Algebra-1 Uni-2015-Semestral Intensivo(Academia Cesar Vallejo)
-
Upload
jose-luis-roca-cordova -
Category
Documents
-
view
288 -
download
33
description
Transcript of Algebra-1 Uni-2015-Semestral Intensivo(Academia Cesar Vallejo)
1
Preguntas propuestasPreguntas propuestas
3
ÁlgebraSemestral Intensivo UNIBoletín 1 Semestral Intensivo UNI 1ra. Revisión (11 julio, 2013 5:24 p.m.)
NIVEL BÁSICO
1. Halle la suma A de números complejos. A=(1+i)+(2+i 2)+(3+i 3)+...+(4n+i 4n)
A) n(2n+1) B) 2n(4n+1) C) 0D) n(4n+1) E) 2n(4n – 1)
UNI 2004 - I
2. Se tienen los números complejos.
z1=[(1+i)5+(1 – i)5]n; i = −1
z2= – 512+a i
Si z1=z2 ∧ z2 es un complejo real, determine n.
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
3. Halle el valor de 3
23
2
280
−
i .
A) 2280 B) 3280 C) 2120
D) 32
140
E) 3140
4. Calcule el mayor valor de |z+3 i| si z cumple que i z2+3|z|2=8z.
A) 5 B) 5 C) 2
D) 2 E) 10
5. En la siguiente ecuación, determine el número de soluciones.
z2=z; z ∈ C
Números complejos
A) 5 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
6. Si z es un número complejo definido por z=x+yi; x, y ∈ R tal que a ≠ b y |z+ai|=|z+bi|, entonces determine el valor de
E=z – z+(a+b)i
A) – 2 B) – 1 C) 1D) 2 E) 0
7. Si |zi|=4; Arg z i12
+( )[ ] =π
entonces el número complejo z en su forma polar es
A) 44 4
cos senπ π
+
i
B) 24 4
cos senπ π
+
i
C) cos senπ π4 4
+
i
D) − +
cos senπ π4 4
i
E) − +
24 4
cos senπ π
i
UNI 2003 - I
8. Si Arg(z+i)=0 y Arg z i−( ) =74π
determine |z|.
A) 5 B) 5 C) 2D) 3 E) 1
Aritmética+ –×÷∑ 4 Ω AA
β
− ∈ 2 1 33xB xZ
−
1
23a
b
≠: , 0nx x
R yy
αÁlgebra
2
Álgebra
4
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 1
A) 6 3+ i B) 6 6 3− i C) 1 3 3+ i
D) 1 2 3− i E) 6 6 3+ i
15. Determine el valor de la expresión
cos senπ π2 2
77
+
i
A) 1 B) – 1 C) – iD) i E) 1+i
16. Si Arg z −( ) =223π
donde |z|= 2, determine Arg(z).
A) π6
B) π3
C) 23π
D) π4
E) π9
17. Respecto a las siguientes proposiciones, indi-que el valor de verdad (V) o falsedad (F) según corresponda.
I. Re(iz)= – Im(z); z ∈ C II. Re(z)=Im(iz); z ∈ C
III. Si Im Imzz
( ) > →
<0
10; z ∈ C
IV. 3
2 11
30 19⋅ −−
= +i i
ii
A) VVVV B) VVFF C) VFVFD) FVFV E) FFFF
18. Determine la parte real del número complejo z i= +1
A) 12
2 2 1−( )
B) 12
2 2 1−
C) 12
2 2+
D) 12
2 2 2+
E) 12
1 2 2+
NIVEL INTERMEDIO
9. Calcule
Ei i i i
i i i i= − + − + − ( )
+ + + +
− − − −1 2 3 4
2 3 4...
...
90 sumandos
90 sumandoos( )
A) – 1 B) i C) 90D) 90 i E) 1
10. Si los complejos z z2 2 1
4− +
;
2 – i son iguales; además, la parte real de z es positivo, halle A=|2z+4( – 3; 1)|.
A) 11 B) 10 C) 12D) 13 E) 14
11. Sean u, v ∈ C – R
donde zu uv
v=
−−1
; z ∈ R
Determine |v|.
A) 3/2 B) 3 C) 2D) 1 E) 1/2
12. Si Zr i
r i= +
−1 4
8
2
2 donde r ∈ R
entonces determine el módulo del complejo
Z i− 34
A) 0 B) 1 C) 1/2D) 3/4 E) 1/4
13. Después de efectuar z=(1 – i)+(1 – i)2+(1 – i)3+...+(1 – i)8k; k ∈ N indique el argumento principal de z.
A) π2
B) π3
C) π4
D) π5
E) π6
14. ¿Qué número complejo se debe sumar a
1 34
−( )i para que el resultado sea un número complejo de módulo 4 y argumento 120?
3
Álgebra
5
Semestral Intensivo UNI Álgebra
NIVEL AVANZADO
19. Dados los complejos no nulos z=(a; b) y w=(b; – a) halle el módulo de z – w si 2z · w=(z – w)3.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 2 E) 2
2
20. Sea z un número complejo definido por
zi
i=
−− +
2 23
30
determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. El módulo de z es de la forma 2n; n > 10.
II. Arg z n( ) = +( )π2
4 3 ; n ∈ Z
III. El afijo de w=z(1+ i ) está en el segundo cuadrante.
A) VFF B) VVF C) FFVD) VVV E) FVV
21. Considerando el plano de Gauss.
Im(z)z1
z2
2
Re(z)
– 1
135º
si z2 es el producto de multiplicar z1 y w, halle
ReIm
ww
( ) +( ) +
22
A) 3/5 B) – 3/5 C) 2/5D) – 2/5 E) 1/5
22. Determine la representación geométrica de todos los puntos del plano complejo que satis-facen la condición
|z – 1| ≤ 6 – |z+1|
A)
2(0; 2 )
2(0; – 2 )
(3; 0)(– 3; 0)
B)
2(0; 2 )
2(0; – 2 )
(3; 0)– 3
C)
22
2– 2
3– 3
D)
2 2
2– 2
3– 3
E) 222– 2
3
– 3
23. Si z=(a; b) es una de las raíces de x i5 1 3= − , que se encuentra en el primer
cuadrante, determine a/b.
A) 12
B) 3
3
C) − 3
D) 3
E) −3
2
4
Álgebra
5
Semestral Intensivo UNI Álgebra
NIVEL AVANZADO
19. Dados los complejos no nulos z=(a; b) y w=(b; – a) halle el módulo de z – w si 2z · w=(z – w)3.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 2 E) 2
2
20. Sea z un número complejo definido por
zi
i=
−− +
2 23
30
determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. El módulo de z es de la forma 2n; n > 10.
II. Arg z n( ) = +( )π2
4 3 ; n ∈ Z
III. El afijo de w=z(1+ i ) está en el segundo cuadrante.
A) VFF B) VVF C) FFVD) VVV E) FVV
21. Considerando el plano de Gauss.
Im(z)z1
z2
2
Re(z)
– 1
135º
si z2 es el producto de multiplicar z1 y w, halle
ReIm
ww
( ) +( ) +
22
A) 3/5 B) – 3/5 C) 2/5D) – 2/5 E) 1/5
22. Determine la representación geométrica de todos los puntos del plano complejo que satis-facen la condición
|z – 1| ≤ 6 – |z+1|
A)
2(0; 2 )
2(0; – 2 )
(3; 0)(– 3; 0)
B)
2(0; 2 )
2(0; – 2 )
(3; 0)– 3
C)
22
2– 2
3– 3
D)
2 2
2– 2
3– 3
E) 222– 2
3
– 3
23. Si z=(a; b) es una de las raíces de x i5 1 3= − , que se encuentra en el primer
cuadrante, determine a/b.
A) 12
B) 3
3
C) − 3
D) 3
E) −3
2
6
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 1
24. Si z ∈ C, tal que z20 – i=0, determine el valor
de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones:
I. La primera raíz es eiπ
20.
II. Una raíz es ei4140
π
.
III. En el tercer cuadrante existen 9 raíces.
A) FFF
B) VVV
C) VFV
D) FVF
E) FFV
25. Dadas las siguientes proposiciones:
I. Las raíces de ein – 1=0 pertenecen a un po-
lígono regular de n lados; ∀ n ∈ N.
II. Si ei q=a+bi y θπ π
∈4
34
;
entonces a ∈ −2
22
2; y b ∈
22
1;
III. Dados a; b ∈ ⟨0; 2p⟩, tales que b > a
si cosa=cosb, entonces ei(a+b)=1.
¿Cuáles son correctas?
A) solo I B) solo II C) solo III
D) I y II E) II y III
5
Álgebra
7
Semestral Intensivo UNI Álgebra 02SEMANA
NIVEL BÁSICO
1. La ecuación polinomial (x – n)4(2x+3)p(x – p)n(5x – 1)n=0
admite 10 raíces cuya suma es 115
.
Halle np
.
A) – 1/4 B) 1/3 C) – 1/3D) 1/4 E) 1/5
2. ¿Para qué valor de m la ecuación cuadrática (m – 5)x2 – 24x+9=0 tiene solución única?
A) 8 B) 9 C) 21D) 22 E) 10
3. En la ecuación 2x2 – (m – 1)x+m+1=0 ¿qué valor debe darse a m para que las raíces
difieran en uno?
A) 10 B) 11 C) 2D) 3 E) 1
4. Si las ecuaciones en x 5nx2 – 2nx+1=0; n ≠ 0 x3 – a3+3a2x=3ax2
son equivalentes, halle el valor de 1
n a+.
A) 26/5 B) 13/5 C) 10/3D) 10 E) 5/26
5. Si una de las raíces de la ecuación x5 – 4x3+mx+9 – m=0 es igual a ( – 2) indique el producto de todas
sus raíces.
A) 5 B) 4 C) – 3D) – 6 E) 3
6. Determine una raíz. x4+3x3+5x2+4x+2=0
A) −+1 32
B) 1 3
2−
C) 1 3
2− i
D) − +1 3
2i
E) − +1 3i
7. Si a; b y c son raíces de la ecuación 2x3 – 6x2+7x+1=0 determine a2+b2+c2.
A) 14 B) 30 C) 43D) 5 E) 2
8. Si a; b y c son raíces de P(x)=x3+3x+1
determine Eabc
bac
cab
= + +3 3 3
A) 12 B) 24 C) – 18D) – 36 E) 48
9. Dada la ecuación polinomial x (x+3)4+m(x+3)2+n(x+3)+p=0 donde m; n; p ⊂ Q posee raíces 3 3 3− −; i halle m+n+p.
A) – 2 B) 1 C) 5D) – 5 E) – 1
NIVEL INTERMEDIO
10. ¿Qué podemos afirmar acerca de las raíces de la siguiente ecuación?
ax2 – bx – a=0; (a ∧ b ∈ R+)
A) Son reales y diferentes.B) Son reales e iguales.C) Son complejas conjugadas.D) Son imaginarias puras.E) No se pueden determinar.
Ecuaciones polinomiales
6
Álgebra
8
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 1
11. Determine el valor de m para que las raíces de la ecuación
xmx
x+ = ≠2 1
20;
sean recíprocas.
A) 2 B) 1/4 C) 1/2D) 8 E) 4
12. En la ecuación ax2 – (a – 5)x+1=0 el producto de raíces es igual a su diferencia.
Determine una raíz.
A) 2/3 B) – 1/6 C) 1/4D) 1/2 E) – 3/4
13. Dada la ecuación cuadrática a(b – c)x2+c(a – b)x+b(c – a)=0; x1; x2 raíces determine x x x xx x
12
21
1 2+ − .
A) 1 B) – 1 C) 2D) – 2 E) 3
14. Determine el valor de a si las ecuaciones 4x2=(a – 2)( – 2x+1) 2x – a=4x2
admiten una sola raíz común.
A) – 2 B) – 1 C) 2D) 1 E) 3
15. Dada la ecuación cuadrática 2x2 – 3x+5=0; x1; x2 raíces
determine xx
xx
12
1
22
2
41
41
++
++
+.
A) – 1 B) 2 C) 1D) 3 E) – 3
16. Determine el valor de n para que la suma de cuartas potencias de las raíces de la ecuación
x3 – 2nx2+(n2+1)x – n=0 tenga su mínimo valor.
A) – 1 B) – 2 C) – 3D) – 4 E) – 5
17. Calcule (m – n) si se sabe que en la ecuación x6 – 9x4+mx2+nx+8=0 2 es una raíz doble.
A) 5 B) 54 C) – 6D) 64 E) 49
18. Forme la ecuación de grado mínimo que pre-senta coeficientes racionales y una de sus raí-ces es 4 23 3+ .
A) x3+6x – 6=0B) x3 – 6x+6=0C) x3+6x+6=0D) x3 – 6x – 6=0E) x3 – 6x2 – 6=0
19. Un polinomio mónico de quinto grado con coeficientes reales tiene como raíces a x1=2, x2= – 3+2 i y x3=2 – i. Halle la suma de coefi-cientes de dicho polinomio.
A) – 60 B) – 50 C) – 40D) – 30 E) – 20
NIVEL AVANZADO
20. Al resolver la ecuación (x – 16)3+(11 – x)3+15x2 – 60x+125=0
se obtiene como solución xab0 = .
Halle a – 2b.
A) 69 B) 142 C) 130D) 176 E) 94
21. Halle la relación entre p y q para que la ecuación x3+3px+q=0 tenga una raíz de multiplicidad 2.
A) q3+4p2=0B) q2+4p3=0C) q3+p2=0D) p2+q3=0E) 4p3+q2=0
7
Álgebra
9
Semestral Intensivo UNI Álgebra
22. Determine el valor entero de m que hace que las raíces de la ecuación
x4=(ax+m+1)(ax – m – 1) estén en PA; además, a2=4+3m/a > 0.
A) 1 B) 2 C) 3D) – 1 E) – 2
23. El esquema representa a un polinomio P(x) recíproco de cuarto grado. Halle la suma de productos binarios de las raíces de P(x)=0.
5
3X
Y
A) 2 B) 6 C) 25/3D) – 25/3 E) 5/9
24. Calcule el área de las raíces del triángulo cuyos lados son las raíces de la ecuación
x3+ax2+bx+g=0; a; b; g ∈ R
A) 14
4 84 2α α β αγ− +
B) 12
4 84 2α α β αγ+ −
C) 12
4 84 2α α β αγ− +
D) 14
4 84 2− + −α α β αγ
E) 14
4 84 2α α β αγ− −
25. Determine el número de soluciones enteras
(x; y) tal que x2(y – 1)+y2(x – 1)=1.
A) 2B) 18C) 6D) 3E) 4
8
Álgebra
9
Semestral Intensivo UNI Álgebra
22. Determine el valor entero de m que hace que las raíces de la ecuación
x4=(ax+m+1)(ax – m – 1) estén en PA; además, a2=4+3m/a > 0.
A) 1 B) 2 C) 3D) – 1 E) – 2
23. El esquema representa a un polinomio P(x) recíproco de cuarto grado. Halle la suma de productos binarios de las raíces de P(x)=0.
5
3X
Y
A) 2 B) 6 C) 25/3D) – 25/3 E) 5/9
24. Calcule el área de las raíces del triángulo cuyos lados son las raíces de la ecuación
x3+ax2+bx+g=0; a; b; g ∈ R
A) 14
4 84 2α α β αγ− +
B) 12
4 84 2α α β αγ+ −
C) 12
4 84 2α α β αγ− +
D) 14
4 84 2− + −α α β αγ
E) 14
4 84 2α α β αγ− −
25. Determine el número de soluciones enteras
(x; y) tal que x2(y – 1)+y2(x – 1)=1.
A) 2B) 18C) 6D) 3E) 4
10
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 1 03SEMANA
NIVEL BÁSICO
1. Si a < c < b < d, determine el valor de ver-dad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones:
I. [a; b] – ⟨c; d⟩=[a; c] II. [a; b⟩ ∩ ⟨c; d]=[c; b] III. [c; d] – [a; b⟩=[b; d] IV. [a; b⟩ ∪ [c; d]=[a; d]
A) VVFF B) VVVV C) VFFVD) FFFF E) VFVV
2. Sean los conjuntos A=x ∈ R/x ≥ 10 ∨ x ≤ 5 B=x ∈ R/x ≤ – 5 ∨ x ≥ – 2 C=x ∈ R/x > 0,62 ∨ x < 1,62 Halle el conjunto (A ∩ B) D [(B ∪ C)\(A ∪ C)]
A) RB) R – ⟨5; 10⟩C) R – ⟨ – 5; 10⟩D) R – (⟨ – 5; – 2] ∪ [5; 10])E) R – (⟨ – 5; – 2⟩ ∪ ⟨5; 10⟩)
3. Si A y B son dos conjuntos definidos por A=x ∈ R/x > 1 → x < 2 B=(x+3) ∈ R / (x – 2) ∈ A entonces halle el número de elementos de B ∩ ⟨ – 2; +∞⟩ ∩ Z.
A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8
4. Si x ∈ [ – 1; 4⟩ determine el intervalo al cual pertenece la ex-
presión
Exx
=−+
2 13 5
Desigualdades
A) −
32
717
; B) 12
1;
C) −
16
2139
;
D) − −
741
218
; E) − −
551
356
;
5. Si – 10 < a < – 5 – 2 < b < – 1 2 < c < 5 entonces ab/c está comprendido entre
A) ⟨1; 10⟩B) ⟨ – 40; – 25⟩C) ⟨2; 20⟩D) ⟨ – 50; – 10⟩E) ⟨ – 10; 1⟩
6. Se sabe que a > b > 0 y x > 0. Determine el intervalo al que pertenece M si
Ma bb x
= +−+
1
A) 1< <Mab
B) ab
M< < 1
C) a < M < bD) b < M < a
E) 2 < <Mab
7. Indique cuáles de las siguientes proposiciones son correctas.
I. Si a < 0 ∧ b < 0, entonces aba a+
<1 1
II. Si a > 0 ∧ b > 0, entonces a b ab
a b
2 2
22+
≥+
III. ∀ a; b; c ∈ R: a2+b2+c2 ≥ ab+bc+ac
A) I y II B) I y III C) II y IIID) I, II y III E) solo I
9
Álgebra
11
Semestral Intensivo UNI Álgebra
8. Halle el menor valor entero que adquiere f, donde
fx
x x=−
+ >4
11;
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
9. Si la desigualdad (a+b)(b+c)(a+c) ≥ Kabc se verifica para cualquier a; b; c ∈ R+, indique
el máximo valor de K.
A) 6 B) 10 C) 9D) 12 E) 8
NIVEL INTERMEDIO
10. Si x ∈[a; b]; a < b, entonces para algún t ∈[0; 1],x se puede escribir como
A) tb+(1– t)aB) tb+(t –1)aC) ta+(1+ t)aD) ta+(t –1)bE) (b – a)t
11. Si A m m= +
;13
y Bm m
=+ +
1
22
2;
determine todos los posibles valores de m ∈ Z, tal que A ⊂ B.
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 y 5 E) 6 y 8
12. Si m ∈ ⟨ – 1; 1⟩ – 0; además x; y ⊂ ⟨2; 5⟩ ¿en
qué intervalo se encuentra m2x+(1 – m2)y?
A) [0; +∞⟩ B) ⟨0; 5⟩ C) ⟨0; 10⟩D) ⟨2; 5⟩ E) ⟨2; 10⟩
13. Si x ∈ ⟨ – 3; 3⟩, halle el intervalo al que pertenece
3 3+ + −( )x x
A) ⟨ – 3; 3⟩ B) − 3 3; C) [0; 3⟩
D) 6 2 3; E) 0 6;
14. Determine el máximo valor de K, tal que
aa
bb
K22
22
4
9
25
16+
+
≥ ; a; b < 0.
A) 1 B) 40/3 C) 0D) 10/3 E) 5/3
15. Si x ∈ R+, determine el mínimo valor de
x x
x x
+( ) +( )
+ +
3 2
5 22
A) 2 B) 2 2 C) 4 2D) 4 E) 8
16. Si a; b; c son números reales no nulos, tal que 3(a2+b2+c2) ≥ l(a+b+c)2
determine el mayor valor de l.
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
17. ¿Cuál es la variación de l para que la desigualdad(a+b+c)(ab+bc+ac) ≥ l(abc)
se cumpla para a; b; c ∈ R+.
A) ⟨a; +∞⟩ B) ⟨ – ∞; 9] C) ⟨ – 9; 9⟩D) ⟨0; 9] E) R
18. Si a; b ∈ R+ y a ≠ b, halle el mayor valor entero negativo de m, tal que se cumpla que
a
b
b
a a bm2 2
1 1+ − − >
A) – 5 B) – 1 C) – 2D) – 3 E) – 4
19. Determine la variación de
fx y z
x y x z y z=
+ +( )+( ) +( ) +( )
3
; x; y; z ⊂ R+
A) 0278
;
B) 1278
;
C) [3; +∞⟩
D) 278
27;
E) 278
; + ∞
10
Álgebra
11
Semestral Intensivo UNI Álgebra
8. Halle el menor valor entero que adquiere f, donde
fx
x x=−
+ >4
11;
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
9. Si la desigualdad (a+b)(b+c)(a+c) ≥ Kabc se verifica para cualquier a; b; c ∈ R+, indique
el máximo valor de K.
A) 6 B) 10 C) 9D) 12 E) 8
NIVEL INTERMEDIO
10. Si x ∈[a; b]; a < b, entonces para algún t ∈[0; 1],x se puede escribir como
A) tb+(1– t)aB) tb+(t –1)aC) ta+(1+ t)aD) ta+(t –1)bE) (b – a)t
11. Si A m m= +
;13
y Bm m
=+ +
1
22
2;
determine todos los posibles valores de m ∈ Z, tal que A ⊂ B.
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 y 5 E) 6 y 8
12. Si m ∈ ⟨ – 1; 1⟩ – 0; además x; y ⊂ ⟨2; 5⟩ ¿en
qué intervalo se encuentra m2x+(1 – m2)y?
A) [0; +∞⟩ B) ⟨0; 5⟩ C) ⟨0; 10⟩D) ⟨2; 5⟩ E) ⟨2; 10⟩
13. Si x ∈ ⟨ – 3; 3⟩, halle el intervalo al que pertenece
3 3+ + −( )x x
A) ⟨ – 3; 3⟩ B) − 3 3; C) [0; 3⟩
D) 6 2 3; E) 0 6;
14. Determine el máximo valor de K, tal que
aa
bb
K22
22
4
9
25
16+
+
≥ ; a; b < 0.
A) 1 B) 40/3 C) 0D) 10/3 E) 5/3
15. Si x ∈ R+, determine el mínimo valor de
x x
x x
+( ) +( )
+ +
3 2
5 22
A) 2 B) 2 2 C) 4 2D) 4 E) 8
16. Si a; b; c son números reales no nulos, tal que 3(a2+b2+c2) ≥ l(a+b+c)2
determine el mayor valor de l.
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
17. ¿Cuál es la variación de l para que la desigualdad(a+b+c)(ab+bc+ac) ≥ l(abc)
se cumpla para a; b; c ∈ R+.
A) ⟨a; +∞⟩ B) ⟨ – ∞; 9] C) ⟨ – 9; 9⟩D) ⟨0; 9] E) R
18. Si a; b ∈ R+ y a ≠ b, halle el mayor valor entero negativo de m, tal que se cumpla que
a
b
b
a a bm2 2
1 1+ − − >
A) – 5 B) – 1 C) – 2D) – 3 E) – 4
19. Determine la variación de
fx y z
x y x z y z=
+ +( )+( ) +( ) +( )
3
; x; y; z ⊂ R+
A) 0278
;
B) 1278
;
C) [3; +∞⟩
D) 278
27;
E) 278
; + ∞
12
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 1
NIVEL AVANZADO
20. Sean a; b; c números reales, tal que a2+b2+c2=9. Determine el máximo valor de (a+b+c).
A) 3 3 B) 3 C) 9D) 3 E) 0
21. Si x; y; k son números reales positivos, tal que
3 22
2
2
2= +
+ +
kx
y
y
xk
xy
yx
determine el máximo valor de k.
A) 1 5
2+
B) −+1 52
C) 1 7
2+
D) −−1 72
E) −+1 72
22. Si a; b; c son números reales positivos menos que 1 con a+b+c=2, determine el máximo valor de l.
aa
bb
cc1 1 1−
−
−
≥ λ
A) 6 B) 4 C) 12D) 8 E) 2
23. Determine el mayor valor de l si
ac
cb
bc
ca
ac
ba
cb
⋅
+
+
≥ + +
2 2 2 2
λ
considere que a; b; c ∈ R+.
A) 3 3 B) 4 4 C) 2D) 1 E) 1/2
24. Si la desigualdad
27 82 3
1xxx
k x+ ++
≥ −
se verifica para x > 1, determine el mayor valor de k.
A) 3 B) 5 C) 2D) 4 E) 1
25. Sean a, b números reales positivos, tal que a+b=1. Determine el máximo valor de a.
aa
bb
+
+ +
≥
1 12 2
α
A) 12 B) 4 C) 25/2D) 23/2 E) 21/2
11
Álgebra
13
Semestral Intensivo UNI Álgebra 04SEMANA
NIVEL BÁSICO
1. Resuelva
3 1
22 3
35 12
5x x x−
<+
<+
A) −175
65
; B) −215
95
; C) −145
95
;
D) −215
65
; E) −175
135
;
2. Dados los conjuntos A=x ∈ R/x2 – 16x+64 ≥ 0 B=x ∈ R/4x2+4x+1 > 0 determine A – B.
A) R – – 2 B) R C) – 2D) – 1/2 E) f
3. Dados los conjuntos A=x ∈ R/2x2 – 3x < 5 B=x ∈ R/3x2 – 5x ≥ 2 determine la longitud de A ∩ B.
A) 1 B) 2 C) 3D) 7/6 E) 1/6
4. Determine el valor entero de n para que el conjunto solución de la inecuación cuadrática
(n+3)x2 – (3n+1)x+1 ≤ 0 sea unitario
A) 1 B) 2 C) 9D) 11 E) –11
5. Para qué valores de a la inecuación cuadrática x2+ax – 2 < 2x2 – 2x+2 se verifica ∀ x ∈ R
A) a ∈ ⟨ – 6; 2⟩B) a ∈ ⟨ – 15; – 10⟩C) a ∈ ⟨ – 10; – 7⟩D) a ∈ ⟨3; 6⟩E) a ∈ ⟨1; 3⟩
6. Resuelva x4 – 25x2+144 ≤ 0 e indique un intervalo solución.
A) [ – 3; – 3] B) ⟨4; +∞⟩ C) [3; 4]D) [ – 4; 4] E) [ – 3; 4]
7. Resuelva (x2+2x – 24)(x+3) < 0 e indique un intervalo solución.
A) ⟨ – 6; 3⟩ B) ⟨ – 6; – 3⟩ C) ⟨ – 3; +∞⟩D) ⟨ – ∞; – 3⟩ E) ⟨ – 3; 4⟩
8. Al resolver la inecuación (x4 – 1)(x – 2)2(x3+1) ≥ 0 se obtiene como solución x ∈ [b; +∞⟩ ∪ – 1 Determine b.
A) – 2 B) 2 C) 1D) 0 E) – 1
9. Determine el conjunto solución de
x bx a
ab
−−
< si 0 < a < b.
A) ⟨a; b⟩B) ⟨0; b⟩C) ⟨b; a+b⟩D) ⟨a – b; a+b⟩E) ⟨a; a+b⟩
NIVEL INTERMEDIO
10. Resuelva
xn
x xn
−−
<+1 3
21
4; n < – 0,5
A) −∞;12
B) 13
; + ∞ C) −∞;13
D) − + ∞13
; E) − + ∞12
;
Inecuaciones polinomiales
12
Álgebra
13
Semestral Intensivo UNI Álgebra 04SEMANA
NIVEL BÁSICO
1. Resuelva
3 1
22 3
35 12
5x x x−
<+
<+
A) −175
65
; B) −215
95
; C) −145
95
;
D) −215
65
; E) −175
135
;
2. Dados los conjuntos A=x ∈ R/x2 – 16x+64 ≥ 0 B=x ∈ R/4x2+4x+1 > 0 determine A – B.
A) R – – 2 B) R C) – 2D) – 1/2 E) f
3. Dados los conjuntos A=x ∈ R/2x2 – 3x < 5 B=x ∈ R/3x2 – 5x ≥ 2 determine la longitud de A ∩ B.
A) 1 B) 2 C) 3D) 7/6 E) 1/6
4. Determine el valor entero de n para que el conjunto solución de la inecuación cuadrática
(n+3)x2 – (3n+1)x+1 ≤ 0 sea unitario
A) 1 B) 2 C) 9D) 11 E) –11
5. Para qué valores de a la inecuación cuadrática x2+ax – 2 < 2x2 – 2x+2 se verifica ∀ x ∈ R
A) a ∈ ⟨ – 6; 2⟩B) a ∈ ⟨ – 15; – 10⟩C) a ∈ ⟨ – 10; – 7⟩D) a ∈ ⟨3; 6⟩E) a ∈ ⟨1; 3⟩
6. Resuelva x4 – 25x2+144 ≤ 0 e indique un intervalo solución.
A) [ – 3; – 3] B) ⟨4; +∞⟩ C) [3; 4]D) [ – 4; 4] E) [ – 3; 4]
7. Resuelva (x2+2x – 24)(x+3) < 0 e indique un intervalo solución.
A) ⟨ – 6; 3⟩ B) ⟨ – 6; – 3⟩ C) ⟨ – 3; +∞⟩D) ⟨ – ∞; – 3⟩ E) ⟨ – 3; 4⟩
8. Al resolver la inecuación (x4 – 1)(x – 2)2(x3+1) ≥ 0 se obtiene como solución x ∈ [b; +∞⟩ ∪ – 1 Determine b.
A) – 2 B) 2 C) 1D) 0 E) – 1
9. Determine el conjunto solución de
x bx a
ab
−−
< si 0 < a < b.
A) ⟨a; b⟩B) ⟨0; b⟩C) ⟨b; a+b⟩D) ⟨a – b; a+b⟩E) ⟨a; a+b⟩
NIVEL INTERMEDIO
10. Resuelva
xn
x xn
−−
<+1 3
21
4; n < – 0,5
A) −∞;12
B) 13
; + ∞ C) −∞;13
D) − + ∞13
; E) − + ∞12
;
Inecuaciones polinomiales
14
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 1
11. ¿Qué valor debe tomar k para que la inecua-ción cuadrática en x tenga solución única?
kx2 – (5k+2)x+8k+2 ≥ 0
A) 2 B) 0 C) – 2/7D) – 7/2 E) 2/7
12. Halle la intersección de los conjuntos P=x ∈ R/x2 – 2x+a ≥ 0 y Q=x ∈ R/x2 – ax – 2a2 ≥ 0
donde 34
1≤ <a .
A) f
B) − − − a a; 1 1
C) −∞ − − ; 1 1 a
D) 1 1+ − + ∞ a;
E) − − − ∪ + − − a a a a; ;1 1 1 1 2UNI 2007 - II
13. Calcule la suma de todos los números natura-les múltiplos de 23 que verifican
07 175 900
51
2
2<− −( )
+<
x x
x x
A) 69 B) 92 C) 391D) 138 E) 220
14. Dada la inecuación en x (a – b)x2+(b – c)x+(c – a) > 0 se obtuvo como CS=⟨ – ∞; m⟩ ∪ ⟨3; +∞⟩.
Determine c ba b
−−
.
A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) – 3
15. Al resolver la inecuación en x
ax ax b
b a b a<++
< ≠ >; ; 1
se obtiene a b− −2143
;
Determine a+b.
A) 3 B) 8/3 C) 10D) 8 E) 6
16. Resuelva x(x+6)(2x+1) < x(x+6)(x – 7) e indique el conjunto solución.
A) ⟨ – ∞; – 6⟩ ∪ 0B) ⟨ – ∞; – 8⟩ ∪ ⟨ – 6; 0⟩C) R+ – 3D) R – – – 3E) R – – 6
17. Determine las soluciones negativas de la ine-cuación
x x x x
x x x
2 3
5 3 22 35 2 1
2 20
− −( ) +( ) −( )+ − −
≥
A) ⟨ – 1; 0⟩ B) ⟨ – 7: 0⟩ C) [ – 5; – 2]D) [ – 5; – 1] E) R –
18. Halle los valores de a para que la desigualdad
− <+ −− +
<32
12
2
2x ax
x x se verifique ∀ x ∈ R.
A) ⟨ – 1; 4⟩ B) R C) ⟨ – 1; 2⟩D) [1; 2⟩ E) ⟨0; 1⟩
19. Indique su conjunto solución de
2 1 2 3
4 5 30
2 5 2
2 5x x x
x x x
−( ) +( ) −( )
+ +( ) −( )<
A) ⟨ – 2; 6⟩
B) ⟨ – 2; +3⟩ – 1/2
C) − ∪212
3 6; ;
D) − − 2 612
3; ;
E) 12
6 3; −
13
Álgebra
15
Semestral Intensivo UNI Álgebra
NIVEL AVANZADO
20. Indique para qué valores de k el polinomio P(x)=(k+1)x2+2x+2 tiene sus dos raíces den-
tro del intervalo de ⟨ – 1; 1⟩.
A) − −
512
; B) ⟨1; 2⟩ C) − −112
;
D) − −
112
; E) − −
112
;
21. Sea P(x)=x3 – 3ax2 – a2x+3a3
donde a > 0; Q(x)= – P(x – a)
Indique lo correcto.
A) Q(x) ≥ P(x); ∀ x < 0B) Q(x) ≥ P(x); ∀ x ∈ ⟨0; a⟩C) P(x) ≥ Q(x); ∀ x ∈ ⟨a; 2a⟩D) Q(x) ≥ P(x); ∀ x ∈ ⟨2a; 3a⟩E) Q(x) ≥ P(x); ∀ x > 3a
UNI 2000 - II
22. En la inecuación
x x x x x
x x
+( ) −( ) −( ) + +( )+( ) +( )
<1 2 3 1
7 50
17 13 5 2 40
11 17
Dé como respuesta la suma de los extremos finitos del conjunto solución.
A) – 4 B) – 5 C) – 7D) – 8 E) – 6
23. Dado el polinomio P(x)=x4+mx3+nx2+dx+36 de raíces a; b; c y d donde a+2b+3c+6d=24 a; b; c; d ⊂ R+ resuelva la inecuación P(x) ≤ 0 y dé como respuesta el supremo de su conjun-to solución.
A) 6 B) 4 C) 3D) 5 E) 2
24. Sean a; b; c lados de un triángulo y ka2 < (a+b+c)2... P(1)
Resuelva la inecuación (x – 5k0)(x3 – 6k0x2+11k0
2x – 6k03) < 0
donde CS=A, k0=máxk ∈ Z/k verifica P1 Halle Sup(A)+Inf(A).
A) 15 B) 18 C) 21D) 12 E) 24
25. Al resolver la inecuación
1
1
21
1
31
1
43
500
2
500
2
500
2
500
2
++
+ ++
+ ++
−>x x x
x ++( )+
++ +
++
++
1
2
3 9 1
3
2 9
4
2
2
3
2
2
2x
x x
x
x
x
presenta un conjunto solución CS=⟨ – 2; h⟩
si a+b=|h|, determine (a2+b)5 – (a+b2)5
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
14
Álgebra
15
Semestral Intensivo UNI Álgebra
NIVEL AVANZADO
20. Indique para qué valores de k el polinomio P(x)=(k+1)x2+2x+2 tiene sus dos raíces den-
tro del intervalo de ⟨ – 1; 1⟩.
A) − −
512
; B) ⟨1; 2⟩ C) − −112
;
D) − −
112
; E) − −
112
;
21. Sea P(x)=x3 – 3ax2 – a2x+3a3
donde a > 0; Q(x)= – P(x – a)
Indique lo correcto.
A) Q(x) ≥ P(x); ∀ x < 0B) Q(x) ≥ P(x); ∀ x ∈ ⟨0; a⟩C) P(x) ≥ Q(x); ∀ x ∈ ⟨a; 2a⟩D) Q(x) ≥ P(x); ∀ x ∈ ⟨2a; 3a⟩E) Q(x) ≥ P(x); ∀ x > 3a
UNI 2000 - II
22. En la inecuación
x x x x x
x x
+( ) −( ) −( ) + +( )+( ) +( )
<1 2 3 1
7 50
17 13 5 2 40
11 17
Dé como respuesta la suma de los extremos finitos del conjunto solución.
A) – 4 B) – 5 C) – 7D) – 8 E) – 6
23. Dado el polinomio P(x)=x4+mx3+nx2+dx+36 de raíces a; b; c y d donde a+2b+3c+6d=24 a; b; c; d ⊂ R+ resuelva la inecuación P(x) ≤ 0 y dé como respuesta el supremo de su conjun-to solución.
A) 6 B) 4 C) 3D) 5 E) 2
24. Sean a; b; c lados de un triángulo y ka2 < (a+b+c)2... P(1)
Resuelva la inecuación (x – 5k0)(x3 – 6k0x2+11k0
2x – 6k03) < 0
donde CS=A, k0=máxk ∈ Z/k verifica P1 Halle Sup(A)+Inf(A).
A) 15 B) 18 C) 21D) 12 E) 24
25. Al resolver la inecuación
1
1
21
1
31
1
43
500
2
500
2
500
2
500
2
++
+ ++
+ ++
−>x x x
x ++( )+
++ +
++
++
1
2
3 9 1
3
2 9
4
2
2
3
2
2
2x
x x
x
x
x
presenta un conjunto solución CS=⟨ – 2; h⟩
si a+b=|h|, determine (a2+b)5 – (a+b2)5
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
16
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 1 05SEMANA
NIVEL BÁSICO
1. Sean A y B dos conjuntos, tales que A=x ∈ R/|3x – 1|=|5x – 15| B=x ∈ R/|x+5|=2x – 4 Entonces determine (A – B) ∪ (B – A).
A) 7 B) 9 C) 0D) ⟨ – ∞; 0] E) 2; 7; 9
2. Dada la igualdad |x – a+b|=|x+a – b| indique lo correcto.
A) x=0 ∨ a2=b2
B) x=a=bC) x=0 ∧ a=bD) x=0 ∨ a=bE) x=a= – b
UNI 2009 - I
3. Si A=x ∈ R/|3x – 1|=2x+5 B=x ∈ R/|x+2|+6=3x halle la suma de los elementos de A ∪ B.
A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 46/5
4. Resuelva 4 – x ≥ |x2 – 6x+8|
A) [1; 3] ∪ ⟨4; +∞⟩B) [1; 3] ∪ ⟨2; +∞⟩C) ⟨1; 3⟩ ∪ 4D) [1; 3] ∪ 4E) f
5. Resuelva |x – 2|2 – 3|x – 2| – 28 < 0
A) ⟨ – 4; 9⟩ B) ⟨ – 5; 9⟩ C) ⟨ – 3; 6⟩D) ⟨ – 5; 6⟩ E) ⟨ – 2; 3⟩
Valor absoluto y Expresiones irracionales
6. Resuelva |x2+4x – 7| > |x2 – 2x – 5|
A) − ∪ + ∞313
2; ;
B) ⟨2; +∞⟩C) ⟨ – 3; 3⟩ ∪ ⟨2; +∞⟩D) ⟨ – 3; 2⟩E) R
7. Luego de resolver la ecuación
4 5 3 1 1 2 1x x x x+ − + + − = − determine el número de soluciones.
A) 0 B) 1 C) 3D) 4 E) 2
8. Resuelva la inecuación
x2 16 3− ≤
A) ⟨ – ∞; – 4] ∪ [4; +∞⟩B) [ – 5; 5]C) [ – 5; – 4] ∪ [4; 5]D) R – [ – 5; 5]E) f
9. Resuelva x x+ >42
A) x ∈ [ – 6; 7⟩B) x ∈ ⟨ – 6; 7⟩C) x ∈ [ – 42; +∞⟩D) x ∈ ⟨0; 7⟩E) x ∈ [ – 42; 7⟩
NIVEL INTERMEDIO
10. Determine el conjunto solución de la ecuación 5 2 3 2− − = −x x
A) 14
94
; B) − 14
94
; C) − 52
52
;
D) 14
94
52
52
; ; ;− E) f
15
Álgebra
17
Semestral Intensivo UNI Álgebra
11. Dado el conjunto A x x x x= ∈ − − − − = R 2 3 3 4 determine el número de elementos de A.
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
12. Resuelva la siguiente inecuación.
xx
x− + − ≥1
4 08
A) [ – 1; 0⟩ ∪ [1; 4]B) [1; 4]C) ⟨ – 1; 0⟩ ∪ [1; 7]D) RE) f
13. Resuelva
x x x2 5 4 7− + < −
A) ⟨ – ∞; 1] ∪ [4; 5⟩B) ⟨ – ∞; 1] ∪ [3; 4⟩C) ⟨ – ∞; 1] ∪ ⟨4; 5⟩D) ⟨ – ∞; 1] ∪ [4; 6⟩E) ⟨ – ∞; 2] ∪ [3; 4⟩
14. Resuelva
x x x x3 23 3 5 6 2− + − > − e indique su intervalo solución.
A) x ∈ −∞ ∪ + ∞; ;13
2
B) x ∈ −∞ − ∪ + ∞; ;14
14
C) x ∈ − + ∞16
;
D) x ∈ RE) x ∈ f
15. Luego de resolver la inecuación
x x
xx
2 2 22 4
4− − −
− +≥ −
se obtiene como conjunto solución x ∈ [a; b] ∪ [c; d] Determine a+b+c+d.
A) – 4 B) – 2 C) – 1D) 3 E) 2
16. Dados los conjuntos A x x x= ∈ − ≤ R 1
B x A x x= ∈ − − ≤ 1 1 determine A\B.
A) f B) −
12
12
; C) −
12
0;
D) −
12
0; E) [0; +∞⟩
UNI 2009 - II
17. Resuelva
xx
xx
+−
<−+
12
23
A) ⟨ – ∞; – 4⟩ B) ⟨ – ∞; – 3⟩ C) ⟨ – ∞; – 1⟩D) ⟨ – ∞; – 5⟩ E) f
18. Resuelva |x – 1| – |x|+|2x+3| > 2x+4
A) −∞ −;32
B) −∞ − ∪; ;32
0 1
C) ⟨0; 1⟩ ∪ ⟨1; +∞⟩
D) −∞ − ∪ + ∞; ;32
1
E) R
19. Al resolver la inecuación
4 1
21 1
4 26
85− + −
−≥ − −
x x
xx
su conjunto solución es ⟨a; b]. Determine a2+b2.
A) 5 B) 10 C) 20D) 17 E) 13
16
Álgebra
17
Semestral Intensivo UNI Álgebra
11. Dado el conjunto A x x x x= ∈ − − − − = R 2 3 3 4 determine el número de elementos de A.
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
12. Resuelva la siguiente inecuación.
xx
x− + − ≥1
4 08
A) [ – 1; 0⟩ ∪ [1; 4]B) [1; 4]C) ⟨ – 1; 0⟩ ∪ [1; 7]D) RE) f
13. Resuelva
x x x2 5 4 7− + < −
A) ⟨ – ∞; 1] ∪ [4; 5⟩B) ⟨ – ∞; 1] ∪ [3; 4⟩C) ⟨ – ∞; 1] ∪ ⟨4; 5⟩D) ⟨ – ∞; 1] ∪ [4; 6⟩E) ⟨ – ∞; 2] ∪ [3; 4⟩
14. Resuelva
x x x x3 23 3 5 6 2− + − > − e indique su intervalo solución.
A) x ∈ −∞ ∪ + ∞; ;13
2
B) x ∈ −∞ − ∪ + ∞; ;14
14
C) x ∈ − + ∞16
;
D) x ∈ RE) x ∈ f
15. Luego de resolver la inecuación
x x
xx
2 2 22 4
4− − −
− +≥ −
se obtiene como conjunto solución x ∈ [a; b] ∪ [c; d] Determine a+b+c+d.
A) – 4 B) – 2 C) – 1D) 3 E) 2
16. Dados los conjuntos A x x x= ∈ − ≤ R 1
B x A x x= ∈ − − ≤ 1 1 determine A\B.
A) f B) −
12
12
; C) −
12
0;
D) −
12
0; E) [0; +∞⟩
UNI 2009 - II
17. Resuelva
xx
xx
+−
<−+
12
23
A) ⟨ – ∞; – 4⟩ B) ⟨ – ∞; – 3⟩ C) ⟨ – ∞; – 1⟩D) ⟨ – ∞; – 5⟩ E) f
18. Resuelva |x – 1| – |x|+|2x+3| > 2x+4
A) −∞ −;32
B) −∞ − ∪; ;32
0 1
C) ⟨0; 1⟩ ∪ ⟨1; +∞⟩
D) −∞ − ∪ + ∞; ;32
1
E) R
19. Al resolver la inecuación
4 1
21 1
4 26
85− + −
−≥ − −
x x
xx
su conjunto solución es ⟨a; b]. Determine a2+b2.
A) 5 B) 10 C) 20D) 17 E) 13
18
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico N.o 1
NIVEL AVANZADO
20. Resuelva
x x x> + −( ) − +( )4 1 1 1 1
A) x ∈ −12
0;
B) x ∈ 012
;
C) x ∈ ⟨0; 1⟩
D) x ∈ ⟨ – 1; 1⟩
E) x ∈[ – 1; 0⟩
21. Si el conjunto
A x x x= ∈ − − − ≥ R 2 1 1 0 entonces el conjunto R \ A está dado por
A) f B) [ – 2; 2] C) ⟨ – 2; 2⟩D) ⟨ – 2; 1⟩ E) [ – 2; 1]
22. El conjunto
A x a ax x ax= ∈ < − − > + R 4 2 2y
es igual a
A) −∞ ] ∪ − + ∞
; ;01a
B) 01
; −
a
C) 1a
; + ∞
D) R
E) −∞ −;1a
UNI 2002 - I
23. Luego de resolver la ecuación.
x x x x x1 3 3 0− + −( ) = ≠,
se obtuvo como solución xmn
= . Determine m+n.
A) 11 B) 12 C) 13D) 10 E) 14
24. Si x1 es una solución de la ecuación
3 2 3
2 3
23
10 3 182
22x x
x xx x
− −
−= + −
indique M=(x1 – 1) – 4.
A) 1/4 B) 1/16 C) 1/8D) 1/32 E) 1/81
25. Dado el conjunto
A x xx x
x xx= ∈ − − + = +
R 7
3 8 1 82 2
halle el cardinal de A.
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
17
Álgebra
Números complejos
01 - b
02 - c
03 - d
04 - b
05 - e
06 - e
07 - a
08 - a
09 - e
10 - b
11 - d
12 - e
13 - c
14 - b
15 - d
16 - b
17 - a
18 - d
19 - a
20 - b
21 - a
22 - b
23 - b
24 - d
25 - c
ecuacioNes poliNomiales
01 - d
02 - c
03 - b
04 - e
05 - d
06 - d
07 - e
08 - c
09 - d
10 - a
11 - c
12 - c
13 - a
14 - a
15 - d
16 - a
17 - b
18 - d
19 - c
20 - c
21 - e
22 - b
23 - d
24 - d
25 - e
DesigualDaDes
01 - e
02 - b
03 - e
04 - a
05 - a
06 - a
07 - d
08 - e
09 - e
10 - a
11 - a
12 - d
13 - d
14 - d
15 - d
16 - a
17 - b
18 - b
19 - e
20 - a
21 - d
22 - d
23 - d
24 - c
25 - c
iNecuacioNes poliNomiales
01 - b
02 - d
03 - d
04 - a
05 - a
06 - c
07 - e
08 - c
09 - e
10 - c
11 - c
12 - e
13 - c
14 - c
15 - e
16 - b
17 - c
18 - c
19 - b
20 - d
21 - d
22 - d
23 - a
24 - e
25 - a
Valor absoluto y expresioNes irracioNales
01 - e
02 - d
03 - e
04 - d
05 - b
06 - a
07 - a
08 - c
09 - e
10 - b
11 - b
12 - a
13 - a
14 - a
15 - c
16 - d
17 - b
18 - a
19 - c
20 - e
21 - d
22 - b
23 - c
24 - b
25 - b
Semestral Intensivo