Circuitos Eléctricos I

Febrero 4, 2008Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos

© Prof. Dr. François E. Cellier

Circuitos Eléctricos I• Esta presentación introduce el tema del modelado

matemático de circuitos eléctricos lineales.• Modelando un circuito eléctrico se obtiene un

sistema implícito de ecuaciones diferenciales y algebraicas (EDAs) que se convierten en un sistema explícito de ecuaciones diferenciales y algebraicas en el proceso de la ordenación horizontal y vertical de las ecuaciones.

• Eliminando las variables algebraicas, estas EDAs pueden convertirse a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs).




Contenido

• Elementos y sus modelos

• La topología de los circuitos y sus ecuaciones

• Un ejemplo

• Ordenación horizontal

• Ordenación vertical

• Representación en el espacio de estados

• Transformación al espacio de estados




Elementos de Circuitos Lineales

• Resistores

• Capacidades

• Inductancias

Riva vb

u

Civa vb

u

Liva vb

u

u = va – vb

u = R·i

u = va – vb

i = C· dudt

u = va – vb

u = L· didt




Elementos de Circuitos Lineales II

• Fuentes de voltaje

• Fuentes de corriente

• Tierra

U0 = vb – va

U0 = f(t)

I 0

Iva vb

u

0 u = vb – va

I0 = f(t)

V0

V0 V0

-V0 = 0

U 0

iva vb

U0

|




La Topología de los Circuitos

• Nodos

• Mallas

va = vb = vc

ia + ib + ic = 0va vb

ia ib

ic

vc

va vb

vc

uab

ubcucauab + ubc + uca = 0




Un Ejemplo I




Reglas para Sistemas de Ecuaciones I

• Las ecuaciones de los elementos y de la topología contienen redundancia.

• Por ejemplo es posible eliminar todas las variables de potencial (vi) sin problemas.

• La ecuación de corrientes para el nodo de la tierra es redundante y no se usa.

• Las ecuaciones de las mallas solamente se usan si las variables de potencial se eliminan. Si no es el caso, estas ecuaciones son redundantes.




Reglas para Sistemas de Ecuaciones II

• Si las variables de potencial se eliminan, cada elemento del circuito define dos variables: la corriente (i) a través del elemento y el voltaje (u) a través del mismo.

• Por consecuencia se necesitan dos ecuaciones para obtener los valores de estas dos variables.

• Una de las ecuaciones es la ley principal del elemento mismo, la otra se deriva de la topología.




Un Ejemplo IIEcuaciones principales de los elementos:

U0 = f(t) iC = C· duC/dt

u1 = R1· i1uL = L· diL/dt

u2 = R2· i2

Ecuaciones de los nodos:

i0 = i1 + iLi1 = i2 + iC

Ecuaciones de las mallas:

U0 = u1 + uC uL = u1 + u2

uC = u2

El circuito contiene 5 elementos

Se piden 10 ecuaciones en 10 incógnitas




Reglas para la Ordenación Horizontal I• La variable representando el tiempo t puede tratarse como

conocida.

• Las variables de estado (variables que aparecen en forma diferenciada) pueden tratarse como conocidas.

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2




Reglas para la Ordenación Horizontal II

• Ecuaciones que contienen una sola incógnita deben evaluarse por ella.

• Las variables ya evaluadas pueden tratarse como conocidas.

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2




Reglas para la Ordenación Horizontal III

• Variables que aparecen en una sola ecuación todavía no causal deben evaluarse usando esa ecuación.

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2




Reglas para la Ordenación Horizontal IV

• Todas esas reglas pueden aplicarse múltiples veces.

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2




U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

El algoritmo se aplica hasta que cada ecuación define exactamente una sola variable que se evalúa por ella.




Reglas para la Ordenación Horizontal V

• La ordenación horizontal puede ser ejecutada ahora usando técnicas simbólicas de la manipulación de formulas.

U0 = f(t)

u1 = R1· i1

u2 = R2· i2

iC = C· duC/dt

uL = L· diL/dt

i0 = i1 + iL

i1 = i2 + iC

U0 = u1 + uC

uC = u2

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

i1 = u1 /R1

i2 = u2 /R2

duC/dt = iC /C

diL/dt = uL /L

i0 = i1 + iL

iC = i1 - i2

u1 = U0 - uC

u2 = uC

uL = u1 + u2




Reglas para la Ordenación Vertical

• Entre tanto las ecuaciones se convirtieron en asignaciones. Pueden ser ordenadas verticalmente de tal manera que ninguna de las variables se use antes de que esté definida.

U0 = f(t)

i1 = u1 /R1

i2 = u2 /R2

duC/dt = iC /C

diL/dt = uL /L

i0 = i1 + iL

iC = i1 - i2

u1 = U0 - uC

u2 = uC

uL = u1 + u2

U0 = f(t)

u1 = U0 - uC

i1 = u1 /R1

i0 = i1 + iL

u2 = uC

i2 = u2 /R2

iC = i1 - i2

uL = u1 + u2

duC/dt = iC /C

diL/dt = uL /L




Reglas para Sistemas de Ecuaciones III

• Alternativamente es posible trabajar con voltajes y potenciales.

• En ese caso ecuaciones adicionales definiendo los potenciales de los nodos deben encontrarse. Se trata de las ecuaciones que relacionan los voltajes a través de elementos con los potenciales en sus terminales. Aquellas no se usaron hasta ahora.

• Las ecuaciones de las mallas son redundantes y deben eliminarse.




Un Ejemplo III

El circuito contiene 5 elementos y además 3 nodos.

Se piden 13 ecuaciones en 13 incógnitas.

Ecuaciones principales de los elementos:

U0 = f(t) U0 = v1 – v0

u1 = R1· i1 u1 = v1 – v2

u2 = R2· i2 u2 = v2 – v0

iC = C· duC/dt uC = v2 – v0

uL = L· diL/dt uL = v1 – v0

v0 = 0

Ecuaciones de los nodos:

i0 = i1 + iLi1 = i2 + iC

v1

v2

v0




Ordenación• El algoritmo de la ordenación de ecuaciones puede

aplicarse exactamente como antes.• El algoritmo de la ordenación ya se había reducido a una

estructura puramente matemática (de información) que no mantiene ningún conocimiento de la teoría de circuitos eléctricos.

• Por consecuencia la tarea del modelado puede reducirse a dos problemas parciales:

1. Transformación de la topología del sistema físico a un sistema implícito de DAEs.

2. Conversión del sistema DAE a una estructura de programación ejecutable.




Representación en el Espacio de Estados

• Sistemas lineales:

• Sistemas no lineales:

dxdt = A · x + B · u

y = C · x + D · u

x(t0) = x0;

dxdt = f(x,u,t)

y = g(x,u,t)

; x(t0) = x0

x n

u m

y p

x = Vector de variables de estado

u = Vector de variables de entrada

y = Vector de variables de salida

n = Número de variables de estado

m = Número de entradas

p = Número de salidas

A n n

B n m

C p n

D p m




Transformación al Espacio de Estados IU0 = f(t)

u1 = U0 - uC

i1 = u1 /R1

i0 = i1 + iL

u2 = uC

i2 = u2 /R2

iC = i1 - i2

uL = u1 + u2

duC/dt = iC /C

diL/dt = uL /L

duC/dt = iC /C

= (i1 - i2 ) /C

= i1 /C - i2 /C

= u1 /(R1 · C) – u2 /(R2 · C)

= (U0 - uC) /(R1 · C) – uC /(R2 · C)

diL/dt = uL /L

= (u1 + u2) /L

= u1 /L + u2 /L

= (U0 - uC) /L + uC /L

= U0 /L

Para cada ecuación que define una derivada se substituyen las variables de la derecha por las ecuaciones que definen ellas hasta que las derivadas dependan solamente de variables de estado y de entradas.




Transformación al Espacio de Estados IIx1 = uC

x2 = iL

u = U0

y = uC

Definiendo:

x1 = -

R1 · C

R2 · C

[ ] x1 R1 · C u

x2 = 1

Lu

y = x1




Un Ejemplo IV




Referencias

• Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 3.

• Cellier, F.E. (2001), Código de Matlab del circuito eléctrico.

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