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Clase 4: Teorıa Macrodinamica

Carlos Rojas Quiroz

Universidad Nacional de Ingenierıa

20 de setiembre

Contenido

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Costos de ajusteCosto de ajuste al capitalCosto de ajuste a la inversion

Progreso tecnologico especıfico a la inversion

Trabajo indivisible

Economıa abierta

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I La clase pasada variamos en algunas dimensiones el modeloRBC basico:

1. Cambios en la funcion de utilidad.2. Incorporacion de rigideces reales como habitos de consumo y

ratio de uso de capital.

I Hoy incorporaremos costos de ajuste al capital y a la inversion,anadiremos un choque especıfico a la inversion, adicionaremosdinero en el modelo y finalmente abriremos la economıa.

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Trabajo indivisible

Economıa abierta

Costo de ajuste

I Ante una determinada perturbacion, los agentes puedenalterar sus decisiones de inversion de forma que el capitalobtenido sea el optimo en cada perıodo.

I Pero modificar los planes de inversion tiene, implıcitamente,un costo que genera rigideces en el proceso de acumulacion decapital.

I Es decir, que ante un choque el proceso de acumulacion decapital va a ser mas gradual.

I Dos posibilidades tecnicas: costos de ajuste al capital o costosde ajuste a la inversion.

Costo de ajuste al capital

I Hasta el momento hemos supuesto que el precio de los bienesde capital relativo al de los bienes de consumo (qt) es 1, loque significa que el valor de la firma es igual al valor del stockde capital fısico.

I Introducimos costos de ajuste del stock de capital convexos.

I Existe un costo al variar el capital, lo que implica que ahoraq 6= 1.


I Definimos el costo de ajuste del capital como una funcion:

ψ(·) = ψ

(ItKt

)(1)

I El costo de ajuste depende del volumen de inversion respectoal stock de capital instalado. Esta funcion cumple con:ψ(δ) = 0, ψ′(δ) > 0 y ψ′′(δ) > 0.

I Usaremos la siguiente forma funcional cuadratica para ψ(·):

ψ(·) =ψ

2

(ItKt− δ)2

Kt (2)

I Dos puntos importantes: (i) el costo esta denominado enunidades de capital fısico actual y (ii) es simetrico.


Problema de maximizacion del consumidor:

max{Ct ,Lt ,Kt+1,It}∞t=0

Vt = Et

∞∑t=0

βt(θlog(Ct) + (1− θ)log(1− Lt)) (3)

Sujeto a:Ct + It = WtLt + (rt + δ)Kt (4)

Kt+1 = It −ψ

2

(ItKt− δ)2

Kt + (1− δ)Kt (5)


El lagrangiano de valor presente:

`t = Et

∞∑t=0

βt [θlog(Ct) + (1− θ)log(1− Lt) + ...

λt((rt + δ)Kt + WtLt − Ct − It − Tt) + ...

µt

(It −

ψ

2

(ItKt− δ)2

Kt + (1− δ)Kt − Kt+1

)] (6)


CPO’s:

[Ct ] :1

Ct= λt (7)

[Lt ] :1− θ1− Lt

= λtWt (8)

[Kt+1] :

µt = βEt

[(rt+1 + δ)λt+1 − µt+1

ψ

2

(It+1

Kt+1− δ)2

+

µt+1ψ

(It+1

Kt+1− δ)

It+1

Kt+1+ µt+1(1− δ)

] (9)

[It ] : λt = µt

(1− ψ

(ItKt− δ))

(10)


Definiendo qt = µtλt

, tenemos:

qt =

(1− ψ

(ItKt− δ))−1

(11)

Esta ecuacion establece que mientras mayor sea el ratio ItKt

respecto a δ, mayor es qt .

qt = βEtCt

Ct+1[(rt+1 + δ)+

qt+1

((1− δ) + ψ

(It+1

Kt+1− δ)

It+1

Kt+1− ψ

2

(It+1

Kt+1− δ))] (12)

La ecuacion muestra que qt es el valor descontado del productomarginal futuro del capital, de los costos de ajuste futuros y delprecio del capital futuro, qt+1, donde el descuento se realizamediante el factor de descuento estocastico βEt

CtCt+1

.


Interpretacion de qt : es la utilidad marginal de invertir unaunidad adicional de capital respecto a la utilidad marginal deconsumir una unidad adicional. Por tanto, qt mide a cuantoconsumo renuncias para obtener capital extra futuro o, en otraspalabras, es el precio relativo del capital en terminos de consumo.Si ψ = 0 entonces qt = 1 o λt = µt .


Figura 1: IRF, choque de productividad

¡No olvide interpretar los resultados!


Figura 2: IRF, choque de gasto publico


Costo de ajuste a la inversion

I Basado en [Christiano et al., 2005].

I Hay un costo por “mover” inversion, en el sentido que : (i) elcosto de ajuste es medido en terminos de unidades deinversion y (ii) el costo de ajuste no depende del tamano de lainversion respecto al stock de capital, sino de la tasa decrecimiento de la inversion.

I La forma funcional general es:

ψ(·) = ψ

(ItIt−1

)(13)

Donde ψ(1) = 0, ψ′(1) > 0 y ψ′′(1) > 0.

I La forma especıfica a utilizar es:

ψ(·) =ψ

2

(ItIt−1− 1

)2

It (14)



max{Ct ,Lt ,Kt+1,It}∞t=0

Vt = Et

∞∑t=0

βt(θlog(Ct) + (1− θ)log(1−Lt)) (15)


Kt+1 =

[1− ψ

2

(ItKt− δ)2]It + (1− δ)Kt (17)


El lagrangiano de valor presente:

`t = Et

∞∑t=0

βt [θlog(Ct) + (1− θ)log(1− Lt) + ...

λt((rt + δ)Kt + WtLt − Ct − It − Tt) + ...

µt

([1− ψ

2

(ItIt−1− 1

)2]It + (1− δ)Kt − Kt+1

)] (18)


CPO’s:

[Ct ] : λt =θ

Ct(19)

[Lt ] :1− θ1− Lt

= λtWt (20)

[Kt+1] : µt = βEt(λt+1(rt+1 + δ) + µt+1(1− δ)) (21)

[It ] :

λt = µt

(1− ψ

2

(ItIt−1− 1

)2

− ψ(

ItIt−1− 1

)ItIt−1

)+

βEtµt+1ψ

(It+1

It− 1

)(It+1

It

)2

(22)


Definiendo qt = µtλt

, tenemos:

qt = βEtCt

Ct+1((rt+1 + δ) + (1− δ)qt+1) (23)

Ahora la ecuacion de la “q” de Tobin es mas simple: qt es el valorpresente descontado de la renta del capital neto de depreciacion.

1 = qt

(1− ψ

2

(ItIt−1− 1

)2

− ψ(

ItIt−1− 1

)ItIt−1

)+

βEtCt

Ct+1qt+1ψ

(It+1

It− 1

)(It+1

It

)2(24)

Si It es mayor a su estado estacionario, entonces, qt sera mayor a 1.

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Trabajo indivisible

Economıa abierta


I Tambien llamado choque a la eficiencia marginal de lainversion (EMI). Muy utilizado en modelos DSGE actuales. Esmas, en [Justiniano et al., 2010] y [Justiniano et al., 2011] seencuentra que estos choques son importantes determinantesde los ciclos economicos del PBI en Estados Unidos.

I Este choque hace mas productivo la transformacion de lainversion en nuevo capital fısico (de manera analoga a comoun choque de productividad hace mas productivo latransformacion de capital y trabajo en producto).

I Ahora, en la ecuacion de evolucion del capital fısico se tiene:

Kt+1 = ItZIt − (1− δ)Kt (25)

I Un aumento de Z It aumenta Kt+1 para una cantidad dada de

It .

I Se puede considerar como una proxy de la salud del sistemafinanciero.



max{Ct ,Lt ,Kt+1}∞t=0

Vt = Et

∞∑t=0

βt(θlog(Ct) + (1− θ)log(1− Lt)) (26)


Kt+1 = Z It It + (1− δ)Kt (28)


El lagrangiano de valor presente es:

`t = Et

∞∑t=0

βt [θlog(Ct) + (1− θ)log(1− Lt) + ...

λt

((rt + δ)Kt + WtLt − Ct −

Kt+1

Z It

+ (1− δ)Kt

Z It

− Tt

)] (29)


CPO’s:

[Ct ] : λt =θ

Ct(30)

[Lt ] :1− θ1− Lt

= λtWt (31)

[Kt+1] : −λtZ It

+ βλt+1

((rt+1 + δ) +

(1− δ)

Z It+1

)= 0 (32)


Tomando en cuenta las CPO’s, la ecuacion de Euler sera:

1

Ct= β

Z It

Z It+1

1

Ct+1((rt+1 + δ)Z I

t+1 + (1− δ)) (33)

Las demas ecuaciones del modelo (empresarios y la condicionintratemporal del consumo) son las mismas que el modelo baseRBC. Ademas el EE no varıa dado que Z I = 1 en estadoestacionario.


Ahora hay dos choques de tecnologıa en nuestro modelo: Zt y Z It .

Podemos suponer que existe algun tipo de relacion entre ambasperturbaciones, por lo que ya no serıan independientes.Supongamos que la covarianza entre ambas es igual a 0,5, luego enla matriz de varianzas-covarianzas:

Σ =

1 0,5 00,5 1 00 0 1

(34)

Para que los choques sea independientes, los ortogonalizamosmediante la descomposicion de Cholesky.


La descomposicion la hace el Matlab. Para incorporar ello ennuestro modelo debemos tener en cuenta que el Dynare utiliza lamatriz triangular superior de la descomposicion. El orden de loschoques dependera del orden como “llamemos’ a los procesosexogenos en la declaratoria de variables inicial:

v a r e x o e z i e z e g ;

Ademas, necesitamos escribir lo siguiente al momento de definir loschoques:

s h o c k s ;v a r e z i ; s t d e r r 1 ;v a r e z ; s t d e r r 1 ;v a r e g ; s t d e r r 1 ;v a r e z i , e z = 0 . 5 0 ;end ;

Progreso tecnologico especıfico a la inversionCon ello estamos modelando una economıa en la que el progresotecnologico “agregado” afecta al progreso tecnologico especıfico ala inversion, pero no al reves. En tanto, el choque de gasto publicoes independiente de los otros dos: Z I

t

Zt

Gt

=

1 0,5 00 0,866 00 0 1

Z It−1

Zt−1

Gt−1

+

εZItεZtεGt

(35)

Simularemos tres modelos bajo un choque de productividadagregada:

I Cuando la covarianza entre ambos choques tecnologicos es 0(modelo A)

I Cuando la covarianza entre ambos choques tecnologicos es0,5 (modelo B)

I Cuando la covarianza entre ambos choques tecnologicos es0,95 (modelo C)


Figura 5: IRF, choque de productividad especıfica a la inversion



Figura 6: IRF, choque de productividad agregada


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Economıa abierta

Trabajo indivisible

I Hasta ahora las fluctuaciones del empleo provienen del margenintensivo (¿Cuantas horas trabajar?) antes que del margenextensivo (¿Trabajo o no trabajo?).

I El numero de horas de trabajo promedio es, de formaagregada, relativamente constante. Lo que hace variar altrabajo es la decision de trabajar o no.

I Hogares enfrentan dos decisiones: 1) trabajar o no y 2)condicional a decidir por trabajar, cuanto ofrecer de trabajo.

I [Hansen, 1985] y [Rogerson, 1988] lidian con este problema enun modelo donde hay una “loterıa” en la oferta de trabajo delos hogares.

Trabajo indivisible

I Sea la funcion de utilidad instantanea:

Ut = θlog(Ct) + (1− θ)(1− Lt)

(1−ς) − 1

1− ς(36)

I Sabemos que si ς → 1, entonces volvemos a la funcionlogarıtmica en los dos argumentos. Al parametro ς tambien sele conoce como la inversa de la elasticidad de Frisch1. Dada lafuncion de utilidad, esta elasticidad es: (ςγ)−1, dondeγ = L

1−L .

1Mide la elasticidad del empleo al salario real, ceteris paribus la utilidadmarginal de la riqueza. Se calcula ası: EF = UL/(L(ULL − U2

LC/UCC )).

Trabajo indivisibleLoterıa

I El hogar decide si trabajar o no. Si trabajan , ellos ofrecen unacantidad fija 0 < L < 1 que puede interpretarse como unarestriccion tecnologica.

I En cada perıodo la probabilidad de trabajar es 0 < τt < 1. Elhogar puede elegir la probabilidad de trabajar pero no cuantotrabaja si decide hacerlo.

I Hay una especie de “seguro de desempleo” para todos loshogares, lo que permite evitar no convexidades.

Trabajo indivisibleLoterıa

I El trabajo ofrecido esperado por el hogar que decide trabajares : Lt = τt L. Ademas tienen identico consumo (caracterısticagenerada por el supuesto implıcito de prevision perfecta masla separabilidad entre consumo-ocio).

I La utilidad instantanea ahora es:

Ut = θlnCt+τt(1−θ)(1− L)(1−ς) − 1

1− ς+(1−τt)(1−θ)

(1)(1−ς) − 1

1− ς(37)

Trabajo indivisible

Reemplazando τt del valor esperado de la oferta de trabajo:

Ut = θlnCt +Lt

L(1− θ)

(1− L)(1−ς) − 1

1− ς(38)

Definimos la constante B como:

B =(1− θ)

L

(1− L)(1−ς) − 1

1− ς(39)

Por lo que la nueva funcion de utilidad es escrita de la siguientemanera:

Ut = θlog(Ct) + BLt (40)

Trabajo indivisible

Programa de maximizacion de los consumidores:

maxCt ,Kt+1,Lt

Et

∞∑t=0

βt(θlogCt + BLt) (41)

Sujeto a:

Ct + Kt+1 − (1− δ)Kt + Gt = WtLt + (rt + δ)Kt (42)

CPO’s:

[Ct ] :θ

Ct− λt = 0 (43)

[Lt ] : B + λtWt = 0 (44)

[Kt+1] : −βtλt + βt+1λt+1(1 + rt+1) = 0 (45)

Trabajo indivisible

Las demas CPO’s (por el lado de la firma) no sufren ningunaalteracion. En el Estado Estacionario, debemos tener en cuenta alnuevo parametro B:

B = −θWC

(46)

En tanto, se fija el valor de L = 0,3834, de acuerdo a lo obtenidoen el modelo base, con el fin de poder hacer comparaciones entremodelos.

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Economıa abierta

Economıa abierta

I Modelos RBC de economıa pequena y abierta (SOE) incluyenpor lo general un activo internacional libre de riesgo que loshogares pueden obtener sin que hayan presiones sobre la tasade interes externa.

I Ello genera, principalmente, dos dificultades tecnicas:

1. En la economıa hay dos activos (Kt y Dt) que dan el mismoretorno, por lo que -en ausencia de cualquier costo detransaccion entre ellos- su demanda esta indeterminada.

2. Se generan multiples estados estacionarios: diferentes nivelesde activos internacionales generan diferentes estadosestacionarios.

Economıa abierta

I Para lidiar con el primer problema se anade un costo de ajusteal capital -distinto a lo mostrado lıneas arriba, aunquemantiene la misma logica- con el fin de que se determine laeleccion entre capital y el activo internacional.

I Para solucionar el segundo punto se asume que la tasa deinteres internacional crece conforme la deuda aumenta.

Economıa abiertaProblema del consumidor:

maxCt ,Kt+1,Lt ,Dt

Et

∞∑t=0

βt(θlogCt + BLt) (47)

Sujeto a:

Ct + Kt+1 +κ

2(Kt+1 − Kt)

2 − (1− δ)Kt + Dt =

WtLt + (rt + δ)Kt + (1 + r ft )Dt−1

(48)

Recordemos que rt + δ es el costo de uso del capital, en tanto quer ft

2 es el retorno neto real del activo internacional, que es Dt . Ojo:Si Dt es negativo entonces es pasivo internacional. Tambienintroducimos una restriccion adicional para evitar juegos a la Ponzi:

lımt→∞

Dt

(1 + r ft )t= lım

t→∞)βtDt = 0 (49)

2En estado estacionario se cumple que r f = 1/β − 1.

Economıa abierta

CPO’s:

[Ct ] :1

Ct− λt = 0 (50)

[Lt ] : B + λtWt = 0 (51)

[Kt+1] :−βtλt(1 + κ(Kt+1 − Kt))+

βt+1λt+1(1 + rt+1 + κ(Kt+2 − kt+1)) = 0(52)

[Dt ] : −βtλt + βt+1λt+1(1 + r ft ) = 0 (53)

Ademas:

lımt→∞

Dt

(1 + r ft )t= 0 (54)

Economıa abierta

Con ello, las ecuaciones que rigen la dinamica del modelo (por lomenos por el lado del consumidor) son:

B = −θWt

Ct(55)

1

Ct= β

1

Ct+1(1 + r ft ) (56)

1

β(1 + κ(Kt+1 − Kt)) =

Ct

Ct+1[1 + rt+1 + κ(Kt+2 − Kt+1)] (57)

Dt +Kt+1 +Ct = WtLt +(1+rt)Kt−κ

2(Kt+1−Kt)

2 +(1+r ft )Dt−1

(58)

Economıa abierta

Falta definir r ft :r ft = r∗ − %Dt (59)

Esto implica que un paıs que acumula deuda (negativo del activointernacional agregado Dt) debe pagar una mayor tasa de interes.El parametro % > 0 es la elasticidad de la tasa de interes a laposicion internacional de la economıa.

¿Por que en nuestro modelo no aparece la polıtica fiscal?

Economıa abiertaModelo IS-LM con tipo de cambio flexible y perfecta movilidad de capitales

Figura 9: Incremento del Gasto Publico

Y

r = i = i∗

Y

e

AB

A′

B′

IS0 IS1

LM0 IS∗0 IS∗1LM∗0

i∗

Y0

e0

Y0

e1

Economıa abierta

Problema del productor: no se ha variado el programa demaximizacion de beneficios, por lo que las CPO’s siguen siendo lasmismas:

Yt = ZtLαt K

1−αt (60)

Wt = αYt

Lt(61)

rt = (1− α)Yt

Kt− δ (62)

Lo mismo sucede con el Estado Estacionario (del modelo deindivisible labor), salvo que ahora se tiene un valor de EE adicional:

D =r∗ + 1− 1

β

%(63)

Economıa abierta



Referencias

Christiano, L. J., Eichenbaum, M., and Evans, C. L. (2005).Nominal rigidities and the dynamic effects of a shock tomonetary policy.Journal of Political Economy, 113(1):1–45.

Hansen, G. D. (1985).Indivisible labor and the business cycle.Journal of Monetary Economics, 16(3):309–327.

Justiniano, A., Primiceri, G. E., and Tambalotti, A. (2010).Investment shocks and business cycles.Journal of Monetary Economics, 57(2):132–145.

Justiniano, A., Primiceri, G. E., and Tambalotti, A. (2011).Investment shocks and the relative price of investment.Review of Economic Dynamics, 14(1):102–121.

Rogerson, R. (1988).Indivisible labor, lotteries and equilibrium.Journal of Monetary Economics, 21(1):3–16.

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