Clases Lógica 2015

8/20/2019 Clases Lógica 2015

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LÓGICA 2014

Profesor Manuel Correia

04/03/152 Elementos: lógica aristotélica y matemática

La primera parte es lógica aristotélica y la segunda matemática.

Las guías temáticas hay que desarrollarlas bien.

Prueba 1: de abril !y ayudantía primero

Prueba 2: 1" mayo y ayudantía 11

Prueba ": 22 de #unio y ayudantía 1$

Las pruebas son en horarios alternos.

En el programa hay una bibliogra%í general: es para in%ormarse. &ada cierto timpo el pro%esor 'a poniendo artículos en el sitio del curso.

El ()* del curso está en el libro del pro%esor y el otro ()* está... +en manuales de lógicamatemática,-

La lógica ha su%rido una matematiación en el siglo //. La lógica es una disciplina que hatomado distintas ramas. 0l principio al alero de la %iloso%ía y ahora al alero de la matemática.ucho más al alero de la computación.

La posición del pro%esor es la lógica como lenguae. 3o como cálculo. Para el %ilóso%o la

lógica es más bien un lenguae4 de ahí su utilidad. Persigue reconocer la estructura %ormal dellenguae.

En toda sus 'ariiaciones4 lo que interesa es la estructura %ormal y uni'ersal que hay detrás.5ay elementos comunes: el término4 la proposición y el argumento.

El interés del lógico es buscar un elemento uni'ersal. 6na suerte de estrutura %ormal dellenguae. El interés de la lógica radica en eso. 7e piensa así: al conocer la estructura del



lenguae estamos más capacitados para entender lo que alguien dice4 en especial cuandoargumenta.

En el curso hay grandes autores. El lenguae tiene muchas contingencias4 que en lógica no seocupan. El lógico no busca las moti'aciones4 sino solo lo que se discute.

La lógica se ha desarrollado sobre la base de dos modelos en la historia:

+1- aristotélico: que no solo lo dio aristóteles4 sino que los aristotélicos lo han seguido.7ostiene que la lógica es un instrumento +organon- para las ciencias que conocen.Esto signi%ica que la lógica no conoce nada. 7i lo conociera4 todos deberíanconcoerla. Es %orma4 ustamente por eso4 porque no conoce al obeto. El cientí%ico4 el%ilóso%o y el teólogo sí lo conocen.

&uando las disciplinas se ponen de acuerdo con el obeto4 ahí parte la lógica. Lo que ellógico 'e es si es correcto o incorrecto el argumento que se tiene que llegar. 8ecimos que escorrecto o 'álido4 pero no lo 'erdadero4 5ay una relación entre lo 'erdadero o 'álido4 porque

nada 'erdadero puede ser in'álido. Pero si el medio es 'álido puede ser no 'erdadero4 porquela lógica es %ormal.

La lógica es un instrumento que muestra la 'alide de los argumentos4 está al ser'icio deotras ciencias. 9iene un campo bien de%inido: la corrección o 'alide. 7abe detenerse en sulugar y no se introduce como un intruso en temas que no puede 'er.

ndirectamente tiene que 'er con la 'erdad4 porque si los medios a tra'és de los que seencuentra la 'erdad no son correctos4 es una 'erdad por accidente4 pero no cientí%ica. 9odo lo'erdadero es correcto4 pero no todo lo correcto es 'erdadero.

+2- Esta de%inición cambió hasta el siglo //. 5acia el %inal del siglo // algunos lógico que

siguieron a Leibni4 quien hio grandes a'ances porque se atre'ió a introducir elementos dematempatica.

;athematical analysis o% logic< =eorge >oole +1?@$- AAB se trans%ormó en una cienciaeCacta.

5ay raones compleas detrás de esto: el nacimiento de la geometría no euclidiana generó undesconcierto en los matemáticos porque la geometría no podía seguir siendo el %undamentode la matemática.

0utores como Drege +1?$(- propone un sistema lógico capa de %undamentar lamatemática. &ontinuaron este segundo modelo. 3o considera a la lógica como uninstrumento sino como una ciencia y propone la tarea de %undamentar la matemática y todaslas ciencias4 como la %ísica. &on esto cambia el modelo4 ahora la lógica es la ciencia que%undamenta el saber humano.



Para que el sistema de Drege %uncione no hay que seguir el sistema aristotélico +L.&ategorial- sino la lógica proposicional +que no debe ser otorga solo a los estoicos. AAB8e lalógica proposicional se puede deducir todo lo que sigue +LuasieFics-.

Drege4 entonces4 dice que la lógica es más bien una ciencia que instrumento que tiene como

obeto %undamentar la matemática y con ello toodo el saber. Es un proyecto de %undamentar el saber humano.

5ay un tránsito de la lógica de la %iloso%ía a la matemática. Este proyecto logicista %racasó.Gussell en'ía una carta a Drege4 diciendo que su libro tenía un error. Hl se da cuenta y publica igual el libro. Esa misma maIana se rompe el paradigma logicista. 3o hay despuésde Drege un paradigma nue'o que haya 'enido a reno'ar.

5oy hay una situación incómoda: algunos quieren rea'i'ar lo de Drege4 pero lo que 'ioGussell es que era circular y por lo tanto in'álido. Jhabrá que 'ol'er a 0ristóteles, 5ayautores analítico que se contentan con decir que la lógica tiene la Kltima palabra.

Esto lle'ó a que lo que quería hacer Drege se dispersara y se %ormaran distintos proyectoslógicos. Gesultado: un cierto desorden intelectual. La cuestión de Drege era cómo meterse enel predicado relacional +que es la cuestión de la matemática-.

0l caer el logicismo nacen muchas eCpresiones alternati'as.

Esto de que si la lógica era una ciencia o un instrumento es un problema antiguo. a sediscutía entre los seguidores de 0ristóteles y los estoicos. Estos Kltimos decían que es laciencia que es capa de poner en palabras la naturalea.

Los antiguos decían que era ambas: el codo actKa de la misma manera4 es una parte delcuerpo y también un instrumento de medida. +Lógica4 ética y %ísica-.

Estos mismos antiguos dieron que era un ergon +producto- de la %iloso%ía y por ello no puedeser inicial4 porque hay que primero argumentar algo sobre algo y ahí entra la lógica.

5ay que %ormar y eercitarse en una disciplina que sería capa de decir cuál de esas posiciones es correcta y cuál incorrecta. Por eso la lógica surge como una criteriología4 esdecir4 como un criterio de 'erdad. 3o todo es 'erdadero o %also. La lógica directamente no pero es indispensable.

El principio de no contradicción: dos cualidades contrarias no pueden estar en un suetosimultáneamente +al mismo tiempo y en el mismo sentido-. 0ristóteles dice que no solo no es

lógico4 sino de la naturalea.Mamos a lle'ar la lógica simple hasta su eCtremo teórico. La lógica simple y la de primer orden es matemática.

)N!)"!1(



3inguna de las partes del nombre es signi%icati'a.

Pero hay un caso que es el más contro'ertido4 comentado por comentaristascontemporáneosAAB las palabras compuestas.

La parte quiere signi%icar pero no signi%ica4 porque cuando yo %ormo una %rase con;casaquinta< signi%ica la palabra y no sus partes. Por eemplo: la casaquinta es grande4 noquiere decir que casa es grande y quinta también. Lo que signi%ica la %rase es la totalidad delo compuesto. En el nombre4 ninguna de sus partes es signiicati'a en separación.

Esto es interesante porque es una teoría del lenguae en la que los elementos han sidoincorporados constructi'amente. 6na conglameración de nombres4 produce una %rase. Estáconstruyendo una cierta teoría. 3ombre O nombre es una %rase. %rases untas sonargumentos.

El sonido es linguístico cuando se articulado. La Lógica se ocupa de los sonidos articulados.

7onidos

0rticulados noAarticulados

+ruido-

7igni%icación sin signi%icación

Por con'ención 3atural

7us partes no signi%ican en separación 7us partes signi%ican en separación

+ninguna de sus partes signi%ican- +%rase-

7igni%icaciones naturales: como las intereccionesAAB cuando uno dice 0 o sonidos de dolor.

7on naturales. +las onomatopeyas no. En el caso de la onomatopeya el sonido natural in%luyeen el término.-

0ristóteles dice también en categorías que el término se presenta aislado o en unión +%rases4nombres O nombres-. Porque en el %ondo cuando se %orma una %rase no siempre se espera quela %rase sea estilisada. La palabra que 0ristóteles dice es logos para %rase.



7on características %ormales4 que apuntan a la de%inición. Lo que 0ristóteles quiere es eCtraer una teoría estrictamente %ormal. 9iene que eCistir una distinción general4 para que no nos podamos con%undir. 6na cosa es el nombre y otra una %rase +tiene partes signi%icati'as enseparación-.

Luego4 hay %rases +logos-4 pero la %rase puede ser per%ecta o imper%ecta. &uando yo tengonombre O nombre +es imper%ecta-. Por e. &aballo rápido. 5ay %rases per%ectas que son proposiciones +nombre O 'erbo ser4 o bien4 nombreOnombreO'erbo-. 7on logos apo%antiós.Es decir4 un logos declarati'o4 logra comunicar algo que puede ser 'erdadero o %also.

El logos apo%antiós es la proposición. El término en cierta medida es un comieno de lalógica4 pero la proposición es el comieno especí%ico de la lógica4 porque solo ella puede ser 'erdadera o %alsa.

7olo la presencia del 'erbo hace al órgano linguístico 'erdadero o %also. Por e. &entauro.6no puede decir que es %also. #usto en eso... &entauro no eCisteAB solo ahí es la proposición.La postura linguística no tiene nada que 'er con la lógica. 7i no hay de%iniciones no haylógica.

La lógica es el estudio de las propoiciones analíticas. 3o obstante no hay di%icultad de hacer proposiciones sintéticas4 pero si se busca el %undamento hay que hacerlo en la eCperiencia.

0ristóteles piensa que la lógica es el estudio de los logos apo%antiós porque ahí se da la'erdad o %alsedad. La %rases imper%ectas +ruegos4 preguntas4 eChortaciones- son obetos deestudio de la retórica o poética4 o las otras ciencias del lenguae4 no la lógica.

Lógos apo%antiós: sonido articulado que signi%ica por con'ención4 donde sus partessigi%ican en separación y que por presencia de un 'erbo se %orma sentido completo y la hace

'erdadera o %alsa.7olo en el argumeto se puede decir: una cosa es la corrección y otra la 'erdad.

5ay ? prop. 8e la proposición categórica +logos apo%antiós-

+9ambién se pueden desglosar en N-

&uando nos re%erimos a la proposición nos re%ereimos al 3OM< y debería ser llamada simple.Porque también eCiste %ormas de 'incular proposiciones con conecti'os lógicos. Por eemplo;7 camina y P lee< esa es complea4 se puede distinguir en dos prop. 7imples O un conecti'o.7i 7 camina4 entonces P lee. Es complea también. Esa prop. 7imples general prop.

&ompleas. Hl 'a eCplicar las proposiciones simples.La proposición puede ser de 2 términos o ". Es decir4 3ombreO'erbo onombreOnombreO'erbo. Por eemplo4 7ócrates camina4 o 7ocrates es usto. 7i los elementosson los que hemos de%inido4 entonces no hay más proposiciones que esas.

11/03/15



Primera propiedad: 8icen algo de algo Prop. &ategorial. &uando dicen lo mismo de lomismo4 signi%ican eCactamente lo mismo4 aunque las proposiciones no son iguales. ECiste el'erbo ser y todos los demas 'erbos contienen el 'erbo ser.

&aminar es caminante 7on sintácticamente distintos pero dicen lo mismo

Segunda propiedad: las proposiciones pueden tener modo o no. El modo hay que de%inirloen la prop. &atergórica. El modo es el ad'erbio. Pero no hay gramática griega antes que él.

El modo segKn 0ristóteles es la manera en que la acción o la cualidad está en el sueto. Por e4 7ócrates camina rápidamente. Las prop. 8e dos o tres terminos pueden tener modos y sellaman modales. La discusión es si el modo hace que la prop. 9enga más términos. Pero0ristóteles dice que no4 solo modi%ica la manera de la predicación. El modo ad'iene a la proposición.

La necesidad o la posibilidad son metamodos. 7i bien 0ristóteles habre la posibilidad de quehay inde%inidos modos4 dice que todos los modos se clasi%ican en ": la necesidad4 la

imposibilidad y la posibilidad.Q hay allí algo posible4 o algo imposible o algo necesario.

er!era propiedad: el sueto de una proposición puede ser singular o uni'ersal. &on'iene'er como si todo %uese una cosa. 6na proposión singular ;7ócrates es usto<. 6na uni'ersaldiría ;5ombre es usto<. Posee un sueto uni'ersal. 0ristóteles no tiene una doctrinauni'ersal tan %uerte como la de Platón4 lo re%iere como ;lo que se dice de muchos<4 porque sihabla de conunto o totalidad tendría el problema de que no conocemos todos los eemplaresde la totalidad. El sueto uni'ersal es el sueto que denota muchos indi'iduos. El suetouni'ersal denota 1 sola cosa.

Cuar"a propiedad: la cantidad. 9iene una condición. ;las prop. Rue tienen cantidad tienennecesariamente un sueto uni'ersal y nunca un sueto singular<. La eCpresión ;todo7ócrates< no está dentro. 7olo se cuanti%ica aquella proposición que tiene un sueto uni'ersal.Por ello4 la cantidad es uni'ersal +todos o ningKn-4 particular +algKn- indeterminada +él4 un-.Los de propiedad uni'ersal necesitan una cantidad. 3o se puede decir ;hombre camina< sino;todo hombre camina<.

7i se dice ;un hombre es sabio< no se sabe si se re%iere al todo o la parte. ;9odo el brao de7ócrates tiene alergia< aunque es singular4 se toma como uni'ersal porque tiene partes4también se puede decir ;alguna parte del brao<. Lo uni'ersal y lo singular no es una cosa4

basta con que se diga hay un indi'iduo o muchos.#uin"a $ se%"a prop. 7e pueden tomar como uno solo o como dos y de ahí pro'iene en quesean...

El sueto de la prop. Puede ser de%inido o inde%inido +aoriston-. En el de%inido podemos decir ;7ócrates< o ;hombre4 pero inde%inido es ;no 7ócrates< o ;no hombre<. 3o todas las lenguasaceptan términos inde%inidos4 pero el griego sí porque la prop. &ategórica puede ser hecha por un inde%inido4 por e. ;no 7ócrates es usto<. Pero no es una imposibilidad ni un conunto



'acío +di%. &on lógica contemporánea-.

Se%"a prop: el predicado también puede ser de%inido o inde%inido. Pero aquí 0ristóteles haceuna aclaración. 7olo las proposiciones que tienen " términos tienen un predicado inde%inido.Esta eCpresión no es una negación4 sino una a%irmación con predicado inde%inido. ;7ócrates

es noAusto<. 3o sir'e con ;7ócrates no camina< porque eso es una negación.La inde%inición del todo es algKn no: no todo C es algKn / es

La lógica 0ristotélica no lle'a cuanti%icador en el predicado.

S&p"ima propiedad: la prop. &ategórica tiene calidad a%irmati'a o negati'a. La proposiciónnegati'a se de%ine en relación a la a%irmati'a porque la negati'a es una a%irmati'a quecontiene una partícula negati'a. Eso abre paso a la pregunta sobre dónde tiene que ir la partícula negati'a. 8ebe ir delante de la parte más importante de la proposición. 7i es de dostérminos4 el 'erbo4 si es de dos4 el 'erbo ser y si es modal4 el modo.

Los primeros comentaristas %ueron contemporáneos a la escuela estoica4 quienes decían quela negación no es ... 3o:+7ócrates es usto-

1'/03/15

(!"a)a propiedad: 9iempo

Presente: +ciencias teóricas- no se debe pri'ilegiar la circunstancia sino la%ormulación.

Pasado

Duturo

*o)ena propiedad+ La materia

;9odas las proposiciones de la lógica tienen materia<. Porque la materia es la relación queeCiste entre el término sueto y el término predicado.

ateria necesaria

Posible

mposible

Por e: el hombre es un animal. 8esde el punto de 'ista de la naturalea hay una relaciónnecesaria.

A El hombre es usto. El hombre puede ser usto o no. Es posible. La relación entre elhombre y la usticia es de posibilidad.

A El hombre es una piedra.

La materia de la proposición es anterior al modo. En consecuencia4 hay que tratar de eCplicar



el nacimiento de la modalidad y no al re'és. Es probable lo siguiente: que la materia sea elorigen de la modalidad.

5ombre es usto4 necesariamente elemento semántico de qué es usto.

Prop. ;El niquel es un metal< 29!"9:" odal!noAmodal: modal 7u. 7ing. o Pl.:

singular 7u. 8e%. o inde%.: 8e%inido Pred. 8e% o inde%.: 8e%inido ateria: necesaria9iempo: Presente. &alidad: a%irmati'a &antidad: indeterminada

Los suetos singulares no se cuanti%ican.

La materia se analia tal cual está.

JPodemos tener una clasi%icación donde se integren estas cualidades,

7í4 hay ")2@ %ormas proposicionales.

1,/03/15

Las lecciones de lógica de 0ristóteles son ordenadas4 en ellas se incluyen tantos aspectossintácticos4 como semánticos. En 8e interpretatione dice que para cada a%irmación eCiste unanegación. Esto debe ser entendido en la perspecti'a sintáctica. Para cada preposicióna%irmati'a eCiste una negati'a. al re'és4 nunca una negación 'a a surgir de la nada4 sino deuna a%irmación.

0quí lo que hay es un par cntradictorio. 7i no hay una de%. de contradicción no puede haber una de negación4 lo cual es %atal para cualquier lógica.

5ay prep. Rue de alguna manera se acompaIan unas con otras4 y hay otras que sonimposible de lle'ar untas porque son contradictorias o se dan algKn grado de negación. La

teoría es 'erlas como si %uesen una sin%onía4 una suerte de uni'erso4 donde pueden estar enacuerdo unas con otra o en desacuerdo4 es decir4 con algKn grado de contradicción entreellas.

Pasando ya al desarrollo de lo que podemos llamar semántica lógica o %ormal4 hay que de%. lacontradicción.

Está diciendo que a los so%istas hay que ponerles un límite: la contradicción. 7e puedenre%erir situaciones opuestas pero nunca más allá de la contradicción que debe ser respetada por sí misma.

5ay una serie de combinaciones lógicas que en cierta manera están bordeando la noción de

contradicción. &ada una supone la noción de contradicción. Por tanto la semántica lógica esla conquista de la noción de contradicción.

&Q39G08&&S3: 0ristóteles dice que la contradicción es un principio general de larealidad4 no está solo en el lenguae sino en las cosas. 6na sustancia no puede recibir propiedades contrarias al mismo tiempo y en el mismo sentido.

En lógica la a%irma como ;cuando en lógica dos prop. 8icen lo mismo de lo mismo4 pero una



a%irmando y la otra negando<.

7e deduce de esta de%inición lo siguiente: que #uan es sabio se 'a a oponer a una proposiciónque diga lo mismo pero negando4 es decir4 #uan no es sabio. El lógico está buscando unaestructura pre'ia a lo natural. La lógica tiene una autonomía di%erente.

0ristóteles no con%ía en la lógica del lenguae porque considera que no siempre hablamos bien el lenguae. Lo aclara de la siguiente manera. ECiste una con%usión entre los términos pri'ati'os4 los inde%inidos y la negación. Jes lo mismo inusto que noAusto que no ser usto,nusto implica noAusto y este no ser usto4 pero no al re'és4 no ser usto4 no implica lo no usto y este lo inusto.

9ambién4 lo malo implica lo noAbueno4 pero puede haber algo noAbueno que no sea malo.

7olo en el caso de impar con no par4 coincide el pri'ati'o con el inde%inido. 7olo en algunoscasos se puede.

La Qperación lógica puede ser:

Qperación mediata: suman in%ormación4 se sabe algo y algo más. 7on los silogismos.En la lógica tradiciones se dice que hay modales y no modales +asertóricos- +quintotema-

Qperación inmediata: >asta que se sepa una sola cosa para que podamos encontrar lo prop. Rue acompaIa o se siga. Puede ser puramente inmediatas4 es decir4 que elintelecto natural sin ninguna regla logra encontrar la prop. &onsecuente. 9ambién hay por trans%ormación4 es decir4 que sigan una determinada indicación o regla práctica.Esta puede ser de " tipos:

A &on'ersión. 3uestro segundo tema.A &ontraposición. 9ercer tema.

A Qb'ersión. &uarto tema.

Las puramente inmediatas pueden ser:

A odales: P es posible P no es necesario

A 0sertóricas: generan la in%erencia +cuadrado de las proposiciones-. Primera reuniónde in%erencias lógicas que tengamos a la mano. Este será nuestro primer tema.

5istóricamente el cuadrado es una suerte de enmienda que 0ristóteles le hace a Platón.Porque este decía que la negación era lo otro que la a%irmación. Pero 0ristóteles dice queeCisten " tipos de negación:

&ontradictoria

&ontraria



7ubAcontraria.

Propone @ proposiciones.

a%irmati'a 3egación6ni'ersal 9odo hombre es blanco 0 3ingKn hombre es blanco E

Particular 0lgKn hombre es blanco 0lgKn hombre no es blancoQ

+L07 MQ&0LE7 8E 0L L08Q 7Q3 &QQ L0 LL003 LQ7 E8EM0LE7-

JcuaTl de todas las relaciones que se pueden establecer aquí di'ide más la 'erdad de la%alsedad, Es decir4 si una es %alsa4 la otra es 'erdadera. Jcuál comiena a %racasar de estadi'isión,

La primera con las diagonales4 porque di'iden las contradictorias4 de tal manera que si una es'erdadera la otra es %alsa.

Por eemplo4 si ;todo hombre es blanco< entonces es %alsa y contradice a ;algKn hombre noes blanco<.

7i se supone la %alsa4 inmediatamente la otra es 'erdadera.

3egación es4 la oposición contradictoria. Entonces negación es contradicción en sentidoestricto4 no lo que decía Platón.

La relación con el de al lado uni'ersal es de contrariedad4 no de contradicción. La

contrariedad no es la relación porque si bien partiendo de una la otra es %alsa4 no se puedededucir. Por eemplo4 si negamos que todo hombre es %also4 no se sigue necesariamente queningKn hombre es blanco.

La relación con el de al lado particular es de subcontrariedad4 y es más débil. Porque puedencoeCistir ambas a la 'e. 7i una es 'erdadera no se puede saber nada de la otra.

La más %uerte es la contradicción4 luego la contrariedad y %inalmente la sub contrariedad.

Las a%irmati'as también tienen relación así como las negati'as. 8el todo con la parte. 7i las particulares son 'erdaderas entonces la uni'ersal no puede determinarse. Jpor qué en algunoscasos la generaliación se %ndamenta y en otros no,

Pero si la uni'ersal es 'erdadera entonces la particular lo es. Pero si la uni'ersal es %alsa4 la particular no se puede determinar. Pero al re'és es 'erdadero4 si la parte es %also4 en latotalidad también. 0 este se le llama 76> 0L9EG30&S3. +0L9EG30&S3 E7&6038Q de la particular a la uni'ersal-.

Esto es cuando son proposiciones asertóricas.



(pera!i-n de !on)ersi-n: 7i tenemos una prop. &ategórica 7 es P4 la con'ersión esintercambiar. 3o toda %orma propocisional acepta este enroque.

Para la 04 es decir4 las uni'ersales a%irmati'as se puede4 pero se debe rebaar la cantidad. Esdecir 9odo 7 es P se pasa a 0lgKn P es 7. Los modernos lo llaman con'ersión por accidente y

los modernos por limitación. Puede haber algunos4 pero es eCcepción4 como 9odo hombre esrisible.

El predicado siempre es más amplio que el sueto.

La E +las prop. 6ni'ersales negati'as-. 0ca la con'ersión es simple4 3ingKn 7 es P4 se puededecir que ningKn P es 7.

La +particular a%irmati'o- también se da una con'ersión simple.

La Q +algunos 7 no son P- no se pueden con'ertir



23/03/15

Con"raposi!i-n0: 9odo 7 es P 9odo no P es no 7

E: no se contrapone

: no se contrapone

Q: 0lgKn 7 no es P 0lgKn noP no es noA7

0lgunos comentaristas contemporáneos dicen que:

E: 3ingKn 7 es P 0lgKn noAP no es 3oA7 +contraposición por limitación-

(.)ersi-n+

0ristóteles la utilia sin de%inirla. Es muy Ktil porque se aplica a todos. ;7i se mantiene elsueto y la cantidad4 pero se modi%ica la calidad y el predicado<

0: 9odo 7 es P 9odo 7 no es noAP 3ingKn 7 es noAP

E: 3ingKn 7 es P 3ingKn 7 no es noAP 9odo 7 es noAP

: 0lgKn 7 es P 0lgKn 7 no es noAP

Q: 0lgKn 7 no es P 0lgKn 7 es noAP

Es 'ice'ersa también.

6no podría decir que las proposiciones generan una suerte de sin%onía donde eCistendistintas proposiciones y algunas consienten con otras y otras se repelen.

Jcuál de las prop. Lógicas se reser'an el 'alor de 'erdad de la prop. 8ada, 7i hay una prop.8ada4 con qué operaciones se puede garantiar que la próCima 'a a tener el mismo 'alor de'erdad.

A Qb'ersión

A &ontraposición

A 7ubalternación. Porque si la uni'ersal se supone 'erdadera4 la subalterna tambiéndebería serla.

A &on'ersión.

Qtras no preser'an la 'erdad: la contradicción4 la contrariedad4 y la subcontrariedad. La



alternación tampoco preser'a la 'erdad sino la %alsedad.

El sistema de preser'ación de la 'erdad es laCo. Porque actualmente se duda si lasubalternación sea 'erdadera. Para el problema eCistencial se plantea un esquema especí%ico:

A Qb'ersión

A La contraposición +solo para 0 y Q-

A La con'ersión simple4 no por accidente4 de la E y la

En general son in'álidas las que 'an de una uni'ersal a una particular.

3o se puede dar con seguridad que 9odo 7 es P algKn noAP es 7

En el esquema general se acepta la subalternción. Pero en el especí%ico no.

+1- 9odo 7 s P: dada

+2- 9odo no P es no 7: contraposición en 1+"- 0lgKn noAp es no 7: subalternación 2

+@- 0lgKn noAP no es noA7: ob'ersión en "

+(- En cuatro se deduo la negación del consecuente4 Por tanto4 esté no se sigue.

• 3ingKn 7 es no P 0lgKn P es 7

+1- 3ingKn 7 es noAP: dada

+2- 0lgKn 7 no es noAP: +subalternación4 se baa la cantidad-

+"- 0lgKn 7 es P: ob'ersión

+@- 0lgKn P es 7

+(- RE8

ECiste un sistema que me permite unir las tautológicas.

• 0lgKn 5 no es L 0lgKn noAL no es noA5

+1- 0lgKn 5 no es L: dada

+2- 0lgKn noAL no es noA5: contraposición en 1

+"- RE8

• 0lgKn 7 es P 0lgKn noAP es noA7. : en esta no se puede llegar a la contraria ni probarla. El sistema es incompleto.

+1- 0lgKn 7 es P: dada

+2- 0lgKn P es 7: con'ersión en 1



+"- 0lgKn P no es noA7: ob'ersión en 2.

+@- Es inde%inido: no hay %orma de llegar ni a la negación ni a la a%irmación.

La mayoría son 'erdaderas pero no se pueden demostrar lógicamente.

2(!)"!1(

Jla negación de ;#uan es inusto<, #uan no es inusto

;3ingKn hombre es una piedra< Es negati'a todo hombre no es una piedra

12. +ii-

"94 su. 6ni'. ndet. 9omado. 7u4 de%inido. En %uturo. . contingente. 3egati'a4 modal de

posibilidad y a%irmati'a. Predicado de%inido.+1- El a%irmati'o que 'a unto con la modalidad4 es la calidad del modo y por tanto de la

proposición.

+2- 7ueto determinado

+"- Merbo "94 %uturo y negati'o.

+@- &ontingente.

Es posible que el hombre no será usto será posible que el hombre sea usto.

5ay que acostumbrarse a poner el %uturo en el modo.=uía 2: de%inir una relación lógica: subcontrariedad: relación que se da entre las particulares'erdaderas y negati'as. 7e dan 'erdaderas simultáneamente pero no %alsa simultáneamente.

Q

M A A A A A A A M

DAAAAAAAAAAM

M UA A A A A A M

M

AAAAAAAAD;Gelación lógica entre 2 particulares4 una a%irmati'a y la otra negati'a4 en la que si una es%alsa la otra es 'erdadera y 'ice'ersa y en la que ambas pueden ser 'erdaderas al mismotiempo o simultáneamente<

Eercicio 1:

0ntes hay que establecer que tipo de prop. Es.



9engo que buscar la subcontraria. 0lgKn 7 es noAP

&ontradictoria: 9odo 7 es noAp

Qb'ersa: 0lgKn 7 es P

&on'ersa: La o no se con'ierte.7ubalterna: 3ingKn 7 es noAP

&ontrapuesta: algKn P no es noA7

0lgKn 8 no es sabio +M-

3o se sigue:

A 9odo 8 es 7: Dalsa contradictoria de la dada

A 9odo 8 es noA7: +'!%- ob'ersa de la alterna

A 3ingKn 8 es 7: '!% alterna

A 0lgKn 8 es 7: '!% subcontraria

0lgKn 5 es L +- Dalsa

7ubcontraria: 0lgKn 5 no es L M

&ontradictorria: 3ingKn 5 es L M

Qb'ersa: algKn 5 no es no L D

&on'ersa: 0lgKn L es 5 %

+subalterna: 9odo 5 es L D

&ontraposición: AAA

Para la pregunta 2 de la guía 1: pp @A@?

La sede de la lógica es una cuestión semántica.

30/03/15i

0 V9odo 9 es L4 0lgKn L no es PW

> V0lgKn L no es noA94 3ingKn L es noA9W

+0lgKn L es 94 9odo L es 9-



Estableca 2 consecuencias lógicas en los miembros de 0 y >

1.A 9odo 9 es L 0lgKn L es 9 +con'ersión por accidente-

2.A 9odo 9 es L 0lgKn 9 es L +con'ersión simple de ;algKn L es 9<-

".A 3ingKn 9 es noAL

0lgKn 9 es L +ob'ersión del antecedente de 1 que implica alconsecuente en 1-

ii

0 V9odo L es P4 todo es 4 0lgKn noAP no es L4 0lgKn P no es LW 8emuestra

9odo L es P 0lgKn noAP no es L

8emostración: 9odo L es P +dada-

A 9odo noAP es noAL en 1 +contraposición en +1--

A 0lgKn noAP es noAL: subalternación en 2A 0lgKn noAP no es L: ob'ersión en "

A RE8

iii

0lgunos pescadores no son buos 0lgunos noAbuos no son pescadores

8emuestre

0lgKn P no es > 0lgKn noA> no es P

1. 0lgKn P no es > +dada-

2. 0lgKn noA> no es noAP +contraposición en 1-

". 0lgKn noA> es P +ob'ersión en 2-

@. En " se llegó a la negación de lo que se busca4 por lo tanto no hay consecuencialógica.

$. =6X0

&Q39G0PQ7&S3 Q>MEG7S3 O &Q3MEGS3OQ>MEG7S3

1- 9odo 0 es > 9odo noA> es noA0

2- 3ingKn 0 es noA>

"- 3ingKn noA> es 0

@- 9odo noA> es noA0



@. =6X0

9V 3ingKn 7 es noAP4 0lgKn 7 es noAP4 0lgKn 7 es P4 ningKn 7 es PW

8istinga en 9 relciones de oposición. 7e pueden numerar para hacerlo %ácil.

a. Entre la 1 y la @ hay contrariedad. b. Entre " y @ hay contradicción

c. Entre 2 y " hay de subcontrariedad.

d. Entre la 1 y la 2 hay de contradicción

La lógica es la ciencia de la de%inición.

3oAhombre no es una de%inición es un término inde%inido.

• 3ingKn no pecador es malo algunos noAmalos no son pecadores

A 3ingKn noAP es m algunos noA no es P

+1- 3ingKn noAP es : dada

+2- 3ingKn es noAP: con'ersión simple en 1

+"- 9odo es P: ob'ersión en 2

+@- 9odo noAP es noA: contraposición en "

+(- 0lgKn noAP es noA: subalternación en @

+- 0lgKn noAm es noAP: con'ersión simple en (

+$- 0lgKn noA no es P: ob'ersión en .

+?- RE8

3Q>GE: 7Q38Q 0G9&6L08Q4 7=3D&039E PQG &Q3MEG7S3 E3 R6E 33=6307 8E 767 P0G9E7 7=3D&03 PQG 7EP0G08Q7.

3Q E7 63 MEG>Q EL R6E 50 R6E E3&Q39G0G 73Q 63 MEG>Q R6E 8E7E398Q 0 L0 QG0&S3

;3o es necesario que 7 sea P<

1- Es modal de necesidad y negati'a

2- 0%irmati'a

Es necesario que 0 la contradictoria es Es imposible que 0. Pero lo necesario se puede



oponer a lo contingente y a lo posible.

0,/04/15

7ilogismo.Es posible que 0ristóteles haya creído que lógica se identi%ica a silogística. Es por el hechoque 0 no desarrolla una teoría de las proposiciones. Hl considero que toda deducción lógicaes una deducción silogística. La lógica se corona en la silogística.

9E77: En toda in%erencia inmediata hay ciertas premisas implícitas y por tanto todain%erencia es silogística.

9odo & es >

9odo Y es &

Por tanto4 todo Y es >

Esto es una in%erencia mediata o silogística.

Lo que de%ine el silogismo: es un logos +discurso- en que supuestas o aceptadas dos proposiciones se 'a a seguir con necesidad una tercera4 por el solo hecho de haber4 supuestoo aceptado estas dos anteriores.

La misma de%inición dio lugar a 2 descripciones de lo que sería un silogismo básico. 6no podría raonar lo mismo que decía 0 de una manera:

9odo & es >

9odo 5 es & >oecio: poner el término que se repite como suetoarriba 7ilogismo directo

9odo 5 es >

S

9odo & es >

9odo > es 5 3orte de Z%rica: 0lcino4 0puleyo etc. Poner el término quese repite como predicado arriba. 7il. ndirecto.

9odo & es 5

9odo & es > Premisa mayor

9odo Y es & premisa menor

Por tanto4 todo Y es > conclusión



Es necesario que eCista un término comKn. 3o pueden ser ambiguamente tomados. El comKnse llama término medio y es el responsable de la conclusión.

0l término que está en la premisa mayor y que no es el que se repite es el término mayor.

0l término que está en la premisa menor y que no es el que se repite es el término menor.

7i es la escuela romana4 el término menor se pone primero que el mayor4 y la a%ricana alre'és.

Jcuál es el origen de todo esto, 0 dice que ;de esto no había nada<4 pero en Platón ya habíanciertos rasgos.

En la di'isión platónica dice 04 eCiste una di'isión débil.

En el despliegue de la di'isión platónica eCistía un silogismo débil4 pero no eCiste paraargumentar. La %inalidad del silogismo es para argumentar4 en " ni'eles: cientí%ica4 dialécticay retórica.

&ómo rinde la teoría, sobre la base de 2 conceptos: modo y %igura. La %igura es elesquema que surge por el hecho de la disposición o el orden que tiene el término que serepite en las premisas.

término medio. 9: término mayor. t: término menor

9

t primera %igura: 7ub prae

t 9

9odos los modos que se pueden %ormas cuando el término medio

9

t segunda %igura: prae prae

t 9

9

t tercera %orma: sub sub

t 9

Daltaba la prae sub:

9

t prae sub



t 9

9odo 9 es

9odo es t0lg t es 9

8e%inición modo: el modo silogístico son los esquemas silogísticos que se pueden encontrar en cada una de las %iguras.

La primera %igura 'a a %ormar una buena cantidad de modos4 por eemplo. 5ay modos queson in'álidos.

Qrigen:

9odo Y es

0lg 5 es Y

0lg 5 es

13/04/15

5ay que 'er cuáles son los silogismos 'álidos +porque tenemos los posibles-

=riegos no tu'ieron una técnica. 7olo se aclararon por el siglo /M 9 +C@- 04 E4 4 Q

t +/@- 04 E4 4 Q

t 9 +C@- 04 E44 Q

@ 7LQ=7Q7 PQ7>LE7. Estas combinaciones se pueden aceptar por las %iguras posibles +C@-4 es decir serían 2(.

5ay 2( combinaciones de silogismos.Para saber cuáles son 'álidos o in'álidos necesito reglas +de la silogística-. 7on

iomas a tra'és de los cuales podemos saber cuáles silogismos son 'álidos. ( son los aCiomasde corrección.

• 0C1: ;La conclusión de un silogismo 'álido hereda siempre las debilidades de las premisas<. +la conclusión sigue siempre la parte más débil4 el peioren-. Las



debilidades son la particularidad y la negati'idad.

• 0C2: no tiene %uera normati'a sino teórica que se utilia en las reglas posteriores.;Los predicados de las a%irmati'as están tomados particularmente y los de lasnegati'as uni'ersalmente<. Esto no tiene demostración4 es un simple reconocer que

es 'álido.0: 9odo 7 es P P particularmente tomado

• 0C": 9 ó t 3o pueden tener más eCtensión +ser uni'ersales- en la conclusión que en

las premisas +si son particulares-.0lg Y es 5

3ing L es Y

0lg L +siempre el sueto de la menor- no es 5 aquí 5 estaría tomada en %orma uni'ersal yen la mayor de manera particular4 por lo tanto es in'álido.

+Este aCioma corrige la generaliación-

• 0C@: de dos negati'as no hay conclusión correcta. ;de premisas negati'as no se sigueconclusión<.

• 0C(: el término medio está tomado +al menos- 1 'e de %orma uni'ersal. +si son 2'eces genera problemas de importe eCistencial-.

0lg es Y

9odo 5 es

Es in'álido porque no está tomado en %orma uni'ersal.

Prescripciones

Primera figura

9 uni'.

t a%.

t 9



8emostración.

7i la menor no es a%irmati'a4 entonces es negati'a

Pero si es negati'a4 la conclusión es negati'a +0C 1-. si es negati'a4 9 allí esuni'ersalmente tomado +0C 2-. Pero4 ello obliga a que 9 en la mayor sea uni'ersal +por 0C"-. Pero la Knica manera que 9 en la mayor sea uni'ersal4 es que la mayor sea negati'a +0C2-. Pero de dos negati'as no hay conclusión +aC @-. Luego4 la menor es a%irmati'a.

Lo que hio acá es una demostración por absurdo. 7upuso que la menor era negati'a y secontradio a sí mismo.

si lo es4 allí está tomado particularmente +aC 2-. Ello obliga a que en la mayor seauni'ersal +aC. (-. solo lo será si la mayor es una proposición uni'ersal.

>arbara

&elarent

8arii

Derio

Las primeras 'ocales representan los modos 'álidos.

Con la segunda figura+

9 uni'ersal

t una es negati'a.

t 9p

+página 1)1 y 1)24 nota-

15/04/15

3ecesariamente una de las premisas tiene que ser negati'a:

2[

9

t

t 9

7i una es negati'a la conclusión es negati'a y por lo tanto es tomado en %orma uni'ersal.



Pero atenta contra el aC " en donde no pueden ser mayores. Por eso la mayor tiene que ser uni'ersal.

ECplicar las raones que hacen a un término uni'ersal.

/ es y

7egKn aC 2 es tomado en %orma uni'ersal solo si la prop. Es tomada en %orma negati'a.Pero4 Jcómo puede ser el sueto uni'ersal, &on un cuanti%icador 9odo o 3inguno.

;La prop. ayor tiene que ser mayor y tiene que haber una negati'a<

Partamos porque una tiene que ser negati'a. ;7i ninguna premisa es negati'a allí +enambas premisas- será particular +aC 2-. Esto atenta contra el 0C (. Por tanto4 una de ellastiene que ser negati'a. Entonces la conclusión es negati'a +aC1-. Entonces se establece que sila conclusión tiene 9 como uni'ersal por aC 2 y por aC " no puede ser mayor a las premisas4entonces 9 en la premisa mayor tiene que ser tomado uni'ersal por aC ".

La Knica manera de hacer a un sueto uni'ersal es que esté bao un cuanti%icador uni'ersal.

E39Q3&E7: será uni'ersal 9 si y solamente si la premisa mayor es uni'ersal.

La deducción dice qee hemos demostrado que las props. 7on 'erdaderas. La pregunta esJqué tipo de prop. 7on uni'ersales de manera especí%ica, 0 y E. La 0 la tengo que meclar con una negati'a +E y Q-. La E ya es uni'ersal y también es negati'a4 por lo tnto no puede ir acompaIada con una premisa negati'a porque iría contra el aCioma @4 por lo tanto tiene queser una 0 o .

0

E

E Q Q

E

0 E

Q

&E70GE

&0E79GE7

DE793Q

>0GQ&Q

DE793Q:



Primero hay que 'er que pertenece a la 2\ %igura y esquematiarla:

9 +E-

3ingKn 9 es t +- 0lgKn t es

t +Q- 0lgKn t no es 9

9 planeta

lu propia

t estrellas

3ingKn plantea tiene lu propia

0lguna estrella tiene lu propia

0lgunas estrellas no es planeta.

er!era figura+

La menor es a%irmati'a y como consecuencia la conslución es particular

7i la menor no %uese a%irmati'a4 la conclusión también y el 9 estaría de %orma uni'ersal.

9

t

t 9

La tercera %igura tiene otro de%ecto4 todas tienen que ser particulares.

8em: 7i la menor no es a%irmati'a4 será negati'a. Pero si es neg. La con conclusión esnegati'a +aC1- y si es así4 9 allí en la conclusión será uni'ersal +aC2-. 7i es así 9 en la mayor tendrá que ser uni'ersal también +aC"-. Pero solo es así si la mayor es negati'a +aC2-. Pero de

dos negati'as no sale conclusión4 luego tiene que ser a%irmati'a.9iene como consecuencia el de%ecto.

7i es así: t es particular +aC2-. Luego t en la conclusión tiene que ser particular también.+aC"-. Pero esto es así solo si la conclusión es particular. La mayor podría ser de todas las%ormas posibles.

0:



0

E:

0

Q Q

:

0 i

J,

Q:

0Q

,

En atención a que en la primera %igura la mayor uni'ersal4 en la segunda también. 5ay un7E/9Q 0/Q0: 8e dos particulares no se sigue conclusión 'álida.

80G0P

DEL0P9Q3

8707

8097

>Q&0G8Q

DEM7Q3

0hora bien4 si nosotros ponemos:

1[ 2\ "\ @\

mper%ectas se demuestra la 'alide por un modo de la 1\ %igura.

Porque >arbara4 8arii4 &elarent4 etc son modos per%ectos.@\ %igura: ninguna puede ser Q.

>abalip

&alemes

8imatis



Desapo

Dresison

8educción de modos imper%ecto a per%ecto de la 1\ %igura:A ntuiti'amente

&on'ersión4 trasponiendo +cambiando de lugar- odemostrando.

A ecánicamente

7 con'ersión simple

P con'ersión per accidens

trasposición de premisas& demostración por absurdo

1[ consonante del modo imper%ecto + el modo de la 1\ %igura al que debe reducirse al modoimper%ecto-

>amalip

&alemes

8imatis

DesapoDresison

8arapti +cuál es el 8 de la 1\ %igura,- 8arii

9odo es 9 9odo es 9

9odo es t 0lg. t es

0lg t es 9 alg. t es 9

20/04/15

Los de la tercera o cuarta %igura se demuestran solo por reducción a la primera %igura.



>arbara4 &elarent4 8arii y Derio son indemostrables. 7on aCiomas. 9odos los otros modosdeberían coincidir con >4 &4 84 D4 que indican a cuál debe ser lle'ado.

&amestres para ser lle'ado a un &elarent se debe hacer más que una trans%ormación.

9odo 5 es

3ingKn L es

3ingKn L es 5

Lo que realmente le da 'alide es trans%ormarlo en los demostrables.

&ae7tre7

La signi%ica que hay que trasponer las premisas

7 signi%ica que la e anterior debe ser trans%ormada por con'ersión simple.Ruedaría:

3ingKn L es 3ingKn es L

9odo 5 es 9odo 5 es

3ingKn 5 es L

>amalip +cuarta %igura-

> lle'arlo a un >arbara

trasposición de premisas

P con'ersión por accidente.W

9odo 5 es 9odo es L

9odo es L 9odo 5 es

9odo L es 5 9odo 5 es L

&omo con'ierto una por accidente, La Knica eCplicación es que el segundo silogismo nosolo es indemostrable sino que es >amalip.

5ay dos modos].

>aroco +2\- y >ocardo +"\-

]. Rue solamente se pueden demostrar por absurdo. 0unque todos los modos se puedendemostrar por absurdo. &uando uno introduce una demostración %uerte elimina el carácter aCiomático. 0sí4 incluso de las primeras %iguras serían indemostrables.



& signi%ica demostración por absurdo.

9odo 5 es

0lgKn Y no es

0lgKn Y no es 51 paso: tómese la contradictoria de la conclusión. &ombínese con una de las premisas4 de talmodo que se %orme un modo 'álido.

1[ 9odo Y es 5 +contradictoria de la conclusión-

2[ 9odo 5 es

9odo Y es 5

" paso: concluir

9odo 5 es 9odo Y es 5

9odo Y es

@[ paso: e'aluar la nue'a conclusión. Esto es4 primero 'er que la nue'a conclusióncontradiga la otra premisa +la que no %ue tomada-. que la nue'a conclusión no contradigala nue'a premisa. El silogismo inicial es 'álido porque ya hicimos demostración al absurdo y por la primera condición.

0lg Y no es

9odo Y es 5

0lg 5 no es

1[: contradictoria es 9odo 5 es

2[: 9odo 5 es

9odo Y es 5

"[: 9odo Y es

@[: &ontradice. La nue'a conclusión contradice la mayor del silogismo inicial. Por lo tanto el

silogismo inicial es 'álido.

0lgKn 5 es

3ing 9 es

0lg 9 no es 5 +se contradice por aC "4 pero-



1[: 9odo 9 es 5

2[: 3ingKn 9 es

9odo 9 es 5

0lgKn 5 no es +es la contraria4 por lo tanto 'álido-.

0 dice que hay 1@ modos 'álidos de los 2( posibles. @ de la primera @ de la segunda y dela tercera.

8arapti

9odo es 5

9odo es L

0lg L es 51[: 3ing L es 5

9odo es L

3ing es 5 se %orma una contrariedad. Pero no pueden ser 'erdaderas al mismotiempo.

Mi&r!oles 22 de A.ril del 2015

Los modos de la segunda y la tercera %igura son incompletos o imper%ectos. se compruebanreduciéndolos a uno de los cuatro de la primera %igura. esos cuatro primeros generan losdie imper%ectos.

@? modos 'álidos. 5ay que 'er como se generan.

1. 8escubrimiento por 9eo%rasto y Eudemo4 descubrieron los modos indire!"os de laprimera figura. Estos son los modos que tienen una conclusión con'ersa. &omo se 'een el eemplo. La conclusión debería ser t9.

7i en una %igura se da:

9t.....9t

7eparo los modos entre directos e indirectos. 9eo%rasto.Los medie'ales4 como ya los conocían4 tbn los denominaron. 7iempre son las dos primeras'ocales las que importan +bariptis4 celantes4 dabitis4 %apesno4 %risesomorum-.



Esto permite 'ol'er 'alido un silogismo en la primera %igura que tenga premisas 04 E. Estono se podría porque E quedaría ambiguo4 la conclusión en E es in'alida. Pero si concluyes enQ esta bn +Dapesmo4 Drisesmo concluyen en Q-.

0quí podemos sumar a los 1@ de aristoteles ( mas.

2. 7iglo o . 0parecen los 3eoteroi. Estaban desarrollando la lógica como tal. 9ratabande competir el horionte de la lógica.AB modos su.ordinados: modo cuya conclusión se puede subalternar. EL >0G>0G0 se puede con'ertir en un 0404.

0sí surge tbn el E0Q.En la segunda %igura tbn4 etc...

La manera como se originan estos modos4 supone que hay muchos modos que por tener unaconclusión uni'ersal4 puede pan ser su alternadas4 es decir4 rebaadas en cantidad. 3o se presentaba el problema de importe eCistencial.8e la tercera %igura no hay porque no tienen una conclusión uni'ersal.

5ay que sumar @ modos subordinados. Pero tenía 1N4 2" los modos 'álidos.

". Cuar"a figura+ aparece el siglo /M o /M.>amalip4 &alemes4 8iamatis4 Desapo4 DresisonPero esta tbn tiene un modo subordinado: 0EQ. odo subordinado del &alemes porque estetermina en E.

@. 7e agrega uno4 el modo subordinado de la cuarta %igura: 2N.

(. odos indirectos de la 2a4 "a y @ta %igura.

2NO1@@"

. odos subordinados de las %iguras indirectas: (.

4,

area: 8etermine a tra'és de los cinco aCiomas de la silogística la 'alide de los 2@ modosindirectos4 a tra'és de los modos directos.Esos mismos aCiomas sir'en para determinar la 'alide de estos modos.Eemplo:0E...



E

9odo 7 es P 3ingKn 5 es P.......................

3ingKn 7 es 55ay que mostrar las prescripciones que gobiernan esta %igura: 9ip: las %iguras indirectasesperan los modos directos. Es decir4 hay una correspondencia. gual que una mano con otra4es un re%leo. La segunda con la segunda4 la tercera con la tercera y la cuarta con la cuarta.

Estos aCiomas ahora se pueden llamar ^%undamentales^ de la teoría si logística. los 2@indirectos son una ^eCtensión conser'adora^ de los cinco aCiomas4 porque no se necesitaagregar más elementos.

Eercicio:9odo 7 es P0lgKn P no es 5...........................0lgKn 7 no es 5

8etecte el modo y la %igura y si es 'alido:8etectar el término medio y su posición +praeAsub-. Esta puede ser directa o indirecta. Eso lose por la posición de los términos en la conclusión. 7iempre en los directos el sueto de laconclusión pro'iene de la menor y el predicado de la mayor. en el indirecto al re'és. 0síque esta %igura es indirecta.

La %igura es 0QQ: por tanto es in'alido porque no esta en la lista.

Qtra %orma de saberlo: hay que 'er cual aCioma ha quebrantado el silogismo. El aCiomacinco es 'iolado aquí. El término medio no es tomado al menos una 'e de %orma uni'ersal.

9ercera manera: demostración por absurdo: 1. =enerar la contradictoria de la conclusión. 2.Esa se combina con alguna de las premisas.9odo 7 es 59odo 7 es Q...................0lgKn P es 5

Pregunta: 0lgKn P es 5 contradice la otra premisa, 3o4 hay su contrariedad4 así que ambas pueden ser 'álidas al mismo tiempo. 7e ha demostrado por absurdo la in'alide de estemodo.



Se dean fuera la in)ersi-n la !on"raposi!i-n porue in"rodu!en "&rminos indefinidos no puedo asegurar ue esos "&rminos "engas indi)iduos *i la su.al"erna!i-n no

A%iomas+ )ale el '+ no a$ silogismo )alido !on dos premisas par"i!ulares ("roa%ioma+ el predi!ado de una afirma"i)a es par"i!ular $ el de la nega"i)a es uni)ersal 627

pero ("ro+ los "&rminos en la !on!lusi-n no pueden "ener mas e%"ensi-n ue las premisas $ el"&rmino medio de.e s"ar una )e8 uni)ersal $ o"ra par"i!ular

Qtro eercicio:9odo 7 es P9odo P es 5...................9odo 7 es 5

Es un 000. Esta puesto en la cuarta %igura. Pero la conclusión es indi%erente y eso lo hace'alido. Es el silogismo de la escuela del norte de Z%rica. 7e presenta en la cuarta %igura por la posición del término medio.8emostración por absurdo: ya sabemos que es 'alido. &umple todos los aCiomas. 7i lodemuestro por absurdo4 debo llegar a lo mismo.1. &ontradictoria de la conclusión. 2. 7ecombina con una premisa.

9odo P es 50lgKn 7 no es 5..........................0lgKn 7 no es P

En 2. Para 'er hay que 'er el término medio +pare prae- y buscar en los nombres. Esto es un baroco.

Entonces4 0lgKn 7 no es P4 contradice la otra proposición aceptada +la que no se tomo de las premisas: 9odo 7 es P-.

Meor modo de dialogar en lo pol9"i!o Le !on!edo al o"ro lo ue di!e pero no lo a!ep"o$ lo refu"o *o se da un di:logo de sordos Dundamentos lógicos de la democracia.

Eercicio:9odo gaucho bebe mate9odo gaucho es un argentino..............................................

En la conclusión debe ir un t y un 9 +directo- o un 9 y un t +indirecto-. Este silogismo tienedos conclusiones 'álidas: 0lgKn argentino bebe mate o 0lguno que bebe mate es argentino.La primera es directa y la segunda es indirecta.



Es sub sub4 de %orma 004 es de la "a %igura4

Lunes 2; de a.ril de 2015

Polisilogismo: +sorites- encadenamiento de 'arios silogismos. La Knica condición es que sea

%inita. Los más concurridos son el gocleriano y el aristotélico. Pero todos los silogismos queson 'álidos pueden %ormarse a partir de los @? 'álidos.

A 0ristotélico:

0quí encontramos un término medio propuesto en praeAsub pero concluyendo correctamente.El modo 0ristotélico está representado por el 0 0 0 de la cuarta indirecta.

9odo & es

9odo es 5

9odo 5 es L

9odo & es L

Qcupa " o más premisas. La Knica condición es que el término medio tenga esta posición +!-

La conclusión debe aparecer el término mayor en el sueto y el menor en el predicado.

< =ocleneano:

Gepresenta la primera %igura directa4 la de >oecio. El >0G>0G0. Dorma del términomedio _.

9odo es &

9odo 5 es

9odo L es 5

9odo L es &

9odos los polisilogismos 'álidos siguen las mismas reglas. 5ay polisilogismos que son comosi %uese un >0G>0G04 como si %uese un 80G4 etc.

Por e:

8arapti +" %igura-

9odo D es =

9odo D es 9

9odo D es 5

0lgKn 5 es =



Los polisilogismos tienen 'arias conclusiones.

El polisilogismo tiene como característica %undamental el hehco de tener un término medioen algKn orden4 segKn como se 'io en la silogística. La pregunta4 entonces4 es la siguienteJpodría el término medio tener una posición desordenada en las premisas,

La respuesta es que sí. En ese caso no hablo de polisilogismo sino de argumento silogístico yno tenemos manera de probar su 'alide. Los polisilogismos se pueden demostrar porabsurdo4 porque tienen los ( aCiomas y porque se puden descomponer en un grupo desilogismo.

3ecesitamos introducir un método de prueba que nos %acilite el trabao del polisilogismo.Ese método es un método que se puede importar directamente a la teoría silogística sin quetenga mayores di%icultades.

7i tenemos 9odo L es & y hacemos una demostración por absurdo:

7e pone la contraria:

A 0lgKn L no es &

0hora no coloco una sola de las premisas sino que todas:

A 0lgKn L no es &

A 9odo L es &

A 9odo 5 es

A 9odo L es 5

Dormo una prueba distinta. &on otras reglas:+1- &ada 'e que me aparece una prop. 8e tipo 0 pongo 7 negado por un lado y P no

negado por otro lado

+2- 7i es de tipo E niego 7 por un lado y a P por otro lado.

+"- 7i es : pongo a 7 y a P lineal debao de 7

+@- 7i tengo Q pongo lineal 7 y P negado.

El sistema +el conunto de premisas- que yo he %ormado debería ser inconsistente4contradictorio4 cerrar todas sus ramas. 7i no se cierran4 lo que 'alido es el conuntohipotético y el argumento inicial era in'álido.

+'er libreta-

9odas las ramas del árbol están cerradas para el conunto de prueba +la unión de lacontradictoria de la conclusión con todas las premisas-. Por lo tanto el conunto de pruebases inconsistente. Luego el argumento inicial es 'álido.



Puedo e'aluar argumentos silogísticos4 que no tienen ningKn orden respecto al términomedio. Por e:

9odo 7 es P

0lgKn 9 es 5

7ócrates es 5

3ingKn 5 es 9

7ócrates no es P

Podría ocurrir que en un argumento yo tu'iese dos props. Particulares.

0lgKn 7 es P

9odo 7 es /

9odo es noA50lg P es /

Es me obliga a utiliar técnicas de desambiguación de términos4 porque %altan los indi'iduos.5ay que agregar dos reglas +'er libreta-:

A Las 7 tienen que ser %iadas por medio de una letra eCponencial que sea di%erente. 7itienen términos en comKn4 se usa una letra eCponencial para una y una letraeCponencial para la otra.

A 7i en una línea de deri'ación ha aparecido +'er libreta-. Entonces el unin'ersal de laconclusión +9odo 9 es 5- debe incluir todas las letras.

5ay que suponer que hay un 0l%onso que es sabio y poderoso y que hay un >ernardo quetambién lo es.

Práctica:

9odo & es 8

0lg. 8 es M

9odo & es G

0lg. G no es 8

0lg. M no es G

5ay dos particulares así que hay que usar a y b.



8em. Por aabsurdo:

La contradictoria es:

9odo M es G

O Premisas +%orman el conunto de prueba4 o hipotético o contreemplo-

`

8a

Ma 1

`

Gb

8b 2

`

&a A Ga

&b Gb &b Gb "

`

+'er libreta-

El indi'iduo es presentado por una letra indi'idual.

9odo 7 es P

9odo 5 es 7

9odo 5 es P

8em:

0lgKn 5 no es P9odo 7 es P

9odo 5 es P

+'er libreta-

Rué pasa con 8arapti o Delapton,



0 no ser que se suponga que las clases críticas tengan o supongan indi'iduos.

Mi&r!oles 2= de a.ril de 2015

1@ modos de 0ristóteles O eCtensiones silogísticas O Polisilogismos +es una eCtensión o no,7í4 porque los modos de 0ristóteles y las eCtensiones posteriores también nos sir'en para'alidar este argumento.

Los polisilosgimos siempre han sido tratados o bien de la primera directa +goclesianos- o dela cuarta directa +aristotélicos-. Pero en la 2 y " %igura directa o indirecta también hay polisilogismos. 8eben ser considerados una eCtensión de la misma base aCiomática. Perohay que hacer una eCtensión. Podríamos hablar de polisilogismos rele'antes 1[4 @[ directo oindirecto. ientras que los de la 2\ y "\ tanto directos como indirectos4 dado que el términomedio aparece de manera 'ertical generan conclusiones que se pueden obtener simplementeuniendo la primera premisa con la segunda.

9omemos >aralipton

9

t

9 t

9odo es 9

9odo t es premisa rele'ante

9odo 5 es t

0lgKn 9 es 5

&esare

3ing & es

9odo 5 es TPremisa irrele'ante

9odo 9 es

3ing 9 es &

Los polisilogismos son eCtensiones silogísticas conser'adoras pero solamente los de la 1\ y@\ %igura deben llamarse rele'antes.

Los argumentos silogísticos se caracterian porque el término medio no tiene ningunadisposición clara. Los otros adolecen de ser una eCtensión conser'adora. ientras que los



argumentos silogísticos deben ser tratados por medio de un complemente a las reglas.

Rué hacemos con esos argumentos, Para demostrarlos usamos un método

0lg 7 es P

0lg P es 5 premisas

0lg 5 es L

3ing 9 es P

0lg 5 no son 9 conclusión

8emostración:

+1- &ontradictoria de la conclusión:

+2- En 'e de hacer demostraciones por absurdo in%initas es más %ácil utiliar unademostración modélica4 deando todas las premisas:

( 9odo 5 es 9

1 0lg 7 es P

2 0lg P es 5

" 0lg 5 es L

@ 3ing 9 es P

Las proposiciones particulares deben ser descargadas en el árbol en primer lugar. Enuna preposición particular hay que desambiguar las letras de predicado.

`7aPa

`Pb5b`5cLc`



ECiste un grupo de indi'iduos que está representado por Va4b4cW. 0hora puedohacerme cargo de las uni'ersales. 3iego 9 y P

9a Pa

9b Pb9c Pc

5a 9a 5a 9a 5b 9b 5b 9b

El argumento es 'álido y por lo tanto le gana a la teoría aristotélica.

&onunto de prueba o hipotético: inconsistente. El argumento inicial es 'álido.Rue sea consistente signi%ica que al menos tiene una interpretación posible.

7i tengo un calemes4 con'iene sumar una 0.

" aCiomas:0CR: cantidad: los términos en una prop. 9ienen cantidad. 0C 2 más la regla de ob'ersión.0CP: particularidad: todas las premisas no pueden se0CM: 'ínculo:

0hora se nos perite hablar de argumentos de la %orma premisa+s-Aconclusión es 'alidado por los aCiomas R4 P y M.

Jcómo %unciona este sistema,

El aCioma de 'ínculo me dice que de la misma manera en que aparecieron en la conclusióndeben aparecer en la premisa. >asta que un término medio apareca de una %orma uni'ersal yotra particular para que se 'alide. En toda conclusión correcta los términos de la conclusióntienen que tener la misma cantidad arriba. Por eemplo:

9odo & es 8

0lg & es 5

3ing D es 9

0lg 5 es noA9

6ni'ersal y uni'ersal baa a particular

9odo 7 +6- es P +P- 9odo noAP +P- es noA7+6-

&uando el 9. ocurre que está siempre de %orma uni'ersal hay problemas e importeeCistencial y cuando no está ninguna 'e no puede haber conclusión. 9iene que haber al



menos una 'e.

Rué pasa al demostrar el 80G0P9

Lunes 4 de ma$o de 2015&onsistencia: 7E GEDEGE 0L &Q3#639Q 8E PGQPQ7&Q3E7. Es la capacidad quetiene una proposición para no ser contradictoria consigo mismo4 es decir4 la capacidad quetiene para ser 'erdadera.

Malide: al argumento

2 grandes categorías: de consistencia y de 'alide.

0: V9odo noAP es 5 alg 5 no es & 3ing & es 8W es un conunto de creencias4 cuando se pide consistencia4 se pide que todas seas 'erdaderas.

9an %uerte es que toda la lógica contemporánea esta a l base de estos conecptos. Peor nosabemos cómo probar consistencia. 0quí está la manera de cómo se hace.

=uia " 1(h no se toma4 ni el 1.

1$ a-

&onunto D4 no es un argumento.

&ómo demostramos la consistencia de un conunto,

5ay que deri'arlas todas sin negar nada: si se cierran todas4 el conunto es imposible.

9odo 7 es P "0lg 7 es 5 1 3ing no 5 es P @0lg 9 no es 7 2

&omo es particular estoy obligado a usar letras particulares.

`7a5a

9̀b7b`7a Pa 7b Pb5a Pa 5aPa



5b Pb 5b Pb

El árbol hace rami%icaciones abiertas

el árbol es consistente

D es consistente

&onunto 8

3ing 9 es L 29odo L es "9odo es 5 @0lg 5 no es 7 1 3ing 7 es 9 (

`5a

7a +solo uso esa porque hay solo una particular-`9a La`La a La a`a 5a a 5a a 5a a 5a`7a 9a

&onsistencia en 8

&uando las premisas con contradictorias en un argumento4 este argumento es 'álido.atemáticamente es una posibilidad.

Es imposible que las premisas sean 'erdaderas y la conclusión %alsa en un argumentocorrecto.

El gato es lindo D5oy está llo'iendo D2O2@ M

P &

M M MM D DD M MD D M



ntroducción de Premisas singulares:

9odos los responsables son sabios9odos los santos son responsables0lgunos americanos no son sabios

7ócrates es responsable7ócrates no es santo

9odo G es 79odo 9 es G 0lg 0 no es 7Ga9a

8em:&ontradictoria9aPremisas

Ga `0b7b `

9a Ga9b Gb

Ga 7a Ga 7a Gb 7b Gb 7b

El conunto de prueba es consistente y por lo tanto el argumento es 'álido.

3i'el de eercicios

1$ @ estrellas

• denti%icar el modo y la %igura al silogismo +8Q7 E79GELL07-9odo D +9- es 5 3ing 5 es 9 +t-0lg D +9- no es 9 +t-

@\ %igura +praeAsub-4 indirecta4 0EAQ4



• Xdem y 'álidoEs 'álido +'er tabla-

• 8etermine si el siguiente silogismo es 'álido +recurra a los aCioma-

9odo 7 es D

0lg 5 no es 70lg 5 no es D

7ub prae4 1\ directa4 0QAQ +no está en la tabla4 es in'álido-0Cioma " quebrantado en D.Mi&r!oles 0' de Ma$o de 2015

1@.

9odo 0 es E

3ing E es &alemes 3ing es

3ecesitamos " consecuencias o conclusiones7e le pone la condición de que sea uni'ersal

1- 9odo 0 es E 3ing E es &alemes 3ing es 0

2- 9odo 0 es E9odo E es &alemes 0EAE @\ ndirecta 3ing 0 es

"- 3ingKn es E9odo 0 es E &esare +2\ %igura- 3ing 0 es

5an sido usti%icadas silogísticamente.

Eer.

9odo 7 es P 29odo P es noAY " 3ing Y es 7 @9odo noA7 es Y



7i tengo 0l / no es /

8em:0lg noA7 no es Y

Premisas

` 7a Ya

`7a Pa

Pa Ya Pa YaYa 7a Ya 7a Ya 7a

El argumento de prueba es consistente y por lo tanto el argumento es in'álido.

1$b- &onsistencia

3ing 9 es L 29odo L es "9odo es 5 @ 80lg 5 no es 7 1 3ing 7 es 9 (

5a7a

` 9a LaLa a La a

a 5a a 5a]7a 9a

7a queda abierta4 el argumento es consistente.

&onstruir un argumento silogístico y 'eri%icar si es 'álido

1(a-

9odo & es 89odo 8 es L 3ing L es D 3ing D es &



e-

0lgunos P es & 19odo P es 8 29odo 8 es E "

3ing E es R @0lg & no es R

+f-9odo & es R

Prem`Pa

&aPa 8a8a Ea

Ea Ra &a Ra

El argumento de prueba cerró todas sus ramas4 es decir4 es inconsistente4 es decir es 'álido.

Para construir un argumento 'álido hay que partir de lo %ormal a lo signi%icati'o 0lg L es 7 19odo 7 es P "0lg noAP son 5 29odo 5 es L @0lg noA5 es 7

3ing noA5 es 7Prem

` La 7a

` Pb

5b7a Pa

7b Pb5a La

5b Lb 5b Lb



5a 7a 5a 7a

Por La +con 5a- la rama no se cierra4 entonces hay que inde%inir: 9odo 5 es noAL

9odos los responsables son sabios9odos los santos son responsables0lgunos americanos no son sabios7ócrates no es responsable7ócrates es santo

9odo G es 79odo 9 es G

0lg 0 no es 7Ga9a

f9a `Ga ` 0b 7b `

9a Ga9b Gb

Ga 7a Ga 7aGb 7b Gb

7ocrates es %iloso%o9odo %ilosoe s matemático9odo matemático es cientí%ico7ócrates es noA&ientí%ico

7ócrates es no atemático.

Lunes 11 de ma$o de 2015Ap ' p068039X0

Mi&r!oles 1, de ma$o de 2015



L-gi!a !a"eg-ri!a

;8ecir algo de algo< 7istema categórico.

0hora lo que 'amos a hacer es ol'idarnos de esta primera parte4 para introducirnos en lo quese llama lógica proposicional o cálculo proposicional o lógica de proposiciones. 0 di%erenciade la lógica categórica4 el término no es un nombre. 0hora el elemento mínimo es una proposición categórica. Proposiciones no son di'isibles.7e trata de un sistema en el que se estudia la di'ersa articulación de las proposicionescategóricas. El nombre ya quedó atrás. 0rticular una prop. &ategórica ya se ha hecho4 por eemplo4 cuando hablamos de la demostración por absurdo. ;7i el silogismo original es'álido y todas las premisas deberían %ormar un conunto inconsistente<

;]entonces]< conecti'os.

a no interesan los nombres sino las proposiciones y la manera como 'oy a unir.

Lógica proposicional o hopotética: Es una teoría que estudia las di'ersas maneras en que seconectan +conecti'os lógicas- unas proposiciones con otras. La unidad mínima es una proposición.

Jcuál es el origen,

La mayoría de los autores que siguen a LuasieFic sostienen que la lógica proposicional

%ue creada por la escuela estoica. Xntegramente %ue creada por ellos4 en especial por &risipo.En ese tiempo era más poderosa que la lógica categórica de los peripatéticos. dicen que losmodos 'álidos se deri'an de aCiomas de la lógica proposicional.

Los aIos que siguieron a tal publicación de 1N(1 prontamente se contrapusieron por losestudios de >oecio. 8icen que algunos aCiomas no están dichos por &risipo. 0demás se ha podido mostrar que la lógica hipotética en su desarrollo posterior siempre re%iere a 9eo%astroy Eusemio. 5oy la tesis más estoica está puesta en duda.

0ristóteles es el primero que haec una distinción entre lógica categórica y la hipotética4 lacual sería una proposición por causa del conecti'o. 7i a dos oraicones se le aagrega un ;y<

por eemplo sería un pensamiento pero compleo o hipotético.

7i no eCistiese el conecti'o solo habrían 2 pensamientos4 pero al poner el ;y< hay 1 pensamiento.

En la lógica proposicional tenemos 'ariables como esta: p4 q4 r4 s] que no representantérminos sino una proposición categórica.



P y RP 7ócrates es sabioR Platón es un educador

P y R 7ócrates es sabio y Platón es un educador.

Drege propuso el primer sistema de lógica proposicional consistente y completo. En 1?$(.

p4 q4 r4 s] son proposiciones simples o categóricas. Es imposible encontrar los elementos decada uno.

0sociado a esto están los conecti'os lógicos:

y4 pero: no hay distinción entre y! pero.

' ó4 o bien.. si algo]4 entonces]. 0lgo más: la %lecha está conectando. de%inición4 condición necesaria y su%iciente. negación

ECisten más conecti'os lógicos4 pero4 entre la implicación +si..entonces- y la negación no senecesitan más4 segKn Drege. &ualquier conecti'o se puede 'ol'er a la negación y a laimplicación.

La lógica proposicional tiene en el silogismo de >oecio una eCpresión clásica. Pero está

incompleto y tiene algunas de%iciencias. Es probable que todo lo que dice >oecio hayanacido por el trabao de 9eo%rastro y Eudemio +primeros discípulos de 0ristóteles-.

Entonces tenemos dos cosas importantes: las proposiciones simples y los conectores. 0horahay que de%inir la negación:

La negación no es un conecti'o4 debe ponerse a%uera. 0demás hay ciertos símbolosauCiliares que son + 4 - para e'itar que las eCpresiones sean equí'ocas.

La teoría se 'a generando a partir de una de%inición pre'ia y de manera recursi'a. 7i P es una proposición por de%inición. P conectado con otra proposición es una proposición. esto

conectado con otra proposición es también una proposición y así etc.

+P c R-+ + P c R- c G-

0quí con'iene hacer la siguiente distinción. 0 P la 'amos a llamar proposición atómica. PeroP conectada con otra proposición es una %órmula para no llamarla proposición complea.



+P c R-: Dla

ECiste una manera de determinar cuando estamos en presencia de una bien %ormada. 0 tra'ésde una árbol ancestral.

+ +p q- q- 7e abre un árbol debao del conecti'o principal y se botan los paréntesis

+pq- q

P R

7e 'uel'en a los orígenes.

+P R G- J&uál es el conecti'o %undamental, La Kltima no es %órmula porque no tiene los

paréntesis. Es una equi'ocidad an%ibológica

p qr

Pero esto es un error: +pq-- r- no es %órmula porque al caer los paréntesis queda una%órmula con dos paréntesis. El lema del árbol ancestral es: el nKmero de paréntesis derechoses igual al nKmero de paréntesis iquierdos.

Es uní'oco.

Llamemos a la equi'ocidad un error neto4 y la an%ibología un error le'e.La an%ibología : +pqr- es J++pq-r- o +p +qr--,

Pero +pq--- es un error. Q +p q-

3o todo en el lenguae es sintáctico. En primer lugar4 sabemos que p4 q son proposicionessimples o categóricas. Pero Jtenemos idea de cómo los conecti'os deberían interpretarse, 3o. Entonces lo que hay que hacer es de%inir cada conecti'o.

• '. +D ' P- : es %also solo cuando D es %also y P es %also. +ambos-

D P +D'P-' ' 'M D MD M MD D %

&uando de%inimos +D P-



• . +D P-: es 'erdadera solo cuando ambos términos son 'erdaderos.D P +D P-M M MM D D

M D DD D D

• +D P-: es 'erdadero en todos los casos sal'o cuando D es 'erdadero y P es %also.D P +D P-M M M M D D D M MD D M

En la lógica proposicional antigua4 solo considera las primeras dos posibilidades.

Es posible %ormar un silogismo correcto con premisas %alsas4 porque la corrección y la'erdad están separadas. Por e:

9odo perro es un gato9odo animal es un perro9odo animal es gato.

En la %iloso%ía de la lógica ha tenido mucho interés. 7i hay alimento4 el ganado engordará. 3o se sigue4 pero si el ganado está gordo es porque hay pasto4 sí. mplicación material ynecesaria.

Lo que se de%ine en el cuadro es la implicación material. Porque si %uese necesaria losantiguos tenían raón.

+DP-: es 'erdadera cuando y solo cuando ambos términos son 'erdaderos o cuandoambos son %alsos.

D P +DP-M M M

M D DD M DD D M

Es la condición más di%ícil de satis%acer.

&onsulta: Logic de il%rid 5odges



Mi&r!oles 20 de ma$o del 2015

+p ' q- +pq-+p ' q- +pq-

+p 'q- +pq-+p ' q- +pq-&uadro de oposiciones+pq- +pq-+pq- +pq-

P pM DD M

Esto nos permite entrar en el ámbito de la semántica y establecer " tipos de %órmulas:

1. 9autologías: %órmulas que siempre son 'erdaderas y!o son imposibles de hacerlas%alsas. +PR- +p ' q-. +pp-

2. &ontradicción: imposible que sea 'erdadera. +pp-". &ontingencia +%órmulas que están entre medio- o satis%acible: son %órmulas que son

'erdaderas o %alsas dependiendo del conteCto en que las satis%ace. P.e #uan es sabio. 3o es ni siempre 'erdadera ni siempre %alsa. P4 +pq-.

0utores contemporáneos4 posteriores a Drege dieron que este sistema tiene desde el punto de'ista matemático y %ormal el sólo interés de encontrar tautologías. JPero cómo se puedehacer, 3ecesitamos un sistema de demostración para saber si es tautología4 contingencia4etc. 7e hio un sistema incómodo:++pr- q- q-

7e puede hacer una tabla de 'erdad

P R G +pG- ++pr- q- ++pr- q- q-M M M M M M consistenciaMM

MDDDD

MD

DMMDD

DM

DMDMD

DM

DMMMM

DD

DDMDD

MM

MMMMM

3 al nKmero de 'ariables de la %órmula. En este caso las 'ariables son "4 entonces es 2ele'ado a ". 7i en la %órmula %inal quedan solo 'erdades hay una tautología.



5ay una de%inición que también distingue la %órmula desde el punto de 'ista de latipi%icación. Permite distinguir entre:

A Dórmulas o argumentos: en que el conecti'o principal es una implicación. ;< 9odolo que está antes de la %lecha debe ser llamado premisa o antecedente y lo que está

después premisa conclusión o consecuente.

+ + p r - q - q -

Premisa conclusión

Esta distinción es Ktil para el %ilóso%o porque p ' q tiene una relación estrecha con laimplicación4 +p ' q- +pq- si eso es 'erdadero4 cualquier %órmula se puede escribir como argumento.

El segundo método de prueba es el árbol.

+ +p r - q - q

Leibni había 'isto que la lógica es la ciencia de las proposiciones analíticas4 de%iniéndolascomo aquellas en las que el predicado está contenido en el sueto4 y las que no tienen esa%orma se pueden modelar así.

Moy a negar la conclusión:

qPremisas`

3o es necesario instanciar 'ariables porque no hay particulares ni uni'ersales

qPremisas

` q

`++p r- q-1

` +pr-

R7e cierra por lo tanto es argumento es 'álido.La Knica di%erencia es la Kltima rama4 donde se de%ine la de%inición.

1 +si hay una hay que baar como si %uese una particular-



+% 7-D D7 7

+D7-D D7 7

0: 9odo 7 es P se puede representar como +7P-E: 3ing 7 es Q se puede representar como +7 p-: 0lg 7 es P se puede representar como +7 P-Q: 0ls 7 no es P se puede representar como +7 P-

Lunes 2( de mayo de 2)1(

Es 'álido,

+7P-+7t-+t p-

8em: no hay prioridad de particulares4 pero es muy Ktil empear por las unidas por una . La primera no porque está negada +quedaría en una Q y eso la bi%urcaría-4 así que se comenará por la tercera.

+tp-+7P-+7t-

`7t`

7 Pt p

9odas las ramas cerradas conunto de prueba inconsistente argumento inicial 'álido.

Y Vp4 q4 +q p-4 +pqW

Jes Y consistente,

P`



R`

+RP-`

+PR-

R PP R

8os ramas abiertas4 es consistente.

9raducir desde L.3 a L.P 4 aunque4 pero4 sin embargo4 con todo]:

ECpresiones como: o4 o bien4 ya sea esto] o esto: '

7i algo4 entonces esto otro +p

q-. 9ambién R si P. el antecedente 'a siempre acompaIadodel 7i. 7i P4 R. R a menos que P. +condición su%iciente-

P4 solo si R. &uando aparece el 7í4 acompaIado del ;solo< estamos hablando de unacondición necesaria4 no una condición su%iciente. 7i no estu'iese el ;solo< diríamos que+q p- pero para hacerse cargo del ;solo< hay que dar 'uelta la eCpresión +pq-.

3ecesaria y su%iciente: +pq-

P4 si R +q p- f p4 siempre que q +pq-

=uía:

?. 7i la política in%luye en el derecho4 entonces el derecho no es %ormal. 7i el derecho no es%ormal4 entonces no es un sistema. Pero si no es un sistema4 entonces es un ordenamientoabierto. Pero si es un ordenamiento abierto4 hay ciertas decisiones udiciales cuya usticia sedesconoce. Por tanto4 la política no in%luye en el derecho o el derecho no es %ormal.

P: política in%luye en el derechoR: el derecho no es %ormal.G: el derecho no es un sistema

7: el derecho es un ordenamiento abierto.9: hay ciertas decisiones ]. &uya usticia]

+PR- 2+RG- "+G 7- @+7 9- (



P ' R 1

8em: +P ' R-`

P

R `

P R

$. 7i el hombre es la Knica especie animal que ha salido de la 9ierra4 entonces el hombre esun animal superior. 7i el hombre es un animal superior4 entonces no causará daIo al planeta9ierra. Pero el hombre causa daIo al planeta 9ierra. Por tanto4 el hombre no es un animalsuperior.

+P

R-+RG-G R

8em:R `

G `

P RR G R G

9odo hombre es animal si es hombre4 es animal

Pero al re'és no se da. Las condiciones no siempre tienen la %uera de identi%icar elantecedente con el consecuente. denti%icar en una prop. &ategórica es traspasar las barrerasdel sentido comKn.

J&ómo se puede traspasar de la lógica categorial4 ciertas preposiciones de la lógica proposicional,

0: 9odo 7 es P: +7P-E: 9odo 7 es no P +7P-: 0lgKn 7 es P +7 P-Q: 0lgKn 7 no es P +7 P-

&elarent +1\ %igura indirecta-



3ing 7 es P +7P-9odo 5 es 7 +5 7- 3ing P es 5 +P5-

8em:

+P5-+7P-+57-

`P`

5`

7 P 5 7

0lgKn 7 es P +contraposición de la es no 'álida- 0lgKn noAP es noA7

+7 P- +P7-

8em:

7̀

PP 7

7P7P

PGEG 7LQ=7Q PEGDE&9Q 8E L0 LS=&0 8E >QE&Q4 Z7 90G8E&Q3Q&8Q PQG Q867 PQ3E37.

7PP7



odus tollens.

V+pq- r +hs-W+pq- r+hs-

9odo resultado bien deducido es inmediatamente un teorema o una tautología. En el sistema de L.P es imposible distinguir entre una tautología y una 'erdad necesaria. 3o podemos representar 'erdades necesarias. 9oda 'erdad en este sistema es tautológica. Esdecir4 toda 'erdad4 se deduce de un conunto 'acío de aCiomas4 es decir4 son 'erdadesabsolutas.

En este sistema por primera 'e se 'io el teorema general que dice lo sgte:

1- =j

Mi&r!oles 2; de ma$o de 2015

+DP-D DP P

3o importa que uno de los términos no cierre la rama4 porque ya lo cerró el otro.



LS=&0 8E PGEG QG8E3 +DQL ! LPQ-

A 9ambién llamada lógica de predicados o lógica cuanti%icacional.

Lógica: categórica +simple- y proposicional +complea-.

0ntes de la lógica de primer orden estas estaban separadas4 lo que hio Drege %ue unirlas.Eso signi%icó unir los cuanti%icadores O los conecti'os.

Lo que tenemos en primer lugar son esos dos signos:

k4 k: cuanti%icadores. El primero es el uni'ersal y el segundo el particular.



La E signi%ica ;eCiste alguien<

8espués tenemos las 'ariables: C4 y4 .

a4 b4 c: constantes lógicos o letras indi'iduales.

4 '4 4 : correcti'os lógicos

negación

0uCiliares: + 4 -

Letras mayKsculas como: D4 =4 5: Letras de predicado.

Lo primero que hace Drege es proponernos: DC: signi%ica que hay una 'ariable C que tiene la propiedad D. Es decir4 hay un indi'iduo del uni'erso que está representado por D. Esto es una%unción proposicional4 no una proposición.

3ecesitamos 'incular esas 'ariables a alguno de estos cuanti%icadores:

kCDC: todos son mortales

kCDC: hay alguien que +o algunos- es mortal. Esto sí es una proposición.

0ustar una constante lógica a la 'ariable: Ca:

Da 7ócrates es mortal.

Entonces4 hay dos %ormas de saturar una %unción proposicional.C B y

kCky CBy

6V!3WD: C es par

=: C es di'isible por dos

kC +DC=C-

kCDCkC=C



kCDC: %also.

Puedo tener una proposición como esta: kCDC. JRué signi%ica que la niegue, Es decir4 kCDC. Drege dice que es a kCDC. 3egar una %órmula como esta signi%ica negar elcuanti%icar y aloar delante de la letra de predicado. 7i es uni'ersal4 baa al eCistencial.

kCDC kCDC

Esto es: 3o todo algKn no. 3o algKntodo no.

kCDC 0 kCDC EkCDC kCDC Q

0: 9odo 7 es P: kC +7CPC-

E: 3ing 7 es P: kC +7C

PC-: 0lg 7 es P: kC +7CPC-Q: 0lg 7 no es P: kC +7C PC-



Lunes 1 de unio de 2015

+kCDC %a-

8em:

%akCDC`%a`Db

0rgumento de prueba consistente4 arg. nicial in'álido.

7i queremos representar un 80G

+0-kC +DC=C- 2+- kC +5C DC- 1+- kC +5C =C-

8em:

+- kC +5C =C- " hay que incorporar esa negación Premisas

` 5a Da

` 5a Da

`+Da =a-

`Da =a

` kC +5C =C-

`+5a =a- +se elimina el cuanti%icador y el C se cambia por a-

5a =a

&onunto inconsistente4 argumento inicial 'álido.



Ley de organ+D P- +D ' P- +D ' P- +D P-

0lg 7 es P 0lg noAP es noA7 +%also4 no se contrapone-

kC +7C PC- kC +PC7C-

8em:

2 kC +PC7C-1 kC +7C PC-

`+7a Pa-

`7aPa`

+Pa ' 7a- +Pa ' 7a-Pa 7a

0rgumento de prueba consistente4 argumento inicial in'álido.

En este lenguae4 una %órmula así: kC +DC =C- +con cualquier conecti'o4 paréntesis yconecti'o- y se llama %órmula preneC y equi'ale a %órmulas sin cuanti%icador %uera del tipo+kCDC kC PC-4 %órmula no preeneC.

kC +7C PC- +kC7C kC PC-

`2 kC +7C PC- kC +7C PC- 11 +kC7C kC PC- +kC7C kC PC- 2 ` `+kC7C ' kC PC- kC +7C PC-

+kC7C ' kCPC- +7aPa-+7a ' Pa- `7a Pa 7a PakC+7CPC- kC+7CPC- +7aPa- +7aPa-` ` 7a 7a+7aPa- +7aPa- Pa Pa7a 7a



Pa Pa

0rg. nicial 'álido

&ualquier regla de deducción general se puede demostrar en este lenguae.

Por eemplo:PRPR

P: kC +7C PC-R: kC+DC =a-

kC +7C PC- kC+DC =a- 2

kC +7C PC- "kC+DC =a- 1

8em:

kC+DC =a-Premisas

`kC+DC =a-

+Da =a-

Da =a

kC+7CPC- kC+DC=a-

2 kC+7CPC- +Db =a-

+7bPb- Db

7b Pb =a

kC+7CPC- kC+7CPC-

+7aPa- +7aPa-+7bPb- +7bPb-

` `

7a 7a

Pa Pa



7b 7b

Pb Pb

La proposición se debe instanciar inmediatamente4 pero aquí no se puede porque tengouni'ersales.

iércoles de #unio de 2)1(

Eercicio:

1. La piedad se da con usticia

2. La piedad se da con sabiduría

". La piedad se da con 'irtud@. Pablo es piadoso

Luego4 Pablo es 'irtuoso

kC +PC#C-

kC +PC7C-

kC +PCMC-

Pa

Ma

8em:

Ma

Premisas

`

Pa

Ma

`

+PaMa-

Pa Ma



++++kC +PC#C- kC +PC7C- - kC +PCMC-- Pa - Ma-

D P

2. 9odos los buenos son ustostodos los usto son prudentes

3ingKn prudente es insensato

ateo es bueno

ateo no es insensato

kC +>C#C- Para todos los casos4 si alguien es bueno4 entones es usto

kC +#CPC-

kC +PCC-

>a

a

8em:

a

>a

Pa a

#a Pa

>a #a

". kC+DCPa- +kCDCPa-

8em:+ kCDCPa- +luego pot ley de organ- + kCDC ' Pa-4 es decir4 +kCDC ' Pa-

+Db ' Pa-

Db Pa

kC+DCPa- kC+DCPa-



Db Pa Da Pa

Db Pa

Pa

@. 8et. &onsistencia " 2 1

8 VkCky +DC=y-4 kCDC ky=yW

1. =a

`

2. kCDC

`

". ky +Da =y-

+Da =b-

`

Da

=b "

`

Db

Da 2 Porque es uni'ersal

kCkyk +DCy =-

kyk +Day =-

k +Dab =-

Dab=c

(.9odo 7 es noAP kC +7CPC-

Pa Pa

9odo noA7 es & kC +7C &C-

&a &a



8em:

&a

Prem

`&a

`

Pa

`

+7aPa-

`

7a Pa

7a &a

. kC +0C >C- "

kC +&C0C- 1

kC +>C&C- 2

kC +0C>C-

8em:

kC+0C>C- @

`

&a

0a

`

>b&b

`

kC+0C>C-

+0a >a-



+0b>b-

0a >a

0b >b

+0a>a-+0b>b-

0a >a

, de unio de 2015

L.P.Q.G: Lógica de primer orden relacional +binaria o diádica-

7ócrates es el padre de 2 hios. eso no es simplemente como ser usto o sabio.

0l abrirse al campo de las relaciones propone su imcompletitud. ECiste la categoríametalógica que es incompleta4 es decir si uno selecciona algunos aCiomas y le aduntadeducción4 'an a eCistir algunas %órmulas cuya demostrabilidad no 'a a ser accequible.Este es el lenguae que representa o captura la arismética +p.e 1U2-.

Primero que todo hay que establecer un lenguae que tenga que utiliar predicados que sonrelaciones.

PCy: C es padre de y.

Cy: C es madre de y

5Cy: C es hio de y

0: tom

>: tim

7on proposiciones atómicas4 es decir kC ky PCy 9odos son padres de todos.

kC ky PCy: para todo C eCiste alguien que su padre es C.

Pab 9om es padre de 9im.

kCky PCy +eCiste alguien que es padre de alguien- +por lo tanto- +PCy k y-

entonces eCiste un que es madre de ese hio.

kCkyk +PCy y-

7i kC ky DCy es una proposición4 entonces +kC kyDCy E - es una %órmula4 entonceseso relacionado +kC kykPCy- es también una %órmula.

0hora necesitamos letras de proposiciones que 'ayan acompaIados con dos 'ariables-



Jqué tipo de proposiciones tenemos en este lenguae,

A 9autologías +kCkyDCy kCkyDCy-

A Merdades necesarias +porque aparecen cuanti%icadores- +kCky DCy kCkyDyC-. Entodos los casos si C se relacione con y a tra'és de D entonces en todo los casos y se

relacionará con C a tra'és de D. propiedades %ormales del lenguae. 7on %ormales4 y por lo tanto es conmutati'a.

+kCkyDcykCkyDCy-

+DabckCkykDCy-

A Merdades conteCtuales +kCky PCy Ey- en cualquier caso alguien tiene un padre también tiene una madre. 'erdaderas en conteCtos semánticos restringidos.Pueden representar relaciones reales restringidas.

&uadrado de oposiciones:

kCkyDCy kCkyDCy

kCkyDCy kCkyDCy

0rgumentos

Dabc kCkykDCy

8em:

kCkykDCy

no hay que instanciar antes de poner lanegación

Dabc

kCkykDCy

kCkykDCy

kCkykDCy

kCkykDCy

Jcómo obtengo un Dabc,

! kyk Day C!a



k Dab y!b

Dabc !c

0rgumento de prueba inconsistente4 argumento inicial 'álido.

kCky DCy

kCky DCy +subalternación-8em:

kCkyDCy 1

kCky DCy 2

`

kCkyDCy

kC kyDCy

` 1

kyDay C!a

Dab y!b

`

kCkyDCy

kyDay C!a

Dab y!b

Estas son las 'erdades necesarias.

Meamos un caso donde la instanciación tiene algo que decir.

kykCDCy kCkyDCy

8em:

kCkyDCy 1

kykCDCy 2 `

kC kyDCy

kC ky DCy 1

kyDay C!a +esta 'a a esperar-



`

ky kCDCy

kCDCb y!b 2

Dab C!aDab 1

• +kC ky GCy ky kCGCy-

8em:

ky kCGCy 1

kC ky GCy 2

`

kykCGCy

kykCGCy

kCGCa y!a

`

kCkyGCy

kyGby y!b

Gba

Gba

&onsistencia:

Y VkCkykyC Dab Dac kCkyDCy-

8em

Dab

`Dac

`

kCkykyC

kykyd C!d



Ded d!e

`

kCkyDCy

kyDa% &onunto consistente

1)!)!1(

1. 7i G es asimétrica4 entonces es irre%leCi'a

kCky +GCy GyC- kC GCC

8em:

1 kCGCC

2 kCky +GCy GyC-

`

kC GCC

Gaa

`

kCky +GCy GyC-

ky +Gay GaC- C!a

+GaaGaa- y!a

Gaa Gaa

2. 7i G es inconeCa4 entonces es irre%leCi'a

kCky + GCy GyC - kC GCC

8em:

kC GCC 1kCky + GCy GyC - 2

`

kC GCC

Gaa



Gaa

`

kCky + GCy GyC -

ky + Gay Gya - C!a+Gaa Gaa- y!a

Gaa

Gaa

nusto +pri'ación- noAusto +ausencia-

Pero no al re'és

+simetría- +Ge%leCibilidad-

kCky + GCy GyC - kCGCC

8em:

kCGCC

kCky + GCy GyC -

`

kC GCC

Gaa C!a

`

ky + Gay Gya -

+GaaGaa-

Gaa Gaa

". 7i es transitica e irre%leCi'a4 entonces asimétricakCkyk + + GCy Gy- GC- 2

kC GCC "

kCky + GCy Gy- 1

8em:



kCky + GCy Gy-

Premisas

`

k Cky +GCy

GyC-ky +GayGya-

+Gab Gba-

Gab

Gba

`

kCkyk + + GCy Gy- GC-

k ++Gab Gb- Ga-

++GabGba-Gaa-

`

+Gab Gba- Gaa

Gab Gba kCGCC

Gaa

Lógica proposicional

1. L.P: Lógica proposicional

2. L.P.Q: Lógica de predicados de primer orden.

". L. P.Q.G: Lógica de predicados de primer orden binaria

Para el n[1 teníamos p4q4r]. y ' 4]. era %ácil porque no se necesitaba instanciar.Estaba la corrección y la consistencia. Por e.

7i hay %uego4 habrá eCplosión P q

7i hay eCplosión4 habrá desaloo pre'enti'o. q r

7i hay desaloo pre'enti'o4 habrá robos r s

5abría robos4 si habrá %uegos. Ps



8em:

7iempre es bueno sacar las que son por . Pero acá no hay prioridad

+Ps-

Prems`

P

7

P q

q r

G 7

Eemplo del 2:

9odas las personas sensibles aman las artes

Los que no mienten4 son sensibles

Los que mienten no son ustos

#ohn es usto

#ohn ama las artes

kC +7C0C-

kC +C7C-

kC +C#C-

#a

0a

8em

0a

`

#a



`

7a 0a

Lunes 1( de #unio de 2)1(

•

Gesol'er un argumento de L.P por tabla +una estrella-+ +pq- +p ' q- -

p P R +pq- +p ' q- +pq- +p ' q-

D M M M M M

D M D D D M

M D M M M M

M D D M M M

• 8emotrsar consistencia en L.P

Y Vp4 q4 +q p-4 +pq-W

p

`

q

P

R

nconsistente

• Gesol'er la 'alide de un argumento +doble estrella- en L.P.Q

kC +PCkyDy-

kC +DC Pa- 2

Da 1

Da

`

+Db Pa- +2-

`



+PakyDy-

Pa kyDy

Dc

Rueda abierta

• +dos estrellas- &onsistencia

Y VkCPC4 kCDC4 ky +DyPy-W

kCPC 2

`

kCDC 1

`

ky +DyPy- "

`

kCDC

`

Pa C!a 2

`

+DaPa-

`

Da Pa

kCDC kCDC

Da Da

Rueda abierta

• +tres estrellas- 9raducir en L.P +DQL-L.P: 7i no hay smog4 no hay salud +pq-

7i no hay salud4 no hay producción óptima +qr-

7i no hay prod. Sptima4 no hay riquea +r s-

Q no hay smog4 o no hay riquea. +p ' s-



8em:

+p ' s- 1

+premisas-

`P

7

P R

R G

G 7

7i %uese una tabla4 las línea serían una y lyego la conclusión un

En Lógica de primer orden:

0lgunas a'es ancudas son migratorias kC +YC C- 1

0lg a'es contagiosas con 531 son migratorias kC +&CC- 2

0lg a'es contagiosas con 531 son ancudas kC +&CYC- "

9odas las a'es migratorias anidan en colonias unto a mamí%eros kC+C 3C- @

0lg a'es que anidan en colonias unto a mamí%eros están cn 531 kC+3C&C- (

Ya

a

`

&b

b

`

&cYc

`

a 3a

b 3b



c 3c

kC+3C&C- kC+3C&C-

+3a&a- +3a&a-

+3b&b- +3b&b- +3c&c- +3c&c-

3a &a 3a &a

3b &b 3b &b

• +@ estrellas- Gesol'er la 'alide de un argumento en L.P.Q.G y también resol'er laconsistencia de un conunto de proposiciones en L.P.Q.G.

+kCkyDCykCkyDCy-

8em: kCkyDCy 1

kCkyDCy 2

`

kCkyDCy

kCkyDCy

`

kyDay C!a

Dab y!b

`

kyDay C!a

Dab y!b

• #usti%icar en DQL 2!" teoremas a partir de un nKmero de principios o de aCiomas.

1. kCDC

2. kC +DC =C-

". kC +DC9C-

ECtraiga 2 teoremas usti%icados +demostrar 'alide- +@ eCtrellas-



+1 2-kC=C. + +kCDCkC +DC=C- - kC=C-

+kCDCkC +DC9C- - kC9C

• +( estrellas- Probar propiedades %ormales de las teorías de L.P.Q y de L.P.Q.G

Por eemplo: toda %órmula preneC se puede escribir como noApreneCkC +DC =C- +kCDCkC=C-

8em:

+kCDCkC=C-

kC +DC=C-

• 7i el sucesor de Pedro es #uan4 y todos los sucesores de alguien cualquier son amigosentre sí4 se sigue que #uan es amigo de Pedro.

7 Cy : C es el sucesor de y

0 Cy: e es amigo de y

a: #uan

b: Pedro

7ab

kCky +7Cy 0Cy-

0ab

8em:

0ab

Clases Lógica 2015

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