1

CLASE 3 – MÓDULO II

En esta clase nos proponemos conocer el conjunto de los números

racionales, identificar las distintas maneras de expresar los números que

lo forman y conocer los procedimientos que permiten ordenar sus

elementos.

¿Cómo citar esta clase?

Programa Oportunid@des, Dirección de Educación de Jóvenes y Adultos,

Consejo General de Educación de Entre Ríos, 2018. Matemática, Clase 3,

Módulo II.

2

Hasta ahora hemos trabajado con números que usamos para contar, para decir

nuestra edad, o para ubicarnos en relación a un punto de referencia con valores

positivos o negativos. Pero en la vida de todos los días usamos otros números,

decimos medio (1

2) kilo de pan, mi estatura es de 1,65m, el precio de un producto

es de $17,50. Estos números que expresamos con coma o como fracción son

elementos del conjunto de los Números Racionales al que simbolizamos con 𝑄.

Este conjunto está formado por los enteros y las fracciones. Todas las fracciones

se pueden escribir como expresión decimal.

2 −3

2= −1,5 −27

1

3= 0.333 …

Existen algunos números que no se pueden expresar como fracción, por ello no

son racionales, y los estudiaremos más adelante.

Las fracciones son parte de nuestra vida de todos los días y verás que resulta

sencillo entender de qué se trata mirando el siguiente video.

Hacé control + clic sobre la imagen para seguir el vínculo.

FRACCIONES

NÚMEROS RACIONALES

3

Cuando hablamos de una sola cosa hacemos referencia a la unidad.

También podemos tomar un conjunto de cosas como unidad.

Cuando dividimos una unidad en partes iguales, hablamos de fracción.

4

Cada una de las partes iguales en que dividimos la torta es un sexto(𝟏

𝟔)de la torta

y cada parte en la que dividimos la caja de huevos es un cuarto(1

4)de la caja.

Una fracción tiene dos partes, el numerador que se escribe arriba de la raya

fraccionaria y el denominador, debajo:

El denominador indica la cantidad de partes iguales en que se ha dividido la

unidad y el numerador, cuántas de estas partes se toman.

Las fracciones también pueden ser negativas, en ese caso el signo menos se

coloca a la altura de la raya de fracción o en el numerador.

Por ejemplo:

−2

3= −

2

3

Observa el siguiente cuadro que te permite conocer algunas fracciones y cómo se

leen.

5

Si el numerador es mayor que el denominador como en 5

2 , la fracción se llama

fracción impropia y se puede escribir como número mixto 21

2 .

Fracción Parte de la

unidad

Cómo se lee

1

2

Un medio

2

3

Dos tercios

3

4

Tres cuartos

2

5

Dos quintos.

5

12

Cinco doceavos.

5

2 ó 2

1

2

Cinco medios o

dos enteros y un medio.

Cuando el

denominador

es un número

mayor que 10

se agrega la

terminación

avos al

nombre del

número.

6

Todas las fracciones tienen una expresión decimal equivalente. Por ser

equivalentes, así como las fracciones se pueden convertir en expresiones

decimales también las expresiones decimales se pueden expresar como

fracciones.

Si dividimos el numerado entre el denominador de una fracción, obtenemos la

expresión decimal que le corresponde. denominador.

En algunos casos al hacer la división obtenemos resto cero y diremos que la

expresión decimal obtenida es exacta.

A veces la división no tiene resto cero y se siguen repitiendo las mismas cifras

en el cociente infinitamente. En esos casos decimos que la expresión decimal es

periódica.

Si la parte decimal está formada solo por las cifras que se repiten (el período)

decimos que es una expresión decimal periódica pura.

En cambio, si en la parte decimal hay cifras no periódicas a la izquierda del

período se trata de una expresión decimal periódica mixta.

Fracción Expresión decimal Tipo de expresión decimal 1

2

1:2 = 0,5

Expresión decimal exacta.

−12

5

-12:5 = -2,4

Expresión decimal exacta.

2

3

2: 3 = 0,666666 … = 0, 6̂

Expresión decimal periódica pura. En este caso el periodo es 6.

2

15

2: 15 = 0,133333 … = 0,13̂

Expresión decimal periódica mixta. La parte decimal no periódica es 1 y el periodo es 3.

FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES

7

Ya vimos en el primer video de esta clase el concepto de fracciones

equivalentes, pero es necesario encontrar un método numérico que permita

obtenerlas. Aquí te lo presento:

Fracciones equivalentes son las fracciones que representan la misma cantidad.

Observa:

Si en una fracción multiplicamos el numerador y el denominador por el mismo

número se obtiene una fracción equivalente. Esta forma de obtener fracciones

equivalentes se llama amplificación.

3

4

6

8

En ambos casos se pintó

la misma parte del entero,

eso quiere decir que

3

4 y

6

8 son fracciones

equivalentes.

3

4=

3.2

4.2=

6

8

3

4=

6

8

FRACCIONES EQUIVALENTES

8

En este otro caso:

Observa:

Si dividimos por el mismo número el numerador y el

denominador de una fracción obtenemos una fracción

equivalente por simplificación.

Fracción irreducible: es aquella que no se puede simplificar.

3

6

1

2

3

6 y

1

2 son fracciones

equivalentes, está pintada la

misma parte del entero.

3

6=

3: 3

6: 3=

1

2

3

6=

1

2

9

ACTIVIDAD 1 OBLIGATORIA PARA ENTREGAR AL TUTOR

1. Completa la tabla

Gráfico Fracción Cómo se lee

Tres quintos

Siete tercios

2

7

9

5

7

20

Veinticinco centésimos

2. Expresa las siguientes fracciones en forma decimal e indica el tipo de

expresión decimal obtenida en cada caso. (Puedes usar calculadora)

10

Fracción Expresión decimal Tipo de expresión decimal

5

7

3

12

8

3

9

18

11

30

2

45

3. Escribe tres fracciones equivalentes a cada una de las dadas, si es posible, una

de ellas que sea por simplificación:

𝑎) 3

2= 𝑑)

8

24=

𝑏)11

3= 𝑒)

5

6=

𝑐) 5

3= 𝑓)

9

45=

4. Simplifica las siguientes fracciones hasta obtener una fracción irreducible.

𝑎) 15

40=

𝑏) −24

100= 𝑐)

20

120=

𝑑) 18

81=

𝑒) −50

45= 𝑓)

−32

1000=

𝑔)45

250=

ℎ) 18

90= 𝑖)

50

250=

11

En muchas situaciones es importante que las fracciones se expresen usando para

todas un mismo denominador. Es conveniente que ese denominador sea el

mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores.

Consideremos las fracciones:

5

6;

−7

4 𝑦

8

15

El denominador común para todas ellas es el mínimo común múltiplo (MCM) de

sus denominadores.

Para hallar ese MCM escribamos la lista de los primeros múltiplos de cada

denominador. El primer valor que se repita en todas las listas será el MCM.

6̇ = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, …

4̇= 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 38, …

15̇ = 15, 30, 45, 60, 75, 90, …

Como vemos el primer valor que se repite es 60.

Luego será: MCM(6,4,15)=60.

El denominador común para 5

6;

−7

4 𝑦

8

15es 60.

Ahora transformemos estas fracciones en otras equivalentes de denominador 60.

Dividimos el denominador común encontrado por cada uno de los denominadores

de las fracciones. Usamos ese número para amplificar las fracciones.

DENOMINADOR COMÚN

12

60: 6 = 10 5

6=

5.10

6.10=

50

60

60: 4 = 15 −7

4=

−7.15

4.15=

−105

60

60: 15 = 4 8

15=

8.4

15.4=

32

60

Comencemos leyendo el siguiente problema:

Un grupo de jóvenes está trabajando en el Programa de Huertas Comunitarias

en la ciudad de Hernandarias. Su objetivo es producir para alimentar a sus familias

y los excedentes lo distribuyen a instituciones que se dedican a proporcionar

comida a personas en situación de vulnerabilidad o bajo la línea de pobreza. En la

última siembra decidieron dividir el terreno, destinando 1

3 del terreno al cultivo de

lechuga, 1

6 para sembrar pimientos y

5

12 para cultivar tomates. ¿A qué cultivo

dedican la mayor parte del terreno? ¿A cuál la menor?

A continuación te explico cómo proceder para comparar fracciones.

Luego de leer el tema responde a las preguntas y envíalas al tutor junto

con la actividad 2, del final de esta semana.

Las fracciones se pueden ordenar de menor a mayor o de mayor a menor

teniendo en cuenta la cantidad que representan.

Si las fracciones tienen el mismo denominador.

Observa las siguientes fracciones y su representación gráfica:

ORDEN EN EL CONJUNTO Q

13

1

4

2

4

3

4

De acuerdo a la parte pintada en cada gráfico podemos decir que tres cuartos

(3

4) es mayor que dos cuartos (

2

4)y dos cuartos es mayor que un cuarto(

1

4). Como

vemos si los denominadores son iguales a mayor numerador corresponde

mayor fracción.

En símbolos:

1

4<

2

4<

3

4

Si las fracciones tienen el mismo numerador.

1

2

1

3

1

4

Un medio (1

2) es mayor que un tercio (

1

3) y éste es mayor que un cuarto (

1

4). Por lo

tanto, si las fracciones tienen el mismo numerador, cuanto menor es el

denominador, mayor es la fracción.

En símbolos:

Recuerda:

< 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

> 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟

14

1

2>

1

3>

1

4

Si sus numeradores y denominadores son distintos.

7

3 𝑦

5

2

Debemos transformarlas en fracciones equivalentes del mismo denominador y

comparar los numeradores.

En forma decimal

En primer lugar se debe observar la parte entera, es decir las cifras que

están a la izquierda de la coma y compararlas. Por ejemplo:

25,3 𝑦 18,129

25 es mayor que 18 y ya podemos afirmar que 25,3 es mayor que 18,129.

En símbolos:

25,3 > 18,129

Si las partes enteras son iguales debemos comparar la parte decimal teniendo

en cuenta el valor posicional de cada cifra, comenzando de izquierda a derecha,

se comparan primero los décimos, luego los centésimos, los milésimos, …

7

3=

14

6

15

6>

14

6→

52

>73

5

2=

15

6

15

Observemos los números 2,4053 y 2,416

Tienen la misma parte entera. Las primeras cifras decimales (décimos) son

iguales en ambos, seguimos comparando las segundas cifras decimales

(centésimos) vemos que el primer número tiene 0 centésimos y el segundo

tiene 1 centésimo, ya podemos concluir que 2,416 es mayor que 2,4053.

En símbolos: 2,416 > 2,4053.

ACTIVIDAD 2 OBLIGATORIA PARA ENTREGAR AL TUTOR

1. Halla fracciones equivalentes a las dadas, de modo que las tres tengan el

mismo denominador:

𝑎) 1

9;

1

3;1

6

𝑏)3

5;7

8;

3

10

2. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:

Décimos

Centésimos

Milésimos

16

𝑎)1

7;1

3;1

4

𝑏) 3

4;1

4;7

4

𝑐) 4

5;3

2;

9

10

𝑑) −5

8; −

3

4; −

7

10

4. Responde a las preguntas del problema en el inicio de la semana en el tema

Orden en el conjunto Q.

3. Ordena de menor a mayor los siguientes números decimales:

a) 27,32; 27,125; 27,1248

b) 12,5; -15,23; -15,217

17

¿Cuántas fracciones con denominador 2 hay entre -1 y 4? ¿Cuántas con

denominador 5 entre 2 y 3?

Encuentra las respuestas a estas preguntas mirando el siguiente video:

Para representar fracciones en la recta numérica debemos dividir la unidad en

tantas partes iguales como diga el denominador de la fracción y contar, a partir del

cero, tantas subdivisiones como indica el numerador.

LAS FRACCIONES EN LA RECTA NUMÉRICA

18

Retomemos el problema de la semana anterior:

Un grupo de jóvenes está trabajando en el Programa de Huertas Comunitarias

en la ciudad de Hernandarias. Su objetivo es producir para alimentar a sus familias

y los excedentes lo distribuyen a instituciones que se dedican a proporcionar

comida a personas en situación de vulnerabilidad social. En la última siembra

decidieron dividir el terreno, destinando 1

3 del terreno al cultivo de lechuga,

1

6 para

sembrar pimientos y 5

12 para cultivar tomates. ¿Qué porcentaje del terreno se

dedica a cada cultivo? ¿Qué porcentaje queda sin cultivar?

A continuación te explico la relación que existe entre las fracciones y los

porcentajes, luego de leer la información responde a las preguntas del problema y

envía tu respuesta al tutor junto con la actividad 3 del final de esta semana.

Fracciones, decimales y porcentajes son diferentes maneras de escribir el

mismo valor:

Gráfico

Fracción Expresión Decimal

Porcentaje

1

2

0,5 50%

2

3

0,6666….. 67%

3

4

0,75 75%

LAS FRACCIONES Y LOS DECIMALES COMO PORCENTAJE

19

2

5

0,4 40%

5

12

0,4166666… 41,67%

5

2 ó 2

1

2

2,5

250%

Convertir una fracción en porcentaje Se divide el numerador por el denominador y se multiplica la expresión decimal

por 100.

Por ejemplo: convertir 5

8 en porcentaje.

Dividir 5 entre 8: 5:8= 0,625.

Multiplicar 0,625.100= 62,5.

5

8 de una cantidad es el 62,5%.

Convertir un porcentaje en fracción

Se divide el porcentaje por 100, la expresión decimal obtenido se transforma en

fracción y se simplifica.

Por ejemplo: convertir 75% en fracción.

Dividir 75 entre 100: 75:100 = 0,75.

Transformar 0,75 en fracción: 75

100 y simplificando:

75:25

100:25=

3

4

20

ACTIVIDAD 3 OBLIGATORIA PARA ENTREGAR AL TUTOR

1. Ubica las siguientes fracciones en la recta numérica.

𝑎) 2

5; −

1

5;

7

10

𝑏)−5

3;5

6;

3

2

2. Completa la siguiente tabla con los valores correspondientes.

Fracción Decimal Porcentaje

1

100 0,01 1%

𝟏

𝟐𝟎

0,1

12,5%

𝟏

𝟓

0,25

1

3

50%

0,75

100%

1,25

12

5

21

3. Responde al problema del inicio de la semana:

Un grupo de jóvenes está trabajando en el Programa de Huertas

Comunitarias en la ciudad de Hernandarias. Su objetivo es producir para

alimentar a sus familias y los excedentes lo distribuyen a instituciones que

se dedican a proporcionar comida a personas en situación de vulnerabilidad

social. En la última siembra decidieron dividir el terreno, destinando 1

3 del

terreno al cultivo de lechuga, 1

6 para sembrar pimientos y

5

12 para cultivar

tomates. ¿Qué porcentaje del terreno se dedica a cada cultivo? ¿Qué

porcentaje queda sin cultivar?

1. En la fiesta del día del estudiante se organizaron competencias por equipo,

cada equipo debía diseñar su bandera. Se podía elegir entre los colores

amarillo, rojo, verde y azul y además agregarle rayas o lunares o sin éstos.

1. Colorea las banderas según las indicaciones:

La cuarta parte es roja, la

mitad amarilla, la décima

parte verde y el resto azul.

La quinta parte de las rojas

y la mitad de las amarillas

son rayadas.

La mitad de las verdes, la

tercera parte de las azules y

la quinta parte de las amarillas tienen lunares negros y el resto son

lisas.

22

2. Completa el cuadro en relación a la actividad anterior

Tipo de bandera Fracción del total Porcentaje

Rojas lisas

Rojas rayadas

Rojas a lunares

Amarillas lisas

Amarillas rayadas

Amarillas a lunares

Verdes lisas

Verdes rayadas

Verdes a lunares

Azules lisas

Azules rayadas

Azules a lunares

3. En las últimas elecciones para intendente del pueblo una de las listas

obtuvo la cuarta parte de los votos. Indica cuáles de las siguientes

expresiones representan esta cantidad. Justifica en cada caso tu elección

por Si o por NO.

Si/No justificación

1

4

0,4

Cuarenta centésimos

40%

25%

Veinticinco centésimos

0,250

23

4. Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor:

3

2;−2

3;1

6;3

4;−5

6;4

3

5) Ubica las fracciones de la actividad 4) en la recta numérica.

24

Itzcovich, Horacio y Novembre, Andrea (Coords.) Matemática 8. Tinta

Fresca. Buenos Aires.2006.

Laurito, Liliana y otros. Matemática Activa 8. Puerto de Palos. Buenos Aires.

2001.

Mérega, Herminia (Dir.) Actividades de Matemática 8. Santillana. Buenos

Aires. 2006.

Fioritti, Gema y otros. Matemática 1 Enseñanza Secundaria. Editorial SM.

Buenos Aires 2014.

Fuxman Bass, Juan Ignacio. Resolviendo: problemas de matemáticas. Red

Olímpica. Buenos Aires 2010.

Vizcaíno, Adriana. Aritmética. Ministerio de Educación de la Nación. Buenos

Aires 2011.

https://drive.google.com/file/d/0B-JyZ7WJiu5tTGVpLUlzZW95VE0/view

Imágenes:

https://statics.cucchiaio.it/content/cucchiaio/it/ricette/2018/02/torta-soffice-

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BIBLIOGRAFÍA