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Clase 8: Teorıa Macrodinamica

Carlos Rojas Quiroz

Universidad Nacional de Ingenierıa

25 de octubre

Contenido

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Modelo NKE en niveles

Modelo NKE log-linealizado

Gali y Gertler (2007)

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I La clase anterior introducimos un modelo Neokeynesiano base,que constaba solo de 3 ecuaciones: Demanda Agregada,Oferta Agregada y una regla de Taylor (que puede ser optimao no).

I Tambien se explico las caracterısticas de una polıticamonetaria optima y sus implicancias macroeconomicas.

I En el dynare, pudimos realizar ejercicios de polıticas optimasde hasta tres tipos: bajo discrecion (discretionary policy),bajo compromiso (ramsey policy) y regla simple optima (osr)ademas de obtener la frontera de polıtica con un loop.

Clase de hoy

I Hoy ampliaremos el modelo resolviendo los problemas delconsumidor y de los productores de bienes finales eintermedios.

I Recordemos la clase donde introducimos competenciaimperfecta en un modelo RBC. Ahora, ademas de eso,implementaremos el mecanismo de Calvo para precios rıgidos.

I Presentaremos el modelo de forma no lineal y luegolog-linealizamos las ecuaciones. Hay un especial enfasis en laCurva de Phillips.

I El modelo solo incluye trabajo y no capital, para hacerlo deforma mas sencilla. Obviamente, luego lo ampliamos. Unmodelo basico neokeynesiano, ampliado con capital, seobserva en Galı y Gertler (2007).

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Modelo NKE en nivelesEl consumidor

Problema del consumidor:

maxCt ,Lt ,Mt ,Bt+1

∞∑t=0

βt

(C 1−σt

1− σ− ψ L1+η

t

1 + η+ θ

Mt

Pt

)(1)

Sujeto a la RP:

PtCt +Bt+1 +Mt −Mt−1 = WtLt + Πt −PtTt + (1 + it−1)Bt (2)

Note que la RP es equivalente a la que vimos en nuestra clasesobre MIU y CIA, claro esta que sin el capital.


CPO’s:[Ct ] : C−σt = λtPt (3)

[Lt ] : ψLηt = λtWt (4)

[Bt+1] : λt = βEtλt+1(1 + it) (5)

[Mt ] : θ1

Mt= λt − βEtλt+1 (6)


Condicion intertemporal del consumo (ecuaciones 3 y 5):

C−σt = βEtC−σt+1(1 + it)

Pt

Pt+1(7)

Condicion intratemporal del consumo (ecuaciones 3 y 4):

ψLηt = C−σt wt (8)

Demanda de dinero (ecuaciones 3, 5 y 6):

θ

(Mt

Pt

)−1

=it

1 + itC−σt (9)

Modelo NKE en nivelesProductor de bienes finales

El bien final es un compuesto de bienes intermedios:

Yt =

(∫ 1

0Y

ν−1ν

j ,t dj

) νν−1

(10)

Donde ν > 1. El problema de maximizacion de beneficios de lafirma de bienes finales es:

maxYj,t

Pt

(∫ 1

0Y

ν−1ν

j ,t dj

) νν−1

−∫ 1

0Pj ,tYj ,tdj (11)

Cuya condicion de primer orden es:

Ptν

ν − 1

(∫ 1

0Y

ν−1ν

j ,t dj

) νν−1−1

ν − 1

νY

ν−1ν−1

j ,t = Pj ,t (12)

Modelo NKE en nivelesProductor de bienes finales

Reordenando convenientemente la ecuacion 12 e incorporando laecuacion 10, logramos calcular la demanda relativa por el bienintermedio j-esimo.

Yj ,t =

(Pj ,t

Pt

)−νYt (13)

Ademas sabemos que el nivel de precios agregado se define ası:

Pt =

(∫ 1

0P1−νj ,t dj

) 11−ν

(14)

Modelo NKE en nivelesProductor de bienes intermedios

Produce bienes intermedios usando trabajo, de acuerdo a latecnologıa siguiente:

Yj ,t = ZtLj ,t (15)

Estas firmas minimizan su costo de produccion sujeto a sudemanda:

mınLj,t

WtLj ,t (16)

Sujeto a:

ZtLj ,t ≥(Pj ,t

Pt

)−νYt (17)


Lagrangiano de valor presente:

`t = WtLj ,t − ψj ,t

(ZtLj ,t −

(Pj ,t

Pt

)−νYt

)(18)

CPO:

ψj ,t =Wt

Zt= ψt (19)

Donde ψt se interpreta como el costo marginal, que es igual alsalario dividido por la productividad. Observe que el costo marginales comun a todas las firmas de bienes intermedios.


El beneficio (real) de una firma productora j-esima de bienesintermedios es:

Πj ,t

Pt=

Pj ,t

PtYj ,t −

Wt

PtLj ,t (20)

Reemplazando nuestra definicion de costo marginal:

Πj ,t

Pt=

Pj ,t

PtYj ,t −mctYj ,t (21)

Donde mct = ψt

Pt.


Se introduce mecanismo a la Calvo: las empresas de bienesintermedios no pueden fijar libremente sus precios optimos. Unporcentaje 1− φ de ellos ajusta su precio cada perıodo, mientrasque el porcentaje restante φ se mantiene con el precio del perıodoanterior. Entonces el productor de bienes intermediosmaximizara sus beneficios:

maxpj,t

Et

∞∑s=0

(βφ)sU ′(Ct+s)

U ′(Ct)

(Pj ,t

Pt+s

(Pj ,t

Pt+s

)−νYt+s

− mct+s

(Pj ,t

Pt+s

)−νYt+s

) (22)

Donde Mt+s = βs U′(Ct+s)U′(Ct)

es el factor de descuento estocastico.


La CPO es:

(1− ν)P−νj ,t Et

∞∑t=0

(βφ)sU ′(Ct+s)Pν−1t+s Yt+s+

νP−ν−1j ,t Et

∞∑t=0

(βφ)sU ′(Ct+s)mct+sPνt+sYt+s = 0

(23)

Despejando para Pj ,t :

Pj ,t =ν

ν − 1

Et∑∞

t=0(βφ)sU ′(Ct+s)mct+sPνt+sYt+s

Et∑∞

t=0(βφ)sU ′(Ct+s)Pν−1t+s Yt+s

(24)

El precio seleccionado por el productor de bienes intermedios encada perıodo no depende de j , en otras palabras, es el mismo paratodos los productores.


Las sumatorias nos molestan, por lo que podemos transformar laecuacion 24:

Pj ,t = P#t =

ν

ν − 1

X1,t

X2,t(25)

Donde:X1,t = U ′(Ct)mctP

νt Yt + φβEtX1,t+1 (26)

X2,t = U ′(Ct)Pν−1t Yt + φβEtX2,t+1 (27)

Observe que si φ = 0, es decir, hay flexibilidad total de precios,entonces:

Pj ,t = P#t =

ν

ν − 1ψt

Similar a lo que vimos en el capıtulo del RBC de dos sectores.

Modelo NKE en nivelesAgregacion

Por el lado de la polıtica fiscal:

0 = PtTt + Mt −Mt−1 (28)

En equilibrio B = 0 en todos los perıodos. Reemplazando ambascondiciones en la restriccion presupuestaria del consumidor,tenemos:

Ct = wtLt +Πt

Pt(29)


Donde ΠtPt

son los beneficios reales agregados obtenidos desde lasfirmas de bienes intermedios:

Πt

Pt=

∫ 1

0

(Pj ,t

PtYj ,t −

Wt

PtLj ,t

)dj (30)

Πt

Pt=

∫ 1

0

Pj ,t

PtYj ,tdj − wt

∫ 1

0Lj ,tdj (31)

Πt

Pt=

∫ 1

0

Pj ,t

PtYj ,tdj − wtLt (32)


Reemplazando la ecuacion 32 en la ecuacion 29 se llega a:

Ct =

∫ 1

0

Pj ,t

PtYj ,tdj (33)

Introduciendo la ecuacion 13 en la ecuacion 33:

Ct =

∫ 1

0P1−νj ,t Pν−1

t Ytdj (34)

Ct = Pν−1t Yt

∫ 1

0P1−νj ,t dj (35)

Teniendo en cuenta la ecuacion 14 se llega a:

Ct = Yt (36)


Trabajando sobre Yt :

Yj ,t =

(Pj ,t

Pt

)−νYt (37)

ZtLj ,t =

(Pj ,t

Pt

)−νYt (38)

Integrando sobre j :∫ 1

0ZtLj ,tdj =

∫ 1

0

(Pj ,t

Pt

)−νYtdj (39)

Zt

∫ 1

0Lj ,tdj = Yt

∫ 1

0

(Pj ,t

Pt

)−νdj (40)


Definimos:

ϑPt =

∫ 1

0

(Pj ,t

Pt

)−νdj (41)

Que es una medida de dispersion de precios. Luego:

Yt =ZtLt

ϑPt(42)

Finalmente, definimos el proceso para la PTF:

lnZt = (1− ρz)lnZ + ρz lnZt−1 + εZt (43)

Modelo NKE en nivelesResumen

C−σt = βC−σt+1(1 + it)Pt

Pt+1(44)


Mt

Pt= θ

(1 + itit

)Cσt (46)

mct =wt

Zt(47)

Ct = Yt (48)

Yt =ZtLtϑpt

(49)

ϑpt =

∫ 1

0

(Pj ,t

Pt

)−ν(50)

Modelo NKE en nivelesResumen

P1−νt =

∫ 1

0P1−νj ,t dj (51)

P#t =

ν

ν − 1

X1,t

X2,t(52)

X1,t = C−σt mctPνt Yt + φβX1,t+1 (53)

X2,t = C−σt Pν−1t Yt + φβX2,t+1 (54)


Modelo NKE en nivelesReescribiendo las condiciones de equilibrio

Note que aun no podemos incorporar estas ecuaciones en elDynare por dos razones:

I No hemos lidiado con la heterogeneidad del modelo(productores de bienes intermedios), pues todavıa aparecenvariables que dependen de j .

I El nivel de precios y los saldos nominales son variables noestacionarias. Debemos transformarlas en inflacion y saldosreales, respectivamente.


Lidiar con el segundo punto es relativamente sencillo. Por ejemplo,la ecuacion 44 se convierte en:

C−σt = βC−σt+1

(1 + it

1 + πt+1

)(56)

En tanto, la ecuacion 46 se transforma ası:

mt = θ

(1 + itit

)Cσt (57)


Para hacer frente a la heterogeneidad de las firmas de bienesintermedios procedemos del siguiente modo para la expresion delnivel de precios agregado:

P1−νt =

∫ 1

0P1−νj ,t dj (58)

Sabemos que un porcentaje (1− φ) de firmas actualiza sus precios,

imponiendo P#t , mientras que la otra parte utiliza el nivel de

precios del perıodo anterior:

P1−νt =

∫ 1−φ

0

(P#t

)1−νdj +

∫ 1

1−φP1−νj ,t−1dj (59)

P1−νt = (1− φ)

(P#t

)1−ν+

∫ 1

1−φP1−νj ,t−1dj (60)


Debido a que las firmas que actualizan sus precios son elegidas deforma aleatoria y debido a que hay un gran numero de firmasproductoras de bienes intermedios, podemos hacer lo siguiente:∫ 1

1−φP1−νj ,t−1dj = φ

∫ 1

0P1−νj ,t−1dj = φP1−ν

t−1 (61)

P1−νt = (1− φ)

(P#t

)1−ν+ φP1−ν

t−1 (62)

Ya eliminamos la heterogeneidad, nos falta convertir la ultimaexpresion en terminos de inflacion dividiendo la ecuacion por P1−ν

t−1 :

(1 + πt)1−ν = (1− φ)(1 + π#

t )1−ν + φ (63)


Ahora lidiamos con la expresion para la dispersion de precios:

ϑPt =

∫ 1−φ

0

(P#t

Pt

)−νdj +

∫ 1

1−φ

(Pj ,t−1

Pt

)−νdj (64)

Para transformar esta expresion en terminos de inflacion,multiplicamos y dividimos por Pt−1 convenientemente:

ϑPt =

∫ 1−φ

0

(P#t

Pt−1

)−ν (Pt−1

Pt

)−νdj+

∫ 1

1−φ

(Pj ,t−1

Pt

)−ν (Pt−1

Pt

)−νdj

(65)


ϑPt = (1− φ)(1 + π#t )−ν(1 + πt)

ν + (1 + πt)ν

∫ 1

1−φ

(Pj ,t−1

Pt

)−νdj

(66)

ϑPt = (1− φ)(1 + π#t )−ν(1 + πt)

ν + (1 + πt)νφϑPt−1 (67)

Donde ya eliminar la heterogenedad en la expresion de la dispersionde precios. Para el caso de las variables auxiliares, X1,t y X2,t , lasajustamos de la siguiente manera:

x1,t ≡X1,t

Pνt(68)

x2,t ≡X2,t

Pν−1t

(69)


Con ello se tendrıa:

x1,t = C−σt mctYt + φβEt(1 + πt+1)νx1,t+1 (70)

x2,t = C−σt Yt + φβEt(1 + πt+1)ν−1x2,t+1 (71)

Lo que implica que la ecuacion sobre P#t tambien cambia:

1 + π#t =

ν

ν − 1(1 + πt)

x1,t

x2,t(72)

Modelo NKE en nivelesResumen: Reescribiendo las condiciones de equilibrio

C−σt = βC−σt+1

(1 + it

1 + πt+1

)(73)


mt = θ

(1 + itit

)Cσt (75)

mct =wt

Zt(76)

Ct = Yt (77)

Yt =ZtLtϑpt

(78)

ϑPt = (1− φ)(1 + π#t )−ν(1 + πt)

ν + (1 + πt)νφϑPt−1 (79)

Modelo NKE en nivelesResumen: Reescribiendo las condiciones de equilibrio

(1 + πt)(1−ν) = (1− φ)(1 + π#

t )1−ν + φ (80)

1 + π#t =

ν

ν − 1(1 + πt)

x1,t

x2,t(81)

x1,t = C−σt mctYt + φβ(1 + πt+1)νx1,t+1 (82)

x2,t = C−σt Yt + φβ(1 + πt+1)ν−1x2,t+1 (83)


Estado Estacionario

i =(1 + π)

β− 1 (85)

π# =

((1 + π)1−ν − φ

1− φ

) 11−ν

− 1 (86)

mc =(1 + π#)

1 + π

ν − 1

ν

(1− φβ(1 + π))ν

1− φβ(1 + π)ν−1(87)

w = mc × z (88)

ϑP =(1− φ)(1 + π#)−ν(1 + π)ν

(1− (1 + π)νφ)(89)

L =

((ϑP

z

)σw

ψ

) 1η+σ

(90)

Estado Estacionario

Y =Z × L

ϑP(91)

C = Y (92)

x1 =C−σ ×mc × Y

1− φβ(1 + π)ν(93)

x2 =C−σ × Y

1− φβ(1 + π)ν−1(94)

m = θCσ(1 + i)

i(95)

El equilibrio de precios flexibles

Definiciones:

I Producto natural o de pleno empleo: aquel compatible con unequilibrio de precios flexibles.

I Producto eficiente: sigue al concepto de locacion eficiente derecursos. Cuando se cumple P = mc .

En los modelos RBC que hemos estudiado, el PBI siempre eranatural o de pleno empleo pero no necesariamente eficiente(modelo de dos sectores). En los modelos NKE, el PBI no es el depleno empleo y tampoco es el eficiente.

Sirve para obtener la brecha de producto. Se cumple cuando φ = 0


I Si φ = 0, entonces, de la ecuacion 80 se llega a:

πt = π#t (96)

I Con ello, la ecuacion 79 implica que:

ϑf ,p = 1 (97)

I Esto quiere decir que todas las firmas “escogen” el mismoprecio cada perıodo y la dispersion de precios es lo mınimoposible.

I De la ecuacion 81 se llega ax1,t

x2,t= ν−1

ν , por lo que, si

dividimos las ecuaciones 82 y 83 se llega a:

mc ft =ν − 1

ν→ w f

t =ν − 1

νZt (98)


I Reemplazando la ultima ecuacion en la ecuacion 74 llegamosa:

ψ(Lft

)η=(Y ft

)−σ ν − 1

νZt (99)

I Teniendo en cuenta que Y ft =t L

ft , la expresion se transforma

en lo siguiente:

Lft =

(1

ψ

ν − 1

νZ 1−σt

) 1σ+η

(100)

I Lo que implica que el producto de pleno empleo (equilibrio deprecios flexibles) es:

Y ft =

(1

ψ

ν − 1

ν

) 1σ+η

Z1+ησ+ηt (101)

Polıtica monetariaLa regla de Taylor

Para cerrar el modelo nos falta definir el comportamientomonetario. Suponemos que el banco central maneja la tasa deinteres nominal mediante una regla de Taylor del siguiente tipo:

iti

=

(it−1

i

)ρi ((Xt

X

)φY (πtπ

)φπ)(1−ρi )

Mont (102)

Donde Mont es una sorpresa inflacionaria que sigue un procesoAR(1):

lnMont = (1− ρmon)lnMon + ρmonlnMont−1 + εMont (103)

Y, ademas, definimos Xt = Yt

Y ft

como la brecha de producto.

Funciones Impulso RespuestaChoque de productividad

Funciones Impulso RespuestaChoque de polıtica monetaria

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I Modelos de mediana escala con una curva de Phillipsneokeynesiana son mas complicados de incluir en el Dynarecuando se encuentran en niveles.

I Observe que se requieren alrededor de 5 ecuaciones paracaracterizarla, sin contar que el Estado Estacionario es mascomplejo.

I Podemos reducir esta complejidad introduciendo el modelolog-linealizado manualmente.

I En el transcurso de la semana publicare en la pagina web lademostracion de la obtencion de la CP (y de todo el modelo)log-lineal.


model ( l i n e a r ) ;c = −1/sigma ∗( inom−p i c (+1) ) + c (+1) ;w = e t a ∗ l a b + (1/ sigma ) ∗c ;y = z + l a b ;p i c = beta∗ p i c (+1) + (1− p h i )∗(1− p h i ∗beta ) / p h i ∗mc ;mc = w − z ;inom= r h o i ∗ inom (−1)+(1− r h o i ) ∗( p h i p i c ∗ p i c + p h i y∗y ) + pm ;

m =sigma ∗c−beta∗ inom ;y = c ;z = r h o z ∗ z (−1) + e z ;pm = rho pm∗pm(−1) + e pm ;end ;

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Modelo canonico de Galı y Gertler

I Modelo base ampliado para la inclusion de capital fısico.

I Se presenta ecuaciones log-linealizadas.

I El modelo se calibra con parametros estandar para luegorealizar ejercicios contrafactuales.

I En el modelo la polıtica monetaria puede influir en ladesviacion de la actividad economica respecto a su nivelnatural.

I Otra caracterıstica del modelo: el nivel natural de actividadeconomica esta por debajo del nivel eficiente desde el puntode vista social.

Demanda Agregada

I Toma en cuenta decisiones del consumidor y de una empresarepresentativa. Mercados de capital y financieros perfectos.

yt = −γcσrr lt︸︷︷︸Brecha de consumo

+ γiηqt︸︷︷︸Brecha de inversion

(104)

I Hogares satisfacen ecuacion intertemporal de Euler mientrasque la empresa satisface la condicion optimizadora de lainverson, variandola en forma proporcional a la q de Tobin.

I Ahora son importantes las expectativas sobre el valor futurode la tasa de interes a corto plazo, ya que influyen en las tasasde interes a corto plazo y en los precios de los activos.

Demanda Agregada

I Definimos la tasa de interes real de corto plazo:

rr t ≡ (rt − Etπt+1)− rrnt (105)

I Tanto la tasa de interes real de largo plazo como la “q” deTobin dependen de la tasa de interes real de corto plazoobservada y de sus valores previstos.

I Al modificar la tasa de interes nominal a corto plazo el bancocentral puede influir en la tasa de interes real a corto plazoreal y, por ende, en la brecha de la tasa de interes real,afectando las condiciones de polıtica actuales y previstas.

Oferta agregada

I A partir de decisiones de empresas individuales que fijan losprecios.

I Siguen esquema escalonado de Taylor.

πt = βEtπt+1 + κyt + ut (106)

I Si precios fueran flexibles entonces el precio fijado esproporcional al costo marginal.

I Las rigideces del precio nominal permiten que el productofluctue alrededor de su nivel natural.

I ut es un cost-push shock.

I La capacidad del banco central para contener la inflaciondepende no solo de la orientacion de sus polıticas en unmomento dado, sino tambien de la orientacion que el sectorprivado percibe que se adoptara en el futuro.

Polıtica monetaria

I En cada perıodo el banco central fija una meta para la tasa deinteres a corto plazo en funcion de las condiciones economicas.

I Para lograr dicha tasa, el banco central ajusta la masamonetaria, u oferta de dinero, de acuerdo con la cantidad dedinero demandada a esta tasa de interes.

r τt = rrnt + φππt + φy yt (107)

I Se cumple φπ > 1 y φy > 0.

I Para captar la tendencia de los bancos centrales a suavizar lastasas de interes se anade un componente de rezago.

rt = (1− ρ)r τt + ρrt−1 (108)

Simulaciones

Se simulan dos escenarios:

1. La importancia de gestionar las expectativas sobre las polıticasfuturas: mejor gestion de expectativas, mayor facilidad pararesolver la disyuntiva entre la inflacion y el producto.

2. La necesidad de seguir los movimientos del equilibrio naturalde la economıa.

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