Ciclo Semestral UNI SEGUNDA PRUEBAcloud.vallejo.com.pe/SOL1A.pdfSIMULACRO ESPECIAL UNIVERSIDAD...

SIMULACRO ESPECIALUNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

Ciclo Semestral UNI

SEGUNDA PRUEBAMatemática

LEA CUIDADOSAMENTE LAS SIGUIENTES INDICACIONES

• Usando lapicero escriba en su tarjeta sus apellidos y nombres, luego firme en el recuadro correspondiente.

• Escriba y marque, usando lápiz 2B, el número del aula donde está rindiendo el examen.

• Lea detenidamente las preguntas y marque sus respuestas en la tarjeta óptica.

• Marque su código dígito por dígito localizándolos en cada columna y rellenando con lápiz 2B

(si hay error en el código, su examen no será calificado).

• Todas las marcas deben ser nítidas, por lo que debe presionar suficientemente el lápiz y llenar el espacio co-

rrespondiente.

10 15,0 pts. – 3,0 pts.

10 15,0 pts. – 3,0 pts.

10 15,0 pts. – 3,0 pts.

Aritmética

Geometría

Trigonometría

Álgebra 10 15,0 pts. – 3,0 pts.

ESTRUCTURA DEL EXAMEN

SISTEMA DE CALIFICACIÓNN.º DEPREGUNTAS Respuesta Correcta Respuesta Incorrecta

¡Espere la indicación del responsable del aula para iniciar la prueba!

El día de mañana se publicarán las claves a partir de las 8:00 a. m. y los resultados, al día siguiente de dicha publi-

cación, a partir de las 10:00 a. m. en nuestro sitio web: www.ich.edu.pe

Lima, agosto de 2018

TIPO EXAMEN DE ADMISIÓN UNI

1 DE AGOSTO

Matemática

1

Semestral UNI Simulacro Especial de Matemática

Aritmética1. Calcule la base del sistema de numeración en el cual el

número 15 015 se escribe como 35 247.

A) 8 B) 6 C) 9D) 7 E) 11

Resolución

Piden: x = ??

15015 35247− +

= ( )x (a mayor numeral aparente, le corres-ponde menor base)7 < x < 10

8 ó 9

Si x = = = +

+

8 15015 35247 8 7

8 7

8; ( ) �

�

�� ¡cumple!

Si x = = = +

+

9 15015 35247 9 7

9 3

9; ( )�

�

�� ¡no!

∴ x = 8

Clave: A

2. Calcule la suma de cifras del cociente al dividir la suma de todos los números de 4 cifras diferentes entre sí que se pueden formar con 4 dígitos diferentes entre sí y diferentes de cero, entre la suma de dichos dígitos.

A) 12 B) 24 C) 18D) 6 E) 36

Resolución

Sean los dígitos a; b; c; d

a b c d

4 3 2 1 = 24 # se pueden formar× × ×

al sumarlos se tendrá S=24000(a+b+c+d)+2400(a+b+c+d)+240(a+b+c+d)

+24 (a+b+c+d) Al dividir S entre a+b+c+d; se tendrá 2400 + 240 + 240+24 = 26664

∴ ∑cifras = 2 + 6 + 6 + 6 +4 = 24

Clave: B

3. Calcule los números enteros positivos D, tales que las fracciones 1

D den origen a los números decimales pe-

riódicos mixtos con una cifra en la parte no periódica y dos cifras en la parte periódica. Calcule la cantidad de valores obtenidos.

A) 6 B) 18 C) 9D) 12 E) 27

Resolución

1D

= 0, axy

(2 y/o 5)331199

Total de valores para: D

∴ ×

25103

1133993 = 9 valores

Clave: C

4. Si se funde 50 g de oro puro con 450 g de una aleación de oro, la ley de la aleación aumenta en 0,02. ¿Cuál es la ley de la aleación primitiva?

A) 0,900 B) 0,700 C) 0,600D) 0,800 E) 0,750

Resolución

Piden L = ??

450 gMasa

Aleación

gana pierde

Oropuro

Aleaciónfinal

Ley L50 g

=+ 1500 g

L+0,02

0,02(450) = 50(0,98 – L)Gananciaaparente =

Perdidaaparente

0,18 = 0,98 – L

∴ L = 0,800 Clave: D

5. El producto de los términos extremos de una proporción geométrica es 36 y la suma de sus términos medios es 12. ¿Cuál es la diferencia entre los términos medios?

A) 1 B) 4 C) 2D) 3 E) 0

Resolución

Piden b – c = ??

→ab

= cd

6 6

a × d = 36 b × c = 36; ademas b+c = 12

∴ b – c = 6 – 6 = 0

Clave: E

2

Academia César Vallejo

6. Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias con igual ancho de clase, calcule el valor de n, si la moda es 60.

I fi[ ; ⟩ 7

[32 ; ⟩ n

[ ; ⟩ 28

[ ; 80⟩ 3n

[ ; ] 3

A) 15 B) 16 C) 18D) 7 E) 10

Resolución

M0 = 60De la tabla: 80 – 32 = 3 w → w = 16Luego:

[16, 32⟩[32,48⟩[48, 64⟩[64, 80⟩[80, 96⟩

7n283n3

clase modalIi fi

d1

d2

Mnn

nn

0 48 1628

56 460

2856 4

34

= +−−

=

−−

=

112 – 4n = 168 – 12n 8n=56

∴ n = 7

Clave: D

7. Al lanzar 3 monedas y dos dados, ¿de cuántas formas diferentes se puede obtener, por lo menos, dos caras y que al sumar los puntajes que se observan en los da-dos resulte diez o más?

A) 4 B) 8 C) 12D) 6 E) 24

Resolución

2 2 2 6 6

C H U L L P A S D ES I L L U S T A N I

S . X I V . X V I d . C .


S . X I V . X V I d . C .


S . X I V . X V I d . C .


S . X I V . X V I d . C .


S . X I V . X V I d . C .


S . X I V . X V I d . C .

Por lo menos 2 caras:ccs; csc; scc; ccc: 4 casos y 10 ó mas puntos en el dado:

( ; ); ( ; ); ( ; ); ( ; ); ( ; ); ( ; )4 6 5 5 6 4 5 6 6 5 6 66

casos

� ��

∴ Total de casos: 4× 6 = 24 casos

Clave: E

8. La MA y MG de dos números que se diferencian en 2x,

son dos impares consecutivos. Calcule el mayor de di-

chos números.

A) 44 B) 46 C) 93

D) 50 E) 49

Resolución

a – b = 2x

MA(a,b) – MG(a,b) = 2; piden: a

Sabemos:

(a – b)2 = 4 (MA2 – MG2)

8.(MA + MG) = 2x2

8.(MA + MG) = 242

Luego

MA + MG = 72

MA – MG = 2

a + b = 74a – b = 24

a = 49b = 25

Por condición de un cuadrado perfecto

(criterio de exclusión)

4, 8, 0

MA = 37 → a + b = 74

MG = 35

∴ a = 49

Clave: E

9. Calcule a+b, si:

aabb es un cuadrado perfecto.

A) 15 B) 14 C) 13

D) 12 E) 11

Resolución

aabb = k2

11(100a + b) =k2

11(a0b)= k2

11· p2 Completandopara cuadrado

perfectoAsí:

a b p

a b p

+ − += =

+ =

0 11 11

11

2

2

∴ p= 1 a+b comomáximo suman 18

a + b =11

Clave: E

3


10. Calcule el menor número de 4 cifras tal que sea divi-

sible entre 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9 y 10. Dé como respuesta la

suma de sus cifras.

A) 6 B) 8 C) 9

D) 12 E) 19

Resolución

N

N

N

=

=→ =

mcm ( ; ; ; ; ; ; )2 3 5 6 7 8 10

25202520

∴ 2 + 5 + 2 + 0= 9

Clave: C

Álgebra

11. Resuelva la inecuación; de incógnita x

m

m nx

m

m n

xm

m n

m

m n

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2−

++

<+

+−

si n < m <0.

A) ⟨– 1; 0⟩ B) f C) ⟨1; +∞⟩

D) ⟨– ∞; 1⟩ E) ⟨– 1; 1⟩

Resolución

m x

m n

m x

m n

m

m n

m

m n

xmm n m n

m

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

22 2 2 2

21 1

−−

+<

−−

+

−−

+

<

11 12 2 2 2m n m n−

−+

x <2m2 n2 2n2 m2

(m2 – n2)(m2 + n2)

(–) (–)

(m2 – n2)(m2 + n2)

Como

n < m < 0 → n2 > m2 → 0 > n2 – m2

Entonces, cancelamos y se obtiene

x > 1

∴ CS= ⟨1; +∞⟩

Clave: C

12. Resuelva el siguiente sistema:

x x x x

x x x

−( ) +( ) ≤ −( ) +( )

+ + <

3 2 3 2 7

0

5 5

2 3

A) [3; +∞⟩ B) [– 5; 3] C) ⟨– ∞; – 3]

D) ⟨– ∞; 0⟩ E) ⟨– ∞; – 5]

Resolución

0≤ – (x – 3)5(x+2) + (x – 3)5(2x + 7)0≤(x – 3)5(–x – 2 + 2x + 7)0≤ (x – 3)5(x+5)0≤ (x – 3)(x+5)

+ +––5 3

SI = ⟨–∞; –5] ∪ [3; +∞⟩

De la segunda inecuación

x x x x x x

x

2 3 20 1 0

0

+ + < ↔ + + <

→ <+

( )� ��

SII = ⟨–∞; 0⟩

∴ CS = SI = ∩ SII = ⟨–∞; –5]

Clave: E

13. Determine el módulo de z+1 si

|z|+zi=1+3i

A) 4 2 B) 2 2 C) 3 2

D) 5 2 E) 7 2

Resolución

Sea z = x+ yi

x2+ y2 + –y + xi = 1+ 3i

x y y

y y y y y

= ∧ + − =

+ = + ↔ + = + +

3 9 1

9 1 9 1 2

2

2 2 2

4 = y

∴ |z + 1|=|4 + 4i| = 4 2

Clave: A

4


14. Si la gráfica de f(x)=ax2+bx+c es la siguiente:

3

a – 2– 4 X

Y

resuelva la inecuación

(f(x) – 4)(x+a)4(x – 1) ≥ 0

A) ⟨– ∞; 1] B) ⟨1; 3] C) ⟨– ∞; 1] ∪ {3}

D) ⟨– ∞; 2⟩ ∪ {3} E) ⟨– ∞; 1⟩ ∪ {2}

Resolución

a f x=− + −

= − ∧ ∈ −∞ ]2 42

3 3 ( ) ;

Entonces

(f(x) – 4)(x – 3)4(x – 1) ≥ 0

(x – 3)4(x – 1) ≤ 0

(x – 1)≤ 0 ∨ x =3

negativo

1 3

∴ CS = ⟨–∞; 1] ∪ {3}

Clave: C

15. Resuelva las inecuaciones

x x x

x xn

nn

− + − > −

+ + ++

> ∧ ∈

π π4

2 22

102

2

2

sen

R

y determine la suma de las soluciones enteras.

A) 3 B) 4 C) 5

D) 7 E) 6

Resolución

CvA sen :π

π4

1 0≤ ∧ ≤ → ≥ ≥x x

Entonces

• + > −

→ =

sen (V)

x

SIπ

π4

;

(+) (–) ∨ 0

→ siempre

En la segunda inecuación tenemos

• ∆ = −++

< →4 4 2

2

10

2

2n

nmayor que 1

el polinomio será p

oositivo siempre

Entonces

SII =

∴ S SI II ∩ =

ππ

4;

Suma de soluciones enteras = 1 + 2 + 3 =6

Clave: E

16. Según la siguiente gráfica:

f(x)=x3

c

g(x)=ax+b

X

Y

determine el valor de 4a-3c2.

A) b B) b – 1 C) 1

D) – 1 E) 0

Resolución

Del gráfico x3 = ax + b x3 + 0x2 – ax – b = 0 De raíces c, α, α

1

1

0 –a –bα α

αα

α2 α3– aαα2– a

1

por cardano

0 3α2– a = 0

c+ α +α = 0 α = – c 2

0

2α

2α2α

Reemplazando

3

40 3 4 0

22c

a c a− = ↔ − =

∴ 4a – 3c2 = 0

Clave: E

5


17. Si se tiene que

xn

n nn n n=

=

∈ ∧ ≠

− +

2 1

2 12

;

; Z

calcule el valor de x5 1

3+

si

log21

677x xn

n( ) =

=∑

A) 7 B) 11 C) 823

D) 1 E) 13

Resolución

log2 (x1x) + log2 (x2x) + ... + log2 (x6x) = 77

log2 (x1 x2 x3 ... x6 x6) = 77

2 2 2 2 2

2 2 2 0

1 2 2 3 5 6 6 77

71 6 77 6 6

⋅ =

= → = >

× × ×...� �� x

x x x como x = 2

∴2 1

311

5 +=

Clave: B 18. Determine la siguiente serie:

Snn

n= −

=

+∞

∑ 2 1

21

A) 3 B) 3/2 C) 5/2

D) 4 E) 2

Resolución

12

322

523

724

12S=

S= +

+

+ + +

+ + + ...

+ ...

+ + + ...

–32

522

723

1S= 1 12

11–1 2

122

∴ S = 3

Clave: A 19. Determine la secuencia correcta de verdad (V) o fal-

sedad (F) respecto a un problema de programación lineal.

I. La región factible siempre está en el primer cua-drante y es convexa.

II. Si la región factible es no acotada, entonces solo podemos encontrar el mínimo valor de la función objetivo.

III. El valor óptimo es único si existe.

A) FFV B) VFF C) VFV

D) FFF E) VVV

Resolución

I. Por condiciones de no negatividad (x ≥ 0 ∧ y ≥ 0) está

en el primer cuadrante y por ser insersección de regio-

nes convexas (ax + by ≤ 0) es convexo (V)

II. Un contra ejemplo:

f(x,y) = – 2x – y

sujeto a

2x – y ≥ –3 x – y ≥ 3 x ≥ 0 y ≥ 0

3

(F)

x

fmax = f(0; 3) = –3

3

III. La solución óptimas pueden ser infinitas pero solo

tiene un valor óptimo (si existe) (V)

∴ VFV

Clave: C

20. Si A y B ∈ Rn×n, tal que A2=A y A+B=I,

calcule A2 – B+AB+BA.

A) I B) A+I C) A

D) 2A – I E) I – A

Resolución

A + B = I Por A por la derecha y luego por la izquierda

• A BA A BAA

2 0

+ = → =

• A AB A BAA

2 0

+ = → = Entonces

A2 – B + AB + BA = A2 – B = A – B = A + A – A – B

= 2A – (A + B)

= 2A – I

Clave: D

6


Geometría

21. Respecto de las siguientes proposiciones, señale la se-

cuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F).

I. Si R1 y R2 son conjuntos no convexos, tales que

R1 ∩ R2=∅, entonces (R1- R2) no siempre es un con-

junto no convexo.

II. La intersección de una recta secante con una coro-

na circular puede ser conjunto convexo.

III. Ningún conjunto convexo resulta de la reunión de

dos conjuntos no convexos.

A) VVF B) FFV C) VFV

D) FVF E) FFF

Resolución

I. R1 y R2 : no convexos / R1 ∩ R2 = ∅

R1

R2

R1 – R2, es el propio conjunto R1, entonces siempre es no convexo. (F)

II. Sí, cuando la intersección es un punto o un segmento. (V)

III.

A

B

En esta figura A: no convexo, B: no convexo A∪B: convexo (F) ∴ FVF

Clave: D

22. En el gráfico, L L1 2

�� // . Calcule x.

L 1

L 2b

x

a c

3e

2e

ca

b d d

A) 165º B) 135º C) 127ºD) 145º E) 125º

Resolución

Piden x; L L1 2

�� // .

L 1

L 2b

x

a c

3e

2e180º–2e

ca

b d d

• c + d = 3e Luego c+d+3e+180° – 2e = 360°, de allí e = 45° • a + b = x Luego a+b+x+180° – 2e = 360°; de allí

∴ x = 135°

Clave: B

23. En la figura mostrada, α+θ=K. Calcule mPQ - mMN .

M

P

N

Q

α

θ

A) K B) K/2 C) 2KD) K/3 E) 3K

Resolución

Piden 2x – 2y

M

P

N

S

L

2y 2x

Hx

Q

α

θy

∆ NLS: mPSL = α + y ∆ SQH: α + y + θ = x x – y = α + θ x – y = k ∴ 2x – 2y = 2K

Clave: C

7


24. Calcule el radio de una esfera que contiene a un vértice

de un cubo de diagonal 3+ 3 si además es tangente a

las caras concurrentes en el vértice opuesto al primer

vértice.

A) 1 B) 3 C) 3

D) 2 E) 3 +1

Resolución

A' D'

C'B'

R

0BA

B

D

C

3R

R

Dato ′ = +A C 3 3

Luego

R R3 3 3+ = + de donde

∴ R = 3Clave: B

25. Una semiesfera de radio R se encuentra inscrita en un triedro O - ABC, trirrectángulo en O, donde OA=3, OB=4 y OC=5 y el círculo de la semiesfera está en la cara ABC. Calcule R.

A) 6047

B) 4753

C) 5347

D) 4730

E) 4647

Resolución

B

A

3 5

4

C

R

O

O'

Sea v: Volumen Se observa que vOABC = vO' – OAC + vO' – OBC + vO' – OAB

3 42

53

3 52 3

4 52 3

3 42 3

⋅⋅ =

⋅⋅ +

⋅⋅ +

⋅⋅

R R R

47R = 60 ∴ R =

6047 Clave: A

26. En un rectángulo ABCD, P es un punto de BC, tal que BP=2 y PC=8. Calcule el inradio del triángulo APD si mAPD=90º.

A) 1 B) 2 C) 3 5 5-

D) 4 5 5- E) 5 1-

Resolución

A H

P2 8

2 8

B

D

C

x

Aplicando métricas:AP2 = AD·AH

AP

DP AD HD

DP

= =

= ⋅

= =

20 2 5

80 4 5

2

Teorema Poncelet 6 5 10 2= + x

∴ x = −3 5 5

Clave: C

27. En un triángulo ABC, P es un punto de AC ubicado de

modo que mm m

ABPCBP BCP= =6 5

y AB=PC.

Calcule el valor aproximado de la mABP.

A) 10,6º B) 12º C) 14,3ºD) 17º E) 18,9º

Resolución

A P

a

a5

B

C

L

θ5θ

6θθ

θ

Piden θTrazamos PL + al quemLPC = θ → BP = LP∆ABP ≅ ∆CPLde allí mBAP = 5θ

Sumando: 17θ = 180°

∴ θ = 10,6°

Clave: A

8


28. Calcule la longitud del diámetro de la esfera tangente a

todas las caras de un octaedro regular de arista 3.

A) 3 B) 6 C) 1

D) 2 E) 6

Resolución

RR

a

Dado a = 3

Teorema: La distancia entre dos caras opuestas parale-

las del octaedro es a 63

.

∴ 2 6R =Clave: E

29. Calcule la razón de las áreas de un semicírculo y de un cuadrado inscrito en aquel, donde uno de sus lados está contenido en el diámetro del semicírculo.

A) 3π B) π C) 5

4π

D) 58π E) 3

4π

Resolución

RQ

OA P m m

2m

S B

Sea PO = OS = mLuego RS = 2m y OR m= 5

π(m 5)2

2S = = 5πm2

2

S = (2m)2 = 4 m2

∴ S =S5π8

Clave: D

30. En un polígono regular de 7 lados, 2 de sus diagonales tienen longitudes a y b (a<b). Calcule el perímetro de dicho polígono.

A) 7 ab B) 7aba b+

C) 7abb a-

D) 7 a bab+( )

E) 7 2a bb a-

Resolución

B

A

C

D

b

ba

a

Piden

2P(polígono) = 7

ABCD es un cuadrilátero inscrito.

Teorema Ptolomeo

b + b = ab de allí =+aba b

∴ 77

=+ab

a b Clave: B

Trigonometría

31. Se tienen dos nuevos sistemas de medida angular, cuyas unidades son (1A) y (1B), respectivamente, diez unidades del primer sistema equivalen a 7º, además, cuatro unidades del segundo sistema equivalen a 21g. Halle el equivalente de 27A en unidades del segundo sistema.

A) 4B B) 6B C) 5B

D) 10B E) 12B

Resolución

Nos piden 27A en grados B

Del enunciado

10A = 7°

4B = 21g

Se tiene

10A = 40B

10A = 7° × 10g × 4B

9° 21g

3

27

∴ 27A = 4B

Clave: A

9


32. Si AOB; EOF y COD son sectores circulares tal que AE=EC=a, determine el área del trapecio cir-cular ABDC.

O

BF D

CE

A

A) a2

2 B)

23

2a C) 4a2

D) 32

2a E) 2a2

Resolución

Nos piden § Del enunciado

O

BF D

CE

Aa

a

aSS

21

Del gráfico

• (1 + 2)2a = (1 + 2)a ...(1)

2 S=

• a – 2 = 1 – a → 1 + 2 = 2a ...(2)

a a

(2) en (1)

∴ § = 2a2

Clave: E

33. En el gráfico se muestra una pizarra rectangular ABCD de dimensiones AB=12 u y AD=8 u. Luego de girarlo alrededor del punto A un ángulo θ su nueva posición viene dada por AB’C’D’. Determine la longitud del seg-mento D’E.

D C

EC

'

B '

D '

BA θ

A) (12 – 4senθ) u

B) (12 – 8secθ) u

C) (12 – 4cscθ) u

D) 12senθcosθ u

E) (12 – 8senθ) secθ u

Resolución

Nos piden D'E

D C

NM

12

88

12

EC

'

B '

D '

BA θ

θ

θ

Del gráfico MD' = 8 senθ D'N = 12 – 8senθ D'NE DE' = (D'N)secθ

∴ DE' = (12 – 8senθ) secθ uClave: E

34. Una recta pasa por los puntos (– 2; 1) y (9; 7), otra recta pasa por los puntos (3; 9) y (– 2; – 1). Calcule el ángulo formado por dichas rectas.

A) arctan1623

B) 30º

C) 60º

D) 53º

E) 37º

Resolución

Nos piden θ

Del enunciado

θ

X

(–2, 1)

(–2, –1)

(3, 9)(9, 7)

Y 21

Del gráfico

m

m

1

2

9 13 2

2

7 19 2

611

=− −− −

=

=−

− −=

( )( )

( )

Se tiene

tanθ =−

+=

−

+ ⋅=

m mm m

1 2

1 21

2611

1 2611

1623

∴ θ =

arctan1623 Clave: A

10


35. Del gráfico, calcule tanθ en términos de f.

2

3 φθ

X

Y

A) 2 33 3+

+tan

tanφ

φ B)

3 13

tantan

φφ

+−

C) 2 32 3+

−tan

tanφ

φ

D) 2

2 3+

−tan

tanφ

φ E)

2 32 3

tantanφ

φ−

+

Resolución

Nos piden tanθ en términos de f

2

3

P(2senφ – 3cosφ; 2cosφ+ 3senφ)

3cosφ

3senφ

2cosφ

2senφ3cosφ – 2senφ

φ

φ

θ

X

Y

Del gráfico (respecto de P)

tancos

cosθ

φ φφ φ

= =+−

ordenada de abscisa de

sensen

PP

2 32 3

∴ tantan

tanθ

φφ

=+

−2 32 3

Clave: C

36. Para un triángulo ABC se verifica la igualdad

cos(A+B)= – 2cosC+sen30º

Calcule 2 1sen senA B

A B-

cos cos.

A) – 1 B) 1 C) 2

D) – 2 E) 12

Resolución

Nos piden 2 1sen senA B

A-

cos cosB

Datos

A + B + C = 180° → C = 180 – (A + B) ... (1)

cos(A + B) = –2cosC + sen30° ... (2)

(1) en (2)

cos( ) cos( ( ))

cos( )

cos( )

A B A B

A B

A B

+ = − ° − + +

+ = −

− +

2 18012

1

� ��

2212

12

cos cos

cos cos

A B A B

A B A B

− = −

− =

sen sen

sen sen

∴ 2 12

sen senA BA B

−=

cos cos

Clave: C

37. Dadas las funciones f(x)=cotx y g(x)=secx, calcule la

ordenada del punto de intersección entre las gráficas

de ambas funciones si x ∈ π π2

; .

A) - -5 12

B) - 5 C) − +5 12

D) - -1 5

4 E)

1 52

-

Resolución

Nos piden secx (ordenada del punto de corte)

Dato

• x ∈π

π2

;

• f(x) = cotx; g(x) = secx

Igualando

cotx = secx

cos

cosxx xsen

=1

cos2x = senx

→ 1 – sen2x = senx

→ sen2x + senx – 1 = 0

→ 5 12−

= senx

Como, sen2x + cos2x = 1

sec xx

= −−

1

1 2sen, pues x ∈

ππ

2;

∴ sec x = −+5 1

2

Clave: C

11


38. Resuelva la ecuación

2arcsec(– x)=arccsc(– x)+arcsecx

A) sec38π B) sec

58π C) csc

58π

D) sec8π E) csc

38π

Resolución

Nos piden x

Dato

2arcsec(–x) = arcsc(–x) + arcsecx

2(π – arcsecx) = –arccsx + arcsecx

2 22

2 22

2

ππ

ππ

− = − −

+

− = − +

arc arc arc

arc arc

sec sec sec

sec s

x x x

x eec

sec

x

x→ =arc58π

∴ x = sec58π

Clave: B

39. Del sistema de ecuaciones dadas, calcule la solución

general de y.

I. cos2x=2cos2y

II. senx=2cosy

A) 212

n nπ π±{ } ∈; Z

B) n nπ π±{ } ∈3

; Z

C) n nπ π2 3+{ } ∈; Z

D) 26

n nπ π±{ } ∈; Z

E) n nπ π±{ } ∈4

; Z

Resolución

Nos piden solución general de y

Datos

• cos2x = 2cos2y ... (1)

• senx = 2cosy ... (2)

De (1) y (2)

1 – 2sen2x = 2cos2y

1 – 2(2cosy)2 = 2cos2y

1 – 4(2cos2y) = 2cos2y

1 – 4(1 + cos2y) = 2cos2y

1 – 4 – 4cos2y = 2cos2y

cos2

12

y =−

→ = ±−

∈

= ± ∈

=

2 21

2

2 223

y n n

y n n

y n

π

ππ

arccos ,

,

πππ

± ∈3

, n

∴ C .Sy ,= ±

∈n nππ3

Clave: B

40. Del gráfico mostrado, calcule el área de la región som-

breada si T es punto de tangencia.

T

X

Y

xy=3

A) 3 u2 B) 6 u2 C) 52

2u

D) 4 u2 E) 8 u2

Resolución

Nos piden §

Dato

T

X

b

Y

y = mx + b

xy=3

bm

–

SS

Del gráfico

• –b2 ... (1)2m

S=S=

• Por condición de tangencia

x(mx+b) = 3

mx2 + bx – 3 = 0

∆ = 0 → b2 – 4m(–3) = 0

→ b2 = –12m ... (2)

(2) en (1)

12m2m

S=S=

∴ § = 6u2

Clave: B

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