INTEGRALES INDEFINIDAS EJERCICIOS...

Prof Jesús Olivar Página 1

INTEGRALES INDEFINIDAS

EJERCICIOS RESUELTOS.

PROF. Jesús olivar

BARINAS 2016


Derivadas: Utilizamos las reglas de derivación para encontrar un valor de la pendiente de la recta

tangente de una función F(x).

Integrales: Utilizamos las reglas de las integración para calcular el valor del área bajo la curva de

una función F(x).

Derivada del producto:

Regla de la cadena:

Integración por partes:

Cambio de variables

La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede verificarse sustituyendo por en

la definición de integral indefinida, con lo que se obtiene:

Además, si , entonces

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=La_recta


Estas dos ecuaciones permiten obtener teoremas de integración directamente de los teoremas de

derivación, como se muestra en la siguiente tabla.

Pasos para integrar una función

Una vez con estas fórmulas básicas de integración, si no percibimos de inmediato como atacar una

integral específica, podemos entonces seguir la estrategia de cuatro pasos que describiremos a

continuación:

1. SIMPLIFIQUE EL INTEGRANDO, SI ES POSIBLE

A veces, si se emplea el algebra o identidades trigonométricas se podrá simplificar el integrando y

el método de integración sera mas obvio. A continuación presentamos algunos ejemplos:

a.

2. VEA SI HAY UNA SUSTITUCION OBVIA

Se debe tratar de encontrar alguna función, , en el integrando, cuya derivada,

también este presente, sin importar un factor constante; por ejemplo, en la

integral:

observamos que si , entonces , por consiguiente, usamos la sustitución

, en lugar de las fracciones parciales.

3. CLASIFIQUE EL INTEGRANDO DE ACUERDO CON SU FORMA

4. PRUEBE DE NUEVO

Primitiva de la función

Definición de Primitiva: La primitiva es cuando una función F(x) es primitiva de otra función f(x)

sobre un intervalo I.


Al sacar la primitiva ó la anti-derivada seria → Y si derivamos ó

sacamos al anti-primitiva seria →

Primer Teorema: Este primer teorema es primordial, porque si F es primitiva f en un intervalo la

primitiva general de f en el intervalo es: Y C es una constante arbitraria y es primitiva f.

→ .

Explicación:

√ entonces comenzamos a ordenar todo para que sea mas facil, la raiz

de x lo podemos editar como de ahi nos quedaria * ahora F(x)

comenzamos a sacar las primitivas. ¿Como? si en la derivadas de las funciones comose le

multiplica el exponente por la base y luego se resta al exponente 1, con la primitiva es inverso,

al exponente se le suma 1 y la base es el inverso del exponente final. entonces quedaria de la

siguiente manera:

y el resultado final seria

.

Primitiva de la Función: Primitiva de la Función de una función f(x) se denomina integral indefinida

de f(x) y se denota por , Entonces si F(x) es primitiva de f(x)

Encontrar la primitiva de las siguientes funciones

Ejemplo 1

Ejemplo 2


Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6


=

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Ejemplo 9


Ejemplo 10

Ejemplo 11

Ejemplo 12


Ejercicios de Repaso

Calcular las integrales siguientes.

1. Sol

2. Sol

3. Sol

4. Sol

5. Sol

6. = ;

Sol

7. Sol


8. = Sol

9. = Sol

10. = = Sol

11. = Sol

12. = = Sol

13. = Sol

14. Sol

15. Sol

16. = =

Sol

Tabla de Integrales


TEOREMAS DE DERIVACIÓN TEOREMAS DE INTEGRACIÓN


Método de integración por sustitución

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en

realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando

en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde

las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para

encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la

cadena en la derivación. Vale la pena resaltar que este método se utiliza cuando

no se mira a simple vista su primitiva directa.

Si es una función derivable cuyo alcance es un intervalo I y f es continua

en I en tal caso:

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Integral

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Lista_de_integrales&action=edit&redlink=1

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Regla_de_la_cadena

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Regla_de_la_cadena


Se puede definir este método en cuatro pasos importantes:

1. Identificar la función a sustituir, es decir Identificar "u" (Usualmente se

cometen mas errores en este paso).

2. Determinar el diferencial de "u" ("du").

3. Reescribir el integral ya sustituido.

4. Integrar.

Consejo

Intente elegir como alguna función en el integrando cuya diferencial

también se presente (excepto para un factor constante). Si no es posible,

escoja como alguna parte complicada del integrando (tal vez la función

interna de una función compuesta). Encontrar la sustitución correcta

conlleva algo de arte. No es raro que la conjetura sea errónea; si su

primera suposición no funciona, intente con otra.

Notas

La dificultad del "Método De Integración Por Sustitución" consiste en

identificar la función que será sustituida, para esto lo que se intenta es

encontrar la función que al derivar nos de el diferencial de la integral.

Siendo de esta manera podremos sustituir la integral completa. Esto no

significa que siempre la función al derivar de el diferencial, también será

necesario dependiendo de las funciones tener ciertos despejes para

encontrar el diferencial y poder sustituir la integral en su totalidad.

Primitiva: En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de

una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.

Procedimiento práctico

Supongamos que la integral a resolver es:


En la integral reemplazamos con ( ):

(1)

Ahora necesitamos sustituir también para que la integral quede sólo en

función de :

Tenemos que por tanto derivando se obtiene

Se despeja y se agrega donde corresponde en (1):

Simplificando:

Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma

mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta

operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más

sencilla dado que la primitiva del coseno es el sinus o de |seno.

Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos

modificar los límites de integración. Sustituimos x por el límite de integración y

obtenemos uno nuevo.

En este caso, como se hizo :

(límite inferior)


(límite superior)

Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una

forma final:

Facilitación de método:

Para poder identificar que una integral se puede solucionar con este método, lo

más sencillo de hacer es ver si es una función compuesta, un ejemplo de una

función compuesta es 2*cos (x^2), sabiendo que la función interna de la

compuesta siempre va a ser "u". Una vez identificado la función interna se

procede a derivarse para poder saber si se puede llevar a cabo la sustitución.

Ejemplo 1

Encuentre la primitiva de la función .

En este caso esta función no tiene ninguna primitiva inmediata ya que no está en

nuestra tabla de reglas básicas de integración. Ahora si ponemos atención a la

forma de la función podemos ver que se ve que hay una composición de

funciones, las funciones que parecen esta compuestas son y

entonces esto nos puede llevar a pensar que podemos encontrar la

primitiva usando le técnica de sustitución.

Hagamos la sustitución de tomamos siempre a como u a la

función que está dentro de la composición.

si entonces

como tenemos que sustituir y tenemos que multiplicamos

esta ultima toda por y ahora tenemos

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Reglas_B%C3%A1sicas_de_Integraci%C3%B3n


Aplicamos la sustitución,

la primitiva de

Ejemplo 2

Encontrar

Reescribiendo:

Haciendo y

Tenemos entonces que: y al integrar obtenemos:

Sustituyendo para , concluimos que:


Ejemplo 3

Encontrar:

Haciendo y

Obtenemos:

Y sustituyendo para :

Cambio de variables

Con un cambio de variable, re expresamos por completo la integral en términos

de u y du. Aunque este método requiere más pasos explícitos que reconocimiento

de modelos que vimos antes, no es menos cierto que sirve para resolver

integrando más complicados. El cambio de variable hace uso de la notación de

Leibniz para los diferenciales. Es decir, si entonces . Para

ilustrar mejor el método usaremos un ejemplo.

Ejemplo 3

igualamos du con dx:

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Leibniz

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Diferenciales


Sustituimos y obtenemos:

Integramos:

sustituimos u:

Ejemplo 4

Si tomamos :

Entonces su será:


Y

Al hacer la sustitución quedará :

Obteniendo:

Ejemplo 5

Si tomamos :

Entonces su será:

Al hacer la sustitución quedará :


Obteniendo:

Ejemplo 6

Para encontrar la primitiva multiplicamos por un uno este uno es:

Entonces la primitiva nos queda de la siguiente forma.

Sustituimos.

Obtenemos la primitiva, que sería:

Entonces:


Ejemplo 7

Ejemplo 8

Ejemplo 9


Ejemplo 10

Ejemplo 11


Ejemplo 12

Ejemplo 13


EJEMPLO 14

Calcular:

Entonces, tomamos U, como;

, entonces; , y;

Entonces;

Nuestro resultado final sería; y no olvidemos colocar la constante

"C"

EJEMPLO 15

Calcular:


, entonces;

Entonces;


Nuestro resultado;

EJEMPLO 16

Calcular:


, entonces;

Nuestro resultado;

Ejemplo # 17

Encontrar:

Haciendo y entonces

Obtenemos:


y sustituyendo para :

Ejemplo 18

Ejemplo 19


Ejemplo 20

al tener esta integral podemos reescribirla asi:

entonces podemos empezar a integrar y tomamos como u a lnx y lo derivamos y

nos quedara así:

tenemos el diferencial entonces podemos proceder a sustituir datos en la integral

y nos quedaría así:

ya podemos integra u ya que tiene integral inmediata y nos quedaría así:

ya al sustituir el valor de u en la respuesta nos quedarías así la respuesta final:

Ejemplo 21


al tomar como ya que se encuentra su diferencial que es

derivamos :

sustituimos los valores en la integral y nos quedarías así:

integramos y sustituimos el valor de y las respuesta nos quedaría asi

Ejemplo 22

Calcular la integral de:

Identificamos :

Calculamos diferencial de :

Sustituimos:

Integramos:


Obtenemos la integral sustituyendo nuevamente :

Integrales por Partes.

Estrategia para derivar por partes

a) Tomar como u la función que al derivarla se simplifica. También ayuda seguir un orden de

prelación de escogencia para u:

1. Función Inversa 2. Función Logarítmica 3. Función Algebraica 4. Función Trigonométrica 5.

Función Exponencial.

b) Si las 2 funciones tienen el mismo grado de complejidad, al ser derivadas tomar como dv la

función que al integrarla se simplifica.

c) Notar que lo que se desea integrar es un producto entre dos funciones.

D) ojo: una forma fácil de poder encontrar quien es U y qn es dv es que para u se busca el mas

fácil de derivar y para dv el resto. Aplica para muchas integrales que se resuelven por partes. e)

Una integral por parte se puede identificar como cíclica de una manera muy sencilla, si se ve una

exponencial con una trigonométrica específicamente seno o coseno esa integral es cíclica.

Ejemplo 1

Encuentre la primitiva de

Hacemos y . Entonces u, v, du y dv son,

Usando la ecuación de integración por partes,


Este nuevo integral es fácil de evaluar.

Ejemplo 2

Encontrar:

Hacemos y

Entonces u, v, du y dv son:

Ahora tenemos:

Y nuevamente hacemos:

Para obtener:


Ejemplo 3

Encontrar:

Haciendo:

y sabiendo que

Obtenemos:

Nuevamente hacemos para:

Sustituir y operar:


=

Ejemplo 4

Encontrar:

Haciendo:

y sabiendo que


Obtenemos:

Ejemplo 5

Encontrar:

Haciendo:

y sabiendo que

Obtenemos:

Ejemplo 6

Hacemos:


Usando la ecuación de integración por partes:

Tenemos que:

Ejemplo 7

Encontrar:

Hacemos:

Entonces, usando la ecuación de integración por partes tenemos:


Ejemplo 8

Encontrar:

Hacemos :

Tenemos:

Usamos integración por partes nuevamente para :


Ejemplo 9

Encontrar:

Hacemos:

Entonces:

lo guardamos un momento mientras encontramos la respuesta de nuestra nueva integral

para nuestra nueva integral volvemos a integrar por partes:

por lo tanto, nuestra respuesta sería:


Ejemplo 10

Encontrar:

Hacemos:

Entonces:

A simple vista no parece haber mejorado , pero volvamos a integrar por partes otra vez.

Hacemos:

Entonces:

Al sustituir esto en el primer resultado quedaria de la siguiente forma :

Se pueden dar cuenta que el último termino de la ecuación puede pasar a sumar al otro lado de la

ecuación.


Entonces :

Resultado de esto es :

Método por tabulación

Ejemplo 11

tomamos a u como

tomamos a dv como

Tenemos que derivar u hasta que se haga 0 para poder ya escribir la primitiva de lo que nos piden.

multiplicamos u y dv en diagonal, y empezamos a color los signos +,-,+,-,+,...... sucesivamente

hasta que lleguemos al 0.

Entonces la primitiva nos quedará.


Ejemplo 12

tomamos a u como

tomamos a dv como


No olvidar hacer el respectivo cambio de signos.

Resultado:

tomamos a u como

tomamos a dv como



No olvidar el cambio de signos

Resultado:

Ejemplo 13

respuesta..

Ejemplo 14

escogemos u y dv de la siguiente forma:

;

entonces obtenemos

;

utilizando nuestra ecuación para la integración por partes sustituimos los valores


podemos notar que de nuevo tenemos otra vez una integral por partes y la resolvemos de la

siguiente manera

;

;

sustituimos siguiendo nuestra ecuación y tenemos

de los dos lados de la ecuación aparece entonces el del lado derecho de la

ecuación lo pasamos sumando al otro lado y obtenemos

ahora ya solo despejamos y obtenemos la integral

Ejemplo 15

Entonces:


Ejemplo 16

Demostración integral cíclico que contiene exponencial y coseno Cíclico

Ejemplo 17

Usando la formula de integración por partes

Todavía queda una integral la cual se puede volver a usar la formula de integración por partes para

que quede mas sencilla.

La integral que nos queda no es muy obvia todavía podemos volver a utilizar la formula de

integración por partes.


Nos queda de una forma sencilla que podemos integrar sin ningún problema.

Expandimos.

Simplificamos.

EJEMPLO 18

Evaluar la integral:

Entonces; hacemos las respectivas sustituciones;

Entonces;

Nuestro resultado;

EJEMPLO 19



Entonces; hacemos las respectivas sustituciones;

"help" -->6

Nuestro resultado;

EJEMPLO 20


Entonces, hacemos nuevamente nuestras respectivas sustituciones;


Nuestro resultado;

EJEMPLO 21

Evalúe la integral:

Hacemos nuestras sustituciones correspondientes;

Nuestro resultado;

Ejemplo 22

luego definimos cual seria nuestra U y dv

y


luego derivamos u:

E integramos dv por método de sustitución:

entonces por la ecuación de integración por partes nos quedaría:

como podemos ver la integral que nos queda no tiene integración inmediata entonces integramos

otra ves por partes siguiendo el mismo método de arriba tomando como y dv=

luego derivamos u:

E integramos dv por método de sustitución:


sustituyendo otra ves con la ecuación de integración por partes nos quedaría otra ves así:

como podemos ver aun no nos ya el integral:

ya lo podemos integrar por medio de sustitución y la respuesta nos quedaría así

-

Ejemplo 23

primero escogemos cual va a ser nuestra u y dv para poder empezar, entonces quedarían así:

y

derivamos u y nos quedaría así:

y utilizamos el método de sustitución para poder integrar dv y nos quedaría así:

y al sustituir nos quedaría así:

y al integrar nos quedaría así:


al sustituir en la ecuación de integración por partes nos quedará todo asi:

podemos ver que aun el integral no tiene integración inmediata entonces

utilizaremos otra vez el método de integración por partes.

entonces volvemos a escoger un u y dv

e integramos nuestro dv:

al integrar nos quedaría así :

al sustituir otra ves en la ecuación de integración por partes nos quedaría:

como podemos ver ya el termino ya se puede integrar por medio de sustitución la

respuesta nos quedaría así:

Ejemplo 24

Determinar la Integral de:

Sean:


Al integrar por partes se obtiene:

Como la integral que se obtuvo aun no es inmediata, volvemos a utilizar una

segunda vez laintegración por partes, esta vez con , ,

y obteniendo:

Como de ambos lados aparece podemos agrupar términos

semejantes quedando de la siguiente manera:

Despejando y simplificando la expresión obtenemos la integral:

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

En esta sección las identidades trigonométricas nos servirán para integrar ciertas combinaciones

de funciones trigonométricas, además nos facilita al calculo de funciones racionales en el cual se

nos facilitara mas aplicar dichas identidades. Comenzaremos con las potencias de seno y coseno.

o

(En donde al menos uno de los exponentes, n o m es un entero positivo).

Para evaluar la integral trigonometrica\int sen^{n}x*cos^{m}xdx


En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y

coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en

términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de

seno).

La identidad permite convertir de una parte a otra entre

potencias pares de seno y coseno.

Tendremos 3 casos: 1. Cuando n es impar

Cuando en la integral trigonométrica\int sen^{n}x*cos^{m}xdx, podemos apartar un

factor del seno y sustituirlo por la identidad para poder expresar los

factores restantes en términos del coseno:

Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo

, . Como en la expresion no tenemos un

multiplicamos ambos lados por y nos queda la expresión que ya

podemos sustituir:


2. Cuando m es impar

Cuando en la integral trigonemetrica\int sen^{n}x*cos^{m}xdx, podemos de la

misma manera apartar un factor de coseno y emplear para poder

expresar los factores restantes en términos del :

al hacer y tendríamos

3. Cuando m y n son pares

Cuando las potencias de la integral trigonemtrica\int sen^{n}x*cos^{m}xdxson pares a la vez

y , podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo

-y- algunas veces nos sera útil utilizar la

identidad

seria igual a:


Se puede usar una estrategia similar a la anterior.

Puesto que:

, se puede separar un factor y convertir la potencia

restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la

identidad .

O bien, puesto que:

, se puede separar un factor y convertir la

potencia restante (par) de tangente a secante.

Tendremos 5 casos: 1. Cuando n es par

separar un factor de y utilice para lograr

expresar los factores restantes en términos de :

de esta manera podemos hacer y y el integral

quedaría así:


2. Cuando m es impar

apartar un factor de y emplear

para poder expresar los factores que restan en términos de :

de esta manera podemos hacery y nos queda

4.\int sec^{2k+1}xdx

Al encontrarnos con este caso debemos integrar por partes tal como se muestra en

el ejemplo 8.

5. cuando no cabe en 1, 2, 3, 4

Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores deberemos trasladarlo

a y recordando que:

Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar

identidades, integración por partes y, ocacionalmente, un poco de inventiva.

A veces será necesario poder integrar por medio de la fórmula establecida:

Se necesitará también la integral indefinida de la secante:


Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o

como sigue:

Primero se mutiplican numerador y denominador por :

Si se sustituye , después ,

también, la integral se convierte en:

Así, se tiene:

NOTAPara integrales que contienen cosecantes y

cotangentes, la estrategia es análoga a la del par secantes-

tangentes. Recordar la identidad:

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES QUE LES SERVIRA DE MUCHA AYUDA Identidades recíprocas


Identidades pitagóricas

Identidades de paridad

Ejemplos

Ejemplo #1

Evaluar

SoluciónLa simple sustitución no va a servir

pues .

Para integrar potencias del coseno necesitaríamos un factor

sen x extra. También una potencia del seno necesitaría un

factor de más. De modo que se puede separar un

factor del coseno y convenir el que queda, es decir, ,

en una expresión que contenga el seno por medio de la

identidad

Es útil contar con el factor adicional, luego se evalúa la

integral sustituyendo y , y


En general trataremos de escribir un integrado que contenga

potencias de seno y de coseno en una forma que contenga

un solo factor de seno ( y lo restante de la expresión en

términos de coseno) o bien un solo factor coseno ( y lo

demás en términos de seno), la identidad

nos permite convertir de potencias

pares de seno a potencias pares de coseno e inversamente.

Ejemplo #2

Determine

SoluciónPodríamos convertir a pero nos

quedaríamos con una expresión en términos de sin

factor extra. En vez de eso, separamos un solo factor

seno y reescribimos el factor restante en términos

de :

Sustituyendo , tenemos

luego


En los ejemplos anteriores una potencia impar del seno o el

coseno nos permitió separa un factor simple y convertir la

potencia complementaria. Si el integrando contiene potencias

pares de seno tanto como de coseno esta estrategia falla. En

este caso aprovechamos las identidades del ángulo mitad.

y

Ejemplo #3

Evaluar

Solución

Si escribimos , la integral no

queda mejor. Pero usando la fórmula del ángulo mitad para

, tenemos

Observamos que, mentalmente, hicimos la sustitución

al integrar .

Ejemplo #4

Determine


Es posible evaluar esta integral con la fórmula de reducción

para con el resultado del ejemplo 1, pero otro

método es expresar y aplicar la

fórmula del ángulo mitad;

Ya que se representa con , debemos emplear otra

fórmula de mitad de ángulo.

Con esto llegamos a

Como resumen, listamos los lineamientos a seguir al evaluar

integrales de la forma donde y

son enteros.

Cómo evaluar

(a) Si la potencia del coseno es impar (n=2k+1) , aparte un

factor de coseno y emplee para expresar los

factores restantes en términos del seno:


=\int sen^mx(1-sen^2x)^kcosxdx

A continuación, sustituya

(b)Si la potencia sel seno es impar ( , aparte un

factor del seno y use para expresar los

factores restantes en términos del coseno:

Luego, reemplace . Advierta que si las potencias

de sen y de cos son ambas impares use (a) o (b)

(c)Si las potencias del seno y coseno son pares a la vez,

aplicamos las identidades de mitad del ángulo:

A veces es útil emplear la identidad

Usaremos una estrategia similar para evaluar integrales de la

forma . Sabiendo que (d/dx)

, podemos separar un factor y

convertir la potencia restante (impar) de secante a una

expresión que contiene tangente usando la identidad

. O, ya que (d/dx)

, podemos separar un factor sec x

tan x y convertir la potencia restante(par) de tangente a

secante.

Ejemplo #5

Encontrar


=

=

=

=

Ejemplo #6

Encuentre:

Esta integral puede escribirse como:

Y en tal caso realizamos lo siguiente:

e

n

t

e

:


Integrales por Sustitución Trigonométrica

Cuando calculamos áreas de un círculo o una elipse encontraremos integrales que tengan la forma

de:

Nota

Generalmente se traza el dibujo de un diagrama en donde aparezca un triángulo rectángulo,

colocando un que vamos a interpretar como uno de los ángulos de este triángulo. Para evaluar

la integral se colocan los datos recibidos en ella en los catetos/hipotenusa correspondientes, y es

allí en donde utilizamos lassustituciones trigonométricas, por medio de las identidades

trigonométricas para expresar de la manera que mejor convenga , , , etc.

Es parecido a utilizar el método deSustitución, solo que aquí sustituimos con las identidades

trigonométricas.

Sustitución #1

despejar la x de la siguiente manera:

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Sustituci%C3%B3n

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:X+a.jpg


Sustitución #2

despejamos X de tal manera que

y

Sustitución # 3

despejamos X y nos quedaría de la siguiente manera

y

por lo tanto

entonces :

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:X-a.jpg

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:A-x.jpg


Ejemplo # 1

Utilizamos nuestro triangulo para obtener función trigonométrica:

Despejamos luego le sacamos su diferencial y nos quedaría de la siguiente manera:

Luego tenemos:

Despejamos nos queda asi:

Luego sustituimos nuestros datos en la integral y queda de la siguiente manera:

En esta parte se eliminan y y nos queda:

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:X-3.png


Como el es una constante lo podemos sacar de la integral, y utilizamos la identidad trigonométrica

La integral de

Ya por ultimo sacamos de nuestro triangulo y el resultado final es:

Ejemplo # 2

Utilizamos nuestro triangulo para obtener nuestras funciones trigonométricas:

luego despejamos y le sacamos su diferencial:

Para intentamos buscar una función trigonométrica para que sea mas fácil sustituirla en

la integral, la que se va utilizar seria :

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:X+4.png


Ahora que tenemos nuestros datos lo podemos sustituir en la integral, y operamos:

Sabemos que la

Luego solo buscamos una función trigonométrica de nuestro triangulo y el resultado final es:

Ejemplo #3

Resuelva.

Como se puede notar esta función no tiene ninguna de las formas (a+x, a-x,x-a)

pero podemos complementar al cuadrado.

formamos el triangulo.

tenemos que:

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:E3.JPG


Sustituyendo.

Resolvemos.

bucamos la funcion trigonometrica en el triangulo.

--Jorgetr16:01 31 jul 2009 (UTC)

Ejemplo # 4

Demuestre

IMAGEN

derivamos.

elevamos al cuadrado.

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Usuario:Jorgetr


Sustituios.

Simplificando

despejamos \Theta .

Sustituimos.

--Jorgetr17:15 31 jul 2009 (UTC)

Ejemplo # 5

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Usuario:Jorgetr


elevamos al Cubo

Sustituimos en la Integral

Integramos y nos queda

Sustituimos el Seno por Opuesto que es x y la hipotenusa. --Antonio Moran19:04 31 jul

2009 (CST)tonymoran

Ejemplo # 6

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Usuario:Tonymoran


--Antonio Moran23:07 31 jul 2009 (CST)tonymoran

Ejemplo # 7

Derivamos esta ecuacion y nos queda....

Sustituimos nuestras funciones trigonometricas en la integral...

Integramos....

--Antonio Moran13:02 16 ago 2009 (CST)tonymoran




Ejemplo # 8

Derivamos la ecuacion.....

Sustituimos las funciones trigonometricas en la Integral...

Eliminamos los Senos y las constantes...

Integramos...


Ejemplo # 9



Derivamos la ecuacion...

Sustituimos las funciones trigonometricas en la Integral...

Hacemos esta integral por partes...


Aplicamos leyes de logaritmos y nos queda.....

Tomamos a C -ln(a) como una constate K....


Ejemplo #10

Resuelva.

tenemos que nuestra

sustituimos

la primitiva

esto lo multiplicamos por

Ejemplo #11



Resuelva.

tenemos que nuestra

sustituimos

la primitiva


Ejemplo #12

Resuelva.

tenemos que nuestra

sustituimos

la primitiva


obtenemos de resultado que

Introducción a las fracciones parciales

El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones

más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de

Laplace Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea

estrictamente mayor que el grado del numerador.


Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un numerador

y un denominador. Para que sea una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser

mayor al grado del numerador.

Las integrales por fracciones parciales es de la forma donde:

P(x)yQ(x)son polinómios

El grado deP(x)es menor que el deQ(x)

NOTA

Lasfracciones parcialesse utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y

obtener sumas de expresiones más simples.

En álgebra,fracción parcial,descomposiciónoextensión parcialde la fracción se utiliza para

reducir el grado de el numerador o el denominador de a función racional. El resultado de la

extensión parcial de la fracción expresa esa función como la suma de las fracciones, donde:

- El denominador de cada término es irreducible (no factorizable) polinómico y,

- El numerador es un polinomio de un grado más pequeño que ese polinomio irreducible.

Caso I (Factores Lineales Distintos)

En este caso tenemos que los factores del denominador son todos factores lineales distintos.

Q(x) = (a1x+b1)(a2x+b2)(a3x+b3)...(anx+bn)aybson constantes, proponer:

(1)

EncontrarA1,A2,An

Ejemplo Caso I

Sea .

Primero factorizamos el denominador nos quedaría

Tenemos entonces dos factores lineales no repetidos usamos elcaso Ipara escribir


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Caso II (Factores Lineales Repetidos)

Suponga que el primer factor lineal(a1x+b1)se repiterveces; es decir,(a1x+b1)raparece en la

factorización deQ(x). Por lo tanto en lugar del término simple en(1), se usaría

(2)

Ejemplo caso II

Si tenemos

en el denominadorQ(x) = (x+ 1)3(x− 1)(x− 2)podemos ver que tenemos que tenemos los

factores lineales(x− 3)3,x− 1yx− 2

Para(x− 1)y(x− 2)usamos elcaso Ientonces escribimos

Para(x+ 1)3usamos elcaso IIentonces escribimos

Ahora juntamos las fracciones anteriores y obtenemos,


Caso III (Factores Cuadráticos Irreducibles)

SiQ(x)tiene un factor de la formaax2+bx+c, dondeb2− 4ac< 0(esto nos dice que no se puede

expresarax2+bx+ccomo la multimplicacion de dos fatores lineales pues la solución de la

cuadratica es compleja) además de las fracciones parciales de(1)y(2)entonces la expresión

para tendrá un término de la forma

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Ejemplo Caso III

Sea podemos notar quex2+ 1es una cuadrática irreducible

ya que su solución es compleja entonces para este factor escribimos una suma de la forma

y para el factor(x+ 1)2escribimos las fracciones

Sumamos estas fracciones y tenemos la expresion en fraciones parciales paraf(x)


Caso IV (Factor Cuadrático Irreducible repetido)

SiQ(x)tiene un factor de la forma(ax2+bx+c)r, dondeb2− 4ac< 0, luego en lugar de la única

fracción parcial , escribimos la suma

Ejemplo Caso IV

Sea usamos el Caso II y el Caso IV y nos queda


Caso V (Fracción Impropia)

Si es una fracción impropia (es decir, el grado deP(x)es mayor o igual que el

deQ(x)entonces dividirP(x)porQ(x)para obtener:




Donde el grado deP1(x)es menor que el grado deQ(x)

Ejemplo Caso V

Sea podemos notar que el grado del numerador2x3− 4x2− 15x+

5es 3 y es mayor que el grado del denominadorx2− 2x− 8que es 2 por lo que la fracción es un

fracción impropia entonces hacemos division larga,

Entonces podemos escribir

donde en la fracción el grado del numerador es menor que el grado del

denominador entonces ya podemos aplicar los métodos antes mencionados.

N

O

T

A

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