Lógica 1 - 2015

Materia: Lógica I

Carrera: Filosofia

2015

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LÓGICA ILÓGICA FORMAL

2015

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Presentación

Este apunte está destinado exclusivamente a su uso en las materias LógicaI y Lógica Formal de la Escuela de Filosofía de la Facultad de Filosofía yHumanidades de la U.N.C. Constituye el material de estudio preparado pordocentes de la Cátedra de Lógica I y Lógica Formal, con la finalidad de quelos estudiantes cuenten con un texto de apoyo para el curso impartido en laEscuela de Filosofía.

El texto cubre los puntos del programa de las asignaturas arriba referidase incluye algunos ejercicios para afianzar los conocimientos expuestos en cadaparte.

El material sobre el que se basa este apunte procede fundamentalmentedel texto de J. Barwise y J. Etchemendy, The Language of First Order Logic,cuya traducción también para uso en la Cátedra de Lógica I de la Escuela deFilosofía, El Lenguaje de la Lógica de Primer Orden, fuera realizada por elDr. Horacio Faas y un grupo de colaboradores, años atrás. Los dos primeroscapítulos proceden de una traducción con algunas modificaciones del capítu-lo 1 del libro de N. Smith, Logic: The laws of Truth. Así mismo, en el textoprocedente del libro El Lenguaje de la Lógica de Primer Orden, se introdu-jeron diversos cambios, con el fin de adaptarlo al contenido del programa dela asignatura y a la perspectiva del curso.

En la preparación de este material han intervenido los docentes de laCátedra de Lógica I / Lógica Formal: Dra. Alba Massolo y Lic. SebastiánFerrando (Profesores Asistentes), el Dr. Diego Letzen (Profesor Adjunto),Sara Gismondi y Andrés Ilcic (Ayudantes Alumnos) y el Dr. Luis A. Urtubey(Profesor Titular). La preparación de la versión LATEX-PDF, estuvo a cargoespecialmente de Andrés Ilcic.

Una advertencia final respecto al carácter preliminar de este texto. La ver-sión que se entrega aquí como apunte ha pasado por las primeras correccionesy se ha ido ajustando de acuerdo con experiencias previas y sugerencias del

equipo de la Cátedra. No obstante, debe tenerse en cuenta que algunos ajus-tes aún deben realizarse sobre este material. Es de esperar que tales mejorasse irán produciendo en adelante.

Córdoba, marzo de 2015.

Índice general

I Lógica Proposicional 1

1. Lógica y argumentos 21.1. ¿Qué es la Lógica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Argumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Consecuencia lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. La lógica de primer orden 212.1. Buenos argumentos y argumentos válidos . . . . . . . . . . . . 212.2. Solidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3. Lenguajes de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4. El rol especial de la lógica en la indagación racional . . . . . . 292.5. ¿Por qué aprender un lenguaje artificial? . . . . . . . . . . . . 31

3. Elementos de LPO 353.1. Constantes individuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2. Símbolos de Predicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3. Oraciones atómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4. La isla de los caballeros y bribones . . . . . . . . . . . . . . . 413.5. El lenguaje de primer orden de la

aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6. Lenguajes generales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . 46

4. Conectivas lógicas 504.1. Símbolo de Negación (¬) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1.1. Semántica y la regla de juego para la negación . . . . . 514.2. Símbolo de conjunción (∧) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3. Símbolo de Disyunción (∨) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.4. Símbolo del Condicional Material (→) . . . . . . . . . . . . . 564.4.1. Semántica y regla de juego para el condicional . . . . . 564.4.2. Formas españolas del condicional material . . . . . . . 57

4.5. Símbolo del Bicondicional (↔) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5.1. La semántica para ↔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.6. Uso de las tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.7. Ambigüedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.8. Traducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.9. Implicatura conversacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5. Otros usos de las tablas de verdad 735.1. Satisfactibilidad y verdad lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2. Consecuencia lógica y tautológica . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2.1. Premisas inconsistentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2.2. Condicional material y consecuencia lógica . . . . . . . 79

5.3. Equivalencia lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6. Métodos de demostración 866.1. Métodos de demostración que involucran conectivas . . . . . . 87

Cuestiones de estilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2. Método de demostración por casos . . . . . . . . . . . . . . . 916.3. Método de demostración por contradicción . . . . . . . . . . . 95

6.3.1. Premisas inconsistentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.4. Método de demostración condicional . . . . . . . . . . . . . . 100

6.4.1. Probar bicondicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7. Demostraciones Formales 1097.1. Reglas para la conjunción y reiteración . . . . . . . . . . . . . 1107.2. Reglas para la disyunción: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.3. Reglas para la negación: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.4. El uso adecuado de las subdemostraciones. . . . . . . . . . . . 1207.5. Un ejemplo trabajado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.6. Demostraciones sin premisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.6.1. Cita de teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.7. Reglas para el condicional: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.8. Reglas para el bicondiconal: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

II Cuantificadores 137

8. Introducción a la cuantificación 1388.1. Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.2. Fbfs atómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.3. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.4. Fbfs y oraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.5. Las cuatro formas aristotélicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.6. El cuadrado de oposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.7. Traducción de frases nominales complejas . . . . . . . . . . . . 1538.8. Implicatura conversacional y cuantificación . . . . . . . . . . . 1558.9. Cuantificadores y símbolos de función . . . . . . . . . . . . . . 159

9. Verdad y falsedad de oraciones con cuantificadores 1629.1. Semántica para los cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . 1629.2. Equivalencias lógicas que involucran negación y cuantificado-

res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1679.3. Oraciones con más de un cuantificador . . . . . . . . . . . . . 170

9.3.1. Usos múltiples de un único símbolo decuantificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

9.3.2. Cuantificadores mezclados . . . . . . . . . . . . . . . . 1729.3.3. Traducción de oraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 1749.3.4. Parafraseando el español . . . . . . . . . . . . . . . . . 1759.3.5. Ambigüedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.3.6. Traducciones usando símbolos de función . . . . . . . 179

10.Demostraciones con cuantificadores 18210.1. Métodos de demostración que involucran ∀ y ∃ . . . . . . . . . 18210.2. Demostraciones Formales y

Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19110.3. Demostraciones con cuantificadores mezclados . . . . . . . . . 201

Parte I

Lógica Proposicional

1

Capítulo 1

Lógica y argumentos

1.1. ¿Qué es la Lógica?

Supongamos que usted tiene que hacer algunas compras y cuenta con xxcantidad de dinero, digamos $ 50. Ente otras cosas, tiene que comprar pan,carne, papas, huevos, queso y jugo de naranjas. Hace una lista con estas cosasy se dirige adonde pueda adquirirlas. Al llegar comienza a buscar los produc-tos y va registrando los precios. Ve que el pan cuesta $11 el kg, la carne 40el Kg., el queso $38, la papa $15, los huevos $12 la docena y el jugo $13.Luego decide qué cantidad comprará de cada uno de los productos y final-mente constata si el dinero que tiene le alcanzará o no para pagar la compra.A través de todo este proceso, usted tuvo que realizar una serie de opera-ciones aritméticas elementales, que seguramente maneja desde que era niño.Básicamente, tuvo que realizar algunas sumas y restas con números enterosy también usar algunas fracciones y decimales, como por ejemplo si decidiócomprar ¼ Kg. de pan, ½ kg. de carne, etc. Para manejarnos cotidianamentecon este tipo de cosas, como comprar los alimentos que necesitamos a diario,precisamos realizar cálculos usando medidas y valores. De modo que resultaútil contar con un conocimiento de las reglas o leyes de la matemática espe-cíficas para operar con estas medidas y calcular valores, cuando necesitamosefectuar este tipo de tareas. No obstante, nadie diría que la matemática esla ciencia que se ocupa de este tipo de quehaceres, como la compra del pan,la carne, etc.1 Aunque nos sea de mucha utilidad en nuestra vida cotidiana,

1Entendemos aquí ciencia en un sentido bastante amplio, haciendo referencia a la bús-queda sistemática de conocimiento

2

Capítulo 1 3

la matemática no puede considerarse como la ciencia que se ocupa de estascosas. La matemática es una ciencia abstracta, que bien puede aplicarse acuestiones como nuestras compras diarias y a muchas otras más. Desde laperspectiva de la matemática, lo que importa en el caso que consideramosson los números, cantidades, medidas y las operaciones que se realizan conellos, consideradas en forma abstracta, sin importar que se trate de panes,carne, huevos, etc.

Con frecuencia la lógica se define como el estudio del razonamiento. Co-nocer los aspectos básicos de la lógica, es en verdad esencial para razonarbien, sin embargo sería inexacto decir que el razonamiento humano es el te-ma principal de la lógica. Antes bien, habría que decir que la lógica mantienecon el razonamiento una relación similar a la que la matemática tiene conla compra de los alimentos en ejemplo anterior. Supongamos que está bus-cando su celular y sabe que está en el bolsillo de la campera, sobre la mesa,en el escritorio o sobre la cama. Ya comprobó que no está ni el bolsillo dela campera ni en los otros dos sitios, razona entonces que debe estar sobrela cama. Este es un buen modo de razonar. Cabe preguntarse por qué. Laexplicación es que razonar de este modo no puede conducir de un punto departida o premisas verdaderas a un punto de llegada o conclusión falsa. Comolo expresó el lógico y matemático norteamericano Charles Peirce en el sigloXIX, cuando comenzaba a desarrollarse la lógica actual:

“El propósito del razonamiento es encontrar, a partir de la consideraciónde lo que ya conocemos, algo más que no sabemos. En consecuencia, razonares algo bueno siempre que esto nos proporcione una conclusión verdadera apartir de premisas verdaderas y no sea de otro modo.” 2

Aquí es donde interviene la lógica. La lógica trata con proposiciones –algoque es verdadero o falso- y sus componentes, y busca descubrir las leyes querigen las relaciones entre la verdad y la falsedad de diversas proposiciones.Una ley de este tipo enuncia que si una proposición presenta un númerofijo de alternativas (por ejemplo, el celular está o bien en el bolsillo de lacampera, sobre la mesa, sobre el escritorio o sobre la cama) y todas exceptouna resultan ser falsas, entonces la proposición en su conjunto no puedeser verdadera a menos que la alternativa restante sea verdadera. Esta leygeneral sobre la verdad se puede aplicar convenientemente al razonamiento:justamente el caso particular de razonamiento que consideramos en el ejemploanterior, resulta ser bueno a causa de la vigencia de esta ley general. Esta

2Peirce, Charles Sanders. “La fijación de la creencia”, 1877.

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nos dice que si el celular realmente está en uno de los cuatro sitios, y no estáen ninguno de los tres primeros, entonces debe estar en el cuarto. De allí queel razonamiento no puede conducirnos de un comienzo verdadero a un finalfalso.

Por eso mismo, sería inexacto definir la lógica sólo como la ciencia delrazonamiento. Antes bien, algunos autores han considerado más acertadodecir que la lógica es la ciencia de la verdad (entendiendo por “ciencia” –comoya dijimos- el estudio sistemático de algo en particular). Como lo señalóGottlob Frege, uno de los pioneros de la lógica moderna:

Así como “bello” refiere a la estética y “bueno” a la ética, delmismo modo una expresión como “verdadero”, refiere a la lógica.Todas las ciencias tienen la verdad como objetivo; pero la lógicase interesa por esta de un modo bastante diferente: la lógica tienecon la verdad la relación que la física tiene con el calor o el peso.Descubrir la verdad es la tarea de todas las ciencias, le toca a lalógica discernir las leyes de la verdad. 3

Un ingeniero puede tener como uno de sus objetivos la construcción de buenosedificios. No es su objetivo, no obstante, desarrollar una plena comprensiónde las leyes de la mecánica. Este es el objetivo de la física. De igual modo,en el campo de la física, los científicos tratan de encontrar verdades (teoríasverdaderas) sobre el mundo, pero no constituye el propósito de la física eldesarrollo de una comprensión acabada de las leyes de la verdad. Este sería–de acuerdo con autores como Frege- el objetivo de la lógica. El trabajo enlógica consiste entonces en desarrollar un marco en el cual se pueda dar unarepresentación detallada –completamente general- de las proposiciones (esdecir, aquello que es verdadero o falso) y sus componentes, e identificar lasleyes generales que gobiernan el modo en que la verdad se propaga a travésde ellas.

Visto de este modo, el primer interés de la lógica está en la verdad y noúnicamente en el razonamiento. No obstante, la lógica es muy útil cuando seaplica al razonamiento –dado que queremos evitar aquellos modos de razonarque podrían conducirnos desde premisas verdaderas a una conclusión falsa.Así como la matemática se aplica a muchas cosas además de las comprascotidianas, la lógica se aplica también a otras cosas además del razonamientohumano. Por ejemplo, la lógica tiene un papel fundamental en las ciencias

3Gottlob Frege. “El Pensamiento”. 1918–19.

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de la computación, tiene aplicaciones importantes en el estudio del lenguajehumano y de los lenguajes artificiales y tiene también un rol central en losfundamentos teóricos de la matemática misma.

Seguiremos aquí un enfoque más afín a esta línea de pensamiento. Ellonos permitirá también tener en cuenta no sólo la utilidad de la lógica parael razonamiento en general, sino también su aplicación en diversas áreas deconocimiento y en otras disciplinas.

Recordar

Sería inexacto definir la lógica sólo como la ciencia del razonamien-to. El interés de la lógica está en la verdad y no únicamente en elrazonamiento. No obstante, la lógica es muy útil cuando se aplica alrazonamiento –dado que queremos evitar aquellos modos de razonarque podrían conducirnos desde premisas verdaderas a una conclusiónfalsa.

1.2. Proposiciones

Aceptamos entonces que la lógica se ocupa de las leyes de la verdad. Elobjeto de estudio central en lógica lo constituye entonces aquello que puedeser verdadero o falso. Por ello será conveniente contar con un nombre paraestas entidades. Usaremos el término “proposición” con este propósito. Esdecir, que una proposición es algo que puede ser verdadero o falso. Ahora bien,¿qué clase de cosas son las proposiciones? ¿Y qué hace que una proposiciónsea verdadera o falsa? La idea fundamental resulta ser esta: una proposiciónes una afirmación sobre cómo son las cosas. Representa alguna forma en quees el mundo; y es verdadera si el mundo es de este modo, en caso contrarioes falsa. Esta idea se remonta al menos a Platón (360 a.c.) y a Aristóteles(350 a.c). En el diálogo de Platón Cratilo (o del lenguaje), se encuentra elsiguiente pasaje:

SOCRATES: Pero ¿qué hay sobre la verdad, entonces? Debesreconocer que hay palabras para la verdad y la falsedad.

HERMOGENES: Efectivamente.

SOCRATES: ¿Y hay proposiciones verdaderas y falsas?

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HERMOGENES: Seguro.

SOCRATES: ¿Y una proposición verdadera afirma aquello quees, y una falsa lo que no es?

HERMOGENES: Sí, ¿qué otra respuesta sería posible?

En un célebre pasaje de la Metafísica de Aristóteles leemos:“Definimos lo que es verdadero y lo que es falso. Decir de lo que es que

no es, o de lo que no es que es, es falso, mientras que decir de lo que es quees, y de lo que no es que no es, es verdadero.”(Libro IV (Γ), 7)

Contrastando con esto, lo que no es una proposición no representa que elmundo sea de un modo u otro. No son afirmaciones sobre cómo son las cosas.De allí que no puede ser verdadero o falso. No puede decirse que el mundoes (o no es) del modo en que lo representa algo que no es una proposición,precisamente porque no se trata de una afirmación sobre el modo en que seael mundo.

Veamos algunos ejemplos de proposiciones:

1. La nieve es blanca.

2. El piano es un instrumento de múltiples cuerdas.

3. La nieve es verde.

4. Las naranjas son naranja.

5. La máxima distancia recorrida el 13 de marzo de 2002 por un peatónen el centro de Córdoba fue de 3 Km.

6. Tengo hambre.

Observe que no es necesario que una proposición sea verdadera (3); queuna proposición puede ser obviamente verdadera, de modo que nunca nospreocuparemos en decir que lo sea (4); y que puede ser que no tengamosmodo de saber si una proposición es verdadera o falsa (5). Lo que estosejemplos tienen en común, es que en ellos se hacen afirmaciones sobre elmodo en que son las cosas: representan un modo en que es el mundo. Por lotanto, tiene sentido decir de cada una de ellas, que es verdadera (es decir,que el mundo es de la forma que lo representa) o falsa (las cosas no son deeste modo) –incluso si no tenemos modo de saber cómo son realmente.

Ejemplos en los que no tenemos proposiciones, son los siguientes:

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7. ¡Ouch!

8. ¿Dónde estás?

9. ¡Deténte!

10. ¡Abre la puerta!

11. Hola.

12. ¿Está abierto?

Puede ser algo apropiado o inapropiado decir “Hola” (o “¡abre la puerta!”,etc.) en diversas ocasiones, pero no puede decirse que sea algo verdadero ofalso. Es así, porque cuando digo “hola”, no estoy haciendo una afirmaciónacerca del modo en que es el mundo: no represento una forma en que lascosas son. Estos casos en que no tenemos proposiciones, se pueden clasificara su vez en preguntas (10, 12), órdenes (8, 11), exclamaciones (7, 9), etc. Anuestros fines, esta clasificación carece ya de importancia, puesto que lo queno sea una proposición está más allá de nuestra área de interés. En cuantono pueden ser verdaderas o falsas, se hallan más allá del dominio de las leyesde la verdad.

No analizaremos con más detalle qué son las proposiciones. Si bien pro-posiciones y oraciones se hallan muy relacionadas, es mejor distinguirlas yquizás en última instancia podría admitirse que las proposiciones fueran al-gún tipo de oraciones. Simplemente hemos preferido continuar sin asumirque las proposiciones –que ubicamos como el objeto de estudio de la lógica–pudieran reducirse a entidades que nos resultan más familiares, como lasoraciones. A raíz de los problemas que presenta la identificación de las pro-posiciones con las oraciones –como se puede ver en los ejercicios anteriores-la decisión de distinguirlos tiene suficientes motivaciones.

Ahora bien, cabe preguntarse, ¿si las proposiciones no son meras oracio-nes, qué son? Podrían comenzar a parecernos entidades misteriosas. Podríadescribir la afirmación puntual de la oración “Yo tengo hambre”, y tal vezen cierto sentido, puedo inclusive describir la oración como entidad gramati-cal abstracta. Pero ¿cómo describir la proposición que expresa esta oración(cuando un hablante la emite en una situación particular)? Sería un errormetodológico tratar de responder a esta pregunta detalladamente en estemomento. Una de las tareas de la lógica es justamente proporcionarnos una

Capítulo 1 8

comprensión de las proposiciones –aquello que es verdadero o falso. Lo quenecesitamos para iniciar el estudio de la lógica –lo que necesitamos en estepunto de nuestro estudio– es sólo una idea general o aproximada sobre loque intentamos dar cuenta con más precisión. (La necesitamos para orientarnuestra búsqueda). Sin duda ya contamos con un concepto aproximado delo que es una proposición: es una afirmación sobre el mundo; es verdaderacuando el mundo es tal como se afirma y en otro caso es falsa; es expresadapor una oración emitida en un contexto particular, pero no es idéntica conla emisión de la oración ni con esta considerada en su forma gramatical abs-tracta (como oración que pertenece a una lengua particular). Para nuestrosfines, será suficiente con esto.4

Recordar

Usaremos el término “proposición” con el propósito de designar algoque puede ser verdadero o falso. La idea fundamental resulta ser esta:una proposición es una afirmación sobre cómo son las cosas. Repre-senta alguna forma en que es el mundo; y es verdadera si el mundoes de este modo, en caso contrario es falsa

Ejercicios y Problemas

Atendiendo a lo visto hasta ahora, responda a los siguientes problemas.En todos los casos procure justificar la respuesta.

Problema 1.1. En el siguiente diálogo, ¿expresan Álvaro y Carolina la mis-ma proposición?

-Iván: Está lista la comida, ¿quién tiene hambre?-Álvaro: Tengo hambre.-Carolina: Yo también.-David: Yo no.

Problema 1.2. ¿Expresan Iván y John la misma proposición?:

-Iván: Álvaro está famélico.4 Se puede ampliar la información relativa a este punto en Haack, S. Filosofía de las

Lógicas, cap. 6.

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-Álvaro: ¿Cómo es eso en inglés?-John: Alvaro is starving.

Problema 1.3. ¿Expresan Álvaro y Carolina proposiciones distintas?:

-Álvaro: Iván dijo que tenía hambre.-Carolina: No.

1.3. Argumentos

Como vimos antes, se puede decir que las leyes de la verdad sustentanlos principios del buen razonamiento. Ahora bien, el razonamiento se pre-senta bajo distintas formas en el habla cotidiana, en la lengua escrita, y enel pensamiento. A fin de facilitar la discusión del razonamiento, resulta útilintroducir una manera estándar en la cual representarlo. Con este propósitonos valdremos aquí del concepto de “argumento”. Como es el caso con el usodel término “proposición”, este uso del término “argumento” es de caráctertécnico, lo que constituye una abstracción del significado usual de este tér-mino.5 En este sentido, un argumento será una secuencia de proposiciones. Ala última proposición del argumento, la denominaremos conclusión. Intuiti-vamente la consideramos como la afirmación, cuya verdad se está tratando deestablecer a través del proceso de razonamiento. Las restantes proposiciones,son las premisas. Intuitivamente las pensamos formando la base sobre la cualse intenta establecer la conclusión. El número de premisas es finito (puedeser cero). Los argumentos pueden representarse de la siguiente forma:

Premisa 1Premisa 2Conclusión

En este caso usamos una línea horizontal para separar la conclusión de laspremisas.

5Debemos advertir que no todos los autores siguen esta distinción. El uso del término“argumento” es por ello diferente y algunas veces inclusive se denomina argumento a loaquí estamos llamando razonamiento. La distinción que seguimos es a los fines de facilitarel análisis lógico.

Capítulo 1 10

La conclusión puede indicarse también por medio de la expresión “por lotanto” (a veces abreviada por medio de “∴”).

Premisa 1Premisa 2Premisa 3∴ Conclusión

Se puede también presentar un argumento en forma lineal, con las premisasseparadas por comas y la conclusión separada por la barra y los tres puntos(el símbolo de “por lo tanto”):

Premisa 1, Premisa 2, Premisa 3, , Premisa 4 /∴ Conclusión

Consideremos por ejemplo un razonamiento cotidiano. No tengo reloj y quie-ro saber qué hora es. Observo que el negocio de la esquina está cerrando, yyo sé dado mi conocimiento de los horarios comerciales, que este comerciocierra a las 20 hs. Concluyo entonces que es esa hora. Podemos representareste razonamiento mediante el siguiente argumento:

Si el negocio de la esquina está cerrando, son las 20hs.El negocio de la esquina está cerrando.∴ Son las20hs.

Cuando consideramos un razonamiento en el lenguaje común con la inten-ción de representarlo como un argumento, identificamos la conclusión como laproposición que el hablante trata de establecer –para la cual da sus razones-y las premisas como las razones que da para apoyar la conclusión. Hay frasesque se usan frecuentemente para indicar la conclusión, como por ejemplo,

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“por lo tanto”, “de ahí” o “de allí”, “se sigue que”, “de este modo”. Entre lasfrases que indican las premisas se encuentran: “dado que”, “ya que”, “pues-to que”. Sin embargo, no siempre encontramos estas expresiones, e inclusocuando aparecen no siempre indican premisas o conclusiones, respectivamen-te. De allí que no haya una receta que podamos seguir en forma mecánicacuando representamos razonamientos del lenguaje común como argumentos.Debemos considerar cuidadosamente el razonamiento expresado en el lengua-je corriente, lo que el hablante trata de establecer (esta será la conclusión) yqué razones da para apoyar su conclusión (estas serán las premisas).

Algo que debemos observar es que cuando representamos un razonamientocomo un argumento en el sentido técnico –es decir, como una secuencia deproposiciones– siempre pondremos la conclusión al final. No obstante, en ellenguaje común la conclusión de un razonamiento no siempre se ubica alfinal.

En el ejemplo siguiente, la conclusión no se encuentra al final: Platón eraateniense, puesto que todos los discípulos de Sócrates eran atenienses y Pla-tón era discípulo de Sócrates. De modo que representamos este razonamientocon el siguiente argumento:

Todos los discípulos de Sócrates eran ateniensesPlatón era discípulo de SócratesPor lo tanto, Platón era ateniense

Hay que observar que si bien a todo razonamiento corresponderá un argu-mento, no es el caso contrario. Dada la manera en que definimos lo que esun argumento, es decir como cualquier secuencia de una o más proposicio-nes, hemos permitido que haya argumentos que no corresponderían a ningúnrazonamiento. Este es el caso del siguiente ejemplo:

La nieve es verdeEl invierno fue húmedo

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Esta generosidad al considerar argumentos, que puede sorprender al prin-cipio, resulta a la postre algo conveniente. La razón es la siguiente. Comoveremos más adelante con más detalle, uno de los objetivos principales dela lógica es dar cuenta de la validez de cualquier razonamiento, sin importarde qué trate. Más adelante precisaremos también qué significa validez y cuáles su importancia. De modo que, cuanto más cosas se consideren argumen-tos, más amplia será la noción de validez y su aplicación. Si restringiéramosla noción de argumento, entonces correríamos el riesgo de dejar fuera algúnrazonamiento que pudiera considerarse un argumento y que no podría re-presentarse como tal por haber restringido de esta noción. El enfoque quepresentamos evita este problema al darle un sentido técnico al término “argu-mento”, distinto de cualquier otro que usualmente se le da a esta expresión,en virtud del cual no importa ya que no todo argumento corresponda a unrazonamiento del lenguaje común.

Recordar

A fin de facilitar la discusión del razonamiento, resulta útil introduciruna manera estándar en la cual representarlo. Con este propósito nosvaldremos del concepto de “argumento”. Como es el caso con el usodel término “proposición”, este uso del término “argumento” es de ca-rácter técnico, lo que constituye una abstracción del significado usualde este término. En este sentido, un argumento será una secuencia deproposiciones. A la última proposición del argumento, la denomina-remos conclusión. Las restantes proposiciones, son las premisas.


Problema 1.4. Represente como argumentos los siguientes razonamientos.

1. Si la bolsa cae, miles de inversores perderían todas sus inversiones. Porello, la bolsa no caerá.

2. Cuando un político se mete en negocios sucios, termina en la cárcel.Ningún político terminó en la cárcel. Así es que ningún político estuvometido en negocios sucios.

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1.4. Consecuencia lógica

Se ha dicho que hasta un perro puede efectuar ciertos razonamientos, porlo cual entendería algo de lógica:

“Según Crisipo, quien, sin embargo tanto denuesta a los ani-males irracionales, también el perro participa de la famosa dia-léctica, pues –afirma– utiliza el quinto de los varios silogismosindemostrables, cuando al llegar a una encrucijada de tres ca-minos, tras haber seguido la pista por los dos caminos que notransitó la presa, de inmediato se dirige decididamente al tercercamino sin detenerse a husmear. Por lo tanto –afirma el antiguo–,el perro razona virtualmente así: “la presa fue por este camino,por ese o por aquel otro. No fue por este ni por ese, luego fue poraquel.” 6

La situación a la que se refiere Sexto podría ser la siguiente. Supongamosque un perro está persiguiendo a una liebre a través del bosque y llega auna bifurcación en un sendero. El perro no ve a la liebre y no sabe quédirección tomó, pero sabe (dado que la maleza a ambos lados del senderoes impenetrable) que fue por la derecha, por el centro, o por la izquierda(primera premisa). El perro olfatea dos de los senderos tratando de sentirel olor. Si no siente el olor, entonces sabe que la liebre no fue por estos dossenderos (segunda premisa). En este caso el perro inmediatamente sale a lacarrera por el sendero que queda, sin detenerse ya a olfatearlo. Dado queel perro sabe, por pura lógica, es decir, sin detenerse ya a olfatearlo, que laliebre se fue por tercer sendero: debe ser así, puesto que debió irse por elprimero o por el segundo, o por el tercero, y no fue por ninguno de aquellosdos, de modo que sólo cabe la alternativa de que se fue por el tercero.

El argumento tendría esta forma:

La presa tomó el sendero de la izquierda o del centro, o el dela derecha.

La presa no tomó el sendero de la izquierda.La presa no tomó el sendero del centro.∴ La presa tomó el sendero de la derecha.

6Sexto Empírico. Hipótesis pirrónicas.

Capítulo 1 14

Se trata de un buen argumento. ¿Pero, qué lo hace bueno? ¿Qué tiene debueno? Podemos decir que dos cosas. Lo primero es que dado que las premisasson verdaderas, no hay posibilidad de que la conclusión no lo sea. Se puedeexpresar esto de diversos modos:

La verdad de las premisas garantiza la verdad de la conclusión.

Es imposible que las premisas sean todas verdaderas y la conclusión nolo sea.

No hay modo de que las premisas sean verdaderas sin que lo sea laconclusión.

A esta propiedad la denominaremos Preservación Necesaria de la Verdad(PNV) y de un argumento que tenga esta propiedad, diremos que preservanecesariamente la verdad (PNV).

Consideremos otro ejemplo.

(1)Todos los collies son perrosSnoopy es un perro.∴ Snoopy es un collie.

¿Podemos imaginar una situación en que las premisas sean verdaderas, peroque la conclusión sea falsa? Sí: supongamos que (como es de hecho) todos loscollies son perros (de modo que la primera premisa es verdadera) y supon-gamos que Snoopy es un beagle (y por ello un perro, o sea que la segundapremisa es verdadera), pero en este caso, la conclusión es falsa. Por lo tanto,el argumento no es un argumento-PNV (un argumento que preserva necesa-riamente la verdad). Consideremos ahora un tercer ejemplo:

(2)Todos los beagles son perros.Snoopy es un Beagle.∴ Snoopy es un perro.

¿Podemos imaginar una situación en la cual las premisas sean verdaderasy la conclusión falsa? Ciertamente no. Suponer que la primera premisa esverdadera, significa suponer que (representando la situación visualmente) lalínea que encierra a todos los beagles, no atraviesa la línea que delimita a

Capítulo 1 15

todos los perros (Figura 1.1). Suponer que la segunda premisa sea verdadera,significa suponer que Snoopy se halla dentro de la línea trazada alrededor detodos los beagles. Pero entonces es imposible que Snoopy se encuentre fuerade la línea trazada alrededor de los perros –es decir que es imposible que laconclusión sea falsa. Por lo tanto el argumento (2) es un argumento-PNV.

PERROS

Beagles

• Snoopy

Figura 1.1: El argumento es válido

Hay algo más respecto al primer argumento, además de que sea PNV.Consideremos la siguiente serie de argumentos:

(3)Snoopy es pequeño y Lassie tiene pelo largo∴ Lassie tiene pelo largo.

(4)La Filosofía es interesante, y la lógica es gratificante.∴ La lógica es gratificante.

(5)Ernesto es hermano de Susana.∴ Susana es hermana de Ernesto.

(6)El vaso que está sobre la mesa tiene agua.∴ El vaso que está sobre la mesa contiene H2O.

Todos estos argumentos son argumentos-PNV, pero consideremos por quécada argumento tiene esta propiedad: qué es lo que en cada caso subyace alhecho de que no puedan ser verdaderas las premisas y la conclusión falsa.

En el caso del argumento (4), es la forma o estructura del argumentoque hace que sea un argumento-PNV. Este argumento tiene una estructuracompleja, está construido a partir de proposiciones que constan a su vez

Capítulo 1 16

de partes. Es justamente el modo particular en que se disponen las partespara formar el argumento –es decir, la forma o estructura del argumento– loque asegura que sea un argumento-PNV. Para que la premisa sea verdadera,deben ocurrir dos cosas: que Snoopy sea pequeño y que Lassie tenga pelolargo. La conclusión afirma que ocurre lo segundo: que Lassie tiene el pelolargo. Está claro, que no hay manera de que la premisa sea verdadera sinque lo sea la conclusión. Podemos verlo sin saber qué sean Snoopy y Lassie(gatos, perros, caricaturas), eso no importa. Inclusive no necesitamos saberqué significa “pequeño” ni “pelo largo”. Podemos ver que, fueran lo que fuesenSnoopy y Lassie, y cualesquiera fuesen las propiedades que les atribuyéramosmediante las expresiones “pequeño” y “pelo largo”, si es verdad que Lassietiene el pelo largo y Snoopy es pequeño, entonces debe ser verdad que Lassietiene el pelo largo.

Lo mismo puede decirse con respecto al argumento (5). No necesitamossaber lo que sea la filosofía y la lógica –o lo que signifique que algo seainteresante o gratificante– para ver que si la premisa es verdadera, entoncesla conclusión debe ser verdadera también. En realidad, está bastante claroque cualquier argumento que tenga la forma siguiente será válido,

p y qq(Aquí las letras p y q representan proposiciones).

No importa qué proposiciones pongamos en lugar de p y de q : podemos ra-zonar como arriba lo hicimos y convencernos de que el argumento es válido.Contrasta con esto el caso de los argumentos (5) y (6). En el caso de (5),para ver que la premisa no puede ser verdadera y la conclusión falsa, necesi-tamos conocer el significado de los términos que aparecen en el argumento.Tenemos que saber –en este caso– que Susana es un nombre de mujer, quelos significados de “hermana” y “hermano” se relacionan de algún modo: siuna persona x es la hermana de una persona de sexo masculino y, entoncesy es hermano de x. Según esto, si reemplazáramos estos términos con otrosde significado diferente, el argumento podría no ser válido. Por ejemplo:

(7)Susana es amiga de Ernesto∴ Susana es tía de Ernesto

Capítulo 1 17

(8)Ernesto es hermano de Alfonso∴Alfonso es hermana de Ernesto

Se aprecia la diferencia con lo que sucedía en el caso del argumento (4),en donde podíamos reemplazar los términos como quisiéramos y el argumen-to que resultaba seguía siendo un argumento-PNV. En el caso de (6), paraver que no puede ser la premisa verdadera y la conclusión falsa, necesitamostener cierto conocimiento científico: necesitamos saber que la composiciónquímica del agua es H2O. De modo que si reemplazáramos el término “agua”por otra sustancia con otras propiedades químicas –o el término “H2O” conel término que corresponda a otro compuesto– entonces el argumento puedeque ya no sea un argumento-PNV. Por ejemplo:

(9)El vaso que está sobre la mesa tiene arena∴ El vaso que está sobre la mesa contiene H2O

(10)El vaso que está sobre la mesa tiene agua.∴ El vaso que está sobre la mesa contiene N2O

Puede verse entonces que algunos argumentos-PNV lo son en virtud de suforma o estructura: simplemente por la manera en que está construido el ar-gumento, no puede suceder que la conclusión sea falsa, siendo verdaderas laspremisas. Otros argumentos-PNV no lo son en virtud de su forma o estruc-tura: el modo en que está construido no garantiza que sea imposible que laspremisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa. Antes bien, que no puedapasar esto depende de otros hechos específicos, ya sea relativos al significadode los términos del argumento (por ejemplo, que “Susana” sea un nombrefemenino) o bien hechos relativos a los objetos con los que estos términos sehallan relacionados en el mundo. O inclusive de ambas cuestiones. Si un ar-gumento es un argumento-PNV en virtud de su forma o estructura, entoncesdecimos que es válido, y decimos que la conclusión es una consecuencia lógicade las premisas. Tenemos entonces dos aspectos de la validez/consecuencialógica:

1. Las premisas no pueden ser verdaderas y la conclusión falsa.

Capítulo 1 18

2. La forma del argumento garantiza que es un argumento-PNV.

De un argumento que no es válido, se dice que es inválido. Un argumentopuede ser inválido porque no es un argumento-PNV o porque, aunque lofuera, este hecho no resulta de la estructura del argumento. Obsérvese que laanterior no es una definición precisa de validez: es sólo el enunciado de unaidea intuitiva fundamental. Uno de los objetivos de la lógica es proporcionarun análisis preciso de la validez o consecuencia lógica. Esta idea directrizque hemos establecido –según la cual validez es poseer la propiedad PNVen virtud de la forma– se puede encontrar, por ejemplo, en la discusión delconcepto de consecuencia lógica introducida por el lógico polaco Alfred Tarskien la década de 1930, en donde se la presenta como la concepción tradicionale intuitiva:

Destaco [...] que el tratamiento del concepto de consecuenciaque he propuesto, no pretende tener ninguna originalidad. Lasideas de las que hace uso, seguramente resultarán muy conocidas[...] Nuestro punto de partida son ciertas consideraciones de tipointuitivo. Consideremos una clase K de oraciones y una oración Xque se sigue de las oraciones de esta clase. Desde un punto de vis-ta intuitivo nunca puede suceder que la clase K conste solamentede oraciones verdaderas y la oración X sea falsa. Así mismo, dadoque aquí nos interesa el concepto de consecuencia lógica, es decir,formal, y por ello nos interesa una relación que sólo está deter-minada por la forma de las oraciones entre las cuales se sostienedicha relación, esta no puede estar influenciada de ningún modopor el conocimiento empírico, y en particular por el conocimientorelativo a los objetos a los cuales refiere la oración X o las ora-ciones de la clase K [...] Las dos circunstancias indicadas parecenser características esenciales del concepto de consecuencia.” 7

En verdad, la idea se remonta a Aristóteles, quien comienza afirmando: “Unadeducción es un discurso en el cual, habiendo establecido ciertas cosas, algo

7Alfred Tarski, “On the concept of logical consequence”. La verdad puede decirse opredicarse de las oraciones de un lenguaje, aunque son las proposiciones expresadas porlas oraciones lo que resulta ser verdadero o falso, como ya vimos. En este sentido elíptico–podría decirse– debe entenderse el texto cuando dice que una oración es verdadera o falsa,eludiendo la referencia explícita a las proposiciones expresadas por ellas.

Capítulo 1 19

diferente se sigue de ellas de forma necesaria por el hecho de que sean lo queson”.8 Esta es la idea de preservar necesariamente la verdad (PNV). Luego,cuando discute los argumentos, Aristóteles presenta primero la forma de unargumento de modo abstracto, usando letras en lugar de los términos paraformar esquemas, por ejemplo:

Todo C es BNingún B es APor lo tanto, ningún C es A.

Deriva entonces argumentos específicos poniendo términos específicos en lu-gar de las letras, por ejemplo:

Todo cisne es blanco.Ninguna cosa blanca es un cuervo.Por lo tanto, ningún cisne es un cuervo.

El razonamiento que pone de manifiesto que el argumento es PNV, se desa-rrolla al nivel de las formas de argumentos (es decir, con las letras A, By C; no con cuervos, cosas blancas y cisnes). Resulta entonces claro que aAristóteles le interesaban aquellos argumentos-PNV en virtud de su forma.

8Primeros Analíticos, -b. 1

Capítulo 1 20

Recordar

Cuando en un argumento no hay modo de que las premisas seanverdaderas sin que lo sea la conclusión, se dice que preservanecesariamente la verdad (o que es un Argumento-PNV).

Algunos argumentos-PNV lo son en virtud de una forma o es-tructura: simplemente por la manera en que está construido elargumento, no puede suceder que la conclusión sea falsa, siendoverdaderas las premisas

Otros argumentos-PNV no lo son en virtud de una forma oestructura: el modo en que está construido no garantiza quesea imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusiónsea falsa.

Si un argumento es un argumento-PNV en virtud de una formao estructura, entonces decimos que es válido, y decimos que laconclusión es una consecuencia lógica de las premisas.

Ejercicios y Problemas:

Problema 1.5. Relea la cita de Tarski y considere si en alguna parte de lamisma se alude a la idea de que un argumento válido debe tener la propiedadPNV y si debe tener esta propiedad en virtud de su forma. Considere siTarski asigna alguna importancia a estas ideas con respecto al concepto deconsecuencia.

Capítulo 2

La lógica de primer orden

2.1. Buenos argumentos y argumentos válidos

En el capítulo anterior hemos considerado varios ejemplos de argumentosy hemos considerado si son válidos. Trabajamos a un nivel intuitivo, viendo sipodemos imaginar situaciones en las cuales las premisas son verdaderas y laconclusión falsa. Este enfoque dista de ser el ideal. Supongamos que alguienafirmara que no puede imaginar una situación en la cual las premisas del ar-gumento (1) sean verdaderas y la conclusión falsa –o que alguien sostuvieraalgo análogo respecto al argumento (5). ¿Qué le responderíamos? ¿Podría-mos mostrarle que está equivocado? Lo que deberíamos tener para eso esun método de prueba exhaustivo para determinar si un argumento dado esválido: un método que estableciera más allá de toda duda si el argumento esválido y que pudiera aplicarse de manera directa y rutinaria sin hacer uso dela intuición o la imaginación. Piense en el modo en que convence a alguienque 1.257+2.874 = 4.131. No necesita recurrir a su imaginación o intuición:simplemente efectúa la suma de manera mecánica hasta llegar al resultado.Este proceso se divide en partes (se ubican los números apropiadamente, sesuman los menores que 10 y se lleva 1 dígito), cada una de estas partes esbastante elemental y rutinaria. Lo que sería bueno tener en el caso de lavalidez es algo similar: un conjunto de reglas simples que se puedan apli-car a un argumento siguiendo un orden determinado y que eventualmentenos lleve al veredicto correcto: válido o inválido. Dicho con más precisión, loque queremos es un procedimiento efectivo para determinar la validez quesiempre proporcione el resultado correcto. Se dice que un procedimiento es

21

Capítulo 2 22

“efectivo” si puede formularse mediante un número finito de instrucciones,que deben aplicarse en un orden establecido, en el cual cada instrucción es(1) mecánica (no requiere de ningún tipo de ingenio o habilidad intelectualpara ser ejecutada –una computadora podría programarse para hacerlo); (2)determinista (no requiere de procesos aleatorios, como por ejemplo, el resul-tado de arrojar una moneda); y (3) termina en un tiempo finito (sólo requierede una cantidad de tiempo finito para ser completada). Como veremos, talesprocedimientos existen para cierto tipo de argumentos.1

Recordemos la cita anterior de Peirce, que termina diciendo “el razona-miento es bueno si es tal que proporciona una conclusión verdadera a partirde premisas verdaderas, y no de otro modo”. La propiedad del razonamientoa la que Peirce alude aquí, es la que denominamos PNV. En ese pasaje, Peirceequipara PNV con buen razonamiento. Esta equiparación parece ser excesi-va –si buen razonamiento se entiende en la forma usual del sentido común.Por ejemplo, supongamos que alguien cree que hay agua en el vaso que estásobre la mesa, pero no concluye que en el vaso hay H2O. Esto no quiere decirnecesariamente que algo funcione mal en su capacidad de razonar: puede tra-tarse de alguien completamente racional, pero que simplemente no sabe quela composición química del agua es H2O. Podríamos criticar a esta personaporque no sabe química básica –pero sólo si suponemos que debe conocerla(porque fue al colegio, por ejemplo) pero en todo caso no podríamos decirque no razonó bien. Por esta razón no podríamos equiparar el buen razona-miento con PNV simpliciter. ¿Podríamos equipararlo con la validez (es decir,PNV en virtud de la forma)? Esta idea parece plausible a primera vista. Porejemplo, si alguien cree que Alfonso está aburrido y Sebastián está dormido,pero no cree que Sebastián esté dormido, entonces ciertamente parece quealgo está mal con respecto a su capacidad de razonar. Sin embargo, inclu-sive la tesis que el razonamiento es bueno si y sólo si es válido (opuesta ala que sólo toma en cuenta PNV),también asumiría una posición demasiadoexigente. Un argumento bien puede ser válido sin ser un buen argumento (enun sentido intuitivo). En el otro sentido, muchos buenos razonamientos (enun sentido intuitivo) no son válidos, dado que la verdad de las premisas no

1La mecanización del razonamiento tuvo un largo desarrollo en la historia de la filosofía.Un importante precedente es el Ars Magna de Ramón Llul (1232-1315), cuyo objetivo erademostrar, con esta máquina, la veracidad de las doctrinas cristianas, trabajo que fuecontinuado en el siglo XVI por Giordano Bruno , y por Leibniz en el XVII que perfeccionóla máquina en su obra De Ars Combinatoria. Estos intentos alcanzan su punto culminanteen la obra de Gödel y Turing, en la primera mitad del siglo pasado.

Capítulo 2 23

garantiza la verdad de la conclusión, sino que solo la hace muy probable.Los razonamientos cuya validez es un requisito previo para considerarlos

buenos, se denominan usualmente razonamientos deductivos. Tipos impor-tantes de razonamientos no deductivos son los razonamientos inductivos –enlos cuales se extrae una conclusión sobre eventos futuros basándose en ob-servaciones anteriores (por ejemplo, hemos visto la salida del sol todos losdías por mucho tiempo, por lo tanto también saldrá mañana), o se obtienenconclusiones generales basándose en observaciones de instancias específicas(por ejemplo, todo trozo de sal que pusimos en el agua se disolvió, por lotanto la sal es soluble)– y los razonamientos abductivos –también conocidoscomo “inferencia a la mejor explicación”– en los cuales se razona a partir delos datos obtenidos hacia la mejor explicación disponible para estos datos(por ejemplo, se concluye que lo hizo el mayordomo, porque esta hipótesisencaja mejor con las pistas). Así como la validez es un criterio para calificarun argumento deductivo como bueno, el criterio análogo para el caso de losargumentos no deductivos recibe a veces la denominación de fuerza induc-tiva: un argumento es inductivamente fuerte en caso de que sea improbable–lo que se opone a imposible, en el caso de la validez- que sus premisas seanverdaderas y su conclusión falsa.

Como se puede apreciar la relación entre validez y buenos razonamientoses bastante compleja. No nos ocuparemos de ella aquí con más detalle, dadoque nuestro asunto es la lógica, y hemos optado por considerar más bien a lalógica como la ciencia de la verdad, y no como la ciencia del razonamiento. Sinembargo, hay algo que sí parece ser cierto: si nos interesa el razonamiento –yla clasificación de los razonamientos en buenos o malos– entonces siempre seráimportante la pregunta sobre la validez del razonamiento. Esto es verdad sintomar en cuenta qué razonamiento estemos considerando, ya sea deductivo oinductivo. La respuesta a la pregunta ¿es válido el razonamiento? no cerrarádel todo el problema sobre si el razonamiento es bueno –pero nunca careceráde relevancia para esta cuestión. Por lo tanto, si vamos a aplicar la lógica–las leyes de la verdad– al estudio del razonamiento, resultará útil poderdeterminar respecto a cualquier argumento –sin importar el asunto de quetrate– si este es válido.

De este modo, cuando se trata de la validez, tenemos dos objetivos ala vista: Uno es encontrar un análisis preciso de la misma. (Hasta ahoracontamos con una idea imprecisa, que nos puede servir de guía, sobre lo quees la validez: la hemos sintetizado como PNV garantizada por la forma. Como

Capítulo 2 24

ya vimos esto no equivale a contar con un análisis preciso). El otro objetivoes encontrar un método para evaluar la validez de los argumentos que reúnalos requisitos de ser:

1. Infalible: puede seguirse de manera directa, rutinaria, sin recurrir a laintuición o la imaginación –y siempre nos da la respuesta correcta–;

2. general: puede aplicarse a cualquier argumento.

Nótese que existe una íntima conexión entre el rol que tiene la noción de formaen la definición de validez (un argumento es válido si es PNV en virtud de suforma) y el objetivo de encontrar un método mecánico para evaluar la validez,que pueda aplicarse a todo argumento, sin importar de qué asunto trate enparticular. Es precisamente el hecho de que la validez pueda evaluarse en basea la forma, haciendo abstracción del contenido específico de las proposicionesde que consta el argumento (es decir, del modo en que las proposiciones queforman el argumento representan el mundo), lo que hace posible que esteobjetivo esté a nuestro alcance.

Recordar

Cuando se trata de la validez, tenemos dos objetivos a la vista:

Uno es encontrar un análisis preciso de la misma.

El otro objetivo es encontrar un método para evaluar la validezde los argumentos.

Ejercicios y Problemas:

Problema 2.1. Considere cuáles argumentos son válidos y cuáles no.

(1)Todos los perros son mamíferos.Todos los mamíferos son animales.∴ Todos los perros son animales

(2)Todos los perros son mamíferos.Todos los perros son animales∴ Todos los mamíferos son animales.

Capítulo 2 25

(3)Todos los perros son mamíferos.Ningún pez es mamífero.∴ Ningún pez es un perro.

(4)Todos los peces son mamíferos.Todos los mamíferos son robots.∴ Todos los peces son robots.

2.2. Solidez

Considere el argumento (4) del ejercicio anterior. Este argumento es vá-lido, pero hay algo incorrecto en este argumento: no establece la verdad dela conclusión, dado que las premisas no son verdaderas. Tiene la propiedadde que si las premisas fuesen verdaderas, entonces la conclusión debería serlo–es decir, es PNV– pero las premisas no son de hecho verdaderas, y por elloel argumento no establece la verdad de la conclusión.

Decimos que un argumento es sólido si es válido y además tiene premisasque son de hecho verdaderas:

Sólido = Válido + Premisas Verdaderas

Un argumento válido puede tener cualquier combinación de premisas y con-clusiones verdaderas y falsas, excepto premisas verdaderas y conclusión falsa.Un argumento sólido tiene premisas verdaderas y por lo tanto –porque esválido- una conclusión verdadera.

La lógica tiene poco que decir respecto a la solidez de los argumentos -porque tiene poco que decir sobre la verdad o falsedad de las proposiciones enla realidad. A la lógica, como hemos dicho, le interesan las leyes de la verdad–y las leyes generales de la verdad son muy diferentes de las verdades sobrehechos particulares, es decir, de los hechos respecto a los cuales las propo-siciones son realmente verdaderas o falsas. Hay innumerables proposicionesrelativas a diferentes cosas. No esperaríamos que ninguna ciencia nos diga decada una si es verdadera o falsa. Está en la naturaleza de la ciencia, no el serun catálogo de cuestiones de hecho sino buscar generalizaciones o estructurasque ofrezcan algún interés. Especialmente, buscar leyes. Consideremos el casode la Física, que en parte se ocupa del movimiento. Los físicos buscaron las

Capítulo 2 26

leyes generales que rigen el movimiento, no trataron de establecer todos loshechos particulares relativos a lo que se mueve, cómo, cuándo, dónde y a quévelocidad. Por supuesto, dadas las leyes generales del movimiento y algunoshechos particulares, se pueden deducir otros hechos sobre el movimiento deun objeto.

Lo mismo pasa en la lógica. Dadas las leyes generales de la verdad yalgunos hechos particulares (por ejemplo que una proposición es verdaderay otra falsa) se pueden deducir otros hechos (que una tercera proposiciónes verdadera). Pero así como no es asunto de la física establecer dónde estácada cosa en cada momento y cuán rápido se mueve, así tampoco es tareade la lógica decirnos de cada proposición si es verdadera o falsa. Por ello, lascuestiones que tienen que ver con la solidez, que requieren el conocimientoacerca de la verdad de las premisas, se hallan fuera del alcance de la lógica.

Del mismo modo, en lógica no interesa si sabemos que las premisas deun argumento son verdaderas. Podemos encontrarnos con un argumento queincluya la premisa “la mayor distancia recorrida por un peatón en el centrode Córdoba el 1 de diciembre de 2002 fue de 4 km”. El argumento puedeser sólido, no obstante no sería un argumento convincente para establecer suconclusión, ya que nunca sabríamos si todas sus premisas son verdaderas.

De modo que hace falta algo más que la validez para que un argumentodeductivo sea convincente. Un argumento realmente convincente será no sóloválido sino también sólido, y además deberíamos poder saber si las premisasson verdaderas. Muchos se han quejado de que la lógica –que nos habla sólode la validez– no nos proporciona una explicación completa de los buenosrazonamientos. Esto es cierto, pero la queja sólo tiene sentido si considera-mos a la lógica como la ciencia del razonamiento. Desde otra perspectiva, nohay un problema aquí: no es del todo acertado considerar a la lógica comola ciencia del razonamiento; ante el problema, es mejor considerarla como laciencia de la verdad. La lógica tiene aplicaciones importantes relacionadascon el razonamiento –más que todo en lo que tiene que ver con la validez.Sin embargo no alcanza con la validez para dar cuenta de los buenos razo-namientos (los argumentos válidos no son siempre buenos y los argumentosbuenos no son siempre válidos) y por ello, se puede decir mucho más sobreel razonamiento de lo que se puede deducir de las leyes de la verdad.

Capítulo 2 27

Recordar

La lógica tiene poco que decir respecto a la solidez de los argu-mentos -porque tiene poco que decir sobre la verdad o falsedadde las proposiciones en la realidad.

La Lógica se interesa por las leyes de la verdad –y las leyesgenerales de la verdad son muy diferentes de las verdades sobrehechos particulares.


Problema 2.2.

1. Establezca cuáles argumentos del ejercicio anterior son sólidos.

2. Indique un argumento en el ejercicio anterior que tenga todas las pre-misas verdaderas y conclusión verdadera, pero que no es válido y porlo tanto no es sólido.

3. Indique un argumento en el ejercicio anterior que tenga premisas yconclusión falsas, pero que sea válido.

2.3. Lenguajes de primer orden

Consideremos ahora el siguiente razonamiento:

(11) Todo caballo es un animal, por lo tanto la cabeza de uncaballo es la cabeza de un animal.

Se trata de un razonamiento en apariencia simple, directo y todo hace pen-sar que encierra un argumento válido. Su forma se parece a la de algunosargumentos de los ejercicios anteriores. No obstante, este argumento se re-siste más a exhibir su validez. El nexo lógico por el cual siendo la premisaverdadera, la conclusión no podría dejar de serlo, debe buscarse con másperspicacia. Es que el argumento esconde en su estructura una relación entreobjetos, que a primera vista no parece obvia. Si intentamos representarlo dela forma del argumento (2) del capítulo anterior, sentimos que no logramosencontrar el diagramaa que muestre su validez. No sabríamos bien cómo re-presentarlo para ver esto. Sin embargo, el argumento parece similar también

Capítulo 2 28

al argumento (5) del primer capítulo. Podría verse como una combinación en-tre los dos. Podríamos formularlo a través de un argumento como el siguiente:

(12)Todo caballo es un animal.Todo objeto que tiene una relación R con un caballo, tiene esa relaciónR con un animal.La cabeza de un caballo tiene la relación “ser_cabeza_de” con uncaballo.Por lo tanto, la cabeza de un caballo tiene la relación“ser_cabeza_de” con un animal.

De hecho, la segunda premisa no se halla para nada explícita en (11).Pero, sin duda, de su aceptación depende la validez del argumento.

Recién a comienzos del siglo pasado, la lógica alcanzó a formular unateoría general que pudo dar cuenta de la validez intuitiva de este tipo deargumentos. Fue a través del desarrollo y estudio sistemático de los llamadosLenguajes de Primer Orden (LPO) y de su lógica, que esto fue posible. Loslenguajes de primer orden permitieron no sólo abarcar la lógica de los argu-mentos que involucran objetos y propiedades, sino también los argumentoscuya validez dependía de las relaciones entre esos objetos, como en el casode (12). A lo largo de este curso, veremos con más detenimiento los aspectosfundamentales de este lenguaje y los métodos formales que permiten estudiarlos argumentos válidos que se pueden expresar en el mismo.

Recordar

El desarrollo de los Lenguajes de Primer Orden (LPO) permitió abar-car la lógica de los argumentos que involucran objetos y propiedades,así como de aquellos cuya validez depende de las relaciones entre esosobjetos.


Problema 2.3.

1. Considere el siguiente razonamiento de manera semejante al análisisque hicimos en (12): Todo filósofo es un pensador. Por lo tanto, la obrade un filósofo es la obra de un pensador.

Capítulo 2 29

2. Considere si puede darse un análisis similar para el argumento (7) delpunto 1.4 del cap 1.

2.4. El rol especial de la lógica en la indagaciónracional

Después de haber visto –desde cierta perspectiva– en qué consiste la ló-gica, consideremos ahora brevemente cuáles pueden ser las razones para es-tudiarla. En particular por qué estudiar el lenguaje de primer orden. Si nospreguntamos qué tienen en común los campos de la astronomía, la economía,el derecho, la matemática, la física y la sociología, podríamos responder queno mucho en cuanto al tema. Y quizás menos en cuanto a metodología. Por loque vimos antes, la lógica nos indica una respuesta a esta pregunta. Algunavez Bertrand Russell dijo que “la lógica trata del mundo real, lo mismo quela zoología, aunque de sus rasgos más abstractos y generales”.2 Otra formade considerar la cuestión es sostener que lo que tienen en común, todas es-tas disciplinas es su dependencia de un cierto estándar de racionalidad. Encada uno de estos campos se asume que quienes participan en ellos puedendiferenciar entre la argumentación racional basada en principios aceptadosy especulaciones salvajes o absolutos nonsequiturs. En otras palabras, estoscampos presuponen todos ellos una aceptación tácita de los principios bá-sicos de la lógica. En cuanto a eso, toda indagación racional depende de lalógica, de la capacidad de las personas para razonar correctamente la mayorparte del tiempo. Así como de su confianza en la capacidad de otros paraseñalar las lagunas en sus razonamientos, cuando se equivocan. Mientras lagente puede disentir en gran cantidad de cosas, parece que puede ponerse deacuerdo respecto de lo que constituye una conclusión legítima a partir de pre-misas dadas. La aceptación de estos principios de racionalidad compartidoses lo que diferencia a la indagación racional de otros ámbitos de la actividadhumana. ¿Cuáles son entonces los principios de racionalidad que subyacena esas disciplinas? ¿Cuáles son los medios por los que podemos distinguirargumentación válida de argumentación inválida? Más básicamente, ¿qué eslo que hace que una información se siga de premisas aceptadas, mientras otrainformación, no? Como venimos viendo, se han explorado muchas respuestasa estas preguntas. Una sugerencia que aún conserva adherentes es que las

2Bertand Russell, Introducción a la Filosofía Matemática.

Capítulo 2 30

leyes de la lógica son una cuestión de convención. Si esto es así, presumible-mente podríamos decidir cambiar las convenciones, y adoptar así diferentesprincipios de lógica, de la misma manera en que decidimos en qué carril de laruta tenemos que conducir los automóviles. Pero hay una acendrada intuiciónde que las leyes de la lógica son más irrefutables que las leyes que rigen unpaís, incluso que las leyes de la física.

La importancia de la lógica ha sido reconocida desde la antigüedad. Des-pués de todo, ninguna ciencia puede tener una certeza mayor que el másdébil de sus eslabones. Si hay algo arbitrario acerca de lo lógica, entonces lomismo debe ocurrir con toda la indagación racional. Por eso se vuelve crucialentender qué son las leyes de la lógica (las leyes de la verdad) y aún másimportante, por qué son estas sus leyes. Éstas son las preguntas que uno sehace cuando estudia la lógica misma. Estudiar lógica es usar los métodosde indagación racional en la racionalidad misma. Durante el siglo XIX elestudio de la lógica desarrolló avances rápidos e importantes. Espoleada porproblemas lógicos en la más deductiva de las disciplinas, la matemática, sedesarrolló como disciplina por propio derecho, con sus conceptos, métodos,técnicas y lenguaje propios. La Enciclopedia Británica, al dividir el conoci-miento, nombra a la lógica como una de las siete ramas del conocimiento.Más recientemente, el estudio de la lógica ha jugado un rol destacado enel desarrollo de las modernas computadoras y lenguajes de programación.Como ya señalamos, la lógica tiene un rol importante en las ciencias de lacomputación; en verdad, se ha dicho que la ciencia de la computación eslógica más electrónica.

Este texto pretende introducirlo en algunos de los más importantes con-ceptos y herramientas de la lógica moderna. El principal objetivo es propor-cionar respuestas detalladas y sistemáticas a las preguntas que se plantearonarriba. Procuraremos que comprenda de qué manera las leyes de la lógica(las leyes de la verdad) se siguen inevitablemente de los significados queasociamos con el lenguaje que usamos para hacer afirmaciones. Las conven-ciones son cruciales para establecer el significado de un lenguaje, no obstante,una vez que se ha establecido el significado, las leyes de la lógica se sigueninevitablemente. De modo más particular, el texto se propone dos objetivosprincipales. El primero es ayudarlo a aprender el lenguaje de la lógica deprimer orden. El segundo objetivo es ayudarlo a aprender algo acerca de lanoción de consecuencia lógica, y acerca de cómo se determina si alguna pro-posición es, o no, una consecuencia lógica de otras premisas aceptadas. Ya

Capítulo 2 31

que hay mucho más en lógica de lo que se puede referir en este texto, o de loque una persona puede aprender en toda su vida, se trata al menos de cubrirestas cuestiones más básicas.

2.5. ¿Por qué aprender un lenguaje artificial?

El lenguaje LPO que acabamos de mencionar es muy importante. Co-mo el latín, este no es un lenguaje hablado, pero, a diferencia del latín, esutilizado cotidianamente por matemáticos, filósofos, científicos de la compu-tación, lingüistas y quienes actualmente trabajan en inteligencia artificial.En verdad, en cierto sentido es la “lingua franca” de los ciencias simbólicas.Este lenguaje recibió varios nombres: cálculo inferior de predicados, cálculofuncional, lenguaje de la lógica de primer orden, y LPO. Usaremos este últi-mo. Ciertos elementos de LPO se remontan a Aristóteles, pero el lenguaje, talcomo hoy se conoce, surgió en siglo pasado. Los nombres eminentemente aso-ciados con su desarrollo son los de Gottlob Frege, Giuseppe Peano y CharlesSanders Peirce. A finales del siglo XIX estos tres lógicos, independientemen-te, ofrecieron los elementos más importantes del lenguaje, conocidos como“cuantificadores”. Desde entonces ha habido un proceso de estandarización ysimplificación que terminó en el lenguaje en su forma actual. Aun así, sub-sisten ciertos dialectos de LPO, que difieren principalmente en la elección delos símbolos para las conectivas y los cuantificadores. Usaremos el dialectomás común en matemáticas.

LPO se usa de maneras diferentes en campos diferentes. En matemáticas,se usa muchísimo de manera informal. Las distintas conectivas y los cuantifi-cadores se emplean en gran parte del discurso matemático, formal e informal,así como en las exposiciones en clase. Seguramente encontrará elementosdeLPO entremezclados con el español o con la lengua nativa del matemático.A menudo un estudiante de cálculo encuentra fórmulas como:

∀ε > 0∃δ > 0...

Aquí las letras extrañas, invertidas, están tomadas directamente del len-guaje LPO y representan cuantificadores.

En filosofía, LPO y algunas de sus presentaciones enriquecidas se usande dos maneras diferentes. Como en matemáticas, la notación de LPO seusa cuando se busca claridad, rigor y evitar la ambigüedad. Pero también

Capítulo 2 32

para expresar con precisión y rigor nociones informales (como gramaticalidad,significado, verdad y demostración). Los usos en lingüística surgen de esteúltimo caso, ya que la lingüística se ocupa en gran medida de la comprensiónde algunas de esas mismas nociones informales.

En inteligencia artificial, LPO se usa también de dos maneras. Algunosinvestigadores aprovechan la estructura simple de los enunciados en LPO pa-ra codificar el conocimiento a fin de que lo almacene y use una computadora.Modelizan el pensamiento a través de una manipulación simbólica, que sevale de oraciones de LPO. Otra utilización consiste en un lenguaje de repre-sentación preciso, para establecer axiomas y demostrar resultados acerca desimulaciones con robots.

En la ciencia de la computación, LPO ha tenido un efecto aún más profun-do. La idea misma de un lenguaje artificial que sea preciso y suficientementerico para programar computadoras, fue inspirada por LPO. Además, todoslos lenguajes de programación subsistentes toman prestadas algunas nocionesde uno u otro dialecto de LPO. Finalmente, están los así llamados lengua-jes de programación lógica, como Prolog, cuyos programas son secuencias deoraciones de un determinado dialecto de LPO.

LPO sirve como ejemplo prototípico de lo que se conoce como un lenguajeartificial. Estos lenguajes fueron diseñados para propósitos especiales, y seoponen a los así llamados lenguajes naturales, lenguajes como el español y elgriego, que la gente habla actualmente. El diseño de lenguajes artificiales enlas ciencias simbólicas es una actividad importante, que se basa en el éxitode LPO y sus descendientes.

Aún si alguien no continúa con el estudio de la lógica u otra disciplinasimbólica, el estudio de LPO puede serle beneficioso. Por eso se lo enseñatanto. Por una parte aprender LPO constituye una manera fácil de desmiti-ficar el trabajo formal. Pero, más importante aún, le enseñará mucho acercade su propio lenguaje y de las leyes de la lógica que este sostiene. Primero,aunque es muy simple, LPO incorpora en forma transparente, algunos delos rasgos más importantes de los lenguajes humanos. Esto ayuda a hacermucho más transparentes aun tales rasgos. Uno de los más destacados esla relación entre el lenguaje y el mundo. Pero, segundo, cuando intentemostraducir oraciones españolas a LPO apreciaremos la gran sutileza que resideen el español, sutileza que no puede ser capturada por LPO o lenguajes si-milares, por lo menos hasta ahora. Finalmente, tomaremos conciencia de laenorme ambigüedad presente en casi toda oración española, ambigüedad que

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no impide, de algún modo, que nos entendamos unos a otros en la mayoríade las situaciones.

Nos habíamos preguntado antes qué hace que una afirmación se siga deotras: ¿convención, o alguna otra cosa? Una parte significativa de este textose ocupa de dar una respuesta a esta pregunta para LPO. Pero puede darseaquí una respuesta breve. Como ya vimos, la lógica moderna nos enseña queuna afirmación es una consecuencia lógica de otra si no hay manera de queesta última sea verdadera sin que lo sea también la primera. Ésta es la nociónde consecuencia lógica implícita en toda indagación racional. Todas las dis-ciplinas racionales presuponen implícitamente que esta noción tiene sentido,y que podemos usarla para extraer consecuencias de lo que sabemos que esde tal y cual modo, o que creemos que es de tal y cual modo. También se usapara refutar una teoría. Pues si una afirmación S es una consecuencia lógi-ca de la teoría, y descubrimos que S es falsa, entonces sabemos que la teoríamisma debe ser falsa. Uno de los propósitos este texto, es el de examinar estanoción de consecuencia lógica tal como se aplica específicamente al lenguajeLPO. A tal fin, veremos diversos métodos de demostración –cómo podemosdemostrar que un enunciado de LPO es una consecuencia lógica de otro– ytambién métodos para mostrar que una proposición no es una consecuencialógica de otras proposiciones.

Recordar

Aunque es muy simple, LPO incorpora en forma transparente, algu-nos de los rasgos más importantes de los lenguajes humanos. Uno delos más destacados es la relación entre el lenguaje y el mundo. Asímismo, cuando intentemos traducir oraciones españolas a LPO apre-ciamos la gran sutileza que reside en el español, y que no puede sercapturada por LPO o lenguajes similares.


Problema 2.4. Un argumento algo desopilante.

Bertand Russell fue uno de los más influyentes lógicos y filósofos del siglopasado. Su fama se debe a sus numerosas contribuciones, ensayos, libros, ysu monumental obra con Alfred North Witehead, Principia Mathematica. La

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historia cuenta que Russell estaba cenando con un grupo de gente y discu-tiendo los principios de la lógica. Explicaba que a partir de una proposicióncontradictoria se podía demostrar cualquier cosa. Uno de los comensales pen-só que eso era extravagante y puso la idea en tela de juicio, aunque dijo quese convencería si Russell tomaba la proposición 0=1 y a partir de ella demos-traba que él, Russell, era el Papa. Russell pensó un momento y entonces dijo:“Si 0=1, entonces sumando 1 a cada lado de esta igualdad tenemos que 1=2.El Papa y yo somos 2, por lo tanto, el Papa y yo somos 1.” ¿Será posiblereconstruir el argumento de Russell?

Capítulo 3

Elementos de LPO

Los lenguajes de primer orden pueden emplearse para referirse a domi-nios de objetos diferentes pero comparten una gramática y sobre todo ciertosítems importantes de su vocabulario conocidos como conectivas y cuantifica-dores. Se diferencian entonces en los nombres y predicados que utilizan, quecorresponden a los nombres de los objetos en el dominio de referencia, comoPedro, Juan, María si el lenguaje se refiere a personas o tal vez Cosa1, Cosa2si se refiere a objetos de determinación un tanto más imprecisa. Los predi-cados que a dichos nombres pueden aplicarse pueden ser también diversoscomo quiere en Pedro quiere a Juan o llora en María llora o cubo en Cosa1es un cubo. Que puedan diferir estos lenguajes en el vocabulario específicousado para formar sus oraciones más básicas, las oraciones atómicas, permiteque se formen distintas oraciones complejas utilizando las mismas operacio-nes lógicas. Un lenguaje de primer orden es un tipo de lenguaje formal. Enoposición a los lenguajes llamados naturales que son productos sociales, his-tóricos, estos lenguajes son artificiales y como tales son construidos sobreelementos bien definidos de manera rigurosa y explícita.

Estos lenguajes son construidos principalmente por comodidad, pues elproceso de formalización, aquel que consiste en escribir mediante símbolosespeciales las expresiones con las que queremos trabajar, tiene por finalidadasistir nuestro trabajo, haciéndolo más riguroso o transparente, pero no dejade ser un recurso.

Una vez que tenemos una idea del dominio sobre el que versará nuestrateoría (de que cosas queremos hablar) hay ciertas reglas de cómo construirnuestro lenguaje, llamadas reglas de formación. Estas reglas nos dicen exac-

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tamente cómo combinar determinados elementos del vocabulario con otros afin de construir expresiones más complejas, como es el caso de la regla quenos decía que de la combinación de un nombre y un predicado se obtiene unaoración.

Las oraciones atómicas corresponden a las oraciones más simples del espa-ñol, oraciones que consisten de algunos nombres conectados por un predicado.

Imaginemos un tablero cuadriculado en el que es posible disponer cuerposgeométricos: cubos, tetraedros y dodecaedros. Para poder describir algunascosas simples en ese tablero podemos construir un lenguaje formal, al quellamaremos leguaje de bloques, para hablar de esos objetos. Para la construc-ción de nuestro lenguaje reservaremos las primeras letras del abecedario enminúscula para usarlas como nombre de los objetos que se coloquen en dichotablero (en el caso que queramos darles un nombre, algo que no es nece-sario hacer pues podemos tener objetos sin nombres). Para los predicadospodemos utilizar otro conjunto de letras (generalmente los autores que hacenesto reservan para este fin letras mayúsculas) pero en este curso optaremosen general por utilizar palabras como predicados. Estas palabras serán to-madas al menos parcialmente de las correspondientes palabras en español loque servirá para fijar su interpretación. Así y tal como ya se ilustró, usare-mos entonces la palabra Cubo para el predicado que expresa la propiedad deser un cubo, Tet para tetraedro y Dodec para dodecaedro. Podemos cons-truir con ellos las expresiones que afirman por ejemplo que el objeto a es uncubo: Cubo(a). Para los predicados, el lenguaje de bloques usa Tet, Cubo,Dodec, Chico, Median, Grand, MenorQu, MayorQ, IzqdDe, DerecDe, DetrDe,DelanDe y EsEntre. Algunos ejemplos de oraciones atómicas en este lenguajeson Cubo(b), MayorQ(c, f) y EsEntre(b, c, d). Estas oraciones dicen, respec-tivamente, que b es un cubo, que c es mayor que f y que b está entre c yd. Posteriormente en este capítulo, veremos oraciones atómicas usadas enotras versiones de LPO, como el lenguaje de primer orden de la aritmética,y en el próximo capítulo comenzamos nuestra discusión de las conectivas ycuantificadores comunes a todos los lenguajes de primer orden.

3.1. Constantes individuales

Las constantes individuales son simplemente símbolos que se usan parareferir a algún objeto individual fijo. Son análogas en el lenguaje formal de losnombres en español y en nuestros lenguajes nos limitaremos a los nombres

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propios. Por ejemplo, podríamos usar Max como una constante individualpara denotar una persona particular, o 1 como una constante individual paradenotar un número particular. En ambos casos, funcionan exactamente comolos nombres funcionan en español.

La principal diferencia entre los nombres en español y las constantes in-dividuales en LPO es que se exige que las constantes individuales haganreferencia exactamente a un objeto particular. Obviamente, el nombre Maxen español puede ser usado para hacer referencia a personas diferentes, y po-dría ser usado dos veces en una oración para hacer referencia a dos personasdiferentes. Tal conducta aviesa es desaprobada en LPO.

Hay también nombres en español que tampoco hacen referencia a nin-gún objeto existente. Por ejemplo Pegaso, Zeus y Santa Claus son nombresperfectamente claros en español, sólo que no refieren a algo o a alguien. Nopermitimos tales nombres en LPO.1 Lo que permitimos, no obstante, es queun objeto tenga más que un nombre, por ejemplo los nombres Matías y Matipodrían hacer referencia al mismo objeto individual. También permitimosobjetos sin nombres, objetos que no tienen ningún nombre.

RecordarEn LPO,Todo nombre debe nombrar un objeto.Ningún nombre puede nombrar más que un objeto.Un objeto puede tener más de un nombre, o ningún nombre.

3.2. Símbolos de Predicado

Los símbolos de predicado son símbolos usados para denotar alguna pro-piedad de objetos o alguna relación entre objetos. Como en español, sonexpresiones que combinadas con nombres forman oraciones atómicas. Perono corresponden exactamente a los predicados de la gramática española.

Consideremos en español la oración Max gusta de Clara. En la gramáticaespañola se analiza esto como una oración sujeto-predicado. Consiste del

1Hay, sin embargo, una variante de la lógica de primer orden llamada lógica libre (freelogic) en la que esta suposición es dejada de lado. En la lógica libre, puede haber constantesindividuales sin referentes. Esto produce un lenguaje más apropiado para la mitología yla ficción.

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sujeto Max seguido por el predicado gusta de Clara. En el lenguaje de primerorden, por contraste, vemos a esto como una afirmación que involucra dossujetos lógicos, los nombres Max y Clara, y un predicado, gusta de, queexpresa una relación entre los referentes de los nombres. De este modo lasoraciones del lenguaje de primer orden tienen a veces dos o más sujetoslógicos, y el predicado es, por así decirlo, lo demás. Los sujetos lógicos sonllamados los “argumentos” del predicado. En este caso, el predicado se diceque es binario, puesto que toma dos argumentos.

En LPO, cada predicado tiene un número fijo de argumentos, una aridadfija. La aridad es un número que indica cuántas constantes individuales ne-cesita el símbolo de predicado para formar una oración. El término “aridad”deriva del hecho de que los predicados que toman un argumento son llamadosunarios, los que toman dos binarios, así sucesivamente.

Si la aridad de un símbolo de predicado es 1, entonces ese predicado seutilizará para denotar alguna propiedad de objetos, y requerirá por consi-guiente exactamente un argumento (un nombre) para hacer una afirmación.Por ejemplo, podríamos usar el símbolo de predicado unario EnCasa paradenotar la propiedad de estar en casa. Podríamos posteriormente combinaresto con el nombre Max para lograr la expresión EnCasa(Max), que expresala afirmación que Max está en su casa. Si la aridad de un predicado es 2,entonces será usado para representar una relación entre dos objetos. De es-te modo, podríamos usar la expresión IzqdDe(Clara, Max) para expresar unaafirmación acerca de Max y Clara, por ejemplo la afirmación de que Claraestá a la izquierda de Max. En LPO, podemos tener símbolos de predicadocon cualquier aridad. En el lenguaje de bloques nos limitaremos a predicadoscon aridades 1, 2 y 3. Listamos abajo los predicados de este lenguaje con suaridad:

Lenguaje de bloques

Aridad 1: Cubo, Tet, Dodec, Chico, Median, Grand.

Aridad 2: MenorQu, MayorQ, IzqdDe, DerecDe, DetrDe, DelanDe,MismoTam.

Aridad 3: EsEntre.

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Asignamos a cada uno de estos predicados una interpretación fija, quecorresponde, de manera razonablemente consistente, a una frase verbal delespañol. Por ejemplo, Cubo corresponde a es un cubo. DetrDe corresponde aestá detrás de, y así sucesivamente. Podemos adiestrarnos en su uso traba-jando en el primer conjunto de ejercicios dados abajo.

En español, los predicados son algunas veces vagos. No es siempre claro siun individuo tiene o no la propiedad en cuestión. Por ejemplo, Clara, quientiene seis años, es joven. No será joven cuando tenga 96. Pero no hay unaedad determinada en la que la persona deja de ser joven: este tipo de cosas esgradual. En LPO, sin embargo, asumimos que todo predicado es interpretadopor una propiedad o relación determinada. Por una propiedad determinada,significamos una propiedad para la cual, dado cualquier objeto, hay un mododefinido de saber si el objeto dado tiene o no la propiedad.

RecordarEn LPO,Todo símbolo de predicado viene con una “aridad” única fija, un nú-mero que le dice cuántos nombres necesita para formar una oraciónatómica.Todo predicado es interpretado por una propiedad o relación deter-minadas de la misma aridad que el predicado.

3.3. Oraciones atómicas

En LPO, las clases más simples de afirmaciones son las que son realizadascon un predicado único y el número apropiado de constantes individuales.Una oración formada por un predicado seguido por el número correcto denombres es llamada una oración atómica. Por ejemplo MasAlt(Clara, Max)y Cubo(a) son oraciones atómicas, siempre que los nombres y símbolos depredicados en cuestión sean parte del vocabulario de nuestro lenguaje.

Con estos predicados usamos una notación llamada “prefija”: el predicadoprecede a los argumentos. El orden de los nombres en una oración atómica esimportante. Así como Clara es más alta que Max significa algo diferente deMax es más alto que Clara, también MasAlt(Clara, Max) tiene un significadodiferente que MasAlt(Max, Clara). Así IzqdDe(b, c) significa más o menos lo

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mismo que la oración en español b está a la izquierda de c, y EsEntre(b, c, d)significa a grandes rasgos lo mismo que en español b está entre c y d.

Predicados y nombres refieren respectivamente a propiedades y objetos.Lo que hace especiales a las oraciones es que hacen afirmaciones (o expresanproposiciones). Una afirmación es algo que es verdadero o falso, a lo quesea de uno de estos dos casos, lo denominamos su valor de verdad. En estesentido, si MasAlt(Clara, Max) expresa una afirmación cuyo valor de verdad esVERDADERO, MasAlt(Max, Clara) expresa una afirmación cuyo valor deverdad es FALSO. Dada nuestra suposición de que los predicados expresanpropiedades determinadas y que los nombres denotan individuos definidos,se sigue que cada oración atómica de LPO debe expresar una afirmación quees verdadera o falsa. Esto es, una proposición.

RecordarEn LPO,Las oraciones atómicas se forman colocando un predicado de aridadn al frente de n nombres (encerrados entre paréntesis y separados porcomas)El orden de los nombres es relevante cuando se forman oracionesatómicas.


Problema 3.1 (Construcción de mundos) Construya un mundo en el quetodas las proposiciones sean simultáneamente verdaderas.

1. Tet(a)

2. Median(a)

3. Dodec(b)

4. Cubo(c)

5. DelanDe(a, b)

6. EsEntre(a, b, c)

7. MayorQ(a, b)

8. MenorQu(a, c)

Capítulo 3 41

9. lzqdDe(b, c)

Problema 3.2 (Traduciendo a oraciones atómicas) A partir de estas oracio-nes en español realice una lista de oraciones en el lenguaje de bloques querepresenten lo que cada una afirma y construya un mundo en el que todaslas proposiciones correspondientes sean verdaderas.

1. a es un cubo.

2. b es menor que a.

3. c está entre a y d.

4. d es grande.

5. e es mayor que a.

6. b es un tetraedro.

7. e es un dodecaedro.

8. e está a la derecha de b.

9. a es menor que e.

10. d está detrás de a.

3.4. La isla de los caballeros y bribones

Un contexto alternativo en el que podemos aplicar un lenguaje de primerorden es para resolver enigmas en la llamada isla de los caballeros y bribones,lugar donde suelen desarrollarse muchos de los problemas planteados por ellógico y mago Raymond Smullyan.2 Los nativos de dicha isla suelen dividirse,además de en hombres y mujeres, en caballeros y bribones. Asumiendo queel uso de los predicados hombre y mujer es más o menos claro (es decir quesu aplicación no tiene más dificultades que las que puede tener en español)podemos aclarar el empleo de los otros dos de la siguiente forma: Decimosque un nativo de la isla es un caballero si y sólo si, lo que dice es verdad,

2Si bien lo hace en varios libros, uno muy conocido es This Book Needs No Title: ABudget of Living Paradoxes

Capítulo 3 42

y esto con prescindencia si se trata de un hombre o una mujer. Alternativa-mente diremos que es un bribón si y sólo si lo que dice es mentira, de nuevo,dejando de lado si se trata de un hombre o una mujer. Este es el conjuntode predicados básicos para usar en la isla. A ellos les podemos agregar otrosrelacionales como Progenitor, Pareja y otros. Presentamos a continuación unatabla con los predicados más usuales, su análogo en español y los nombresde algunos nativos de la isla, es decir los nombres de individuos a los que seaplicaran los predicados:

Tabla 3.1LPO Español ComentarioNombres:Og Og

Nombres de nativos dela isla

Bog BogArk ArkSnark SnarkTak TakBark BarkJal Jal...

...

Predicados:Caballero(x) es un caballero Todos estos predicados

son monádicos o de ari-dad 1 y forman pa-res excluyentes. Nin-gún individuo en la is-la puede ser al mismotiempo caballero y bri-bón, ni mujer y hombrey tampoco soltero y ca-sado.

Bribon(x) es un bribónMujer(x) es mujerHombre(x) es hombreSoltero(x) es solteroCasado(x) es casado...

...

Progenitor(x, y) es el progenitor de Estos predicados sonde aridad 2 o relaciona-les. Si ’a es progenitorde b’, ’b es hijo de a’.Ser pareja es una rela-ción simétrica. Si ’a espareja de b, b es parejade a’.

Hijo(x, y) es hijo dePareja(x, y) son pareja...

...

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Los puntos suspensivos en las columnas indican que la lista no es exhaustiva:es posible definir nuevo predicados e individuos más adelante. Por otra parte,tal como se observó en la columna de comentario, varios de estos predicadospodrían omitirse siendo que se pueden definir a partir de otros. Por ejemplo,sabemos que todo habitante de la isla es caballero o bribón, por lo que si noes bribón, debe ser caballero (si no lo fuera, no sería ni caballero ni bribóncontra lo que este principio afirma) y que ambos predicados son excluyen-tes, entonces si alguien es un caballero, no es un bribón (porque si no seríacaballero y bribón lo que tampoco es posible en esta isla)

Esto no significa que alguien no pueda decir, por ejemplo, que es caballeroy bribón. Algún habitante podría decir esto, lo que no puede ser es que esosea verdad. Si un habitante dijera eso, sabríamos inmediatamente que mientey por lo tanto sabríamos si es bribón o caballero.


Problema 3.3: Si un nativo de la isla afirma que es caballero y bribón, ¿setrata de un bribón o un caballero?

Problema 3.4: ¿Podría un nativo de la isla afirmar de si mismo que escaballero? ¿Y Bribón? En caso afirmativo, ¿quiénes podrían hacer tales afir-maciones?

3.5. El lenguaje de primer orden de laaritmética

Este es un ejemplo de otro lenguaje de primer orden que nos permiteexpresar en este caso oraciones acerca de los números naturales 0,1,2,3,..., ylas operaciones de aritmética de suma y multiplicación. Hay distintos mo-dos más o menos equivalentes de establecer este lenguaje. Uno de los queusaremos tiene dos nombres 0 y 1, dos símbolos de relaciones binarias, = y< y dos símbolos de funciones binarias, + y ×. Las oraciones atómicas sonaquéllas que pueden ser construidas a partir de estos símbolos. Usaremos lanotación infija tanto para los símbolos de relación como para los símbolos defunciones.3

3Recordemos que una función se difine como una relación R para la cual se cumpleademás la siguiente propiedad: Para cualesquiera x, y, z si R(x, y) y R(x, z), entonces y = z.

Capítulo 3 44

Los símbolos de función permiten formar términos que se parecen a nom-bres, a partir de nombres y otros términos que se parecen a nombres. Algunosejemplos en español pueden ayudar a clarificar esto. En español tenemos mu-chas clases de frases nominales, expresiones que pueden ser combinadas conuna frase verbal para formar una oración. Además de nombres como Max yClara, otras frases nominales incluyen expresiones como “el padre de Max”,“la madre de Clara”, “toda joven que conozca a Max”, “Nadie que conozcaa Clara”, “Alguien” y así sucesivamente. Cada una de estas expresiones secombina con una frase verbal singular como ’gusta del pururú sin manteca’,para formar una oración. Pero advierta que las oraciones resultantes tendránpropiedades lógicas muy diferentes. Por ejemplo, de

La madre de Clara gusta del pururú sin manteca.

se sigue que hay alguien que gusta del pururú sin manteca, mientras que

Nadie que conoce a Clara gusta del pururú sin manteca,

no se sigue de esto.Los que intuitivamente se refieren a un individuo, son llamados “térmi-

nos” y se comportan como las constantes individuales que ya hemos discuti-do. De hecho, las constantes individuales son los términos más simples y lostérminos más complejos se construyen a partir de ellos usando símbolos defunción. Frases nominales como Nadie que conoce a Clara son tratadas conmecanismos muy diferentes, conocidos como cuantificadores, que discutire-mos posteriormente.

El análogo LPO de la frase nominal el padre de Max es el términopadre(Max). Se forma colocando un símbolo de función, padre, al frente delnombre Max. El resultado es un término complejo que usamos para hacerreferencia al padre de la persona referida por el nombre Max. Similarmente,podemos colocar el símbolo de función madre junto con el nombre Clara y for-mar el término madre(Clara), que funciona muy parecido al término españolmadre de Clara.

Podemos repetir esta construcción tanta veces como se nos ocurra, for-mando términos cada vez más complejos:

padre(padre(Max))

Capítulo 3 45

madre(padre(Clara))

madre(madre(madre(Clara)))

La primera hace referencia al abuelo paterno de Max, la segunda a laabuela paterna de Clara y así sucesivamente.

Estos símbolos de función son llamados funciones unarias, debido a que,como los predicados unarios, toman un argumento. Los términos resultantesfuncionan como nombres y pueden ser usados para formar oraciones atómicas.Por ejemplo, la oración LPO

MasAlt(padre(Max), Max))

dice que el padre de Max es más alto que Max.Los estudiantes algunas veces confunden los símbolos de función con pre-

dicados, porque ambos toman términos como argumentos. Pero hay una grandiferencia. Cuando combinamos un símbolo de función unario con un términolo que logramos no es una oración sino otro término: algo que refiere (o po-dría referir) a un objeto de alguna clase. Es por esta razón que los símbolosde función pueden ser aplicados varias veces.

Aparte de funciones unarias, LPO permite símbolos de función de cual-quier aridad. Así, por ejemplo, podemos tener símbolos de funciones binarias.Es muy difícil lograr ejemplos simples en español de símbolos de funcionesbinarias, pero esto es muy común en matemáticas. Por ejemplo, podríamostener un símbolo de función suma que se combina con dos términos t1 y t2para dar un nuevo término suma(t1, t2) que hace referencia a la suma de losnúmeros referidos t1 y t2. Por lo tanto, el término complejo suma(3, 5) nosdaría otra manera de referirse a 8. El lenguaje de bloques no tiene símbolosde funciones pero podría incorporarlos.

El lenguaje de primer orden de la aritmética usa las funciones extensa-mente. En este lenguaje hay un número infinito de términos (por ejemplo, 0,1, (1+1), ((l+1)+l), (((1+1)+1)+1), ... y por consiguiente un número infinitode oraciones atómicas. Nuestro ejemplo también muestra que todo númeronatural es nombrado por algún término del lenguaje. Esto da lugar al pro-blema de cómo se puede hacer para especificar el conjunto de términos deun modo preciso. No podemos listar a todos los términos, puesto que sondemasiados. El modo de atacar este problema es usando lo que es conocido

Capítulo 3 46

como una definición inductiva.

Definición 1. Los términos de la aritmética de primer orden seforman del siguiente modo:

1. Los nombres 0, 1 son términos.

2. Si t1, t2 son términos, entonces las expresiones (t1 + t2) y(t1 × t2) son también términos.

3. Nada es un término a menos que pueda ser obtenido por apli-cación repetida de (l) y (2).

Deberíamos señalar que esta definición permite que los símbolos de funciónsean aplicados una y otra vez. Por lo tanto, (1+1) es un término por la cláu-sula 2 y por el hecho de que 1 es un término. En cuyo caso ((1+1) × (1+1))es también un término, nuevamente por la cláusula 2. Y así sucesivamente.Las oraciones atómicas en el lenguaje de primer orden de la aritmética sonaquéllas que pueden ser formadas a partir de términos y de los dos símbolosde predicados binarios, = y <. Por ejemplo, la versión en lenguaje formal de1 por 1 es menor que 1 más 1 es la siguiente:

(1× 1) < (1 + 1).


Problema 3.5: Muestre que las siguientes expresiones son términos en ellenguaje de primer orden de la aritmética. ¿A qué números refieren? 1. (0 +0) 2. (0 + (1 x 0)) 3. ((1 + 1) + (0 + 1) x (1 + 1))) 4. (((1 x 1) x 1) x 1).

Problema 3.6: Encuentre un modo de expresar el hecho de que tres esmenor que cuatro.

Problema 3.7*4: Muestre que hay infinitos términos que refieren al número1.

3.6. Lenguajes generales de primer orden

En general, un lenguaje de primer orden es especificado fijando los nom-bres, predicados, y símbolos de función que contiene. Cada predicado y sím-bolo de función viene con una aridad especificada. Un lenguaje de primer

4El símbolo * sirve para indicar que este problema tiene mayor dificultad.

Capítulo 3 47

orden debe contener al menos un símbolo de predicado aunque algunas veces“=” es el único símbolo de predicado que se usa. Pero no es necesario quecontenga símbolos de función.

Cuando traduzca una oración del español a LPO, tendrá a veces un len-guaje “predefinido” de primer orden que querrá usar, como por ejemplo, ellenguaje de bloques o el de la aritmética anteriormente descripto. Su objetivoserá lograr una traducción que capture el significado de la oración originalen español tan fielmente como sea posible, dados los nombres, predicados, ylos símbolos de función disponibles en el lenguaje de primer orden.

Muchas veces sucederá que no tiene a su disposición un lenguaje prede-finido para usar en su traducción. Si no lo tiene, la primera cosa que tieneque hacer es decidir qué nombres, predicados y funciones necesita para surepresentación formal en el caso que sea posible. Estuvimos haciendo estopor ejemplo, cuando introdujimos EnCasa(Max) como la traducción de Maxestá en casa y MasAltQue(Clara, Max) como la traducción de Clara es másalta que Max.

Cuando toma estas decisiones, existen a veces formas alternativas de pro-ceder. Por ejemplo, supongamos que se le pide que traduzca la oración Cla-ra dio Misky a Max podría introducir un predicado binario DioMisky(x, y),que signifique x dio Misky a y, y luego traducir la oración original comoDioMisky(Clara, Max). Alternativamente podría introducir un predicado detres lugares Dio(x, y, z) que signifique x dio y a z y luego traducir la oracióncomo Dio(Clara, Misky, Max). Es importante recordar que sólo puede aplicarla estructura de nombres-predicados cuando utilizando nombres propios deobjetos individuales. Cuando esto no sea posible, tal vez deba considerarrecurrir a una representación más general de la oración. Cuando reconozca-mos una oración atómica pero no logremos o no necesitemos identificar lospredicados y o los términos en ella podemos utilizar el recurso de una letrasentencial. A tal fin reservaremos las letras mayúsculas del centro del abece-dario (P, Q, R, S, . . . ) y las utilizaremos para representar oraciones atómicasen dichos casos extremos. La oración Clara dio Misky a Max podría traducir-se entonces como DioMisky(Clara, Max), Dio(Clara, Misky, Max) o simplementeP.

No hay nada erróneo en usar cualquiera de estos predicados, o sus traduc-ciones resultantes, en tanto se haya especificado claramente lo que significan.Por supuesto, podrían no ser de la misma utilidad. El primer predicado lepermitirá traducir oraciones como Max dio Misky a Juan y Juan dio Misky

Capítulo 3 48

a Miguel. Pero se encontraría limitado si luego trata de traducir una oracióncomo Max dio Cari a Clara, y tendría que introducir un predicado comple-tamente nuevo, digamos DioCari(x, y). El predicado de tres lugares es, porsupuesto, más flexible. Un lenguaje de primer orden que contuviese este ti-po de predicados (más los nombres relevantes) podría traducir cualquierade estos oraciones. Lo opuesto sucede con el uso de letras sentenciales. Sioptamos por traducir Max dio Misky a Juan con la letra P, entonces debe-ríamos utilizar otra letra (Q) para Max dio Misky a Clara y por supuesto unatercera (R) para Max dio Cari a Clara dado que se trata de tres oracionesatómicas diferentes. En general, cuando usamos un lenguaje de primer ordentratamos de economizar predicados introduciendo predicados más flexibles,como Dio(x, y, z) en lugar de algunos menos flexibles como DioMisky(x, y) yDioCari(x, y) o de emplear directamente variables de proposiciones para ora-ciones como P, Q, R,... La resultante de esto es un lenguaje más expresivo,que hace más claras las relaciones lógicas entre varias afirmaciones.

Los nombres pueden ser introducidos en un lenguaje de primer orden pa-ra referir a cualquier cosa que pueda ser considerada un objeto, pero nosatendremos de manera rigurosa a emplear nombres propios o constantes in-dividuales que cumplan tal rol como argumentos de los predicados que utili-cemos.

Si queremos representar por ejemplo el enunciado español que afirma queOg es un caballero lo hacemos de esta forma: Caballero(Og). Caballero es unpredicado de aridad 1 y Og es el nombre propio de un objeto (un individuo)por lo que no hay ningún problema aquí. Podría ser que llamemos de maneraprovisoria a un objeto cuyo nombre desconocemos a. Si dicho objeto ya tieneun nombre asignado, no hay ningún inconveniente que se le asigne otro puescomo vimos no hay una restricción en la cantidad de nombres que un objetopuede tener5 en ese caso podemos escribir Caballero(a).

Supongamos ahora que se nos pide que representemos enunciados comoel juez es un caballero o el cubo es grande. Frente a estos casos puede versetentado a escribir Caballero(juez) o Grande(cubo). Esto no es correcto y talesimpulsos deben ser desalentados. La razón de esto es que tanto juez comocubo son predicados pero sobre todo no son nombres de individuos y comoya dijimos solo se admitirán como argumentos de predicados nombres deindividuos o constantes de individuos o más adelante variables de individuos

5Tal vez se trate del mismo Og, sólo que no lo sabemos y lo hemos llamado a a los finesde, por ejemplo, llevar una discusión o un razonamiento.

Capítulo 3 49

pero nunca otros predicados o nombres comunes. En tales casos y a falta porahora de una mejor alternativa representaremos tales oraciones mediante elrecurso antes explicado de las letras sentenciales.


Problema 3.8: Para cada oración en la lista siguiente, sugiera una traduc-ción a una oración atómica del LPO. Además, al dar la traducción expliquea qué clase de objetos se refieren sus nombres y el significado que intentadar al predicado que usa. Si usa símbolos de función, explique también susignificado.

1. Juan es albañil.

2. Los albañiles ganan menos que los plomeros.

3. El SIDA es menos contagioso que la gripe.

4. La miseria ama la compañía.

5. Og está en compañía de Max.

6. Max le dio café a Og.

Capítulo 4

Conectivas lógicas

Para formar afirmaciones complejas en los lenguajes de primer orden po-demos recurrir a cuantificadores y conectivas. En esta sección expondremosalgunos aspectos de las disyunciones, negaciones, condicionales y bicondicio-nales. Estas son conectivas veritativo funcionales. Que sea veritativo funcio-nal significa que el valor de verdad de una proposición compleja, que constade estas conectivas, depende solamente de los valores de verdad de las pro-posiciones más simples que la componen.

Podemos explicar el significado de una conectiva veritativo funcional devarios modos. Quizás el modo más simple es construyendo una tabla de ver-dad, una tabla que muestre cómo el valor de verdad de una proposición conesta conectiva, depende de los valores de verdad de las partes más elementa-les. Daremos tales tablas para cada una de las conectivas que introduzcamos.Una forma más interesante, sin embargo, es por medio de un juego, algunasveces llamado el juego Henkin-Hintikka, por los nombres de los lógicos LeonHenkin y Jaako Hintikka. Lo llamaremos simplemente el juego.

Imaginemos que dos personas, digamos Max y Clara, están en desacuerdosobre el valores de verdad de una proposición compleja. Max afirma que esverdadera, Clara afirma que es falsa. La idea del juego es que los dos jugadoresmantienen un permanente desafío mutuo para justificar sus afirmaciones entérminos de afirmaciones más simples, hasta que finalmente su desacuerdo sereduce a una simple afirmación atómica, que involucra una oración atómica.Estos sucesivos desafíos pueden ser pensados como los de un juego dondeun jugador ganará, y el otro perderá. Los movimientos legales en cualquiermomento dependen de la forma de la oración.

50

Capítulo 4 51

4.1. Símbolo de Negación (¬)Este símbolo se usa para expresar la negación en nuestro lenguaje, la

noción que comúnmente expresamos en español usando términos como no, noes el caso que, a-, e in-. En la lógica de primer orden, siempre aplicamos estesímbolo delante de una oración para negarlo, mientras que en español hay unsistema mucho más sutil de expresar las afirmaciones negativas. Por ejemplo,las oraciones del español Juan no está en casa y no es el caso que Juan estéen casa tienen la misma traducción de primer orden: ¬EnCasa(Juan)

La negación es verdadera si y sólo si la proposición que expresa EnCasa(Juan)no es verdadera, esto es, sólo en el caso de que Juan no esté en casa.

En español generalmente evitamos las dobles negaciones -negaciones den-tro de otras negaciones. Por ejemplo, la expresión ’no hace ninguna diferen-cia’, es problemática. Si alguien lo dice, generalmente significa que no haydiferencia. En otras palabras la segunda negación solamente funciona comoalgún tipo de refuerzo.

LPO es mucho más sistemático. Se puede colocar un símbolo de negacióndelante de cualquier oración, y siempre lo negará, sin que importe cuántosotros símbolos de negación ya contenía la oración. Por ejemplo la oración

¬¬EnCasa(Juan)

niega la oración

¬EnCasa(Juan)

y así, la afirmación es verdadera si Juan está en casa.El símbolo de negación, entonces, puede aplicarse tanto a oraciones com-

plejas como a oraciones atómicas. Diremos que una oración es un literal si esatómica o la negación de un oración atómica. Esta noción de literal será útilmás adelante.

Abreviaremos las afirmaciones de identidad negadas, tales como ¬(b = c)usando b 6= c.

4.1.1. Semántica y la regla de juego para la negación

Dada cualquier oración P de LPO (atómica o compleja), hay otra oración¬P. La proposición correspondiente es verdadera si y sólo si la proposiciónque corresponde a P es falsa. Esto puede exponerse en la siguiente tabla deverdad.

Capítulo 4 52

P ¬PVERDADERO FALSO

FALSO VERDADERO

Una vez que usted se ha comprometido con la verdad de ¬P, esto eslo mismo que si se hubiera comprometido con la falsedad de P. De mane-ra similar, si se compromete con la falsedad de ¬P; esto es lo mismo quecomprometerse con la verdad de P.

Problema 4.1. Sea el caso de que P expresa una proposición verdadera,y forme Q poniendo algunos símbolos de negación delante de P. Muestrevarios casos en los que, si coloca un número par de símbolos de negación,esta proposición es verdadera, pero si coloca un número impar, entonces esfalsa.

4.2. Símbolo de conjunción (∧)Este símbolo es usado para expresar conjunción en nuestro lenguaje, la

noción que normalmente expresamos en español usando términos como y,además, pero y a pesar de. En la lógica de primer orden, esta conectiva secoloca siempre entre dos oraciones, mientras que en español podemos tambiénhacer conjunciones de sustantivos, verbos y otras expresiones del lenguaje.Por ejemplo, las oraciones españolas

Juan y Mary están en su casa

y

Juan está en su casa y Mary está en su casa

tienen la misma traducción de primer orden:

EnCasa(Juan) ∧ EnCasa(Mary)

La proposición es verdadera sólo en caso que Juan esté en su casa y Maryesté en su casa.

Algunos usos españoles de “y” no son adecuadamente reflejados por elsímbolo de conjunción de LPO. Por ejemplo, supóngase que hablamos acercade una tarde en que Max y Clara estaban juntos. Si dijéramos Max se fue asu casa y Clara se fue a dormir, nuestra afirmación tendría una connotación

Capítulo 4 53

temporal, es decir, que Max se fue a su casa antes de que Clara se fuera adormir. De manera similar si revirtiéramos el orden y aseguráramos Clara sefue a dormir y Max se fue a su casa, ello sugeriría un tipo de situación muydiferente. Por contraste, no se pretende ninguna implicación tal, implícita oexplícita, cuando se usa la conjunción ∧ de LPO. Tenemos que

SeFueACasa(Max) ∧ SeFueADormir(Clara)

se aplica exactamente en las mismas circunstancias que

SeFueADormir(Clara) ∧ SeFueACasa(Max).

Tal como en el caso de la negación, podemos unir tanto oraciones com-plejas como simples con ∧. P∧Q es verdadera si y sólo si tanto P como Q sonverdaderas. P ∧ Q es falsa si ambas o alguna de ellas son falsas. Esto puederesumirse en la siguiente tabla de verdad:

P Q P ∧ QVERDADERO VERDADERO VERDADERO

VERDADERO FALSO FALSO

FALSO VERDADERO FALSO

FALSO FALSO FALSO

Si Ud. se compromete con la verdad de P∧Q entonces implícitamente seha comprometido con la verdad de cada una de ellas, P y Q. Si se comprometecon la falsedad de P ∧ Q entonces está afirmando que por lo menos uno deellos, P o Q, es falso. Debería en tal caso poder elegir uno de los dos y,comprometerse con su falsedad.

4.3. Símbolo de Disyunción (∨)Este símbolo es usado para expresar la disyunción en los lenguajes forma-

les, la noción que expresamos en nuestro lenguaje usando “o”. En la lógica deprimer orden esta conectiva, como el signo de conjunción, siempre está ubi-cado entre dos oraciones, mientras que en español podemos también usarlopara ponerlo entre nombres, verbos y otras partes de la lengua. Por ejemplo,los enunciados del español

Juan o Mary están en casa

Capítulo 4 54

y

Juan está en casa o Mary está en casa

tienen ambos la misma traducción de primer orden:

EnCasa(Juan) ∨ EnCasa(Mary)

A pesar que en español “o” se usa a veces en un sentido excluyente, paradecir que exactamente una de dos oraciones disyuntas es verdadera, el sím-bolo “∨” de la lógica de primer orden siempre se usa en una interpretaciónincluyente –significa que por lo menos una de las dos oraciones disyuntas esverdadera, pero también posiblemente ambas. Así la proposición del ejemploes verdadera si Juan está en casa pero Mary no lo está, si Mary está en casapero Juan no lo está, o si ambos, Juan y Mary, están en casa.

Si quisiéramos expresar el sentido excluyente de o en el ejemplo anterior,podríamos hacer como sigue:

[(EnCasa(Juan) ∨ EnCasa(Mary)] ∧ ¬(EnCasa(Juan) ∧ EnCasa(Mary)]

Como puede verse, esta oración dice que Juan está en casa o Mary lo está,pero no ambos.

Muchos estudiantes tienden a decir que la expresión española o bien ...obien expresa la disyunción excluyente. Si bien algunas veces efectivamentees así (y en verdad el simple “o” es usado a veces de manera excluyente), nosiempre lo es. Por ejemplo, supóngase que Clara y Max están jugando en laotra habitación y de repente se oye un sonido de lucha. Si decimos O bienMax golpeó a Clara o Clara golpeó a Max no estaríamos equivocados si cadauno hubiese golpeado al otro. Así, esto debería traducirse como

Golpea(Max, Clara) ∨ Golpea(Clara, Max)

Veremos más tarde que la expresión “o bien” algunas veces juega unafunción lógica diferente. Otra importante expresión española que podemoscapturar sin introducir símbolos adicionales es ni. . . ni. Así

Ni Juan ni Mary están en casa

Capítulo 4 55

debería expresarse como:

¬EnCasa(Juan) ∧ ¬EnCasa(Mary)

Pero también podría hacerse alternativamente como:

¬(EnCasa(Juan) ∨ EnCasa(Mary))

Esto dice que no es el caso que al menos uno de ellos esté en casa, es decir,que ninguno de ellos está en casa.

Dadas dos oraciones P y Q de LPO, atómicas o no, podemos combinarlasusando “∨” para formar una nueva oración P∨Q. La proposición correspon-diente es verdadera si al menos una de las proposiciones es verdadera. Deotro modo, es falsa. Ésta es la tabla de verdad.

P Q P ∨ QVERDADERO VERDADERO VERDADERO

VERDADERO FALSO VERDADERO

FALSO VERDADERO VERDADERO

FALSO FALSO FALSO

Las reglas de juego para ∨ son “duales” de las reglas para ∧. De este modo,si usted se compromete con la verdad de P ∨ Q, entonces debe comprome-terse con la verdad de una de ellas al menos. Si usted se compromete con lafalsedad de P∨Q, entonces usted está implícitamente comprometiéndose conla falsedad de cada una de ellas, de las dos.

Hay alguna aclaración algo sutil que debe hacerse acerca de nuestra ma-nera de describir el juego. Hemos dicho, por ejemplo, que cuando usted se hacomprometido con la verdad de una disyunción P ∨ Q, se compromete conla verdad de uno de los disyuntos. Esto, por supuesto, es cierto, pero ellono significa que necesariamente sepa cuál de ellos, P o Q, es verdadero. Porejemplo, si usted tiene P ∨ ¬P , entonces sabe que la proposición es verda-dera, sin que importe cómo es el mundo. Pero si P es muy compleja, o sitiene información imperfecta acerca del mundo, podría no saber cuál de lasdos proposiciones, la de P o la de ¬P es verdadera. Supongamos que P esla Conjetura de Goldbach o que Hay una ballena nadando bajo el puente del“Golden Gate” exactamente ahora. En tales casos se comprometería con laverdad de la disyunción sin que le interese saber cómo jugar el juego y ganar.

Capítulo 4 56

Usted sabe que hay una estrategia ganadora para el juego pero no sabe cuáles.

Ya que hay un imperativo moral de fidelidad con los propios compromisos,el uso del término “compromiso” para describir el juego es un poco equívoco.Estaría perfectamente justificado que afirme la verdad de P ∨ ¬P, aún si noconoce su estrategia ganadora para jugar el juego.

Resumamos lo que hemos aprendido acerca de las tres conectivas quehemos introducido.

Recordar

1. ¬P es verdadera si y sólo si P no es verdadera.

2. P∧Q es verdadera si y sólo si P es verdadera y Q es verdadera.

3. P∨Q es verdadera si y sólo si P es verdadera o Q es verdadera(o ambos son verdaderas)

4.4. Símbolo del Condicional Material (→)

Este símbolo es usado para combinar dos oraciones, P y Q para formarP→ Q, llamado condicional material. P es el antecedente del condicional, yQ es el consecuente del condicional. Discutiremos las contrapartes españolasde este símbolo luego de explicar su significado.

4.4.1. Semántica y regla de juego para el condicional

La proposicón expresada por P→ Q recibe el valor verdadero si y sólo sila de P resulta falsa o la de Q verdadera (o ambas verdaderas). Esto puedeser resumido en la siguiente tabla de verdad:

P Q P→ QVERDADERO VERDADERO VERDADERO


FALSO VERDADERO VERDADERO

FALSO FALSO VERDADERO

Una segunda reflexión sobre esto muestra que P → Q es otro modo dedecir ¬P ∨ Q.

Capítulo 4 57

RecordarEl mejor modo de pensar P→ Q es teniendo en cuenta que este con-dicional es falso sólo en un caso: cuando el antecedente P es verdaderoy el consecuente Q es falso.

4.4.2. Formas españolas del condicional material

Podemos considerar P → Q como una adecuada traducción de la expre-sión condicional del español Si ... entonces... . De cualquier modo, está claroque este condicional español, como el condicional material, es falso si el an-tecedente es verdadero y el consecuente es falso. Traduciremos, por ejemplo,Si Max está en casa entonces Clara está en la biblioteca, del siguiente modo:

EnCasa(Max)→ EnBiblioteca(Clara)

Otras expresiones españolas que pueden traducise con frecuencia usandoel condicional material P → Q son: P sólo si Q, Q dado P, y Q cuando P.También usamos “→” en combinación con “¬” para traducir oraciones de laforma A menos que P, Q o Q a menos que P. Éstos significan lo mismo queQ si no P, y son también traducidos como ¬P→ Q.

P→ Q. ¬P→ Q.P sólo si Q A menos que P, QQ dado P Q a menos que P

Q cuando P Q si no P

En este curso siempre traduciremos el español si... entonces usando “→”pero hay muchos usos de las expresiones españolas que no pueden ser ade-cuadamente expresados usando el condicional material. Por ejemplo, la pro-posición

Si Max hubiera estado en su casa, entonces José también debería haberestado

puede ser falsa aun si Max no estuvo de hecho en su casa. Pero la proposiciónde primer orden

EnCasa(Max)→ EnCasa(Jose)

Capítulo 4 58

es automáticamente verdadera si Max no está en casa. El punto de talesejemplos es que muchos usos de si... entonces no son veritativo funcionales.La verdad del todo depende de algo más que de los valores de verdad de laspartes. Parece depender de la existencia de una conexión genuina entre elcontenido del antecedente y del consecuente. Pero estos asuntos son muchomás controvertidos. No nos ocuparemos de ellos por ahora.

4.5. Símbolo del Bicondicional (↔)

Nuestra última conectiva es el símbolo del bicondicional material. Dadascualesquiera proposiciones que correspondan a P y Q se puede formar otraproposición conectando a ambas por medio del bicondicional P ↔ Q. Unaproposición de la forma P ↔ Q es verdadera si y sólo si las proposicionesasociadas con P y Q tienen los mismos valores de verdad, esto es, o ambas sonverdaderas o ambas son falsas. En español comúnmente se usa la expresiónsi y sólo si, y, en el discurso matemático, sólo en caso. Así, por ejemplo, laoración Max está en casa si y sólo si José está en casa sería traducida como:

EnCasa(Max)↔ EnCasa(Jose)

La oración matemática n es par sólo en caso de que n2 es par seríatraducida como:

Par(n)↔ Par(n2)

4.5.1. La semántica para ↔La semántica para el bicondicional puede ser resumida con la tabla si-

guiente:

P Q P↔ QVERDADERO VERDADERO VERDADERO


FALSO VERDADERO FALSO

FALSO FALSO VERDADERO

Advierta que la columna final de esta tabla de verdad es la misma que para(P → Q) ∧ (Q → P). (Ver Problema 4.2 abajo). Por esta razón, los lógicos

Capítulo 4 59

a menudo tratan una oración de la forma P ↔ Q como una abreviatura de(P→ Q) ∧ (Q→ P).

4.6. Uso de las tablas de verdad

Hay un método simple para determinar algunas propiedades de oracionesconstruidas a partir de oraciones atómicas por medio de las conectivas →,↔, ∨, ∧ y ¬ y poder determinar por ejemplo si son lógicamente equivalenteso satisfactibles o lógicamente verdaderas o no. El método involucra la cons-trucción de una tabla de verdad para una proposición o varias a la vez. Antesde que expliquemos el método, debemos describir cómo construir tablas deverdad para proposiciones complejas. Supongamos que tenemos una oracióncompleja S cuyas oraciones atómicas son A1, . . . , An. Para construir una tablade verdad para la proposición asociada con S, se escriben los oraciones ató-micas A1, . . . , An a lo largo del encabezamiento de la página, con la oración Sa su derecha. Se acostumbra trazar una doble línea separando las oracionesatómicas de S. La tabla de verdad tendrá una línea para cada manera deasignar VERDADERO y FALSO. Ya que hay dos asignaciones posibles paracada proposición atómica, habrá 2n líneas. Así si n=l habrá dos líneas, sín=2 habrá cuatro líneas, si n=3 habrá ocho líneas, y así sucesivamente. Seacostumbra hacer que la columna de más a la izquierda tenga la mitad su-perior de las líneas marcadas como VERDADERO, la segunda mitad falsas.La próxima línea bifurca cada una de éstas marcando el primero y el tercercuarto de las líneas con VERDADERO, el segundo y el cuarto cuartos conFALSO, y así sucesivamente. Esto resultará en que la última columna tengaVERDADERO y FALSO alternativamente.

Veamos un ejemplo con tres oraciones atómicas.

(Cubo(a) ∧ Cubo(b)) ∨ ¬Cubo(c)

Para hacer que nuestra tabla sea más fácil de leer, representaremos lasoraciones atómicas mediante A, B y C. Posteriormente llenaremos la columnaque está debajo de la oración compleja.

Capítulo 4 60

A B CV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

En una tabla de verdad las columnas bajo las oraciones atómicas se lla-man “columnas de referencia”. En ellas colocamos por filas todas las posiblescombinaciones de valores de verdad asignados a las oraciones atómicas dela oración compleja a evaluar. Una vez que se han llenado las columnas dereferencia estamos listos para llenar el resto de la tabla. Para hacerlo, cons-truimos columnas de V y F debajo de cada conectiva de S. Estas columnasse llenan una por una, usando las tablas de verdad de las distintas conecti-vas. Comenzamos trabajando en las conectivas que se aplican únicamente aproposiciones atómicas. Una vez hecho esto, trabajamos en conectivas que seaplican a oraciones cuya conectiva principal ya tiene su columna llena. Con-tinuamos este proceso hasta llenar la columna de la conectiva principal de S.Esta es la columna que muestra cómo depende la verdad de esta proposiciónde la verdad de sus componentes atómicos.

Realicemos el primer paso de este proceso para la tabla de abajo. Yaque dos de las conectivas en la oración en cuestión se aplican a oracionesatómicas, podemos llenar dos columnas usando las tablas de verdad para ∧y ¬ dadas anteriormente.

A B C (A ∧ B) ∨ ¬CV V V V FV V F V VV F V F FV F F F VF V V F FF V F F VF F V F FF F F F V

Capítulo 4 61

Esto deja sólo una conectiva por completar, la conectiva principal dela oración. La llenamos en referencia a las dos columnas ya completadas yusando la tabla de verdad para ∨.

A B C (A ∧ B) ∨ ¬CV V V V V FV V F V V VV F V F F FV F F F V VF V V F F FF V F F V VF F V F F FF F F F V V

Es necesario remarcar que algunas de las líneas en una tabla de verdadpueden no representar posibilidades genuinas. Éste no es el caso del ejemplode arriba, pero imaginemos que la oración atómica asociada con A hubierasido la oración Tet(c), entonces cualquier línea que asignara VERDADEROtanto a A como a C no habría representado una posibilidad legítima, debidoa que c no puede ser tanto un tetraedro como un cubo.

Las oraciones que expresan proposiciones verdaderas en todas las líneasson llamadas oraciones tautológicas o simplemente tautologías.

RecordarSea S una oración de LPO construida a partir de oraciones atómi-cas sólo por medio de conectivas veritativo-funcionales. Una tabla deverdad para la proposición que expresa S muestra cómo la verdad deesta proposición depende de la verdad de sus partes atómicas.

1. S es una tautología si y sólo si toda línea asigna VERDADEROa la proposición expresada por S.

2. S es satisfactible si y sólo si hay al menos una línea genuina dela tabla de verdad que asigne VERDADERO a la proposiciónque expresa S.

Capítulo 4 62


Problema 4.1. Suponga que A, B, y C son oraciones atómicas. ¿Cuáles delas siguientes son tautologías?

1. (A ∧ B) ∨ (¬A ∨ ¬B)

2. (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B)

3. A→ (A ∨ C)

4. (¬A ∨ B)↔ (A→ B)

5. ¬(A ∧ B) ∨ C

6. (A ∨ B) ∨ ¬(A ∨ (B ∧ C))

Problema 4.2. Construya una tabla de verdad para (A → B) ∧ (B → A).Muestre que la columna final es la misma que para A ↔ B. Haga lo mismopara la disyunción excluyente definida en 4.3. Muestre que la columna finales la misma que para ¬(A↔ B).

4.7. Ambigüedad

Cuando describimos la primera vez LPO, remarcamos la falta de ambi-güedad de este lenguaje a diferencia del lenguaje ordinario. Por ejemplo, elespañol nos permite decir cosas como Max está en casa o Clara está en casay José es feliz. Esta oración puede entenderse de dos maneras muy diferentes.Una lectura afirma que o bien Clara está en casa y José es feliz, o Max estáen casa. En esta lectura lo expresado allí sería verdadero si Max estuvieraen casa, aún si José fuese infeliz. La otra lectura afirma a la vez que Max oClara están en casa y que José es feliz.

LPO evita este tipo de ambigüedad requiriendo el uso de paréntesis delmismo modo en que se usan en álgebra. Así, por ejemplo, LPO no tendríauna oración correspondiente a la oración española ambigua, sino dos:

EnCasa(Max) ∨ (EnCasa(Clara) ∧ Feliz(Jose))

(EnCasa(Max) ∨ EnCasa(CIara)) ∧ Feliz(Jose)

Capítulo 4 63

Los paréntesis en el primero indican que es una disyunción, cuyo segun-do disyunto es, él mismo, una conjunción. En el segundo, ellos indican quela oración es una conjunción cuyo primer componente es una disyunción.Como resultado, las condiciones de verdad para cada uno de ellos son muydiferentes.

Los paréntesis se usan también para indicar el “alcance” de un símbolo denegación cuando aparece en una oración compleja. Así, por ejemplo, las dosoraciones

¬EnCasa(Clara) ∧ EnCasa(Max)

¬(EnCasa(Clara) ∧ EnCasa(Max))

significan cosas muy diferentes. La primera es una conjunción de literales,la primera de las cuales dice que Clara no está en casa, y la segunda dice queMax está en casa. Por contraste, la segunda oración es una negación de unaoración que es ella misma una conjunción: dice que no están ambos en casa.Ya hemos encontrado este uso de paréntesis en ejercicios anteriores.

Un párrafo aparte merece la expresión “O bien”, que ayuda a aclarar elalcance de “o”, indicando cuán lejos se extiende su alcance hacia la izquierda;de manera similar, la expresión “tanto” indica cuánto hacia la izquierda seextiende el alcance de “como”, que suele ir a continuación. Por ejemplo, Obien Max está en casa y Clara está en casa o José es feliz no es ambiguo,mientras que sería ambiguo sin “o bien”. Lo que significa es que

[EnCasa(Max) ∧ EnCasa(Clara)] ∨ Feliz(Carl)

En otras palabras, o bien y tanto pueden actuar a veces como los parén-tesis izquierdos actúan en LPO.

4.8. Traducción

Una importante habilidad que usted querrá dominar es la de traducirdel español al lenguaje formal y viceversa. Pero antes de que pueda hacerlonecesita saber cómo expresarse en ambos lenguajes. Los problemas que si-guen han sido diseñados para ayudarlo a aprender estas habilidades. Cabedecir, que la traducción del lenguaje común al Lenguaje de Primer Orden

Capítulo 4 64

no puede realizarse de manera mecánica. Es decir, que es imposible contarcon un procedimiento automático que lo haga, tal como el que existe parasumar, dividir o hacer multiplicaciones. Basta pensar nomás en la traducciónde cualquier lengua a otra, lo cual sólo puede hacerse de manera más o me-nos aproximada. La razón de esta limitación es, en última instancia, que latraducción descansa en un proceso de equiparación de significados, para locual no existe una automatización efectiva, por la misma riqueza infinita delidioma.

¿Como sabemos entonces si una traducción es correcta? Intuitivamente,una traducción correcta es una oración con el mismo significado de la quese traduce. Pero, ¿qué es el significado? Lo que requerimos de una traduc-ción correcta en el lenguaje de primer orden es que se comporte igual quela oración original, en las mismas circunstancias. Es decir, que exprese lamisma proposición. Esta idea de significado consiste en su equiparación conlas llamadas ’condiciones de verdad’ de la oración, que en LPO no son otrassino las expuestas en las distintas líneas de la tabla de verdad.

Nótese que no es suficiente que las oraciones expresen una proposiciónverdadera en algún mundo particular. Si así fuera, entonces dos proposicio-nes verdaderas cualesquiera servirían para traducir una oración del españolpor otra de LPO, que correspondieran a aquellas proposiciones respectiva-mente. Así, por ejemplo, si Clara y Max están ambos en casa, podríamostraducir Max está en casa por medio de EnCasa(Clara). Que las proposicio-nes sean verdaderas no es suficiente. Tienen que ser verdaderas en todas lascircunstancias que se den para ellas.

RecordarPara que una oración en español y una oración en LPO tengan elmismo significado, es necesario que las correspondientes proposicionessean verdaderas en todas las circunstancias que son posibles.

En general, esto es todo lo que se requiere de las traducciones desde yhacia LPO. De este modo, dada una oración en español S y una buena tra-ducción suya a LPO, digamos S, cualquier otra oración S′ que sea lógicamenteequivalente a S también será una traducción aceptable de ella. Pero, hay unproblema de estilo. Algunas buenas traducciones son mejores que otras. Seprefieren oraciones que sean fáciles de entender. Pero también se preferirámantener las conectivas de LPO tan cercanas como sea posible del español.

Capítulo 4 65

Por ejemplo, una buena traducción de No es verdadero que Clara y Max esténambos en casa estaría dada por

¬(EnCasa(CIara) ∧ EnCasa(Max))

Esto es lógicamente equivalente a la siguiente oración en forma normalcon negación, de modo tal que también tenemos que considerarlo como unabuena traducción.1

¬EnCasa(Clara) ∨ ¬EnCasa(Max)

Pero hay un claro sentido estilístico por el cual la primera es una mejortraducción, puesto que conserva en mayor medida la forma de la original. Noobstante, no hay reglas rápidas y sólidas para determinar cuál de entre variasoraciones equivalentes es la mejor traducción de una oración dada.


Problema 4.3. Siguiendo las indicaciones dadas en 1-9 abajo, formule ora-ciones que describan características de este mundo. Asegúrese que cada unade sus oraciones es en efecto una oración en LPO y que expresa una propo-sición verdadera en este mundo.

1. Advierta que si c es un tetraedro, entonces a no es un tetraedro. (Re-cuerde, en este mundo cada objeto tiene exactamente un nombre). Usesu primera oración para expresar este hecho.

2. Sin embargo, advierta que lo mismo es verdadero de b y d. Así, si b esun tetraedro, entonces d no lo es. Use su segunda oración para expresar

1La forma normal con negación se explica más adelante, en el capítulo 5, página82

Capítulo 4 66

esto.

3. Finalmente, observe que si b es un tetraedro, entonces c no lo es. Ex-préselo.

4. Advierta que si a es un cubo y b es dodecaedro, entonces a está a laizquierda de b. Use su próxima oración para expresar este hecho.

5. Use su quinta oración para expresar el hecho que d es un tetraedro siy sólo si es chico.

6. Luego, exprese el hecho que si a y d son ambos cubos, entonces uno estáa la izquierda del otro. Tenga en cuenta: necesitará usar una disyunciónpara expresar el hecho que uno está a la izquierda del otro.

7. Advierta que d es un cubo si y sólo si es o bien mediano o bien grande.Expréselo.

8. Observe que si b no está a la derecha ni ala izquierda de d, entoncesuno de ellos es un tetraedro. Exprese esta observación.

9. Por último, exprese el hecho que b y c son del mismo tamaño si y sólosi uno es un tetraedro y el otro es un dodecaedro.

Problema 4.4. (Traducción) Traduzca las siguientes oraciones españolas aLPO. Use en su traducción todas las conectivas proposicionales.

1. Si a es un tetraedro entonces está delante de d.

2. a está a un lado u otro de d sólo si a es un cubo.

3. c está o bien entre a y e o entre a y d.

4. c está a la derecha de a si él (c) es chico.

5. c está a la derecha de d sólo si b está a la derecha de c y a la izquierdade e.

6. Si e es un tetraedro, entonces está a la derecha de b si y sólo si estátambién delante de b.

7. Si b no está delante de d entonces tampoco está detrás de d, supuestoque sea un cubo.

Capítulo 4 67

8. c está detrás de a pero delante de e.

9. e está delante de d a menos que él (es decir, e) sea un tetraedro grande.

10. Al menos uno de a, c y e es un cubo.

11. a es un cubo sólo si b está delante de c.

12. bes mayor que a y e.

13. a y e son ambos mayores que c, pero ninguno es grande.

14. d es del mismo tamaño que b.

15. a es grande si y sólo si es un cubo.

16. e es un tetraedro a menos que c sea un cubo.

17. Si e no es un tetraedro, entonces o bien b o d es chico.

18. b o d es dodecaedro si o bien a o c es un tetraedro.

19. d es un dodecaedro sólo en el caso que b sea un cubo.

20. b es dodecaedro sólo en el caso que c lo sea.

Problema 4.5. (Construir un mundo) Construya un mundo en el que todaslas proposiciones corresondientes del problema 4.4 sean verdaderas. Asegúre-se de que todas sus traducciones preserven la verdad. En caso contrario, veasi la proposición original es verdadera. Si lo es, entonces hay algo incorrectoen su traducción.

Problema 4.6. Traduzca al lenguaje de bloques las siguientes oraciones:

1. Si a es un tetraedro, entonces b es también un tetraedro.

2. c es un tetraedro si b lo es.

3. a y c son ambos tetraedros sólo si al menos uno de ellos es grande.

4. a es un tetraedro pero c no es grande.

5. Si d es un dodecaedro, entonces no es ni grande ni chico, suponiendoque c es chico.

Capítulo 4 68

6. c es mediano sólo si ni d, ni e, ni f son cubos.

7. d es un dodecaedro chico a menos que a sea chico.

8. e es grande sólo en el caso de que sea un hecho que d es grande si ysólo si f lo es.

9. d y e son ambos del mismo tamaño.

10. d y e son de la misma forma.

11. f es o bien un cubo o bien un dodecaedro, si es grande.

12. c es mayor que e sólo si b es mayor que c.

Ahora suponga que todas estas oraciones expresan proposicones verdaderasen algún mundo. Tome en cuenta los tamaños y formas de a, b, c, d, e y f.Agregue a la lista de traducciones seis oraciones más que Ud. pueda extraerrelativas a formas y tamaños de los objetos. Luego construya un mundo enel que las seis proposiciones correspondientes sean verdaderas.

Problema 4.7. Observe el siguiente mundo:

1. Note que f (el dodecaedro grande que está atrás) no está delante de a.Use su primera oración para decir esto.

2. Note que f está a la derecha de a y a la izquierda de b. Use su segundaoración para decir esto.

3. Use su tercera oración para decir que f está o bien detrás de, o es máschico que a.

Capítulo 4 69

4. Exprese el hecho que tanto e como d están entre c y a.

5. Note que ni e ni d son más grandes que c. Use su quinta oración paradecir esto.

6. Note que e no es más grande ni más chico que d. Use su sexta oraciónpara decir esto.

7. Note que c es más chico que a pero más grande que e. Enuncie estehecho.

8. Note que c está delante de f; además, es más chico que f. Use su octavaoración para establecer estas cosas.

Problema 4.8. Escribir las traducciones de las siguientes oraciones en es-pañol a lógica de primer orden. Solo necesitará usar las conectivas ∧, ∨ y¬.

1. O bien a es chico o c y d son ambos grandes.

2. d y e están ambos detrás de b.

3. d y e están ambas detrás de b y son más grande que él.

4. Tanto d como c son cubos; además ninguno de ellos es chico.

5. Ni e ni a están, cada uno de ellos, a la derecha de c y a la izquierda deb.

6. Bien e no es grande o está detrás de a.

7. Ni c está entre a y b, ni delante de ninguno de ellos.

8. O bien a y e son ambos tetraedros o a y f lo son.

9. Ni d ni c están delante de c o b.

10. Bien c está entre d y f o es más chico que ambos de ellos.

Capítulo 4 70

4.9. Implicatura conversacional

Al traducir desde el español a LPO, hay muchos casos que son problemá-ticos. Por ejemplo, muchos estudiantes se resisten a traducir oraciones comoMax está en casa a menos que Clara esté casa de la siguiente forma:

¬EnCasa(Clara)→ EnCasa(Max)

Estos estudiantes piensan que el significado de las oraciones en españolseria más adecuadamente captado por la afirmación bicondicional:

¬EnCasa(Clara)↔ EnCasa(Max)

La razón por lo cual esto último parece natural radica en que cuandoafirmamos la oración en español, hay alguna implicación de que si Clara estáen casa, entonces Max no lo está.

Para resolver estos casos problemáticos, es a veces conveniente distinguirentre condiciones de verdad de una oración por un lado, y por otro lado,otras cosas que en algún sentido se siguen de la afirmación de la oración.Tomemos un caso obvio, supongamos que alguien afirma la oración Es undía agradable. Algo que podríamos concluir es que el hablante comprendeespañol. Sin embargo, esto no es parte de lo que el hablante dice, sino partede lo que puede ser inferido de lo dicho. La verdad o falsedad de la afirmaciónno tiene nada que ver con sus habilidades lingüísticas.

El filósofo H. P. Grice desarrolló una teoría de 1o que él llamó impli-caturas conversacionales para ayudar a separar las genuinas condiciones deverdad de una oración de otras conclusiones que podrían extraerse a partirde su afirmación. Estas otras conclusiones son las que Grice llamó “impli-caturas”. No nos adentraremos en los detalles de la teoría, pero conocer unpoco de ella puede ser de ayuda para la traducción, así que presentaremosuna introducción a la teoría de Grice.

Supongamos que tenemos una oración en español S que alguien afirma,y tratamos de decidir si una conclusión particular que extraemos es partedel significado de S o, en su lugar, una de sus implicaturas. Grice señaló quesi esa conclusión particular es parte del significado, entonces no puede ser“cancelada” por alguna otra elaboración posterior del hablante sin contrade-cirse. Así, por ejemplo, la conclusión de que Max está en casa es parte delsignificado de la afirmación de que Max y Clara están en casa; no podemos

Capítulo 4 71

entonces cancelar esta conclusión diciendo Max y Clara están en casa, peroMax no está en casa. Simplemente nos contradiríamos a nosotros mismos.

Compare esto con el hablante que dijo Es un día agradable. En este caso,sí hubiese continuado diciendo (quizás leyendo un diccionario) ¿Habla ustedfrancés? entonces la sugerencia de que el hablante comprende español seríaefectivamente cancelada.

Un uso más esclarecedor del test de cancelabilidad de Grice tiene relacióncon las expresiones o bien...o. Reiteramos que esto debería ser traducido enLPO como una disyunción inclusiva, usando ∨. Ahora podemos ver que lasugerencia de que esta frase expresa disyunción exclusiva es generalmentesólo una implicatura conversacional. Por ejemplo, si el mozo dice Puede pediro bien sopa o ensalada, hay una fuerte implicatura de que no puede tenerambas. Pero es claro que es sólo una implicatura, debido a que el mozo podríadecir además, sin contradecirse a sí mismo, si usted quiere puede ordenarambas. Si la oración original hubiera expresado la disyunción exclusiva, estosería como decir Puede pedir sopa o ensalada pero no ambas, y puede pedirambas si lo quiere.

Volvamos a nuestro primer ejemplo que involucra la oración Max estáen casa a menos que Clara esté en casa. Dijimos que no era correcta latraducción:

¬EnCasa(Clara)↔ EnCasa(Max)

que es equivalente a la conjunción de:

¬EnCasa(Clara)→ EnCasa(Max) (que es la traducción correcta)

con la afirmación adicional:

EnCasa(Clara)→ ¬EnCasa(Max)

¿Es esta segunda afirmación parte del significado de la oración en españoloriginal, o es simplemente implicatura conversacional? El test de cancelabi-lidad de Grice muestra que es sólo una implicatura. Después de todo, tienesentido que el hablante diga: Por otro lado, si Clara está en su casa, yo notengo idea de dónde está Max. Esta elaboración elimina de algún modo lasugerencia de que si Clara está en casa entonces Max no lo está.

Capítulo 4 72


Problema 4.9. Supongamos que Clara afirma la oración Max se las arre-gló para mantener a José en casa. ¿Implica esto lógicamente que es difícilmantener a José en casa o se trata de una simple implicatura? Justifique surespuesta.

Problema 4.10. Supongamos que Max afirma la oración Podemos ir al cinecaminando o podemos ir en auto. ¿Esta afirmación implica lógicamente queno podamos tanto caminar como ir en auto, o se trata de una simple impli-catura? ¿En qué medida difiere esto del ejemplo de la sopa y la ensalada?2

2Puede pedir sopa o ensalada, analizado anteriormente.

Capítulo 5

Otros usos de las tablas deverdad

Hasta aquí hemos tratado las tablas de verdad como una forma de defi-nir las conectivas, esto es, darles un significado. Recordemos que éstas eranveritativo funcionales, lo cual significa que la verdad de una proposición com-pleja, depende solamente de las proposiciones más simples de las cuales secompone. Así para saber si una disyunción es verdadera, sólo necesitamossaber los valores de verdad asignados a los disyuntos en cada circunstancia.Este comportamiento particularmente simple es lo que nos permite capturarlos significados de las conectivas veritativo funcionales utilizando las tablasde verdad.

El hecho de que las conectivas son veritativo funcionales hace fácil elexplicar sus significados. Asimismo nos provee una simple pero poderosatécnica para estudiar su lógica. Esta técnica, o método, es una extensión de lastablas de verdad utilizadas para presentar los significados de las conectivas.A menudo resulta que podemos calcular las propiedades lógicas de oracionescomplejas mediante la construcción de tablas de verdad que muestran todaslas asignaciones posibles de valores de verdad a los constituyentes atómicos,a partir de los cuales está construida la oración. Dicha técnica puede, porejemplo, decirnos que una oración particular S es consecuencia lógica dealgunas premisas A1, . . . , An. Y dado que la consecuencia lógica es uno denuestros intereses principales, es importante aprender esta técnica, ya quenos permite también establecer si el argumento allí expresado, es válido.Como veremos, tenemos aquí un caso de un método efectivo para establecer

73

Capítulo 5 74

la validez de un argumento. En el cap. 2, señalamos que la búsqueda de talesmétodos era uno de los intereses primordiales de la lógica.

En este capítulo discutiremos lo que las tablas de verdad pueden decirnosacerca de algunas nociones lógicas que están relacionadas: las nociones deverdad lógica, consecuencia lógica, equivalencia lógica y satisfactibilidad. Apesar de que hemos discutido, hasta cierto punto, la noción de consecuencialógica, abordaremos esto en sentido inverso, puesto que la técnica de lastablas de verdad, que se relaciona con todo esto, es más fácil de entender enese orden.

5.1. Satisfactibilidad y verdad lógica

Hay dos nociones importantes que están estrechamente relacionadas a lanoción de consecuencia lógica y de equivalencia lógica. La primera es la de unaoración satisfactible, o un conjunto satisfactible de oraciones. Intuitivamente,una oración es satisfactible si pudiera ser verdadera, al menos sobre baseslógicas. Podría haber alguna otra razón, digamos física, por la cual no seríaposible, pero no habría razones lógicas por la cual no pueda ser verdadera.Por ejemplo, no hay posibilidades físicas de ir más rápido que la velocidad dela luz, aunque sea lógicamente posible: lo hacen todo el tiempo en Viaje a lasEstrellas. Por otro lado, no es ni siquiera lógicamente posible que un objetono sea idéntico a sí mismo. Esto simplemente violaría el significado de laidentidad. La manera en que usualmente se lo presenta es que una afirmaciónes lógicamente posible si hubiera una circunstancia (o situación, o estado, omundo) lógicamente posible, en la cual la afirmación fuera verdadera. Demanera similar, una oración es lógicamente necesaria si es verdadera en todacircunstancia lógicamente posible.

Un conjunto de oraciones es satisfactible si hay alguna circunstancia posi-ble en que todas las oraciones en el conjunto son simultáneamente verdaderas.De este modo, no es suficiente que cada oración en la lista sea satisfactible desuyo. Por ejemplo, cada uno de las siguientes tres oraciones es satisfactible.En verdad cualquier par de ellas es satisfactible. Pero el conjunto entero noes satisfactible.

Feliz(Clara) ∨ Feliz(Max)

Capítulo 5 75

¬Feliz(Clara)

¬Feliz(Max)

Una oración de LPO en nuestro lenguaje de bloques es satisfactible sipodemos construir un mundo en el cual es verdadera.

La segunda noción, es la de oración lógicamente verdadera. Un oración eslógicamente verdadera si debe serlo sin que importe cómo es el mundo. Lassiguientes oraciones (proposiciones) cumplen esta propiedad:

EnCasa(Clara) ∨ ¬EnCasa(Clara)

¬[(Feliz(Carl) ∧ ¬Feliz(Carl)]

¬[(Feliz(Carl) ∨ Feliz(Max)) ∧ ¬Feliz(Carl) ∧ ¬Feliz(Max)]

Hay una relación simple entre estas dos nociones. Una manera de formu-larla es decir que la proposición expresada por P es lógicamente verdaderasi y sólo si su negación, ¬P, no es satisfactible. Comprobar que esto es así,es simplemente cuestión de aplicar las dos definiciones que acabamos de dar.Otra manera de expresarlo, es diciendo que Q es satisfactible si y sólo si ¬Qno es lógicamente verdadera.

Ya se vio en el capítulo anterior, que hay un método simple para determi-nar cuándo una oración construida a partir de oraciones atómicas por mediode ∧, ∨ y ¬ es una tautología. Este método también sirve para determinarsi una oración es o no satisfactible y si es lógicamente verdadera. El métodoinvolucraba la construcción de una tabla de verdad para la oración en cues-tión. En el apartado 4.6 vimos cómo construir este tipo de tablas de verdadpara enunciados complejos. Como ya señalamos en esa oportunidad, algunasde las líneas en una tabla de verdad pueden no representar posibilidades ge-nuinas, como por ejemplo, una línea en la que se asignara F a (a = a), dadoque esto es siempre verdadero. No obstante, la tabla de verdad, al agotartodas las posibles combinaciones de valores, no excluirá por sí sola esta al-ternativa. Sólo nosotros podemos darnos cuenta de esto y observar que estalínea no contiene una asignación genuina. Esta situación nos lleva a distin-guir dos tipos de oraciones lógicamente verdaderas: por un lado tenemos las

Capítulo 5 76

tautologías, que ya vimos anteriormente y por otro, las que denominaremossimplemente verdades lógicas. Estas últimas son todas aquellas oraciones alas que su tabla de verdad les asigna V en todas las líneas con asignacionesgenuinas. Para apreciar esto, intente ver qué pasa en el ejemplo del apartado4.6, si dejando de lado que A, B y C representen oraciones atómicas, C seinterpretara como a6= a.

RecordarSea S una oración de LPO construida a partir de oraciones atómicassólo por medio de conectivas veritativo-funcionales.

1. S es una tautología si y sólo si toda línea asigna V a S.

2. S es satisfactible si y sólo si hay al menos una línea genuina dela tabla de verdad que asigne V a S.

3. S es lógicamente verdadera si y sólo si toda línea genuina asignaV a S.

5.2. Consecuencia lógica y tautológica

Las tablas de verdad pueden ser usadas para chequear tanto las conse-cuencias lógicas como las verdades lógicas. Supongamos, por ejemplo, quequeremos conocer si Q es una consecuencia lógica de P. Construya una tablade verdad donde liste todos las oraciones atómicas que aparecen en P o enQ. Siguiendo la línea vertical doble, forme una columna para P. Siguiendouna segunda línea vertical doble, coloque otra columna para Q. Llene ambascolumnas usando el método descripto en la sección 4.6. Posteriormente, sitoda línea en la cual P es verdadero es también una línea en la que Q esverdadera, entonces Q es una consecuencia lógica de P.

Ejemplo: Chico(a) ∨ Chico(b) es consecuencia lógica de(Tet(a) ∧ Chico(a)) ∨ Chico(b)

Capítulo 5 77

Tet(a) Chico(a) Chico(b) (Tet(a) ∧ Chico(a) ∨ Chico(b)) Chico(a) ∨ Chico(b)

V V V V V V V

V V F V V F V

V F V F V V V

V F F F F F F

F V V F V V V

F V F F F F V

F F V F V V V

F F F F F F F

Como puede comprobar, no hay ninguna línea en la cual laspremisas sean verdaderas y la conclusión falsa.

Aunque no es el caso del ejemplo anterior, puede suceder –como ya sevio en la sección 4.6– que algunas líneas de la tabla contengan asignacionesde valores de verdad, que son imposibles o insostenibles, cuando se conoceel significado de las oraciones que forman las premisas. Como, por ejemplo,que tanto Cubo(a) como Tet(a) se consideren al mismo tiempo verdaderas.En este caso, para determinar si hay consecuencia lógica, se deberá consi-derar qué pasa con el resto de la tabla, si se dejan de lado esas lineas. Esdecir, si en todos los casos restantes, la conclusión es verdadera cuando loson conjuntamente las premisas. Si sucede esto último, entonces la conclusiónes consecuencia lógica de las premisas para este tipo de argumentos. Puedeverse que lo que se hace en estos casos, es descartar aquellas lineas de la tablaque corresponden a mundos lógicamente imposibles. El uso de las tablas deverdad en este contexto, lleva entonces a distinguir dos formas de consecuen-cia lógica. Decimos que hay consecuencia tautológica en el caso que –segúnla tabla– la conclusión es verdadera, si lo son conjuntamente las premisas,inclusive considerando las líneas de la tabla con asignaciones de valores deverdad que no son admisibles, por el significado de las premisas. En el otrocaso, cuando esto sucede, pero sólo dejando de lado aquellas líneas, decimosque la conclusión es consecuencia lógica de las premisas y no tautológica.

Capítulo 5 78

Recordar

Sean P1, . . . , Pn y Q oraciones de LPO construidas a partir de oracio-nes atómicas sólo por medio de las conectivas veritativo funcionales:

Q es una consecuencia tautológica de P1, . . . , Pn si y sólo sitoda línea de la tabla de verdad que asigna VERDADERO acada P1, . . . , Pn también asigna VERDADERO a Q

Q es una consecuencia lógica de P1, . . . , Pn si y sólo si, omi-tiendo cuando sea el caso las líneas que presentan asignacio-nes imposibles, toda línea que asigna VERDADERO a cadaP1, . . . , Pn también asigna VERDADERO a Q.


Problema 5.1: Muestre que todo caso de consecuencia tautológica, es uncaso de consecuencia lógica, pero que la inversa no se da.

Problema 5.2. Use el método de tablas de verdad para responder las si-guientes cuestiones:

1. ¿Es Cubo(b) una consecuencia tautológica de (Cubo(a) ∨ Cubo(b)) ∧Tet(a)? ¿Y consecuencia lógica?

2. ¿Es Cubo(b) una consecuencia lógica de (Cubo(a)∨Cubo(b))∧¬Cubo(a)?¿Y es consecuencia tautológica?

Problema 5.3. Para cada uno de los argumentos que siguen a continuaciónuse el método de las tablas de verdad para determinar si la conclusión es unaconsecuencia lógica de las premisas.

1.MasAltQ(Clara, Max) ∨MasAltQ(Max, Clara)MasAltQ(Clara, Max)∴ ¬MasAltQ(Max, Clara)

2.Grand(a)Cubo(a) ∨ Dodec(a)∴ (Cubo(a) ∧ Grand(a)) ∨ (Dodec(a) ∧ Grand(a))

Capítulo 5 79

3.A ∨ ¬BB ∨ CC ∨ D∴ A ∨ ¬D

4.¬A ∨ B ∨ C¬C ∨ D¬(B ∧ ¬E)∴ D ∨ ¬A ∨ E

5.2.1. Premisas inconsistentes

¿Cuáles son las consecuencias lógicas de un conjunto de premisas incon-sistentes? Si se miran nuestras definiciones anteriores, se verá que cualquieroración S es una consecuencia de tal conjunto. Después de todo, si las pre-misas son inconsistentes, entonces no hay modo de que puedan ser todasverdaderas. Así, vacuamente, cada conjunto de circunstancias que las haceverdaderas también hace verdadera a la proposición que expresa S.

Por ejemplo, suponga que se le dan las siguientes premisas:

1. EnCasa(Max) ∨ EnCasa(Clara)

2. ¬EnCasa(Max)

3. ¬EnCasa(Clara)

Entonces cualquier oración en el mismo lenguaje de primer orden cuenta comouna consecuencia lógica de estas premisas. Pero a diferencia de un argumentonormal válido, un argumento con un conjunto de premisas inconsistente noes de mucha importancia. Después de todo, la razón por la que estamosinteresados en la consecuencia lógica es debido a su relación con la verdad.Si las premisas no tienen ninguna posibilidad de ser verdaderas, entoncesaunque conozcamos que el argumento es válido, este hecho no nos permiteestablecer la verdad o falsedad de la conclusión.

5.2.2. Condicional material y consecuencia lógica

Hay algo que deberíamos decir sobre el condicional material, lo cual ayudaa explicar su importancia en lógica. El condicional nos permite reducir enLPO la noción de consecuencia lógica a la de verdad lógica. Dijimos queuna oración Q es una consecuencia de las premisas P1, . . . , Pn, si y sólo si esimposible que todas las premisas sean verdaderas mientras que la conclusión

Capítulo 5 80

sea falsa. Otro modo de decir esto es que es imposible que la conjunción(P1,∧ . . .∧, Pn) sea verdadera y que Q sea falsa.

Dado el significado de “→”, vemos que Q es una consecuencia de P1, . . . , Pnsi y sólo si es imposible que

(P1,∧ . . .∧, Pn)→ Q

sea falso, esto es, sólo en el caso que este condicional sea lógicamente ver-dadero. Así, un modo de chequear la validez de un argumento en LPO, esconstruir una tabla de verdad como esta y ver si la columna final contienesolamente VERDADERO. En la práctica, este método no es muy eficiente,puesto que las tablas de verdad para unas pocas oraciones se hacen ya de-masiado largas como para tener un manejo adecuado. No obstante, se tratade un método efectivo, en tanto mecanizable, ya que una computadora lopuede hacer siempre en un tiempo finito –de hecho muy breve– por grandeque fuese la tabla.

5.3. Equivalencia lógica

Para expresar ciertas leyes lógicas, primero introduciremos alguna termi-nología. Decimos que dos oraciones P y Q en el lenguaje de primer ordenson lógicamente equivalentes si la proposiciones que expresan son verdaderasen exactamente las mismas circunstancias (y, en consecuencia, falsas en lasmismas circunstancias). Escribiremos esto como:

P⇔ Q

Si P y Q son lógicamente equivalentes, entonces por supuesto, los mismosmundos harán verdaderas a las proposiciones correspondientes. Si hay unmundo donde una proposición es verdadera y la otra no, entonces no sonequivalentes.

Capítulo 5 81

RecordarSean S y S′ oraciones de LPO construidas a partir de oraciones atómi-cas sólo por medio de las conectivas veritativo funcionales. Construyala tabla de verdad correspondiente a las proposiciones tomadas en suconjunto y observe que:

S y S′ son lógicamente equivalentes si y sólo si toda fila de latabla de verdad asigna los mismos valores a S y S′.

Como ejemplo, es obvio que para cualquier P, P y ¬¬P son lógicamenteequivalentes. Esto se conoce como la ley de doble negación. Ejemplos aún mássimples, son las así llamadas leyes de asociación. Así, por ejemplo, P∧(Q∧R)es lógicamente equivalente a (P ∧ Q) ∧ R. Lo mismo se da si reemplazamos∧ por ∨ en todas estas fórmulas: P ∨ (Q ∨ R) es lógicamente equivalente a(P ∨ Q) ∨ R.

No mencionaremos otra vez las leyes de asociación, ya que son muy sim-ples. Las leyes de DeMorgan son más importantes. Una nos dice que la nega-ción de una conjunción ¬(P∧Q), es lógicamente equivalente a la disyunciónde las negaciones de los elementos originales: ¬P ∨ ¬Q. La otra nos dice quela negación de una disyunción, ¬(P ∨ Q), es lógicamente equivalente a laconjunción de las negaciones de los disyuntos originales: ¬P∧¬Q. Estas sonsimples consecuencias de los significados de las conectivas involucradas.

¬(P ∧ Q)⇔ ¬P ∨ ¬Q

¬(P ∨ Q)⇔ ¬P ∧ ¬Q

Cuando dos oraciones son lógicamente equivalentes, entonces cada unade ellas es una consecuencia lógica de la otra. Como resultado, al dar unademostración informal, uno puede siempre pasar de cualquier oración a otraque sea lógicamente equivalente a ella. Esto hace que cuestiones tales comolas leyes de DeMorgan sean tan útiles en demostraciones informales.

Capítulo 5 82

Recordar(Doble negación y Leyes de DeMorgan). Para cualesquiera oracionesP y Q:

1. Doble negación: ¬¬P⇔ P

2. DeMorgan : ¬(P ∧ Q)⇔ ¬P ∨ ¬Q

3. DeMorgan : ¬(P ∨ Q)⇔ ¬P ∧ ¬Q

Un hecho importante sobre el símbolo del bicondicional es que P y Q sonlógicamente equivalentes sí y sólo si el bicondicional formado a partir de ellas,P ↔ Q, es lógicamente verdadero. Otro modo de manifestar esto, es decirque P ⇔ Q es verdadera si y sólo si P ↔ Q es lógicamente verdadera. Así,por ejemplo, podemos expresar una de las leyes de DeMorgan diciendo quela siguiente expresión es lógicamente verdadera:

¬(P ∧ Q)↔ ¬P ∨ ¬Q

Esta observación tienta a confundir los símbolos ↔ y ⇔. Esta tentacióndebe ser resistida. La primera es una conectiva veritativo funcional de LPO,mientras que la última es una forma abreviada de “es lógicamente equivalentea”, que ya no es extensional.

Usando estas tres leyes, uno puede tomar cualquier oración construida con∧ , ∨ y ¬ y transformarla en una donde ¬ se aplica sólo a oraciones atómicas.Otro modo de expresar esto es que cualquier oración construida a partir deoraciones atómicas, usando las tres conectivas ∧ , ∨ y ¬ es lógicamenteequivalente a una construida a partir de literales usando sólo ∧ y ∨. Paraobtener una oración tal, simplemente se lleva ¬ hacia adentro de la oración,cambiando ∧ por ∨ , ∨ por ∧ y cancelando cualquier par de negaciones queestán inmediatamente al lado de otra, que no esten separadas por paréntesis.Una oración tal, se dice que está en forma normal con negación. Damosa continuación un ejemplo de derivación de una oración en forma normalcon negación. Usamos A, B y C como oraciones atómicas cualesquiera dellenguaje.

Capítulo 5 83

¬((A ∨ B) ∧ ¬C ⇔ ¬(A ∨ B) ∨ ¬¬C

⇔ (¬A ∧ ¬B) ∨ ¬¬C

⇔ (¬A ∧ ¬B) ∨ C

Al leer y dar una derivación de esta clase, recuerde que el símbolo deequivalencia lógica “⇔”, no es en sí mismo un símbolo del lenguaje de pri-mer orden. Más bien, es un modo abreviado de decir que dos oraciones sonlógicamente equivalentes.

Finalizamos esta sección con una lista de equivalencias lógicas adicionalesy algunos ejercicios relacionados con ellas.

1. (Idempotencia de ∧) Si una conjunción tiene un conyunto repetidoentonces la conjunción es lógicamente equivalente al resultado de quitar todaslas ocurrencias de ese conyunto menos una. Por ejemplo,

P ∧ Q⇔ P ∧ (P ∧ Q)

2. (Idempotencia de ∨) Si una disyunción tiene un disyunto repetido,entonces la disyunción es lógicamente equivalente al resultado de quitar todaslas ocurrencias de ese disyunto, menos una. Por ejemplo,

(P ∨ Q) ∨ P⇔ P ∨ Q

3. (Conmutatividad de ∧) Cualquier reacomodamiento de los elementosde una conjunción en una oración de LPO es lógicamente equivalente aloriginal. Por ejemplo,

(P ∧ Q) ∧ R⇔ (Q ∧ P) ∧ R

4. (Conmutatividad de ∨) Cualquier reacomodamiento de los disyuntosde una oración de LPO es lógicamente equivalente al original. Por ejemplo,

(P ∨ Q) ∨ R⇔ (Q ∨ P) ∨ R

Damos a continuación un ejemplo donde usamos algunas de estas leyespara mostrar que la primera oración en la lista siguiente es lógicamente equi-valente a la última. Otra vez (como en lo que sigue) usamos A, B y C enlugar de oraciones atómicas arbitrarias de LPO. De tal manera, el resultado

Capítulo 5 84

está en forma normal con negación.

(A ∨ B) ∧ C ∧ (¬(¬B ∧ ¬A) ∨ B)) ⇔ (A ∨ B) ∧ C ∧ (¬¬B ∨ ¬¬A) ∨ B))

⇔ (A ∨ B) ∧ C ∧ (B ∨ A) ∨ B))

⇔ (A ∨ B) ∧ C ∧ (B ∨ A ∨ B)

⇔ (A ∨ B) ∧ C ∧ (B ∨ A)

⇔ (A ∨ B) ∧ C ∧ (A ∨ B)

⇔ (A ∨ B) ∧ C

En esta lista el primer paso se justifica por una de las leyes de DeMorgan.El segundo paso necesita dos aplicaciones de la Doble Negación. En el pasosiguiente usamos la asociación para remover los paréntesis innecesarios. En elcuarto paso, usamos la Idempotencia de la ∨. Para el último paso, usamos laConmutatividad de ∨, mientras que para el paso final usamos la Idempotenciade ∧.

Ejercicios y problemas

Problema 5.4. (forma normal con negación) Notará que hay espacios enblanco. En cada espacio escriba la forma normal con negación de la oración dearriba. Luego construya un mundo de bloques donde use todos los nombres.Si ha logrado las formas normales con negación correctas, cada proposicióncorrespondiente a un número par de la lista de oraciones, tendrá el mismovalor en su mundo que la proposición de arriba. Verifique que esto es así ensu mundo de bloques.

1. ¬(Cubo(a) ∧MayorQ(a, b))

2.

3. ¬(Cubo(a) ∨MayorQ(b, a))

4.

5. ¬(¬Cubo(a) ∨ ¬MayorQ(a, b) ∨ ¬(a = b))

6.

7. ¬(Tet(b) ∨ (Grand(c) ∧ ¬MenorQ(d, e)))

Capítulo 5 85

8.

9. Dodec(f) ∨ ¬(Tet(b) ∨ ¬Tet(f) ∨ ¬Dodec(f))

10.

Problema 5.5. (Practique usando conmutatividad e idempotencia) Use lasleyes de arriba, más la remoción de algún paréntesis innecesario, para sim-plificar las siguientes expresiones tanto como sea posible.

1. (A ∧ B) ∧ A

2. (B ∧ (A ∨ B ∧ C))

3. (A ∨ B) ∨ (C ∧ D) ∨ A

4. (¬A ∨ B) ∨ (B ∨ C)

5. (A ∧ B) ∨ C ∨ (B ∧ A) ∨ A

Problema 5.6. (Forma normal con negación) Use Doble Negación y las leyesde DeMorgan para colocar estas oraciones en formas normales con negación.

1. ¬(EnCasa(Carl) ∧ ¬EnCasa(Clara))

2. ¬[(Feliz(Max) ∧ (¬GustaDe(Carl, Clara) ∨ ¬GustaDe(Clara, Carl))]

3. ¬¬¬[(EnCasa(Max) ∨ EnCasa(Carl)) ∧ (Feliz(Max) ∨ Feliz(Carl))]

Capítulo 6

Métodos de demostración

Las tablas de verdad nos ofrecen técnicas muy poderosas para investigarla lógica de las conectivas. Pero de ninguna manera constituyen el punto finalde este asunto. Las tablas de verdad son adecuadas para mostrar la validezde los argumentos simples que dependen sólo de las conectivas veritativo-funcionales, pero este método tiene dos limitaciones significativas. En primerlugar, las tablas de verdad se hacen extremadamente largas a medida queaumenta el número de oraciones atómicas. Es bastante común encontrarsecon un argumento que involucra siete oraciones atómicas, pero chequear suvalidez requeriría una tabla de verdad de 277128 columnas. Chequear unargumento con catorce oraciones atómicas, justo el doble, requeriría una tablade 16.000 columnas. Este crecimiento exponencial limita severamente el valorpráctico del método de las tablas de verdad.

La segunda limitación es mucho más significativa. Los métodos de lastablas de verdad no pueden extenderse fácilmente a razonamientos cuya va-lidez depende de algo más que las conectivas veritativo-funcionales. Como sepodría advertir, a partir de la artificialidad de los argumentos tratados enlos capítulos anteriores, esto excluye a la mayoría de los razonamientos quepueden encontrarse en la vida cotidiana. El razonamiento cotidiano se basafuertemente en la lógica de las conectivas veritativo- funcionales, pero tam-bién se basa en la lógica de otro tipo de expresiones. Dado que las tablas deverdad detectan solamente consecuencia tautológica, necesitamos otro méto-do de aplicación de las conectivas que funcione con otros principios válidosde razonamiento.

Los métodos de demostración, formales e informales, aportan la extensión

86

Capítulo 6 87

requerida. En este capítulo vamos a considerar patrones de inferencia legíti-mos que surgen cuando se introducen las conectivas en el lenguaje. Además,vamos a mostrar cómo aplicar estos patrones de inferencia en demostracio-nes informales. La ventaja esencial que los métodos de demostración poseensobre las tablas de verdad es que pueden emplearse cuando la validez de lasdemostraciones depende de algo extra además de las conectivas.

Las conectivas veritativo funcionales dan lugar a muchos patrones de in-ferencia válidos. Algunos de estos patrones son extremadamente sencillos einvolucran simples implicaciones entre pares de enunciados, como la implica-ción de P∧Q a P. Nos referiremos a estos patrones como pasos de inferenciaválidos. Sin embargo, los más interesantes son los nuevos métodos de de-mostración que son permitidos por las nuevas expresiones. Discutiremos estobrevemente en la primera sección. Mucho más interesantes son los tres nuevosmétodos de demostración permitidos por las nuevas expresiones: demostra-ción por casos, demostración por contradicción y demostración condicional.

6.1. Métodos de demostración que involucranconectivas

Cada nueva conectiva que introducimos en nuestro lenguaje da lugar apatrones legítimos de inferencia. Algunos de estos patrones son extremada-mente simples, probablemente el ejemplo más simple de un paso válido enuna demostración es que cualquier oración P se sigue de cualquier otra ora-ción Q, que se sabe que es lógicamente equivalente a ella. Por esta razón, esconveniente tener ciertas equivalencias lógicas en las puntas de sus dedos. Yahemos discutido algunas de las equivalencias más interesantes que involucrana ¬, ∧, ∨, → y ↔.

Una instancia simple de esto usa el principio de la Doble Negación, enambas direcciones. Por ejemplo, dada la oración ¬¬IzqdDe(a, b), puede inferirIzqdDe(a, b), y viceversa.

De manera similar, podemos usar equivalencias lógicas para reemplazarpartes de oraciones por partes lógicamente equivalentes. Así, si hemos demos-trado algunas oraciones que contenien la oración ¬¬IzqdDe(a, b), podemosreemplazar a ésta en el original por IzqdDe(a, b). Las oraciones que difierensólo en partes lógicamente equivalentes son ellas mismas lógicamente equiva-lentes.

Capítulo 6 88

Un principio relacionado que puede ser útil es el siguiente: si conoce queuna oración Q es una verdad lógica, entonces podría afirmar Q en cualquierparte de su demostración. Esto también nos permite afirmar otras verdadeslógicas simples, como P ∨ ¬P, en cualquier punto en una demostración.

Además, hay otros cinco simples pero importantes pasos válidos que ne-cesitan ser mencionados, dos involucran ∧, uno involucra ∨, otro involucra→, y el último ↔.

Supongamos que hemos procurado demostrar una conjunción, digamosP ∧ Q. Entonces, claramente se sigue P y claramente se sigue Q. De modomás general, ¿tenemos justificación para inferir, a partir de una conjunciónde cualquier número de enunciados, cualquier conyunto? ¿Por qué? Porqueno hay modo de que la conjunción sea verdadera sin que cada conyuntosea verdadero. Estos pasos son llamados algunas veces “eliminación de laconjunción” o “simplificación”, cuando se los presenta en el contexto de unsistema formal de deducción. No obstante, cuando son presentados en elcontexto del razonamiento matemático real van sin comentarios, puesto queson demasiado obvios.

Algo sutilmente más interesante es la conversa. Supongamos que hemosprocurado demostrar una oración P y otra oración Q, a partir de las mismaspremisas. Luego, dado el significado de ∧, claramente estamos autorizadosa inferir la conjunción P ∧ Q. Porque, si tanto P como Q son verdaderas,así lo es la conjunción de las mismas. De modo más general, si queremosdemostrar una conjunción de una ristra de enunciados, podríamos hacerloasí, demostrando cada parte separadamente. En un sistema formal de deduc-ción, los pasos de esta clase son llamados algunas veces “introducción de laconjunción” o sólo “conjunción”. Nuevamente, en el razonamiento de la vidacotidiana, estos pasos son demasiado simples para que merezcan atención. Ennuestras demostraciones informales rara vez hacemos una mención explícitade los mismos.

Veamos un paso válido que involucra ∨. Es un paso simple, pero es unpaso que sorprende a los estudiantes como peculiar.

Supongamos, por ejemplo, que ha demostrado Cubo(b). Luego, sí por al-guna razón lo quiere, puede concluir Cubo(a)∨ Cubo(b)∨ Cubo(c). De modomás general, si ha demostrado alguna oración P, entonces puede inferir cual-quier disyunción que tiene a P como uno de sus disyuntos. Después de todo,si P es verdadera, también lo es cualquiera de tales disyunciones.

Lo que sorprende como un paso peculiar a los recién llegados a la lógi-

Capítulo 6 89

ca es que este paso equivale a desechar información. ¿Por qué en el mundoquerríamos concluir P ∨Q cuando ya conocemos la afirmación más informa-tiva P? Pero como luego veremos, este paso es sumamente útil cuando locombinamos con alguno de los métodos de demostración que se discutiránposteriormente. Aún más, en demostraciones matemáticas, pasa sin notarse.En sistemas formales, se la denomina “introducción de disyunción”, o (másdesafortunadamente) “adición”.

A partir del hecho que → y ↔ pueden ser definidos en términos de ¬ y∧, ó ¬ y ∨, podríamos siempre eliminarlas de las demostraciones por mediode estas definiciones. Así, por ejemplo, si quisiéramos demostrar Q → Rpodríamos sólo demostrar ¬Q∨ R, y luego usar la definición. En la práctica,sin embargo, esto no es una buena idea. Es más natural e intuitivo usarreglas que involucren directamente los símbolos, especialmente con →. Elpaso de demostración más común involucrando → lleva el nombre latinomodus ponens, o el español “eliminación del condicional”. La regla dice que siha establecido Q→ R y ha establecido Q entonces puede inferir R. Esta reglaes obviamente válida, ya que si Q → R y Q son ambas verdaderas, entoncestambién debe ser verdadera R.

Hay un paso de demostración similar para el bicondicional, puesto que elbicondicional es lógicamente equivalente a una conjunción de los dos condi-cionales. Si ha establecido Q → R o R → Q, entonces si puede establecer Q,puede inferir R. Esto es llamado “eliminación del bicondicional”.

Recordar

Sean P y Q cualesquiera oraciones de LPO.1. Eliminación de la conjunción: a partir de P ∧ Q se infiere P.2. Introducción de la conjunción: a partir de P y de Q se infiere P∧Q.3. Introducción de la disyunción: a partir de P se infiere P∨.4. Modus ponens: A partir de P→ Q y P se infiere Q.5. Eliminación del Bicondicional: A partir de P y, o bien P → Q obien Q→ P se infiere Q.

Hay un número de equivalencias lógicas útiles que involucran las cincoconectivas. Entre las más importantes podemos mencionar las leyes de De-Morgan y la ley de Contraposición. Esta segunda ley establece que P → Q

Capítulo 6 90

es lógicamente equivalente a ¬Q→ ¬P. Este último condicional es conocidocomo el contrapositivo del condicional original.

He aquí algunas equivalencias lógicas que deben ser recordadas:

¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q¬(P ∨ Q) ⇔ ¬P ∧ ¬QP→ Q ⇔ ¬Q→ P)P→ Q ⇔ ¬P ∨ Q)¬(P→ Q) ⇔ P ∧ ¬Q

P↔ Q ⇔ (P→ Q) ∧ (Q→ P)P↔ Q ⇔ (P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q)

Estos no son de ninguna manera los únicos pasos válidos, ni siquiera losúnicos importantes. Sin embargo se puede percibir la naturaleza simple detales pasos. Presentamos algunos otros en los siguientes problemas.


Problema 6.1 (Pasos válidos adicionales) En lo que sigue listamos un con-junto de pasos de inferencia, sólo algunos de los cuales son válidos. Para cadauno, determinar si es válido. Si lo es, explicar por qué es válido, apelandoa las tablas de verdad para las conectivas involucradas. Si no lo es, dar unejemplo de cómo el paso podría ser usado para ir desde premisas verdaderasa una conclusión falsa.

A partir de P ∨ Q y ¬P, inferir Q.A partir de P ∨ Q y Q, inferir ¬PA partir de ¬(P ∨ Q), inferir ¬P.A partir de ¬(P ∧ Q) y P, inferir ¬Q.A partir de ¬(P ∧ Q), inferir ¬PA partir de (P ∧ Q) y ¬P, inferirQ.

Capítulo 6 91

Cuestiones de estilo

Las demostraciones informales sirven para dos propósitos. Por un lado,son un método de descubrimiento; permiten extraer nueva información a par-tir de la información ya disponible. Por otro lado, son un método de comu-nicación; permiten compartir nuestros descubrimientos con otras personas.Como todas las formas de comunicación, esto se puede hacer bien o mal.

Cuando se aprende a escribir, se aprenden ciertas reglas básicas de pun-tuación, uso de mayúsculas, estructuración de párrafos, etc. Pero más allá deestas reglas básicas hay cuestiones de estilo. Los diferentes escritores tienendiferentes estilos. Y esto es algo bueno ya que sería bastante aburrido leer sitodo el mundo escribiese con el mismo estilo. Esto también sucede al hacerdemostraciones. Si usted continúa estudiando matemática, leerá una grancantidad de demostraciones y descubrirá que cada escritora (o escritor) tienesu propio estilo. Incluso usted mismo desarrollará su propio estilo.

Cada paso en una “buena” demostración, además de ser correcto, deberátener dos propiedades. Deberá ser fácilmente entendido y significativo. Por“fácilmente entendido” se quiere decir que otras personas deberían ser capacesde seguir los pasos sin dificultades injustificadas; deberían ser capaces dever que el paso es válido sin necesidad de involucrarse ellos mismos en unrazonamiento complejo. Por “significativo” se quiere decir que el paso deberíaser informativo y no una pérdida de tiempo para el lector de la demostración.

Estos dos criterios apuntan en direcciones opuestas. Típicamente, mien-tras más significativo sea el paso, más difícil será de seguir. Un buen estilorequiere un balance razonable entre las dos direcciones. Y esto, a la vez, re-quiere alguna idea sobre a quién está dirigida la demostración. Por ejemplo,si usted y su audiencia han estado trabajando en lógica desde hace algúntiempo, reconocerán una gran cantidad de equivalencias y pretenderán uti-lizarlas en sus demostraciones sin demostrarlas también. Pero si usted o suaudiencia son principiantes, la misma inferencia requerirá mucho más pasos.

6.2. Método de demostración por casos

Además de pasos de demostración válidos y simples, los símbolos quehemos introducido dan lugar a tres significativos métodos de demostración,métodos de demostración que se aplican explícitamente en todos los tipos derazonamiento riguroso. Son los métodos de demostración por casos, de de-

Capítulo 6 92

mostración por contradicción y de demostración condicional. En los sistemasformales de inferencia, llevan respectivamente los nombres de eliminación dela disyunción, introducción de la negación e introducción del condicional.

Empezamos ilustrando la demostración por casos con un razonamientomatemático muy conocido. Este razonamiento demuestra que hay númerosirracionales 1 b yc tales que bc es racional.

Demostración: Para mostrar que hay números irracionales

b y c tales que bc es racional, consideremos el número√

2√

2.Observamos que éste es o racional o irracional. Si es racional,entonces hemos encontrado nuestros b y c; a saber, b = c =

√2. Si

es irracional, sin embargo, entonces tomamos b =√

2√

2 y c =√

2y computamos bc.

bc =(√

2√

2)√2

=√

2(√

2·√

2)

=√

22

= 2

De este modo, vemos que en este caso también bc es racional.

Así, sea√

2√

2racional o irracional, sabemos que hay númerosirracionales b y c tal que bc es racional.

Lo que nos interesa aquí no es el resultado en sí, sino la estructura general delargumento. Comenzamos con un objetivo deseado que queremos demostrar,digamos S, y una disyunción que ya conocemos, digamos P ∨ Q. Entoncesmostramos dos cosas: que S se sigue si suponemos que P es el caso, y que Sse sigue si suponemos que Q es el caso. A partir de que conocemos que unode estos debe darse, concluimos entonces que S debe ser el caso. Este patrónde razonamiento es llamado “eliminación de la disyunción” o “demostraciónpor casos.”

1Un número es racional si puede ser expresado como una fracción nm para n y m enteros.

Así, 2 es racional (2 = 21 ), pero

√2 es irracional, como pronto demostraremos.

Capítulo 6 93

No hay necesidad de limitar la división de las demostraciones por casosa sólo dos casos, como lo hicimos en nuestro ejemplo. Si en algún estadioen una demostración tenemos alguna disyunción conteniendo n disyuntos,digamos P1 ∨ . . .∨ Pn, entonces podemos dividirla en n casos. En la primerasuponemos P1, en la segunda P2, y así sucesivamente para cada disyunto. Sies posible demostrar nuestro resultado deseado S en cada uno de estos casos,estamos justificados para concluir que S se da.

Veamos un ejemplo aún más simple de demostración por casos. Supon-gamos que queremos demostrar que Chico(c) es una consecuencia lógica de

(Cubo(c) ∧ (Chico(c)) ∨ (Tet(c) ∧ (Chico(c))

Esto es, por supuesto, más que obvio, pero la demostración involucra di-vidirla en casos, como lo advertirá si piensa cuidadosamente cómo haría parareconocerlo. Para su registro, así es como transcribiríamos la demostración.

Demostración: Se nos ha dado (Cubo(c)∧ (Chico(c))∨ (Tet(c)∧(Chico(c)) como premisa. La dividiremos en dos casos, corres-pondientes a los dos disyuntos. Primero, suponemos que se daCubo(c) ∧ (Chico(c). Por otra parte, (por eliminación de la con-junción, que en realidad aún no hemos mencionado) tenemosChico(c). Pero, de manera similar, si asumimos Tet(c)∧(Chico(c),se sigue Chico(c). Así, en ambos casos, tenemos Chico(c), comodeseamos.

Veamos otro ejemplo, uno que muestre cómo el raro paso particular de la in-troducción de la disyunción puede ser usado provechosamente con la demos-tración por casos. Supongamos que conocemos que o bien Og es un caballeroy Ark es sano, o Bog es un caballero y Jal es sano, es decir:

(Caballero(Og) ∧ (Sano(Ark)) ∨ (Caballero(Bog) ∧ (Sano(Jal))

Queremos demostrar que o bien Ark o Bark es sano, esto es,

Sano(Ark) ∨ Sano(Jal)

Una demostración más tediosa que otra cosa pero paso por paso seríaalgo como esto:

Capítulo 6 94

Demostración: Supongamos la disyunción:

(Caballero(Og) ∧ (Sano(Ark)) ∨ (Caballero(Bog) ∧ (Sano(Jal))

Entonces o bien

Caballero(Og) ∧ (Sano(Ark)

o

Caballero(Bog) ∧ (Sano(Jal)

Si se da la primera alternativa, entonces Sano(Ark) y tenemos


por introducción de la disyunción. De igual modo, si la segundaalternativa se sostiene, tenemos Sano(Ark) y así


Así, en cualquier caso, tenemos la conclusión deseada. De estemodo nuestra conclusión se sigue por demostración por casos.

La validez de la demostración por casos no puede ser demostrada por el mé-todo simple de las tablas de verdad introducido anteriormente. La razón deesto es que inferimos la conclusión S a partir del hecho de que S es demos-trable desde cada uno de los disyuntos P y Q. Se sustenta en el principio deque si S es una consecuencia lógica de P y también una consecuencia lógicade Q, entonces es consecuencia lógica de P∨Q. Esto se sostiene porque todacircunstancia que hace verdadera a P ∨ Q debe hacer verdadera al menos aP o a Q, y por lo tanto, también a S, por el hecho de que S es consecuencialógica de ambas.

Recordar(Demostración por casos) Para demostrar S a partir de P1 ∨ . . .∨Pn,demuestre S a partir de cada uno de los P1, . . . , Pn

Capítulo 6 95


Problema 6.2. En nuestra demostración de que existen números irracionalesb y c donde bc es racional, uno de nuestros pasos fue afirmar que

√2 es

racional o irracional. ¿Qué justifica la introducción de esta afirmación ennuestra demostración?

6.3. Método de demostración por contradicción

Uno de los métodos de demostración más importantes es conocido comodemostración por contradicción. (También se lo llama Reductio ad absurdume introducción de la negación.) La idea básica es ésta. Suponga que quieredemostrar un enunciado negativo, digamos ¬S, a partir de algunas premisas,digamos P1, P2,. . ., Pn. Un modo de hacerlo es suponer temporalmente S ymostrar que se sigue una contradicción de esta suposición. Si se puede mos-trar esto, entonces se puede concluir que ¬S es una consecuencia lógica delas premisas originales. ¿Por qué? Porque la demostración de la contradicciónmuestra que S, P1, P2,. . ., Pn no pueden ser todas verdaderas simultánea-mente. En consecuencia, si P1, P2,. . ., Pn son verdaderas en algún conjuntode circunstancias, entonces S debe ser falsa en esas circunstancias.

Veamos un ejemplo simple de este método de demostración. SupongamosCubo(c) ∨ Dodec(b) y ¬Tet(b). Demostremos ¬Tet(c)

Demostración: Para demostrar ¬Tet(c), suponemos Tet(c) e in-tentamos llegar a una contradicción. Por nuestra primera premisasabemos que Cubo(c) o Dodec(b). Si el primero es el caso, enton-ces tenemosCubo(c) pero esto contradice nuestro supuesto Tet(c),puesto que c no puede ser un cubo y un tetraedro a la vez. Pero deigual manera, si el segundo es el caso, tenemos Dodec(b) que con-tradice Tet(b). De este modo ninguno es posible, y tenemos unacontradicción. Así nuestra suposición inicial de que Tet(c) debeestar equivocada. En consecuencia, la demostración por contra-dicción nos da nuestra conclusión deseada, ¬Tet(c). (Note queeste argumento también usa el método de demostración por ca-sos.)

Daremos ahora un ejemplo más interesante y famoso de este método de de-

Capítulo 6 96

mostración. Los griegos se sorprendieron al descubrir que la raíz cuadrada de2 no podía ser expresada como una fracción, o, como lo diríamos actualmen-te, es irracional. La demostración de este hecho es por contradicción. Antesde ver la demostración, revisemos algunos simples hechos numéricos que eranbien conocidos por los griegos. El primero es que cualquier número racionalpuede ser expresado como una fracción p/q donde por lo menos uno de p oq es impar. (Si no lo es, dividir numerador y denominador por 2 hasta queuno de ellos sea impar.) El otro hecho se sigue a partir de la observaciónde que cuando elevamos al cuadrado un número impar, siempre obtenemosun número impar. Así si n2 es un número par, entonces también lo es n. Yapartir de esto, vemos que si n2 es par, debe ser divisible por 4.

Ahora, la demostración de que√

2 es irracional.Demostración: con el propósito de alcanzar una contradicción, su-pondremos que

√2es racional. De este modo puede ser expresado en

la forma√

2 = p/q, donde al menos uno de p y q es impar. A partirde que p/q =

√2 tenemos que

p2

q2 = 2

Multiplicando ambos lados por q2, llegamos a p2 = 2q2. Pero estomuestra que p2 es un número par. Como hemos notado antes, estonos permite concluir que p es par y que p2 es divisible por 4. Mirandonuevamente la ecuacióna p2 = 2q2, vemos que si p2 es divisible por4, entonces q2 debe ser divisible por 2. En cualquiera de los casos,q es también par. Así, tanto p como q son pares, contradiciendo elhecho de que al menos uno de ellos era impar. De este modo nuestrasuposición que

√2 es racional nos lleva a una contradicción, y asi

concluimos que es irracional.

En orden a aplicar el método de demostración por contradicción, es im-portante que comprenda qué es una contradicción, a partir de lo que necesitademostrar. Intuitivamente, una contradicción es una afirmación que no pue-de ser verdadera, o algún conjunto de afirmaciones que no pueden ser todassimultáneamente verdaderas. Ejemplos son las oraciones Q y su negación ¬Q,o un par de enunciados como Cubo(c) y Tet(c). Podemos en realidad definirla noción de un conjunto contradictorio de oraciones como cualquier conjuntoque no es satisfactible.

Podemos también usar la demostración por contradicción para demostrar

Capítulo 6 97

una oración S que no comienza con una negación. En este caso, se podríacomenzar suponiendo ¬S, se obtiene una contradicción, y luego se concluyeque ¬¬S es el caso, que por supuesto es equivalente a S.

Recordar(Demostración por contradicción) Para demostrar ¬S usando estemétodo, suponga S y demuestre algún tipo de contradicción.

El símbolo ⊥ se usa frecuentemente como manera abreviada de decirque se ha obtenido una contradicción. Las diferentes personas leen ⊥ como“contradicción”, “lo absurdo” o “lo falso”, pero este símbolo indica que unaconclusión que es lógicamente imposible ha sido alcanzada, o que varias con-clusiones distintas, que tomadas en forma conjunta son imposibles, han sidoderivadas.

Observa que una sentencia S es lógicamente imposible si y sólo si su ne-gación ¬S es lógicamente necesaria. Esto significa que todo método utilizadopara demostrar que una oración es lógicamente necesaria también demuestraque su negación es lógicamente imposible, es decir, es una contradicción. Porejemplo, si una tabla de verdad muestra que ¬S es una tautología, entoncessabemos que S es una contradicción.

Similarmente, el método de las tablas de verdad ofrece una manera demostrar que un conjunto de oraciones es mutuamente contradictorio. Cons-truya una misma tabla de verdad para P1,. . ., Pn. Estas sentencias son TT-contradictorias si toda columna tiene una F asignada a al menos una de lasoraciones. Si las oraciones son TT-contradictorias se sabe que no pueden sertodas verdaderas al mismo tiempo, simplemente en virtud de los significadosde las conectivas veritativo funcionales a partir de las cuales están construi-das. Ya se ha mencionado un ejemplo: cualquier par de oraciones, una de lascuales es la negación de la otra.

El método de demostración por contradicción, como las demostracionespor casos, se encuentra frecuentemente en el razonamiento cotidiano, a pesarde que algunas veces la contradicción derivada se deja implícita. La gentefrecuentemente supondrá algo por hipótesis y después mostrará que ese su-puesto inicial lleva a algo más que se sabe que es falso. Entonces, concluyen lanegación del supuesto original. Este tipo de razonamiento es, de hecho, unaprueba indirecta: la inconsistencia se hace explícita si agregamos el hechoconocido a nuestro conjunto de premisas.

Capítulo 6 98

Veamos un ejemplo de este tipo de razonamiento. Imagine un abogadodefensor presentando el siguiente informe a un jurado:

Los acusantes afirman que mi cliente mató al dueño del ClubKit Kat. Supongamos que tienen razón. Han oído a sus propiosexpertos testificar que el asesinato tuvo lugar a las 17:15. Tam-bién sabemos que el acusado estaba todavía en su trabajo en laMunicipalidad a las 16:45, según el testimonio de cinco de suscompañeros de trabajo. De esto se sigue que mi cliente tuvo quehaber llegado al Club Kit Kat desde la Municipalidad en 30 minu-tos o menos. Pero hacer ese trayecto lleva al menos 35 minutos enlas mejores circunstancias, y los registros de la policía muestranque hubo un embotellamiento importante el día del asesinato.Sostengo que mi cliente es inocente.

Claramente, este tipo de razonamiento se usa todo el tiempo: siempre quese asume algo y después se descarta ese supuesto inicial sobre la base desus consecuencias. A veces estas consecuencias no son contradicciones, o co-sas que sabemos que son falsas, sino futuras consecuencias que consideramosinaceptables. Podría por ejemplo suponer que va a ir a Hawái en las vacacio-nes de verano, calcular el impacto del viaje en sus finanzas y en su capacidadde terminar a tiempo el trabajo que tendrá en ese momento, y de mala ganaconcluir que no puede hacer ese viaje. Cuando se razona así, se usa el métodode demostración indirecta.

6.3.1. Premisas inconsistentes

¿Cuáles son las consecuencias lógicas de un conjunto de premisas incon-sistentes? Si se miran nuestras definiciones anteriores, se verá que cualquierenunciado S es una consecuencia de tal conjunto. Después de todo, si laspremisas son inconsistentes, entonces no hay modo de que puedan ser todasverdaderas. Así, no hay circunstancias en las cuales las premisas son verda-deras y la conclusión es falsa. Lo que quiere decir que en cualquier situaciónen la cual las premisas son todas verdaderas (¡no hay ninguna situación así!),la conclusión también será verdadera. De esta manera, cualquier argumentocon un conjunto inconsistente de premisas es trivialmente válido. En particu-lar, si se puede establecer una contradicción ⊥ sobre la base de las premisas,entonces se puede afirmar cualquier oración.

Capítulo 6 99

Frecuentemente, a los estudiantes, este les parece un método raro de ra-zonamiento y por razones muy buenas. Recuerde la distinción entre un argu-mento válido y un argumento sólido. Un argumento sólido es un argumentoválido con premisas verdaderas. A pesar de que cualquier argumento con unconjunto inconsistente de premisas es válido, tal argumento no es sólido, da-do que no es posible que todas las premisas del argumento sean verdaderas.Por esta razón, un argumento con un conjunto inconsistente de premisas novale demasiado en sí mismo. Después de todo, la razón por la cual estamosinteresados en la consecuencia lógica se debe a su relación con la verdad. Sino es posible que las premisas sean verdaderas, entonces saber que el argu-mento es válido no da ninguna pista acerca de la verdad o falsedad de laconclusión. Un argumento que no es sólido no da más apoyo a su conclusiónque un argumento inválido.

En general, los métodos de demostración no permiten mostrar que unargumento no es sólido. Después de todo, la verdad o falsedad de las premisasno es una cuestión de lógica, sino de cómo resulta ser el mundo. Pero en elcaso de argumentos con premisas inconsistentes, los métodos de demostraciónofrecen una manera de mostrar que al menos una de las premisas es falsas (apesar de que podríamos no saber cuál) y por lo tanto que el argumento noes sólido. Al hacer esto, demostramos que las premisas son inconsistentes apartir de derivar una contradicción.

Supongamos, por ejemplo, que le ofrecen una demostración de que el si-guiente argumento es válido:

Bribon(Tak) ∨ Sano(Bog)¬Bribon(Tak)¬Sano(Bog)∴ Bribon(Tak) ∧ Caballero(Snark)

Mientras que es verdadero que la conclusión es consecuencia lógica de laspremisas, su reacción no debería ser creer la conclusión. De hecho, usando lademostración por casos se puede mostrar que las premisas son inconsistentesy por lo tanto que el argumento no es sólido. No hay razón para ser convencidode la conclusión de un argumento que no es sólido.

Capítulo 6 100

6.4. Método de demostración condicional

Uno de los métodos más importantes de demostración es el de la de-mostración condicional, un método que le permite demostrar un enunciadocondicional. Supongamos que quiere demostrar la oración P → Q. Lo quese hace es suponer temporariamente el antecedente P del condicional que sedesea demostrar. Entonces si, con esta premisa adicional, es posible demos-trar Q, entonces la demostración condicional permite inferir que P → Q sesigue de las premisas originales.

Daremos primero un ejemplo esquemático que use tanto modus ponenscomo la demostración condicional. Mostraremos que A → C es una conse-cuencia lógica de las dos premisas A → B y B → C. Esto podría parecerobvio, pero lo vamos a hacer de todos modos para mostrar cómo opera elmétodo en un caso simple.

Demostración: Dado como premisas tenemos A→ B y B→ C.Queremos demostrar A → C. Con un ojo puesto en usar la re-gla de demostración condicional, supongamos además, que A esverdadero. Entonces, por aplicar modus ponens usando nuestraprimera premisa, llegamos a B. Usando modus ponens nuevamen-te, esta vez con nuestra segunda premisa, llegamos a C. De estemodo, hemos establecido el consecuente de nuestro condicionaldeseado sobre la base de nuestra suposición de A. De este modo,por la regla de la demostración condicional, sabemos que A→ Cse sigue de las premisas iniciales solas.

Las demostraciones condicionales son una forma claramente válida de razo-namiento, que usamos todo el tiempo. Si Q se sigue lógicamente de algunaspremisas más el supuesto adicional P, entonces podemos estar seguros de quesi las premisas son verdaderas, el condicional P → Q debe también ser ver-dadero. Después de todo, el condicional sólo puede ser falso si P es verdaderay Q es falsa, y la demostración condicional muestra que, dadas las premisas,esto nunca puede pasar.

Veamos ahora un ejemplo de algún modo más interesante. Este ejemplo

Capítulo 6 101

usará tanto la demostración condicional como la demostración por contra-dicción. Demostremos:

Par(n2)→ Par(n)

Demostración: El método de demostración condicional nos diceque podemos proceder por suponer Par(n2) y demostrar Par(n).Así, suponemos que n2 es par. Para demostrar que n es par, usare-mos la demostración por contradicción. De este modo, suponemosque n no es par, esto es, que es impar. Entonces podemos expresarn como 2m + 1, para algún m. Pero entonces vemos que:

n2 = (2m + 1)2

= 4m2 + 4m + 1

= 2(2m2 + 2m) + 1

Esto muestra que n2 es impar, contradiciendo nuestra primerasuposición. Esta contradicción muestra que n no es impar, es de-cir, que es par. De este modo, por la demostración condicional,hemos establecido que Par(n2)→ Par(n)

Cuando demostramos oraciones condicionales de la forma P→ Q, a menudoes mucho más fácil demostrar la contraposición ¬Q → ¬P, la cual es, comohemos notado, lógicamente equivalente. En tales casos, usamos la demos-tración condicional, pero suponemos ¬Q y tratamos de demostrar ¬P. Lacontraposición de nuestra afirmación original es:

¬Par(n)→ ¬Par(n2)

Demostración: para demostrar ¬Par(n) → ¬Par(n2), empezamossuponiendo ¬Par(n), es decir, que n es impar. Entonces podemosexpresar n como 2m + 1, para algún m.

Pero entonces vemos que:

Capítulo 6 102

n2 = (2m + 1)2

= 4m2 + 4m + 1

= 2(2m2 + 2m) + 1

Pero esto muestra que n2 también es impar, entonces Par(n2).De esta manera, por demostración condicional, hemos establecidoque ¬Par(n)→ ¬Par(n2).

Al demostrar la contraposición, evitamos la necesidad de una demostraciónindirecta dentro de la demostración condicional. Esto facilita el entendimientode la demostración y, dado que la contraposición es lógicamente equivalentea nuestra afirmación original, nuestra segunda demostración puede servirtambién como demostración de la afirmación original.

El método de demostración condicional se usa extensamente en el razona-miento cotidiano. Hace algunos años Bill estaba decidiendo si hacía el cursode Postmodernismo o no. Su amiga Sara afirmó que si Bill hacía el cursode Postmodernismo, no entraría en la Facultad de Medicina. El argumentode Sara, cuando fue desafiado por Bill, tuvo la forma de una demostracióncondicional combinado con una demostración por casos. Argumento tambiénconocido como dilema.

Supongamos que haces el curso de Posmodernismo. Entonces, obien adoptarás el desprecio posmoderno por la racionalidad o no.Si no lo adoptas, no aprobarás el curso, lo cual bajará tu promedioy así no podrás ingresar a la Facultad de Medicina. Pero si adoptasel desprecio posmoderno por la racionalidad, no serás capaz deaprobar química orgánica, y así, tampoco ingresarás a la Facultadde Medicina. Así, en cualquier caso, no ingresarás a la Facultadde Medicina. Por lo tanto, si haces el curso de Posmodernismo,no ingresarás a la Facultad de Medicina.

Desafortunadamente para Bill, él ya había sucumbido al posmodernismo ypor esto, rechazó el argumento de Sara. Siguió adelante y tomó el curso,desaprobó química orgánica y no ingresó a la Facultad de Medicina. Ahoraes un acaudalado lobbysta en Washington. Sara es ejecutiva de la industriainformática en California.

Capítulo 6 103

6.4.1. Probar bicondicionales

Podemos usar este método para demostrar oraciones bicondicionales. Parademostrar Q ↔ R por demostración condicional, usted necesita hacer doscosas: suponer Q y demostrar R; luego suponer R y demostrar Q.

Hay una forma más de demostración que involucra “↔” que es muy co-mún en matemática. Los matemáticos son muy aficionados a buscar resulta-dos que muestren que un número diferente de condiciones son equivalentes.Así, encontrará teoremas establecidos en la forma siguiente. “Las siguientescondiciones son todas equivalentes: Q1, Q2, Q3”

En LPO, uno estaría forzado a expresar esto por medio de tres bcondi-cionales:

Q1 ↔ Q2

Q2 ↔ Q3

Q1 ↔ Q3

Esto involucraría seis demostraciones condicionales, dos para cada bicon-dicional. Sin embargo, podemos cortar nuestro trabajo en la mitad advirtien-do que es suficiente demostrar algún ciclo de resultados como los siguientes:

Q1 → Q2

Q2 → Q3

Q3 → Q1

Esto sería mostrado por tres demostraciones condicionales, en lugar delas seis que de otro modo serían requeridas. Una vez que tenemos esto, nohay necesidad de demostrar las direcciones reversas, dado que se siguen dela transitividad de “→”. Por ejemplo, no es necesario probar explícitamenteQ2 → Q1, la conversa del primer condicional, dado que se sigue de Q2 → Q3y Q3 → Q1, los otros dos condicionales.

Cuando aplicamos esta técnica, no es necesario arreglar el ciclo en el ordenexacto en el que las condiciones están dadas. Pero debemos asegurarnos deque tenemos un ciclo genuino, uno que permite ir de cualquiera de nuestrascondiciones a cualquier otra.

Capítulo 6 104

Daremos un ejemplo simple. Demostraremos que las siguientes condicio-nes sobre un número natural n son todas equivalentes:

1. n es par

2. n2 es par

3. n2 es divisible por 4.

Demostración: en lugar de demostrar los seis bicondicionales,demostramos que (3)→ (2)→ (1)→ (3). Suponemos (3). Ahoraclaramente, si n2 es divisible por 4, entonces es divisible por 2,de este modo tenemos(3) → (2). Luego, demostramos (2) → (1)demostrando su contraposición. Así suponemos que n es impary demostramos que n2 es impar. A partir de que n es impar,podemos escribirlo en la forma 2k + 1. Pero entonces n2 = 4k2 +4k + 1 el cual es también impar. Por último, demostramos (1)→(3). Si n es par, se puede expresar como 2m. Así, n2 = (2m)2 =4m2, que es divisible por 4. Esto completa el ciclo, mostrando quelos tres condicionales son equivalentes.

En general, cuando aplicamos este método, uno busca implicaciones obvias osimples como (1)→ (3) arriba, o implicaciones que uno ya haya establecido,como (2)→ (1) y tratamos de construirlas en nuestro ciclo de condicionales.

Recordar1. El método de la demostración condicional: Para demostrar P→ Q, suponga P y demuestre Q.2. Para probar un número de bicondicionales intente acomodarlos enun ciclo de condicionales.


En estos problemas le pedimos que demuestre varios resultados. Sus de-mostraciones deben ser expresadas en oraciones españolas bien formadas,haciendo uso de oraciones de primer orden en tanto sea conveniente, siguien-do fundamentalmente el estilo que hemos usado arriba. Siempre que use unode los dos métodos ya discutidos, dígalo. No debe ser explícito en el uso de

Capítulo 6 105

pasos de demostraciones simples como la eliminación de la conjunción. Dichosea de paso, hay típicamente más de un modo de demostrar un resultadodado.

Problema 6.3. Demostrar Jefe(Ark) a partir de las siguientes tres premisas:

1. ¬(Juez(Jal) ∧ (Juez(Og))

2. Juez(Jal) ∨ Jefe(Ark)

3. Juez(Og) ∨ Jefe(Ark)

Problema 6.4. Suponga lo siguiente como premisas

1. IzqdDe(a, b) ∨ DerecDe(a, b)

2. DetrDe(a, b) ∨ DIzqdDe(a, b)

3. DelanDe(b, a) ∨ ¬DerecDe(a, b)

4. Grand(c)

¿Es DetrDe(a, b) una consecuencia lógica de estas premisas? Si lo es, dé unademostración. Si no, dibuje un mundo en el que todas las premisas son ver-daderas pero la conclusión es falsa.

Problema 6.5 Suponga las mismas premisas del Problema 6.4.

¿Es ¬EsEntre(c, b, a) una consecuencia lógica de estas premisas? Si es así,ofrezca una demostración. Si no, dibuja un mundo en el que las premisas sonverdaderas y la conclusión falsa.

Problema 6.6. Traduzca lo siguiente a LPO y luego ofrezca una demostra-ción de que el cuarto enunciado se sigue de los tres primeros.

1. Og o Jal son caballeros pero o bien Snark o Ark no son solteros.

2. O bien Jal es un caballero o Ark es soltero.

3. O bien Og no es un caballero o Snark no es soltero.

4. Snark no es soltero.

Capítulo 6 106

Problema 6.8. Considere los siguientes enunciados.

1. Ark es el padre de Og o de Bog.

2. Tak es el padre de Og.

3. Ark es el padre de Bog.

¿Se sigue (3) a partir de (1) y (2)? ¿Se sigue (2) a partir de (1) y (3)? ¿Sesigue (1) a partir de (2) y (3)? En cada caso, dar o bien una demostración dela consecuencia, o describir una situación que hace las premisas verdaderasy la conclusión falsa.

Problema 6.9 En este problema le pedimos que demuestre tres hechos sim-ples acerca de los números naturales. No esperamos que formule las demos-traciones en LPO. Necesitará apelar a hechos básicos de la aritmética más lasdefiniciones de número par e impar2 Aunque sea elemental, haga explícitasestas apelaciones. Le será útil la demostración por contradicción.

1. Supongamos que n2 es impar. Demuestre que n es impar.

2. Supongamos que n + m es impar. Demuestre que n×m es par.

3. Supongamos que n2 es divisible por 3. Demuestre que n2 es divisiblepor 9.

Problema 6.10. Un buen modo de estar seguro de que ha comprendidouna demostración es tratar de generalizarla. Demuestre que

√3 es irracional.

(Ayuda: Necesitará tener en cuenta algunos hechos relativos a la divisibilidadpor 3 que es paralelo a los hechos que usamos en relación a los númerospares e impares, por ejemplo, el tercer resultado en el Problema 6.9 ¿Puedegeneralizar estos dos resultados?

Problema 6.11. Demuestre: Si n × m es impar entonces n + m es par.(Comparar con el Problema 6.9)

Problema 6.12. (Algunos pasos estándar válidos en el razonamiento) Dardemostraciones de los siguiente pasos válidos.

1. Modus Tollens: A partir deA→ B y ¬B inferimos ¬A.2Un número n es par si es divisible por 2, esto es, si hay un número k tal que n = 2k;

es impar si no es par.

Capítulo 6 107

2. Refuerzo del Antecedente: A partir de B→ C inferimos (A ∧ B)→ C.

3. Debilitamiento del Consecuente: A partir de A → B inferimosA →(B ∨ C).

4. Dilema Constructivo: A partir de A ∨ B, A → C, y B → D inferimosC ∨ D.

5. Transitividad del bicondicional: A partir de A ↔ B yB ↔ C inferimosA↔ C.

Problema 6.15. Demostrar Irracional(x)→ Irracional(√

x)

Problema 6.16. ¿Se sigue de las siguientes premisas que el unicornio esmítico? ¿Qué es mágico? Justifique su respuesta.

1. El unicornio, si no es mítico, es un mamífero, pero si es mítico es in-mortal.

2. Si el unicornio es o bien inmortal o bien un mamífero, tiene un cuerno.

3. El unicornio, si tiene un cuerno, es mágico.

Problema 6.17. Ofrezca demostraciones de lo siguiente:

1. A→ (B→ A) es una verdad lógica.

2. (A→ (B→ C))↔ ((A ∧ B)→ C).

3. A ↔ ¬Bes una consecuencia lógica de A ∨ B ∨ C, B → (A → ¬C) yA→ ¬C.

4. C∧D es una consecuencia lógica de (A∨(B∧C), ¬E, (A∨B)→ (D∨E),y ¬A.

5. C → B es una consecuencia de ¬A → B,C → (D ∨ E), D → ¬C, yA→ ¬E.

Capítulo 6 108

Problema 6.18. Demostrar que las siguientes condiciones sobre los númerosnaturales n son todas equivalentes. Use el menor número de demostracionescondicionales que le sea posible.

1. n es divisible por 3.






Problema 6.19 Considere los siguientes enunciados.

1. Si Ark es la esposa de Og, entonces Snark es la esposa de Bog.

2. Snark o Ark es la esposa de Bog.

Usando los símbolos introducidos en la página 42, traduzca estos enunciados aLPO. ¿Se sigue uno de otro? En ambos casos, o bien ofrezca una demostracióninformal, o bien describa las circunstancias en la cual se hacen la premisaverdadera y la conclusión falsa. (Podría suponer que es parte del significadode “es la esposa de” que dos personas diferentes no pueden ser esposas de lamisma persona.)

Capítulo 7

Demostraciones Formales

En esta sección introduciremos un sistema particular para presentar de-mostraciones formales, que es conocido como un “sistema deductivo”. Haymuchos estilos diferentes de sistemas deductivos. El sistema que presentamosahora y que llamaremos F , es el que es conocido como un sistema “estilo-Fitch”, nombrado así en honor al lógico Frederic Fitch, quien fue el primeroque introdujo este tipo de sistema.

En general, una demostración de una conclusión S, en el sistema F apartir de las premisas P, Q y R y de las conclusiones intermedias S1 . . . Sn,toma la siguiente forma:

P

Q

R

S1 Justificación 1...

...

Sn Justificación n

S Justificación n+1

Hay dos mecanismos gráficos que deben ser tenidos en cuenta, las líneasverticales y horizontales. La línea vertical dirige nuestra atención al hecho quetenemos una única pretendida demostración que consiste de varios pasos. Lalínea horizontal, conocida como la barra de Fitch, indica una división entre

109

Capítulo 7 110

las afirmaciones que son supuestas y aquellas que pretendidamente se siguende las primeras. De este modo, el hecho de que P, Q y R están arriba de lalínea muestra que estas son las premisas de nuestra demostración, mientrasque el hecho de que S1 . . . Sn y S estén debajo de la barra indica que se suponeque esas proposiciones se siguen lógicamente de las premisas.

A la derecha de cada paso que está debajo de la barra de Fitch damosuna justificación del paso. En nuestro sistema deductivo, una justificaciónindica qué regla nos permite hacer el paso y a qué pasos (si hay alguno) laregla está aplicada. Al dar una prueba numeraremos los pasos para poderreferirnos a ellos en las justificaciones.

A continuación agregamos reglas de inferencia al sistema formal F quecorresponden a principios válidos de razonamiento introducidos en el capí-tulo anterior. Para cada conectiva, introduciremos dos reglas, una que nospermite demostrar proposiciones que contienen el símbolo, y una que nospermite demostrar cosas a partir de proposiciones que contienen el símbolo.Las primeras son llamadas reglas de introducción debido a que nospermitenintroducir estos símbolos dentro de las demostraciones. Por contraste, lasúltimas son llamadas reglas de eliminación.

7.1. Reglas para la conjunción y reiteración

Los principios más símples de formalizar son los que involucran el símbolode conjunción ∧. Estos principios son las reglas de eliminación de la conjun-ción y de introducción de la conjunción.

Eliminación de la Conjunción

La regla de la eliminacíón de la conjunción nos permite afirmar cualquierconyunto Pi de una proposición conjuntiva P1 ∧ . . .∧Pi ∧ . . .∧Pn que ya he-mos derivado en la demostración. (Pi puede, dicho sea de paso, ser cualquierparte de la conjunción, incluyendo el primero o el último de los conyuntos).El nuevo paso se justifica citando el número del que contiene la conjunción.Abreviamos la regla con el siguiente esquema:

Capítulo 7 111

Eliminación de la Conjunción (∧Elim):

P1 ∧ . . . ∧ Pi ∧ . . . ∧ Pn...

� Pi

Al establecer reglas usamos el símbolo . para indicar qué paso está siendopermitido por la regla que estamos introduciendo.

La correspondiente regla de introducción, introducción de la conjunción,nos permite afirmar una conjunción Pi ∧ . . .∧ Pn siempre que hayamos esta-blecido cada una de sus partes constituyentes Pi a Pn. Simbolizaremos estaregla de la siguiente manera:

Introducción de la Conjunción (∧Intro):

P1

⇓

Pn...

� P1 ∧ . . . ∧ Pn

En esta regla, hemos usado la notación:

P1

⇓Pn

para indicar que cada uno de P1 a Pn debe aparecer en la demostración antesde que afirmemos la conjunción. El orden en que aparecen no importa, y notienen que estar contiguos. Sin embargo, cuando justifiquemos el paso, debe-mos citar el número de paso de los conyuntos en el orden en que aparezcanen la conjunción.

Aquí tenemos un ejemplo simple de estas dos reglas trabajando conjun-

Capítulo 7 112

tamente. Es una demostración de C ∧ B a partir de A ∧ B ∧ C.

1 A ∧ B ∧ C

2 B ∧ Elim 1

3 C ∧ Elim 1

4 C ∧ B ∧ Intro 3,2

Si bien es algo muy trivial de demostrar, ilustra cómo se dan nuestrasjustificaciones. Al aplicar la introducción de la conjunción, tendremos queser precisos con los paréntesis, debido a nuestras convenciones de sacar losparéntesis externos. Si una de las partes es en sí misma una conjunción, en-tonces por supuesto no hay necesidad de agregar paréntesis alguno antes deformar la conjunción más grande, a menos que así se lo quiera. Por ejemplo,las dos siguientes son aplicaciones correctas de la regla:

Correcta:

1 A ∧ B

2 C

3 (A ∧ B) ∧ C ∧ Intro 1,2

Correcta:

1 A ∧ B

2 C

3 A ∧ B ∧ C ∧ Intro 1,2

Sin embargo, si una de las partes de la conjunción es una disyunción (oalgún otro enunciado complejo), para prevenir la ambigüedad, podría necesi-tar reintroducir los paréntesis que omitió antes. De este modo, la primera delas siguientes demostraciones es una demostración correcta, pero la segundacontiene una aplicación defectuosa de la introducción de la conjunción, con-cluyendo por consiguiente con una proposición ambigua.

Correcta:

1 A ∨ B

2 C

3 (A ∨ B) ∧ C ∧ Intro 1,2

Capítulo 7 113

Incorrecta:

1 A ∨ B

2 C

3 A ∨ B ∧ C ∧ Intro 1,2

Reiteración

Una regla que no es técnicamente necesaria pero que vamos a introducirporque va a hacer que algunas pruebas se vean más naturales es la regla deReiteración y simplemente permite repetir un paso anterior.

Reiteración (Reit)

P...

� P

Para usar la regla de reiteración, sólo repetimos los enunciados en cuestióny a la derecha escribimos “Reit: x” , donde x es el número de la ocurrenciaanterior de la proposición.

La Reiteración es una regla de inferencia obviamente válida, puesto quecualquier proposición es una consecuencia lógica de sí misma. La razón paratener la regla se hará más clara en tanto las demostraciones en el sistemaF se hagan más complicadas. Por ahora, permítasenos decir que es comoremarcar, en el curso de una demostración informal dada, “hemos ya mostradoque P”. Es a veces un recordatorio útil para la persona que está leyendo lademostración.

7.2. Reglas para la disyunción:

Introducción de la DisyunciónLa regla de introducción de la disyunción siempre le permite ir desde una

proposición Pi a cualquier disyunción que tiene a Pi entre sus disyuntos, di-gamos P1 ∨ . . . ∨ Pi ∨ . . . ∨ Pn. En forma esquemática:

Capítulo 7 114

Introducción de la Disyunción (∨Intro):

Pi...

� P1 ∨ . . . ∨ Pi ∨ . . . ∨ Pn

Nuevamente, remarcamos que Pi podría ser el primero o el último disyuntode la conclusión. Además, como con la introducción de la conjunción, debepensarse un poco si los paréntesis necesitan ser agregados a Pi para prevenirla ambigüedad.

Eliminación de la Disyunción

Veamos ahora la primera regla que corresponde a lo que llamamos unmétodo de demostración en el capítulo anterior. Esta es la regla de la Elimi-nación de la Disyunción, la contraparte formal de la demostración por casos.Recuerde que la prueba por casos permite concluir una proposición S a partirde una disyunción de P1∨ . . .∨Pn si puede demostrar S a partir de cada unade P1 a Pn individualmente. La forma de esta regla requiere que discutamosuna importante y nueva característica estructural del sistema de deducciónestilo Fitch. Esta es la noción de subdemostración.

Una subdemostración, como el nombre lo sugiere, es una demostraciónque tiene lugar dentro del contexto de una demostración mayor. Como concualquier demostración, una subdemostración generalmente comienza conuna suposición, indicada como se lo hace usualmente con la barra de Fitch.Ahora bien, a diferencia de una premisa, la suposición o supuesto de unasubdemostración sólo se asume temporariamente. Durante el transcurso dela subdemostración en sí, el supuesto actúa como una premisa más. Pero unavez terminada la subdemostración ese supuesto deja de surtir efecto sobre elresto de la demostración.

Antes de dar una forma esquemática para la eliminación de la disyunción,veamos una demostración formal particular que usa esta regla. Esto servirácomo una ilustración concreta de cómo las subdemostraciones aparecen en F .

Capítulo 7 115

1 (A ∧ B) ∨ (C ∧ D)

2 A ∧ B

3 B ∧ Elim: 2

4 B ∨ D ∨ Intro: 3

5 C ∨ D

6 D ∧ Elim: 5

7 B ∨ D ∨ Intro: 6

8 B ∨ D ∨ Elim: 1,2-4,5-7

Con reemplazos apropiados para A, B, C y D, esto es una formalización dela demostración dada anteriormente. Contiene dos subdemostraciones. Unade éstas va desde la línea 2 a la 4 y muestra que B ∨ D se sigue si asumimos(temporariamente) A∧B. La otra, que va desde la línea 5 a la 7, muestra quela misma conclusión se sigue a partir de suponer C∧D. Estas dos demostra-ciones, conjuntamente con la premisa (A∧B)∨(C∧D), son justamente lo quenecesitamos para aplicar el método de la prueba por casos (que desde ahoravamos a nombrar como la regla de la eliminación de la disyunción). Por lotanto estas demostraciones se transforman en subdemostraciones de nuestrademostración mayor.

Es interesante comparar esta prueba formal con la versión informal quedimos en su momento para asegurarse de que se comprende bien la idea. Nó-tese que los pasos que introducen supuestos en las dos subdemostraciones nonecesitan ser justificados por una regla, tal y como sucede con la premisa de laprueba “paterna”. Esto es porque no estamos afirmando que estos supuestosse sigan de lo que está antes, los suponemos simplemente para mostrar qué sesigue de suponerlos. También se notará que hemos usado la regla ∨Intro dosveces en esta prueba, ya que es la única manera en la que podemos derivarla oración deseada en cada subdemostración. Aunque parezca que estamosdescartando información cuando inferimos B∨D de la afirmación más fuerteB, al considerar la prueba completa queda claro que B ∨ D es la afirmaciónmás fuerte que se sigue de la premisa original.

Ahora establecemos la versión esquemática de la regla de eliminación dela disyunción.

Capítulo 7 116

Eliminación de la Disyunción (∨Elim):

P1 ∨ . . . ∨ Pn...

P1...

S

⇓

Pn...

S...

� S

Lo que esta regla dice es que tras establecer una disyunción P1 ∨ . . .∨Pny luego haber mostrado que S se sigue de cada uno de los disyuntos P1 a Pn,se puede concluir S. De nuevo, no importa el orden en el que aparezcan lassubdemostraciones, ni siquiera que estén después de la disyunción. Al aplicarla regla hay que citar, eso sí, el paso que contiene la disyunción, junto concada una de las subdemostraciones necesarias.

Veamos otro ejemplo de esta regla, para enfatizar cómo se dan las justi-ficaciones que involucran subdemostraciones. Demostremos que A se sigue apartir de la proposición (B ∧ A) ∨ (A ∧ C).

1 (B ∧ A) ∨ (A ∧ C)

2 B ∧ A

3 A ∧ Elim: 2

4 A ∧ C

5 A ∧ Elim: 4

6 A ∨ D ∨ Elim: 1,2-3,4-5

Capítulo 7 117

La cita para el paso 6 muestra la forma de citar que usamos para referir-nos a las subdemostraciones. La cita “n-m” es nuestro modo de referir a lasubdexnostración que comienza en la línea n y finaliza en la línea m.

Algunas veces, usando esta regla, encontrará natural usar la regla de reite-ración introducida anteriormente. Por ejemplo, supongamos que modificamosla demostración de arriba para mostrar que A se sigue de (B ∧ A) ∨ A.

1 (B ∧ A) ∨ A

2 B ∧ A

3 A ∧ Elim: 2

4 A

5 A Reit: 4

6 A ∨ Elim: 1,2-3,4-5

Aquí, a suposición de la segunda subdemostración es A, exactamente laproposición que queremos probar. Así, todo lo que necesitamos hacer es re-petir esta proposición para lograr que la subdemostración tenga la formadeseada. (Podríamos también dar una subdemostración con sólo un paso,pero es más natural usar Reiteración en tales casos.)


Problema 7.1 La siguiente es una demostración formal incompleta. Le faltanalgunas justificaciones (indicadas por [. . .]) y algunas proposiciones que seindican con una línea punteada. Complete la demostración llenando las partesfaltantes.

Capítulo 7 118

1 P ∨ (Q ∧ R)

2 P

3 P ∨ Q � Intro: 2

4 P ∨ R ∨ Intro: [. . .]

5 . . . . . . ∧ Intro: 3, 4

6 Q ∧ R

7 Q ∧ Elim: [. . .]

8 P ∨ Q ∨ Intro: 7

9 R � Elim: 6

10 . . . . . . ∨ Intro: 9

11 (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) ∧ Intro: 8, 10

12 (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) ∨ Elim: [. . .], 2-5, 6-[. . .]

Problema 7.2 Dar demostraciones formales de lo siguiente:

1. P ∨ Q a partir de P ∧ Q

2. C ∨ B a partir de la premisa (A ∧ B) ∨ C

3. (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) a partir de las premisas A y B ∨ C

7.3. Reglas para la negación:

Eliminación de la negaciónLa regla de eliminación de la negación corresponde a un paso válido muy

trivial, a partir de ¬¬P a P. Esquemáticamente:

Eliminación de la negación (¬Elim):

¬¬P...

� P

Capítulo 7 119

La eliminación de la negación nos da una de las dirección del principio dedoble negación. Si bien razonablemente se podría esperar que la segunda re-gla para la negación, la introducción de la negación, nos dé la otra dirección,ahora veremos que no es tan simple.

Introducción de la negación

La regla de introducción de la negación es por contraste una de las reglasmás interesantes. Corresponde al método de demostración por contradicción.También involucra el uso de una subdemostración, como ocurre con todoslos análogos formales nuestros métodos no triviales de demostración. La re-gla dice que si podemos demostrar una contradicción sobre la base de unasuposición adicional P; entonces estamos autorizados a inferir ¬P a partir delas premisas originales. En los sistemas formales es tradicional requerir quela contradicción tome la forma de una demostración de algún enunciado dela forma Q ∧ ¬Q. Esquemáticamente:

Introducción de la negación (¬Intro):

P...

Q...

¬Q

� ¬P

Para ilustrar esta regla, mostremos cómo demostrar ¬¬A a partir de A.

Capítulo 7 120

1 A

2 ¬A

3 A ∧ ¬A ∧ Intro: 1,2

4 ¬¬A ¬ Intro: 2-3

Advierta que en el paso 3, hemos citado un paso fuera de la subdemostra-ción, a saber, el paso 1. Esto es legítimo, pero destaca algo que es importante.¿Qué pasos pueden ser citados en un punto dado en una demostración? Co-mo primera conjetura, podríamos pensar que se puede citar cualquier etapaanterior. Pero no es correcto. Explicaremos el porqué, y cuál es la respuestacorrecta, en la sección siguiente. Mientras estemos en el tópico de la introduc-ción de la negación, usaremos ésta para mostrar cómo podemos demostrarcualquier proposición a partir de premisas contradictorias.

1 P

2 ¬P

3 ¬Q

4 P ∧ ¬P ∧ Intro: 1,2

5 ¬¬Q ¬ Intro: 3-4

6 Q ¬ Elim: 5

7.4. El uso adecuado de las subdemostraciones.

Antes de introducir las reglas correspondientes al condicional y al bicon-dicional, nos detendremos sobre el uso adecuado de las subdemostraciones,rasgo característico de los sistemas deductivos estilo Fitch por lo que es im-portante que comprender cómo usarlas adecuadamente, puesto que si nosomos cuidadosos, podríamos “demostrar” cosas que no se siguen de sus pre-misas. Por ejemplo, la demostración formal siguiente parece que estuvieraconstruida de acuerdo con nuestras reglas, pero su propósito de demostrarque A ∧ B se sigue de (A ∧ B) ∨ (A ∧ C), claramente no es correcto.

Capítulo 7 121

1 (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

2 A ∧ B

3 A ∧ Elim: 2

4 B ∧ Elim: 2

5 A ∧ C

6 A ∧ Elim: 5

7 A ∨ Elim: 1, 2-4, 5-6

8 A ∧ B ∧ Intro: 7,3

El problema con esta demostración es el paso 8. En este paso, hemos usadoel paso 3, un paso que tiene lugar dentro de una subdemostración anterior.Pero resulta que esta clase de justificación –que toma sólo una parte internade una subdemostración anterior que ya ha finalizado– no es legítima. Paracomprender por qué no es legítima, necesitamos pensar acerca de qué funcióncumplen las subdemostraciones en un trozo del razonamiento.

Una subdemostración tiene el siguiente aspecto típico:

P...

Q

R...

S

T...

Capítulo 7 122

Las subdemostraciones comienzan con la introducción de una nueva su-posición, en este ejemplo R. El razonamiento dentro de una subdemostracióndepende de esta nueva suposición, conjuntamente con cualquier otra pre-misa o suposición de la demostración paterna. Así, en nuestro ejemplo, laderivación de S podría depender tanto de P como de R. Cuando una subde-mostración finaliza, indicado por el fin de la línea vertical que liga también alas subdemostraciones, el razonamiento posterior no puede usar más la supo-sición de la subdemostración, o algo que dependa de ésta. Ni podemos usar laregla de reiteración para alcanzar aquellos pasos. Decimos que la suposiciónha sido descargada o que la subdemostración ha sido cancelada o terminada.

Cuando una subdemostración ha sido cancelada, sus pasos individuales yano estarán accesibles. Es sólo la subdemostración como un todo la que puedeser citada como justificación para un paso posterior. Lo que esto significa esque al justificar la afirmación T en nuestro ejemplo, podríamos citar P, Q y lasubdemostración como un todo, pero no podríamos citar ítems individualescomo R o S. Una vez que 1a subdemostración ha sido cancelada, ya no estánaccesibles.

En esto, por supuesto, es donde nos equivocamos en el paso 8 en la de-mostración falaz anterior. Citamos un paso de una subdemostración que yahabía sido cancelada, como lo es el paso 3. Pero la proposición B, en aquelpaso, había sido demostrada sobre la base de las suposición B∧A, una supo-sición que hicimos sólo temporariamente. La suposición ya no tendrá fuerzaen la etapa 8, y en este sentido no puede ser usada en ese punto.

Esta prevención no lo inhibe de citar, dentro de una subdemostración,ítems que tienen lugar fuera de la subdemostración, siempre y cuando noocurran dentro de una subdemostración que ha sido cancelada. Por ejemplo,en la demostración esquemática dada arriba, la justificación para S podríaincluir el paso que contiene a Q.

Esta observación debe tenerse más en cuenta cuando está trabajando enuna subdemostración de una subdemostración. No hemos visto aún ningúnejemplo donde se necesite tener subdemostraciones dentro de subdemostra-ciones, pero tales ejemplos son fáciles de lograr. Este es uno, el cual es unademostración de una dirección de la primera ley de DeMorgan:

Capítulo 7 123

1 ¬(P ∧ Q)

2 ¬(¬P ∨ ¬Q)

3 ¬P

4 ¬P ∨ ¬Q ∨ Intro: 3

5 (¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ Intro: 4, 2

6 ¬¬P ¬ Intro: 3-5

7 P ¬ Elim: 6

8 ¬Q

9 ¬P ∨ ¬Q ∨ Intro: 8

10 (¬P ∨ ¬Q) ∧ ¬(¬P ∨ ¬Q) ∧ Intro: 9, 2

11 ¬¬Q ¬ Intro: 8-10

12 Q ¬ Elim: 11

13 P ∧ Q ∧ Intro: 7, 12

14 ¬(P ∧ Q) Reit: 1

15 (P ∧ Q) ∧ ¬(P ∧ Q) ∧ Intro: 13, 14

16 ¬¬(¬P ∨ ¬Q) ¬ Intro: 2-15

17 ¬P ∨ ¬Q ¬ Elim: 16

Advierta que la subdemostración 2-15 contiene dos subdemostraciones,3-5 y 8-10. En el paso 5 de la subdemostración 3-5 citamos el paso 2 apartir de la subdemostración paterna 2-14. Similarmente, en el paso 10 dela subdemostración 8-10, citamos el paso 2. Esto es legítimo puesto que lasubdemostración 2-14 no ha sido cancelada. Aunque no lo hemos necesitadoen esta demostración, podríamos haber citado el paso 1 de la demostraciónprincipal en ambas de las subdemostraciones.

Otro aspecto que es importante de destacar sobre esta demostración esel uso de la regla de reiteración en el paso 14. No necesitamos usar aquí lareiteración, pero lo hicimos sólo para ilustrar un punto. Cuando realizamossubdemostraciones, la reiteración es como cualquier otra regla: cuando la usa,puede citar pasos que están fuera de las subdemostraciones inmediatas, si lasdemostraciones que contienen los pasos citados no hubieran sido canceladas.

Capítulo 7 124

Por ejemplo, si reemplazamos la justificación del paso 10 con “Reit: 5”, en-tonces nuestra demostración ya no será correcta.

Recordar

Una vez que una subdemostración ha sido cancelada, sólo pue-de ser citada como un todo. Sus ítems individuales no estándisponibles.

Para justificar un paso de una subdemostración, se puede citarcualquier paso anterior contenido en la demostración principal,o en una subdemostración que no ha sido cancelada.

7.5. Un ejemplo trabajado

Cuando elabore demostraciones formales de la validez de argumentos,descubrirá que encontrar una demostración formal es a menudo mucho másdifícil que reconocer a validez del argumento mismo. Una inferencia intui-tivamente obvia puede extraviar a alguien no versado en las triquiñuelasdel sistema formal particular. Sistemas formales diferentes toman inferenciasdiferentes como básicas, y, en consecuencia, lo que es fácil en uno puede vol-verse un intrincado problema en otro. Ningún sistema formal puede evitarcompletamente estos problemas, y ésta es la razón por la que las demostra-ciones formales nunca se dan en la práctica, aún por lógicos profesionales.Su valor principal radica no en que sean herramientas para razonar, sino enla teorización sobre el razonamiento mismo. En esta sección discutiremos có-mo encontrar una demostración formal para un problema como ejemplo. Elproblema que abordaremos va en dirección opuesta a la primera ley de De-Morgan, y muestra que ¬(P∧Q) se sigue de ¬P∨¬Q. Una buena manera deenfocar la construcción de una demostración formal consiste en convencerseprimero detalladamente de que la conclusión se sigue en verdad de las pre-misas. Luego, ver si se puede reflejar ese razonamiento en el sistema formal.Dar una demostración informal es entonces una buena manera de empezar.A continuación, entonces, damos una demostración informal detallada delresultado deseado.

Capítulo 7 125

Demostración: Se nos da ¬P ∨ ¬Q. Para intentar una reducción alabsurdo, supondremos P ∧ Q e intentaremos derivar una contradic-ción. Hay que considerar dos casos, ya que se nos ha dado que ¬P esverdadero o que ¬Q es verdadero. Pero cada una de estas suposicio-nes contradice el supuesto P∧Q: ¬P contradice el primer miembro dela conjunción y ¬Q contradice el segundo. Por consiguiente, nuestrosupuesto lleva a una contradicción y completamos nuestra demostra-ción.

Intentemos construir una demostración formal que modelice este razona-miento. Comenzamos escribiendo nuestras premisas en la cima de nuestroesquema de demostración, nuestra conclusión en la base, dejando bastantelugar entre medio.

1 ¬P ∨ ¬Q...

¬(P ∧ Q)

El método principal utilizado en nuestra demostración informal fue lareducción al absurdo, que corresponde a la introducción de la negación. Demodo que podemos llenar un poco del lugar libre en la demostración.

1 ¬P ∨ ¬Q

2 P ∧ Q...

Alguna contradiccion

¬(P ∧ Q)

Nuestra demostración informal mostró que había una contradicción siem-pre que ¬P o ¬Q fuera el caso. La contraparte formal de la demostraciónpor casos es a eliminación de la disyunción, y entonces nuestra demostraciónadquiriría el siguiente aspecto:

Capítulo 7 126

1 ¬P ∨ ¬Q

2 P ∧ Q

3 ¬P...


¬Q...


Alguna contradiccion ∨ Elim: 1, 3-?, ?-?

¬(P ∧ Q) ¬ Intro: 2-?

Es fácil encontrar una contradicción en cada uno de estos casos.

1 ¬P ∨ ¬Q

2 P ∧ Q

3 ¬P

4 P ∧ Elim: 2

5 P ∧ ¬P ∧ Intro: 4, 3

6 ¬Q

7 Q ∧ Elim: 2

8 Q ∧ ¬Q ∧ Intro: 7, 6

9 Alguna contradiccion ∨ Elim: 1, 3-5, 6-8

10 ¬(P ∧ Q) ¬ Intro: 2-?

Si intentamos terminar esta demostración, vemos que hay un problema en elpaso 9. La eliminación de la disyunción requiere que establezcamos exacta-mente el mismo enunciado en ambas subdemostraciones 3-5 y 6-8. Desgra-ciadamente, hemos establecido dos contradicciones diferentes. Para dar una

Capítulo 7 127

demostración en el sistema F , debemos encontrar una manera de superar esteproblema, esto es, derivar la misma contradicción en cada subdemostración.Intentemos establecer P ∧ ¬P en cada una de ellas.

1 ¬P ∨ ¬Q

2 P ∧ Q

3 ¬P

4 P ∧ Elim: 2

5 P ∧ ¬P ∧ Intro: 4, 3

6 ¬Q

7 Q ∧ Elim: 2...

P ∧ ¬P

P ∧ ¬P ∨ Elim: 1, 3-5, 6-?

¬(P ∧ Q) ¬ Intro: 2-?

Aquí necesitamos usar una triquiñuela. Ya hemos mostrado, al incorporara nuestro sistema la regla de Introducción de la negación, cómo derivar loopuesto de un supuesto si de éste llegamos a una contradicción. Por esto,dentro de nuestra segunda subdemostración, nos valdremos de que hay unacontradicción, Q∧¬Q, para establecer P∧¬P. Ello nos proporcionará la mis-ma proposición contradictoria en cada subdemostración, lo que nos colocaráen posición para terminar la demostración.

Capítulo 7 128

1 ¬P ∨ ¬Q

2 P ∧ Q

3 ¬P

4 P ∧ Elim: 2

5 P ∧ ¬P ∧ Intro: 4, 3

6 ¬Q

7 Q ∧ Elim: 2

8 ¬(P ∧ ¬P)

9 Q ∧ ¬Q) ∧ Intro: 7, 6

10 ¬¬(P ∧ ¬P) ¬ Intro: 8-9

11 P ∧ ¬P ¬ Elim: 10

12 P ∧ ¬P ∨ Elim: 1, 3-5, 6-11

13 ¬(P ∧ Q) ¬ Intro: 2-12



Capítulo 7 129

1 P ∨ Q

2 ¬P

3 . . .

4 ¬Q

5 P ∧ ¬P ∧ Intro: [. . .]

6 ¬¬Q ¬ Intro: 4-5

7 . . . ¬ Elim: 6

8 Q

9 Q Reit: 8

10 Q ∨ Elim: 1, [. . .], 8-9

Problema 7.4 Demostrar P∨ (Q∧R) a partir de las premisas P∨Q y P∨R.(Esto requerirá usar una subdemostración dentro de una subdemostración.)

Problema 7.5 Dar una demostración informal que podría haberse usado deguía para la demostración formal dada en la sección 7.4 para un lado de laprimer ley de DeMorgan.

Problema 7.6 Dar demostraciones informales de lo siguiente (sin presuponerlas leyes de DeMorgan). Luego dar demostraciones formales que reflejen a lasinformales tan fielmente como sea posible.

1. ¬P ∧ ¬Q a partir de la premisa ¬(P ∨ Q)

2. ¬(P ∨ Q) a partir de la premisa ¬P ∧ ¬Q

Problema 7.7 Dar demostraciones formales de lo siguiente:

1. ¬A a partir de la premisa ¬(A ∨ B)

2. A a partir de las premisas ¬(¬A ∧ B) y ¬(¬B ∨ C)

7.6. Demostraciones sin premisas

No todas las demostraciones comienzan con la suposición de las premisas.En principio esto puede parecer extraño pero de hecho es la manera en la

Capítulo 7 130

que usamos nuestro sistema deductivo para mostrar que un enunciado es unaverdad lógica. Un enunciado que puede ser demostrado sin premisa alguna esnecesariamente verdadero. Abajo, tenemos una demostración de esta clase,una demostración que muestra que (¬P ∧ Q ∧ ¬P) es derivable en F sin eluso de premisas.

1 P ∧ Q ∧ ¬P

2 P ∧ Elim: 1

3 ¬P ∧ Elim: 1

4 P ∧ ¬P ∧ Intro: 2,3

5 ¬(P ∧ Q ∧ ¬P) ¬ Intro: 1-4

Advierta que no hay suposiciones arriba de la primera barra horizontal deFitch, indicando que la demostración principal no tiene premisas. El primerpaso de la demostración es la suposición de la subdemostración. La subdemos-tración deriva una contradicción, basada sobre esta suposición, permitiendode este modo concluir que la negación del supuesto de la subdemostraciónse sigue sin necesidad de las premisas. En otras palabras, es una verdad lógica.

Recordar

Una demostración sin premisas muestra que su conclusión esuna verdad lógica



Capítulo 7 131

1 ¬(P ∨ ¬P)

2 P

3 . . . ∨ Intro: 2

4 (P ∨ ¬P) ∧ ¬(P ∨ ¬P) ∧ Intro: 3, 1

5 ¬P ¬ Intro: 2-4

6 . . .

7 P ∨ ¬P ∧ Intro: 6

8 (P ∨ ¬P) ∧ ¬(P ∨ ¬P) [. . .]

9 ¬¬P ¬ Intro: 6-8

10 ¬P ∧ ¬¬P ∧ Intro: 5, 9

11 ¬¬(P ∨ ¬P) ¬ Intro: 1-10

12 P ∨ ¬P [. . .]

7.6.1. Cita de teoremas

Las demostraciones en el sistema F pueden hacerse extremadamente lar-gas, especialmente si insistimos en volver a los primeros principios en cadademostración. Se recordará que en las clases de geometría del secundario, sepermitía citar teoremas establecidos previamente para dar demostracionessubsiguientes, y esto acortaba considerablemente las demostraciones poste-riores.

Permitimos un uso similar de teoremas anteriores en el sistema F . Si ya seha construido una demostración de alguna conclusión Q a partir de premisasPi . . .Pn, entonces ciertamente estará permitido aseverar Q cuando se haestablecido Pi . . .Pn. Cuando hagamos esto, citaremos como justificación lospasos en que Pi . . .Pn aparecen en la demostración, e indicaremos que éste esun teorema previo. Si el teorema a utilizar tiene un nombre común es buenaidea utlizarlo en la justificación del paso. Si proviene de un ejercicio o de unejemplo se especifica también.

Veamos ahora un ejemplo:

Capítulo 7 132

1 ¬(P ∧ Q)

2 P

3 ¬P ∨ ¬Q Teorema Previo (DeMorgan): 1

4 ¬¬P Teorema Previo Ej. Sección 7.3: 2

5 ¬Q Teorema Previo (Silogismo Disyuntivo): 3, 4

Al comparar las demostraciones citadas aquí, se notará una discordanciaen las letras de enunciado usadas. Por ejemplo, en la página 119 mostramosque ¬¬A se seguía de A, pero en nuestra demostración estamos concluyendo¬¬P a partir de P. Esto está permitido, ya que la demostración anteriorseria igualmente correcta si A fuese remplazada por P, o por cualquier otroenunciado, simple o complejo.

7.7. Reglas para el condicional:

Ahora vamos a introducir las reglas para nuestro sistema F que hacenuso de los condicionales y que son los análogos formales de los métodos dedemostración que incluyen esta clase de conectivas. Nuevamente, tenemostanto la regla de introducción como la de eliminación para cada una.

Eliminación del condicionalLa regla modus ponens o eliminación del condicional es fácilmente forma-

lizable. Si hemos demostrado tanto P→ Q como P entonces podemos afirmarQ, citando como justificación estos dos pasos anteriores. No hace ninguna di-ferencia el orden en el que aparecen los primeros pasos. Esquemáticamente:

Eliminación del condicional (→ Elim):

P→ Q...

P

� Q

Capítulo 7 133

Introducción del condicionalLa correspondiente regia de introducción es la contraparte formal del

método de demostración condicional. Involucra la construcción de una sub-demostración. Para demostrar un enunciado de la forma P→ Q comenzamosnuestra subdemostración con la suposición de P y tratamos de demostrar Q.Si tenemos éxito, entonces nos está permitido cerrar la subdemostración yconcluir nuestro condicional deseado, citando la subdemostración como jus-tificación. Esquemáticamente:

Introducción del condicional (→ Intro):

P...

Q

� P→ Q

Aquí tenemos un ejemplo simple que involucra ambas de estas reglas, unademostración de A→ C a partir de (A ∨ B)→ C.

1 (A ∨ B)→ C

2 A

3 A ∨ B ∨ Intro: 2

4 C → Elim: 1, 3

5 A→ C → Intro: 2-4

Una vez que tenemos a nuestra disposición la introducción del condicional,podemos convertir cualquier demostración con premisas en la demostración,sin premisas, del condicional correspondiente. Por ejemplo, mostramos enuna sección anterior cómo dar una demostración formal de ¬¬A a partir dela premisa A. Usando esto, podemos dar una demostración del enunciadológicamente verdadero A→ ¬¬A.

Capítulo 7 134

1 A

2 ¬A

3 A ∧ ¬A ∧ Intro: 1, 2

4 ¬¬A ¬ Intro: 2-3

5 A→ ¬¬A → Intro: 1-4

Advierta que la subdemostración de aquí es idéntica a la demostración origi-nal dada anteriormente. Simplemente tomamos tal demostración y la trans-formamos en una demostración que usa la introducción del condicional, deA→ ¬¬A.

7.8. Reglas para el bicondiconal:

Las reglas para el bicondicional son justamente las que deberíamos espe-rar, dadas las reglas del condicional.

La regla de eliminación para el bicondicional puede ser establecida esque-máticamente como sigue:

Eliminación del bicondicional (↔ Elim):

P↔ Q...

Q...

� P

Esto significa que uno puede concluir Q si uno puede establecer P y algunode los bicondicionales indicados. La regla de introducción para el bicondicio-nal P ↔ Q requiere que realice dos subdemostraciones, una mostrando queQ se sigue de P. y otra mostrando que P se sigue de Q.

Capítulo 7 135

Introducción del bicondicional (↔ Intro):

P...

Q

Q...

P

� P↔ Q

Ejercicios y Problemas.

Problema 7.9 Demuestre formalmente:

1. A→ (B→ A) sin premisas.

2. (A→ (B→ C))↔ ((A ∧ B)→ C) sin premisas.

3. C ∧ D desde las premisas (A ∨ (B ∧ C), ¬E, (A ∨ B)→ (D ∨ E), y ¬A.

4. A→ (A ∨ B) sin premisas.

Problema 7.10 Dar demostraciones de las siguientes equivalencias impor-tantes. Una vez que las haya demostrado encontrará útil citarlas frecuente-mente.

1. (P→ Q)↔ (¬P ∨ Q)

2. ¬(P→ Q)↔ (P ∧ ¬Q)

Capítulo 7 136

Problema 7.11 Completar las siguientes demostraciones incompletas (no seolvide de las justificaciones):

1 ¬A ∧ ¬B

2 A

3 ¬B

4 ¬A

5 . . .

6 . . .

7 B

8 ¬A

9 B

10 . . .

11 A

12 A↔ B

1 (A↔ B) ∧ (A↔ C)

2 A

3 A↔ B

4 B

5 . . . ∨ Intro . . .

6 B ∨ C

7 B

8 A↔ B

9 . . .

10 C

11 A↔ C

12 A

13 . . . ∨ . . .

14 A↔ (B ∨ C)

Problema 7.12 Demostrar que (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B) se sigue de A ↔ B(Ayuda: intente demostrar primero este teorema: A ∨ ¬A)

Parte II

Cuantificadores

137

Capítulo 8

Introducción a lacuantificación

En español y en otros lenguajes naturales, las oraciones básicas se formancombinando frases nominales con frases verbales. Las frases nominales mássimples son nombres, como Max y Clara, que corresponden a los símbolos deconstantes de LPO. Las frases nominales más complejas se forman a partir dela combinación de nombres comunes con otras palabras denominadas deter-minantes, tales como todos, algunos, la mayoría, el, tres y ninguno, dándonosfrases nominales como todos los cubos, algún hombre de Indiana, la mayoríade los niños en la clase, el dodecaedro en el rincón, tres ratones ciegos yningún estudiante de lógica.

Los lógicos denominan a las frases nominales de este tipo expresionescuantificadas y a las oraciones que las contienen oraciones cuantificadas. Estasexpresiones se denominan de esta manera porque nos permiten hablar sobrecantidades de cosas – todo cubo, la mayoría de los niños y demás.

Las propiedades lógicas de las oraciones cuantificadas dependen fuerte-mente del determinante usado. Compare, por ejemplo, los siguientes argu-mentos:

Todo actor rico es un buen actor.Brad Pitt es un actor rico.∴Brad Pitt es un buen actor.

138

Capítulo 8 139

Muchos actores ricos son buenos actores.Brad Pitt es un actor rico.∴Brad Pitt es un buen actor

Ningún actor rico es un buen actorBrad Pitt es un actor rico∴Brad Pitt es un buen actor

¡Qué diferencia hace un determinante! El primero de estos argumentos esobviamente válido. El segundo no es lógicamente válido, aunque las premisashacen a la conclusión al menos plausible. El tercer argumento es simple-mente tonto: de hecho, las premisas implican lógicamente la negación de laconclusión. Difícilmente se pueda encontrar un argumento peor que éste.

La cuantificación nos lleva fuera del ámbito de las conectivas veritativo-funcionales. Observe que no es posible determinar la verdad de las oracionescuantificadas a partir de los valores de verdad de las oraciones que las consti-tuyen. De hecho, oraciones como Todo actor rico es un buen actor y Ningúnactor rico es un buen actor no están compuestas realmente de oraciones mássimples, al menos no de una manera obvia. Sus valores de verdad están de-terminados por la relación que existe entre el conjunto de actores ricos yel conjunto de actores buenos: si todos los elementos del primer conjunto oningún elemento del primer conjunto son miembros del segundo conjunto.

Varias construcciones no veritativo-funcionales son en realidad formasocultas de cuantificación. Considere, por ejemplo, la oración:

Max está en casa siempre que Clara está en la biblioteca

La verdad de esta oración en un momento particular no es una funciónde verdad de sus partes en ese momento. La razón es que siempre que es unaforma implícita de cuantificación, que significa en todo momento en que. Laoración significa algo así:

Todo momento en que Clara está en la biblioteca es un momento en queMax está en casa.

Otro ejemplo de una conectiva no veritativo-funcional que involucra cuan-tificación implícita es implica lógicamente. No es posible decir si P implicalógicamente a Q sólo a partir de los valores de P y de Q. Esto es así porque

Capítulo 8 140

la afirmación significa que toda circunstancia lógicamente posible que haceverdadera a P hace verdadera a Q. La afirmación cuantifica implícitamentesobre circunstancias posibles.

Mientras que hay muchas formas de cuantificación en español, sólo dosse construyen explícitamente en LPO. Este lenguaje tiene dos símbolos decuantificación, ∀ y ∃, que se leen “para todos” y “algunos”, respectivamente.Esto puede parecer un número muy pequeño de cuantificadores, pero sor-presivamente muchas formas de cuantificación pueden definirse a partir de ∀y ∃ usando predicados y conectivas veritativo-funcionales, incluyendo frasescomo todo cubo, tres ratones ciegos, ningún estudiante alto y siempre que.Sin embargo, algunas expresiones cuantificadas están fuera del alcance deLPO, como por ejemplo: la mayoría de los estudiantes, muchos cubos y unacantidad infinita de números primos.

8.1. Variables

Antes de mostrar cómo funcionan los símbolos de los cuantificadores,necesitamos introducir un nuevo tipo de término denominado variable. Lasvariables son una especie de símbolo auxiliar. De algún modo, se comportancomo constantes individuales, ya que pueden aparecer en la lista de argumen-tos que sigue inmediatamente a un predicado. Pero de otros modos, son muydiferentes de las constantes individuales. En particular, su función semánti-ca no consiste en referirse a objetos. Más bien, son señaladores que indicanrelaciones entre cuantificadores y las posiciones de argumento de distintospredicados. Esto se hará más claro en nuestra discusión de los cuantificado-res.

La lógica de primer orden asume una lista infinita de variables, de modotal que nunca podemos acusar carencia de ellas por complejo que puedahacerse un enunciado. Estas variables son cualquiera de las letras u, v, w, x,y, y z con o sin subíndices. Así, por ejemplo, x, u23 y z6 son todas variablesen el lenguaje de LPO. Pero el lenguaje de bloques usa sólo seis variables, esdecir, u, v, w, x, y, y z. Esto impone una limitación expresiva en el lenguajeusado en el lenguaje de bloques, pero en la práctica raramente se recurre amás de cuatro o cinco variables.

Agregar variables expande el conjunto de términos del lenguaje. Hastaahora, las constantes individuales (nombres) fueron los únicos términos bá-sicos. Si el lenguaje contiene símbolos de función, los términos adicionales se

Capítulo 8 141

construyen a partir de la repetida aplicación de estos símbolos de función.Ahora tenemos dos tipos de términos básicos: variables y constantes indivi-duales. Se pueden formar términos complejos aplicando símbolos de función acada tipo de término básico. Así, además del término padre(max), tendremosel término padre(x), y además de (0 + 1)× 1, tenemos (y + z)× z.

8.2. Fbfs atómicas

Ahora que disponemos de variables, podemos producir expresiones queparezcan oraciones atómicas, excepto que hay variables en lugar de constan-tes individuales. Por ejemplo, EnCasa(x) y MasAlt(Juan, y), son expresionestales. Las llamamos fórmulas atómicas bien formadas, o fbfs atómicas. Noson oraciones, pero se usarán junto a símbolos cuantificadores para construiroraciones. El término “oración” se reserva para fórmulas bien formadas enlas cuales todas las variables que ocurren se usan junto con cuantificadoresque las “ligan”. A su tiempo, daremos las definiciones de oración y variableligada.

Recordar

1. El lenguaje LPO tiene una cantidad infinita de variables, cua-lesquiera de u, v, w, x, y, y z, con o sin subíndices.

2. En el lenguaje de bloques sólo se emplearán variables desde uhasta z, sin subíndices.

3. En una fbf atómica, las variables puede ocurrir en cualquierposición ocupada normalmente por un nombre.

8.3. Cuantificadores

Nuestro lenguaje contiene dos símbolos cuantificadores, ∀ y ∃. Se llaman“cuantificadores” porque pueden usarse para expresar ciertas afirmacionesrudimentarias acerca del número (o la cantidad) de cosas que satisfacen al-guna condición. Específicamente, nos permiten decir que todos los objetossatisfacen alguna condición, o que por lo menos un objeto satisface algunacondición. Cuando se usan en conjunción con la identidad (=) y las distintas

Capítulo 8 142

conectivas, pueden también usarse para expresar afirmaciones numéricas máscomplejas, por ejemplo, que hay exactamente dos cosas que satisfacen algunacondición.

Cuantificador universal (∀)Este símbolo se usa para expresar afirmaciones universales que se expresan

en español usando términos tales como toda cosa, cada cosa, todas las cosasy cualquier cosa. Siempre se usa en conexión con alguna de las variables u, v,w, x, . . ., y así se dice que es un operador que liga variables. La combinación∀x se lee “para todo objeto x” o (algo inconvenientemente) “para todo x”.1 Siquisiéramos traducir la oración española (muy poco probable) Todo está encasa a la lógica de primer orden, usaríamos la expresión:

∀xEnCasa(x)

Esto dice que todo objeto x cumple la siguiente condición: x está en casa. O,para decirlo más naturalmente, que toda cosa cualquiera está en casa.

Por supuesto que raramente hacemos tales afirmaciones incondicionalesacerca de absolutamente todas las cosas. Son más comunes las afirmacionesuniversales restringidas, como Todo doctor es inteligente. Esta oración setraduciría como:

∀x(Doctor(x)→ Inteligente(x))

Esta oración dice que dado un objeto cualquiera –llamémosle x– si x es undoctor, entonces x es inteligente. Para decirlo de otra manera, la oración diceque si se elige una cosa cualquiera, se encontrará que o bien no es un doctor,o que es inteligente (o quizás ambos).

Cuantificador existencial (∃)Este símbolo se usa para expresar afirmaciones existenciales, las que ex-

presamos en español usando términos tales como algo, por lo menos una cosa,un, y una. También se usa siempre en conexión con una de las variables u,v, w, x, . . ., y es así un operador que liga variables. La combinación ∃x se lee

1Alentamos a los estudiantes a que usen la primera locución cuando lean fórmulas, por lomenos por algunas semanas, ya que hemos visto que muchos estudiantes han comprendidomal la función básica de las variables por haber usado la segunda.

Capítulo 8 143

“para algún objeto x” o (algo inconvenientemente) “para algún x”. Si quisié-ramos traducir la oración española Algo está en casa a la lógica de primerorden, usaríamos la expresión

∃xEncasa(x)

Esto dice que algún objeto x cumple la siguiente condición: x está en casa.Si bien es posible hacer tales afirmaciones, es más común decir que algo

de una clase particular cumple cierta condición, digamos, Algún doctor esinteligente. Esta oración debería traducirse como:

∃x(Doctor(x) ∧ Inteligente(x))

Esta oración dice que algún objeto, digamos, x, cumple la condición compleja:x es a la vez un doctor y es inteligente. O, más coloquialmente, dice que haypor lo menos un doctor inteligente.

8.4. Fbfs y oraciones

Nótese que en algunos de los ejemplo anteriores, formamos oraciones apartir de expresiones complejas que no eran ellas mismas oraciones, expre-siones como

Doctor(x) ∧ Inteligente(x)

que contenía variables no ligadas por ningún cuantificador. Así, para des-cribir sistemáticamente todas las oraciones de la lógica de primer orden, esconveniente describir antes una clase más grande, las así llamadas fórmulasbien formadas, o fbfs.

Ya hemos explicado lo que es una expresión atómica: cualquier predicadon-ario seguido de n variables o constantes individuales. Usándolas como ob-jetos atómicos de construcción, podemos construir fbfs más complicadas poraplicación repetida de las siguientes reglas:

1. Si P es una fbf, también lo es ¬P.

2. Si P1, . . . , Pn son fbfs, también lo es (P1 ∧ . . . ∧ Pn).

3. Si P1, . . . , Pn son fbfs, también lo es (P1 ∨ . . . ∨ Pn).

Capítulo 8 144

4. Si P y Q son fbfs, también lo es (P→ Q).

5. Si P y Q son fbfs, también lo es (P↔ Q).

6. Si P es una fbf y v es una variable (i.e., una de u, v, w, x, . . .), entonces∀v P es una fbf y toda ocurrencia de v en P se dice que está ligada.

7. Si P es una fbf y v es una variable (i.e., una de u, v, w, x, . . .), entonces∃v P es una fbf y toda ocurrencia de v en P se dice que está ligada.

Por convención, permitimos descartar los paréntesis más externos de una fbf,escribiendo P∧Q en lugar de (P∧Q), pero sólo si el paréntesis encierra unafbf completa.

Estas reglas trabajan de manera bastante simple. Por ejemplo, comenzan-do por las fórmulas atómicas Cubo(x) y Chico(x), podemos aplicar la regla 2para obtener la fbf:

(Cubo(x) ∧ Chico(x))

De manera similar, comenzando por la fbf atómica IzqdDe(x, y) podemosaplicar la regla 7 para obtener la fbf:

∃xy IzqdDe(x, y)

En esta fórmula la variable y ha sido ligada por el cuantificador ∃y. La variablex, por otra parte, no ha sido ligada, todavía está “libre”.

Las reglas también pueden aplicarse a fbfs complejas, de modo tal de quea partir de las dos fbfs de arriba y la regla 4 podemos generar la siguientefbf:

((Cubo(x) ∧ Chico(x))→ ∃y IzqdDe(x, y))

Una oración es una fbf sin variables no ligadas (libres). Ninguna de las fbfsanteriores es una oración, ya que todas contienen variables no ligadas. Paralograr una oración desde la última de ellas, podemos aplicar simplemente laregla 6 para producir:

∀x ((Cubo(x) ∧ Chico(x))→ ∃y IzqdDe(x, y))

Aquí todas las ocurrencias de la variable x han sido ligadas por el cuantifi-cador ∀x. Así, esta fbf es una oración porque no tiene variables libres. Diceque para todo objeto x, si x es a la vez un cubo y es pequeño, entonces hay

Capítulo 8 145

un objeto y tal que x está a la izquierda de y. O, para decirlo de manera másnatural, todo cubo chico está a 1a izquierda de algo.

Estas reglas pueden aplicarse reiteradamente para formar fbfs más y máscomplejas. Por ejemplo, la aplicación repetida de la primera regla a la fbfEnCasa(Juan) nos dará las siguientes fbfs:

¬EnCasa(Juan)

¬¬EnCasa(Juan)

¬¬¬EnCasa(Juan)...

Ya que ninguna de éstas contiene variables, y por consiguiente, ningunavariable libre, cada una de ellas es una oración. Ellas dicen, como usted sabe,que Juan no está en casa, que no es el caso de que Juan no esté en casa,que no es el caso de que no sea el caso de que Juan no esté en casa, y asísucesivamente.

Hemos dicho que una oración es una fbf sin variables libres. Sin embargo,algunas veces puede ser ligeramente complicado decidir si una variable estálibre en una fbf. Por ejemplo, no hay variables libres en la fbf:

∃x(Doctor(x) ∧ Inteligente(x))

Sin embargo, hay una variable libre en la fbf de aspecto muy similar:

∃xDoctor(x) ∧ Inteligente(x)

Aquí la última ocurrencia de la variable x aún está libre. Podemos darnoscuenta de por qué ocurre esto pensando cuándo se aplicó el cuantificadorexistencial al construir estas dos fórmulas. En la primera, el paréntesis mues-tra que el cuantificador se aplicó a la conjunción (Doctor(x)∧ Inteligente(x)).Como consecuencia, todas las ocurrencias de x en la conjunción fueron liga-das por este cuantificador. En contraste, la falta de paréntesis muestra queal construir la segunda fórmula el cuantificador existencial se aplicó para for-mar ∃xDoctor(x), ligando de tal forma sólo la ocurrencia de x en Doctor(x).Esta fórmula fue luego unida en conjunción con Inteligente(x), y, así, la últimaocurrencia de x no quedó ligada.

Los paréntesis, como se puede ver en este ejemplo, marcan grandes dife-

Capítulo 8 146

rencias. Constituyen la manera en que se puede indicar el “alcance” de uncuantificador, esto es, cuáles variables caen bajo su influencia y cuáles, no.

Recordar

1. Las fbfs complejas se forman a partir de las fbfs atómicas me-diante las conectivas veritativo-funcionales y los cuantificadoresde acuerdo con las reglas de la pág.143.

2. Cuando se agrega uno de los dos cuantificadores ∀x o ∃x a unafbf P, se dice que el cuantificador liga todas las ocurrenciaslibres de x en P.

3. Una oración es una fbf en la cual ninguna variable aparece libre(no ligada).

8.5. Las cuatro formas aristotélicas

Mucho antes de que se formulara LPO, Aristóteles estudió los tipos de ra-zonamiento asociados con frases nominales tales como Todo hombre, Ningúnhombre, y Algún hombre, expresiones que traduciremos usando nuestros sím-bolos de cuantificadores. Las cuatro formas de enunciado principales tratadasen la lógica de Aristóteles eran las siguientes:

Todos los P son Q

Algunos P son Q

Ningún P es Q

Algunos P no son Q

Comenzaremos estudiando las primeras dos de estas formas, que ya hemosdiscutido en parte. Estas formas se traducen como sigue. La forma Todos losP son Q se traduce como:

∀x(P(x)→ Q(x))

mientras que la forma Algunos P son Q se traduce como:

Capítulo 8 147

∃x(P(x) ∧ Q(x))

Los estudiantes principiantes se tientan a menudo en traducir la última poralgo más parecido a la primera, es decir como:

∃x(P(x)→ Q(x))

En realidad, este es un enunciado extremadamente antinatural de la lógicade primer orden. Es significativo, pero no quiere decir lo que usted quizásesperaría. Es verdadero exactamente en el caso de que haya un objeto que obien no es P o es Q, que es algo muy diferente de decir que algunos P son Q.

Las otras dos fórmulas aristotélicas se traducen de manera similar, perousando una negación. En particular, Ningún P es Q se traduce:

∀x(P(x)→ ¬Q(x))

Muchos estudiantes encuentran más natural usar el siguiente enunciado ló-gicamente equivalente:

¬∃x(P(x) ∧ Q(x))

Ambos afirman que nada que sea P es también Q.La última de las cuatro formas, Algunos P no son Q, se traduce por:

∃x(P(x) ∧ ¬Q(x))

que dice que hay algo que es P pero no es Q.Hay una serie de temas tradicionalmente vinculados con el estudio de la

lógica asociada a estas fórmulas. No los discutiremos explícitamente aquí.Más bien, nuestro uso de estas fórmulas se limitará simplemente a su utili-zación como ejemplos de las clases más simples de enunciados construidoscon cuantificadores. No obstante, dada su importancia en la historia de lalógica, sí vale la pena detenerse en el llamado “Cuadrado de Oposición”, queinvolucra a estas fórmulas y proposiciones, lo consideraremos brevemente enla siguiente sección.

Capítulo 8 148

RecordarLas cuatro formas aristotélicas se traducen de la siguiente manera:

Todos los P son Q ∀x(P(x)→ Q(x))

Algunos P son Q ∃x(P(x) ∧ Q(x))

Ningún P es Q ∀x(P(x)→ ¬Q(x))

Algunos P no son Q ∃x(P(x) ∧ ¬Q(x))


Problema 8.1. Suponga que estamos trabajando en una extensión del len-guaje de primer orden de la aritmética con los predicados adicionales Par(x)y Primo(x) que significan, respectivamente “x es un número par” y “x es unnúmero primo”. Exprese lo siguiente en este lenguaje:

1. Ningún número par es primo.

2. Todo primo es o bien impar o igual a 2.

3. Algún primo es par.

4. Algún primo no es par.

¿Cuáles de estos enunciados son verdaderos?

8.6. El cuadrado de oposición

Lo que se ha dado en llamar “Cuadrado de oposición”, es una colección derelaciones lógicas que tradicionalmente se diagramaron a través de un cuadra-do.2 Es, en tal sentido, un conjunto de inferencias basadas en un diagrama.Este cuerpo de doctrinas, proporcionó un fundamento para la aplicación dela lógica por casi dos mil años. En gran parte de este decurso histórico, loslógicos parecen haber dado por supuesto, que las proposiciones particulares

2El texto en esta sección corresponde a una traducción parcial del artículo de TerenceParsons: “The Taditional Square of Opposition”, publicado en Stanford Encyclopedia ofPhilosophy

Capítulo 8 149

negativas (expresadas por “Algún S no es P”) son vacuamente verdaderas sisu sujeto es vacío. Esto valida las leyes lógicas representadas en el diagramay preserva la doctrina contra las críticas modernas. Ciertos principios adicio-nales (“Contraposición” y “Obversión”) se adoptaron a veces conjuntamentecon el Cuadrado, y produjeron genuinas inconsistencias. En el siglo XIX, seadoptó un conjunto de doctrinas francamente inconsistentes con él. El inten-to de Strawson en 1952 de rehabilitar el Cuadrado, no se aplica a la doctrinatradicional; pone a salvo la versión del siglo XIX, pero al precio de producirinferencias que van de lo verdadero a lo falso, cuando se las encadena.

La doctrina del cuadrado de oposición se originó con Aristóteles en elsiglo IV a.C. y aparece desde entonces en los textos dedicados a la enseñanzade la lógica. Aunque recibió muchas críticas en las décadas recientes, se siguehaciendo referencia a ella. El cuadrado de oposición es –como dijimos– ungrupo de tesis que toman forma en un diagrama. El diagrama no es esencialpara estas tesis; constituye sólo un modo útil de mantenerlas juntas. Lastesis tienen que ver con las relaciones lógicas entre las cuatro formas lógicasque vimos anteriormente y que se representaban con las letras A, E, I, O. Eldiagrama para el cuadrado tradicional es el siguiente:

A

I

E

O

contradictorios

contrarios

subcontrarios

subalternos

subalternos

Las tesis que encarna el diagrama, a las que podemos llamar “CUADRA-DO”, son las siguientes:

1. “Todo S es P” (A) y “Algún S no es P” (O) son contradictorias.

2. “Ningún S es P” (E) y “Algún S es P” (I) son contradictorias.

3. “Todo S es P” (A) y “Ningún S es P” (E) son contrarias.

Capítulo 8 150

4. “Algún S es P” (I) y “Algún S no es P” (O) son subcontrarias.

5. “Algún S es P” (I) es subalterna de “Todo S es P” (A).

6. “Algún S no es P” (O) es subalterna de “Ningún S es P” (E).

Estas tesis se suplementan con las siguientes explicaciones:

Dos proposiciones son contradictorias si y sólo si no pueden ser ambasverdaderas y no pueden ser ambas falsas.

Dos proposiciones son contrarias si y sólo si no pueden ser ambas ver-daderas pero pueden ser ambas falsas.

Dos proposiciones son subcontrarias si y sólo si no pueden ser ambasfalsas, pero sí pueden ser ambas verdaderas.

Con todo, en general, la doctrina que mejor representa la posición tradicionales la que podemos denominar como la tesis [CUADRADO], que incluiría lasrelaciones lógicas ilustradas en el diagrama del cuadrado tradicional anterior,más la tesis de que

“Ningún S es P” es equivalente a “Ningún P es S” y de que

“Algún S es P” es equivalente a “Algún P es S”.

Esta operación se conocía, desde Aristóteles, como conversión simple. Vere-mos en seguida que este agregado parece ser fundamental para entender lalarga y controvertida vigencia del cuadrado de oposición en la historia de lalógica.

Ya vimos cómo se simbolizaban en LPO las proposiciones de la formaA, E, I, O. Si se adopta esta simbolización, juntamente con la interpretaciónque conocemos de las conectivas y cuantificadores, desaparecen casi todas lasrelaciones lógicas encarnadas en el cuadrado de oposición. Sólo queda la decontradicción.

Lo que queda, obviamente tiene muy poca estructura lógica como paraser de alguna utilidad, razón por la cual no se lo usa generalmente en LPO.Según el lógico norteamericano Alonso Church, esta nueva perspectiva sedebió originar hacia fines del siglo XIX.

La representación de las formas aristotélicas en LPO, que ya vimos ante-riormente, es bastante aceptada en la actualidad, excepto por ciertas reservas

Capítulo 8 151

en lo que tiene que ver con la pérdida de la subalternación en la parte iz-quierda del diagrama. En el lenguaje común, la mayor parte de los hablantestienden a entender que “Todo S es P” exige para ser verdadera que haya algúnS y, si se impone este requisito, entonces debe darse la subalternación para lasproposiciones afirmativas. Todos los textos de lógica actuales, deben enfren-tar la aparente implausibilidad de permitir que “Todo S es P” sea verdaderacuando no hay Ss. La defensa más común contra esto, consiste generalmenteen señalar que se trata de una notación lógica, diseñada con propósitos ló-gicos, que no pretende por ello capturar cada aspecto del lenguaje común ala que sus signos puedan asemejarse. De modo que, quizás ‘∀x(S(x)→ P(x))’no haga justicia plenamente del uso común de “Todo S es P”, pero esto noconstituye un problema en sí para la lógica. Si uno cree que “Todo S es P”requiere para ser verdadero que haya Ss, puede obtener este resultado de unmodo simple y fácil: basta representar el uso recalcitrante de “Todo S es P”en notación simbólica, agregando otra conjunción a la simbolización tal comoestá, de este modo se tendría como su nueva representación: ∀x(S(x)→ P(x))∧ ∃xS(x).

Este argumento deja intacta a la lógica y también da cuenta de la ob-jeción, que no es una objeción lógica, sino meramente una reserva sobre larepresentación del lenguaje corriente. Por lo general, los autores continúanexplicando que a menudo en la ciencia se busca hacer generalizaciones cuandono se está seguro sobre si estas tienen o no instancias particulares, e inclusiveen algunos casos, aun a sabiendas que no las tienen. Esto cuenta como unargumento a favor de simbolizar la forma A de modo que permita que ellasea vacuamente verdadera. Es un argumento basado en la conveniencia de lanotación y no se relaciona con la coherencia lógica.

No obstante, ¿por qué debería ser revisado el cuadrado tradicional? Elargumento es simple:

Supongamos que “S” es un término vacío; no es verdad denada. Entonces, la forma I: “Algún S es P” es falsa. Pero entoncessu contradictoria, la forma E: “Ningún S es P” debe ser verdadera.Pero entonces, la subalterna, de la forma O: “Algún S no es P”debe ser verdadera también. Sin embargo, esto no es correcto, yaque no hay Ss.

Lo desconcertante de este argumento, es que lleva a preguntarse cómo es quela doctrina tradicional del cuadrado de oposición pudo mantenerse por más

Capítulo 8 152

de 20 siglos frente a esta falencia ¿Fueron los lógicos tan obtusos como parano haber notado esta falla aparentemente fatal por casi 20 siglos? ¿O puedehaber alguna otra explicación?

Una posibilidad es que los lógicos, antes del siglo XX, deben haber pen-sado que ningún término es vacío. A menudo encontramos esta explicación,no obstante no parece que hubiera reales antecedentes de ella –a no ser unaspocas excepciones– antes del siglo XIX. Muchos autores no discuten sobrelos términos vacíos, sin embargo aquellos que lo hacen dan por descontadasu presencia. El rechazo explícito de los términos vacíos no fue nunca unaopción importante, inclusive en el siglo XIX.

Otra posibilidad es que la forma particular I puede ser verdadera cuandosu sujeto es vacío. Esta era una opinión común respecto a las proposicionesindefinidas cuando se las interpreta genéricamente, tal como “Un dodo es unpájaro”, que (aunque sea algo discutible) puede ser verdadero hoy a pesarde que los dodos se hayan extinguido, porque ser un pájaro es parte de laesencia de ser un dodo. Sin embargo la verdad de esta proposición indefini-da con un sujeto vacío, no tiene que ver con la forma de las proposicionesque aparecen en el cuadrado. Puesto que, aunque puede sostenerse que laproposición indefinida “Un dodo se comió mi almuerzo”, es equivalente a laproposición particular “Algún dodo comió mi almuerzo”, los indefinidos ge-néricos como “Un dodo es un pájaro”, son muy diferentes, y su semántica noguarda relación con las oraciones cuantificadas del cuadrado de oposición.

Todo lleva a pensar que la doctrina tradicional que denominamos como[CUADRADO] más arriba, que sería la que se extiende por 20 siglos en la his-toria de la lógica occidental, es completamente coherente con la presencia detérminos vacíos. Esto es así porque en la interpretación tradicional, la formaO carece de compromiso o importe existencial. La forma O es vacuamenteverdadera y no es falsa, si su término sujeto es vacío, y de este modo no sepodría, al fin y al cabo, objetar las interrelaciones lógicas sostenidas por ladoctrina que caracterizamos como [CUADRADO].

Capítulo 8 153

Ejercicios y Problemas (Es aconsejable volver sobre este problema luegode completar la lectura de la semántica para cuantificadores en el próximocapítulo)

Problema 8.2. Muestre por qué si se adopta la simbolización de las formasaristotélicas de LPO, juntamente con la interpretación estándar de las co-nectivas y cuantificadores, desaparecen las relaciones lógicas expresadas enel cuadrado de oposición excepto la de contradicción.

8.7. Traducción de frases nominales complejas

Lo primero que tiene que aprender para traducir expresiones españolascuantificadas es cómo tratar frases nominales complejas, expresiones como“un muchacho que vive en San Vicente” o “toda chica que vive en Nva. Cór-doba”. En esta sección aprenderemos cómo hacerlo. Nos concentraremos pri-meramente en el primer tipo de frase nominal, cuya traducción más naturalincluye un cuantificador existencial. Típicamente, serán frases nominales quecomienzan con uno de los determinantes “algún” o “un”, incluyendo frasesnominales como “alguna cosa”. Se llaman frases nominales existenciales, yaque afirman la existencia de algo. Por supuesto, dos de nuestras cuatro fór-mulas aristotélicas involucran frases nominales existenciales, de modo que yaconocemos la pauta general: las frases nominales existenciales se traducenhabitualmente utilizando ∃, a menudo junto con ∧.

Veamos un ejemplo simple. Supongamos que quisiéramos traducir la ora-ción Un perro chico, feliz, está en casa. Esta oración dice que hay un objetoque simultáneamente es un perro chico, feliz, y está en casa. Lo traduciríamosasí:

∃x [(Perro(x) ∧ Chico ∧ Feliz(x)) ∧ EnCasa(x)]

Hemos puesto paréntesis alrededor de los primeros tres predicados para in-dicar que todos ellos formaban parte de la traducción de la frase nominalsujeto. Pero no eran verdaderamente necesarios.

Las frases nominales universales son aquellas que comienzan con determi-nantes tales como “cualquiera”, “cada” y “todos” – que se traducen habitual-mente con el cuantificador universal. A veces, frases nominales que empiezancon “ningún” se traducen también con el cuantificador universal. Dos de nues-tras cuatro fórmulas aristotélicas involucran frases nominales universales, de

Capítulo 8 154

modo que ya conocemos la pauta general aquí: las frases nominales univer-sales se traducen habitualmente utilizando ∀, a menudo junto con →.

Consideremos la oración Todo perro chico que está en casa es feliz. Estodice que toda cosa con una propiedad compleja, la de ser un perro chico queestá en casa, tiene otra propiedad, la de ser feliz. Esto sugiere que todo elenunciado tiene la forma Todos los A son B. Pero en este caso, para expresarla propiedad compleja que va en la posición de “A”, usaremos una conjunción.De tal modo, se traduciría así:

∀x [(Perro(x) ∧ Chico(x) ∧ Feliz(x))→ EnCasa(x)]

En este caso, los paréntesis no son opcionales. Sin ellos, la expresión no estaríabien formada.

En estos dos ejemplos, la frase nominal compleja aparece al comienzo dela oración española, de manera similar al cuantificador en la traducción aLPO. Frecuentemente, sin embargo, la frase nominal española aparecerá enalgún otro lugar de la oración, digamos como objeto directo, y en estos casosla traducción a LPO deberá ser ordenada de manera bastante diferente dela oración española. Por ejemplo, la oración Max tiene un perro chico felizdebería traducirse como:

∃x [(Perro(x) ∧ Chico(x) ∧ Feliz(x)) ∧ Tiene(max, x)]

Que dice que hay un perro chico feliz que tiene Max. Similarmente, la oraciónespañola Max tiene todos los perros chicos felices terminaría transformadade la siguiente manera:

∀x [(Perro(x) ∧ Chico(x) ∧ Feliz(x))→ Tiene(max, x)]

Se hará mucha práctica traduciendo frases nominales complejas en los proble-mas que siguen. Antes, sin embargo, discutimos algunos casos problemáticos.

Recordar

1. La traducción de frases nominales cuantificadas complejas fre-cuentemente emplean conjunciones de predicados atómicos.

2. El orden de una oración española podría no corresponder conel orden de su traducción a LPO.

Capítulo 8 155

8.8. Implicatura conversacional y cuantificación

Se notará que la traducción de frases cuantificadas no es difícil, en lamedida en que los cuantificadores no estén “anidados” uno dentro de otro.Hay, sin embargo, un par de puntos problemáticos.

Una cosa que a menudo intriga a los estudiantes tiene que ver con el valorde verdad de enunciados de la forma:

∀x(P(x)→ Q(x))

en mundos donde no hay objetos que satisfagan P(x). Si piensa en ello, veráque en tal mundo la oración es verdadera simplemente porque no hay objetosque satisfagan el antecedente. Esto se llama una generalización vacuamenteverdadera. Ya vimos cómo se planteaba este problema en relación con elcuadrado de oposición.

Considere, por ejemplo, el enunciado

∀y(Tet(y)→ Chico(y))

que dice que todo tetraedro es chico. Pero imagínese que esto ha sido afirma-do acerca de un mundo en el que no hay tetraedros. En ese mundo, la oraciónes verdadera simplemente porque no hay en absoluto tetraedros, chicos, me-dianos, o grandes. Por consiguiente, es imposible encontrar un contraejemplo,un tetraedro que no sea chico.

Lo que impacta a los estudiantes como especialmente extraño son ejem-plos como:

∀y(Tet(y)→ Cubo(y))

Al mirarla, tal oración parece contradictoria. Pero vemos que si es afirmado deun mundo en el que no hay tetraedros entonces, de hecho es verdadera. Peroésa es la única manera en que puede ser verdadera: si no hay tetraedros. Enotras palabras, la única manera en que esta oración puede ser verdadera es sies vacuamente verdadera. Llamemos a las generalizaciones con esta propiedad“inherentemente vacuas”. Así, una oración de la forma ∀x(P(x) → Q(x)) esinherentemente vacua si cualquier universo en el que es verdadera es tambiénun mundo en el que ∀x¬P(x) es verdadera.

En la conversación cotidiana, es difícil encontrar una generalización va-cuamente verdadera. Cuando ocurre, tenemos la sensación de que el inter-

Capítulo 8 156

locutor nos ha engañado. Por ejemplo, supongamos que una profesora dice“Todo ingresante que participó de la clase obtuvo un diez”, cuando en reali-dad no ha habido ingresantes en su clase. Aquí no diríamos que ha mentido,pero sí diríamos que de alguna manera nos ha engañado. Su oración invo-lucra claramente la implicatura conversacional de que había ingresantes ensu clase. Si no había ingresantes, entonces eso es lo que debería haber dichodirectamente. Es por eso que las afirmaciones inherentemente vacuas nos im-pactan como anti intuitivas: percibimos que no pueden ser verdaderas sin serengañosas.

Otra fuente de perplejidad se refiere a la relación entre los dos enunciadosaristotélicos siguientes:

Algunos P son Q

Todos los P son Q

Los estudiantes tienen a menudo la intuición de que el primero debería con-tradecir al segundo. Después de todo, ¿por qué decir que algún estudiantesacó diez si todos sacaron diez? Si esta intuición fuera correcta, entonces latraducción correcta de Algunos P son Q no sería la que sugerimos antes, sinomás bien:

∃x(P(x) ∧ Q(x)) ∧ ∀x(P(x)→ Q(x))

Es fácil ver, sin embargo, que el segundo conyunto de esta oración no re-presenta parte del significado del enunciado. Es, más bien, otro ejemplo deimplicatura conversacional. Es absolutamente sensato decir “Algún estudian-te se sacó un diez, en realidad, todos lo hicieron” si la conjunción propuestafuera la forma correcta de traducción, esta ampliación sería contradictoria.

Recordar

1. Todos los P son Q no implica, a pesar de que podría ser con-versacionalmente sugerido, que hay algún P.

2. Algunos P son Q no implica, a pesar de que podría ser conver-sacionalmente sugerido, que no todos los P son Q.

Capítulo 8 157


Problema 8.3. (Traducción de frases nominales existenciales)

Traducir las siguientes oraciones del español a LPO. Cada una utilizará elsímbolo ∃ una sola vez. Ninguna utilizará el símbolo ∀. A medida que avance,compruebe que sus oraciones estén bien formadas. Advertirá que muchas delas oraciones españolas se traducen por la misma oración de primer orden.

1. Algo es grande.

2. Algo es un cubo.

3. Algo es un cubo grande.

4. Algún cubo es grande.

5. Algún cubo grande está a la izquierda de b.

6. Un cubo grande está a la izquierda de b.

7. b tiene un cubo grande a su izquierda.

8. b está a la derecha de un gran cubo. [Ayuda.: Esta traducción deberíaser casi la misma que la anterior, pero debería contener el predicadoDerecDe]

9. Algo que está a la izquierda de b está detrás de c.

10. Un cubo grande que está a la izquierda de b está detrás de c.

11. Algún cubo grande está a la izquierda de b y detrás de c.

12. Algún dodecaedro no es grande.

13. Algo no es un dodecaedro grande.

14. No se da el caso de que algo sea un dodecaedro grande.

15. b no está a la izquierda de un cubo. [Atención: Esta oración es ambi-gua. ¿Puede imaginarse dos traducciones notablemente diferentes? Unaempieza con ∃, la otra empieza con ∀. Use la segunda de estas para sutraducción ya que es la lectura más natural en español.]

Capítulo 8 158

Problema 8.4 (Traducción de frases nominales universales)

Traducir las siguientes oraciones del español a LPO. Esta vez, cada tra-ducción contendrá exactamente un ∀ y ningún ∃.

1. Todos los cubos son pequeños.

2. Cada cubo pequeño está a la derecha de a .

3. Todos los dodecaedros son grandes.

4. a está a la izquierda de todo dodecaedro.

5. Todo tetraedro mediano está delante de b.

6. Cada cubo está o bien delante de b o detrás de a .

7. Todo cubo está a la derecha de a y a la izquierda de b.

8. Toda cosa que esté entre a y b es un cubo.

9. Todo lo que es menor que a es un cubo.

10. Todos los dodecaedros no son pequeños. [Nota: la mayoría de la genteencuentra ambiguo este enunciado. ¿Puede encontrar ambas lecturas?Una comienza con ∀, la otra , con ¬. Use 1a primera, que significa, enefecto, que todos los dodecaedros son medianos o grandes.]

11. Ningún dodecaedro es pequeño.

12. a no está a la derecha de todo. [Nota: este enunciado es ambiguo. Que-remos interpretarlo negando la afirmación de que a está a la derechade todo.]

13. a no está a la derecha de algo. [Nota: estos dos enunciados últimossignifican cosas diferentes, aunque ambos pueden traducirse usando ∀y DerecDe.]

14. a no está a la derecha de ningún cubo.

15. (?) Si algo es un cubo, entonces está a la derecha de a y a la izquierdade b. [Atención: a pesar de que este enunciado contiene la frase no-minal “algo”, está realmente haciendo una afirmación universal, y debeasí traducirse con ∀. Debería primero intentar parafrasearlo usando laexpresión en español “todo cubo”.]

Capítulo 8 159

16. (?) Algo es un cubo si y sólo si está a la derecha de a y a la izquierdade b.

Problema 8.5. Traducir las siguientes oraciones del español a LPO.

1. b es un tetraedro y es más chico que e.

2. No hay cubos de tamaño mediano.

3. Nada está delante de b.

4. Todo cubo está o bien delante de o detrás de e.

5. Ningún cubo está entre a y c.

8.9. Cuantificadores y símbolos de función

Cuando introdujimos por primera vez los símbolos de función en el Ca-pítulo 3, los presentamos como una manera de formar nombres complejosa partir de otros nombres. Así padre(padre(max)) refiere al padre del padrede Max, y (1 + (1 + 1)) refiere al número 3. Ahora que tenemos variablesy cuantificadores, los símbolos de función resultan mucho más útiles de loque fueron anteriormente. Por ejemplo, nos permiten expresar de manerabastante compacta cosas como estas:

∀x MejorQ(padre(padre(x), padre(x))

Esta oración dice que todos los abuelos paternos son mejores que los padres,una falsa creencia sostenida por muchos niños.

Observe que aun si nuestro lenguaje tuviese constantes individuales paranombrar a los padres de todos (y a los padres de sus padres y así sucesiva-mente), no podríamos expresar la afirmación anterior en una única oraciónsin usar el símbolo de función padre. Es verdad que si agregamos el predicadobinario PadreDe, podríamos expresar lo mismo, pero la oración sería consi-derablemente más compleja. Requeriría tres cuantificadores universales, algode lo que todavía no hemos hablado:

∀x∀y∀z((PadreDe(x, y) ∧ PadreDe(y, z))→ MejorQ(x, y))

Capítulo 8 160

En nuestros ejemplos informales de matemática hemos usado, de hecho,símbolos de función junto con variables a lo largo de todo el apunte. Porejemplo, en el Capítulo 6, demostramos el condicional:

Par(n2)→ Par(n)

Esta oración está sólo parcialmente en nuestro lenguaje de primer orden ofi-cial de la aritmética. Si hubiéramos tenido cuantificadores en aquel momento,habríamos podido expresar la afirmación deseada usando un cuantificadoruniversal y un símbolo de función binario ×:

∀y(Par(y × y)→ Par(y))

El lenguaje de bloques no tiene símbolos de función, a pesar de que po-dríamos haber introducido algunos. Por ejemplo, el bloque de más adelantede (fm), el bloque más atrás de (bm), el bloque más a la derecha de (rm), elbloque más a la izquierda de (lm). Donde, el término complejo lm(b) referiríaal bloque más a la izquierda en la misma fila de b. Así, una fórmula como:

lm(x) = x

es satisfecha por un bloque b si y sólo si b es el bloque más a la izquierda de esafila. Si agregamos un cuantificador universal a esta fbf atómica, obtenemosla oración:

∀x(lm(x) = x)

Que es verdadera en exactamente aquellos mundos que tienen como máximoun bloque en cada fila. Esta afirmación podría expresarse en el lenguaje debloques sin símbolos de función, pero nuevamente esto requeriría una oracióncon más de un cuantificador. Para chequear si entendió estos símbolos defunción, vea si puede decir cuál de las dos siguientes oraciones es verdaderaen todos los mundos y cuál hace una afirmación sustantiva, verdadera enalgunos y falsa en otros:

∀x(lm(lm(x)) = lm(x))

∀x(fm(lm(x)) = lm(x))

Capítulo 8 161

Al leer un término como (fm(lm(b)), recuerde que primero aplica la fun-ción interna y después la externa. Esto es, primero encuentra el bloque mása la izquierda en la fila que contiene b –llamémoslo c– y después encuentrael bloque de más delante de la columna que contiene c.

Los símbolos de función son extremadamente útiles e importantes en lasaplicaciones de LPO.


Problema 8.6. Traduzca lo siguiente a LPO introduciendo nombres, predi-cados y símbolos de función a medida que hagan falta. Como habitualmente,explique sus predicados y símbolos de función, y cualquier recurso de traduc-ción. Si asume algún dominio del discurso particular, menciónelo también.

1. Sólo los valientes saben cómo perdonar.

2. Ningún hombre es una isla.

3. No me preocupo por nadie, no, si nadie se preocupa por mí.

4. Toda nación tiene el gobierno que se merece.

5. No hay certezas, salvo la lógica.

6. La miseria (esto es, una persona miserable) ama la compañía.

7. Todo lo que brilla no es oro.

8. Había una vez un alegre molinero / Vivía en el Río Dee.

9. Si usted le reza a todos, no le reza a nadie.

10. Algo está podrido en el estado de Dinamarca.

Capítulo 9

Verdad y falsedad deoraciones con cuantificadores

9.1. Semántica para los cuantificadores

Cuando describimos los significados de nuestras diversas conectivas, diji-mos cómo dependía la tabla de verdad de un enunciado complejo, digamos¬P, de los valores de verdad de sus componentes, en este caso P. Pero aúnno hemos dado reglas similares para determinar el valor de verdad de losenunciados cuantificados. La razón es simple: la expresión a la cual se aplicael cuantificador para construir un oración no es ella misma, habitualmen-te, una oración. Difícilmente podríamos decir cómo el valor de verdad de∃xCubo(x) depende del de Cubo(x), ya que esta última expresión no es enabsoluto una oración puesto que contiene una variable libre. A causa de estono es ni verdadera ni falsa.

Para describir cuándo las oraciones cuantificadas son verdaderos, necesi-tamos introducir la noción auxiliar de satisfacción. La idea básica es simple,y puede ilustrarse con unos pocos ejemplos. Decimos que un objeto satisfacela fbf atómica Cubo(x) si y sólo si el objeto es un cubo. De manera similar,decimos que un objeto satisface la fbf compleja Cubo(x)∧Chico(x) si y sólo sies a la vez un cubo y es chico. Como ejemplo final, un objeto satisface la fbfCubo(x) ∨ ¬Grand(x) si y sólo si o bien es un cubo o no es grande (o ambascosas a la vez).

Fue el lógico polaco Alfred Tarski –a quien ya mencionamos en los pri-meros capítulos– quien introdujo hacia 1930 esta definición de la noción de

162

Capítulo 9 163

verdad para los lenguajes formales, a través de la noción de “satisfacción deuna fórmula por una secuencia de objetos”. La definición de verdad en estostérminos dio origen a lo que se conoce como teoría semántica de la verdad,que es la más aceptada para los lenguajes formales. Posteriormente, hacia1970, el filósofo Donald Davidson, aplicó la teoría semántica de la verdad ala teoría del significado de las lenguas naturales. Los textos de lógica tratanla relación de satisfacción de manera algo diferente. Seguiremos la que coin-cide con la forma en que se comprueba en el Lenguaje de Bloques la verdadde las oraciones cuantificadas. Esto alcarazará por ahora para tener una ideaaproximada de cómo funciona esta noción. Supongamos que S(x) es una fbfque contiene a x como única variable libre, y supongamos que quisiéramossaber si un objeto dado satisface S(x). Si este objeto tiene un nombre, diga-mos b, entonces formamos una nueva oración S(b), reemplazando todas lasocurrencias libres de x por la constante individual b. Si S(b) es verdadera,entonces el objeto satisface la fórmula S(x); si no es verdadera, entonces elobjeto no satisface esta fórmula.

Esto funciona bien si el objeto dado tiene un nombre. Sin embargo, lalógica de primer orden no requiere que todo objeto tenga un nombre. ¿Cómopodemos definir satisfacción para objetos que no tengan nombre? Es por estarazón que el Lenguaje de Bloques tiene, además de las constantes individualesa, b, c, d, e y f, otra lista más de constantes individuales n1, n2, n3, . . .Cuando queremos saber si un cierto objeto sin nombre satisface la fórmulaS(x), elegimos la primera de esta constantes individuales que no se ha usadotodavía, digamos n7, nombramos temporariamente el objeto dado con estesímbolo y comprobamos si S(n7) es verdadera. Así, cualquier cubo chicosatisface Cubo(x)∧Chico(x) porque si usáramos n7 como nombre de tal cubochico, entonces Cubo(n7) ∧ Chico(n7) sería verdadera.

Una vez que disponemos de la noción de satisfacción, podemos describirfácilmente cuándo una oración de la forma ∃xS(x) expresa algo verdadero.Lo expresado será verdadero si y sólo si hay por lo menos un objeto quesatisface la fbf componente S(x). Así, ∃x(Cubo(x) ∧ Chico(x)) es verdadero sihay al menos un objeto que satisface Cubo(x)∧ Chico(x), es decir, si hay porlo menos un cubo chico. De manera similar, una oración de la forma ∀xS(x)expresa una proposición verdadera si y sólo si todo objeto satisface la fbfcomponente S(x). Así, ∀x(Cubo(x) → Chico(x)) es verdadera si todo objetosatisface Cubo(x) → Chico(x), es decir, si todo objeto, o bien no es un cuboo es chico.

Capítulo 9 164

Este enfoque de la satisfacción es conceptualmente más simple que algu-nos otros. Un enfoque más común evita la introducción de nuevos nombresdefiniendo satisfacción para fbfs con un número arbitrario de variables libres.No necesitaremos esto por ahora para especificar el significado de los cuan-tificadores, pero sí es necesario para una consideración más general, que nodependa de la cantidad de nombres del lenguaje. En este caso, la asignaciónde objetos a las variables se hace de manera directa.

Al dar la semántica para los cuantificadores, hemos asumido implícita-mente que hay una colección de objetos más o menos clara acerca de loscuales hablamos. Por ejemplo, si encontramos la oración ∀x Cubo(x) en elLenguaje de Bloques, interpretamos que es una afirmación acerca de los ob-jetos que aparecen en un mundo. No lo consideramos falso –por ejemplo–porque la luna no sea un cubo. Similarmente, si encontramos la oración∀x

[Par(x2)→ Par(x)

], la interpretamos como una oración acerca de núme-

ros. Es verdadero porque todo objeto en el dominio del cual hablamos, el delos números naturales, satisface la fbf componente. En general, las oracionesque contienen cuantificadores son verdaderas o falsas solamente en relación aalgún dominio de discurso. A veces, el dominio de referencia contiene todoslos objetos que hay. Habitualmente, sin embargo, el dominio de referencia esuna colección mucho más restringida de cosas, digamos las personas en unahabitación, o algún conjunto particular de objetos físicos, o alguna colecciónde números. En este apunte especificaremos el dominio de manera explícita,a menos que quede claro por el contexto cuál es el dominio de referencia.

Aunque le pareciera que este universo de discurso debe ser finito, comopodría ser el caso para el Lenguaje de Bloques, esta es una falsa impesión, yaque una oración como ∀x

[Par(x2)→ Par(x)

]es verdadera en el universo de los

números naturales, el cual es infinito. En este último caso, determinar si hayobjetos que satisfacen la fbf Par(x2)→ Par(x) es un poco más complicado quemirar directamente el mundo o la luna. No obstante, si recuerda los capítulosanteriores, se dará cuenta de que ya se vio también cómo podia hacerse esto.Quizás sea buena idea volver a darle un vistazo.

Capítulo 9 165

Recordar

Las oraciones cuantificadas hacen afirmaciones acerca de undeterminado domimo de discurso.

Una oración de la forma ∀xS(x) es verdadera si y sólo si la fbfS(x) es satisfecha por todo objeto en el dominio de discurso, ouna oración de la forma ∃xS(x) es verdadera si y sólo si la fbfS(x) es satisfecha por algún objeto en el dominio de discurso.

Reglas de juego para los cuantificadores

Las reglas de juego para los cuantificadores son más interesantes que lasde las conectivas veritativo-funcionales. Con las conectivas, los movimientosdel juego involucraban la elección de oraciones que eran parte de la oracióncon la que uno se había comprometido. En cambio, con los cuantificadoreslos movimientos consisten en elegir objetos, no oraciones.

Suponga, por ejemplo, que usted se ha comprometido con la verdad de∃xP(x). Esto significa que usted se ha comprometido a que haya un obje-to que satisface P(x). Si juega el juego contra un Oponente, este le pediráfidelidad a ese compromiso, debiendo encontrar tal objeto. Por otra par-te, si usted se ha comprometido con la falsedad de ∃xP(x), se ha compro-metido a que no haya ningún objeto que satisfaga P(x); en este caso suOponente elige: trata de encontrar un objeto que satisfaga P(x), contradi-ciéndolo. Las reglas para ∀ son exactamente opuestas. Si usted se ha com-prometido con la verdad de ∀xP(x), se ha comprometido a que todo objetosatisfaga P(x). Su Oponente tratará de encontrar un objeto que no satisfa-ga P(x), contradiciendo así el compromiso suyo. Por el contrario, si ustedse ha comprometido con la falsedad de ∀xP(x), se ha comprometido a quehaya algún objeto que no satisfaga P(x). Su Oponente le pedirá que asu-ma su compromiso encontrando tal objeto. Ya hemos visto todas las reglasde juego. Detengámonos para repasarlas. Las resumimos en la Tabla 9.1.

Capítulo 9 166

Tabla 9.1: Resumen de las reglas de juego

FORMA SU COMPROMISO MUEVE OBJETIVO

P ∧ Q Verdadero/FalsoOponente /

Usted

Elija una de P, Q que

es falsa

P ∨ Q Verdadero/FalsoUsted/

Oponente

Elija una de P, Q que

es falsa

∃xP(x) Verdadero/FalsoUsted/

Oponente

Elija algún b que

satisface la fbf P(x)

∀xP(x) Verdadero/FalsoOponente /

Usted

Elija algún b que

no satisface P(x)

¬P cualquiera –Reemplace ¬P por P y

cambie el compromiso

P → Q cualquiera –

Reemplace P → Q por

¬P ∨ Q y mantenga el

compromiso

P ↔ Q cualquiera –

Reemplace P ↔ Q por

(P → Q) ∧ (Q → P) y

mantenga el

compromiso


Problema 9.1. (Evaluación de oraciones).

Trabaje con las siguientes oraciones, evaluando su verdad en el mundo ysimulando el juego en algunos casos.

1. ∀x¬Cubo(x)

2. ∀xDodec(x)

3. ∀x¬Chico(x)

4. ¬∀x¬Chico(x)

5. ∃yTet(y)

6. ∃x(Median(x) ∧ Tet(x))

Capítulo 9 167

7. ∀x(Cubo(x) ∨ Tet(x))

8. ∀x(Chico(x)→ Tet(x))

9. ¬∀xCubo(x)↔ ∃x¬Cubo(x)

10. ¬∃xDodec(x)↔ ∃y¬Dodec(x)

9.2. Equivalencias lógicas que involucran nega-ción y cuantificadores

En el Capítulo 3 aprendimos las leyes de DeMorgan que vinculan ¬ ylos símbolos ∧ y ∨. Eran útiles para transformar oraciones aparentementecomplicadas en oraciones simples. En particular, eran cruciales en el estudiode las varias formas normales a las que apuntamos después en ese capítulo.

Hay reglas similares a estas, que vinculan ¬ y los símbolos de cuantifi-cación ∀ y ∃. Esto no debería sorprender ya que una manera de expresar∀xP(x) seria usar una conjunción de la forma P(n1) ∧ P(n2) ∧ . . . dondeuno simplemente nombra cada objeto en el dominio de discurso y afirmade él que P. Claramente, una de ellas es verdadera si y sólo si la otra loes. De manera similar, se podría tratar a ∃xP(x) como una larga disyunciónP(n1) ∨ P(n2) ∨ . . . El problema, por supuesto, es que esto puede ser pocopráctico (digamos que estamos hablando de los granos de arena en la playa)o imposible (digamos que el dominio de discurso incluye todos los números

Capítulo 9 168

reales). Aún, intuitivamente, hay notables similitudes. Asi, no es sorpren-dente que tengamos equivalencias lógicas que son enteramente similares alas leyes de DeMorgan para las conectivas. Dicho en español, las leyes deDeMorgan para los cuantificadores permiten “pasar la negación a través delcuantificador” cambiando el cuantíficador. Así, por ejemplo, si sabemos queno todo tiene una propiedad,(¬∀xP(x)), entonces sabemos que algo no tienela propiedad (∃x¬P(x)), y viceversa. De manera similar, si sabemos que noes el caso que algo tenga alguna propiedad, (¬∃xP(x)), entonces sabemos quetodas las cosas deben carecer de ella (∀x¬P(x)), y viceversa.

Recordar(Leyes de DeMorgan para cuantificadores) Para toda fbf P(x):

1. ¬∀xP(x)⇔ ∃x¬P(x)

2. ¬∃xP(x)⇔ ∀x¬P(x)

Usndo estas equivalencias, podemos ver que hay un estrecho parentescoentre ciertos pares de oraciones aristotélicas. En particular, la negación deTodos los P son Q es equivalente a Algunos P no son Q. Para ver cómose sigue esto de las leyes de DeMorgan, destaquemos la cadena siguiente deequivalencias lógicas. La primera es la traducción de No es cierto que todoslos P son Q, mientras que el último es la traducción de Algunos P no son Q.

¬∀x[P(x)→ Q(x)]⇔ ∀x(¬P(x) ∨ Q(x))

⇔ ∃x¬(¬P(x) ∨ Q(x))

⇔ ∃x(¬¬P(x) ∧ ¬Q(x))

⇔ ∃x(P(x) ∧ ¬Q(x))

El primer paso usa la equivalencia de P(x) → Q(x) y ¬P(x) ∨ Q(x). Elsegundo y el tercero usan las leyes de DeMorgan, primero una de las versionesde los cuantificadores, y luego una de las versiones de las conectivas. El últimopaso usa la ley de doble negación aplicada a ¬¬P(x). Al dar principios quegobiernan los cuantificadores, deberíamos mencionar uno que es tan básicoque suele pasarse por alto. Habrá advertido que al traducir del español al

Capítulo 9 169

LPO, cuando se encuentra una frase nominal cuantificada se debe elegir unavariable para usar en su traducción, y no se ha indicado cuál es la “correcta”Ello se debe a que no importa cuál sea la que usa, en tanto ella no haya sidousada ya. Registramos esto por medio de las siguientes equivalencias:

Recordar(Principio de Reemplazo de Variables Ligadas) Para cualesquiera fbfP(x) y variable y que no ocurre en P(x) (es decir, en la fórmula enque aparece x):

1. ∀xP(x)⇔ ∀yP(y)

2. ∃xP(x)⇔ ∃yP(y)

Ya que las oraciones lógicamente equivalentes pueden sustituirse una porotra, de acuerdo con nuestro principio, la oración

(Cubo(b) ∧ ∃x(Dodec(x) ∧MayorQ(x, b)) ∧ ∀x(Tet(x)→ IzqdDe(x, b))

es lógicamente equivalente a

(Cubo(b) ∧ ∃y(Dodec(y) ∧MayorQ(y, b)) ∧ ∀x(Tet(x)→ lzqdDe(x, b))


Problema 9.2. Use leyes de DeMorgan para mostrar que la negación deNingún P es Q es equivalente lógicamente a Algunos P son Q .

Problema 9.3. (Uso de las leyes de DeMorgan)

1. ∀x(Cubo(x)→ Chico(x))

2. ¬∃x(Cubo(x) ∧ Grande(x))

3. ¬∀x(Grand(x)↔ Dodec(x))

4. ∀x(¬Grand(x) ∨ ¬Cubo(x))

5. ∃x(¬Chico(x) ∧ Cubo(x))

6. ∃x(Grand(x) ∧ ¬Dodec(x)) ∨ (Dodec(x) ∧ ¬Grand(x)))

Capítulo 9 170

Construya un mundo cualquiera y evalúe las tres primeras oraciones en esemundo. Podrá predecir el valor de verdad de las demás oraciones a partir deestas tres. Use las leyes de DeMorgan, el principio de reemplazo de variablesligadas y principios que ya aprendimos, que gobiernan conectivas, para mos-trar que cada una de las oraciones restantes es lógicamente equivalente a unade las tres primeras. Escriba sus demostraciones en una hoja.

9.3. Oraciones con más de un cuantificador

En las secciones previas se presentó la teoría básica de los cuantificadores,pero nuestros problemas y ejercicios estuvieron restringidos a enunciadosque contienen solamente un cuantificador. En la práctica, sin embargo, estoes demasiado restringido. Se necesita ser lo suficientemente versado parano caer dentro de círculos viciosos a causa de oraciones que tienen varioscuantificadores.

9.3.1. Usos múltiples de un único símbolo decuantificación

En esta sección estudiamos oraciones que tengan múltiples instancias de∀ o múltiples instancias de ∃, pero no una mezcla de ambos. He aquí un parde oraciones simples que contienen cuantificadores múltiples:

∃y∃z[Cubo(y) ∧ Tet(z) ∧ lzqdDe(y, z)]

∀x∀y[(Cubo(x) ∧ Tet(y))→ IzqdDe(x, y)]

Trate de conjeturar qué dicen estas oraciones. No tendrá problemas. El pri-mero dice que algún cubo está a la izquierda de algún tetraedro. El segundodice que todo cubo está a la izquierda de todo tetraedro. En estos ejemplos,todos los cuantificadores están al principio y afuera (en lo que llamaremos“forma prenexa”), pero no es necesario que estén de este modo. Las mismasafirmaciones podrían expresarse a través de las siguientes oraciones:

∃y[Cubo(y) ∧ ∃z(Tet(z) ∧ IzqdDe(y, z))]

∀x[Cubo(x)→ ∀y(Tet(y)→ IzqdDe(x, y))]

Es fácil ver que éstas hacen las mismas afirmaciones que el primer par,

Capítulo 9 171

aunque en el caso de la afirmación universal la estructura de las oraciones enLPO ha cambiado considerablemente. Existe un “ligero” punto capcioso quese produce con el uso de cuantificadores múltiples. Se exhibe en la siguienteoración

∀x∀y[(Cubo(x) ∧ Cubo(y))→ (IzqdDe(x, y) ∨ DerecDe(x, y))]

Imagine que estamos evaluando esta oración en un mundo con cinco cubosalineados en la línea de adelante. ¿Piensa que estas oraciones serán verdaderosen este mundo? (Puede intentar ver qué ocurre). Un modo natural de leeresta oración es que se afirme que si x e y son cubos, entonces o bien x está ala izquierda de y o bien x está a la derecha de y. Pero ésta es una implicaturaconversacional producto del modo de hablar, que está bastante equivocada.Sugiere que x e y son cubos distintos, pero esto no es propiamente parte dela afirmación del enunciado de primer orden. De hecho, nuestra proposiciónes falsa en el mundo imaginado, como debe serlo en cualquier mundo quecontenga al menos un cubo. Porque si fuera verdadera, entonces también losería la siguiente instancia de ella (usando b para nombrar nuestro cubo):

∀y[(Cubo(b) ∧ Cubo(y))→ (IzqdDe(b, y) ∨ DerecDe(b, y))]

Esto a su vez es una afirmación universal, y de este modo debe ser verdaderadel objeto b. Pero cuando sustituimos y por b llegamos a

(Cubo(b) ∧ Cubo(b))→ (IzqdDe(b, b) ∨ DerecDe(b, b))

que es obviamente falsa, ya que b no está a la izquierda ni a la derecha de símismo. Si quisiéramos realmente expresar que todo cubo está a la izquierdao a la derecha de todo otro cubo, entonces podríamos escribir

∀x∀y[(Cubo(x) ∧ Cubo(y) ∧ x 6= y)→ (IzqdDe(x, y) ∨ DerecDe(x, y))]

Por supuesto que esto es verdadero en el mundo descrito.

Capítulo 9 172


Problema 9.4. Analice este supuesto argumento:1

Las premisas son:

1. ∀x∀y∀z[(Outgrabe(x, y) ∧ Outgrabe(y, z))→ Outgrabe(x, z)].

2. ∀x∀y[Outgrabe(x, y)→ Outgrabe(y, z)].

3. ∃x∃yOutgrabe(x, y).

La conclusión pretendida es ∀x Outgrabe(x, x). La demostración es como si-gue: Por la tercera premisa, sean b y c objetos arbitrarios en el dominio deldiscurso tales que Outgrabe(b, c). Por la segunda premisa, tenemos tambiénOutgrabe(c, b). Aplicando la primera premisa (con x = z = b e y = c) obte-nemos Outgrabe(b, b). Pero b era arbitrario, de tal manera podemos afirmar,∀xOutgrabe(x, x).

9.3.2. Cuantificadores mezclados

Ahora que tiene bastante experiencia con cuantificadores, discutiremos elcaso en el que el cuantificador universal y existencial se usan conjuntamente.Consideremos la siguiente oración:

∀x[Cubo(x)→ ∃y(Tet(y) ∧ IzqdDe(x, y))]

Esta oración tiene la forma general ∀x [P(x)→ Q(x)] que hemos visto variasveces anteriormente. Dice que todo cubo tiene alguna propiedad u otra. ¿Quépropiedad? La propiedad expresada por ∃y(Tet(y) ∧ IzqdDe(x, y)), esto es, lapropiedad de estar a la izquierda de un tetraedro. De este modo nuestraoración original afirma que todo cubo está a la izquierda de un tetraedro.Esto también puede ser expresado de varias maneras diferentes. Ésta es laalternativa más importante:

∀x∃y[Cubo(x)→ (Tet(y) ∧ IzqdDe(x, y))]1La palabra “outgrabe”, que figura en esta demostración, pertenece al poema Jabber-

wocky, que es un poema absurdo escrito por el escritor británico Lewis Carroll, quienlo incluyó en su obra Alicia a Través del Espejo en 1872. Jabberwocky es generalmen-te considerado como uno de los mejores poemas absurdos escritos en idioma inglés.(cfr.http://es.wikipedia.org/wiki/Jabberwocky, donde pueden verse también varias “traduccio-nes” del poema).

Capítulo 9 173

La primera versión es más natural como traducción del español: “Todo cu-bo está a la izquierda de algún tetraedro”, pero la segunda tiene la ventaja deestar en la llamada forma prenexa, en la cual todos los cuantificadores estánal frente de la fórmula. Esto tiene sus ventajas. Cuando tenemos una oracióncon una cadena de cuantificadores mezclados, como en la última oración, elorden de los cuantificadores es muy importante. Esto es algo que no tuvimosque tener en cuenta antes, con oraciones que contenían sólo cuantificadoresuniversales o sólo existenciales. Claramente, la oración ∀x∀y GustaDe(x, y)es lógicamente equivalente la oración donde el orden de los cuantificadoreses invertido: ∀y∀x GustaDe(x, y). Ambos son verdaderos sólo en el caso deque toda cosa en el dominio del discurso guste de toda cosa en el dominiodel discurso. De igual modo, ∃x∃y GustaDe(x, y) es lógicamente equivalentea ∃y∃x GustaDe(x, y). Sin embargo, éste no es el caso cuando los cuantifica-dores son de ambos tipos. ∀x∃y GustaDe(x, y) dice que cualquiera gusta dealguien, mientras que ∃y∀x GustaDe(x, y) dice que hay alguien del que todosgustan. Esta última es una afirmación más fuerte. Así, cuando se trata concuantificadores mezclados, debemos ser sensibles al orden de los cuantifica-dores. Aprenderemos más acerca de cómo alcanzar el orden correcto de loscuantificadores en las secciones que siguen.

RecordarCuando esté tratando con cuantificadores mezclados, el orden es muyimportante. ∀x∃yR(x, y) no implica lógicamente ∃y∀xR(x, y).


Problema 9.5. Traduzca las siguientes oraciones y construya un mundo enel que todas sus proposiciones sean verdaderas.

1. No hay cubos.

2. Algún tetraedro no es grande.

3. Nada está detrás de a.

4. Sólo las cosas grandes están detrás de b.

Capítulo 9 174

9.3.3. Traducción de oraciones

Cuando una oración del español contiene más de una frase nominal cuan-tificada, su traducción se hace totalmente confusa, a menos que sea abordadade un modo sistemático. A veces sirve de ayuda tener un número de pasosintermedios, donde las frases nominales sean tratadas de a una por vez. Porejemplo, supongamos que queremos traducir la oración cada cubo está a la iz-quierda de un tetraedro. En este caso hay dos frases nominales cuantificadas:cada cubo y un tetraedro. Podemos comenzar tomando la primera frase nomi-nal, y tratando temporariamente como una unidad simple la frase complejaestá-a- la-izquierda-de-un-tetraedro. En otras palabras, podemos pensar a laoración como una oración con una cuantificacíón simple, del tipo de “Cadacubo es pequeño”. La traducción se parecería a algo como esto:

∀x(Cubo(x)→ x está-a-la-izquierda-de-un-tetraedro)

Por supuesto, esta no es una oración de nuestro lenguaje, por lo cualdebemos traducir la expresión “x está-a-la-izquierda-de-un-tetraedro”. Peropodemos pensar a esta expresión como una oración con una sola cuantifica-cíón, al menos si pretendemos que x sea un nombre. Tiene la misma formageneral que la oración “b está a la izquierda de un tetraedro”, y sería traduci-da como: ∃y(Tet(y) ∧ IzqdDe(x, y)). Introduciendo esto arriba en sustituciónde la frase, lograríamos la traducción de la oración española original:

∀x(Cubo(x)→ ∃y(Tet(y) ∧ IzqdDe(x, y)))

Este es exactamente la oración con el cual comenzamos nuestra discusión delos cuantificadores mezclados. Este proceso paso-a-paso es adecuado cuan-do hay muchos cuantificadores en una oración. Sería muy dificultoso para unprincipiante traducir oraciones como “Ningún cubo a la derecha de un tetrae-dro está a la izquierda de un dodecaedro más grande”, en un solo paso. Usar elmétodo de paso-a-paso hace esto directo. Sin embargo, eventualmente le seráposible traducir oraciones muy complejas, realizando los pasos intermediosmentalmente.

Capítulo 9 175


Problema 9.6. (Más oraciones con cuantificadores múltiples) Ahora, tra-temos de traducir desde la situación inicial algunos enunciados con cuan-tificadores múltiples. Podría intentar el uso del procedimiento paso-a-paso.Traduzca las siguientes oraciones españolas.

1. Todo tetraedro está delante de todo dodecaedro.

2. Ningún dodecaedro tiene algo detrás.

3. Ningún tetraedro tiene el mismo tamaño que cualquier cubo.

4. Todo dodecaedro tiene el mismo tamaño que algún cubo.

5. Cualquier objeto entre dos tetraedros es un cubo pequeño. [Observe queeste uso de “dos” puede ser parafraseado usando la expresión “entre untetraedro y un tetraedro”.]

6. Todo cubo está entre dos objetos.

7. Todo cubo, que tiene algo detrás, es pequeño.

8. Todo dodecaedro, que no tiene ningún objeto a su derecha, es pequeño.

9. Todo dodecaedro, que no tiene ningún objeto a su derecha, tiene algo asu izquierda.

10. Cualquier dodecaedro ubicado a la izquierda de un cubo, es grande.

Construya un mundo en el que todas las proposiciones sean verdaderas. Ve-rifique que todas sus traducciones sean también verdaderas.

9.3.4. Parafraseando el español

Algunas oraciones españolas no se prestan fácilmente a la traducción di-recta usando el procedimiento paso-a-paso. Sin embargo, a tales oraciones esa veces muy fácil parafrasearlas en español de modo que el procedimiento sehaga aplicable. Considere, por ejemplo, Si un ingresante toma una clase delógica, entonces él o ella debe ser inteligente. El procedimiento paso-a-pasouo funciona en este caso. Si trata de aplicarlo podría alcanzar algo como:

Capítulo 9 176

∃x(lngresante(x) ∧ ∃y(ClaseLogica(y) ∧ Toma(x, y)))→ Inteligente(x)

El problema es que esta “traducción” no es un oración, ya que la últimaocurrencia de x está libre. Sin embargo, podemos parafrasear la oración como“Todo ingresante que toma un clase de lógica debe ser inteligente”. Esto esfácilmente tratado por el procedimiento, siendo el resultado:

∀x[(Ingresante(x) ∧ ∃y(ClaseLogica(y) ∧ Toma(x, y)))→ Inteligente(x)]

Cuando traduzca del español a LPO, el objetivo es obtener una oraciónque tenga el mismo significado que la original. Esto algunas veces requierecambios en la forma superficial de la oración.


Problema 9.7. (Oraciones que necesitan parafrasearse antes de traducirse).Traduzca las siguientes oraciones dando primero una adecuada paráfrasis enespañol.

1. Sólo los objetos grandes no tienen nada delante.

2. Si un cubo tiene algo delante, entonces es chico.

3. Todo cubo que está detrás de un dodecaedro es también más pequeñoque éste. [Advertencia: Este es un ejemplo de lo que es conocido co-mo anáfora “del burro”, siguiendo un famoso ejemplo, que data de lalógica medieval: “Todo granjero que tiene un burro, lo golpea”. Lo quehace algo tramposa a esta oración es la frase nominal existencial enla cláusula relativa, que sirve de antecedente al pronombre “lo” en lafrase verbal. En efecto, esta combinación nos fuerza a traducir la frasenominal existencial con un cuantificador universal. Primero, la oracióndel burro debería parafrasearse como “Para todo granjero y todo burro,si el granjero tiene un burro, entonces lo golpea”. Esta oración necesitaclaramente dos cuantificadores universales en su traducción. Algunasotras oraciones de las que siguen son de este tipo.]

4. Si e está entre dos objetos, entonces ambos son chicos.

Capítulo 9 177

5. Si un tetraedro está entre dos objetos, entonces ambos son chicos.

6. Todo dodecaedro es al menos tan grande como todo cubo. [Ayuda: De-bido a que no tenemos en nuestro lenguaje algo que corresponda atan grande como, necesitará primero parafrasearla usando mayor que omenor que.]

7. Si un cubo está a la derecha de un dodecaedro pero no detrás, entonceses tan grande como el dodecaedro.

8. Ningún cubo con nada a su izquierda está entre dos cubos.

9. Los únicos cubos grandes son b y c.

10. A lo sumo b y c son cubos grandes. [Advierta que hay diferenciassignificativas entre esta oración y la oración previa. Esta oración noimplica que b y c sean cubos grandes, mientras que la anterior, sí.]

9.3.5. Ambigüedad

Hay un par de cosas que hacen dificultosa la tarea de traducir del española la lógica de primer orden, y viceversa. Una de ellas es la escasez de concep-tos primitivos de LPO. Mientras que esta limitación hace al lenguaje fácil deaprender, también significa que no hay un modo muy natural de decir lo quese quiera decir. Tiene que tratar de encontrar circunloquios disponibles conlos recursos existentes. Mientras esto es posible en el discurso matemático,frecuentemente es imposible en el lenguaje ordinario. (Retornaremos luegoa este problema). La otra cosa que hace a esto dificultoso es que el españoles rico en ambigüedades, mientras que las expresiones de la lógica de pri-mer orden no son ambiguas (al menos si los predicados que se usan no sonambiguos). De este modo, confrontados con una oración en español, a ve-ces tenemos que elegir una interpretación entre muchas posibles para decidirsobre una traducción apropiada. Qué sea lo apropiado depende usualmentedel contexto. Las ambigüedades se hacen especialmente irritantes con frasesnominales cuantificadas. Considere, por ejemplo, este chiste del célebre pro-grama de TV Saturday Night Live (precedente indudable de los venáculos“shows” de MT):

“Un hombre es asaltado en la ciudad de Nueva York cadaminuto. Vamos a entrevistarlo esta noche.”

Capítulo 9 178

Lo que hace posible este chiste es la ambigüedad en la primera oración. Lamanera más natural de leer esto sería traduciéndola por

∀x(Minuto(x)→ ∃y(Hombre(y) ∧ AsaltadoDurante(y, x)))

Pero la segunda oración nos fuerza a ir hacia atrás y reinterpretar laprimera de una manera extraña, que se traduciría por:

∃y(Hombre(y) ∧ ∀x(Minuto(x)→ AsaltadoDurante(y, x)))

Observe que la razón de que la segunda traducción sea extraña no estádeterminada por la forma de la oración original. Podemos encontrar ejemplosde la misma forma donde la segunda lectura sea más natural. Por ejemplo,supongamos que ha estado afuera todo el día y cuando retorna a su habi-tación, su compañero de habitación dice, “Cada diez minutos alguien de laoficina ha llamado tratando de comunicarse con vos.” Esta es la lectura dondeal cuantificador existencial “alguien” se le da un alcance más amplio, que esmás cercano al usual. Los problemas de traducción son mucho más dificul-tosos cuando observamos discursos extendidos, donde concurre más de unaoración.


Problema 9.8. (Ambigüedad e inferencia) Que un argumento sea válido ono, muchas veces depende de cómo se toma una afirmación ambigua. Aquítenemos algunas premisas y una supuesta conclusión:

1. Todos admiran a alguien que tiene cabello rojo.

2. Cualquiera que se admire a sí mismo es un consentido.

3. Conclusión: Alguien con cabello rojo es consentido.

Tradúzcalo dos veces en LPO, en correspondencia con la ambigüedad de laprimera premisa. Bajo una traducción la conclusión se sigue. Bajo la otra, no.Para este caso, describa una situación en la que las premisas sean verdaderas(con esta traducción) y la conclusión, falsa.

Capítulo 9 179

Problema 9.9. (Ambigüedad e inferencia) Aquí tenemos algunas premisasmás y una supuesta conclusión:

1. Todo lo que resplandece no es oro.

2. Este anillo resplandece.

3. Conclusión: Este anillo no es oro.

Traduzca estas oraciones a LPO dos veces, en correspondencia a la ambigüe-dad de la primera premisa. Bajo una traducción la conclusión se sigue. Bajola otra, no. Para este caso, describa una situación en que las premisas seanverdaderas (con la traducción) y la conclusión, falsa.

9.3.6. Traducciones usando símbolos de función

Intuitivamente, las funciones son una clase de relación. La madre de unoes la madre de uno debido a cierta relación entre una y otra personas. Simi-larmente, 2 + 3 = 5 debido a cierta relación entre dos, tres y cinco. Cons-truyendo sobre esta intuición, no es difícil ver que todo lo que puede serexpresado en LPO con símbolos de función, puede ser también expresadoen una versión de LPO donde los símbolos de función han sido reemplaza-dos por símbolos de relación. La idea básica puede ser ilustrada fácilmente.Usemos madre como un símbolo de función unaria, pero MadreDe como unsímbolo de relación binario. Así por ejemplo, tanto madre(max) = Nancy yMadreDe(nancy, max) establecen que Nancy es la madre de Max. La afirma-ción básica es que cualquier cosa que podamos decir con el símbolo de funciónpuede decirse de alguna otra manera usando el símbolo de relación. Comoun ejemplo, tenemos aquí una oración simple que usa el símbolo de función:

∀x MasEdadQue(madre(x), x)

Esto expresa la afirmación de que la madre de una persona es siempre mayorque esa persona. Para expresar lo mismo con el símbolo de relación, podría-mos escribir

∀x∃y[MadreDe(y, x) ∧MasEdadQue(y, x)]

En realidad, uno podría preguntarse si la segunda oración logra expresar laafirmación realizada por el primero, ya que todo lo que dice es que todo el

Capítulo 9 180

mundo tiene al menos una madre que tiene más edad que él (o ella). Unopodría preferir algo como:

∀x∀y[MadreDe(y, x)→ MasEdadQue(y, x)]

Esto dice que toda madre de cualquier persona tiene más edad que esa perso-na. Pero esto también parece ser en algún sentido deficiente. Una traduccióntodavía mejor sería unir en conjunción una de las oracioness de arriba conlas siguientes dos oraciones, las cuales conjuntamente afirman que la relaciónde ser madre de alguien es funcional. Todo el mundo tiene al menos una, ytodo el mundo tiene a lo sumo una.

∀x∃y MadreDe(y, x)

y

∀x∀y∀z[(MadreDe(y, x) ∧MadreDe(z, x))→ y = z]

Estas dos oraciones pueden ser expresadas conjuntamente por otra más bienopaca:

∀x∃y[MadreDe(y, x) ∧ ∀z (MadreDe(z, x)→ y = z)]

Si lo quisiéramos, podríamos entonces incorporar nuestro primera oracióny expresar la primera afirmación por medio de esta de aspecto más horrendo:

∀x∃y[MadreDe(y, x) ∧MasEdadQue(y, x) ∧ ∀z(MadreDe(z, x)→ y = z)]

Ahora quedará claro por qué los símbolos de función son tan útiles. Ten-gamos en cuenta todas las conectivas y cuantificadores adicionales que senecesitaron para traducir esta oración tan simple

∀x MasEdadQue(madre(x), x)

RecordarTodo lo que puede expresarse usando un símbolo de función n–ariopuede ser también expresado usando un símbolo de relación n+1–ario, más el predicado de identidad, pero a un costo considerable entérminos de la complejidad de la oración usada.

Capítulo 9 181


Problema 9.10. Traduzca las siguientes oraciones a LPO dos veces, unausando el símbolo de función madre, otro usando el símbolo de relaciónMadreDe.

1. La madre de Clara tiene más edad que la madre de Max.

2. La madre de la madre de cualquiera tiene más edad que Melany.

3. La madre de la madre de alguien es más joven que Mary.

Capítulo 10

Demostraciones concuantificadores

En los capítulos precedentes presentamos esquemas válidos de argumentosque surgen de las distintas conectivas veritativo-funcionales de LPO. Ahorabien, la investigación de los esquemas de inferencia válidos se vuelve muchomás interesante e importante (si es que no un tanto más complicada) ahoraque hemos agregado a nuestro lenguaje los cuantificadores ∀ y ∃. En la pri-mera sección presentaremos los esquemas de inferencia informales y luego,en la sección 10.2, introduciremos los análogos formales de estos métodos.

10.1. Métodos de demostración que involucran∀ y ∃

Como lo hicimos antes, comenzamos viendo los esquemas inferencialesinformales. Como en el caso de las conectivas, hay pasos de demostraciónsimples y métodos de demostración que son algo más sustanciosos. Comen-zaremos discutiendo los pasos simples de demostración que son de uso másfrecuente con ∀ y ∃.

Pasos válidos con cuantificadores

Hay dos pasos válidos muy simples con cuantificadores, uno para cadacuantificador. Sin embargo, estos trabajan en direcciones opuestas.

182

Capítulo 10 183

Eliminación universal

Supongamos que se nos ha dado como premisa, o se ha establecido dealguna otra manera, que toda cosa en el dominio de discurso es o bien uncubo o un tetraedro. Y supongamos que también sabemos que c está en eldominio de discurso. Se sigue, por supuesto, que c es un cubo o un tetraedro,ya que todo lo es.

Más generalmente, si hemos establecido ∀xS(x), y sabemos que c nombraun objeto en el dominio de discurso, entonces podemos legítimamente inferirS(c). Después de todo, no hay modo en que la afirmación universal sea verda-dera sin que lo sea también la afirmación específica. Este paso de inferenciaes llamado instanciación universal o eliminación del universal. Nótese quepermite moverse de un resultado conocido que comienza con el cuantificador∀x(. . . x . . .) a uno (. . . c . . .) donde el cuantificador ha sido eliminado.

Introducción existencial

Hay un paso simple similar para ∃, pero lo que permite es la introduccióndel cuantificador. Supongamos, por ejemplo, que hemos establecido que c esun tetraedro pequeño. Se sigue, por supuesto, que hay un tetraedro peque-ño. No hay modo de que la afirmación específica acerca de c sea verdaderasin que lo sea también la afirmación existencial. Más generalmente, si he-mos establecido S(c) entonces podemos inferir ∃xS(x). Este paso es llamadogeneralización existencial o introducción del existencial.

En las demostraciones matemáticas, la manera preferida de demostrar laverdad de una afirmación existencial es encontrar (o construir) un ejemploespecífico que satisfaga el requerimiento, y luego aplicar la generalizaciónexistencial. Por ejemplo, si quisiéramos demostrar que hay números x, y, y zpara los cuales x2+ y2= z2, podríamos simplemente ver que 32+ 42= 52 yaplicar generalización existencial (tres veces).

La validez de ambos pasos de inferencia no es incondicional en español.Son válidos siempre y cuando cualquier nombre que se use denote algúnobjeto en el dominio de discurso. Esto se da en LPO por convención, comoya hemos señalado, pero el español es algo más sutil en esto. Considérese,por ejemplo, el nombre Papá Noel. La proposición

Papá Noel no existe

podría ser verdadera en circunstancias en que uno se resistiría a concluir que

Capítulo 10 184

Hay algo que no existe.

El problema, por supuesto, es que el nombre Papá Noel no denota nada.De modo que hay que tener cuidado al aplicar esta regla en argumentosordinarios en los que pueden usarse nombres que no se refieren a objetos querealmente existen.

Demos un ejemplo que usa ambos pasos y otras cosas ya aprendidas. Mos-traremos que el siguiente argumento es válido:

∀x [Cubo(x)→ Grande(x)]

∀x [(Grande(x)→ IzqdDe(x, b))]

Cubo(d)

∃x [Grande(x) ∧ IzqdDe(x, b)]

Este resultado es bastante obvio, y de tal modo es ilustrativo de la obviedadde estos pasos.

Demostración: Utilizando mstanciacíón universal obtenemos

Cubo(d)→ Grand(d)

y

Grand(d)→ IzqdDe(d, b)

Aplicando modus ponens a Cubo(d) y a la primera proposicióncondicional, obtenemos Grand(d). Otra aplicación de modus po-nens nos da IzqdDe(d, b). Ahora (usando la introducción de laconjunción), tenemos

Grande(d) ∧ IzqrDe(d, b)

Finalmente, aplicando introducción existencial obtenemos nues-tra conclusión deseada,

∃x [Grande(x) ∧ IzqrDe(x, b)]

Capítulo 10 185

Antes de terminar esta sección, destacaremos que hay maneras de demostrarproposiciones existenciales distintas de las que usan generalización existen-cial. En particular, para demostrar ∃xP(x) podríamos usar la demostraciónpor contradicción, suponiendo ¬∃xP(x) y derivando una contradicción. Estamanera de proceder es menos satisfactoria, ya que no especifica cuál es el ob-jeto que satisface P(x). Sin embargo, muestra que hay algún objeto así, quees todo lo que se afirmaba. Éste fue, de hecho, el método que usamos cuandodemostramos que hay números irracionales x e y tales que xy es racional.

Recordar

1. Instanciación universal: A partir de ∀xS(x) se infiere S(c), entanto c denote un objeto del dominio de discurso.

2. Generalización existencial: A partir de S(c) se infiere ∃xS(x), entanto c denote un objeto del dominio de discurso.

El método de instanciación existencial

La instanciación existencial es un uno de los métodos de demostraciónmás interesantes y sutiles. Permite demostrar resultados cuando se ha dadouna proposición existencial. Suponga que su dominio de discurso consiste detodos los niños, y se le dice que algún niño varón está en casa. Si quiere usareste hecho en su razonamiento, por supuesto que no está autorizado a inferirque Max está en casa. Ni se le permite inferir que Danny está en casa. Dehecho, no hay ningún niño del cual se pueda concluir con seguridad que estáen casa. ¿Cómo procederíamos? Lo que podríamos hacer es dar un nombretemporario a uno de los niños que esté en casa, y referirnos a él con esenombre, en tanto seamos cuidadosos de no usar un nombre que ya se hayautilizado en las premisas o en la coniusión deseada.

Este tipo de razonamiento se usa en la vida cotidiana cuando sabemosque alguien (o algo) satisface cierta condición, pero no sabemos quién (o qué)es el que la satisface. Por ejemplo, cuando Scotland Yard se convenció de quehabía un asesino serial, lo apodó “Jack el Destripador”, y utilizó este nombrepara razonar acerca de él. Nadie pensó que esto significaba que ellos sabíanquién era el asesino; simplemente introdujeron el nombre para referirse aquienquiera que estuviese efectuando los asesinatos. Nótese que si el sastre dela ciudad ya se hubiese llamado Jack el Destripador, entonces el uso de este

Capítulo 10 186

nombre por los detectives hubiera constituido (probablemente) una gruesainjusticia.

Esta es una estrategia básica utilizada cuando damos demostraciones enLPO. Si hemos demostrado correctamente que ∃xS(x), entonces podemos darun nombre, digamos c, a uno de los objetos que satisfacen S(x), en tanto elnombre no esté ya en uso. Podemos entonces afirmar S(c) y usarlo en nuestrademostración. Esta es la regla conocida como instanciación existencial oeliminación del existencial.

En general, cuando se usa la instanciación exístencial en una demostra-ción matemática, esto se destacará por la introducción explícita de un nuevonombre. Por ejemplo, el autor de la demostración podría decir: “Así, hemosmostrado que hay un número primo entre n y m. Llamémoslo p.” Otra fraseque cumple la misma función es: “Hagamos que p sea tal número primo.”

Demos un ejemplo de cómo podría usarse esta regla modificando nuestroejemplo precedente. La conclusión deseada es la misma pero una de las pre-misas ha sido modificada.


∀x [(Grande(x)→ IzqdDe(x, b))]

∃x(Cubo(x))

∃x [Grande(x) ∧ IzqdDe(x, b)]

Las dos primeras son los mismas de antes, pero la tercera es más débil ya queno nos dice cuál de los bloques es un cubo, sólo que hay uno. Nos gustaríaeliminar el ∃ en nuestra tercera premisa, ya que entonces volveríamos al casoque ya hemos examinado. ¿Cómo procederíamos? La demostración tomaríala forma siguiente:

Demostración: Lo que primero notamos es que la tercera pre-misa nos asegura que hay por lo menos un cubo. Sea “e” uno detales cubos. Podemos ahora proceder exactamente como en nues-tro razonamiento anterior. Aplicando la primera premisa, vemosque e debe ser grande. (¿Qué pasos estamos usando aquí?) Apli-cando la segunda premisa, vemos también que e debe estar a laizquierda de c. Así, hemos mostrado que e es a la vez grande yestá a la izquierda de c. Nuestra conclusión deseada se sigue (¿porcuál paso de inferencia?) a partir de esta afirmación.

Capítulo 10 187

Al aplicar la instanciación existencial, es muy importante asegurarse de quese usa un nombre nuevo, no uno que ya está en uso. La observación delejemplo anterior muestra por qué. Supongamos que impensadamente hemosusado el nombre c para el cubo llamado e. Entonces habríamos podido de-mostrar ∃x IzqdDe(x, x), lo que es imposible. Pero nuestras premisas onginaleseran obviamente satisfactibles: son verdaderas en muchos mundos diferentes.De modo que si no respetamos esta condición podemos ser llevados desdepremisas verdaderas a conclusiones falsas (y aún imposibles).

El método de la demostración condicional general

Uno de los métodos de demostración más importantes involucra el razonaracerca de un objeto arbitrario de una clase particular, para demostrar unaafirmación universal acerca de todos los objetos tales. Se lo conoce como elmétodo de la demostración condicional general. Es una versión más poderosadel método de demostración condicional, similar en espíritu al método de lainstanciación existencial recién discutido.

Comencemos con un ejemplo. Esta vez, supongamos que el domimo dediscurso consiste de los estudiantes de un colegio determinado. Supongamosque se nos da un cúmulo de información acerca de estos estudiantes en laforma de premisas. Finalmente, supongamos que podemos demostrar, a partirde esas premisas, que Sandy, un estudiante avanzado de matemáticas, esinteligente. ¿Bajo qué condiciones estaríamos autorizados a inferir que cadaestudiante avanzado de matemáticas del colegio es inteligente?

A primera vista, parece que nunca podríamos obtener esa conclusión, sal-vo que hubiese un solo estudiante avanzado de matemáticas en el colegio. Sinduda, no se sigue del hecho de que un estudiante avanzado de matemáticassea inteligente que todos los estudiantes avanzados de matemáticas lo sean.Pero, ¿qué pasa si nuestra demostración de que Sandy es inteligente no utilizanada que sea específico solamente de Sandy? ¿Qué pasa si la demostraciónfuese aplicable igualmente bien a cualquier estudiante avanzado de matemá-ticas? Parece que entonces podríamos concluir que todo estudiante avanzadode matemáticas es inteligente.

¿Cómo usaríamos esto en un ejemplo concreto? Supongamos que nuestraspremisas son:

1. Cualquiera que ha aprobado Lógica I con un 10 es inteligente

Capítulo 10 188

2. Todo estudiante avanzado de matemáticas ha aprobado Lógica I conun 10.

Nuestra conclusión deseada es que todo estudiante avanzado de matemáticases inteligente. Nuestro razonamiento procede como sigue.

Demostración: Sea que “Sandy” se refiere a cualquiera de losestudiantes avanzados de matemáticas. Por la segunda premisa,Sandy aprobó Lógica I con un 10. Por la primera premisa, en-tonces, Sandy es inteligente. Pero ya que Sandy es un estudianteavanzado de matemáticas elegido arbitrariamente, se sigue quetodo estudiante avanzado de matemáticas es inteligente.

Este método de razonamiento se usa permanentemente al trabajar en mate-máticas. La forma general es la siguiente. Supongamos que queremos demos-trar ∀x [P(x)→ Q(x)]a partir de algunas premisas. La manera más directa deproceder es elegir un nombre que no esté en uso, digamos c, suponer P(c), ydemostrar Q(c). Si usted puede hacer esto, entonces está autorizado a inferirel resultado deseado.

Veamos otro ejemplo. Supongamos que quisiéramos demostrar que todonúmero primo tiene raíz cuadrada irracional. Para aplicar la demostracióncondicional general, comenzamos por suponer que p es un número primoarbitrario. Nuestro objetivo es mostrar que

√p es irracional. Si podemos

hacer esto, habremos establecido la afirmación general. Ya hemos demostradoque esto se da si p = 2. Pero nuestra demostración se apoyaba en hechosespecíficos acerca de 2, y por consiguiente la afirmación general no se siguede nuestra demostración. La demostración, sin embargo, puede generalizarsepara mostrar lo que queremos. Aquí viene la generalización.

Demostración: Supongamos que p es cualquier número primo.Ya que p es primo, se sigue que si p divide a un cuadrado, diga-mos k2, entonces divide a k. Por consiguiente, si p divide a k2,p2 también divide a k2. Ahora supongamos, para demostrar porcontradicción, que

√p es racional. Escribámoslo en términos más

básicos como√

p = n/m. En particular, es seguro que p no esdivisor exacto, sin resto, a la vez de n y de m. Ahora, elevando alcuadrado ambos miembros, vemos que

p =n2

m2

Capítulo 10 189

y por consiguiente

pm2 = n2

Pero entonces se sigue que p divide a n2, y entonces, como hemosvisto, p divide a n y p2 divide a n2. Pero de esto último se sigueque p2 divide a pm2 de modo tal que p divide a m2 Pero entoncesp divide a m. Asi, hemos mostrado que p divide a la vez a n y am, contradiciendo nuestra elección de n y m. Esta contradicciónmuestra que

√p es en verdad irracional.

Generalización universal

En los sistemas de deducción formales con demostración condicional gene-ral, el método de demostración condicional general, se separa en dos partes,una demostración condicional, y un método de demostrar afirmaciones com-pletamente generales, afirmaciones de la forma ∀xS(x). El último métodose llama generalización universal o introducción universal. Nos dice que sipodemos introducir un nuevo nombre c para referirnos a un miembro comple-tamente arbitrario del domimo de discurso y llegar a demostrar el enunciadoS(c), entonces podemos concluir ∀xS(x).

Veamos ahora un ejemplo muy simple. Supongamos que damos una prue-ba informal de que el siguiente argumento es válido.

∀x(Cubo(x)→ Chico(x))

∀x Cubo(x)

∀x Chico(x)

Demostración: Comenzamos tomando un nuevo nombre d, ysuponemos que representa a cualquier miembro del dominio dediscurso. Aplicando dos veces la instanciación universal, una veza cada una de las premisas, nos da

1.Cubo(d)→ Chico(d)

2.Cubo(d)

Por modus ponens, concluimos Chico(d). Pero d denota un objetoarbitrario del dominio, de modo que nuestra conclusión ∀x Chico(d)se sigue por generalización universal.

Capítulo 10 190

Cualquier demostración que use demostración condicional general podría con-vertirse en un demostración que use generalización universal junto con elmétodo de la demostración condicional de la manera siguiente. Supongamosque hemos llegado a demostrar ∀x [P(x)→ Q(x)] utilizando la demostracióncondicional general. En su lugar, para demostrarlo con la generalización uni-versal haríamos como sigue. Primero, introduciríamos un nuevo nombre c ylo tomaríamos como representante de un miembro cualquiera del dominiode discurso. Sabemos que podemos entonces demostrar P(c) → Q(c) uti-lizando la demostración condicional común, ya que eso hicimos en nuestrademostración original. Pero entonces, ya que c representa a un miembro ar-bitrario del dominio, podemos usar la generalización universal para obtener∀x [P(x)→ Q(x)].

Esta es la manera en que proceden los sistemas formales de deducción sintener una regla explícita de demostración condicional general. Pero en reali-dad, bien podemos pensar a la generalización universal como un caso parti-cular de la demostración condicional general. Después de todo, si quisiéramosdemostrar ∀xS(x) podríamos aplicar la demostración condicional general alenunciado lógicamente equivalente ∀x [x = x→ Q(x)]. O, si tuviésemos el pre-dicado Cosa(x) que puede referirse a cualquier objeto del dominio, podríamosusar la demostración condicional general para obtener ∀x [Cosa(x)→ S(x)].

Hemos optado por enfatizar la demostración condicional general porquees en verdad el método usado para dar demostraciones informales rigurosas.La división de este método en demostración condicional y en generalizaciónuniversal constituye una artimaña ingeniosa, pero no se corresponde muybien con el razonamiento real. Esto se debe en parte al hecho de que lasfrases nominales universales del español siempre se limitan a algún sustantivocomún, aunque sólo sea el sustantivo cosa. Las contrapartidas naturales detales enunciados en LPO tienen la forma ∀x [P(x)→ Q(x)], por cuya razónlas demostramos típicamente por demostración condicional general.

Capítulo 10 191

RecordarSean S(x), P(x) y Q(x) fbfs.

1. Instanciación existencial: Si ha demostrado ∃xS(x) entoncespuede elegir un nuevo símbolo de constante c que representea cualquier objeto que satisfaga S(s) y por lo tanto suponerS(c).

2. Demostración condicional general: Si quiere demostrar∀x [P(x)→ Q(x)], entonces puede elegir un nuevo símbolo deconstante c, suponer P(c) y demostrar Q(c), asegurándose queQ no contenga ningún nombre introducido por instanciaciónexistencial después de haber supuesto P(c)

3. Generalización universal: Si quiere demostrar ∀xS(x), entoncespuede elegir un nuevo símbolo de constante c y demostrar S(c),asegurándose que S(c) no contenga ningún nombre introducidopor instanciación existencial después de haber introducido a c.

Ejercicios y problemas.

Problema 10.1. Realice las demostraciones en los problemas 9.8 y 9.9 paralas traducciones en que la conclusión sí se sigue de las premisas.

10.2. Demostraciones Formales yCuantificadores

Tras haber aprendido los métodos de demostración básicos para cuanti-ficadores, pasamos ahora a la tarea de dar reglas formales que correspondancon dichos métodos. Nuevamente esto lo podemos lograr teniendo dos reglaspara cada cuantificador, una de introducción y otra de eliminación.

Antes de empezar con las reglas, quizás sea importante enfatizar el hechode que las demostraciones en el sistema F sólo contienen proposiciones, estoes nunca fbfs con variables libres. Esto se debe a que queremos que cadalínea de una prueba sostenga una afirmación precisa. Como ya hemos dicho,las fbfs con variables libres no hacen estas afirmaciones. Algunos sistemasdeductivos que interpretan a las variables libres de manera universal aceptanpruebas que contengan fbfs con variables libres, pero F no funciona de esa

Capítulo 10 192

manera.

Reglas para el cuantificador universal

El paso válido de inferencia de la instanciacíón o eliminación universalesse formaliza fácilmente. Aquí está la versión esquemática de la regla:

Eliminación del Universal (∀Elim):

∀xS(x)...

� S(c)

Aquí x indica cualquier variable, c representa cualquier constante indi-vidual (haya sido usada o no en otro lugar de la demostración), y S(c) re-presenta el resultado de reemplazar las ocurrencias libres de x en S(x) porc.

A continuación, formalicemos el método más interesante de generalizacióno de introducción universales. Esto requiere que decidamos cómo representarel hecho de que se ha introducido un símbolo de constante, por caso c, pararepresentar un objeto arbitrario que satisface cierta condición, digamos P(c).Indicamos esto por medio de una subdemostración con P(c) como supuesto,insistiendo en que la constante en cuestión ocurre solamente dentro de esasubdemostración. Esto nos garantizará, por ejemplo, que la constante noaparezca en las premisas de la demostración total.

Para recordarnos esta restricción crucial, introduciremos un nuevo arti-ficio gráfico, recuadrando el símbolo de constante en cuestión y poniéndoloantes del supuesto de la subdemostración. Consideraremos a la constante re-cuadrada como el análogo formal de la frase española “Sea que c denote unobjeto arbitrario que satisface P(c).”

Prueba Condicional General (∀Intro):

Capítulo 10 193

c P(c)...

Q(c)

� ∀x(P(x)→ Q(x))

Donde c no ocurre fuera de la sub-demostración en la que fue intro-ducido.

Cuando demos la justificación para la introducción del universal, cita-remos la subdemostración, como hacemos en el caso de la introducción delcondicional. El requisito de que c no ocurra fuera de la subdemostración enla cual se lo introduce no impide que ocurra en subdemostracíones de esasubdemostración. Una proposición en una subdemostración de una subde-mostración aun es considerada como una proposición de la subdemostraciónmás grande.

Como caso particular de ∀Intro permitimos una subdemostración en laque no haya supuesto proposicional alguno, sólo la constante recuadrada.Esto corresponde al método de generalización universal que presentamos an-teriormente, en el que se asume que la constante en cuestión representa a unobjeto arbitrario en el dominio de discurso.

Introducción del Universal (∀Intro):

c...

P(c)

� ∀xP(x)


Como ya lo hemos indicado, ambas formas de ∀Intro no son necesarias.Cualquiera de las dos podría ser eliminada eliminada en favor de la otra.La razón de mantenerlas es que la primera es más natural mientras que lasegunda es la que se suele usar en los textos de lógica (por lo que es algo conlo que familiarisarse si quiere seguir estudiando más lógica).

Ilustremos ahora cómo usar estas reglas dando una demostración formalque refleja la demostración informal dada en la página 189. Demostramosque ∀xS(x) se sigue de las premisas ∀x [R(x)→ S(x)] y ∀xR(x)

Capítulo 10 194

1 ∀x [R(x)→ S(x)]

2 ∀xR(x)

3 d

4 R(d)→ S(d) ∀ Elim: 1

5 R(d) ∀ Elim: 2

6 S(d) → Elim: 3,4

7 ∀xS(x) ∀ Intro: 3-6

Adviértase que el símbolo de constante d no aparece fuera de la subdemos-tración. Se introduce por primera vez al comienzo de esa subdemostración yno ocurre en ninguna otra parte fuera de ella. Eso es lo que nos permite laintroducción del cuantificador universal en el último paso.

Recordar

La regla formal de ∀Intro corresponde al método informal de prue-ba condicional general, incluyendo el caso especial de generalizaciónuniversal.

Ejercicios y problemas.

Problema 10.2. Para cada uno de los siguientes argumentos, decida si esválido o no. Si lo es, dé una demostración formal. Si no lo es, construya unmundo como contraejemplo.

1.

∀x(Cubo(x)↔ Chico(x))

∀xCubo(x)

∀xChico(x)

2.

∀xCubo(x)

∀xCubo(x)

∀x(Cubo(x) ∧ Chico(x))

3.¬∀x(Cubo(x)

¬∀x(Cubo(x) ∧ Chico(x))

Capítulo 10 195

Reglas para el cuantificador existencial

Recordemos que en nuestra discusión de las demostraciones informales,la introducción del existencial era un paso de demostración simple, mientrasque la eliminación de ∃ era un sutil método de demostración. En la presen-tación del sistema formal, comencemos entonces con la regla de introducción.

Introducción del Existencial (∃Intro):

S(c)...

� ∃S(x)

Aquí también x representa cualquier variable, c cualquier constante indi-vidual, y S(c) es el resultado de reemplazar las ocurrencias libres de x en S(x)por c. Nótese que también puede haber otras ocurrencias de c en S(x).

Para la regla de eliminación del existencial, empleamos la misma tácti-ca de “constante recuadrada” que usamos para la introducción del universal.Si hemos demostrado ∃xS(x), entonces introducimos un nuevo símbolo deconstante, digamos c, junto con el supuesto de que el objeto denotado porc satisface la fórmula S(x). Si, a partir de este supuesto, podemos derivaralguna proposición Q que no contenga a la constante c, entonces podemosconcluir que Q se sigue de las premisas originales.

Eliminación del Existencial (∃Elim):

∃S(x)...

c S(c)...

Q

� Q


Nuevamente, podemos pensar la notación al comienzo de la subdemostra-ción como la contraparte formal de la oración española “Sea c un individuo

Capítulo 10 196

arbitrario tal que S(c).”La regla de eliminación del existencial es bastante análoga a la regla

de eliminación de la disyunción, tanto formal como intuitivamente. Con laeliminación de la disyunción, tenemos una disyunción y la dividimos en casos,uno para cada disyunto, y establecemos el mismo resultado en cada caso. Conla eliminación del existencial, podemos pensar que tenemos un caso por cadaobjeto en el dominio de discurso. Se nos pide mostrar que, cualquiera que seael objeto que satisfaga la condición S(x), se pueda obtener el mismo resultadoQ. Si podemos hacer esto, podemos concluir Q.

Para ilustrar las dos reglas existencíales, daremos una contraparte formala la demostración dada en página 186.

1 ∀x [Cubo(x)→ Grand(x)]

2 ∀x [Grand(x)→ IzqdDe(x, c)]

3 ∃xCubo(x)

4 e Cubo(e)

5 Cubo(e)→ Grand(e) ∀ Elim: 1

6 Grande(e) → Elim: 5,4

7 Grand(e)→ IzqdDe(e, c) ∀ Elim: 2

8 IzqdDe(e, c) → Elim: 7,6

9 Grand(e) ∧ IzqdDe(e, c) ∧ Intro: 6,8

10 ∃x(Grand(x) ∧ IzqdDe(x, c)) ∃ Intro: 9

11 ∃x(Grand(x) ∧ IzqdDe(x, c)) ∃ Elim: 3, 4-10

Recordar

La regla formal de ∃Elim corresponde al método informal de instan-ciación existencial.

Capítulo 10 197


Problema 10.3. Para cada uno de los siguientes argumentos, decida si esválido o no. Si lo es, dé una demostración formal Si no lo es, construya unmundo como contraejemplo.

1.

∀x(Cubo(x) ∨ Tet(x))

∃x¬Cubo(x)

∃x¬Tet(x)

2.

∀x(Cubo(x) ∨ Tet(x))

∃x¬Cubo(x)

∃xTet(x)

3.


∃x¬Cubo(x)

∃x¬Chico(x)

4.


∃x¬Cubo(x)

∃xChico(x)

Un ejemplo trabajado

Vamos a trabajar en una demostración moderadamente difícil, paso a pa-so. Considere el siguiente argumento:

1 ¬∀xP(x)

2 ∃x¬P(x)

Ésta es una de cuatro inferencias parecidas asociadas con las reglas de De-Morgan para los cuantificadores. Antes de embarcarnos en la demostración,mencionamos que esta inferencia es uno de los hitos de la lógica de primerorden. Notará que nos permite afirmar la existencia de algo que tiene unapropiedad a partir de un hecho negativo: que no todo tiene la propiedadopuesta.

La validez de esta clase de inferencia fue acaloradamente discutida en loscírculos matemáticos de finales de siglo XIX y principios del XX. Si bienahora nos parece obvio, esto se debe a que entendemos las afirmaciones deexistencia de una manera un tanto difrente a como algunos –los llamados“intuicionistas”– las entendían. Mientras que en LPO entendemos ∃xQ(x) sos-tiene que algún Q existe, los intuicionistas consideraban que lo que se sosteníaera un poco más fuerte: que quien lo afirmaba había realmente encontrado

Capítulo 10 198

un Q y había demostrado que era un Q. Ante esta posición más fuerte, elprincipio de DeMorgan bajo discusión evidentemente no sería válido.

Como habíamos hecho anteriormente, comenzamos con una prueba infor-mal que luego formalizaremos.

Demostración: Dado que lo que queremos probar es una propo-sición existencial, nuestra primera idea sería usar la introduccióndel existencial, por ejemplo probando ¬P(c) para algún c. Pero sipensamos por un momento lo que quiere decir nuestra premisa,veremos que es imposible probar de cualquier cosa particular quesatisface ¬P(x). A partir del hecho de que no todo satisface P(x),no vamos a poder probar que para algún c particular que ¬P(c).Por lo que este camino es un calle sin salida. (Ésta es también larazón por la que un intuicionista no aceptaría el argumento cómoválido, dada su manera de entender ∃.)

Esto nos deja con sólo una alternativa para obtener nuestra con-clusión deseada: la prueba por contradicción. Así, negaremos nues-tra conclusión e intentaremos obtener alguna contradicción. Por lotanto, asumimos ¬∃¬P(x). ¿Cómo podemos esperar obtener unacontradicción? Puesto que nuestra única premisa es ¬∀xP(x), la lí-nea de ataque más prometedora parece ser intentar encontrar unaprueba de ∀xP(x) usando la generalización universal. Sea, pues, cun individuo arbitrario en nuestro dominio del discurso. Nuestroobjetivo es probar P(c). ¿Cómo podemos hacer esto? Otra prue-ba por contradicción, porque si P(c) no fuera el caso, tendriamosque ¬P(c), y por lo tanto ∃¬P(x). Pero esto contradice nuestrosupuesto. Por lo tanto, es el caso de que P(c). Ahora bien, da-do que c era un individuo arbitrario, podemos obtener ∀xP(x),lo que contradice nuestra premisa original. Así llegamos a nues-tra conclusión deseada usando el método de la demostración porcontradicción.

Veremos ahora cómo transformar este razonamiento informal en una demos-tración formal.

El primer paso en nuestra demostración informal fue descartar la víadirecta e ir por una demostracion por contradicción. Si representamos for-malmente esto nos quedaria algo así:

Capítulo 10 199

1 ¬∀xP(x)

2 ¬∃¬P(x)...


¬¬∃x¬P(x) ¬ Intro: 2-?

∃x¬P(x) ¬ Elim: ?

La siguiente decición que tomamos fue intentar contradecir ¬∀xP(x) de-mostrando ∀xP(x) mediante el uso de la generalización universal. Esto loformalizamos de la siguiente manera:

1 ¬∀xP(x)

2 ¬∃¬P(x)

3 c...

P(c)

∀xP(x) ∀ Intro: 3-?

∀xP(x) ∧ ¬∀xP(x) ∧ Intro: ?,1

¬¬∃x¬P(x) ¬ Intro: 2-?

∃x¬P(x) ¬ Elim: ?

Recuerde cómo hicimos para probar P(c). Habíamos dicho que si P(c) nofuese el caso, entonces tendríamos ¬P(c) y, en consecuencia, ∃¬P(x). Peroesto contradice nuestro supuesto en el paso 2. Esta idea es la que usamospara rellenar lo faltante.

Capítulo 10 200

1 ¬∀xP(x)

2 ¬∃¬P(x)

3 c

4 ¬P(c)

5 ∃x¬P(x) ∃ Intro: 4

6 ∃x¬P(x) ∧ ¬∃¬P(x) ∧ Intro: 5, 2

7 ¬¬P(c) ¬ Intro 4-6

8 P(c) ¬ Elim: 7

9 ∀xP(x) ∀ Intro: 3-8

10 ∀xP(x) ∧ ¬∀xP(x) ∧ Intro: 9, 1

11 ¬¬∃x¬P(x) ¬ Intro: 2-10

12 ∃x¬P(x) ¬ Elim: 11

Esto completa nuestra demostración formal de ∃¬P(x) a partir de la pre-misa ¬∀xP(x).


Problema 10.4. Algunas de las inferencias siguientes son válidas, otras nolo son. Para cada una de ellas, o bien dé una demostración formal de lainferencia, o construya un mundo como contraejemplo, esto es, uno en el quela premisa sea verdadera y la conclusión falsa.

1.

∀y [Cubo(y) ∧ Dodec(y)]


∃x¬Grand(x)

∃xDodec(x)

2.∃x(Cubo(x) ∧ Chico(x))

∃xCubo(x) ∧ ∃xChico(x)

3.∃xCubo(x) ∧ ∃xChico(x)

∃x(Cubo(x) ∧ Chico(x))

Capítulo 10 201

Problema 10.5. Algunas de las inferencias siguientes son válidas, otras nolo son. Para cada una de ellas, o bien dé una demostración formal de lainferencia, o construya un mundo como contraejemplo, esto es, uno en el quela premisa sea verdadera y la conclusión falsa.

1. ∃x(Cubo(x) ∧ Chico(d)) a partir de la premisa ∃xCubo(x) ∧ Chico(d)

2. ∀xCubo(x) ∨ ∀xChico(x) a partir de la premisa ∀x(Cubo(x) ∨ Chico(x))

3. ∀x(Cubo(x) ∨ Chico(x)) a partir de la premisa ∀xCubo(x) ∨ ∀xChico(x)

Problema 10.6. (Cambio de variables ligadas) Dar demostraciones formalesde los siguiente:

1. ∀xTet(x) a partir de la premisa ∀yTet(y).

2. ∃xCubo(x) a partir de la premisa ∃yCubo(y) .

Problema 10.7 (DeMorgan para cuantificadores) Dar demostraciones for-males de los siguiente:

1. ¬∀xP(x) a partir de la premisa ∃x¬P(x).

2. ¬∃xP(x) a partir de la premisa ∀x¬P(x).

3. ∀x¬P(x) a partir de la premisa ¬∃xP(x).

10.3. Demostraciones con cuantificadores mez-clados

No hay en realidad métodos nuevos de demostración que se apliquen espe-cíficamente a enunciados con cuantificadores mezclados, pero la introducciónde cuantifícadores mezclados nos fuerza a ser más explícitos sobre algunassutilezas en los métodos informales ya introducidos. Las sutilezas tienen quever con los métodos que introducen nuevos nombres en una demostración:instanciación existencial, demostración condicional general y generalizaciónuniversal. Ocurre que pueden surgir problemas de la interacción de estosmétodos de demostración.

Capítulo 10 202

Comencemos por ilustrar el problema. Consideremos el siguiente argu-mento:

∃y [Nina(y) ∧ ∀(Nino(x)→ Gusta(x, y))]∴∀x [Nino(x)→ ∃y(Nina(y) ∧ Gusta(x, y))]

Si el dominio del discurso fuera el conjunto de niños en una sala de unjardín de infantes, la conclusión diría que todo niño en la sala gusta de algunaniña, mientras que la premisa afirmaría de que existe alguna niña de la quegustan todos los niños. Dado que este argumento es válido, comenzaremosdando una demostración del mismo.

Demostración: Asumimos la verdad de la premisa, por lo que almenos una niña gusta a todo niño. Introducimos el nuevo nombrec para una de estas populares niñas. Para demostrar la conclusiónusaremos la demostración condicional general. Supongamos que des cualquier niño de la sala. Queremos demostrar que d gusta dealguna niña. Pero todo niño gusta de c, así que d gusta de c. Porlo tanto, d gusta de alguna niña por generalización existencial.Ya que d fue un niño elegido arbitrariamente, la conclusión sesigue de nuestra premisa.

Esta es una demostración perfectamente legítima. El problema que queremosilustrar, sin embargo, es la similitud superficial entre la demostración de arri-ba y la siguiente “demostración” incorrecta que invierte el orden la premisay de la conclusión:

∀x [Nino(x)→ ∃y(Nina(y) ∧ Gusta(x, y))]∴∃y [Nina(y) ∧ ∀(Nino(x)→ Gusta(x, y))]

Este argumento es obviamente inválido. El hecho de que todos los niñosgusten de alguna niña no implica que haya una niña de la que gusten todos losniños. Entonces no podemos probar que la conclusión se siga de la premisa,sin embargo la siguiente pseudo-demostración pareciera mostrar exactamenteeso.

Pseudo-demostración: Asumimos la premisa, esto es, que todoniño gusta de alguna niña. Sea e cualquier niño en el dominio.

Capítulo 10 203

Por nuestra premisa, e gusta de alguna niña. Introduzcamos elnuevo nombre f para alguna niña de la que e gusta. Puesto queel niño e fue elegido arbitrariamente, concluimos que todo niñogusta de f, por prueba condicional general. Pero entonces, porgeneralización existencial, tenemos el resultado deseado, a saber,que hay alguna niña de la que gustan todos los niños.

Este razonamiento es falaz. Ver por qué es falaz es extremadamente impor-tante, si queremos evitar pasos erróneos en el razonamiento. El problema secentra en nuestra conclusión de que a todo niño le gusta f. Recuerde cómoentró el nombre “f ” en la demostración. Sabíamos que a e, que era uno delos niños, le gustaba alguna niña, y elegimos a una de esas niñas, a la quebautizamos “f ”. Esta elección de una niña depende de modo crucial de quéniño e estemos hablando. Si e era Max o Alex, podríamos haber elegido Cla-ra y bautizarla “f ”. Pero si e fuera Eric, no podríamos elegir Clara. A Eric legusta una de las niñas, pero no Clara.

El problema es éste. Recuerde que a fin de alcanzar una afirmación univer-sal en la conclusión basada en un razonamiento acerca de un solo individuo,es imperativo que no apelemos a nada específico acerca de este individuo.Pero después de que le dimos el nombre “f ” a una de las niñas que le gustaa e, cualquier conclusión acerca de e y f puede violar este imperativo. Nopodemos esperar que esto se aplique igualmente a todos los niños.

Alex

Eric

Max

Brad

Tom

Clara

Raquel

Laura

Betty

Sara

Figura 10.1: Una circunstancia en la que ∀x [Nino(x)→ ∃y(Nina(y) ∧ Gusta(x, y))]

Alejándonos de este ejemplo particular, el resultado es el siguiente. Su-pongamos P(c), en donde c es un nombre nuevo, y demostremos Q(c). Nopodemos concluir ∀x [P(x)→ Q(x)] si Q(c) menciona un individuo específicocuya elección dependía del individuo denotado por c. En la práctica el mejormodo de asegurar que tal individuo no sea mencionado es insistir en que

Capítulo 10 204

Q(c) no contenga ningún nombre que ya fue introducido por la instanciaciónexistencial después de la suposición de P(c).

Una restricción similar debe considerarse sobre el uso de la generalizaciónuniversal. Recordemos que la generalización universal conlleva la introduc-ción de una nueva constante, digamos c, establecida para un miembro arbi-trario c del domimo del discurso. Hemos dicho que si podemos demostrarun enunciado S(c), podemos concluir ∀xS(x). Sin embargo, debemos ahoraagregar la restricción de que S(c) no contenga ninguna constante introducidapor la instanciación existencial luego de la introducción de la constante c.Esta restricción previene de demostraciones inválidas como la siguiente.

Pseudo-demostración: Supongamos ∀x∃yR(x, y). Mostraremosque, ignorando la restricción de arriba, podemos “demostrar”∃y∀xR(x, y). Comenzamos tomando a c como un nombre paraun miembro arbitrario del dominio. Por instanciación existencial,llegamos a ∃yR(c, y). Sea d tal que R(c, d). Puesto que c representacualquier objeto arbitrario, tenemos ∀xR(x, d). Por lo tanto, porgeneralización existencial, llegamos a ∃y∀xR(x, y).

¿Puede señalar el paso falaz en esta demostración? El problema es que ge-neralizamos desde R(c, d) a ∀xR(x, d). Pero la constante d fue introducidapor instanciación existencial (aunque no lo decimos explícitamente) luego deque la constante c fuera introducida. Por lo tanto, la elección del objeto ddepende de qué objeto c estemos hablando. La subsecuente generalizaciónuniversal es exactamente lo que nuestra restricción limita.

Dos pruebas famosas

Hay infinitas aplicaciones, claramente, de los métodos que hemos discu-tido. Ahora ilustramos el uso correcto de estos métodos con dos ejemplosfamosos. Uno se remonta a los antiguos griegos y se debe a Euclides, el otrotiene unos cien años y se conoce como la paradoja del barbero, y si bienpuede parecer un ejemplo un poco frívolo, el resultado es cercano a la para-doja de Russell, resultado que tuvo un impacto bastante significativo en lahistoria de la matemática y la lógica y que como su nombre lo recuerda fuedescubierto por el lógico inglés Bertrand Russell.

Capítulo 10 205

Teorema de Euclides

Recuerde que un número primo es un número entero mayor a 1 que noes divisible por ningún otro número entero distinto a 1 y a él mismo. Losprimeros diez primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29. A medida que losnúmeros aumentan, los primos se vuelven cada vez más escasos. La preguntaque surge es si existe un último primo, el mayor de todos los primos, o si estossiempre continuan apareciendo. El Teorema de Euclides es la afirmación deque son infinitos, esto es, de que no hay un primo mayor a cualquier otroprimo. En LPO lo podemos expresar de esta forma:

∀x∃y [y ≥ x ∧ Primo(y)]

Aquí por supuesto, nuestro dominio del discurso es eí de los números natu-rales.

Demostración: Vemos que este enunciado es un enunciado concuantificadores mezclados de la clase que hemos estado exami-nando. Para demostrarlo, sea n un número natural arbitrario ytratemos de demostar que existe un número primo al menos tangrande como n. Para demostrar esto, sea k el producto de todoslos números primos menores que n. De este modo, cada primomenor que n divide a k sin resto. Tomemos ahora m = k+1. Ca-da primo menor que n divide a m con resto 1. Pero sabemos quem puede ser factoreado en primos. Sea p uno de estos primos.Claramente, por la observación anterior, p debe ser más grandeo igual que n. Por lo tanto, por generalización existencial, vemosque existe en efecto un número primo mayor o igual que n. Pero nera un objeto arbitrario; así, hemos establecido nuestro resultado.

Notemos el orden de los dos últimos pasos. Si hubiéramos violado la condi-ción nueva de aplicación de la demostración condicional general para concluirque p es un primo más grande que o igual a todo número natural, habríamosobtenido un resultado patentemente falso.

Y ya que estamos, introducimos una conjetura estrechamente relacionadaa la cuestión, llamada Conjetura de los Primos Gemelos. Nadie sabe si esverdadera o no.

Capítulo 10 206

∀x∃y [y > x ∧ Primo(y) ∧ (Primo(y + 2)]

La paradoja del barbero

Hace algún tiempo, en un pueblo de Córdoba, existía un barbero que afei-taba a todos y sólo a los hombres que no se afeitaban a sí mismos. Podemosformalizar esto en LPO de esta manera:

∃z∃x [BarberoDe(x, z) ∧ ∀y(HombreDe(y, z)→ (Afeita(x, y)↔ ¬Afeita(y, y))]

A prima facie no parece haber nada incoherente lógicamente acerca dela existencia de dicho pueblo. Pero existe una demostración de que no puedeexistir un pueblo así.

Demostración pretendida: Supongamos que existe dicho pue-blo. Lo llamaremos Hernando y al barbero de Hernando lo vamosa llamar Pedro. Por nuestro supuesto, Pedro afeita a todos y sóloa los hombres de Hernando que no se afeitan a sí mismos.Ahora bien, Pedro se afeita a sí mismo o no. Pero cualquier po-sibilidad nos lleva a una contradicción, como veremos ahora. Laprimera posiblidad es que efectivamente se afeita a sí mismo, masen realidad no lo hace, por nuestro supuesto de que no afeita aningún hombre del pueblo que se afeite a sí mismo. Entonces su-ponemos que se da la otra posiblidad, esto es, que Pedro no seafeita a sí mismo. Pero dado que Pedro afeita a todos los hom-bres del pueblo que no se afeitan a sí mismos, él debe afeitarseél mismo. Hemos demostrado así que una contradicción se siguede cada posibilidad. Por prueba por casos, entonces, hemos es-tablecido una contradicción desde nuestro supuesto original. Lacontradicción muestra que nuestro supuesto era incorrecto, por loque concluimos que ese pueblo no existe.

El conflicto entre nuestra intuición de que podría existir un pueblo así porun lado y por otro la prueba de que no puede haberlo ha causado que esteresultado sea conocido como la paradoja del barbero.

En realidad hay un sutil detalle sexista en esta prueba. ¿Pudo observarlo?Proviene de nuestro uso del nombre “Pedro”. Al nombrar Pedro al barbero,

Capítulo 10 207

implícitamente supusimos que el barbero era un hombre, supuesto que ne-cesitamos para completar la demostración. Después de todo, es sólo acercade los hombres que sabemos que el barbero afeita sólo a aquellos que no seafeitan a sí mismos. No dijimos nada acerca de las mujeres, los jóvenes o losotros habitantes del pueblo.

Aunque la demostración tiene una falla, no es para nada inútil. Lo queen realidad nos muestra es que si realmente existe un pueblo con un barberocon esas características, entonces ese barbero no es un hombre del pueblo.Puede ser una mujer, o quizás un hombre de algún otro pueblo. Dicho deotro modo, la prueba funciona para mostrar la validez de:

∃z∃x [HombreDe(x, z) ∧ ∀y(HombreDe(y, z)→ (Afeita(x, y)↔ ¬Afeita(y, y))]

Hay muchas variantes de este ejemplo que puede usar para divertir, con-fundir y hasta hacer enojar a sus familiares y amigos.


Problema 10.8. Los siguientes argumentos incluyen una demostración pre-tendida para cada uno. Diga si es correcta. Si no lo es, explique qué es lo quesucede con ella de acuerdo a lo discutido en este capítulo.

1. ∴Hay un número mayor que cualquier otro número.

Demostración pretendida: Todo número es menor que algúnotro número, por ejemplo, x es menor que x+1. Sea n un númeroarbitrario. Entonces n es menor que algún otro número. Sea mtal número. Así n< m. Pero n es un número arbitrario, así todonúmero es menor que o igual a m. Por lo tanto hay un númeroque es más grande que todo otro número.

2. ∀x[Persona(x)→ ∃y∀z [Persona(z)→ DaA(x, y, z)]]∴∀x[Persona(x)→ ∀z [Persona(z)→ ∃y DaA(x, y, z)]]

Demostración pretendida: Supongamos la premisa y de-mostremos la conclusión. Sea b una persona arbitraria en ei do-minio del discurso. Necesitamos demostrar

Capítulo 10 208

∀z(Persona(z)→ ∃y DaA(b, y, z))

Sea c una persona arbitraria en el dominio del discurso. Ne-cesitamos demostrar

∃y DaA(b, y, c)

Pero esto se sigue directamente a partir de nuestra premisa,ya que hay algo que b da a todos.

Problema 10.9 Considere el siguiente conjunto de premisas y determine si(1), (2) y (3) son, cada una, consecuencia lógica de ese conjunto de premisas.Si el argumento formado por las premisas y esa conclusión es válido, dé unaprueba informal y luego intente formalizarla. Si no es válido, construya unmundo como contraejemplo.

Premisas:∀x∀y [IzqdDe(x, y)→ MayorQ(x, y)]∀x [Cubo(x)→ Chico(x)]∀x [Tet(x)→ Grande(x)]∀x∀y [(Chico(x) ∧ Chico(y))→ ¬MayorQ(x, y)]Conclusiones:(1)¬∃x∃y [Cubo(x) ∧ Cubo(y) ∧ DerecDe(x, y)](2) ∀z [Mediano(z)→ Tet(z)](3) ∀z∀w [(Tet(z) ∧ Cubo(w))→ IzqdDe(z, w)]

Problema 10.10. Considere el siguiente conjunto de premisas y determine si(1), (2) y (3) son, cada una, consecuencia lógica de ese conjunto de premisas.Si el argumento formado por las premisas y esa conclusión es válido, dé unaprueba informal y luego intente formalizarla. Si no es válido, construya unmundo como contraejemplo.

Premisas:∀x [Cubo(x)→ ∃y IzqdDe(x, y)]¬∃x∃z [Cubo(x) ∧ Cubo(z) ∧ IzqdDe(x, z)]

Capítulo 10 209

∃x∃y [Cubo(x) ∧ Cubo(y) ∧ x 6= y]Conclusiones:(1) ∃x∃y∃z [DetrDe(y, z) ∧ IzqdDe(x, z)](2) ∃x¬Cubo(x)(3) ∃x∃y(x 6= y ∧ ¬Cubo(x) ∧ ¬Cubo(y))

Problema 10.11. ¿Es lo siguiente lógicamente verdadero? Si es asi, demués-trelo. Si no, contruya un mundo donde sea falso.

∃x [Cubo(x)→ ∀yCubo(y)]

Resumen de Reglas

Reglas Proposicionales

Introducción de la Conjunción(∧Intro)

P1

⇓

Pn...

� P1 ∧ . . . ∧ Pn

Eliminación de la Conjunción(∧Elim)

P1 ∧ . . . ∧ Pi ∧ . . . ∧ Pn...

� Pi

Introducción de la Disyunción(∨Intro)

Pi...

� P1 ∨ . . . ∨ Pi ∨ . . . ∨ Pn

Eliminación de la Disyunción(∨Elim)

P1 ∨ . . . ∨ Pn...

P1...

S

⇓

Pn...

S...

� S

210

Introducción de la negación(¬Intro)

P...

Q...

¬Q

� ¬P

Eliminación de la negación(¬Elim)

¬¬P...

� P

Introducción del condicional(→ Intro)

P...

Q

� P→ Q

Eliminación del condicional(→ Elim)

P→ Q...

P

� Q

Introducción del bicondicional(↔ Intro)

P...

Q

Q...

P

� P↔ Q

Eliminación del bicondicional(↔ Elim)

P↔ Q...

Q...

� P

211

Reiteración(Reit)

P...

� P

Reglas para Cuantificadores

Introducción del Universal(∀Intro)

c...

P(c)

� ∀xP(x)

Eliminación del Universal(∀Elim)

∀xS(x)...

� S(c)

Prueba Condicional General(∀Intro)

c P(c)...

Q(c)

� ∀x(P(x)→ Q(x))

donde c no ocurre fuera de la subde-mostración en la que fue introducido.

212

Introducción del Existencial(∃Intro)

S(c)...

� ∃S(x)

Eliminación del Existencial(∃Elim)

∃S(x)...

c S(c)...

Q

� Q

donde c no ocurre fuera de la subde-mostración en la que fue introducido.

Predicados del lenguaje de bloques

Oración Atómica InterpretaciónTet(a) a es un tetreaedro

Cubo(a) a es un cuboDodec(a) a es un dodecaedroChico(a) a es chico

Median(a) a es medianoGrand(a) a es grande

MayorQ(a, b) a es mayor que bMenorQu(a, b) a es menor que bIzqdDe(a, b) a está más cerca del borde izquierdo que bDerecDe(a, b) a está más cerca del borde derecho que bDetrDe(a, b) a está más cerca del fondo que bDelanDe(a, b) a está más cerca del frente que b

MismoTam(a, b) a es del mismo tamaño que bEsEntre(a, b, c) a, b y c están en la misma fila, columna, o

diagonal, y a está entre b y c

213

Soluciones a ejercicios seleccionados

Capítulo 1

Problema 1.1

La dificultad para que expresaran la misma proposición es que lo expre-sado por uno puede ser verdadero mientras que lo expresado por el otro podríaser falso. La referencia de los pronombres personales, como ’yo’ en este caso,es muy particular, dado que cambia en cada caso. En este problema, cabeconsiderar inclusive, la posibilidad de que alguno estuviera mientiendo, encuyo caso la afirmación sería falsa. Por ello, cabe sostener que una mismaafirmación refiere a hechos diferentes en el mundo.

Problema 1.4

Si la bolsa cae, miles de inversores perderían todas sus inversiones.∴ La bolsa no caerá.

Capítulo 2

Problema 2.1

(1) es válido. Se puede ver que se da necesariamente la conclusión elabo-rando un esquema como en la página 25.

Problema 2.2

Un caso es (2) del problema indicado. Se puede ver que no se da nece-sariamente la conclusión, nuevamente con un esquema como en la página 25.

Capítulo 3

Problema 3.7

La prueba será por contradicción o “reducción al absurdo”. En 6.3 puedever más acerca de este tipo de demostración. Para probar que hay infinitostérminos que refieren al número 1 asumiremos –en búsqueda de una con-tradicción o un absurdo– lo opuesto. Esto es, que sólo hay una cantidad

214

finita n de términos que refieren al 1. Advirtamos que por la cláusula 2 de laDefinición 1, a partir de cualquier término de estos n términos que refierenal número 1, hay dos maneras de construir un nuevo término que refiere aeste mismo número. A saber, sumándole 0 a este témino o multiplicándolopor 1. Por lo tanto, para cualquier cantidad n de términos que refieren alnúmero 1, siempre habrá un término más que refiera también a este número.Por lo tanto, no tenemos una cantidad finita n de términos para referirnosal número 1. Pero esto contradice lo que antes asumimos, esto es, que sólohay una cantidad finita de términos que refieren a este número. Por lo tanto,nuestro supuesto nos lleva a un absurdo y debemos concluir que hay infinitostérminos que refieren al número 1 tal como queríamos probar.

Problema 3.8

1. Nombre: Juan: j ; Predicado unario Albañil: A. Traducción: A(j)2. Para responder tome en cuenta la ambigüedad o vaguedad del predi-

cado “ganar menos”.4. “Miseria” y “Compañía” no pueden considerarse nombres de objetos.

Capítulo 4

Problema 4.1

Hay 4 tautologías. La primera es una de ellas.

Problema 4.8

1.Chico (a) ∨ (Grand (c) ∧ Grand (d))2. DetrDe (d, b) ∧ DetrDe (e, b)8. (Tet (a) ∧ Tet (e)) ∨ (Tet (a) ∧ Tet (f))

Capítulo 5

Problema 5.2

Para resolver este ejercicio debemos en primer lugar diseñar una tablade verdad. Como tenemos en total 3 oraciones atómicas (Cubo(a), Cubo(b) yTet(a)), nuestra tabla contará con 8 filas. Dibujamos a continuación la tabla

215

de verdad respetando el siguiente orden: (1) Primero asignamos los valores deverdad a cada una de las oraciones atómicas. Como debemos garantizar que latabla refleje todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las tresoraciones atómicas, una buena estrategia para garantizar esto es asignar a laprimera oración (Cubo(a)) V en las primeras 4 filas y F en las 4 filas restantes.Asignamos a la segunda oración atómica (Cubo(b)), V en las 2 primeras filas,luego F en las 2 filas siguientes, nuevamente V, en las filas 5 y 6, y F enlos dos últimas. Para la tercera oración atómica (Tet(a)), asignamos V en laprimera fila, F en la segunda, y así seguimos intercalando los valores V y Fen cada fila hasta completar todas las filas. Finalmente, volvemos a repetirla asignación aplicada a Cubo(b). (2) A continuación, debemos combinar losvalores de verdad de las oraciones atómicas a partir de las tablas de verdad delas conectivas. La forma como está construida la oración indica que primerodebemos completar la columna de la disyunción. Una vez resuelto el casode la disyunción, combinamos estos valores de verdad con los de la oraciónTet(a) y completamos la columna debajo de la conjunción. Obtenemos así lasiguiente tabla de verdad:

(Cubo(a) ∨ Cubo(b)) ∧ Tet(a) Cubo(b)

V V V V V VV V V F F VV V F F V FV V F F F FF V V V V VF V V F F VF F F F V FF F F F F F

Ahora queremos saber si Cubo(b) es consecuencia tautológica de (Cubo(a)∨Cubo(b)) ∧ Tet(a). Aplicando la definición sabemos que Cubo(b) sería con-secuencia lógica de (Cubo(a) ∨ Cubo(b)) ∧ Tet(a) siempre que en cada casodonde (Cubo(a) ∨ Cubo(b)) ∧ Tet(a) sea verdadero, Cubo(b) también lo sea.Por esto, es necesario observar cada fila de la tabla de verdad que acaba-mos de construir para verificar si esto es así o no. En la primera fila, porejemplo, (Cubo(a) ∨ Cubo(b)) ∧ Tet(a) es V, y Cubo(b) también. Sin embar-go, si continuamos analizando la tabla en la tercera fila encontramos que(Cubo(a) ∨ Cubo(b)) ∧ Tet(a) es V pero Cubo(b) es falso. Esto indica que

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Cubo(b) no es consecuencia tautológica de (Cubo(a)∨Cubo(b))∧Tet(a), pues-to que hay al menos un caso donde la oración (Cubo(a) ∨ Cubo(b)) ∧ Tet(a)es V y Cubo(b) es F.

Además, queremos saber si Cubo(b) es consecuencia lógica de (Cubo(a)∨Cubo(b)) ∧ Tet(a). Para esto también vamos a utilizar la tabla que acaba-mos de construir. Pero primero necesitamos descartar aquellas asignacionesimposibles o insostenibles de la tabla. Recordemos que, aplicando la defini-ción de consecuencia lógica, Cubo(b) sería consecuencia lógica de (Cubo(a)∨Cubo(b)) ∧ Tet(a) si quitando las asignaciones imposibles o insostenibles, noexiste en la tabla de verdad ninguna fila donde (Cubo(a)∨Cubo(b))∧Tet(a)tenga valor V yCubo(b) tenga valor F. Procedemos, entonces a marcar lasasignaciones no genuinas de la tabla de verdad. Por la interpretación delos predicados en el lenguaje de bloques, sabemos que toda asignación queotorgue a la vez el valor verdadero a Cubo(a) y a Tet(a) es una asignaciónimposible. En el mundo de bloques, un objeto, en este caso a, sólo puedetener una forma: o bien ser cubo o bien ser tetraedro, pero no puede serun cubo y un tetraedro a la vez. Esto nos indica que las filas 1 y 3 sonimposibles o insostenibles. Desestimando, entonces, estas dos filas debemosverificar ahora si en el resto de las filas, a saber, la fila 2 y las filas 4 a 8,siempre que (Cubo(a) ∨ Cubo(b)) ∧ Tet(a) tiene valor V, Cubo(b) también esV. Si observamos nuevamente la tabla, vemos que nos queda un solo casopor considerar: la fila 5, que es la única asignación no imposible que asignavalor V a (Cubo(a)∨Cubo(b))∧Tet(a). En esa misma fila Cubo(b) también esV. Esto muestra que todas las asignaciones no imposibles que asignan valorverdadero a la oración compleja, también asignan valor verdadero a Cubo(b).Por lo tanto, Cubo(b) es consecuencia lógica de (Cubo(a)∨Cubo(b))∧Tet(a).

Problema 5.5

1. En este caso, los paréntesis son innecesarios. Así, aplicando la ley deidempotencia, la fórmula simplificada equivalente sería la siguiente: A ∧ B.

2. En este caso, los paréntesis son innecesarios. Por idempotencia, la fór-mula simplificada equivalente sería: B ∧ A ∧ C.

Problema 5.6

1.

217

¬EnCasa(Carl) ∨ ¬¬EnCasa(Clara) Por Ley de De Morgan¬EnCasa(Carl) ∨ EnCasa(Clara) Por Ley de Doble Negación

2.

¬Felix(Max) ∨ ¬(¬GustaDe(Carl, Clara) ∨ ¬GustaDe(Clara, Carl)) PorLey de De Morgan¬Felix(Max)∨¬(¬¬GustaDe(Carl, Clara)∧¬¬GustaDe(Clara, Carl)) Por

Ley de De Morgan¬Felix(Max)∨¬(GustaDe(Carl, Clara)∧GustaDe(Clara, Carl)) Por Ley

de De Doble Negación

Capítulo 6

Problema 6.1

1. A partir de P ∨ Q y ¬P, inferir Q.Primero construimos una tabla de verdad para chequear si el paso es o

no válido.

(P ∨ Q) ∧ ¬ P Q

V V V F F V VV V F F F V FF V V V V F VF F F F V F F

Como puede verse en la tabla, siempre que P∨Q y ¬P es verdadero (estopasa sólo en la fila 3), Q también es verdadero. Esto muestra que el pasoinferencial es válido.

2. A partir de P ∨ Q y Q, inferir ¬P

Primero construimos una tabla de verdad para chequear si el paso es ono válido.

218

(P ∨ Q) ∧ Q ¬ P

V V V F F F VV V F F F F VF V V V V V FF F F F V V F

Como puede verse en la tabla, hay un caso representado por la fila 1donde P ∨ Q y Q, son verdaderos y ¬P es falso. Esto muestra que el pasoinferencial no es válido.

¿Cómo dar un ejemplo? La fila 1 de la tabla de verdad puede ayudarnos ailustrar la situación. Supongamos que partimos de una disyunción verdaderaque tiene la particularidad de que las oraciones que la componen son ambasverdaderas. Esta oración podría ser: “Rodrigo es filósofo o jugador de fútbol”.(Este es el caso ejemplificado por la primera fila de la tabla de verdad). Comodijimos, tanto “Rodrigo es filósofo” como “Rodrigo es jugador de fútbol” sonambas verdaderas. Supongamos además, que “Rodrigo es jugador de fútbol”es verdadera. ¿Se seguiría de esto que “Rodrigo no es filósofo”? Claramenteno, porque como habíamos aceptado anteriormente, cada una de las partesde la disyunción son verdaderas, es decir, ya habíamos aceptado que “Rodrigoes filósofo”. Por esto, no se sigue que “Rodrigo no es filósofo”.

Problema 6.2

La introducción de esta afirmación se justifica porque es un hecho nece-sario que todo número es o bien racional o bien irracional. Como

√2 es un

número, necesariamente es racional o irracional.

Problema 6.4

En el siguiente mundo se ilustra que puede darse el caso de que las pre-misas sean todas verdaderas y la conclusión falsa, por esto, DetrDe(a, b) noes consecuencia lógica del conjunto de premisas 1-4.

219

Problema 6.9

Emplearemos el método de demostración condicional. Sin embargo, enlugar de demostrar directamente que si n2 es impar, entonces n es impar, loharemos a partir de su contrapositiva, a saber, que si n no es impar (es decir,si n es par), entonces n2 no es impar (n2es par). La contrapositiva de unafórmula A→ B, es la fórmula equivalente ¬B→ ¬A. La demostración de quesi n es par, entonces n2 es par, se encuentra en la página 101.

Capítulo 7

Problema 7.7

1.

1 ¬(A ∨ B)

2 A

3 A ∨ B ∨ Intro 2

4 (A ∨ B) ∧ ¬(A ∨ B) ∧ Intro 3,1

5 ¬A ¬ Intro 2-4

2.

220

1 ¬(¬A ∧ B)

2 ¬(¬B ∨ C)

3 ¬B

4 ¬B ∨ C ∨ Intro 3

5 (¬B ∨ C) ∧ ¬(¬B ∨ C) ∧ Intro 4,2

6 ¬¬B ¬ Intro 3-5

7 B ¬ Elim 6

8 ¬A

9 ¬A ∧ B ∧ Intro 8,7

10 (¬A ∧ B) ∧ ¬(¬A ∧ B) ∧ Intro 9,1

11 ¬¬A ¬ Intro 8-10

12 A ¬ Elim 11

Capítulo 8

Problema 8.3

(5) ∃x (Cubo (x) ∧ Grande (x) ∧ IzqdDe (x, b))(13) ∃x ¬ (Dodec (x) ∧ Grand (x))

Problema 8.4

(6) ∀x (Cubo (x)→ (DelanDe(x, b) ∨ DetrDe (x, a))

Capítulo 9

Problema 9.1

(8) Es verdadero, ya que sólo hay tetraedros chicos.

Problema 9.6

1. ∀x ∀y ((Tet (x) ∧ Dodec (y))→ (DelanDe(x, y))

221

Capítulo 10

Problema 3

2.1 ∀x(Cubo(x) ∨ Tet(x))

2 ∃x¬Cubo(x)

3 a ¬Cubo(a)

4 Cubo(a) ∨ Tet(a) ∀ Elim 1

5 Cubo(a)

6 ¬Tet(a)

7 Cubo(a) ∧ ¬Cubo(a) ∧ Intro 5,3

8 ¬¬Tet(a) ¬ Intro 6-7

9 Tet(a) ¬ Elim 8

10 Tet(a)

11 Tet(a) Reit 10

12 Tet(a) ∨ Elim 4, 5-9, 10-11

13 ∃xTet(x) ∃ Intro 12

14 ∃xTet(x) ∃ Elim 2, 3-13

Problema 7

3.1 ¬∃xP(x)

2 a

3 P(a)

4 ∃XP(x) ∃ Intro 3

5 ∃XP(x) ∧ ¬∃xP(x) ∧ Intro 4,1

6 ¬P(a) ¬ Intro 3-5

7 ∀xP(x) ∀ Intro 2-6

222

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