Clase 1 mati_1129 (2)

MATEMATICA

I

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVARSEDE-LITORAL

FORMACIÓN GENERAL Y CIENCIAS BÁSICAS

TEMA 1

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

CONJUNTOS NUMÉRICOS1. Números Naturales (N)

1.1 Consecutividad numérica

Conjunto de la forma:

IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito.

Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número, es decir:

• Sucesor

Si n pertenece a IN, su sucesor será n + 1.

n - 1 n + 1

n

Naturales Consecutivos

• Antecesor:Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un antecesor, y se obtiene al restar 1 al número, es decir: Si n pertenece a IN, su antecesor será n - 1

antecesor sucesor

1. Números Naturales (N)

1.2 Paridad e imparidad• Números Pares {2, 4, 6, 8, 10……, 2n}

Son de la forma 2n, con n en los naturales.

Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su

sucesor es 2n+2.

Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su antecesor es 2n-2.

2n - 2 2n + 2

2n

Antecesor par Sucesor par


Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su sucesor es 2n+1.

• Números Impares {1, 3, 5, 7, 9…… ,2n-1}

Son de la forma 2n-1, con n en los naturales.

Sucesor impar:

Antecesor impar:

2n - 3 2n + 1

2n -1

Antecesor impar

Sucesor impar

Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su antecesor es 2n-3.


2. Números Cardinales ( N0)


IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito.

3. Números Enteros (Z)


Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, infinito.

Se puede representar como: Z = Z- U IN0

Z = Z- U {0} U Z+

Recta numérica:

Z- Z+

0-3 -2 -1 1 2 3

Valor absoluto:El valor absoluto de un número representa la distancia del punto al origen (cero de la recta numérica).

Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco unidades, igual que la distancia del -5 al origen.

La notación es: |5| = 5 y |-5| = 5

-5 505 unidades

5 unidades

Luego, |-20| = 20 |34| = 34 |-12| = 12…

3. Números Enteros (Z)

4.Números Racionales (Q)

Es el conjunto de todos aquellos números que se pueden escribir como fracción, es decir:

a

b/ a y b son enteros, y b es distinto de ceroQ =

Ejemplos:

2; 17; 0; -6; -45; -2; 7

0,489; 2,18; -0,647-1; 8

14; 3

15, 0

NO es racional

a: numerador y b: denominador

Por ejemplo:

3 es Natural (3 IN),

3 es Cardinal (3 IN0), y como

3 = , 3 es racional (3 Q). 3

1

IN IN0 Z Q

Todo número entero es racional.

Diagrama representativo:

Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (decimales infinitos NO periódicos).

5. Números Irracionales (Q*)

,....,,2,3..... Q* =

Q U

Q*=

6. Números Reales (IR)Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales.

IR = Q U Q*

Ejemplos:


3, -89, -2; 7

2,18; ;2 23,491002

7. Números imaginarios (II)Todos aquellos números que NO son reales, son imaginarios.

IR

U

II = O

Ejemplo:

Raíces de índice par y parte subradical negativa:

,26 ,4 4 16,25

8. Números complejos (C)Es el conjunto formado por la unión entre los números reales y los números imaginarios.

Ejemplos: ,26 5, -68, -1; 8

-0,647


EN ESTA ASIGNATURA NOS DEDICAREMOS AL

ESTUDIO DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS

REALES (IR)

Propiedades de los números RealesSuma Propiedad Multiplicación

Para todo número real a, b y c se satisface:

Clausura

Conmutativa

AsociativaIdentidad o

Neutro

Inverso

Distributiva de la mutiplicación con respecto a la suma

c)ba()cb(a abba

c)ba()cb(a

a0a 0)a(a

abba

a1a

0acon1)(aa

1

)ca()ba()cb(a

cba cba

(ii)

(iii)

Sea entoncesIRba ,

(i)

aa

bababa

baba

Sea entonces0,0,, baIRba

(ii)

(iii)

(i) aaa 111

(iv)

111 baba

111 baba

111 baba

Sea entoncesIRba ,

000 baba

Sea entoncesIRcba ,,

0 aconcbcaba

cbcaba (i)

(ii)

a b c a b c

(iii) baba

cbacba

baba 0

0,0 dbconcbdad

c

b

a

(iv)

(v)

(vi)

(vii)

00a

(iv)

IRa INn b nSean y . La potencia de base y exponente define como sigue:

Potencias

n

n factores

a a a a a

0,10 aa mnmn aaa

mnm

n

aa

a

0,1

aa

an

n nnn baba

mnmn aa

n

nn

b

a

b

a

0,

ab

a

b

amn

mnmn

ba, Zmn ,Sean y entoncesPropiedades

Raíces b INn esiman bSean y La Raíz de

es un número real, que se define como

n

mn m bb

Sean Propiedades ba, INmn , y entonces

nnn baba

0 bb

a

b

an

n

n

mn nmmn baba n mmn bb mnn m bb n nn baba

nnn baba

Cuadrados de Binomios

222 2 bababa

222 2 bababa

Cubos de Binomios

32233 33 babbaaba

32233 33 babbaaba

Suma por su Diferencia

Binomios por Trinomios

22 bababa

3322 babababa

3322 babababa

442222 bababa

Caso I

b

b

b

b

bb

11

Caso II

b

b

b

b

bb

n mn

n mn

n mn

n mn m

11

ba

ba

ba

ba

baba

11

ba

ba

ba

ba

baba

11

Caso III

ba

bbaa

ba

bbaa

bbaa

bbaa

baba

3333

33

33

3333

3333

3333

3333

11

ba

bbaa

ba

bbaa

bbaa

bbaa

baba

3333

33

33

3333

3333

3333

3333

11

Ecuación de 1º Grado 0bax

Ecuación de 2º Grado

a

bx

Se llama ecuación de primer grado a toda igualdad del tipo

Y su solución o raíz es

Se llama ecuación de primer grado a toda igualdad del tipo 02 cbxax

Y su solución o raíz es

a

acbbx

2

42

1

a

acbbx

2

42

2

Elaborado por:

Profesora Dorenis Mota ([email protected])

Profesor Ricardo Valles([email protected])

Departamento de Formación General y Ciencias Básicas

FORO I ¿ ¿QUÉ NECESIDAD LLEVÓ AL HOMBRE A LA INVENCIÓN DEL CONJUNTO DE LOS

NÚMEROS REALES??

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