CINEMÁTICA DE UN CUERPO RÍGIDO EN TRES DIMENSIONES

CUERPO RÍGIDO

Un cuerpo rígido es un sistema dinámico, que no presenta deformaciones entre sus partes, ante la acción de fuerzas. Matemáticamente se define como cuerpo rígido aquel en que la distancia entre sus puntos cualesquiera del cuerpo, permanece invariable. En estricto rigor, todos los cuerpos presentan un grado de deformación. Sin embargo, la suposición de rigidez total es aceptable cuando las deformaciones son de magnitud despreciable frente a los desplazamientos del cuerpo rígido y no afecta la respuesta del cuerpo ante las acciones externas.

ROTACIÓNRotación es el movimiento de cambio de orientación de un sólido extenso de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante del eje de rotación.

Una rotación pura de un cuerpo queda representada mediante el vector velocidad angular, que es un vector de carácter deslizante, W situado sobre el eje de rotación.

En este movimiento, las partículas que constituyen el cuerpo rígido se desplazan en planos paralelos, a lo largo de círculos centrados en el mismo eje fijo. Si ese eje, llamado eje de rotación, intercepta al cuerpo rígido, las partículas localizadas en el eje, tienen velocidad y aceleración cero. Como cada particular se mueve en un plano dado, se dice que la rotación de un cuerpo con respecto a un eje fijo es un movimiento plano.

DERIVADAS DE UN VECTOR DE ROTACIÓN Y TRASLACIÓN

Definimos la aceleración angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo. Se denota por la letra griega α y, al igual que la velocidad angular, tiene carácter vectorial. Por definición,

(1) α = dw/dt

Siendo W el vector velocidad angular del sólido rígido alrededor del eje de rotación. La aceleración angular se expresa en radianes por segundo al cuadrado, o s-2, ya que el radián es a dimensional.

Si denominamos por “e” al vector asociado al eje de rotación, de modo que sea w=we, podemos escribir

(2) α = (dw/dt) = (d/dt)(we) =[ (dw/dt)(e)+(w)(de/dt)] Resultando que, en general, el vector W no está localizado sobre el eje de rotación.

En el caso particular de que el eje de rotación mantenga una orientación fija en el espacio (movimiento plano), entonces será (de/dt=0) y el vector aceleración angular α estará localizado sobre el eje de rotación. Esto es,

(3) α = (dw/dt) = (dw/dt)(e) = α e

de modo que el módulo de la aceleración angular, |α| = α es la derivada de la celeridad angular con respecto al tiempo (o la derivada segunda del ángulo de rotación con respecto al tiempo), su dirección es la del eje de rotación y su sentido es el de W cuando la celeridad angular aumenta con el tiempo, pero es de sentido opuesto si disminuye.

En el caso general, cuando el eje de rotación no mantiene una dirección fija en el espacio, será (de \ dt) ≠ 0, aunque |e| = 1, ya que el vector del eje cambia de dirección en el transcurso del movimiento. Puesto que “e” es un vector, su derivada será un vector perpendicular a , esto es, al eje instantáneo de rotación.

Así pues, en el caso más general, la aceleración angular α se expresará en la forma (4) α = (dw/dt) = [(d/dt)(e) + Ω x w ]

Siendo Ω la velocidad angular asociada a la rotación del eje o precesión del eje de rotación (definido por “e”) en el espacio.

En la expresión anterior observaremos que el vector aceleración angular tiene dos componentes: una componente longitudinal (i.e., en la dirección del eje de rotación) cuyo módulo es (dw\dt) y una componente transversal (i.e., perpendicular al eje de rotación) cuyo módulo es Ω x W.

Así pues, en general,

El vector α no tendrá la misma dirección que el vector W.

El vector aceleración angular α no tendrá la dirección del eje de rotación.

La dirección de la aceleración angular sólo coincide con la del vector velocidad angular, o sea, con el eje de rotación, en el caso de que dicho eje mantenga su orientación fija en el espacio, esto es, en el movimiento plano.