INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

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    “Año de la Consolidación del Mar de Grau”

    FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

    INGENIERÍA CIVIL

    TRABAJO MONOGRÁFICOINTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

    ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES

    DOCENTE: PULACHE JUAREZ, Carlos

    INTEGRANTES:

    – CONDE LABIO,Venancio Yelsin

    – RAMOS MENDEZ, Jhossymar Cesar

    – BARRIENTOS CONGACHI,Omar Brechman

    – CONDORI ROJAS, Concepción Basilio

    GRUPO:2

    AYACUCHO PERÚ

    2016

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    DEDICATORIA

    A nuestros Padres, personas que d́ıa a dı́a dan lo mejor de śı para lograr nuestrospropósitos en la vida y que con su apoyo incondicional llegaremos a ser buenos ygrandes elementos para la sociedad. A los estudiantes universitarios,aśı como a losdocentes de la Escuela Académica Profesional de Ingenieŕıa Civil de la UniversidadAlas Peruanas.

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    AGRADECIMIENTOS

    En primer lugar damos gracias a Dios por habernos dado la vida más maravillosae iluminarnos en nuestro camino y aśı poder cristalizar nuestras metas. Queremosagradecer a nuestros padres quienes nos apoyan incondicionalmente para continuarcon nuestros proyectos de vida, manifestar nuestras muestras de afecto a la Univer-sidad que nos acogió y que nos inculca los conocimientos para nuestra formaciónprofesional. Agradecer a los docentes de la Escuela de Ingenieŕıa Civil, quien graciasa sus esfuerzos, conocimientos y enseñanzas nos forman cognitiva y profesionalmentepara poder desempeñar la carrera.

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    PENSAMIENTO 

    “Cada persona debe pasar aproximadamente por las mismas experiencias por lasque pasaron sus antepasados si quiere alcanzar el nivel de pensamiento que muchas

    generaciones han alcanzado”.(Kline, 1978).

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    INTRODUCCIÓN   [1]

    Se sabe que la humanidad ha avanzado lentamente hacia la conquista de los conoci-mientos y la mayor de estas es la escritura, con ella la humanidad alcanzó el más altositial en la creación; pero tan antiguo como ella, es el concepto de cantidad. Esto na-ce aun antes de la escritura por eso la ciencia de los números están importante comola vida misma. El avance tecnológico funda sus bases en los conceptos primarios, loque estudiados, desarrollados y perfeccionados han llevado al hombre hacia grandesconquistas. El termino calculo proviene del latin   calculus , diminutivo del terminocalx , que significa piedra. En las Civilizaciones antiguas se utilizaban con frecuenciapiedrecillas para hacer cuentas. El  calculo se invento en el siglo XVII como un me-dio para estudiar los problemas en los que interveńıa el movimiento, en particularpara estudiar los objetos con velocidad variable; sin embargo en la actualidad teneuna gran variedas de usos, desde los geometricos, cinematicos hasta los económicos.Una manera sencilla de definirlo es, el Calculo es la rama de las matematicas que seencarga del estudio de las cantidades infinitamente pequeñas. El curso de Calculo I( Matematica I en la Universidad) trata de los conceptos fundamentales del Calculo:la derivada ; y el curso de Calculo II (Matematica II en la Universidad) comprendeotros conceptos fundamentales del Calculo II:  la integral .

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    INTEGRALES [1]

    Concepto.-   Es un proceso que permite restituir una función que ha sido previa-mente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada asi como la suma esa la resta. Por conveniencia se introduce una notación para la antiderivada de unafunción.Si  F (x) = f (x), se representa:

       f (x)d(x) = F x + C 

    A este grafo    se le llama śımbolo de la integral y a la notación  f (x)d(x) se le llamaintegral indefinida de f (x) con respecto a x. La función f (x)se denomina integrando,el proceso recibe el nombre de integración. Al número  C  se le llama constante deintegración esta surge por la imposibilidad de la constante derivada. Aśı como  dxdenota diferenciación son respecto a la variable  x, lo cual indica la variable derivada.

       f (x)d(x)

    Esto se lee  integral   de  f (x) del diferencial de  x.

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    INTEGRAL INDEFINIDA .- [1]

    INTRODUCCIÓN

    El problema básico de la derivación es: Dado el recorrido de un punto móvil,calcular su velocidad o también, dada una curva, calcular su pendiente. El problemabásico de la integración, es el caso inverso: dado la velocidad de un punto m óvil encada instante, hallar su trayectoria o tambíen dado la pendiente de una curva encada uno de sus puntos, calcular la curva. En el estudio del c álculo diferencial seha tratado esencialmente: Dada una función hallar su derivada, muchas aplicacionesimportantes del cálculo, guardan relacíon con el problema inverso, es decir: Dadala derivada de una función, hallar tal función por ejemplo:  f (x) = 4;  g(x) = 5x4.Ahora el problema es hallar f (x) y g(x), pero con un poco de astucia se puede hallardichas funciones, esto es:

    f(x)=4x puesto que  f (x) = 4

    g(x)=x5 puesto que  g(x) = 5x4

    Esta operación de determinar la función original a partir de su derivada es la inversade la derivación y lo llamaremos cálculo de la función primitiva o antiderivada.

    LA ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN.- [1]

    DEFINICI´ON.-   La función  F   :  I  −→  R, se llama la anti derivada o primitivade  f   : I  −→ R, si  F (x) = f (x), ∀x ∈ I .  (I =[a,b])

    Ejemplo.-   Sea   f (x) = 5x4 y   g(x) = 33x, ∀x ∈   R, las funciones   F (x) =   x5 yG(x) = 3x para  x ∈ R  son las antiderivadas de f(x) y g(x) respectivamente puestoque:

    F (x) = x5 ⇒ F (x) = 5x4 = f (x)

    G(x) = 3x

    ⇒ G

    (x) = 33x

    = g(x)Sin embargo las funciones F 1(x) = x

    5 + 7 y G1  =  3x + 5 también son antiderivadas

    de las funciones  f (x) = 5x4 y  g(x) = 33x respectivamente, puesto que:

    F 1(x) = x5 + 7   ⇒ F 1(x) = 5x4 = f (x)

    G1(x) = 3x ⇒ G1(x) = 33x = g(x)

    En general, si  F (x) es una anti derivada de  f (x) es decir que  F (x) = f (x) , por lotanto  F (x) + c, también es una anti derivada de  f (x) para cualquier constante  c,

    puesto que su derivada es igual a la función f (x), es decir: (F (x)+c)

    = F 

    (x) = f (x).

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    LA ANTIDERIVADA GENERAL.- [1]

    DEFINICION.-   Si la antiderivada de   f (x) es   F (x) sobre   I . Entonces la fun-ción  G(x) = F (x) +  c, se denomina la antiderivada general de  f (x). El significadogeométrico de la antiderivada  F (x) de  f (x), es que cualquier otra antiderivada def (x) es una curva paralela al gráfico de  y = F (x).

    Figura 1:  INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA ANTIDERIVADA

    OBSERVACIÓN.-   Resulta claro que el cálculo de antiderivadas o primitivas no

    determina una única función, si no una familia de funciones, que difieren entre śı enuna constante. El proceso del cálculo de antiderivadas o primitivas se suele deno-minar integración y se denota por el śımbolo

       , llamado signo de integración, el

    śımbolo 

    f (x)dx se llama integral indefinida de  f (x).

    LA INTEGRAL INDEFINIDA.- [1]

    DEFINICIÓN.-   Si  F (x) es una antiderivada de  f (x) sobre un intervalo  I . oseaF (x) = f (X ), entonces a su antiderivada general  G(x) = F (x) + c  se denota por:

    G(x) =

       f (x)d(x) = F (x) + c, ∀x ∈ I 

    Al cual le llamaremos la  integral   indefinida de  f (x).

    NOTA.-   De la definición de la integral indefinida se tiene:  G(x) = F (x) = f (x)es decir:

    d

    dx 

      f (x)d(x) = f (x)

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    PROPIEDADES.-   De la definición de integral indefinida se tiene las propieda-des:

    1.   ddx

     f (x)d(x) = (

     f (x)d(x)) = (F (x) + c) =   F (x) =  f (x) ósea que “   La 

    derivada  de la integral indefinida es igual al integrando”, es decir:

    (

       f (x)dx) = f (x)

    2.   d( 

    f (x)dx) = ( 

    f (x)dx)dx =  f (x)dx ósea que “ La diferencial  de la integralindefinida es igual al integrando por la diferencial de  x”, es decir:

    d(   f (x)dx) = f (x)dx3. si f es una funcion derivable en  I , entonces una antiderivada de  f  es f y

       f (x)dx =  f (x) + c

    4. se conoce que  d(f (x)) = f (x)dx, luego de la propiedad (3) se obtiene:

       d(f (x)) = f (x) + c

    OBSERVACIÓN.-   De las propiedades (2) y (3), a la integral indefinida tambiénpodemos interpretarla como una operación inversa de la diferenciación, puesto quela integral indefinida al actuar en la diferencial  d(f (x)) reproduce la función  f (x)más la constante de integración.

    Ejemplo.-   Con las propiedades de la integral indefinida, se tiene, que por simpleinspección:

    1. 

      (x2 + 3x + 2)dx = 

      d(x3

    3   + 3

    2 x2 + 2x) =

      x3

    3   + 3

    2 x2 + 2x + c

    2.    4xdx =

       s(

    4x

    4  ) =

      4x

    4  + c

    3.      (cos3x − sen4x)dx =    d( sen3x3   + cos4x4   ) =  sen3x3   + cos4x4   + c

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    DEFINICION.-   En toda integral indefinida 

    f (x)dx, a la función  f (x) le lla-mamos función integrando y a la variable x  le llamaremos variable de integración, la

    constante ces llamada constante de integración, a 

    f (x)dx también se lee “integralindefinida de  f (x) diferencial de  x.”

    NOTA.-   Sugerimos a los estudiantes el dominio de las fórmulas básicas de inte-gración, de tal manera que, en el estudio de las técnicas de integración sea amena yágil, para tal efecto hemos agrupado en   cuatro partes  las fórmulas básicas.

    FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN.- [1]

    PRIMERAS FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN.-

    Sean f, g funciones derivables, k y c son constantes, entonces:

    1.      dx =  x  + c

    2.      Kf (x)dx =  K 

       f (x)dx

    3.   

      d(f (x)) = f (x) + c

    4.      xndx =

      xn+1

    n + 1 +  c

    5.      (f (x) ± g(x))dx =

       f (x)dx ±

       g(x)dx

    Sea  u =  f (x), una funccion diferenciable en  x.

    6.      undu =

      un+1

    n + 1 +  c; n = −1

    7.      du

    u  = ln | u | +c

    8.      udu =  u + c

    9.      audu =   a

    u

    lna  + c; a > 0; a = 1

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         du

    u2

    + a2

      =  1

    a

     arctg(u

    a

    ) + c

    11.      du

    u2 − a2   =  1

    2aln |   u − a

    u + a |  +c

    12.      du

    a2 − u2   =  1

    2aln |   u + a

    u − a |  +c

    EJEMPLOS.-   [1]

    1.   

      x(a − bx2

    x)dx

    ⇒ x(a − bx2) = ax − bx3

       (ax − bx3)dx

    a

       xdx − b

       x3dx

    ax2

    2  −  bx

    4

    4  + c

    2.      3 + lnx

    x  dx

    3   dx

    x   + 

      lnx

    dx

    x

    3ln | x | + ln2x

    2  + c

    3.      x + 1

    x2 + 2xdx

    ⇒ u  =  x2 + 2x ⇒ du  = 2(x + 1)dx

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       du

    2u

    1

    2ln | u | +c

    1

    2ln | x2 + 2 | +c

    SEGUNDAS FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN.-   [1]

    En éstas f́ormulas básicas van a considerarse los casos en que él integrando es unaráız cuadrada de una expresión cuadrática. Sea  u =  f (x) una función diferenciableen  x, entonces:

    1.    du√ 

    a2 − u2 = arc sen(u

    a) + c

    2.    du√ u2 + a2 = ln | u  + u2 + a2 | +c

    3.    du√ 

    u2 − a2 = ln | u  + 

    u2 − a2 | +c

    4.    a2 − u2du =   u

    2

     a2 − u2 +  a

    2

    2  arc sen(

    u

    a) + c

    5.    u2 − a2du =   u

    2

     u2 − a2 −  a

    2

    2  ln | u +

     u2 − a2 | +c

    6.    u2 + a2du =

      u

    2

     u2 + a2 +

     a2

    2  ln | u +

     u2 + a2 | +c

    7.    du

    u√ 

    u2 − a2 =  1

    a arc sen

     | u |a

      + c; a > 0

    Nota.-   Las integrales de este tipo se calculan completando cuadrados.

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    EJEMPLOS.-   [1]

    1.    x2 − 2x − 1dx

       (x − 1)2 − 2dx

    x − 12

     x2 − 2x − 1 − ln | x − 1 +

     x2 − 2x − 1 | +c

    2.    dx√ 2ax − x2

       dx

    a2 − (x − a)2

    arcsen(x − a

    a  ) + c

    3.    dx

    x√ 

    1 − ln2x

      dxx√ 

    1 − ln2x

    ⇒ u  =  lnx ⇒ du  =   dxx

       du√ 

    1 − u2

    arcsen(u) + c

    arcsen(lnx) + c

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    TERCERAS FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN.-   [1]

    En éstas fórmulas básicas vamos a considerar a las funciones trigonométricas,para esto tenemos una función  u =  f (x) diferenciable en  x, entonces:

    1.      sen udu = −cosu + c

    2.      cos udu = sen u + c

    3.      tan udu = −ln | cos u | +c

    4.      cot udu =  ln | sen u | +c

    5.      sec udu =  ln | sec u + tan u | +c =  ln | tg( u

    2 +

     π

    4 |  +c

    6.      csc udu =  ln | csc u − cot u | +c =  ln | tan  u

    2 |  +c

    7.   

      sec2 udu = tan u + c

    8.      csc2 udu = cot u + c

    9.      sec u. tan udu = sec u + c

    10.

         cos u. cot udu = −csc u + c

    EJEMPLOS.-   [1]

    1.      sen(x2 − 4x + 5)(x − 2)dx

    ⇒ u  =  x2 − 4x + 5 ⇒ du  = 2(x − 2)dx ⇒ (x − 2) =   du2

       senu du

    2

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    −cosu

    2   + c

    −cos(x2 − 4x + 5)

    2  + c

    2.      cos(senx + x2)(2x + cosx)dx

    ⇒ u  =  senx + x2 ⇒ du  = (2x + cosx)dx

       cosudu

    senu + c

    sen(senx + x2) + c

    3.

         sec(3

    x + 5)

    dx

    ⇒ u  = 3x + 5 ⇒ du  = 3dx ⇒ dx  =   du3

       secu

    du

    3

    1

    3ln | secu + tgu | +c

    1

    3ln | sec(3x + 5) + tg(3x + 5 | +c

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    CUARTAS FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN.-   [1]

    En estas fórmulas básicas vamos a considerar a las funciones hiperbólicas, paraesto consideramos una función  u =  f (x) diferenciable en  x, entonces:

    1.      senh udu = cosh u + c

    2.      cosh udu = senh u + c

    3.

         tanh udu =  ln | cosh u | +c

    4.      coth udu =  ln | senh u | +c

    5.      sec h2udu = tanh u + c

    6.      csc h2udu = −coth u + c

    7.      sechu tan hudu = −sec hu + c

    8.      csc hu coth udu = −csc hu + c

    EJEMPLOS.-   [1]

    1.      (senh4x)(coshx)dx

       (senhx)4coshdx

    senh5x

    5  + c

    2.      senh(

    √ x)

     dx√ x

      sen(√ x)d(√ x)

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    2cosh(√ x) + c3.    

      xsech2x2dx

    1

    2

       sech2x22xdx

    1

    2tghx2 + c

    INTEGRACIÓN POR SUSTICION O CAMBIO DE VARIABLE.-   [1]

    TEOREMA.-   Si  x =  φ(t) es una función diferenciable entonces: 

      f (x)dx =

       f (φ(t))φ(t)dt

    Demostración

    Sea F (x) =    f (x)dx y definimos G(t) = F (φ(t)) (1)Probaremos que G(t) es la integral indefinida de la función f (φ(t))φ(t), esto es quese cumple:

    dG(t)

    dt  = f (φ(t))φ(t) (2)

    Lo que es equivalente:

    G(t) =

       f (φ(t))φ(t) (3)

    En efecto se tiene:

    dG(t)dt

      =   ddt

    F (φ(t)) =   ddt

    F (x).x =  φ(t)

    = dF (x)

    dx  .

    dx

    dt  (regla de la cadena)

    = f (φ(t))φ(t)   pues  dF (x)

    dx  = f (x)

    = f (φ(t))φ(t) (lo cual demuestra   2)

    Se concluye que:

    x =  φ(t)   entonces 

      f (x)dx =  F (x) = F (φ(t)) = G(t) = 

      f (φ(t))φ(t)dt

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    EJEMPLOS.-   [1]

    1.   

      x3√ 

    x − 2dx

    ⇒ t  =  x − 2 ⇒ x  =  t  + 2 ⇒ dx  =  dt

       (t + 2)

      3√ 

    tdt

       (t

    4/3

    + 2t1/3

    )dt

    3

    7t7/3 +

     3

    7t4/3 + c

    3

    7(x − 2)7/3 + 3

    2(x − 2)4/3 + c

    2.      dx

    x√ 

    x3

    −1

       x2dx

    x3√ 

    x3 − 1

    ⇒ t2 = x3 − 1 ⇒ x3 = 1 + t2 ⇒ x2dx =   2tdt3

       x2dx

    x3√ 

    x3 − 1

       2tdt

    3(1 + t2)√ 

    t2

    2

    3

       dt

    1 + t2

    2

    3arctgt + c

    23

    arctg( 

    x3 − 1) + c

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

    20/43

    20

    3.x4dx

    7

    √ x5

    + 1

    ⇒ t  =  x5 + 1 ⇒ x4dx =   dt5 

      dt

    5   7√ 

    t

    1

    5

       t−1/7dt

    7t6/7

    30  + c

    7

    30 (x

    5

    + 1)

    6/7

    + c

    INTEGRACIÓN POR PARTES.-   [2]

    Una de las técnicas de integracion mas ampliamente usadas es la   integracion por partes , que se obtiene de la formula para la derivada del producto de dos funciones.Si  f   y  g  son funciones diferenciables, entonces:

    Dx[f (x)G(x)] = f (x)g(x) + g(x)f (x)

    f (x)g(x) = Dx[f (x)G(x)]−

    g(x)f (x)

    Al integrar cada miembro de esta ecuación se obtiene:

       f (x)g(x)dx =

       Dx[f (x)G(x)]dx −

       g(x)f (x)dx   (4)

    La fórmula (4) recibe el nombre de   fórmula de integración por partes. Paralos propósitos de cálculo, una forma mas conveniente de esta fórmula se obtiene alconsiderar:

    u =  f (x)   y v = g(x)

    Entonces:du =  f (x)dx y dv = g(x)dx

    de modo que (4) se transforma en:

       u dv  =  u v −

       v du   (5)

    Esta fórmula expresa la integral 

    u dv en términos de otra integral, 

    v du. Medianteuna eleccion adecuada de u y dv, puede evaluarse más facilmente la seguna integral dela primera. Cuando se eligen las sustituciones para u y dv, por lo general se considera

    que  dv  es el factor mas complejo del integrando y puede integrarse directamente, yque  u es una funcion cuya derivada es una funcion mas simple.

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

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    INTEGRAL INDEFINIDA .- [ ?  ]   21

    EJEMPLOS.-   [2]

    1.   

      x lnx dx

    v =  x2

    2  + C 1   y du =

      dx

    x  x ln x dx =  ln x(

    x2

    2  + C 1) −

       (

    x2

    2  + C 1)

    dx

    x

    =  x2

    2  ln x + C 1  ln x −  1

    2

       x dx − C 1

       dx

    x

    =  x2

    2  ln x   +   C 1  ln x −  x

    2

    4 − C 1ln; x C 2

    =  12

    x2 ln x −  14

    x2 + C 2

    2.      x3 x

    2

    dx

    Sea w =  x2; porque  dw = 2x dx.Entonces se tiene:

       x3 x

    2

    dx =  1

    2

       x2x

    2

    (2x dx)

    du =  dw y v =  w

    Sustituyendo se tiene: 1

    2

       ww dw) =

     1

    2[ww −

       w dw

    1

    2[ww − w] + C 

    Al reemplazar  w  por  x2 se obtiene:

       x3 x

    2

    dx =  1

    2x2x

    2 −  12

    x2

    + C 

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

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    22

    SUMATORIAS E INTEGRALES DEFINIDAS.-   [1]

    En este capitulo expondremos la teoria de la sumatorias, que es necesario parael estudio de la integral definida y que en el siguiente capitulo sera utilizado en ladiversos calificaciones.

    SUMATORIAS.-

    A la suma de los n números lo representaremos por la notacion:

    ni=1

    a1  =  a1 + a2 + . . . + an

    Donde al śımbolo

    se le llama signo de sumatoria y es la letra sigma mayuscúladel alfabeto griego.

    Generalizando   : Consideremos m y n dos numeros enteros de tal manera quem n y  f  una función definida para cada  i  e  Z  donde m i n, luego la notaciónn

    i=m f (i) nos representa la suma de los terminos f(m), f(m+1), F(m+2),...,f(n), esdecir:

    ni=m

    = f (m) + f (m + 1) + f (m + 2) + ... + f (n)

    Donde  i, es el indice o variable.  m es el limite inferior y  n  es el limite superior.

    Ejemplo.-   Si  f (i) =   1i+1

    , entonces

    6

    i=2 f (i) =

    6

    i=2i

    i+1 =   2

    3 +   3

    4 +   4

    5 +   5

    6 +   6

    7

    Ejemplo.-   Si  f (i) = cosi, entonces:

    ni=1

    f (i) =

    ni=1

    cosix =  cosx + cos2x + cos3x + ... + cosnx

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

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    SUMATORIAS E INTEGRALES DEFINIDAS.-   [ ?  ]   23

    PROPIEDADES DE LA SUMATORIA.-

    Sean  f   y g  funciones definidas ∀i ∈ Z  y K   constante.1...................................................................................

    ni=1

    = kn

    2....................................................................................n

    i=1

    = kn

    3....................................................................ni=1

    kf  = kn

    i=1

    f (i)

    4........................................ni=1

    (f (i) ± g(i)) =n

    i=1

    f (i) ±n

    i=1

    g(i)

    5...........................................................ni=1

    f (i) =b+c

    i=a+c

    f (i − c)

    6........................................................................ni=1

    =b−c

    i=a−c

    f (i)

    7...........................................

    ni=1

    (f (i) − f (i − 1)) = f (n) − f (0)

    8...................................n

    i=1

    (f (i) − f (i − 1)) = f (n) − f (k − 1)

    9........n

    i=1

    (f (i + 1) − f (i − 1)) = f (n + 1) + f (n) − f (1) − f (0)

    10.ni=1

    (f (i + 1) − f (i − 1)) = f (n + 1) + f (n) − f (k) − f (k − 1)

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

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    24

    FORMULAS DE LA SUMATORIA.-

    1.ni=1

    i = n(n + 1)

    2

    2.n

    i=1

    i2 = n(n + 1)(2n + 1)

    6

    3.n

    i=1

    i3 = n2(n + 1)2

    4

    4.

    ni=1

    i4

    = n(n + 1)(6n3 + 9n2 + n

    −1)

    30

    INTEGRAL DEFINIDA.-

    Sea D el conjunto de todas las particiones posibles P del intervalo [a,b]. Si f esuna función acotada sobre [a,b] entonces existen números m y M tal que:

    m f (x) M, ∀x ∈ [a, b]

    Se sabe que la siguiente desigualdad se cumple

    m(b − a) L(f, P ) U (f, P ) M (b − a)

    Para toda partición P en D,esto asegura que el conjunto numérico {L(f, P )/P  ∈D)}  es acotado superiormente y el conjunto {U (f, P )/P  ∈  D)}   inferiormente, lue-go el conjunto {L(f, P )/P  ∈   D)}   tiene un supremo ( la mayor cota inferior) y{U (f, P )/P  ∈  D)} tiene un infinito (minima cota superior) con estos valores supre-mo e infinito daremos la definición siguiente:

    DEFINICIÓN.-   Si f es una funcíon acotada en [a, b], al número {L(f, P )/P  ∈D)}  se llama integral inferior de  f   en [a, b] y se indica.

       ba

    f (x)dx = {L(f, P )/P  ∈  D)} =  integral inferior de f desde ayb .

    al número inferior {U (f, P )/P  ∈  D)}   se llama integral superior de  f   en [a, b] y seindica.

       ba

    f (x)dx =  inf {U (f, P )/P  ∈  D)} =  integralsuperiordefdesdeayb.

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

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    SUMATORIAS E INTEGRALES DEFINIDAS.-   [ ?  ]   25

    PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES SUPERIORES E INFERIORES.-

    1.- Si f es una función acotada en [a,b], entonces:   ba

    f (x)dx

       ba

    f (x)dx

    2.- Si f es una función acotada en [a,b] entonces:

    m(b − a) L(f, P ) U (f, P ) M (b − a)

    Donde m  =  inf {f (x)/x ∈ [a, b]} y  M  = sup{f (x)/x ∈ [a, b]} 3.- si  f  es una funciónacotada en [a, b] existen puntos c1, c2 ∈ [a, b] tales que:   b

    a

    f (x)dx =  f (c1)(b − a)..y   ba

    f (x)dx =  f (c2)(b − a)

    4.- Si f es una función acotada en [a, b] y  c ∈ a, b  entonces:   ba

    f (x)dx =

       ca

    f (x)dx +

       bc

    f (x)dx..y

       ca

    f (x)dx =

       ca

    f (x)dx +

       bc

    f (x)dx

    INTEGRAL DE RIEMANN.-

    DEFINICIÓN.-   Una función   f   se dice que es integrable en [a, b]; Si   f   es unafunción acotada en [a, b] y si

     ba

     f (x)dx = ba

     f (x)dx, a este valor común se le llama”La integral definida”(DE RIEMANN) y se denota asi:

       ba

    f (x)dx =

       ba

    f (x)dx =

       ba

    f (x)dx

    por simplicidad se llama integral definida de  f   sobre [a, b] ó integral definida de  f sobre [a, b] ó integral de  f   de ”a” hasta ”b”.

    OBSERVACIÓN.-   1.-El número ba

     f (x)dx   se llama integral definida de   f (x)desde ”a” hasta ”b”.2.-El simbolo

      es llamado simbolo de integración (éste śımbolo fue introducido por

    Lebnitz).3.-La función  f (x) se llama integrante.4.- ”a” se llama el limite inferior de integración.5.- ”b” se llama el limite superior de integración.6.- La variable  x que aparece en

     ba

     f (x)dx, no tiene significado especial es:

       ba

    f (x)dx =   ba

    f (y)dy  =   ba

    f (z )dz  =   ba

    f (u)du

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

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    26

    EXISTENCIA DE FUNCIONES INTEGRALES.-   Se conoce que la fun-ciones decrecientes y crecientes son integrables, ahora veremos que las funciones

    continuas sobre un intervalo cerrado [a, b] son también integrables en [a, b].

    i) Si  f  es una función continua sobre [a, b] entonces  f  es integrable sobre [a, b].ii) Si  f  es continua sobre [a, b], entonces para cada  ε > 0 tal que:

    |   ba

    f (x)dx −n

    i=1

    f (x1)(x1 − xi−1)|

    para toda partición  P   con |P | < δ  y para toda elección de  x1 ∈ [xi−1, xi].iii) Si f es continua en [a,b], entonces:

       b

    a

    f (x)dx = ĺım|P |0

    ni=1

    f (x1)(x1 − xi−1)

    Donde x1  es un punto arbitrario en [xi−1, x1] para toda partición P   de [a, b] y puedeelegirse los   x1 ∈   [xi−1, xi] del modo siguiente  x1   =   xi+xi−12   que es el punto medio[xi−1, xi].

    LA INTEGRAL COMO LIMITE DE SUMAS.-

    DEFINICIÓN A.-   Diremos que una función f  es integrable en el intervalo [a, b],si existe un número  L, que cumple la condición que para cada  ε > 0, existe  δ > 0,tal que |ni=1 f (α1) 1 x − L| < ,para toda partición  P  del intervalo [a, b], donde|P | < δ , a esta definición lo representaremos por:

    L = ĺımn∞

    ni=1

    f (αi) i x

    DEFINICIÓN B.-   Consideremos una función  f  definida en el intervalo cerrado[a, b], entonces a la integral definida de  f   de ”a” hasta ”b”.

    Denotaremos   por ba

     f (x)dx y es definida por:

       ba

    f (x)dx = ĺımn∞

    ni=1

    f (αi) i x

    si existe el limite

    CÁLCULO DE LA INTEGRAL DEFINIDA USANDO INTERVALOS

    DE IGUAL LONGITUD.-

    En el cálculo de las integrales definidas, cuando se usan intervalos de igual lon-gitud se tiene que :

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

    27/43

    SUMATORIAS E INTEGRALES DEFINIDAS.-   [ ?  ]   27

    x =   b−an

      , xi =  a + i x, de donde  xi = a +   b−an   i, i = 0, 1, 2,...,nLuego la integral definida se calcula mediante la expresión.

       ba

    dx = ĺımn∞

    n1

    f (xi) x

    PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.-   Consideremos dos fun-ciones  f   y  g  integrables en [a, b] y  k  una constante arbitraria, entonces:

    1.    ba

    kf (x)dx =  k

       ba

    f (x)dx

    2.    ba

    [f (x) ± g(x)]dx =   ba

    f (x)dx ±   ba

    g(x)dx

    3.

       ba

    f (x)dx =

       ca

    f (x)dx+

       bc

    f (x)dx, dondefesintegrableen[a, c], [c, b], [a, b]ya c b

    4.

       b

    a f (x)dx− = −    a

    b f (x)dx,b > a

    5.    ba

    f (x)dx = 0

    6.    ba

    f (x)dx =

       b+ka+k

    f (x − k)dx

    7.

    Sif (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] entonces    b

    af (x)dx ≥ 0

    8.

    Sif (x) ≥ g(x).∀x[a, b], entonces :   ba

    f (x)dx ≥   ba

    g(x)dx

    9. Si m  y  M  son los valores mı́nimos y máximos absolutos de  f   en [a, b] respecti-

    vamente tal que  m f (x) M, ∀x ∈ [a, b] entonces:  m(b − a)  ba

     f (x)dx M (b − a)

    10. Si   f   es una función continua en el intervalo [a, b], entonces: |  

    b

    a f (x)dx

    |   b

    a |f (x)|dx

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

    28/43

    28

    11. Si   f   es una función continua en el intervalo [0, b], entonces: a0

      f (x)dx   =

     a

    0  f (a

    −x)dx

    12. Si f  es una función par y continua en [−a, a], entonces:  a−a

     f (x)dx = 2 a0

      f (x)dx

    13. Si  f  es una función impar y continua en [−a, a], entonces:  a−a

     f (x)dx = 0

    14. Si  f  es una función par y continua,entonces: Π

    0  xf (cosx)dx =   Π

    2

     Π

    0  f (cosx)dx

    15. Si  f  es una función continua, entonces: Π

    0  xf (senx)dx =   Π

    2

     Π

    0  f (senx)dx

    16. Si  f  es integrable en [a, b],entonces para cualquier c = 0 se tiene que:

    a) ba  f (x)dx =   1c

     bcac f (xc )dx

    b) ba

     f (x)dx =  c b

    ca

    c

    f (cx)dx

    17. Si  f  es una función continua en un intervalo 1, entonces, para cada  tI .

    a) 0

    −t f (x)dx =

     t0

     f (−x)dxb) t−t

     f (x)dx = 2 t0

     f (x)dx, si  f   es par.

    EJERCICIOS RESUELTOS

    INTEGRALES INDEFINIDAS

    PROBLEMA 1

    cálcular la integral indefinida

       (

    √ x + 3)dx =

       (x1/2 + 3)dx =

     2

    3.x3/2 + 3x + c

    PROBLEMA 2

    cálcular la integral indefinida

       7x2 + 16

    x4 + 4x2dx =

       7x2 + 4(x2 + 4)

    x2(x2 + 4)  dx

       4(x2 + 4) + 3x2

    x2(x2 + 4)  dx =

       [

     4(x2 + 4)

    x2(x2 + 4) +

      3x2

    x2(x2 + 4)]dx

       [  4

    x2 +   3

    x2 + 4]dx

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

    29/43

    EJERCICIOS RESUELTOS    29

       4dx

    x2  + 3

       dxx2 + 4

    4

       dx

    x2  + 3

       dx

    x2 + 22

       4(x−2) + 3

       dx

    x2 + 22

    4(x−1)

    −1   + 31

    2arctg

    x

    2 + c

    3

    2actg −  4

    x + c

    PROBLEMA 3

    cálcular la integral indefinida

       18

    9x2 − x4dx

       18

    x2(9 − x2)dx

       2(9 −x2) + 2x2

    x2(9 − x2)   dx

       [

     2

    x2 +

      2

    9 − x2 ]dx

       2x−2dx +

       2dx

    32 − x2

    2x−1

    −1  − 2 

      dxx2 − 32

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

    30/43

    30

    −2x − 2

    6 ∗ ln |  x − 3

    x + 3 |  +c

    −2x − 1

    3 ∗ ln |  x − 3

    x + 3 |  +c

    PROBLEMA 4

    cálcular la integral indefinida

       2x

    ×3x+1

    5x+2   dx =   2

    x

    ×3x

    ×3

    5x × 52   dx

    3

    25

       6x

    5xdx =

      3

    25

       (

    6

    5)xdx

    sabiendoque  :

       axdx =

      ax

    lnx + c

    3

    25 ×

    (65

    )x

    ln6

    5

    + c =  3

    25 × ( 6

    5)x ×   1

    ln6 − ln5 + c

    PROBLEMA 5

    cálcular la integral indefinida

       (ln + 1) × e

    xlnx

    × dx

    Siendoα =  xlnx ⇒ dα  = (xlnx + x ×  1x

    )dx ⇒ dx  =   dα(lnx + 1)

       (ln + 1) × eα ×   dα

    (lnx + 1)

       eαdα

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

    31/43

    EJERCICIOS RESUELTOS    31

    eα = exlnx = exlogex

    (elogex)x

    xx + c

    PROBLEMA 6

    cálcular la integral indefinida

       lnx

    x3 dx

       (lnx)(x−3)dx

    ⇒ u  =  lnx ⇒ du  =   1x

    dx =  xdu  =  dx

       dv  =    x−3dx ⇒ v  =

     x−2

    −2 ⇒ v  =

     −1

    2x−2

    luego :

       lnx

    x3 dx

    lnx × x−2

    −2 − 

     −12

    x−2 × dxx

    −12

    lnx × x−2 + 12

       x−3dx

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

    32/43

    32

    −12

    lnx × x−2 + 12 × x

    −2

    −2

    − lnx2x2

     −   14x2

    −2lnx − 14x2

    −(2lnx + 1)4x2

      + c

    PROBLEMA 7

    cálcular la integral indefinida

       (cos7x)(sen3x)dx

       cos7x(1 − cos2)(senxdx)

       (cos7 − cos9)(senxdx)

    −   cos7(−senxdx) +    cos9x(−senxdx)

    ⇒ u  =  cosx ⇒ du  = −senxdx

    − 

      u7du +

       u9du

    −cos8

    x8

      +  cosx10

    10

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

    33/43

    EJERCICIOS RESUELTOS    33

    cos8x40

      (4cos2x − 5) + c

    PROBLEMA 8

    cálcular la integral indefinida

       senh

    3

    xdx

       senh2x(senhxdx)

       (cosh2x − 1)(senhxdx)

    ⇒ u  =  coshx ⇒ du  =  senhxdx

       cosh2(senhxdx) −

       senhxdx

       u

    2

    du − coshx

    u3

    3 − coshx

    cosh3x

    3  − coshx + c

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

    34/43

    34

    PROBLEMA 9

    cálcular la integral indefinida    x2dx√ 

    1 − x2

    ⇒ x  =  senθ ⇒ dx  =  cosθdθ

       sen2θ√ 

    1 − sen2θ (cosθdθ)

       sen2θ

    cosθ  (cosθdθ)

       sen2θdθ

       (

    1 − cos2θ2

      )dθ

       1

    2dθ − 1

    2

       cos2θdθ

    1

    2θ − 1

    2(

    1

    2)

       cos2θ(2dθ)

    1

    2arcsenx − 1

    4sen2θ

    1

    2arcsenx − 1

    2(senθ)(cosθ)

    1

    2arcsenx − 1

    2(x)(

    √ 1 − x2)

    1

    2arcsenx − x

    2(√ 

    1 − x2) + c

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

    35/43

    EJERCICIOS RESUELTOS    35

    PROBLEMA 10

    cálcular la integral indefinida   sen3(3x)tg(3x)dx

       sen3(3x) − sen(3x)

    cos(3x)dx

       sen4(3x)

    cos(3x) dx

       (sen2(3x))2

    cos(3x)  dx

       (1 − cos23x)2

    cos3x  dx

       1 − 2cos

    2

    3x + cos4

    3xcos3x

      dx

       (sec3x − 2cos3x + cos33x)dx

       (sec3x − 2cos3x + cos23x(cos3x))dx

       sec3xdx − 2

       cos3xdx +

       (1 − sen23x)cos3xdx

    1

    3

       sec3x(3dx) − 2

    3

       cos3x(3dx) +

     1

    3

       cos3xdx − 1

    3

       sen23xcs3x(3dx)

    1

    3ln | sec3x + tg3x | −2

    3sen3x +

     1

    3sen3x − 1

    9sen33x + c

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

    36/43

    36

    PROBLEMA 11

    cálcular la integral indefinida    tg3x

    sec4xdx

       (tg2)(tgx)(secx)

    (secx)(sec4x)  dx

       tg2xsec5x (tgxsecxdx)

       sec2x − 1

    sec5x  (tgxsecxdx)

       sec2x

    sec5x(tgxsecxdx) −

       tgxsecxdx

    sec5x

       sec−3x(tgxsecxdx) −

       sec−5x(tgxsecxdx)

    ⇒ u  =  secx ⇒ du  =  secxtgxdx

    −12

    sen−2x + 1

    4sec−4x + c

    PROBLEMA 12

    cálcular la integral indefinida

       (x − √ x − 1)(√ x + 1)dx

       (x3/2 + 1)dx

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

    37/43

    EJERCICIOS RESUELTOS    37

    2x5/2

    5  + x + c

    PROBLEMA 13

    cálcular la integral indefinida

       3 + lnx

    x  dx

    3

       dx

    x  +

       lnx(

    dx

    x ) ⇒ 3ln | x | + ln

    2x

    2  + c

    PROBLEMA 14

    cálcular la integral indefinida

       dx (senx)(cos)3x

       sec2xdx

    sec2√ 

    senxcos3x

       sec2xdx

    √ senxsec4xcos3x 

      sec2xdx√ senxsecx

       sec2xdx√ 

    tgx

       tg−1/2xsec2xdx

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

    38/43

    38

    2√ tgx + c

    PROBLEMA 15

    cálcular la integral indefinida

       dx

    sen2xcos4x

       sen2x + cos2x

    sen2xcos4x  dx

       (

      1

    cos4x +

      1

    sen2xcos2x)dx

       dx

    cos4x +

       dx

    sen2xcos2x

       sec4xdx +

       sen2x + cos2x

    sen2xcos2x

       (1 + tg2x)sec2xdx +

       (

      1

    cos2x +

      1

    sen2x)dx

       sec2xdx +

       tg2xsec2xdx +

       sec2xdx +

       cosec2xdx

    tgx + tg3x

    3  + tgx − ctgx + c

    2tgx +  tg

    3

    x3   − ctgx + c

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

    39/43

    EJERCICIOS RESUELTOS    39

    INTEGRALES DEFINIDAS

    PROBLEMA 1

       1

    −1

    (x4/3 + 4x1/3)dx

    3

    7x7/34

    3

    4x4/3]1−1

    37

     + 3 − (−37

     + 3)

    6

    7

    PROBLEMA 2

       20

    2x2

    √ x3 + 1dx

    2

    3

       2

    0

    √ x3 + 1(3x2dx)

    2

    3

    (x3 + 1)3/2

    3

    2

    ]20

    4

    9(8 + 1)3/2 − 4

    9(0 + 1)3/2

    4

    9(27 − 1)

    1049

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

    40/43

    40

    PROBLEMA 3

       0

    π/2

    sen3xcosxdx

    ⇒ u  =  senx ⇒ du  =  cosxdx

    cuando x = 0 , u = 0 ;  cuandox = 1

    2π , u = 1

       0

    π/2

    sen3xcosxdx

       1

    0

    u3du

    u4

    4 ]0π/2

    1

    4

    PROBLEMA 4

       4

    −3 | x + 2

     | dx

       −2−3

    (−x − 2)dx +   4

    −2

    (x + 2)dx

    −x2

    2 − 2x]−2−3 +

     x2

    2  + 2x]−24

    [(−2 + 4) − (−92

    ) + 6] + [(8 + 8) − (2 − 4)]

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

    41/43

    EJERCICIOS RESUELTOS    41

    12

     + 18

    37

    2

    PROBLEMA 5

       9

    4

    √ xdx√ 

    x−

    1

    ⇒ x  =  z 2 ⇒ dx  = 2zdz 

    ⇒ x  = 4 z  = 2 x  = 9 y  = 3

       3

    2

    z  − 12zdz 

    2

       3

    2

    (z  + 1 +  1

    z  − 1)dz 

    2[z 2

    2  + z  + ln | z  − 1 |]32

    2[(9

    2 + 3 + ln2) − (4

    2) + 2 + ln1]

    7 + 2ln2

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    42

  • 8/18/2019 INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS

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    Bibliograf́ıa

    [1]   Eduardo Espinoza Ramos   ,Analisis Matem´ atico II para estudiantes de Ciencia e Ingenieŕıa   , tercera edición, Lima, Perú, 2002.

    [2]   Louis Leithold,   El Cálculo,Técnicas de Integraci´ on, Formas indetermina-das e Integrales impropias ,  7, págs. 545–565, 1999.

    [3]   Máximo Mitacc Meza,y   Luis Toro Mota,   T´ opicos de C´ alculo Vol. I   ,tercera edición, Lima, Perú, 2009.