Universidad Catolica del Maule Metodos NumericosFacultad de Ciencias Basicas Clase N5, 26 de Septiembre de 2014

Calculo de ceros de funciones

La busqueda de races de ecuaciones es fundamental en cualquier proceso de calculo y enaplicaciones varias. Un problema muy usual, y al parecer simple, es la determinacion delarea entre dos curvas, por ejemplo, el area entre las curvas definidas por las funciones

f(x) = ex, g(x) = 2 x2

lo que con ayuda de un graficador, nos muestra la existencia de esta area:

La determinacion del area es calcular

A =

x2x1

(g(x) f(x)) dx

A =

x2x1

(2 x2 ex) dx,

luego todo se basa en calcular x1 y x2, es decir, los valores donde f(x) = g(x). Si establecemosla ecuacion

h(x) = g(x) f(x)estamos pidiendo encontrar los ceros o races de la ecuacion h(x) = 0 o simplemente

2 x2 ex = 0.

1

Lo anterior parece una ecuacion sencilla, pero no lo es, es una ecuacion trascendente y noexisten procesos algebraicos que nos permitan despejar x. Lo que si tenemos, es una idea dedonde se encuentran estas races por la simplesa de las funciones y su grafica.

El ejemplo anterior es fuente de motivacion para estudiar y analizar metodos numericos paracalcular ceros de ecuaciones.

Teorema: Valor intermedioSi f es una funcion continua en un intervalo cerrado [a, b] y elegimos algun k (f(a), f(b)),entonces siempre existe un valor c (a, b) tal que f(c) = k.

Obs: Si k = 0 entonces existe un c (a, b) tal que f(c) = 0 y por lo tanto hemos determinadouna raz c de f, lo que indica que f(a) f(b) < 0.(cambio de signo)Obs: Lo anterior indica que el cambio de signo f en un intervalo (a, b) es la localizacion deuna raz simple f.

Metodo de la BiseccionUno de los metodos de busqueda de races mas intuitivo consiste en bisectar sucesivas vecesnuestro intervalo de localizacion (a, b) botando la mitad del intervalo donde no exista cambiode signo. Esto es, sea x = p raz de f (f(p) = 0), con p [a, b] dado que f(a) f(b) < 0,entonces determinamos el punto medio p1 =

a+ b

2 [a, b] , nombramos por a1 = a y b1 = b,

calculamosf(a) f(p1) y f(p1) f(b)

y elegimos el de cambio de signo renombrando por a2 = a1 y b2 = p1 o a2 = p1 y b2 = b, ......,segun sea el caso hasta acotar la raz x = p. Luego el proceso es iterativo y consiste engenerar la sucesion {pn} tal que:

p [an, bn] con n Z.

2

Criterios de ParadaEl proceso de la biseccion es iterativo hasta que f(pn) 0, es decir,

|f(pn)| < , 0 < 1o |pn pn1|

|pn| < , pn 6= 0

Los criterios anteriores pueden tener dificultades, pn pn1 0 mientras que {pn} divergeo f(pn) 0 pero |pn pn1| 1.

Teorema:Si f es una funcion continua en un intervalo cerrado [a, b] tal que f(a) f(b) < 0. El metodode la biseccion genera una sucesion {pn} p con la propiedad

|pn p| b a2n

, con n 1

Dem: Para n 1 todo subintervalo [an, bn] satisface que su largo es la mitad del anterior,esto es:

bn an = 12

(bn1 an1) = 12

1

2(bn2 an2) = ... = 1

2n1(b1 a1) = 1

2n1(b a)

y la raz x = p (an, bn) . Como pn = an + bn2

, para todo n 1 entonces

|pn p| =an + bn2 p

= an p+ bn p2 12 (|an p|+ |bn p|)

|pn p| 12

(|an p|+ |bn p|) 12

( |bn an|2

+|bn an|

2

)=|bn an|

2

|pn p| |bn an|2

=1

2

12n1 (b a) = b a2n .

Obs: El teorema anterior muestra la convergencia del metodo de la Biseccion y una cotapara el error de aproximacion, con lo cual podemos detreminar dado un error el numerode iteraciones del metodo, esto es:

|pn p| ba2n < ba2n

< / log log ( ba2n

)< log ( ) log (b a) n log (2) < log ( )

log (b a) n log (2) < log ( ) n > log(ba)log( )log(2)

n >log

b a

log(2)

.

Ejercicio: Usemos el ejemplo motivacional del area para aplicar el metodo. Debemosdeterminar dos races de la ecuacion h(x) = 0, entonces para localizarlas, tenmos que:

3

1. h(2) = 2. 135 3 y h(1) = 0.632 12, luego h(2)h(1) < 0 entonces x1 (2,1) .Si consideramos = 103 como precision entonces debemos hacer

n >

log

(1 (2)103

)log (2)

= 9. 965 8 iteraciones.

n an bn pn f(pn)1 2 1 1.5 0.473 132 1.5 1 1.25 0.151 003 1.5 1.25 1.375 0.143 464 1.375 1.25 1.3125 8. 197 4 1035 1.375 1.3125 1.34375 6. 653 0 1026 1.34375 1.3125 1.328125 2. 889 0 1027 1.328125 1.3125 1.3203125 1. 027 7 1028 1.3203125 1.3125 1.32078125 1. 139 0 1029 1.32078125 1.3125 1.316640625 1. 576 8 10310 1.316640625 1.3125 1.314570313 3. 315 2 10311 1.316640625 1.314570313 1.315605469 8. 704 3 104

2. h(0.4) = 0.348 18 y h(0.6) = 0.182 12 luego h(0.4)h(0.6) < 0 entonces x2 (0.4, 0.6) .Si consideramos = 103 como precision entonces debemos hacer

n >

log

(0.6 (0.4)

103

)log (2)

= 7. 643 9 iteraciones.

n an bn pn f(pn)1 0.4 0.6 0.5 0.101 282 0.5 0.6 0.55 3. 575 3 1023 0.5 0.55 0.525 3. 391 6 1024 0.525 0.55 0.5375 6. 284 5 1045 0.525 0.5375 0.53125 1. 671 6 1026 0.53125 0.5375 0.534375 8. 061 9 1037 0.534375 0.5375 0.5359375 3. 721 3 1038 0.5359375 0.5375 0.53671875 1. 547 5 1039 0.53671875 0.5375 0.537109375 4. 598 3 104

Tarea: Existe una forma mejor de aprovechar el intervalo de busqueda.

Metodos de iteracion de Punto FijoSiempre que intentemos resolver una ecuacion h(x) = 0, es posible reescribirla despejando xen la forma:

h(x) = 0

x g(x) = 0

4

definiendo una funcion g. Lo anterior intruduce el concepto de resolver nuevamente por laigualacion de dos funciones

x = g(x)

donde x = I(x) funcion identidad. Graficamente, tenemos

Def : Un punto fijo de una funcion g es un numero p tal que g(p) = p.

Teorema: Funcion de punto Fijo

1. Si g es una funcion continua en una intervalo cerrado [a, b] , para todo x [a, b],entonces g tiene un punto fijo x = p [a, b] .

2. Si ademas g(x) existe en (a, b) y existe una constante k < 1 tal que

|g(x)| k, x (a, b) ,

5

entonces el punto fijo x = p [a, b] es unico.

Dem:

Si g(a) = a o g(b) = b, entonces g tendra un punto fijo en un extremo. Sino si g(a) > ay g(b) < b entonces definiendo h(x) = g(x) x funcion continua en [a, b] (g(x) y I(x)son continuas) se tiene que

h(a) = g(a) a > 0 y h(b) = g(b) b < 0usando el Teorema del valor intermedio existe p (a, b) tal que h(p) = 0. As g(p) = p,existe siempre punto fijo. Ademas, usando el conocido teorema del valor medio parag, se tiene que:

Si g es funcion continua y diferenciable en (a, b) entonces existe un numero (a, b)tal que

g() =g(b) g(a)b a ,

suponiendo que |g(x)| k < 1, x (a, b) , y que x = p y x = q son puntos fijos de gtalque p 6= q podemos ver que

|p q| = |g(p) g(q)| = |g()| |p q| k |p q| < |p q|una contradiccion, por lo tanto existe un unico punto fijo.

Ejercicio: De nuestro citado ejemplo buscaremos una funcion de punto fijo para h(x) =2 x2 ex, Esto es, proponer una funcion g(x) = 2 ex que satisfaga:

g(x) [2,1] .

6

En efecto, si

2 x 1 / exp 1e2 ex 1

e1/ (1)

1e ex 1

e2/+ (2)

2 1e 2 ex 2 1

e2/

2 1

e 2 ex

2 1

e2/ (1)

2 1e2 2 ex

2 1

e/ (1)

2 1e2 g(x)

2 1

e

g(x) [1. 365 5,1. 277 5] [2,1]

Por otro lado g(x) = 12

ex2 ex entonces

|g(x)| = 12

ex2 ex

|g(x)| e1

2

12 e2 = 0.134 7 < 1.

Luego g es funcion de punto fijo. Ahora resolviendo :

n xn g(xn)1 2 1. 365 52 1. 365 5 1. 320 93 1. 320 9 1. 316 54 1. 316 5 1. 3165 1. 316 1. 316 0

7

lo que concuerda con la grafica:

Algoritmo de Punto fijoPara aproximar el punto fijo de una funcion g, escogemos una aproximacion inicial p0 yhaciendo

pn = g(pn1), con n 1obtenemos la sucesion {pn}n=0 . Si pn p y g es continua tendremos

p = limn

g(pn1) = g(

limn

pn1)

= g(p)

Obs: Si g satisface el teorema entonces

|pn p| kn max {|p0 a| , |b p0|}y

|pn p| kn

1 k |p0 p1|donde k es la cota de la derivada de g.En efecto, sabemos que

|pn p| = |g (pn1) g(p)| = |g()| |pn1 p| k |pn1 p|as,

|pn p| k |pn1 p| k2 |pn2 p| k3 |pn3 p| ... kn |p0 p|entonces

|pn p| kn |p0 p| kn max {|p0 a| , |b p0|}

8

dado que p [a, b] .Por otro lado

|p0 p| = |p0 p1 + p1 p| |p0 p1|+ |p1 p| |p0 p1|+ k |p0 p|

|p0 p| |p0 p1|+ k |p0 p|

|p0 p| (1 k) |p0 p1|y como 0 < k < 1

|p0 p| 1(1 k) |p0 p1| / k

n

|pn p| kn |p0 p| kn

(1 k) |p0 p1|

Obs: Las desigualdades anteriores son cotas para la convergencia del metodo de punto fijo,es decir, si k es pequena la convergencia sera rapida en la busqueda del punto fijo sino si kes cercano a 1 la convergencia sera lenta.

Ejercicio: Usando el metodo de punto fijo determinar la menor raz positiva de la ecuacionh(x) = x tan (x) = 0.Sol: Claramente la menor raz es x = p

(pi

2,3pi

2

), pero necesitamos un intevalo cerrado

para localizar la raz, por ejemplo si I = [a, b] = [4, 4.7] se tiene que

h(4) = 2. 842 2 y h(4.7) = 76. 013, por tanto h(4) h(4.7) < 0 (cambio de signo). Por otra parte proponemos la obvia funciong(x) = tan(x) como funcion de punto fijo. En efecto:

4 x 4.7 / tan

tan(4) tan(x) tan(4.7)

1. 157 8 tan(x) 80. 713

pero [1. 157 8, 80. 713] / [4, 4.7] . Buscaremos otra candidata, g(x) = pi + arctan(x) (Ojo:tan(x) = tan(x pi))

4 x 4.7 / arctan

arctan(4) arctan(x) arctan(4.7) / + pi

arctan(4) + pi arctan(x) + pi arctan(4.7) + pi

4. 467 4 g(x) 4. 502 7

9

entonces [4.467 4, 4. 502 7] [4, 4.7] .Ademas

|g(x)| = 11 + x2

117 < 1Por lo tanto g(x) = pi+ arctan(x) es funcion de punto fijo. Si proponemos una aproximacionde 4 cifras significativas para el punto fijo, = 104, usando las cotas de la observacionanterior tenemos que:

|pn p| kn |p0 p| kn max {|p0 a| , |b p0|} <

y dado p0 = 4.5 [4, 4.7]

kn max {|p0 a| , |b p0|} < 104

kn max {|4.5 4| , |4.7 4.5|} < 104

kn 12< 104 / 2

kn < 2 104/ log

n 0 tal que, para p0 [p0 , p0 + ], cuando n 1, converge almenos cuadraticamente a p. Esto es:

|pn+1 p| < M2|pn p|2

En efecto, si consideramos el algoritmo de punto fijo

pn = g(pn1), n 1,

con g(x) = x (x)f(x), donde (x) = 1f (x)

, entonces:

1. Si p es un cero de f, g(p) = p (p)f(p) = p, es decir, p es punto fijo de g.2. El algoritmo de punto fijo converge cuadraticamente si g(p) = 0. Esto es, g(x) =

1 (x)f(x) (x)f (x). Entonces

g(p) = 1 (p)f(p) (p)f (p) = 1 (p)f (p).

As g(p) = 0 ssi

(p) =1

f (p), f (p) 6= 0.

Finalmente podemos deducir que bajo estas condiciones, el algoritmo de punto fijo esefectivamente el conocido metodo de Newton-Raphson:

pn = g(pn1) = pn1 (pn1)f(pn1)

pn = g(pn1) = pn1 1f (pn1)

f(pn1)

Obs: Segun lo anterior podemos decir que el algoritmo de N-R converge cuadraticamentea p [a, b] si f (p) 6= 0, donde:

pn = pn1 1f (pn1)

f(pn1)

n 1p0 dado

13

es decir, si p es una raz simple. Su interpretacion geometrica se puede ver por:

Esto es, si reescribimos el algoritmo como:

f (pn1) (pn pn1) = f(pn1)

f(pn1) = f (pn1) (pn1 pn)

f(pn1) f (pn) = f (pn1) (pn1 pn)

con f(pn) = 0, podemos decir que el Algoritmo de N-R consiste en aproximar p me-diante la recta tangente a la curva en P = (pn1, f(pn1)) al interceptarla con el ejeX.

Ejercicio: Considere la funcion f(x) =4x 7x 2 y busquemos su raz p. Entonces

f (x) = 1(x 2)2 y f

(x) =2

(x 2)3

nos dice que f es continua y dos veces diferenciable en un intervalo [a, b] que no contengaa x = 2. As, el algoritmo es:

pn = pn1 1( 1

(pn12)2) (4pn1 7

pn1 2)

n 1p0 dado

14

con pn1 6= 2. Luego la eleccion de p0 es clave en la convergencia del metodo, si p0 [1.6, 1.9]el metodo converge sin problemas.

n pn f (pn) |pn pn1|0 1.65 1.14291 1.79 0.761 9 0.142 1. 756 4 0.105 09 0.03363 1. 750 2 3. 202 6 103 6.2 1034 1.75 0.0000000 2 104

Que pasa con la eleccion de p0 = 1.5?Finalmente podemos ver el grafico de la busqueda de la raz simple p = 1.75.

Obs: Varias dificultades se hacen patentes para trabajar con el metodo de N-R

1. La ayuda de un metodo de localizacion, como cualquier metodo de punto fijo.

2. La eleccion del valor inicial p0.

3. El costoso calculo de la derivada en cada paso del algoritmo.

4. Su busqueda es solamante para raices simples.

15

Metodo de la Secante

La necesidad de evaluar la derivada en cada paso involucra un costo alto de calculo asociado.Para superar esta dificultad se propone variar el metodo de N-R sustituyendo

f (pn1) = limx+

f(x) f (pn1)x pn1

por

f (pn1) f(pn2) f (pn1)pn2 pn1

es decir, tomando x = pn2 y reemplazando. Por lo tanto obtenemos el conocido metodo dela secante, dado por:

pn = pn1 1(f(pn2)f(pn1)

pn2pn1

)f(pn1)n 2p0, p1 dados.

Lo que geometricamente es:

Esto es, si reescribimos el algoritmo como:

f (pn1) (pn pn1) = f(pn1)

f(pn1) =(f(pn2)f(pn1)

pn2pn1

)(pn1 pn)

f(pn1) f (pn) =(f(pn2)f(pn1)

pn2pn1

)(pn1 pn)

16

con f(pn) = 0, podemos decir que el Algoritmo de la Secante consiste en aproximar p medi-ante la recta secante a la curva en P = (pn1, f(pn1)) y Q = (pn2, f(pn2)) al interceptarlacon el eje X.

Obs: Una variante valida es el metodo de Von Mises, el cual establece:

f (pn1) = f (p0)

para todo n 1. Esto es mantener siempre la derivada en p0, lo que claramente trae unamenor rapidez de convergencia comparado con N-R.

Ejemplo: Usando el ejercicio anterior, la busqueda de la raz de f(x) =4x 7x 2 localizada

en el intervalo I = [1.6, 1.9] , se puede realizar por estos metodos generando las iteraciones,por ejemplo con Von Mises :

n pn f (pn) |pn pn1|0 1.65 1.14291 1.79 0.761 9 0.142 1. 696 7 0.702 93 0.09333 1. 782 8 0.604 05 0.08614 1. 708 8 0.565 93 0.0748. . . .. . . .

y de manera similar para el metodo de la secante, es decir una menor rapidez de convergencia.

n pn f (pn) |pn pn1|0 1.6 1.51 1.9 6.0 0.32 1. 66 1. 058 8 0.243 1. 696 0 0.710 53 0.0364 1. 7694 0.3373 0.07345 1.7458 0.0661 0.02366 1.7497 0.052 0.000397 1.75 0.000 0.00003

Metodo de Horner, ceros de polinomios

En el caso de polinomios de grado n, de la forma:

f(x) = anxn + an1xn1 + ...+ a1x+ a0

donde an 6= 0, y ai son los coeficientes de f, la busqueda de sus ceros o raices pasa porconceptos como el Teorema fundamental del Algebra, factorizacion de polinomios, multipli-cidad de sus raices y la division sintetica a lo que agregamos el metodo de N-R como unaherramienta adicional.

17

Teorema Fundamental del AlgebraSi f es un polinomio de grado n 1 con coeficientes reales o complejos, entonces f(x) = 0tiene al menos una raz.Obs: Si f es un polinomio de grado n 1 con coeficientes reales o complejos, entoncesexisten constantes unicas x1, x2, ..., xk y enteros positivos m1,m2, ...,mk tales que

ki=1

mi = n,

yf(x) = an (x x1)m1 (x x2)m2 (x xk)mk .

El metodo de Horner no es mas que realizar la division sintetica entre f(x) y un polinomio(x x0) . Esto es, obtener de f(x) = anxn + an1xn1 + ... + a1x + a0 los coeficientes delpolinomio cuociente Q(x) = bnx

n1 + bn1xn2 + ...+ b2x+ b1, dados por:

bn = an

bk = ak + bk+1x0

para k = n 1, ..., 1. Lo que finalmente dice que:

f(x) = (x x0)Q (x) + b0.

donde claramente f(x0) = b0. Pero

f (x) = Q(x) + (x x0)Q (x)

entoncesf (x0) = Q(x0),

lo que sugiere una nueva alternativa (en caso de polinomios) de usar N-R para buscar susraces pero sin calcular su derivada en cada iteracion, esto es, solo evaluar en el polinomioresultante Q de la division.Ejemplo: Considere el polinomio f(x) = x3 x 1. En este polinomio se hace evidenteque tiene una raz real positiva (x3 = 1 + x) en el intervalo I = [1, 2] ( f(1) f(2) < 0 ) osimplemente, dado que f (x) = 3x2 1 > 0 para x R.Considerando x0 = p0 = 2 entonces N-R, tenemos:

x1 = p1 = p0 f(p0)f (p0)

pero por Horner:f(x) = (x 2)Q(x) + 5

con Q(x) = x2 + 2x+ 3, entonces f (2) = Q(2) = 11.

x1 = p1 = 2 511

=17

11= 1. 545 5

18

tomando este valor tenemos que

f(x) = (x 1.5455)Q(x) + 1. 1461con Q(x) = x2 + 1.5455x+ 1.3886, entonces f (1.5455) = Q(1.5455) = 6. 165 7.

x2 = p2 = 1. 545 5 1. 14616. 165 7

= 1. 359 6

tomando este valor tenemos que

f(x) = (x 1. 359 6)Q(x) + 0.153 64con Q(x) = x2 + 1.3596x+ 0.84851, entonces f (1.3596) = Q(1.3596) = 4. 545 5.

x3 = p3 = 1.3596 0.153 644. 545 5

= 1. 3258.

Cuyo error es:

ER =|x3 x2||x2| =

|1. 3258 1. 359 6||1. 359 6| 0.024 86 (2%)

Obs: Cuando se ha encontrado una raz del polinomio se puede despreciar el resto y usarQ(x) para buscar las restantes esto se conoce como Deflaccion.Ejercicio: Buscar todas las races reales del polinimio f(x) = x4 2x3 4x2 + 4x + 4 porel metodo de Horner.

Busqueda de races con multiplicidad.Abordamos el problema de buscar raices con multiplicidad para cualquier f(x), para estonecesitamos algunas definiciones previas.

Def: Una solucion p de f(x) = 0 es un cero o raz de multiplicidad m de f si

f(x) = (x p)m q(x)donde lim

xpq(x) 6= 0.

Obs: f C1 [a, b] (con primera derivada continua) tiene una raz de multiplicidad uno enp (a, b) ssi

f(p) = 0 y f (p) 6= 0.En general, f Cm [a, b] (con m esima derivada continua) tiene una raz de multiplicidadm en p (a, b) ssi

f(p) = 0, f (p) = 0, f (p) = 0, ...., f (m1)(p) = 0, f (m)(p) 6= 0.

Tarea: Demuestre que f(x) = ex x 1 tiene un cero p = 0 de multiplicidad m = 2 y porlo tanto el metodo de N-R, no converge cuadraticamente.

Supongamos que f es una funcion que tiene una raz de multiplicidad m 1 en p. Si sedefine la funcion:

(x) =f(x)

f (x)

19

entonces (x) tiene una raz de multiplicidad m = 1 en x = p. En efecto (p) = 0 y para lamultiplicidad tenemos:

(x) =f(x)

f (x)=

(x p)m q(x)m (x p)m1 q(x) + (x p)m q(x)

(x) =f(x)

f (x)=

(x p)m q(x)(x p)m1 [mq(x) + (x p) q(x)]

(x) =f(x)

f (x)= (x p) q(x)

[mq(x) + (x p) q(x)]

(x) =f(x)

f (x)= (x p)G(x)

entonces

limxp

G(x) = limxp

q(x)

[mq(x) + (x p) q(x)] =1

m6= 0.

Con lo cual podermos formalizar el metodo de N-R modificado para la busqueda de racescon multiplicidad m > 1, por:

pn = pn1 1(pn1)

(pn1)

n 1p0 dado

pn = pn1 f(pn1)f (pn1)

[f(pn1)]2f(pn1)f (pn1)[f (pn1)]2

n 1p0 dado

entonces pn = pn1 f(pn1)f

(pn1)

[f(pn1)]2 f(pn1)f (pn1)

n 1p0 dado

Ejercicio: Compruebe lo propuesto en la tarea anterior.

20