Calculo: Trascendentes tempranas 4e. Zill

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  • 1. CLCULOTrascendentes tempranas 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 26/11/10 22:42 Pgina i

2. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 26/11/10 22:42 Pgina ii 3. Marlene Aguilar balo Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM), Campus Ciudad de Mxico Crisanto Castillo Castillo Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM), Campus Cuernavaca, Mxico Fidel Castro Lpez Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica (ESIME), Instituto Politcnico Nacional, Mxico Roco Cerecero Lpez Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM), Campus Cuernavaca, Mxico Ramn Espinosa Armenta Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico (ITAM) Eugenio L. Fautsch Tapia Facultad de Qumica, Universidad Nacional Autnoma de Mxico (UNAM) Jos Job Flores Godoy Universidad Iberoamericana, Ciudad de Mxico Enrique Arturo Galvn Flores Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica (ESIME), Instituto Politcnico Nacional, Mxico Joel Ibarra Escutia Instituto Tecnolgico de Toluca, Toluca, Mxico Linda Margarita Medina Herrera Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM), Campus Ciudad de Mxico Santiago Neira Rosales Facultad de Ingeniera Mecnica y Elctrica, Universidad Autnoma de Nuevo Len, Mxico Carlos Enrique Peralta Santa Cruz Universidad Continental de Ciencias e Ingeniera, Huancayo, Per John Alexander Prez Seplveda Universidad Nacional de Colombia, Medelln, Colombia Jorge Augusto Prez Alczar Universidad Escuela de Administracin de Negocios, Universidad Sergio Arboleda y Escuela Colombiana de Ingeniera, Bogot, Colombia Ignacio Ramrez Vargas Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM), Campus Hidalgo, Mxico Hctor Jo Rosas Toledo Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autnoma de Mxico (UNAM) Tonatihu Valdez Hernndez Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autnoma de Mxico (UNAM) Petr Zhevandrov Facultad de Ingeniera, Universidad de la Sabana, Bogot, Colombia MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TORONTO Revisin tcnica: CLCULO Trascendentes tempranas Cuarta edicin Dennis G. Zill Loyola Marymount University Warren S.Wright Loyola Marymount University 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 7/12/10 11:47 Pgina iii Ramiro Saldaa Acosta Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM), Campus Laguna, Mxico 4. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos Editor sponsor: Pablo E. Roig Vzquez Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha M. Editor de desarrollo: Edmundo Carlos Ziga Gutirrez Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca Traductores: Hugo Villagmez Velzquez y Gabriel Nagore Czares CLCULO. TRASCENDENTES TEMPRANAS Cuarta edicin Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS 2011 respecto a la primera edicin en espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A, Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro Obregn, C.P. 01376, Mxico, D. F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736 ISBN 13: 978-607-15-0502-6 Translated from the 4th edition of: Calculus. Early transcendentals by Dennis G. Zill and Warren S. Wright. Copyright 2011 by Jones and Bartlett Learning, 40 Tall Pine Drive, Sudbury, MA 01776. All rights reserved. 978-0-7637-5995-7 1234567890 1098765432101 Impreso en China Printed in China Educacin 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 26/11/10 22:42 Pgina iv 5. Para el instructor Filosofa La cuarta edicin de Clculo: trascendentes tempranas constituye una revisin sustancial de la ltima edicin. Aunque en esta edicin hay mucho material nuevo, he intentado preservar intac- to mi objetivo original de compilar un texto de clculo que no sea slo una coleccin de defini- ciones y teoremas, habilidades y frmulas para memorizar, as como problemas para resolver, sino un libro que se comunique con sus lectores ms importantes: los estudiantes. Deseo que estos cambios hagan ms relevante e interesante el texto tanto para el estudiante como para el profesor. Caractersticas de esta edicin Secciones y ejercicios La mayor parte del material se ha actualizado y, en algunos casos, reor- ganizado. Muchas secciones y conjuntos de ejercicios se han reescrito por completo; asimismo, se les han agregado muchos problemas nuevos, en especial aplicaciones, problemas que requie- ren el uso de calculadora y computadora, problemas conceptuales y problemas de proyectos. En su mayora, las aplicaciones agregadas pertenecen al mbito de la vida real en el sentido de que se han investigado exhaustivamente usando fuentes originales. Tambin se han agregado problemas relacionados con la interpretacin de grficas. Adems, se ha hecho nfasis en las fun- ciones trigonomtricas tanto en los ejemplos como en los conjuntos de ejercicios a lo largo del texto. En esta edicin hay ms de 7 300 problemas. Como ayuda en la asignacin de problemas, cada conjunto de ejercicios est dividido clara- mente en grupos de problemas identificados con ttulos como Fundamentos, Aplicaciones, Mode- los matemticos, Proyectos, Problemas con calculadora/SAC, etctera. Creo que la mayora de los ttulos son autosuficientes, de modo que los problemas que aparecen bajo el encabezado Pien- se en ello tratan aspectos conceptuales del material cubierto en esa seccin y son idneos como tareas o para discutir en clase. En el texto no se proporciona respuesta alguna para estos proble- mas. Algunos estn identificados como Clsicos matemticos y reflejan el hecho de que han existido durante largo tiempo, aparecen en la mayor parte de los textos o presentan algn deta- lle interesante, mientras que otros problemas identificados como Un poco de historia muestran algn aspecto histrico. El captulo 1 es un repaso de funciones, y siguiendo la moda prevaleciente actual, las fun- ciones se presentan desde los puntos de vista algebraico, grfico, numrico o verbal. De hecho, la ltima seccin del captulo 1 se titula De las palabras a las funciones. Debido a que muchos estudiantes invariablemente encontrarn dificultades para resolver problemas relacionados con tasas y optimizacin aplicada, he incluido esta seccin a fin de proporcionar una visin previa sobre cmo establecer, o construir, una funcin a partir de una descripcin verbal (donde se ha eliminado el contexto del clculo). En efecto, muchos problemas en la seccin 1.7 vuelven a apa- recer en un contexto de clculo en la seccin 4.8. Prefacio v 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:51 Pgina v 6. En este texto las ecuaciones diferenciales aparecen en dos captulos: 8 y 16. Las ecuaciones de primer orden se consideran en el captulo 8 para beneficio de aquellos estudiantes que encuen- tren sus aplicaciones en cursos de fsica e ingeniera. En el captulo 16 se consideran la solucin y las aplicaciones de ecuaciones diferenciales de orden superior. Por supuesto, los captulos 8 y 16 pueden combinarse y cubrirse como una unidad en cualquier punto del curso, una vez que se haya concluido el captulo 4. En el apndice se proporcionan demostraciones de algunos de los teoremas ms largos. Al final de las secciones correspondientes aparecen esbozos biogrficos de algunos matemticos que han impactado de manera importante el desarrollo del clculo bajo la rbrica de Posdata: Un poco de historia. Caractersticas especiales Cada captulo empieza con su propia tabla de contenido y una intro- duccin al material referido en ese captulo. En la parte final del libro, despus del apndice, el lector encontrar la seccin Frmulas matemticas, que constituye una revisin compacta de conceptos bsicos de lgebra, geometra, trigonometra y clculo: las leyes de los exponentes, frmulas de factorizacin, desarrollos binomiales, tringulo de Pascal, frmulas de geometra, grficas y funciones, funciones trigonomtricas, funciones exponenciales y logartmicas, y fr- mulas de diferenciacin e integracin. La seccin denominada Autoevaluacin, que fue introducida en la ltima edicin, consta de 56 reactivos sobre cuatro amplias reas de preclculo en matemticas. Esta evaluacin intenta alentar a los estudiantes a revisar por s mismos algunos de los temas de prerrequisito esenciales, como valores absolutos, plano cartesiano, ecuaciones de rectas, crculos, etc., que se aplican a lo largo del texto. En la seccin de respuestas se proporcionan las soluciones a todos estos reactivos. Los usuarios de las tres ediciones previas han sido muy receptivos a las Observaciones con las que a menudo termina una seccin. En consecuencia, el nmero de stas ha aumentado y se les ha denominado Notas desde el aula. Se pretende que estas notas sean anlisis informales diri- gidos directamente al estudiante. Estos anlisis varan desde advertencias sobre errores algebrai- cos, de procedimiento y de notacin comunes, pasando por la interpretacin errnea de teoremas y consejos, hasta preguntas que piden al estudiante pensar en el tema y ampliar las ideas recin presentadas. Tambin, a solicitud de los usuarios, se ha incrementado el nmero de notas al margen y anotaciones de orientacin en los ejemplos. Figuras, definiciones, teoremas Debido a la gran cantidad de figuras, definiciones y teoremas que hay en este texto, he cambiado a un sistema de numeracin doble decimal. Por ejemplo, la interpretacin de figura 1.2.3 es Considero que este tipo de numeracin facilita encontrar, por ejemplo, un teorema o una figura a la que se hace referencia en una seccin o en un captulo posterior. Adems, para relacionar mejor una figura con el texto, la primera referencia textual a cada figura aparece con el mismo estilo y color de letra que el nmero de la figura. Por ejemplo, la primera referencia a la prime- ra figura en la seccin 7.5 se proporciona como FIGURA 7.5.1, y todas las referencias subsecuentes se escriben en el estilo tradicional de la figura 7.5.1. Tambin, en esta edicin cada figura en el texto presenta un breve subttulo explicatorio. Materiales de apoyo Esta obra cuenta con interesantes complementos para fortalecer los procesos de enseanza-apren- dizaje y su evaluacin, y se otorgan a profesores que adoptan este texto para sus cursos. Para obtener ms informacin respecto de estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill. Para el estudiante Usted se ha matriculado en uno de los cursos ms interesantes de matemticas. Hace muchos aos, cuando yo era estudiante de Clculo I, me sorprendieron el poder y la belleza del material. Era distinto de cualquier tipo de matemticas que hubiera estudiado hasta ese momento. Era Captulo Seccin del captulo 1 T T 1.2.3 d Tercera figura de la seccin 1.2 vi Prefacio 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:51 Pgina vi 7. divertido, emocionante y constitua un desafo. Despus de ensear matemticas universitarias por muchos aos, he conocido infinidad de tipos de estudiante, desde el genio incipiente que invent su propio clculo hasta estudiantes que luchaban por dominar la mecnica ms elemen- tal del tema. A lo largo de estos aos tambin he sido testigo de un fenmeno triste: algunos estu- diantes fracasan en clculo no porque encuentren que el tema es imposible, sino porque tienen habilidades deficientes de lgebra y un conocimiento inadecuado del trabajo en trigonometra. El clculo construye de inmediato sobre su conocimiento y habilidades previos, donde hay mucho terreno nuevo por cubrir. En consecuencia, hay muy poco tiempo para repasar las bases en el planteamiento formal del aula. As, quienes enseamos clculo debemos asumir que usted puede factorizar, simplificar y resolver ecuaciones, resolver desigualdades, manejar valores absolutos, usar una calculadora, aplicar las leyes de los exponentes, encontrar ecuaciones de rec- tas, graficar puntos, trazar grficas elementales y aplicar importantes identidades logartmicas y trigonomtricas, la habilidad de hacer lgebra y trigonometra, trabajar con exponentes y loga- ritmos, as como trazar a mano, con rapidez y precisin, grficas bsicas que son claves para tener xito en un curso de clculo. En la pgina xvii encontrar la seccin Autoevaluacin, que contiene 56 preguntas. Esta prueba es una oportunidad para que usted verifique sus conocimientos acerca de algunos temas que se tratan en este texto. Reljese, tome su tiempo, lea y trabaje cada pregunta, y luego compa- re sus respuestas con las que se proporcionan en la pgina RES-1. Sin tomar en cuenta su califi- cacin, lo alentamos a que revise material de preclculo en algn texto acerca de la materia. Unas palabras para los estudiantes que han cursado clculo en preparatoria: por favor, no asuman que pueden lograrlo con un esfuerzo mnimo porque identifican algunos de los temas en clculo diferencial e integral. Un sentimiento de familiaridad con el tema combinado con una actitud de complacencia a menudo es la razn del fracaso de algunos estudiantes. Aprender matemticas no es como aprender a andar en bicicleta: en que una vez que se aprende, la habilidad permanece para siempre. Las matemticas son ms como aprender otro idioma o tocar un instrumento musical: requiere tiempo, esfuerzo y mucha prctica para desarro- llar y mantener la habilidad. Aun los msicos experimentados continan practicando escalas fun- damentales. Por lo anterior, usted, el estudiante, slo puede aprender matemticas (es decir, hacer que se le pegue) mediante el trabajo arduo de hacer matemticas. Aunque he intentado hacer ms claros para el lector la mayora de los detalles en la solucin de un ejemplo, inevita- blemente usted tiene que completar los pasos faltantes. No puede leer un texto de este tipo como si fuese una novela; debe abrirse camino a lo largo de l con lpiz y papel en mano. En conclusin, le deseo la mejor de las suertes en este curso. Agradecimientos Compilar un libro de texto de esta complejidad es una tarea monumental. Adems de los auto- res, mucha gente invirti tiempo y energa en el proyecto. En primer lugar, me gustara expresar mi aprecio para los equipos editorial, de produccin y mercadotecnia de Jones y Bartlett, y a los siguientes revisores de esta edicin y las ediciones previas, quienes contribuyeron con numero- sas sugerencias, crticas vlidas e incluso ocasionalmente con algunas palabras de apoyo: Prefacio vii Scott Wilde, Baylor University Salvatore Anastasio, SUNY, New Paltz Thomas Bengston, Penn State University, Delaware County Steven Blasberg, West Valley College Robert Brooks, University of Utah Dietrich Burbulla, University of Toronto David Burton, Chabot College Maurice Chabot, University of Southern Maine H. Edward Donley, Indiana University of Pennsylvania John W. Dulin, GMI Engineering & Management Institute Arthur Dull, Diablo Valley College Hugh Easler, College of William and Mary Jane Edgar, Brevard Community College Joseph Egar, Cleveland State University Patrick J. Enright, Arapahoe Community College Peter Frisk, Rock Valley College Shirley Goldman, University of California at Davis Joan Golliday, Santa Fe Community College David Green, Jr., GMI Engineering & Management Institute Harvey Greenwald, California Polytechnic State University Walter Gruber, Mercy College of Detroit Dave Hallenbeck, University of Delaware Noel Harbetson, California State University at Fresno Bernard Harvey, California State University, Long Beach Christopher E. Hee, Eastern Michigan University Jean Holton, Tidewater Community College 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:51 Pgina vii 8. viii Prefacio Rahim G. Karimpour, Southern Illinois University Martin Kotler, Pace University Carlon A. Krantz, Kean College of New Jersey George Kung, University of Wisconsin at Stevens Point John C. Lawlor, University of Vermont Timothy Loughlin, New York Institute of Technology Antonio Magliaro, Southern Connecticut Slate University Walter Fred Martens, University of Alabama at Birmingham William E. Mastrocola, Colgate University Jill McKenney, Lane Community College Edward T. Migliore, Monterey Peninsula College Carolyn Narasimhan, DePaul University Harold Olson, Diablo Valley College Gene Ortner, Michigan Technological University Aubrey Owen, Community College of Denver Marvin C. Papenfuss, Loras College Don Poulson, Mesa Community College Susan Prazak, College of Charleston James J. Reynolds, Pennsylvania State University, Beaver Campus Susan Richman, Penn State University, Harrisburg Rodd Ross, University of Toronto Donald E. Rossi, De Anza College Lillian Seese, St. Louis Community College at Meramec Donald Sherbert, University of Illinois Nedra Shunk, Santa Clara University Phil R. Smith, American River College Joseph Stemple, CUNY Queens College Margaret Suchow, Adirondack Community College John Suvak, Memorial University of Newfoundland George Szoke, University of Akron Hubert Walczak, College of St. Thomas Richard Werner, Santa Rosa Junior College Loyd V. Wilcox, Golden West College Jack Wilson, University of North Carolina, Asheville Tambin me gustara extender un agradecimiento extraespecial para las siguientes personas: Jeff Dodd, Jacksonville State University, por el proyecto del problema 37 de los ejerci- cios 8.3. John David Dionisio, Loyola Marymount University, y Brian y Melanie Fulton, High Point University, por proporcionar las soluciones de problemas y ejercicios. Roger Cooke, University of Vermont, y Fred S. Roberts, Rutgers University, por haber dedicado tiempo de sus ocupados programas y contribuido con los excelentes ensayos de clculo. Carol Wright, por su ayuda en las etapas finales de preparacin del manuscrito de ste y otros textos. David Pallai, distribuidor, y Tim Anderson, editor, por soportar toda la liberacin verbal de mis frustraciones. Jennifer Bagdigian, gerente de produccin, por coordinar amablemente las fases de pro- duccin y por su paciencia para aguantar mis cambios de carcter sin fin, y a Irving Drooyan y Charles Carico, por iniciar todo. Incluso con toda la ayuda mencionada, la precisin de cada letra, palabra, smbolo, ecuacin y figura contenidos en este producto final es responsabilidad del autor. Estar muy agradecido de contar con el aviso de cualquier error o errores tipogrficos que llamen la atencin. Las correc- ciones pueden enviarse a [email protected] En conclusin, doy la bienvenida a Warren Scott Wright, mi colega desde hace mucho tiempo en Loyola Marymount University, y autor de muchos de los suplementos que acompaan mis tex- tos, como coautor de este texto. Dennis G. Zill Warren S. Wright 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:51 Pgina viii 9. Contenido ix Prefacio v Autoevaluacin xvii Ensayo: La historia del clculo xxi 1 Funciones 1 1.1 Funciones y grficas 2 1.2 Combinacin de funciones 10 1.3 Funciones polinomiales y racionales 20 1.4 Funciones trascendentes 30 1.5 Funciones inversas 37 1.6 Funciones exponencial y logartmica 48 1.7 De las palabras a las funciones 55 Revisin del captulo 1 61 2 Lmite de una funcin 67 2.1 Lmites: un enfoque informal 68 2.2 Teoremas sobre lmites 74 2.3 Continuidad 81 2.4 Lmites trigonomtricos 88 2.5 Lmites que involucran el infinito 94 2.6 Lmites: un enfoque formal 103 2.7 El problema de la recta tangente 110 Revisin del captulo 2 118 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:51 Pgina ix 10. x Contenido 3 La derivada 121 3.1 La derivada 122 3.2 Reglas de potencias y sumas 130 3.3 Reglas de productos y cocientes 138 3.4 Funciones trigonomtricas 144 3.5 Regla de la cadena 149 3.6 Diferenciacin implcita 156 3.7 Derivadas de funciones inversas 162 3.8 Funciones exponenciales 167 3.9 Funciones logartmicas 172 3.10 Funciones hiperblicas 178 Revisin del captulo 3 186 4 Aplicaciones de la derivada 191 4.1 Movimiento rectilneo 192 4.2 Razones de cambio relacionadas 196 4.3 Extremos de funciones 204 4.4 Teorema del valor medio 210 4.5 Otro repaso a los lmites: regla de LHpital 216 4.6 Grficas y la primera derivada 224 4.7 Grficas y la segunda derivada 230 4.8 Optimizacin 235 4.9 Linealizacin y diferenciales 247 4.10 Mtodo de Newton 254 Revisin del captulo 4 260 5 Integrales 267 5.1 La integral indefinida 268 5.2 Integracin por sustitucin u 276 5.3 El problema de rea 286 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:51 Pgina x 11. 5.4 La integral definida 295 5.5 Teorema fundamental del clculo 305 Revisin del captulo 5 316 6 Aplicaciones de la integral 321 6.1 Otro repaso al movimiento rectilneo 322 6.2 Otro repaso al rea 325 6.3 Volmenes de slidos: mtodo de rebanadas 333 6.4 Volmenes de slidos: el mtodo de los cascarones 340 6.5 Longitud de una grfica 345 6.6 rea de una superficie de revolucin 348 6.7 Valor medio (promedio) de una funcin 351 6.8 Trabajo 355 6.9 Presin y fuerza del fluido 362 6.10 Centros de masa y centroides 367 Revisin del captulo 6 373 7 Tcnicas de integracin 379 7.1 Integracin: tres recursos 380 7.2 Integracin por sustitucin 382 7.3 Integracin por partes 386 7.4 Potencias de funciones trigonomtricas 393 7.5 Sustituciones trigonomtricas 399 7.6 Fracciones parciales 406 7.7 Integrales impropias 415 7.8 Integracin aproximada 423 Revisin del captulo 7 433 8 Ecuaciones diferenciales de primer orden 439 8.1 Ecuaciones separables 440 Contenido xi 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xi 12. 8.2 Ecuaciones lineales 445 8.3 Modelos matemticos 450 8.4 Curvas solucin sin solucin 459 8.5 Mtodo de Euler 468 Revisin del captulo 8 471 9 Sucesiones y series 475 9.1 Sucesiones 476 9.2 Sucesiones montonas 485 9.3 Series 490 9.4 Prueba de la integral 501 9.5 Pruebas de comparacin 504 9.6 Pruebas de las proporciones y de la raz 509 9.7 Series alternantes 512 9.8 Series de potencias 519 9.9 Representacin de funciones mediante series de potencias 523 9.10 Serie de Taylor 529 9.11 Serie del binomio 540 Revisin del captulo 9 544 10 Cnicas y coordenadas polares 547 10.1 Secciones cnicas 548 10.2 Ecuaciones paramtricas 560 10.3 Clculo y ecuaciones paramtricas 568 10.4 Sistema de coordenadas polares 573 10.5 Grficas de ecuaciones polares 576 10.6 Clculo en coordenadas polares 585 10.7 Secciones cnicas en coordenadas polares 592 Revisin del captulo 10 597 xii Contenido 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xii 13. 11 Vectores y espacio tridimensional 601 11.1 Vectores en el espacio bidimensional 602 11.2 Espacio tridimensional y vectores 608 11.3 Producto punto 614 11.4 Producto cruz 622 11.5 Rectas en el espacio tridimensional 629 11.6 Planos 634 11.7 Cilindros y esferas 640 11.8 Superficies cudricas 643 Revisin del captulo 11 650 12 Funciones de valores vectoriales 655 12.1 Funciones vectoriales 656 12.2 Clculo de funciones vectoriales 661 12.3 Movimiento sobre una curva 668 12.4 Curvatura y aceleracin 673 Revisin del captulo 12 679 13 Derivadas parciales 681 13.1 Funciones de varias variables 682 13.2 Lmites y continuidad 688 13.3 Derivadas parciales 695 13.4 Linealizacin y diferenciales 703 13.5 Regla de la cadena 711 13.6 Derivada direccional 718 13.7 Planos tangentes y rectas normales 724 13.8 Extremos de funciones multivariables 728 13.9 Mtodo de mnimos cuadrados 735 13.10 Multiplicadores de Lagrange 737 Revisin del captulo 13 744 Contenido xiii 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xiii 14. 14 Integrales mltiples 749 14.1 La integral doble 750 14.2 Integrales iteradas 753 14.3 Evaluacin de integrales dobles 757 14.4 Centro de masa y momentos 764 14.5 Integrales dobles en coordenadas polares 768 14.6 rea de la superficie 773 14.7 La integral triple 776 14.8 Integrales triples en otros sistemas de coordenadas 783 14.9 Cambio de variables en integrales mltiples 790 Revisin del captulo 14 796 15 Clculo integral vectorial 801 15.1 Integrales de lnea 802 15.2 Integrales de lnea de campos vectoriales 808 15.3 Independencia de la trayectoria 815 15.4 Teorema de Green 824 15.5 Superficies paramtricas y reas 830 15.6 Integrales de superficie 839 15.7 Rotacional y divergencia 845 15.8 Teorema de Stokes 851 15.9 Teorema de la divergencia 856 Revisin del captulo 15 863 16 Ecuaciones diferenciales de orden superior 867 16.1 Ecuaciones exactas de primer orden 868 16.2 Ecuaciones lineales homogneas 872 16.3 Ecuaciones lineales no homogneas 878 16.4 Modelos matemticos 883 xiv Contenido 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xiv 15. 16.5 Soluciones en series de potencias 891 Revisin del captulo 16 895 Apndice AP-1 Demostraciones de teoremas seleccionados AP-1 Frmulas matemticas FM-1 Repaso de lgebra FM-1 Frmulas de geometra FM-2 Grficas y funciones FM-4 Revisin de trigonometra FM-5 Funciones exponencial y logartmica FM-7 Diferenciacin FM-8 Frmulas de integracin FM-9 Respuestas de la autoevaluacin RES-1 Respuestas de los problemas impares seleccionados RES-2 ndice analtico ND-1 Crditos de fotografas C-1 Contenido xv 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xv 16. 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xvi 17. Autoevaluacin Las respuestas a todas las preguntas estn en la pgina RES-1. Como preparacin para el clculo Matemticas bsicas 1. (Falso/verdadero) __________ 2. (Falso/verdadero) Para __________ 3. (Falso/verdadero) Para __________ 4. (Falso/verdadero) __________ 5. (Llene el espacio en blanco) En el desarrollo de (1 - 2x)3 , el coeficiente de x2 es __________. 6. Sin usar calculadora, evale 7. Escriba lo siguiente como una expresin sin exponentes negativos: . 8. Complete el trinomio cuadrado: 2x2 + 6x + 5. 9. Resuelva las ecuaciones: a) b) c) d) 10. Factorice completamente: a) b) c) d) Nmeros reales 11. (Falso/verdadero) Si a 6 b, entonces __________ 12. (Falso/verdadero) __________ 13. (Falso/verdadero) Si a 6 0, entonces __________ 14. (Llene el espacio en blanco) Si entonces x = __________ o x = _______. 15. (Llene el espacio en blanco) Si a 5 es un nmero negativo, entonces __________. 16. Cules de los siguientes nmeros son racionales? a) 0.25 b) c) d) e) f) g) 0 h) i) j) k) l) 17. Relacione el intervalo dado con la desigualdad idnea. i) (2, 4] ii) [2, 4) iii) (2, 4) iv) [2, 4] a) b) c) d) 18. Exprese el intervalo (-2, 2) como a) una desigualdad y b) una desigualdad que implique valores absolutos. 19. Trace la grfica de en la recta numrica.(q, 1] [3, q) 1 6 x 1 30 x 2 6 20x 30 10x 30 6 1 2 11 13 2 15 12 1 1 2 9 12116 22 7 p8.131313 p a 5 03x0 18, a a 6 0. 2(9)2 9. a2 6 b2 . x4 16 x3 27 x4 2x3 15x2 10x2 13x 3 x 1x 1 1 1 2x 1 1 x 0x2 2x 5x2 7x x21 2 (x2 4)1>2 2x 2x2x2 4 (27)5>3 . 2n 4n 1 2n. x 0, x3>2 1 x2>3 . a 7 0, (a4>3 )3>4 a. 2a2 b2 a b. xvii 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xvii 18. 20. Encuentre todos los nmeros reales x que satisfacen la desigualdad Escriba su solucin usando notacin de intervalos. 21. Resuelva la desigualdad y escriba su solucin usando notacin de intervalos. 22. Resuelva la desigualdad y escriba su solucin usando notacin de intervalos. Plano cartesiano 23. (Llene el espacio en blanco) Si (a, b) es un punto en el tercer cuadrante, entonces (-a, b) es un punto en el __________ cuadrante. 24. (Llene el espacio en blanco) El punto medio del segmento de recta desde P1(2, -5) hasta P2(8, -9) es __________. 25. (Llene el espacio en blanco) Si (-2, 6) es el punto medio del segmento de recta desde P1(x1, 3) hasta P2(8, y2), entonces x1 =__________ y y2 = __________. 26. (Llene los espacios en blanco) El punto (1, 5) est en una grfica. Proporcione las coorde- nadas de otro punto de la grfica si la grfica es: a) simtrica con respecto al eje x. __________ b) simtrica con respecto al eje y. __________ c) simtrica con respecto al origen. __________ 27. (Llene los espacios en blanco) Las intersecciones x y y de la grfica de son, respectivamente, __________ y __________. 28. En cules cuadrantes del plano cartesiano es negativo el cociente xy? 29. La coordenada y de un punto es 2. Encuentre la coordenada x del punto si la distancia del punto a (1, 3) es 30. Encuentre una ecuacin del crculo para el cual (-3, -4) y (3, 4) son los puntos extremos de un dimetro. 31. Si los puntos P1, P2 y P3 son colineales como se muestra en la FIGURA A.1, encuentre una ecuacin que relacione las distancias d(P1, P2), d(P2, P3), y d(P1, P3). 32. Cul de las siguientes ecuaciones describe mejor el crculo de la FIGURA A.2? Los smbolos a, b, c, d y e representan constantes diferentes de cero. a) b) c) d) e) Rectas 33. (Falso/verdadero) Las rectas 2x + 3y = 5 y -2x + 3y = 1 son perpendiculares. __________ 34. (Llene el espacio en blanco) Las rectas 6x + 2y = 1 y kx 9y = 5 son paralelas si k = __________. 35. (Llene el espacio en blanco) Una recta con intercepcin x (-4, 0) e interseccin y (0, 32) tiene pendiente __________. 36. (Llene los espacios en blanco) La pendiente y las intersecciones x y y de la recta 2x - 3y + 18 = 0 son, respectivamente, __________, __________, y __________. 37. (Llene el espacio en blanco) Una ecuacin de la recta con pendiente -5 e interseccin y (0, 3) es __________. 38. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por (3, -8) y es paralela a la recta 2x - y = -7. ax2 ay2 cx e 0 ax2 ay2 c 0 ax2 ay2 cx dy 0 ax2 ay2 cx dy e 0 ax2 by2 cx dy e 0 FIGURA A.1 Grfica para el problema 31 P3 P2 P1 126. 0y0 2x 4 x 3 6 x 2 x2 2x 15 03x 10 7 7. xviii Autoevaluacin FIGURA A.2 Grfica para el problema 32 x y 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xviii 19. 39. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (-3, 4) y (6, 1). 40. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por el origen y por el punto de interseccin de las grficas de x + y = 1 y 2x - y = 7. 41. Una recta tangente a un crculo en un punto P del crculo es una recta que pasa por P y es perpendicular a la recta que pasa por P y el centro del crculo. Encuentre la ecuacin de la recta tangente L indicada en la FIGURA A.3. 42. Relacione la ecuacin dada con la grfica idnea en la FIGURA A.4. i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) a) b) c) d) e) f) g) h) FIGURA A.4 Grficas para el problema 42 Trigonometra 43. (Falso/verdadero) __________ 44. (Falso/verdadero) sen(2t) = 2 sen t. __________ 45. (Llene el espacio en blanco) El ngulo 240 grados es equivalente a ___________ radianes. 46. (Llene el espacio en blanco) El ngulo radianes es equivalente a ___________ grados. 47. (Llene el espacio en blanco) Si tan t = 0.23, __________. 48. Encuentre cos t si sen t = y el lado terminal del ngulo t est en el segundo cuadrante. 49. Encuentre los valores de las seis funciones trigonomtricas del ngulo u dado en la FIGURA A.5. 5 4 3 FIGURA A.5 Tringulo para el problema 49 1 3 tan(t p) p>12 1 sec2 u tan2 u. 2 2 y x 2 2 y x 2 2 y x 2 2 y x 2 2 y x 2 2 y x 2 2 y x 2 2 y x x 10y 10 0x 10y 10 0 10x y 10 010x y 10 0y 1 0 x 1 0x y 0x y 1 0 FIGURA A.3 Grfica para el problema 41 (x 3)2 (y 4)2 4 y x P L 4 Autoevaluacin xix 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xix 20. 50. Exprese las longitudes b y c de la FIGURA A.6 en trminos del ngulo u. Logaritmos 51. Exprese el smbolo k en la declaracin exponencial como un logaritmo. 52. Exprese la declaracin logartmica log64 4 = como una declaracin exponencial equivalente. 53. Exprese como un logaritmo simple. 54. Use una calculadora para evaluar . 55. (Llene el espacio en blanco) __________. 56. (Falso/verdadero) __________(logb x)(logb y) logb(ylogb x ). b3logb10 log10 13 log10 3 logb 5 3logb10 logb40 1 3 e(0.1)k 5 c b 10 FIGURA A.6 Tringulo para el problema 50 xx Autoevaluacin 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xx 21. Ensayo xxi La historia del clculo Por Roger Cooke University of Vermont Suele considerarse que el clculo es una creacin de los matemticos europeos del siglo XVII, cuyo trabajo ms importante fue realizado por Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1711). Esta percepcin tradicional en general es correcta. No obstante, cualquier teora a gran escala es un mosaico cuyas baldosas fueron colocadas a lo largo de mucho tiempo; y en cualquier teora viviente las baldosas continan colocndose de manera continua. La decla- racin ms poderosa que los historiadores se arriesgan a hacer es que un patrn se hizo eviden- te en cierto momento y lugar. Es el caso del clculo. Podemos afirmar con cierta confianza que los primeros trabajos del tema aparecieron en el siglo XVII y que el patrn se aclar mucho ms gracias al trabajo de Newton y Leibniz. Sin embargo, muchos de los principios esenciales del clculo se descubrieron desde mucho antes, en la poca de Arqumedes (287-211 a.C.), y algu- nos de esos mismos descubrimientos se lograron de manera independiente en China y en Japn. Adems, si se escudria con ms profundidad en los problemas y mtodos del clculo, uno pron- to se encuentra en la persecucin de problemas que conducen a las reas modernas de la teora de funciones analticas, geometra diferencial y funciones de una variable real. Para cambiar la metfora del arte al transporte, podemos pensar que el clculo es una gran estacin de ferroca- rril, donde los pasajeros que llegan de muchos sitios diferentes estn juntos durante un tiempo breve antes de embarcarse hacia destinos diversos. En este ensayo tratamos de mirar en ambas direcciones desde esta estacin, hacia los puntos de origen y los destinos. Empecemos con la descripcin de la estacin. Qu es el clculo? El clculo suele dividirse en dos partes, denominadas clculo diferencial y clculo integral. El clculo diferencial investiga las propiedades de las razones de cambio com- parativas de variables que estn vinculadas por medio de ecuaciones. Por ejemplo, un resultado fundamental del clculo diferencial es que si y = xn , entonces la razn de cambio de y con res- pecto a x es nxn-1 . Resulta que cuando se usa la intuicin para pensar en ciertos fenmenos movimiento de los cuerpos, cambios en la temperatura, crecimiento de poblaciones y muchos otros, se llega a postular ciertas relaciones entre estas variables y sus razones de cambio. Estas relaciones se escriben en una forma conocida como ecuaciones diferenciales. As, el objetivo principal de estudiar clculo diferencial consiste en comprender qu son las razones de cambio y cmo escribir ecuaciones diferenciales. El clculo integral proporciona mtodos para recupe- rar las variables originales conociendo sus razones de cambio. La tcnica para hacer esto se denomina integracin, y el objetivo fundamental del estudio del clculo integral es aprender a resolver las ecuaciones diferenciales proporcionadas por el clculo diferencial. A menudo estos objetivos estn encubiertos en libros de clculo, donde el clculo diferen- cial se utiliza para encontrar los valores mximo y mnimo de ciertas variables, y el clculo inte- gral se usa para calcular longitudes, reas y volmenes. Hay dos razones para recalcar estas apli- caciones en un libro de texto. Primero, la utilizacin completa del clculo usando ecuaciones diferenciales implica una teora ms bien complicada que debe presentarse de manera gradual; entre tanto, al estudiante debe ensersele algn uso de las tcnicas que se proponen. Segundo, Isaac Newton Gottfried Leibniz 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xxi 22. estos problemas fueron la fuente de las ideas que condujeron al clculo; los usos que ahora hace- mos del tema slo se presentaron despus del descubrimiento de aqul. Al describir los problemas que llevaron al clculo y los problemas que pueden resolverse usando clculo, an no se han indicado las tcnicas fundamentales que hacen de esta disciplina una herramienta de anlisis mucho ms poderosa que el lgebra y la geometra. Estas tcnicas implican el uso de lo que alguna vez se denomin anlisis infinitesimal. Todas las construcciones y las frmulas de la geometra y el lgebra de preparatoria poseen un carcter finito. Por ejemplo, para construir la tangente de un crculo o para bisecar un ngulo se realiza un nmero finito de operaciones con regla y comps. Aunque Euclides saba considerablemente ms geometra que la que se ensea en cursos actuales modernos de preparatoria, l tambin se autoconfin esencial- mente a procesos finitos. Slo en el contexto limitado de la teora de las proporciones permiti la presencia de lo infinito en su geometra, y aun as est rodeado por tanto cuidado lgico que las demostraciones implicadas son extraordinariamente pesadas y difciles de leer. Lo mismo ocurre en lgebra: para resolver una ecuacin polinomial se lleva a cabo un nmero finito de operacio- nes de suma, resta, multiplicacin, divisin y extraccin de raz. Cuando las ecuaciones pueden resolverse, la solucin se expresa como una frmula finita que implica coeficientes. Sin embargo, estas tcnicas finitas cuentan con un rango limitado de aplicabilidad. No es posible encontrar las reas de la mayora de las figuras curvas mediante un nmero finito de ope- raciones con regla y comps, y tampoco resolver ecuaciones polinomiales de grado mayor o igual que cinco usando un nmero finito de operaciones algebraicas. Lo que se quera era escapar de las limitaciones de los mtodos finitos, y esto condujo a la creacin del clculo. Ahora considera- remos algunos de los primeros intentos por desarrollar tcnicas para manipular los problemas ms difciles de la geometra, luego de lo cual trataremos de resumir el proceso mediante el que se tra- baj el clculo, y finalmente exhibiremos algo de los frutos que ha producido. Las fuentes geomtricas del clculo Uno de los problemas ms antiguos en matemticas es la cuadratura del crculo; es decir, construir un cuadrado de rea igual a la de un crculo dado. Como se sabe, este problema no puede resolverse con regla y comps. Sin embargo, Arqumedes descubri que si es posible trazar una espiral, empezando en el centro de un crculo que hace exactamente una revolucin antes de llegar al crculo, entonces la tangente a esa espiral, en su punto de interseccin con el crculo, forma la hipotenusa de un tringulo rectngulo cuya rea es exactamente igual al crculo (vea la figura 1). Entonces, si es posible trazar esta espiral y su tan- gente, tambin lo es cuadrar el crculo. Arqumedes, no obstante, guard silencio sobre cmo podra trazarse esta tangente. Observamos que uno de los problemas clsicos en matemticas puede resolverse slo si es posible trazar cierta curva y su tangente. Este problema, y otros parecidos, originaron que el pro- blema puramente matemtico de encontrar la tangente a una curva se volviera importante. Este problema constituye la fuente ms importante del clculo diferencial. El truco infinitesimal xxii Ensayo Crculo Espiral Tangente FIGURA 1 La espiral de Arqumedes. La tangente al final de la primera vuelta de la espiral y los dos ejes forman un tringulo con rea igual a la del crculo centrado en el origen y que pasa por el punto de la tangente 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xxii 23. que permite la solucin del problema es considerar la tangente como la recta determinada por dos puntos en la curva infinitamente prximos entre s. Otra forma de decir lo mismo es que una pieza infinitamente corta de la curva es recta. El problema es que resulta difcil ser preci- so sobre los significados de las frases infinitamente prximos e infinitamente cortos. Poco avance se logr en este problema hasta la invencin de la geometra analtica en el siglo XVII por Pierre de Fermat (1601-1665) y Ren Descartes (1596-1650). Una vez que se pudo representar una curva por medio de una ecuacin, fue posible afirmar con ms confianza lo que se entenda por puntos infinitamente prximos, al menos para ecuaciones polinomiales como y = x2 . Con simbolismo algebraico para representar puntos en la curva, era posible considerar dos puntos sobre la curva con coordenadas x0 y x1, de modo que x1 x0 es la distancia entre las coordenadas x. Cuando la ecuacin de la curva se escriba en cada uno de estos puntos y una de las dos ecuaciones se restaba de la otra, un lado de la ecuacin resultante contena el factor x1 x0, que entonces poda eliminarse por divisin. Por lo tanto, si y entonces y1 - y0 = x1 2 - x0 2 = (x1 - x0) = (x1 + x0), de modo que Cuando (x1 = x0), se concluye que (y1 = y0), y la expresin carece de sentido. Sin embargo, la expresin x1 + x0 tiene el valor perfectamente definido 2x0. Entonces, es posible considerar a 2x0 como la razn de la diferencia infinitamente pequea en y; es decir, y1 - y0 a la diferencia infinitamente pequea en x; es decir, x1 - x0, cuando el punto (x1, y1) est infinitamente cerca del punto (y1, y0) sobre la curva y = x2 . Como aprender al estudiar clculo, esta razn proporciona suficiente informacin para trazar la recta tangente a la curva y = x2 . Excepto por pequeos cambios en la notacin, el razonamiento anterior es exactamente la forma en que Fermat encontr la tangente a una parbola. Sin embargo, estaba abierta a una objecin lgica: en un momento, ambos lados de la ecuacin se dividen entre x1 - x0, entonces en un paso posterior decidimos que x1 - x0 = 0. Puesto que la divisin entre cero es una opera- cin ilegal, parece que estamos tratando de comernos nuestro pastel y no hacerlo; es decir, no se pueden hacer ambas cosas. Tuvo que pasar algn tiempo para responder de manera convincente a esta objecin. Hemos visto que Arqumedes no pudo resolver el problema fundamental del clculo dife- rencial: trazar la tangente a una curva. Sin embargo, Arqumedes pudo resolver algunos de los problemas fundamentales del clculo integral. De hecho, encontr el volumen de una esfera mediante un sistema extremadamente ingenioso: consider un cilindro que contena un cono y una esfera e imagin cortar esta figura en una infinidad de rebanadas delgadas. Al suponer las reas de estas secciones del cono, la esfera y el cilindro, pudo demostrar cmo el cilindro equi- librara al cono y a la esfera si las figuras se colocan en los platos opuestos de una balanza. Este equilibrio proporcion una relacin entre las figuras, y como Arqumedes ya conoca los vol- menes del cono y del cilindro, entonces pudo calcular el volumen de la esfera. Este razonamiento ilustra la segunda tcnica infinitesimal que se encuentra en los funda- mentos del clculo: un volumen puede considerarse como una pila de figuras planas, y un rea puede considerarse como una pila de segmentos de rectas, en el sentido de que si cada seccin horizontal de una regin es igual a la misma seccin horizontal de otra regin, entonces las dos regiones son iguales. Durante el Renacimiento europeo este principio se volvi de uso muy comn bajo el nombre de mtodo de los indivisibles para encontrar las reas y los volmenes de muchas figuras. Hoy en da se denomina principio de Cavalieri en honor de Bonaventura Cavalieri (1598-1647), quien lo us para demostrar muchas de las frmulas elementales que ahora forman parte del clculo integral. El principio de Cavalieri tambin fue descubierto en otras tierras donde jams lleg la obra de Euclides. Por ejemplo, los matemticos chinos del siglo V Zu Chongzhi y su hijo Zu Geng hallaron el volumen de una esfera usando una tcnica bastante parecida al mtodo de Arqumedes. As, encontramos matemticos que anticiparon el clculo integral usando mtodos infinite- simales para encontrar reas y volmenes en una etapa muy temprana de la geometra, tanto en la Grecia como la China antiguas. As ocurre con el mtodo infinitesimal para trazar tangentes; no obstante, este mtodo para encontrar reas y volmenes estaba sujeto a objeciones. Por ejem- plo, el volumen de cada seccin plana de una figura es cero; cmo es posible reunir una colec- cin de ceros para obtener algo que no es cero? Adems, por qu el mtodo no funciona en una dimensin? Considere las secciones de un tringulo rectngulo paralelas a uno de sus catetos. y1 y0 x1 x0 y1 y0 x1 x0 x1 x0. y1 x2 1,y0 x2 0 Ensayo xxiii 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xxiii 24. Cada seccin corta a la hipotenusa y al otro cateto en figuras congruentes; a saber, en un punto a cada uno. Sin embargo, la hipotenusa y el otro cateto no miden lo mismo. Objeciones como sta eran preocupantes. Los resultados obtenidos con estos mtodos fueron espectaculares. No obstante, los matemticos prefirieron aceptarlos como un acto de fe, seguir usndolos e intentar construir sus fundamentos ms tarde, justo como en un rbol cuando la raz y las ramas crecen al mismo tiempo. La invencin del clculo A mediados del siglo XVII se conocan muchas de las tcnicas y hechos elementales del clculo, incluso mtodos para encontrar las tangentes de curvas simples y frmulas de reas acotadas por estas curvas. En otras palabras, muchas de las frmulas que usted encontrar en los primeros captulos de cualquier libro de texto de clculo ya eran conoci- das antes de que Newton y Leibniz iniciaran su obra. Lo que faltaba hasta fines del siglo XVII era tomar conciencia de que estos dos tipos de problemas estn relacionados entre s. Para ver cmo se descubri la relacin, es necesario abundar ms en las tangentes. Ya men- cionamos que para trazar una tangente a una curva en un punto dado se requiere saber cmo encontrar un segundo punto en la recta. En la etapa inicial de la geometra analtica este segun- do punto sola tomarse como el punto en que la tangente corta al eje x. La proyeccin sobre el eje x de la porcin de la tangente entre el punto de tangencia y la interseccin con el eje x se denominaba subtangente. En el estudio de las tangentes surgi un problema muy natural: recons- truir una curva, dada la longitud de su subtangente en cualquier punto. Por medio del estudio de este problema fue posible percibir que las ordenadas de cualquier curva son proporcionales al rea bajo una segunda curva cuyas ordenadas son las longitudes de las subtangentes a la curva original. El resultado es el teorema fundamental del clculo. El honor de haber reconocido de manera explcita esta relacin pertenece a Isaac Barrow (1630-1677), quien lo indic en un libro denominado Lectiones Geometricae en 1670. Barrow plante varios teoremas semejantes al teo- rema fundamental del clculo. Uno de ellos es el siguiente: Si se traza una curva de modo que la razn de su ordenada a su subtangente [esta razn es precisamente lo que ahora se denomi- na derivada] es proporcional a la ordenada de una segunda curva, entonces el rea bajo la segunda curva es proporcional a la ordenada de la primera. Estas relaciones proporcionaron un principio unificado para el gran nmero de resultados particulares sobre tangentes y reas que se haban encontrado con el mtodo de indivisibles a principios del siglo XVII: para encontrar el rea bajo una curva haba que hallar una segunda curva para la cual la razn de la ordenada a la subtangente sea igual a la ordenada de la curva dada. As, la ordenada de esa segunda curva proporciona el rea bajo la primera curva. En este punto el clculo estaba preparado para surgir. Slo requera de alguien que pro- porcionara mtodos sistemticos para el clculo de tangentes (en realidad, subtangentes) e in- vertiera ese proceso para encontrar reas. Es el trabajo realizado por Newton y Leibniz. Estos dos gigantes de la creatividad matemtica siguieron senderos bastante distintos en sus descubri- mientos. El mtodo de Newton era algebraico y desarroll el problema de encontrar un mtodo efi- ciente para extraer las races de un nmero. Aunque apenas empez a estudiar lgebra en 1662, ya alrededor de 1665 las reflexiones de Newton sobre el problema de extraer races lo conduje- ron al descubrimiento de la serie infinita que actualmente se denomina teorema del binomio; es decir, la relacin Al combinar el teorema del binomio con tcnicas infinitesimales, Newton pudo deducir las frmulas bsicas del clculo diferencial e integral. Crucial en el enfoque de Newton fue el uso de series infinitas para expresar las variables en cuestin, y el problema fundamental que Newton no resolvi fue establecer que tales series podan manipularse justo como sumas finitas. Por tanto, en un sentido Newton llev al infinito desde una entrada a su madriguera slo para encon- trar que una cara estaba frente a la otra. A partir de la consideracin de las variables como cantidades fsicas que cambian su valor con el tiempo, Newton invent nombres para las variables y sus razones de cambio que refleja- ban esta intuicin. Segn Newton, un fluent (x) es una cantidad en movimiento o que fluye; su fluxin (x) es su razn de flujo, lo que ahora se denomina velocidad o derivada. Newton expuso (1 x)r 1 rx r(r 1) 2 x2 r(r 1)(r 2) 1 . 2 . 3 r3 p xxiv Ensayo 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xxiv 25. sus resultados en 1671 en un tratado denominado Fluxions escrito en latn, pero su obra no fue publicada sino hasta que apareci una versin en ingls en 1736. (La versin original en latn fue publicada por primera vez en 1742.) A pesar de la notacin y de sus razonamientos que parecen insuficientes y rudimentarios hoy en da, el tremendo poder del clculo brilla a travs del mtodo de las fluxiones de Newton en la solucin de problemas tan difciles como encontrar la longitud de arco de una curva. Se pensa- ba que esta rectificacin de una curva era imposible, pero Newton demostr que era posible encontrar un nmero finito de curvas cuya longitud poda expresarse en trminos finitos. El mtodo de Newton para el clculo era algebraico, como hemos visto, y hered el teore- ma fundamental de Barrow. Por otro lado, Leibniz trabaj el resultado fundamental desde 1670, y su enfoque era diferente al de Newton. Se considera a Leibniz como el pionero de la lgica simblica, y su opinin acerca de la importancia de la buena notacin simblica era mucho mejor que la de Newton. Invent la notacin dx y dy que sigue en uso. Para l, dx era una abre- viacin de diferencia en x, y representaba la diferencia entre dos valores infinitamente prxi- mos de x. En otras palabras, expresaba exactamente lo que tenamos en mente hace poco cuan- do consideramos el cambio infinitamente pequeo x1 x0. Leibniz consideraba que dx era un nmero infinitesimal, diferente de cero, pero tan pequeo que ninguno de sus mltiplos poda exceder cualquier nmero ordinario. Al ser diferente de cero, poda servir como denominador en una fraccin, y as dy/dx era el cociente de dos cantidades infinitamente pequeas. De esta forma esperaba superar las objeciones al nuevo mtodo establecido para encontrar tangentes. Leibniz tambin realiz una aportacin fundamental en la tcnica controvertida de encon- trar reas al sumar secciones. En lugar de considerar el rea [por ejemplo, el rea bajo una curva y = f(x)] como una coleccin de segmentos de recta, la consideraba como la suma de las reas de rectngulos infinitamente delgados de altura y = f(x) y base infinitesimal dx. Por tanto, la diferencia entre el rea hasta el punto x + dx y el rea hasta el punto x era la diferencia infinite- simal en rea dA = f(x) dx, y el rea total se encontraba sumando estas diferencias infinitesima- les en rea. Leibniz invent la S alargada (el signo integral ) que hoy en da se usa universal- mente para expresar este proceso de suma. As expresaba el rea bajo la curva y = f(x) como A = dA = f(x) dx, y cada parte de este smbolo expresaba una idea geomtrica simple y clara. Con la notacin de Leibniz, el teorema fundamental del clculo de Barrow simplemente indica que el par de ecuaciones son equivalentes. Debido a lo que acaba de plantearse, esta equivalencia es casi evidente. Tanto Newton como Leibniz lograron grandes avances en matemticas, y cada uno posee bastante crdito por ello. Resulta lamentable que la estrecha coincidencia de su obra haya con- ducido a una enconada discusin sobre la prioridad entre sus seguidores. Algunas partes del clculo, que implican series infinitas, fueron inventadas en India duran- te los siglos XIV y XV. Jyesthadeva, matemtico indio de fines del siglo XV, proporcion la serie para la longitud de un arco de crculo, demostr este resultado y de manera explcita plante que esta serie converge slo si u no es mayor que 45. Si se escribe u = arctan x y se usa el hecho de que = tan u = x, esta serie se convierte en la serie normal para arctan x. De modo independiente, otras series fueron desarrolladas en Japn casi al mismo tiempo que en Europa. El matemtico japons Katahiro Takebe (1664-1739) encontr un desarrollo en serie equivalente a la serie para el cuadrado de la funcin arcsen. l consider el cuadrado de la mitad de arco a la altura h en un crculo de dimetro d; esto result ser la funcin f(h) = . Takebe careca de notacin para el trmino general de una serie, aunque descubri patrones en los coeficientes al calcular geomtricamente la funcin en el valor particular de h = 0.000001, d = 10 hasta un valor muy grande de cifras decimales ms de 50, y luego al usar esta pre- cisin extraordinaria para refinar la aproximacin al sumar sucesivamente trminos correctivos. Q d 2 arcsen h d R 2 sen u cos u A f(x)dx, dA f(x)dx Ensayo xxv u r Q sen u cos u sen3 u 3cos3 u sen5 u 5cos5 u p R 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xxv 26. Al proceder de esta manera pudo discernir un patrn en las aproximaciones sucesivas, a partir de lo cual, por extrapolacin, pudo plantear el trmino general de la serie: Despus de Newton y de Leibniz quedaba el problema de dar contenido al esqueleto inven- tado por estos dos genios. La mayor parte de su obra fue completada por matemticos de la Europa continental, en especial por el crculo creado por los matemticos suizos James Bernoulli (1655-1705) y John Bernoulli (1667-1748), as como el estudiante de este ltimo, el marqus de LHpital (1661-1704). stos y otros matemticos trabajaron las conocidas frmulas para las derivadas e integrales de funciones elementales que an se encuentran en libros de texto actua- les. Las tcnicas esenciales de clculo eran conocidas a principios del siglo XVIII, y un libro de texto del siglo XVIII como la Introduccin al anlisis del infinito, de Euler (1748), en caso de haber estado traducida al espaol se vera bastante como un libro de texto moderno. El legado del clculo Una vez que hemos abordado las fuentes del clculo y el procedimiento con el que fue elaborado, a continuacin analizaremos brevemente los resultados que produjo. El clculo obtuvo una cantidad impresionante de triunfos en sus dos primeros siglos. Result que docenas de fenmenos fsicos previamente oscuros que implican calor, fluidez, mecnica celeste, elasticidad, luz, electricidad y magnetismo posean propiedades mensurables cuyas relaciones podan describirse como ecuaciones diferenciales. La fsica se comprometi para siempre en hablar el lenguaje del clculo. Sin embargo, de ninguna manera fueron resueltos todos los problemas surgidos de la fsica. Por ejemplo, no era posible encontrar, en trminos de funciones elementales conocidas, el rea bajo una curva cuya ecuacin implicaba la raz cuadrada de un polinomio cbico. Estas integra- les surgieron a menudo tanto en geometra como en fsica, y llegaron a conocerse como integra- les elpticas porque el problema de encontrar la longitud slo poda comprenderse cuando la variable real x se sustituye por una variable compleja z = x + iy. El replanteamiento del clculo en trminos de variables complejas condujo a mucho descubrimientos fascinantes, que termina- ron por ser codificados como una nueva rama de las matemticas denominada teora de funcio- nes analticas. La definicin idnea de integracin sigui siendo un problema durante algn tiempo. Como consecuencia del uso de procesos infinitesimales para encontrar reas y volmenes surgieron las integrales. Deba la integral definirse como una suma de diferencias infinitesimales o como la inversa de la diferenciacin? Qu funciones podan integrarse? En el siglo XIX se propusie- ron muchas definiciones de la integral, y la elaboracin de estas ideas llev al tema conocido actualmente como anlisis real. Mientras las aplicaciones del clculo han continuado cosechando cada vez ms triunfos en un flujo interminable durante los ltimos trescientos aos, sus fundamentos permanecieron en un estado insatisfactorio durante la primera mitad de este periodo. El origen de la dificultad era el significado que haba de asociarse a la dx de Leibniz. Qu era esta cantidad? Cmo poda no ser positiva ni cero? De ser cero, no poda usarse como denominador; de ser positiva, entonces las ecuaciones en que apareca no eran realmente ecuaciones. Leibniz consideraba que los infi- nitesimales eran entes verdaderos, que las reas y los volmenes podan sintetizarse al sumar sus secciones, como haban hecho Zu Chongzhi, Arqumedes y otros. Newton tena menos con- fianza acerca de la validez de los mtodos infinitesimales, e intent justificar sus razonamientos en formas que pudiesen cumplir las normas del rigor euclideano. En su Principia Mathematica escribi: Estos lemas tienen el cometido de evitar el tedio de deducir ad absurdum demostraciones impl- citas, segn el mtodo de los gemetras de la antigedad. Las demostraciones son ms breves segn el mtodo de indivisibles, pero debido a que la hiptesis de indivisibles parece ser algo ms dura y, en consecuencia, ese mtodo se acepta como menos geomtrico, en lugar de ello elijo reducir las demostraciones de las siguientes proposiciones a las sumas y razones primera y lti- ma de cantidades que desaparecen; es decir, a los lmites de estas sumas y razones... En conse- cuencia, si en lo sucesivo debo considerar que las cantidades estn formadas de partculas, o debo usar pocas lneas curvas por las [rectas] idneas, no debe interpretarse que estoy queriendo decir cantidades indivisibles, sino cantidades divisibles que desaparecen. . . f(h) dhc1 a q n1 22n1 (n!)2 (2n 2)! Q h d R n d xxvi Ensayo 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xxvi 27. . . . En cuanto a estas ltimas razones con las que desaparecen las cantidades, no son en verdad las razones de cantidades ltimas, sino lmites hacia los cuales las razones de cantidades decre- cientes sin lmite siempre convergen; y a los que tienden de manera ms prxima que con cual- quier diferencia dada, aunque nunca van ms all, ni en el efecto alcanzado, hasta que las canti- dades disminuyen in infinitum. En este pasaje Newton afirma que la falta de rigor implicado en el uso de razonamientos infinitesimales puede compensarse con el uso de lmites. Sin embargo, su planteamiento de este concepto en el pasaje citado no es tan claro como uno deseara. Esta falta de claridad condujo al filsofo Berkeley a referirse desdeosamente a los fluxiones como fantasmas de cantidades. Sin embargo, los avances alcanzados en fsica usando clculo fueron tan sobresalientes que durante ms de un siglo nadie se preocup en proporcionar el rigor al que aluda Newton (y los fsicos siguen sin preocuparse al respecto!). Una presentacin completamente rigurosa y siste- mtica del clculo lleg slo hasta el siglo XIX. Segn la obra de Augustin-Louis Cauchy (1789-1856) y Karl Weierstrass (1815-1896), la percepcin era que los infinitesimales eran meramente de naturaleza heurstica y que los estu- diantes estaban sujetos a un riguroso enfoque epsilon-delta de los lmites. De manera sorpren- dente, en el siglo XX Abraham Robinson (1918-1974) demostr que es posible desarrollar un modelo lgicamente consistente de los nmeros reales en el que hay infinitesimales verdaderos, como crea Leibniz. Sin embargo, parece que este nuevo enfoque, denominado anlisis no estndar, no ha sustituido a la presentacin tradicional actual del clculo. Ejercicios 1. El tipo de espiral considerada por Arqumedes ahora se denomina as en su honor. Una espi- ral de Arqumedes es el lugar geomtrico de un punto que se mueve a velocidad constante a lo largo de un rayo que gira con velocidad angular constante alrededor de un punto fijo. Si la velocidad lineal a lo largo del rayo (la componente radial de su velocidad) es y, el punto est a una distancia yt del centro de rotacin (suponiendo que es donde empieza) en el instante t. Suponga que la velocidad angular de rotacin del rayo es v (radianes por uni- dad de tiempo). Dados un crculo de radio R y una velocidad radial de y, cul debe ser v para que la espiral llegue al crculo al final de su primera vuelta? Res. El punto tendr una velocidad circunferencial rv = yt v. Segn un principio enunciado en la Mecnica de Aristteles, la velocidad real de la partcula est dirigida a lo largo de la diagonal de un paralelogramo (en este caso un rectngulo) cuyos lados son las componen- tes. Use este principio para mostrar cmo construir la tangente a la espiral (que es la recta que contiene a la diagonal de este rectngulo). Compruebe que los lados de este rectngulo guardan la relacin 1 : 2p. Observe la figura 1. 2. La figura 2 ilustra cmo Arqumedes encontr la relacin entre los volmenes de la esfera, el cono y el cilindro. El dimetro AB est duplicado, haciendo BC = AB. Cuando esta figu- ra se hace girar alrededor de esta recta, el crculo genera una esfera, el tringulo DBG gene- ra un cono y el rectngulo DEFG genera un cilindro. Demuestre los hechos siguientes: a) Si B se usa como fulcro, el cilindro tiene como centro de gravedad el centro K del crcu- lo y, en consecuencia, todo puede concentrarse ah sin cambiar la torsin alrededor de B. b) Cada seccin del cilindro perpendicular a la recta AB, permaneciendo en su posicin actual, equilibrara exactamente la misma seccin del cono ms la seccin de la esfera si stos dos se desplazaran al punto C. c) Por tanto, el cilindro concentrado en K equilibrara al cono y a la esfera que se concen- tran en C. d) En consecuencia, el cilindro es igual al doble de la suma del cono y la esfera. e) Puesto que se sabe que el cono es un tercio del cilindro, se concluye que la esfera debe ser un sexto de ste. f) Que el volumen del cilindro es 8pr2 . A2py R B Ensayo xxvii 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xxvii 28. 3. El mtodo con el que Zu Chongzhi y Zu Geng encontraron el volumen de la esfera es el siguiente: imagine que la esfera es una pelota fuertemente adherida dentro de la interseccin de dos cilindros que forma ngulos rectos entre s. Luego, el slido formado por la intersec- cin de los dos cilindros (denominado paraguas doble en chino) y que contiene la pelota se ajusta perfectamente dentro de un cubo cuya arista es igual al dimetro de la esfera. A partir de esta descripcin, trace una seccin de la esfera dentro del paraguas doble formado por los ejes de los dos cilindros y a una distancia h debajo de este pleno. Comprue- be los hechos siguientes: a) Si el radio de la esfera es r, el dimetro de su seccin circular es b) Por tanto, el rea del cuadrado formado por esta seccin del paraguas doble es 4(r2 h2 ), de modo que el rea entre la seccin del cubo y la seccin del paraguas doble es c) La seccin correspondiente de una pirmide cuya base es la parte inferior de un cubo y cuyo vrtice est en el centro de la esfera (o del cubo) tambin tiene un rea de 4h2 . Por tanto, el volumen entre el paraguas doble y el cubo es exactamente el volumen de esta pirmide ms su imagen especular arriba del plano central. Concluya que la regin entre el paraguas doble y el cubo es un tercio del cubo. d) En consecuencia, el paraguas doble ocupa dos tercios del volumen del cubo; es decir, su volumen es e) Cada seccin circular de la esfera est inscrita en la seccin cuadrada correspondiente del paraguas doble. Por tanto, la seccin circular es de la seccin del paraguas doble. f) En consecuencia, el volumen de la esfera es del volumen del paraguas doble; es decir, . 4. Proporcione un razonamiento infinitesimal de que el rea de la esfera es tres veces su volumen dividido entre su radio, al suponer que la esfera es una coleccin de pirmides infinitamente delgadas donde todos los vrtices se encuentren adheridos al origen. [Suge- rencia: parta del hecho de que el volumen de una pirmide es un tercio del rea de su base multiplicada por su altura. Arqumedes afirmaba que ste es el razonamiento que lo condu- jo al descubrimiento del rea de la esfera.] 4 3pr3 p 4 p 4 16 3 r3 . 4r2 4(r2 h2 ) 4h2 . 22r2 h2 . xxviii Ensayo FIGURA 2 Seccin de la esfera, el cono y el cilindro de Arqumedes B K A C D E FG 00Zill(i-xxviii)Prel.qxd 4/11/10 09:52 Pgina xxviii 29. Funciones En este captulo Ha escuchado frases como el xito est un funcin del trabajo arduo y la demanda est un funcin del precio? La palabra funcin se usa a menudo para sugerir una relacin o una dependencia de una cantidad con respecto a otra. Como tal vez sepa, en matemticas el concepto de una funcin posee una interpretacin similar pero ligeramente ms especializada. El clculo trata, en esencia, sobre funciones. As, resulta conveniente empezar su estudio con un captulo dedicado a un repaso de este importante concepto. 1 1.1 Funciones y grficas 1.2 Combinacin de funciones 1.3 Funciones polinomiales y racionales 1.4 Funciones trascendentes 1.5 Funciones inversas 1.6 Funciones exponencial y logartmica 1.7 De las palabras a las funciones Revisin del captulo 1 Captulo 1 (x1) (x2) (x3) (x2, (x2)) (x1, (x1)) (x3, (x3)) x y x3x2x1 01Zill001-029.qxd 20/10/10 09:41 Pgina 1 30. 1.1 Funciones y grficas Introduccin Al usar los objetos e interactuar con las personas que nos rodean, resulta fcil establecer una regla de correspondencia que asocie, o apareje, a los miembros o elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto. Por ejemplo, para cada nmero de seguridad social hay una persona; para cada libro corresponde por lo menos un autor; para cada estado hay un gobernador, etctera. En matemticas estamos interesados en un tipo especial de corresponden- cia: una correspondencia con valor nico denominada funcin. Terminologa Una funcin suele denotarse por una letra como f, g o h. Entonces podemos representar una funcin f de un conjunto X en un conjunto Y por medio de la notacin El conjunto X se llama dominio de f. El conjunto de elementos correspondientes y en el conjun- to Y se denomina rango de la funcin. El nico elemento y en el rango que corresponde a un ele- mento x selecto en el dominio X se denomina valor de la funcin en x, o imagen de x, y se escri- be f(x). Esta expresin se lee f de x o f en x, y se escribe y f(x). Algunas veces tambin conviene denotar una funcin por y y(x). Observe en la FIGURA 1.1.1 que el rango de f no nece- sariamente debe ser todo el conjunto Y. A muchos profesores les agrada llamar a un elemento x en el dominio entrada de la funcin, y al elemento correspondiente f(x) en el rango salida de la funcin. Puesto que el valor de y depende de la eleccin de x, y se denomina variable depen- diente; x se denomina variable independiente. A partir de este momento consideraremos que los conjuntos X y Y constan de nmeros reales; as, la funcin f se denomina funcin con valor real de una sola variable real. En todos los anlisis y ejercicios de este texto, las funciones se representan de varias formas: analtica, es decir, por medio de una frmula como f(x) x2 ; verbal, es decir, mediante una descripcin con palabras; numrica, es decir, mediante una tabla de valores numricos; y visual, es decir, con una grfica. EJEMPLO 1 Funcin elevar al cuadrado La regla para elevar al cuadrado un nmero real est dada por la ecuacin f(x) x2 o y x2 . Los valores de f en x 5 y se obtienen al sustituir x, a la vez, por los nmeros 5 y . y EJEMPLO 2 Correspondencia estudiante y escritorio Una correspondencia natural ocurre entre un conjunto de 20 estudiantes y un conjunto de, por ejemplo, 25 escritorios en un saln de clases cuando cada estudiante escoge y se sienta en un escritorio diferente. Si el conjunto de 20 estudiantes es el conjunto X y el conjunto de 25 escri- torios es el conjunto Y, entonces esta correspondencia es una funcin del conjunto X al con- junto Y, en el supuesto de que ningn estudiante se sienta en dos escritorios al mismo tiempo. El conjunto de 20 escritorios ocupados realmente por los estudiantes constituye el rango de la funcin. Algunas veces, para destacar el argumento, escribiremos una funcin representada por una frmula usando parntesis en lugar del smbolo x. Por ejemplo, al escribir la funcin elevar al cuadrado f(x) x2 como . (1) Entonces, para evaluar (1) en, por ejemplo, 3 h, donde h representa un nmero real, escri- bimos 3 h entre parntesis y realizamos las operaciones algebraicas correspondientes: f( ) ( )2 f(17) (17)2 7.f(5) (5)2 25 17 x 17 f: X S Y. Definicin 1.1.1 Funcin Una funcin de un conjunto X en un conjunto Y es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x en X exactamente un elemento y en Y. 2 CAPTULO 1 Funciones FIGURA 1.1.1 Dominio y rango de una funcin f Correspondencia estudiante/escri- torio Consulte la seccin Pginas de recursos, al final del libro, para tener un repaso del desarrollo del binomio. x X Dominio Rango Y (x) f(3 h) (3 h)2 9 6h h2 . 01Zill001-029.qxd 23/9/10 10:14 Pgina 2 31. Si una funcin f est definida por medio de una frmula o ecuacin, entonces por lo regu- lar el dominio de y f(x) no se plantea explcitamente. Por lo general es posible deducir el dominio de y f(x) ya sea a partir de la estructura de la ecuacin o del contexto del pro- blema. EJEMPLO 3 Dominio y rango En el ejemplo 1, puesto que cualquier nmero real x puede elevarse al cuadrado y el resultado x2 es otro nmero real, f(x) x2 es una funcin de R en R; es decir, En otras pala- bras, el dominio de f es el conjunto R de nmeros reales. Al usar notacin de intervalos, el dominio tambin puede escribirse como (q, q). Debido a que para todo nmero real x, es fcil ver que el rango de f es el conjunto de nmeros reales no negativos o [0, q). Dominio de una funcin Como ya se mencion, el dominio de una funcin y f(x) que est definido por una frmula no suele especificarse. A menos que se indique o implique lo contra- rio, se entiende que El dominio de una funcin f es el mayor subconjunto del conjunto de nmeros reales para los que f(x) es un nmero real. Este conjunto a veces se refiere como dominio implcito o dominio natural de la funcin. Por ejemplo, no es posible calcular f(0) para la funcin recproca f(x) 1x puesto que 10 no es un nmero real. En este caso se dice que f est indefinida en x 0. Puesto que todo nmero real diferente de cero tiene un recproco, el dominio de f(x) 1x es el conjunto de nmeros reales excepto cero. Por el mismo razonamiento, la funcin g(x) 1(x2 4) no est definida en x 2 ni en x 2, de modo que su dominio es el conjunto de nmeros rea- les sin los nmeros 2 y 2. La funcin raz cuadrada no est definida en x = -1 porque no es un nmero real. Para que est definida en el sistema de nme- ros reales, debe pedirse que el radicando, en este caso simplemente x, sea no negativo. A par- tir de la desigualdad observamos que el dominio de la funcin h es el intervalo [0, q). El dominio de la funcin constante f(x) 1 es el conjunto de nmeros reales (q, q) y su rango es el conjunto que consta slo del nmero 1. EJEMPLO 4 Dominio y rango Determine el dominio y el rango de Solucin El radicando x 3 debe ser no negativo. Al resolver la desigualdad se obtiene de modo que el dominio de f es [3, q). Luego, como el smbolo denota la raz cuadrada no negativa de un nmero, para y en consecuencia El menor valor de f(x) ocurre en x 3 y es Adems, debido a que x 3 y aumentan cuando x crece, se concluye que Por consi- guiente, el rango de f es [4, q). EJEMPLO 5 Dominios de dos funciones Determine el dominio de a) b) . Solucin a) Como en el ejemplo 4, la expresin dentro del radical el radicando debe ser no negativa; es decir, el dominio de f es el conjunto de nmeros reales x para los cuales o El conjunto solucin de la desigualdad es tambin el dominio de f. b) Una funcin que est dada por una expresin fraccionaria no est definida en los valo- res x para los cuales el denominador es igual a 0. Puesto que el denominador de g(x) se factoriza como vemos que para y stos son los nicos nmeros para los cuales g no est defi- nida. Por tanto, el dominio de la funcin g es el conjunto de nmeros reales, a excep- cin de x = -1 y x 4. x 4.x 1 (x 1)(x 4) 0(x 1)(x 4),x2 3x 4 (q, 5] [3, q) (x 3)(x 5) 0.x2 2x 15 0 g(x) 5x x2 3x 4 f(x) 2x2 2x 15 y 4.1x 3 f(3) 4 10 4.4 1x 3 4. x 31x 3 0 1x 3, x 3 0 f(x) 4 1x 3. x 0 h(x) 1x11 h(x) 1x x2 0 f: R S R. 1.1 Funciones y grficas 3 En preclculo se suelen resolver desigualdades cuadrticas como (x 3)(x 5) 0 utilizando una tabla de signos. 01Zill001-029.qxd 23/9/10 10:14 Pgina 3 32. Al usar notacin de intervalos, el dominio de g en el inciso b) del ejemplo 5 puede escri- birse como Como alternativa para esta desgarbada unin de intervalos ajenos, este dominio tambin puede escribirse usando notacin de construccin de conjuntos {x 0 x 1 y x 4}. Grficas En campos como ciencia, ingeniera y negocios, a menudo se usa una funcin para describir los fenmenos. A fin de interpretar y utilizar datos, es til representar estos datos en forma de grfica. En el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares, la grfica de una funcin f es la grfica del conjunto de pares ordenados (x, f(x)), donde x est en el dominio de f. En el plano xy, un par ordenado (x, f(x)) es un punto, de modo que la grfica de una funcin es un conjunto de puntos. Si una funcin se define por medio de una ecuacin y f(x), entonces la grfica de f es la grfica de la ecuacin. Para obtener los puntos sobre la grfica de una ecua- cin y f(x), escogemos prudentemente nmeros x1, x2, x3, . . . en su dominio, calculamos trazamos los puntos correspondientes , y luego unimos estos puntos con una curva suave (en caso de ser posible). Vea la FIGURA 1.1.2. No olvide que un valor de x es una distancia dirigida desde el eje y, y un valor funcional f(x) es una distancia dirigida desde el eje x. A continuacin se hacen algunos comentarios sobre las figuras en este texto. Con pocas excepciones, suele ser imposible representar la grfica completa de una funcin, por lo que a menudo slo se muestran las caractersticas ms importantes de la grfica. En la FIGURA 1.1.3a) observe que la grfica se dirige hacia abajo en sus lados izquierdo y derecho. A menos que se indique lo contrario, puede asumirse que no hay sorpresas mayores ms all de lo que se ha mostrado y que la grfica contina simplemente de la manera indicada. La grfica en la figura 1.1.3a) indica el denominado comportamiento extremo o comportamiento global de la fun- cin. Si una grfica termina ya sea en su extremo derecho o izquierdo, este hecho se indica por medio de un punto cuando es necesario. Para representar el hecho de que el punto extremo est incluido en la grfica se usa un punto slido, y para indicar que el punto extremo no est incluido en la grfica se usa un punto vaco. Prueba de la recta vertical A partir de la definicin de una funcin se sabe que para toda x en el dominio de f corresponde un solo valor f(x) en el rango. Esto significa que una recta verti- cal que corta la grfica de una funcin y f(x) (esto equivale a escoger una x) puede cortar a la grfica de una funcin en cuanto mucho un punto. A la inversa, si toda recta vertical que corte la grfica de una ecuacin lo hace en cuanto mucho un punto, entonces la grfica es la grfica de una funcin. La ltima declaracin se denomina prueba de la recta vertical para una fun- cin. Por otra parte, si alguna recta vertical corta la grfica de una ecuacin ms de una vez, entonces la grfica no es la grfica de una funcin. Vea las figuras 1.1.3a)-c). Cuando una recta vertical corta una grfica en varios puntos, el mismo nmero x corresponde a diferentes valores de y, en contradiccin con la definicin de funcin. (x3, f(x3)), . . .(x1, f(x1)), (x2, f(x2)),f(x1), f(x2), f(x3), . . . , (q, 1) (1, 4) (4, q). 4 CAPTULO 1 Funciones x y d y (x) c a b Rango de Dominio de FIGURA 1.1.4 Dominio y rango interpretados grficamente FIGURA 1.1.2 Puntos sobre la grfica de una ecuacin y f (x) (x1) (x2) (x3) (x2, (x2)) (x1, (x1)) (x3, (x3)) x y x3x2x1 x y a) Funcin x y b) No es una funcin x y c) No es una funcin FIGURA 1.1.3 Prueba de la recta vertical Si se cuenta con una grfica exacta de una funcin y f(x), a menudo es posible ver el dominio y el rango de f. En la FIGURA 1.1.4 suponga que la curva azul es la grfica entera, o completa, de alguna funcin f. As, el dominio de f es el intervalo [a, b] sobre el eje x, y el rango es el intervalo [c, d] sobre el eje y. 01Zill001-029.qxd 23/9/10 10:14 Pgina 4 33. EJEMPLO 6 Otra perspectiva del ejemplo 4 A partir de la grfica de dada en la FIGURA 1.1.5, podemos ver que el domi- nio y el rango de f son, respectivamente, [3, q) y [4, q). Esto concuerda con los resultados del ejemplo 4. Intersecciones Para graficar una funcin definida por una ecuacin y f(x), una buena idea suele ser determinar primero si la grfica de f tiene intersecciones. Recuerde que todos los pun- tos sobre el eje y son de la forma (0, y). Entonces, si 0 es el dominio de una funcin f, la inter- seccin y es el punto sobre el eje y cuya coordenada y es f(0); en otras palabras, (0, f(0)). Vea la FIGURA 1.1.6a). De manera semejante, todos los puntos sobre el eje x tienen la forma (x, 0). Esto significa que para encontrar las intersecciones x de la grfica de y f(x), se determinan los valo- res de x que hacen y 0. Es decir, es necesario resolver la ecuacin f(x) 0 para x. Un nme- ro c para el que f(c) 0 se denomina cero de la funcin f o raz (o solucin) de la ecuacin f(x) 0. Los ceros reales de una funcin f son las coordenadas x de las intersecciones x de la grfi- ca de f. En la figura 1.1.6b) se ha ilustrado una funcin que tiene tres ceros x1, x2 y x3 porque f(x1) 0, f(x2) 0 y Las tres intersecciones x correspondientes son los puntos (x1, 0), (x2, 0) y (x3, 0). Por supuesto, la grfica de la funcin puede no tener intersecciones. Este hecho se ilustra en la figura 1.1.5. f(x3) 0. f(x) 4 1x 3 1.1 Funciones y grficas 5 FIGURA 1.1.5 Grfica de la fun- cin f en el ejemplo 6 El dominio de es [3, ) El rango de es [4, ) y x (3, 4) y 4 x 3 Una grfica no necesariamente tiene que cruzar un eje de coordenadas en una intersec- cin; una grfica puede simplemente tocar, o ser tangente, a un eje. En la figura 1.1.6c), la grfica de y f(x) es tangente al eje x en (x1, 0). EJEMPLO 7 Intersecciones Encuentre, de ser posible, las intersecciones x y y de la funcin dada. a) b) Solucin a) Puesto que 0 est en el dominio de f, f(0) 2 y as la interseccin y es el punto (0, 2). Para obtener las intersecciones x, es necesario determinar si f tiene ceros rea- les, es decir, soluciones reales de la ecuacin f(x) 0. Puesto que el miembro izquierdo de la ecuacin no tiene factores evidentes, se usa la fr- mula general para polinomios cuadrticos para obtener Las intersec- ciones x son los puntos y (1 , 0). b) Debido a que 0 no est en el dominio de f, la grfica de f no posee interseccin y. Ahora, puesto que f es una expresin fraccionaria, la nica forma en que es posible que f(x) 0 es que el numerador sea igual a cero y el denominador sea diferente de cero al evaluar la funcin en el mismo nmero. Al factorizar el miembro izquierdo de x2 2x 3 0 se obtiene (x 1)(x 3) 0. En consecuencia, los ceros de f son los nmeros 1 y 3. Las intersecciones x son los puntos (1, 0) y (3, 0). Funciones definidas por partes Una funcin f puede implicar dos o ms expresiones o frmulas, cada una definida en partes distintas sobre el dominio de f. Una funcin definida de esta manera se denomina funcin definida por partes. Por ejemplo, f(x) e x2 , x 1, x 6 0 x 0 13(1 13, 0) x 1 13. x2 2x 2 0 f(x) x2 2x 3 x f(x) x2 2x 2 y (x) (0, (0)) y x a) Interseccin y (x1, 0) (x2, 0) (x3, 0) x y (x) y b) Tres intersecciones x c) Una interseccin y, dos intersecciones x (x1, 0) (x2, 0) (0, (0)) x y (x) y FIGURA 1.1.6 Intersecciones de la grfica de una funcin f 01Zill001-029.qxd 23/9/10 10:14 Pgina 5 34. no son dos funciones, sino una sola funcin donde la regla de correspondencia est dada en dos partes. En este caso, una parte se usa para los nmeros reales negativos (x < 0) y la otra parte para los nmeros reales no negativos ( ); el dominio de f es la unin de los inter- valos Por ejemplo, puesto que -4 < 0, la regla indica que se eleve al cuadrado el nmero: f(-4) = (-4)2 = 16; por otra parte, puesto que se suma 1 al nmero: f(6) = 6 + 1 = 7. EJEMPLO 8 Grfica de una funcin definida por partes Considere la funcin definida por partes (2) Aunque el dominio de f consta de todos los nmeros reales (-q, q), cada parte de la fun- cin est definida sobre una parte diferente de su dominio. Se grafican la recta horizontal y 1 para x < 0, el punto (0, 0) para x 0 y la recta y x 1 para x 0. La grfica se proporciona en la FIGURA 1.1.7. Semicrculos Como se muestra en la figura 1.1.3b), un crculo no es la grfica de una fun- cin. En realidad, una ecuacin como define (por lo menos) dos funciones de x. Si esta ecuacin se resuelve para y en trminos de x, se obtiene Debido a la con- vencin del valor nico del signo , ambas ecuaciones y defi- nen funciones. La primera ecuacin define un semicrculo superior, y la segunda un semi- crculo inferior. Con base en las grficas mostradas en la FIGURA 1.1.8, el dominio de es [-3, 3] y el rango es [0, 3]; el dominio y el rango de son [-3, 3] y [-3, 0], respectivamente. y 29 x2 y 29 x2 y 29 x2 y 29 x2 1 y 29 x2 . x2 y2 9 f(x) 1, x 6 0 0, x 0 x 1, x 7 0. 6 0 (q, q).(q, 0) [0, q) x 0 6 CAPTULO 1 Funciones FIGURA 1.1.7 Grfica de una funcin definida por partes en el ejemplo 8 y x 1, x 0 x y y0, x 0 y1, x 0 yx, x0 y x, x 0 y x y x Esta porcin de yx se refleja en el eje x y x a) b) FIGURA 1.1.9 Funcin valor absoluto (3) Funcin valor absoluto La funcin , denominada funcin valor absoluto, aparece a menudo en el anlisis de captulos ulteriores. El dominio de f es el conjunto de todos los nme- ros reales (q, q) y su rango es [0, q). En otras palabras, para cualquier nmero real x, los valores de la funcin f(x) son no negativos. Por ejemplo, Por definicin del valor absoluto de x, observamos que f es una funcin definida por partes o pedazos, que consta de dos partes (3) Su grfica, mostrada en la FIGURA 1.1.9a), consta de dos semirrectas perpendiculares. Puesto que para toda x, otra forma de graficar (3) consiste en simplemente trazar la recta y x y luego reflejar en el eje x esa porcin de la recta que est abajo del eje x. Vea la figura 1.1.9b). f(x) 0 f(3) 03 0 3, f(0) 0 00 0, f a 1 2 b ` 1 2 ` a 1 2 b 1 2 . f(x) x FIGURA 1.1.8 Estos semicrculos son grficas de funciones a) Semicrculo superior y x y 9 x2 b) Semicrculo inferior y x y 9 x2 . f(x) 0 x0 e x, si x 6 0 x, si x 0 01Zill001-029.qxd 23/9/10 10:14 Pgina 6 35. Funcin entero mayor A continuacin se considerar una funcin f definida por partes deno- minada funcin entero mayor. Esta funcin, que tiene muchas notaciones, se denotar aqu por y est definida por la regla (4) La expresin (4), traducida a lenguaje coloquial, significa lo siguiente: El valor funcional f(x) es el entero mayor n que es menor o igual a x. Por ejemplo, y as en lo sucesivo. El dominio de f es el conjunto de nmeros reales y consta de la unin de una infinidad de intervalos ajenos; en otras palabras, es una funcin definida por partes dada por (5) El rango de f es el conjunto de enteros. La porcin de la grfica de f sobre el intervalo cerrado [2, 5] se proporciona en la FIGURA 1.1.10. En informtica la funcin entero mayor se conoce como funcin redondeo hacia el ente- ro inferior anterior. Una funcin relacionada denominada funcin redondeo hacia el entero superior siguiente* se define como el menor entero n que es mayor o igual a x. Vea los problemas 57 a 59 en los ejercicios 1.1. Un modelo matemtico A menudo resulta aconsejable describir el comportamiento de algn sistema o fenmeno de la vida real, ya sea fsico, sociolgico e incluso econmico, en trminos matemticos. La descripcin matemtica de un sistema o fenmeno se denomina modelo mate- mtico y puede ser tan complicada como cientos de ecuaciones simultneas o tan sencilla como una sola funcin. Esta seccin concluye con una ilustracin del mundo real de una funcin defi- nida por partes denominada funcin timbre postal. Esta funcin es semejante a en el sentido de que ambos son ejemplos de funciones escaln; cada funcin es constante sobre un intervalo y luego salta a otro valor constante al siguiente intervalo colindante. Al momento de escribir esto, la tarifa de primera clase del Servicio Postal de Estados Unidos de Amrica para el porte de una carta en un sobre de tamao normal dependa de su peso en onzas: (6) La regla en (6) es una funcin de P que consta de 14 partes (las cartas que pesan ms de 13 onzas se envan como correo prioritario). Un valor de la funcin P(w) es una de 14 constan- tes; la constante cambia dependiendo del peso w (en onzas) de la carta. Por ejemplo, El dominio de la funcin P es la unin de los intervalos: (0, 1] (1, 2] (2, 3] . . . (12, 13] (0, 13]. f(x) :x; g(x) f(n). >f(5)> f(n 1) f(n) (n 1). x2 4y2 16x y2 5 4224 2 4 2 4 x y 4224 2 4 2 4 x y f(2), f(1.5), 4224 2 4 2 4 x y 4224 2 4 2 4 x y f(3), f(2), f(1), f(x) 1 2 2x2 2x 3f(x) 3 2 24 x2 f(x) x(x 1)(x 6) x 8 f(x) x2 4 x2 16 f(x) x4 1f(x) x3 x2 2x f(x) (2x 3)(x2 8x 16) f(x) 4(x 2)2 1 f(x) x2 6x 5f(x) 1 2 x 4 x y 1.1 Funciones y grficas 9 01Zill001-029.qxd 23/9/10 10:14 Pgina 9 38. Piense en ello 53. Determine una ecuacin de una funcin y f(x) cuyo dominio es a) b) 54. Determine una ecuacin de una funcin y f(x) cuyo rango es a) b) 55. Con base en la grfica de dada en la FIGURA 1.1.23, determine el rango y dominio de la fun- cin Explique su razonamiento en una o dos frases. FIGURA 1.1.23 Grfica para el problema 55 56. Sea P cualquier punto (x, f(x)) sobre la grfica de una funcin f. Suponga que los segmentos de recta PT y PS son perpendiculares a los ejes x y y. Sean M1, M2 y M3, respectivamente, los puntos medios de PT, PS y ST como se muestra en la FIGURA 1.1.24. Encuentre una fun- cin que describa la ruta de los puntos M1. Repita lo anterior para los puntos M2 y M3. FIGURA 1.1.24 Grfica para el problema 56 57. En la pgina 7 se vio que la funcin redondeo hacia el entero superior siguiente se define como el menor entero n que es mayor o igual a x. Llene los espa- cios en blanco. 58. Grafique la funcin redondeo hacia el entero superior siguiente definida en el problema 57. 59. La funcin definida por partes se denomina funcin entero. Grafique int(x). 60. Analice cmo graficar la funcin . Lleve a cabo sus ideas. En los problemas 61 y 62, describa con palabras cmo difie- ren las grficas de las funciones dadas. 61. , 62. , h(x) x4 1 x2 1 , 2, x 1 x 1 g(x) x4 1 x 1 , 0, x 1 x 1 f(x) x4 1 x2 1 , h(x) x2 9 x 3 , 6, x 3 x 3 g(x) x2 9 x 3 , 4, x 3 x 3 f(x) x2 9 x 3 , f(x) 0 x 0 0 x 30 int(x) e :x;, x 0 2 4.y 5x2 3x1 TT f1(x) f2(x) f3(x) f4(x) x3 x2 x 1. f4(x) 1,f3(x) xf2(x) x2 ,f1(x) x3 , (q, q) [0, q) [0, q). f(x) g(x) x2 1x g(x) 1x Las funciones polinomiales y racionales se analizarn con ms detalle en la seccin 1.3. f(x) an xn an 1xn 1 p a2 x2 a1x a0, (fg)(x) f(x)g(x) (x2 4x)(x2 9) x4 4x3 9x2 36x. (f g)(x) f(x) g(x) (x2 4x) (x2 9) 4x 9, (f g)(x) f(x) g(x) (x2 4x) (x2 9) 2x2 4x 9, a f g b(x) f(x) g(x) x2 4x x2 9 . f(x) p(x) q(x) , 01Zill001-029.qxd 23/9/10 10:14 Pgina 12 41. son funciones racionales. La funcin no es una funcin racional. Composicin de funciones Otro mtodo para combinar las funciones f y g se denomina com- posicin de funciones. Para ilustrar la idea, se supondr que para una x dada en el dominio de g el valor funcional g(x) es un nmero en el dominio de la funcin f. Esto significa que es posi- ble evaluar f en g(x); en otras palabras, f(g(x)). Por ejemplo, suponga f(x) x2 y g(x) x 2. Entonces, para x 1, g(1) 3, y como 3 es el dominio de f, es posible escribir f(g(1)) f(3) 32 9. En efecto, para estas dos funciones particulares resulta que es posible evaluar f en cual- quier valor funcional g(x); es decir, A continuacin se define la funcin resultante, denominada composicin de f y g. f(g(x)) f(x 2) (x 2)2 . 1.2 Combinacin de funciones 13 EJEMPLO 3 Dos composiciones Si y , encuentre a) y b) Solucin a) Para hacer nfasis se sustituye x por el conjunto de parntesis ( ) y f se escribe en la forma Entonces, para evaluar , cada conjunto de parn- tesis se llena con g(x). Se encuentra b) En este caso, g se escribe en la forma As, Los incisos a) y b) del ejemplo 3 ilustran que la composicin de funciones no es conmu- tativa. Es decir, en general EJEMPLO 4 Escritura de una funcin como una composicin Exprese como la composicin de dos funciones f y g. Solucin Si f y g se definen como , entoncesf(x) 1x y g(x) 6x3 8 F(x) 26x3 8 g(x) 2( )2 1. ( f g)(x)f(x) ( )2 3( ). (g f )(x).( f g)(x) g(x) 2x2 1f(x) x2 3x Definicin 1.2.2 Composicin de funciones Si f y g son dos funciones, la composicin de f y g, denotada por es la funcin definida por (8) La composicin de g y f, denotada por es la funcin definida por (9) g f, f g, dno es un polinomio y 1x x2 1 ( f g)(x) f(g(x)). (g f )(x) g( f(x)). 4x4 10x2 4. 4x4 4x2 1 3 . 2x2 3 . 1 (2x2 1)2 3(2x2 1) (f g)(x) f(g(x)) f(2x2 1) 2x4 12x3 18x2 1. 2(x4 6x3 9x2 ) 1 2(x2 3x)2 1 (g f)(x) g( f(x)) g(x2 3x) f g g f. F(x) ( f g)(x) f(g(x)) f(6x3 8) 26x3 8. 01Zill001-029.qxd 23/9/10 10:14 Pgina 13 42. 14 CAPTULO 1 Funciones Hay otras dos soluciones para el ejemplo 4. Por ejemplo, si las funciones f y g se defi- nen por y g(x) x3 , observe entonces que Dominio de una composicin Para evaluar la composicin el nmero g(x) debe estar en el dominio de f. Por ejemplo, el dominio de es [0, q) y el domi- nio de g(x) = x - 2 es el conjunto de nmeros reales (-q, q). Observe que no es posible evaluar f(g(1)) porque g(1) 1 y 1 no est en el dominio de f. Para poder sustituir g(x) en f(x), g(x) debe satisfacer la desigualdad que define al dominio de f, a saber: . Esta ltima desigualdad es la misma que o El dominio de la composicin es [2, q), que slo es una porcin del dominio original (q, q) de g. En general, el dominio de la composicin es el conjunto de nmeros x en el domi- nio de g tales que g(x) est en el dominio de f. Para una constante c 0, las funciones definidas por y f(x) c y y f(x) c son la suma y la diferencia de la funcin f(x) y la funcin constante g(x) c. La funcin y cf(x) es el producto de f(x) y la funcin constante g(x) c