'

12

332

13

3

2

3

2

15. dxx

x∫ ⋅

sencos

2 Sol: k

x+−

sen1

�k

xk

xdxxxdx

x

x

ff

+−=+−

=⋅=⋅−

−∫∫ − sen1

1 sen

sencos sen

cos 12

'2

2

��

16. ∫ +⋅ dxxx 42 )1( Sol: kx ++

10)1( 52

�k

xk

xdxxxdxxx

ff

++=++⋅=+⋅=+⋅ ∫∫ 10)1(

5)1(

21

)1(221

)1(5252

42

'

42

4

��

17. dxx

x ⋅∫ 3cos sen

Sol: kx

+2cos2

1

kx

kx

dxxxdxx

x

ff

+=+−

−=⋅−−=⋅−

−∫∫ −2

23

'3 cos2

12

coscos sen

cos sen

3

��


4

18. dxx

x ⋅∫ 2cos

tg Sol: k

x +2 tg 2

�k

xdx

xxdx

x

x

ff

+=⋅⋅=⋅ ∫∫ 2 tg

cos1

tgcos

tg 2

'

221 ��

19. dxx

x ⋅∫ 2sen cotg

Sol: kx +−

2 cotg2

kx

dxx

xdxx

x +−=⋅−⋅−=⋅ ∫∫ 2 cotg

sen

1 cotg

sen

cotg 2

22

20. dxxx

⋅−∫ 1 tgcos

12

Sol: kx +−1 tg2

kxkx

dxxx

dxxx

+−=+−=⋅−⋅=⋅−

−

∫∫ 1 tg2

21

)1 tg()1 tg(

cos1

1 tgcos

1 2

1

2

1

22

21. ∫ ++

dxxx

1)1( L

Sol: kx ++2

)1( L2

kx

dxx

xdxxx

ff

++=+

⋅+=++

∫∫ 2)1( L

11

)1( L1

)1( L 2

'1 ��

��

22. ∫ +dx

x

x

1 sen2

cos Sol: kx ++ 1 sen2

kxkx

dxxxdxx

x

ff

++=++⋅=+=+ ∫∫

−

−1 sen2

21

)1 sen2(21

)1 sen2(cos221

1 sen2

cos 2

1

2

1

' 2/1

��

23. dxx

x∫ + 2)2cos1(

2 sen Sol: k

x+

+ )2cos1(21

=+−

+⋅−=+⋅−−=+

−−∫∫ k

xdxxxdx

x

x1

)2cos1(21

)2cos1(2 sen221

)2cos1(2 sen 1

22

kx

++

=)2cos1(2

1


5

24. dxx

x∫ + 2sen1

2sen Sol: kx ++ 2sen12

=+⋅=+=+ ∫∫∫

−

−−dxxxxdxxxdx

x

x

ff��

2/1

2

12

'

2

12

2)sen1(cos2sen)sen1(2sen

sen1

2sen

kxkx ++=++= 2

2

12

sen12

21

)sen1(

25. dxx

x⋅

+∫ 2cos

1 tg Sol: kx ++ 3)1 (tg

32

kxkx

dxx

xdxx

x++=++=⋅⋅+=⋅

+∫∫ 3

2

3

22

1

2)1 (tg

32

23

)1 tg(

cos

1)1 tg(

cos

1 tg

26. dxx

x∫ + 3)2 sen32(

2 cos Sol: k

x+

+−

2)2 sen32(

1121

=+−

+⋅=+⋅=+

−−∫∫ k

xdxxxdx

x

x2

)2 sen32(61

)2 sen32(2cos661

)2 sen32(2 cos 2

33

kx

++

−=2)2 sen32(

1121

27. dxx

x∫ 3 4 3cos

3 sen Sol: k

x+

3 3cos

1

kx

kx

dxxxdxx

x

ff

+=+−

⋅−=−−=−

−

∫∫ −3

3

1

3

4

'3 4 3cos

1

313cos

31

3cos3 3sen31

3cos

3 sen

3/4

��

28. 2Ln x dx

x∫ Sol: 3Ln

3

xk+

2 32Ln 1 Ln

Ln3

x dx xx dx k

x x= = +∫ ∫


6

29. ∫ − 21

sen arc

x

dxx Sol: k

x +2

sen arc 2

kx

dxx

xx

dxx +=−

=− ∫∫ 2

sen arc

1

1 sen arc

1

sen arc 2

22

30. ∫ − 2

2

1

cos arc

x

dxx Sol: k

x +−3

cos arc 3

kx

dxx

xx

dxx +−=−−−=

− ∫∫ 3 cos arc

1

1 cos arc

1

cos arc 3

2

2

2

2

31. ∫ +dx

x

x21

tg arc Sol: k

x +2

tg arc 2

kx

dxx

xdxx

x +=+

⋅=+ ∫∫ 2

tg arc

1

1 tg arc

1

tg arc 2

22

32. ∫ +dx

x

x21

ctg arc Sol: k

x +−2

ctg arc 2

kx

dxx

xdxx

x +−=+−⋅−=

+ ∫∫ 2 ctg arc

1

1 ctg arc

1

ctg arc 2

22

33. dxx

x∫ + 12

Sol: kx ++ )1(Ln21 2

kxkfdxff

dxx

xdx

x

x ++=

+==+

=+ ∫∫∫ )1(Ln

21

Ln'

1

221

12

22

34. ∫ − xdx

1 Sol: kx +−− 1 Ln

kxkfdxff

dxxx

dx +−−=

+==⋅−−−=

− ∫∫∫ 1LnLn'

11

1

35. ∫ − 73xdx

Sol: kx +− 73 L31

kxkfdxff

dxxx

dx +−=

+==⋅−

=− ∫∫∫ 73Ln

31

Ln'

733

31

73


7

36. ∫ − xdx

25 Sol: kx +−− 25 L

21

kxkfdxff

dxxx

dx +−−=

+==⋅−−−=

− ∫∫∫ 25Ln21

Ln'

252

21

25

37. dxxx

x∫ ++

+32

12

Sol: kxx +++ 32 L21 2

kxxdxxx

xdx

xx

xdx

xx

x +++=++

+=++

+=++

+∫∫∫ 32 L

21

3222

21

32)1(2

21

321 2

222

38. Ln

dx

x x⋅∫ Sol: kx + Ln Ln

1'

Ln | | Ln | Ln |Ln Ln

dxdx fx dx f k x kx x x f

= = = + = + ⋅ ∫ ∫ ∫

39. ∫ dxx tg Sol: kx +− cos Ln

∫∫ ∫ +−=⋅−−=⋅=⋅ Kxdxxx

dxxx

dxx cos Lncos

sencos

sen tg

40. ∫ dxx2 tg Sol: kx +− 2cos L21

∫∫ ∫ +−=⋅−−=⋅=⋅ Kxdxx

xdx

xx

dxx 2cos Ln21

2cos2 sen2

21

2cos2 sen

2 tg

41. ∫ dxx ctg Sol: kx + sen Ln

Kxdxxx

dxx +=⋅=⋅∫ ∫ sen Ln sen

cos ctg

42. ∫ − dxx )7(5 ctg Sol: kx +− )7(5 sen L51

Kxdxxx

dxxx

dxx +−=⋅−−=⋅

−−=⋅− ∫∫ ∫ )7(5 sen Ln

51

)7(5 sen)7(5cos5

51

)7(5 sen)7(5cos

)7(5 ctg

43. ∫ xdx

3 ctg Sol: kx +− 3 cos L

31

∫∫ ∫∫ +−=⋅−−=⋅=⋅= Kxdxx

xdx

xx

dxxx

dx3cos Ln

31

3cos3 sen3

31

3cos3 sen

3 tg3 ctg


8

44. ∫ dxx3

ctg Sol: kx +3

sen 3L

Kx

dxx

x

dxx

x

dxx +⋅=⋅=⋅=⋅ ∫∫ ∫ 3

sen Ln3

3 sen

3cos

31

3

3 sen

3cos

3 ctg

45. ∫ dxee xx ) (ctg Sol: ke x + sen L

Kedxe

eedxee x

x

xxxx +=⋅=⋅∫ ∫ sen Ln

sen

)(cos) (ctg

46. ∫

− dxx

x4

ctg4 tg Sol: kx

x +−−4

sen Ln44 cos Ln41

:Sol

∫ ∫∫∫ =−=

−=

− dxx

x

dxxx

dxx

x

xx

dxx

x

4 sen

4cos

4cos4 sen

4 sen

4cos

4cos4 sen

4ctg4 tg

kx

xdxx

x

dxx

x +−−=−−−= ∫ ∫ 4 sen Ln 44cos Ln

41

4 sen

4cos

41

44cos

4 sen441

47. dxxx

∫ + 3 sen2cos

Sol: kx ++ )3 sen2( Ln21

kxdxx

xdx

xx ++=

+=

+ ∫∫ )3 sen2( Ln21

3 sen2cos2

21

3 sen2cos

48. ∫ + xx

dx

tg arc)1( 2 Sol: kx + tg arc Ln

kxdxx

xxx

dx +=+=+ ∫∫ tg arc Ln

tg arc1

1

tg arc)1(

2

2

49. ∫ + )1 tg3(cos2 xx

dx Sol: kx ++ )1 tg3( Ln

31

kxdxx

xdxx

xxx

dx ++=+

=+

=+ ∫∫∫ )1 tg3( Ln

31

1 tg3cos

3

31

1 tg3cos

1

)1 tg3(cos

22

2


9

50. ∫ − xx

dx

sen arc1 2 Sol: kx + sen arc Ln

kxdxx

x

xx

dx +=−=− ∫∫ sen arc Ln

sen arc1

1

sen arc1

2

2

51. dxx

x∫ + 2 sen32

2cos Sol: kx ++ 2 sen32 Ln

61

kxdxx

xdx

xx ++=

+=

+ ∫∫ 2 sen32 Ln61

2 sen322cos6

61

2 sen322cos

52. ∫ dxe x2 Sol: ke x +2

21

kekedxefdxedxe xffxx +=

+=== ∫∫∫ 222

21

'221

53. ∫ dxex

2 Sol: kex

+22

kekedxefdxedxex

ffxx

+=

+=== ∫∫∫ 222 2'

21

2

54. ∫ dxxe x cos sen Sol: ke x + sen

kekedxefdxxe xffx +=

+== ∫∫ sen sen 'cos

55. 2xa x dx⋅ ⋅∫ Sol: k

aa x

+ L2

2

kaa

dxaxaa

dxxa x

aD

xx

x

+=⋅=⋅ ∫∫2

2

22

Ln21

Ln2 Ln2

1

)(

��

56. ∫ dxe a

x

Sol: kae a

x

+

kaedxea

adxe a

x

a

x

a

x

+== ∫∫1


10

57. ( )∫ dxe x 22 Sol: ke x +4

41

( ) kedxedxedxe xxxx +=== ∫∫∫ 44422

41

441

58. ∫ − dxe x3 Sol: ke x +− −3

31

kedxedxe xxx +−=−−= −−− ∫∫ 333

31

)3(31

59. ∫ dxe xx5 Sol: ke xx

++ 15 Ln

5

ke

kee

dxeee

dxedxexx

xxxxx ++

=+=== ∫∫∫ 15Ln5

)5()5(Ln

1)5(Ln)5(

)5(Ln1

)5(5

60. ( )∫ + dxae xx 55 Sol: ka

ae

xx +

+

L51 5

5

( ) =+⋅+=+=+ ∫ ∫∫ kaa

exdaaa

dxedxae xxxxxx 555555

Ln 51

51

Ln5 Ln 5

15

51

ka

ae

xx +

+=

L51 5

5

61. ∫ +++ dxxe xx )2(342

Sol: ke xx +++ 342

21

kedxxedxxe xxxxxx +=+=+ ++++++ ∫∫ 343434 222

21

)2(221

)2(

62. dxba

baxx

xx

∫− 2)(

Sol: kxba

ab

ba

xx

+−−

−

2 L L

=

−+=

−+=+−=−

∫∫∫∫ dxa

b

b

adx

ba

b

ba

adx

ba

bbaadx

ba

bax

x

x

x

xx

x

xx

x

xx

xxxx

xx

xx

222)( 22222

=+−

⋅

+

⋅

=

−

+

= ∫ kxab

abb

a

ba

dxab

ba

xxxx

2Ln

1

Ln

12


11

=+−

⋅−

+

⋅−

= kxab

abba

ba

xx

2 Ln Ln

1 Ln Ln

1

kxba

ab

ba

kxba

ab

baba

xxxx

+−−

−

=+−−

−−

= 2 L L

2 Ln Ln Ln Ln

63. ∫ +dx

e

ex

x

43 Sol: ke x ++ )43( Ln

41

kedxe

edx

e

e xx

x

x

x

++=+

=+ ∫∫ )43( Ln

41

43

441

43

64. ∫ xdx5cos Sol: kx +5sen 5

1

kxkxfdxxfxfxdxxdx +=

+=⋅== ∫∫∫ 5 sen

51

)( sen)(cos)('5cos551

5cos

65. dxx

∫ 3sen Sol: k

x +−3

cos3

=+−=

+−=⋅== ∫∫∫ k

xkxfdxxfxfdx

xdx

x)

3cos(3)( cos)( sen)('

3sen

31

33

sen

kx +−=3

cos3

66. dxx )27(sec2 +∫ Sol: kx ++ )27( tg71

=

+==+=+ ∫∫∫ kxfdxxfxfdxxdxx )( tg)(sec)(')27(sec7

71

)27(sec 222

kx ++= )27( tg71

67. ∫ dxxx 23cos Sol: kx +23 sen61

kxdxxxdxxx +== ∫∫ )3( sen61

)3cos(661

)3cos( 222


12

68. ∫ dxx tg 2 Sol: kxx +− tg

Por trigonometría sabemos que ,1sectgsec1tg 2222 −=⇒=+ xxxx entonces

kxxdxdxxdxxdxx +−=−=−= ∫∫∫∫ tgsec)1(sec tg 222

69. ( )cos Ln( )x

dxx∫ Sol: ( )sen Ln( )x k+

( ) ( ) ( )cos Ln( ) 1cos Ln( ) sen Ln( )

xdx x dx x k

x x= = +∫ ∫

70. ∫ dxx tg 3 Sol: kxx ++ cosLn

2 tg 2

�=−⋅=−⋅=⋅= ∫∫∫∫∫ dxxdxxxdxxxdxxxdxx

ff

tgsec tg)1(sec tgtg tg tg 2223

1

��

kxx

dxxxx

dxxxx ++=−+=−= ∫ ∫ cosLn

2 tg

cos sen

2 tg

cos sen

2 tg 222

71. ∫ x

dxxcos Sol: kx +sen2

kxdxx

xdxx

xx

dxx +=== ∫∫∫ sen2

2

1cos2

1coscos

72. dxx

x∫ − 41

Sol: kx +2 sen arc21

=

+−+=

−=

−=

− ∫∫∫ kxfkxfdx

xf

xfdx

x

xdx

x

x)(arccos

)( sen arc

))((1

)('

)(11 2224

kxxf

dxxfdx

x

x +=

−=

−= ∫∫ )( sen arc

21

))((1

)('

)(1

221 2

222

73. ∫ − 241 x

dx Sol: kx +)(2 sen arc

21

kxxf

dxxf

x

dx

x

dx

x

dx +=

−=

−=

−=

− ∫∫∫∫ )(2 sen arc21

))((1

)('

)2(1

221

)2(141 2222


13

74. ∫ − 249 x

dx Sol: k

x +)3

2( sen arc

21

∫∫∫∫∫ =

−

⋅=

−

=

−

=−

=− 22222

32

1

32

23

31

32

131

32

13)9

41(9

49 x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

kx

xf

dxxf

x

dx+=

−=

−

= ∫∫ )3

2( sen arc

21

))((1

)('

32

1

32

21

22

75. ∫ − 222 xba

dx Sol: k

abx

b+)( sen arc

1

∫∫∫∫∫ =

−

⋅=

−

=

−

=−

=− 222

2

222

222

1

1

1

1

1)1(a

bx

dxab

ba

a

abx

dxa

abx

a

dx

a

xba

dx

xba

dx

ka

bxbxf

dxxf

abx

dxab

b+=

−=

−

= ∫∫ )( sen arc1

))((1

)('

1

122

76. dxe

ex

x

∫ + 43 Sol: ke x ++ )43( Ln

41

kedxxfxf

dxe

edx

e

e xx

x

x

x

++=

=+

=+ ∫∫∫ )43( Ln

41

)()('

434

41

43

77. dxe

ex

x

∫ + 2

2

2 Sol: ke x ++ )2( Ln

21 2

kedxxfxf

dxe

edx

e

e xx

x

x

x

++=

=+

=+ ∫∫∫ )2( Ln

21

)()('

22

21

22

2

2

2

2

78. dxe

ex

x

∫ + 21 Sol: ke x +)( tg arc

kekxfdxxf

xfdx

e

edx

e

e xx

x

x

x

+=

+=+

=+

=+ ∫∫∫ )( tg arc)( tg arc

))((1

)('

)(11 222


14

79. ∫ + 221 x

dx Sol: kx +)2( tg arc

2

1

kxdxxf

xf

x

dx

x

dx

x

dx +=

+=

+=

+=

+ ∫∫∫∫ )2( tg arc2

1

))((1

)('

)2(1

2

2

1

)2(121 2222

80. ∫ + 24 x

dx Sol: k

x +)2

( tg arc21

kx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx +=

+⋅=

+=

+=

+ ∫∫∫∫ )2

( tg arc21

21

21

241

21

41

)4

1(44 2222

81. ∫ + 44 ax

xdx Sol: k

a

x

a+)( tg arc

2

12

2

2

=

+

⋅=

+

=+

=+

=+ ∫∫∫∫∫ 2

2

2

22

42

2

24

4

44

4

44

44

1

2

21

1

1

1

1

)1(a

x

dxa

xa

a

a

x

xdx

a

a

x

xdx

a

a

xa

xdx

ax

xdx

ka

x

a

a

x

dxa

x

a+=

+

= ∫ )( tg arc2

1

1

2

2

12

2

22

2

2

2

2

82. ∫ + xa

xdx22 sen

cos Sol: k

ax

a+)

sen( tg arc

1

=

+=

+=

+=

+ ∫∫∫∫ 22

2

22

2

22

22 sen

1

cos1

sen1

cos1

)sen

1(

cos

sen

cos

ax

xdx

a

a

x

xdx

a

a

xa

xdx

xa

xdx

ka

xa

ax

xdxa

a

ax

xdxaa

a+=

+=

+⋅= ∫∫ )

sen( tg arc

1

sen1

cos1

1

sen1

cos1

1222


15

83. ∫ − )(Ln1 2 xx

dx Sol: kx +))(Ln( sen arc

kxxf

dxxf

x

dxx

xx

dx +=

−=

−=

− ∫∫∫ ))(Ln( sen arc))((1

)('

))( Ln(1

1

)(Ln1 222

84. dxx

xx∫ −

−21

arccos Sol: kxx +−+− 22 1))(arccos(

21

=−

−+−−−=

−−+

−=

−−

∫∫∫∫∫ dxx

xdx

xxdx

x

xdx

x

xdx

x

xx

f

f2

'

2222 12

2

1

1arccos

11

arccos

1

arccos

1��

��

kxxdxf

fdxff +−+−=

+⋅= ∫ ∫ 221 1))(arccos(21

2

''

85. dxx

xx∫ +

−21

arctg Sol: kxx +−+ 22 ) arctg(

21

)1Ln(21

=+

−+

=+

−+

=+

−∫∫∫∫∫ dx

xxdx

x

xdx

x

xdx

x

xdx

x

xx22222 1

1 arctg

12

21

1 arctg

11 arctg

kxxdxffdxxfxf +−+=

⋅−= ∫∫ 221 ) arctg(21

)1Ln(21

')()('

86. dxx

x∫

+1 Sol: kx ++ 3)1(

34

( ) =

⋅=+=+=+∫∫∫∫ dxffdxx

xdxx

xdx

x

x'1

2

121

11 2

12

1

( )kxk

x ++=++⋅= 32

3

)1(34

23

12

Veamos como podemos realizar esta misma integral por el método de sustitución o cambio

de variable.

Haciendo el cambio tx =+1 , calculamos dx: dtxdxdtdxx

22

1 =⇒= y

sustituimos en nuestra integral:


16

=+=+=+===⋅=+∫∫ ∫∫ ktktk

tdttdttdtx

x

tdx

x

x 32

32

3

2

1

34

34

23

22221

una vez realizada la integral hay que deshacer el cambio de variable y volver a la variable x,

con lo que nos quedará:

kx ++= 3)1(34

87. dxxx∫ +1

1 Sol: kx ++14

( ) =

⋅=+=+

=+ ∫∫∫∫

−−

dxffdxxx

dxxx

dxxx

'12

12

1

11

1

1 2

12

1

( )kxk

x ++=++⋅= 14

21

12

2

1

Veamos como podemos realizar esta misma integral por el método de sustitución o cambio

de variable.

Haciendo el cambio tx =+1 , calculamos dx: dtxdxdtdxx

22

1 =⇒= y

sustituimos en nuestra integral:

=+=+=+===⋅=+ ∫∫ ∫∫

−ktktk

tdttdt

tdtx

txdx

xx44

21

221

221

1

1 2

12

1

2

1

una vez realizada la integral hay que deshacer el cambio de variable y volver a la variable x,

con lo que nos quedará:

kx ++= 14

88. ∫ − dxxx 1 Sol: kxx +−+− 2

3

2

5

)1(32

)1(52

Hacemos la sustitución 1 1 22 +=⇒=− txtx

Calculamos la diferencial de x: dttdx .2= y sustituimos en la integral que deseamos calcular. Tendremos:


17

=+

+=+=+=⋅+=⋅− ∫∫ ∫∫ k

ttdtttdttttdtttdxxx

352).(2.).1(22).1(1.

35242222

kxxktt +−⋅+−⋅=+⋅+⋅= 2

3

2

535 )1(

32

)1(52

32

52

89. ∫ − dxxx 72 )35( Sol: kx +− 82 )35(801

Directamente:

=+−⋅=

⋅=−=− ∫∫∫ k

xdxffdxxxdxxx

8)35(

101

')35(10101

)35(82

77272

kx +−= 82 )35(801

Por sustitución:

Hacemos x

dtdxdtxdxtx

101035 2 =⇒=⇒=− y sustituimos en nuestra integral

kxkt

dttx

dtxtdxxx +−=+⋅===− ∫∫∫ 82

87772 )35(

801

8101

101

10)35(

90. ∫ + dxxx 10)52( Sol: kxx +

+−+11

)52(512

)52(41 1112

Por sustitución:

Hacemos dtdxt

xtx21

25

52 =⇒−=⇒=+ y sustituimos en nuestra integral

=−=−=⋅⋅−=+ ∫∫∫∫ dtttdtttdttt

dxxx )5(41

)5(41

21

25

)52( 1011101010

kxx

ktt +

+−+=+

⋅−=

11)52(5

12)52(

41

115

1241 11121112

91. ∫ dxxe x Sol: kxe x +− )1(

Por el método de integración por partes:

kexkexedxexeevdxedv

dxduxudxxe xxxxx

xxx +−=+−=−=

=⇒==⇒== ∫∫ )1(


18

92. ∫ +−= dxexxI x)53( 2 Sol: kxxe x ++− )105( 2


=

=⇒=−=⇒+−==+−= ∫ xx

x

evdxedvdxxduxxu

dxexxI)32(53)53(

22

2( 3 5) (2 3)x xx x e e x dx= − + − − =∫

La integral que nos ha quedado es del mismo tipo que la que pretendemos calcular, por lo

que nuevamente aplicaremos el método de integración de partes:

Hacemos

=⇒==⇒−=

xx evdxedvdxduxu 232

y sustituimos:

=

−−−+−=−−+−= ∫∫ dxeexexxdxxeexxI xxxxx 232()53()32()53( 22

=++−−+−=+−−+−= ∫ keexexxdxeexexx xxxxxx 2)32()53(2)32()53( 22

[ ] kxxekexxx xx ++−=++−−+−= )105(2)32()53( 22

93. ∫ dxxx )Ln( Sol: kxx +

−21

)(Ln21 2


=⋅−=

=⇒=

=⇒== ∫∫ dx

xxxx

xvxdxdv

dxx

duxudxxx

121

)Ln(21

21

1)Ln(

)Ln( 22

2

kxxkxxxdxxxx +

−=+⋅−=−= ∫ 21

)Ln(21

21

21

)Ln(21

21

)Ln(21 2222

94. ∫ dxx)Ln( Sol: ( ) kxx +− 1)(Ln


=⋅−=

=⇒=

=⇒== ∫∫ dxx

xxxxvdxdv

dxx

duxudxx1

)Ln(1

)Ln()Ln(


19

( ) kxxkxxxdxxx +−=+−=−= ∫ 1)Ln()Ln()Ln(

95. ∫ dxxx sen Sol: kxxx +− cos sen


=−−−=

−=⇒==⇒== ∫∫ dxxxx

xvdxxdvdxduxu

dxxx coscoscos sen

sen

kxxxdxxxx ++−=+−= ∫ sencoscoscos

96. ∫ dxxx 2cos Sol: kxxxx +++ 2cos

81

2 sen 41

4

2

Por el método de integración por partes, hacemos dxduxu =⇒= y xdxdv 2cos=

Para calcular el valor de v recurrimos a las razones trigonométricas del ángulo mitad y

tendremos que 2

2cos1cos2 x

x+= . Por tanto,

)2 sen21

(21

)2cos1(21

22cos1

cos2 xxdxxdxx

xdxv +=+=+== ∫∫∫

En consecuencia:

=+−+⋅= ∫∫ dxxxxxxdxxx )2 sen21

(21

)2 sen21

(21

cos2

=+

−⋅−+=+−+= ∫ kx

xxxxdxxxxxx 2cos

41

221

)2 sen21

(21

)2 sen21

(21

)2 sen21

(21 2

22

kxxxx

kxx

xxx +++=++−+= 2cos81

2 sen 41

42cos

81

42 sen

41

21 22

2

97. ∫ − xdxe x cos Sol: kxxe x +−− )cossen (2

1

=−−=

=⇒=−=⇒=== ∫∫ −−

−−− xdxexe

xvxdxdvdxedueuxdxeI xx

xxx sen sen

sencoscos

∫ −− += xdxexe xx sen sen


20

Al aplicar el método de partes nos ha quedado una integral del mismo tipo que la que

pretendemos calcular, por lo que volvemos a aplicar el mismo método. En ella hacemos:

sen cos

x xu e du e dx

dv x dx v x

− −= ⇒ = −= ⇒ = −

Sustituyendo en la expresión anterior nos queda:

=

−⋅−−⋅−+=+= ∫∫ −−−−− dxexexxexdxexeI xxxxx )(coscos sen sen sen

∫ −−− ⋅−⋅−= dxexexxe xxx coscos sen

es decir, volvemos a la misma integral que pretendemos calcular. Entonces:

(sen cos )sen cos 2 sen cos

2

xx x x x e x x

I e x x e I I e x x e I−

− − − − −= − ⋅ − ⇒ = − ⋅ ⇒ =

En consecuencia:

kxxe

xdxeIx

x +−==−

−∫ 2)cos (sen

cos

98. ∫ − dxx)Ln(1 Sol: kxxx +−−−− )1(Ln)1(

=−−⋅−−=

=⇒=−−=⇒−==− ∫∫ dx

xxxx

xvdxdv

dxx

duxudxx1

1)Ln(11

1)Ln(1)Ln(1

∫∫∫ =

−−+−−=

−−−−−=

−−−−= dx

xxxdx

xx

xxdxx

xxx

11

1)Ln(11

11)Ln(1

1)Ln(1

( ) =+−−−−=+−+−−= kxxxxkxxxx )Ln(1)Ln(1)Ln(1)Ln(1

kxxx +−−−−= )1(Ln)1(


21

99. ∫ dxxx n )Ln( Sol: kn

xnx n

+

+−

+

+

11

)(Ln1

1


=⋅+

−+

=

+=⇒=

=⇒== ∫∫ ++

+dx

xx

nxx

nxn

vdxxdv

dxx

duxudxxx nn

nn

n 11

1)Ln(

11

11

1)Ln(

)Ln( 11

1

=++

⋅+

−+

=+

−+

= +++ ∫ kxnn

xxn

dxxn

xxn

nnnn 111

11

11

)Ln(1

11

1)Ln(

11

kn

xnx n

+

+−

+=

+

11

)(Ln1

1

100. dxx∫ sen arc Sol: kxxx +−+ 21 arcsen

Hacemos el siguiente cambio:

=

⋅−

=⇒

==

xv

dxx

dudxdv

xu21

1 sen arc

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes obtenemos:

=−−=⋅−

⋅−= ∫∫∫−

dxxxxxdxx

xxxdxx .)1.( sen arc.1

1 sen arc.. sen arc 2

12

2

=+−⋅+=−−+= ∫−

kx

xxdxxxxx

21

)1(21

sen arc..)1.(221

sen arc.2

12

2

12

kxxx +−+= 21 sen arc.

101. dxx∫ − 21 Sol: ( ) kxxx +−+ 21arcsen 2

1

=−

−+−

=−

−=− ∫∫∫∫ dxx

xdx

xdx

x

xdxx

2

2

22

22

11

1

1

11

=⋅−

−+= ∫ dxx

xx

2

2

1 sen arc

La integral que nos queda la realizaremos por partes:


22

=

−=⇒−

−=

⇒==⋅

−−⋅=⋅

−−

∫∫ 2

222

2

1111 xvdx

x

xdv

dxxudx

x

xxdx

x

x

∫ −−−= dxxxx 22 11

Sustituyendo nos queda:

∫∫∫ −−−+=⋅−

−+=− dxxxxxdxx

xxdxx 22

2

22 11 sen arc

1 sen arc1

y se nos repite la misma integral. Entonces:

∫∫ −−−+=− dxxxxxdxx 222 11 sen arc1 ⇒

( ) kxxxdxxxxxdxx +−+=−⇒−+=−⇒ ∫∫ 2222 1 sen arc21

11 sen arc12

102. dxxx∫ sen arc Sol: [ ] kxxxx +−+− 22 1 arcsen)12(41

Hacemos el siguiente cambio:

=

⋅−

=⇒

==

2

1

1 sen arc

2

2

xv

dxx

du

xdxdvxu

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes obtenemos:

=−

−+⋅=⋅−

⋅−⋅=⋅ ∫∫∫ dxx

xx

xdx

x

xx

xdxxx

2

22

2

22

121

sen arc21

12

sen arc2

sen arc

Por el ejercicio anterior tenemos que :

=

−=⇒−

−=

⇒==⋅

−−⋅=⋅

−−

∫∫ 2

222

2

1111 xvdx

x

xdv

dxxudx

x

xxdx

x

x

22 2 2

2

11 1 1

1

xx x x dx x x dx

x

−= − − − = − − ⇒−∫ ∫


23

∫∫∫∫ −−−−−=

−−−

−−−=

−−

dxx

xxxxdx

x

xdx

xxxdx

x

x2

22

2

2

2

2

2

2

1 sen arc1

11

11

1

En consecuencia:

∫∫ −−−−−=

−−

dxx

xxxxdx

x

x2

22

2

2

1 sen arc1

1

Por tanto:

( )xxxdxx

xxxxdx

x

x sen arc1

21

1 sen arc1

12 2

2

22

2

2

−−=−

−⇒−−=

−−

∫∫

Sustituyendo obtenemos:

=−

−+⋅=⋅ ∫∫ dxx

xx

xdxxx

2

22

121

sen arc2

sen arc

( ) =+−−⋅+⋅= kxxxxx

sen arc121

21

sen arc2

22

=+−−+⋅= kxxxxx

sen arc41

141

sen arc2

22

[ ] kxxxx +−+−= 22 1 arcsen)12(41

103. ∫ xdx tg arc Sol: kxxx ++− )1(Ln 21

tg arc 2

∫∫ =+

⋅−⋅=

=⇒=+

=⇒== dxx

xxxxvdxdv

dxx

duxuxdx2

2

1

1 tg arc1

1 tg arc tg arc

kxxxdxx

xxxdx

x

xxx ++−⋅=

+−⋅=

+−⋅= ∫∫ )1( Ln

21

tg arc1

221

tg arc1

tg arc 222

104. ∫ dxx tg arc Sol: kxxx +−+ tg arc )1(

∫∫ =⋅+

−=

=⇒=

⋅+

=⇒== dxxx

xxxxvdxdv

dxxx

duxudxx

2

11

1 tg arc2

11

1 tg arc

tg arc

=⋅+

−=

=⇒⇒==⋅

+−= ∫∫ tdt

t

txx

tdtdxtxdx

xx

xx 212

1 tg arc

2121

tg arc2

2


24

=+

−+−=+

−= ∫∫ dtt

txxdt

t

txx

2

2

2

2

1

11 tg arc

1 tg arc

=

+−−=

+−+−= ∫∫ dt

txxdt

t

txx

22

2

11

1 tg arc1

11 tg arc

=++−=+

+−= ∫∫ kttxxdtt

dtxx tg arc tg arc1

1 tg arc

2

kxxxkxxxx +−+=++−= tg arc)1( tg arc tg arc

105. dxxx )1( Ln 2∫ ++ Sol: kxxxx ++−++ 22 1)1( Ln

Hacemos: )1( Ln 2xxu ++= y dxdv = con lo cual

⇒

++⋅

++=

++⋅

++= dx

x

x

xxdx

x

x

xxdu

2222 11

1

1

12

21

1

1

dxx

dxx

xx

xxdu

22

2

2 1

1

1

1

1

1

+=

+++⋅

++=⇒ y xv =

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes, obtenemos:

=+

⋅−++⋅=++ ∫∫ dxx

xxxxdxxx2

22

1

1)1( Ln)1( Ln

kxxxxdxx

xxxx ++−++⋅=

+−++⋅= ∫ 22

2

2 1)1( Ln12

2)1( Ln

106. dxx

xx∫ − 21

sen arc Sol: kxxx +−− sen arc1 2

=

−−=−

−−=⇒−

=

−=⇒=

=− ∫

∫ 2

22

2

21

12

2

1

1

1 sen arc

1

sen arc

xdxx

xvdx

x

xdv

dxx

duxu

dxx

xx

=+⋅−−=−

⋅−−−⋅−−= ∫∫ dxxxdxx

xxx sen arc11

11 sen arc1 2

2

22

kxxx ++⋅−−= sen arc1 2


25

107. ∫ −−−

dxxx

x)2)(1(

12 Sol:

3( 2)Ln

1

xk

x

− +−

Tenemos una integral de tipo racional donde el grado del numerador es menor que el grado del

denominador. Vamos a descomponer el integrando en fracciones simples:

==

⇒=−−210)2)(1(

xx

xx (raíces reales simples)

Entonces:

)2)(1()1()2(

21)2)(1(12

−−−+−=

−+

−=

−−−

xxxBxA

xB

xA

xxx

Vamos a calcular los coeficientes indeterminados. Al ser los denominadores iguales, los

numeradores también lo serán. Por tanto:

=⇒=→=−=⇒−=→=

⇒−+−=−3 32111)1()2(12

BBxAAx

xBxAx

Por tanto,

=−

+−

−=

−+

−−=

−−−

∫ ∫∫∫ dxx

dxx

dxxx

dxxx

x2

13

11

23

11

)2)(1(12

3( 2)Ln ( 1) 3 Ln ( 2) Ln

1

xx x k k

x

−= − − + − + = +−

108. ∫ +++ )5)(3)(1( xxxxdx

Sol: 6

5

1 ( 3) Ln

8 ( 1)( 5)

xk

x x

+ ++ +

Tenemos una integral de tipo racional donde el grado del numerador es menor que el grado del

denominador. Vamos a descomponer el integrando en fracciones simples:

−=−=−=

⇒=+++531

0)5)(3)(1(xxx

xxx (raíces reales simples)

Entonces:

=+

++

++

=+++ 5315)(3)(1( x

Cx

Bx

Axxx

x

)5)(3)(1()3)(1()5)(1()5)(3(

+++++++++++=

xxxxxCxxBxxA


26

Para calcular los coeficientes indeterminados, al ser los denominadores iguales, los

numeradores también lo serán. Por tanto:

−=⇒=−→−=

=⇒−=−→−=

−=⇒=−→−=

⇒++++++++=

85

855

43

433

81

811

)3)(1()5)(1()5)(3(

CCx

BBx

AAx

xxCxxBxxAx

Por tanto,

=

+

−+

++

+

−=

+++ ∫∫ dxxxxxxx

xdx5

85

343

181

)5)(3)(1(

=++−+++−=+

−+

++

−= ∫∫ ∫ kxxxdxx

dxx

dxx

)5(Ln85

)3(Ln43

)1(Ln81

51

85

31

43

11

81

( ) kxx

xkxxx +

+++=++−+++=

5

6

)5)(1(

)3( Ln

81

)5( Ln5)3( Ln6)1( Ln81

109. ∫ −−+

dxxx

xx

4

83

45

Sol: 3 2 2 5

3

( 2)4 Ln

3 2 ( 2)

x x x xx k

x

−+ + + ++

Al ser el grado del numerador mayor que el grado del denominador, antes de aplicar el método

de descomposición en fracciones simples tendremos que dividir. De esta forma obtenemos:

5 4 22

3 3

8 4 16 84

4 4

x x x xx x

x x x x

+ − + −= + + +− −

En consecuencia:

5 4 22

3 3

8 4 16 8( 4)

4 4

x x x xdx x x dx dx

x x x x

+ − + −⋅ = + + + ⋅ =− −∫ ∫ ∫

3 2 2

3

4 16 84

3 2 4

x x x xx dx

x x

+ −= + + + ⋅−∫

A la integral que nos queda le aplicamos el método de descomposición en fracciones simples.

Calculamos las raíces del denominador:


27

3 2 04 0 ( 4) 0

2

xx x x x

x

=− = → ⋅ − = → = ±

Entonces:

2

3

4 16 8 ( 2)( 2) ( 2) ( 2)

4 2 2 ( 2)( 2)

x x A B C A x x Bx x Cx x

x x x x x x x x

+ − − + + + + −= + + =− − + − +

Como los denominadores son iguales, los numeradores también lo serán; por tanto:

24 16 8 ( 2)( 2) ( 2) ( 2)x x A x x Bx x Cx x+ − = − + + + + −

Calculamos los coeficientes indeterminados: le vamos asignando los valores de las raíces

0 8 4 2

2 40 8 5

2 24 8 3

x A A

x B B

x C C

= → − = − → == → = → == − → − = → = −

Por tanto, la fracción descompuesta en fracciones simples nos queda:

2

3

4 16 8 2 5 3

4 2 2

x x

x x x x x

+ − = + −− − +

La integral de la función pedida será:

5 4 3 2 2

3 3

8 4 16 84

4 3 2 4

x x x x x xdx x dx

x x x x

+ − + −⋅ = + + + ⋅ =− −∫ ∫

3 2 2 5 3

43 2 2 2

x xx dx

x x x = + + + + − ⋅ − + ∫

3 2 2 5 34

3 2 2 2

x xx dx dx dx

x x x= + + + ⋅ + ⋅ − ⋅ =

− +∫ ∫ ∫

3 2 1 1 14 2 5 3

3 2 2 2

x xx dx dx dx

x x x= + + + ⋅ + ⋅ − ⋅ =

− +∫ ∫ ∫

3 2

4 2 Ln | | 5 Ln | 2 | 3 Ln | 2 |3 2

x xx x x x k= + + + ⋅ + ⋅ − − ⋅ + + =

3 2 2 5

3

( 2)4 Ln

3 2 ( 2)

x x x xx k

x

−= + + + ++


28

110. ∫ +− )2)(1( 2

4

xx

dxx Sol:

2

3

1 ( 1) 162 Ln Ln | 2 |

2 6 ( 1) 3

x xx x k

x

−− + + ⋅ + ++

Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, tenemos que dividir,

obteniendo:

4 2

2 2

5 42

( 1)( 2) ( 1)( 2)

x xx

x x x x

−= − +− + − +

Con lo que

4 2 2 2

2 2 2

5 4 5 4( 2) 2

( 1)( 2) ( 1)( 2) 2 ( 1)( 2)

x dx x x xx dx dx x dx

x x x x x x

⋅ − −= − + = − +− + − + − +∫ ∫ ∫ ∫

y tendremos que integrar la función racional que nos queda, donde el grado del numerador es

menor que el grado del denominador.

Descomponemos en fracciones simples:

2

2 2

5 4 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)

( 1)( 2) 1 1 2 ( 1)( 2)

x A B C A x x B x x C x x

x x x x x x x

− + + + − + + − += + + =− + − + + − +

Como los denominadores son iguales, también lo serán los numeradores. Entonces:

25 4 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)x A x x B x x C x x− = + + + − + + − +

Calculamos los coeficientes indeterminados:

11 1 6

61

1 1 22

162 16 3

3

x A A

x B B

x C C

= → = → =

= − → = − → = −

= − → = → =

Entonces: 2

2

1 1615 4 6 32

( 1)( 2) 1 1 2

x

x x x x x

−− = + +− + − + +

Y, por tanto:


29

4 2 2 2

2 2

1 1615 4 6 322 2

( 1)( 2) 2 ( 1)( 2) 2 1 1 2

x dx x x xx dx x dx

x x x x x x x

− ⋅ −= − + = − + + + ⋅ = − + − + − + +

∫ ∫ ∫

21 1616 322

2 1 1 2

xx dx dx dx

x x x

−= − + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

− + +∫ ∫ ∫

2 1 1 1 1 16 12

2 6 1 2 1 3 2

xx dx dx dx

x x x= − + ⋅ − ⋅ + ⋅ =

− + +∫ ∫ ∫

2 1 1 162 Ln | 1| Ln | 1| Ln | 2 |

2 6 2 3

xx x x x k= − + ⋅ − − ⋅ + + ⋅ + + =

( )2 1 16

2 Ln | 1| 3 Ln | 1| Ln | 2 |2 6 3

xx x x x k= − + ⋅ − − ⋅ + + ⋅ + + =

2

3

1 1 162 Ln Ln | 2 |

2 6 ( 1) 3

x xx x k

x

−= − + ⋅ + ⋅ + ++

111. ∫ −− )2()1( 2 xx

dx Sol:

1 2Ln

1 1

xk

x x

−+ +− −

Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador aplicamos la

descomposición en fracciones simples directamente:

2

2 2 2

1 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)

( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2)

A B C A x x B x C x

x x x x x x x

− − + − + −= + + = →− − − − − − −

21 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)A x x B x C x→ = − − + − + −

Calculamos los coeficientes:

1 : 1 1

2 : 1

0 : 1 2 2 1 2 2 1 1

x B B

x C

x A B C A A

= = − → = −= == = − + → = + + → = −

Entonces:

2 2

1 1 1 1

( 1) ( 2) 1 ( 1) ( 2)dx dx dx dx

x x x x x

− −⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =− − − − −∫ ∫ ∫ ∫


30

21 1( 1)

1 2dx x dx dx

x x−= − ⋅ − − ⋅ + ⋅ =

− −∫ ∫ ∫

1( 1) 1 2Ln | 1| Ln | 2 | Ln

1 1 1

x xx x k k

x x

−− −= − − − + − + = + +− − −

112. dxxxx

x∫ +−

−44

823

Sol: kx

x

x+−+

− 2

2)2(Ln

2

3

Igual que en el anterior, aplicamos la descomposición en fracciones simples:

Calculamos las raíces del denominador:

3 2 2 2 04 4 0 ( 4 4) 0 ( 2) 0

2 (doble)

xx x x x x x x x

x

=− + = → ⋅ − + = → ⋅ − = → =

Entonces:

2

3 2 2 2

8 ( 2) ( 2)

4 4 2 ( 2) ( 2)

x A B C A x Bx x Cx

x x x x x x x x

− − + − += + + = ⇒− + − − −

28 ( 2) ( 2)x A x Bx x Cx⇒ − = − + − + ⇒


0 8 4 2

2 6 2 3

1 7 7 7 2 3 2 2

x A A

x C C

x A B C B A C B

= → − = → = −= → − = → = −= → − = − + → = + + = − − = → =

Entonces:

3 2 2

8 2 2 3

4 4 2 ( 2)

xdx dx

x x x x x x

− − −= + + ⋅ = − + − − ∫ ∫

22

1 1 12 2 3 2Ln | | 2Ln | 2 | 3 ( 2)

2 ( 2)dx dx dx x x x dx

x x x−= − ⋅ + ⋅ − ⋅ = − + − − − =

− −∫ ∫ ∫ ∫

1 2

2

( 2) 3 ( 2)2Ln | | 2Ln | 2 | 3 Ln

1 2

x xx x k k

x x

−− −= − + − − ⋅ + = + +− −

113. 3

3 2

( 1)

xdx

x x

++∫ Sol: k

x

x

x

x ++

+++

2

2

2 )1(Ln

)1(2

34

114. dxxx

x∫ +

−3)1(

23 Sol:

2

2 2

( 1) 4 9Ln

2( 1)

x xk

x x

+ +− ++


31

Descomponemos el integrando en fracciones simples:

3 2

3 2 3 3

3 2 ( 1) ( 1) ( 1)

( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1)

x A B C D A x Bx x Cx x Dx

x x x x x x x x

− + + + + + += + + + = →+ + + + ⋅ +

3 23 2 ( 1) ( 1) ( 1)x A x Bx x Cx x Dx→ − = + + + + + + →


0 2

1 5 5

1 1 8 4 2 1 16 4 2 5 2 6

2 8 2 2 2 8 2 2 2 10 0

x A

x D D

x A B C D B C B C

x A B C D B C B C

= → − == − → − = − → == → = + + + → = − + + + → + == − → − = − − + − → − = − + − → − + =

Resolviendo el sistema resultante, obtenemos:

2 6 2 6 2

0 2

B C B B B

B C C B

+ = + = → = → − + = = =

Entonces:

3 2 3

3 2 2 2 2 5

( 1) 1 ( 1) ( 1)

xdx dx dx dx dx

x x x x x x

− −⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =+ + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 3

1 1 1 12 2 2 5

1 ( 1) ( 1)dx dx dx dx

x x x x= − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

+ + +∫ ∫ ∫ ∫

2 32 Ln | | 2 Ln | 1| 2 ( 1) 5 ( 1)x x x dx x dx− −= − ⋅ + ⋅ + + + ⋅ + + ⋅ =∫ ∫

1 2( 1) ( 1)2 Ln | | 2 Ln | 1| 2 5

1 2

x xx x k

− −+ += − ⋅ + ⋅ + + + + =− −

2 2

2 2 2 2

( 1) 2 5 ( 1) 4( 1) 5Ln Ln

1 2( 1) 2( 1)

x x xk k

x x x x x

+ + + += − − + = − + =+ + +

2

2 2

( 1) 4 9Ln

2( 1)

x xk

x x

+ += − ++


32

115. ∫ ++ 22

2

)4()2( xx

dxx Sol: k

x

x

xx

x +

+++

+++−

2

2 2

4Ln

86

125

116. dxx

x∫ +14 3

Sol: ( )( ) kxx ++− 1Ln 3

4 4 34 3

117. dxx

xx∫

−4

33

6 Sol: kxx +− 12 134 9

13

2

27

2

118. dxxx

x∫ +

+4 56 7

6 1 Sol: kxx

xx++−++− )1(Ln 24Ln 2

126 12

126

119. dxxx

xx∫ +

+14 157 8

7

Sol: kxxxxx +

+−+− 14 57 214 3714

5

1

4

1

3

1

2

14

120. ∫ −+− 3 11 xx

dx Sol: ( ) kxLnx

xx +

−+−−+−−− 66

3

1112

1

3

16

121. dxee

exx

x

∫ −+ 22 Sol:

1 1Ln

3 2

x

x

ek

e

− ++

122. ∫ +1xe

dx Sol: kex x ++− )1(Ln

123. dxee

exx

x

∫ ++ 232 Sol:

1Ln

2

x

x

ek

e

+ ++

124. ∫ dxx3sen Sol: kxx +− coscos3

1 3

125.

Integrales indefinidas resueltas Matem.II

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