Unidad 5 :Diseo de experimentosEn el campo de la industria es frecuente hacer experimentos o pruebas con la intencin de resolver un problema o comprobar una idea (hiptesis).

Ejemplos hacer algunos cambios en los materiales, mtodos o condiciones de operacin de un proceso probar varias temperaturas en un reactor qumico hasta encontrar la que d mejor resultado crear un nuevo material con la intencin de lograr mejorar o eliminar algn problema.

Prueba y error Sin embargo, es comn que estas pruebas o experimentos se hagan sobre la marcha, con base en el ensayo y error, apelando a la experiencia y a la intuicin, en lugar de seguir un plan experimental adecuado que garantice una buena respuesta a los interrogantes planteados.

El diseo estadstico de experimentos esprecisamente la forma ms eficaz de hacerpruebas.

El diseo de experimento consiste endeterminar cuales pruebas se deben realizary de que manera, para obtener datos quesean analizados estadsticamente.

Con el objetivo de que proporcionenevidencias objetivas que permitan responderlos interrogantes planteados, y de esamanera clarificar los aspectos inciertos de unproceso, resolver un problema o lograrmejoras.

Algunos problemas tpicos que puedenresolverse con el diseo y el anlisis deexperimentos son los siguientes:

Comparar a dos o ms materiales con el finde elegir el que mejor cumple con losrequerimientos.Comparar varios instrumentos de medicinpara verificar si trabajan con la mismaprecisin y exactitud.

Para que sirven los E.D.

Determinar las variables de un procesoque tienen impacto sobre una o mscaractersticas del producto final.

Encontrar las condiciones de operacin(temperatura, velocidad, humedad, presin)donde se reduzcan los defectos o se logreun mejor desempeo del proceso.

Para que sirven los E.D.Reducir el tiempo de ciclo del proceso.Hacer el proceso insensible o robusto a oscilaciones de variables ambientales.Apoyar el diseo o rediseo de nuevos productos o procesos.Ayudar a conocer y caracterizar nuevos materiales.

Definiciones bsicas en el diseo de experimentosExperimento: Es un cambio en las condiciones de operacin de un sistema o proceso, que sehace con el objetivo de medir el efecto delcambio sobre una o varias propiedades delproducto, proceso o resultado.

Definiciones bsicas en el diseo de experimentos

Por ejemplo, en un proceso qumico sepueden probar diferentes temperaturas ypresiones y medir el cambio observado enel rendimiento del proceso.

Unidad experimental

La unidad experimental es la pieza(s) o muestra(s) que se utiliza(n) para generar unvalor que sea representativo del resultado delexperimento o prueba.

Unidad experimental

En cada diseo de experimentos esimportante definir de manera cuidadosa launidad experimental, ya que sta puede seruna pieza o muestra de una sustancia o unconjunto de piezas producidas, dependiendodel proceso que se estudia.

Por ejemplo, si se quiere investigaralternativas para reducir el porcentaje depiezas defectuosas, fabricadas con unamezcla de PVC y polipropileno, en unproceso que produce muchas piezas en unlapso corto de tiempo, es claro que no seramuy conveniente que la unidad experimentalfuera una sola pieza, en la cual se vea si enuna condicin experimental estabadefectuosa o no.

Aqu la unidad experimental mas adecuada sera una cierta cantidad de piezas que seproducen en las mismas condicionesexperimentales.

Definiciones bsicas en el diseo de experimentos

Variables, factores y niveles En todo proceso intervienen distintos tiposde variables o factores.

Definiciones bsicas en el diseo de experimentosVariables de respuesta: a travs de estasvariables se conoce el efecto o los resultadosde cada prueba experimental, por lo quepueden ser caractersticas de la calidad deun producto y/o variables que miden eldesempeo de un proceso.

Ejemplo de variable de respuestaPor ejemplo: el rendimiento de un procesoqumico

El objetivo de muchos estudiosexperimentales es encontrar la forma demejorar las variables de respuesta.

Por lo general, estas variables se denotancon la letra y

Factores controlables:

Son variables de proceso o caractersticas de losmateriales experimentales que se pueden fijar enun nivel dado.

Son variables de entrada que usualmente secontrolan durante la operacin normal delproceso y se distinguen porque existe la manerao el mecanismo para cambiar o manipular sunivel de operacin.

Ejemplos de Factores controlables

Si en un proceso se usa agua a 60 C, entonces debe existir algn mecanismo quepermita fijar la temperatura del agua dentrode algn rango de operacin.

Ejemplos de Factores controlablesAlgunos factores que generalmente se controlan son:

temperatura, tiempo de residencia, cantidadde cierto reactivo, tipo de reactivo, mtodo deoperacin, velocidad, presin etc.

A los factores controlables tambin se losllama variables de entrada, condiciones delproceso, variables de diseo, parmetrosdel proceso, las x de un proceso osimplemente factores.

Factores no controlables o de ruidoSon variables y caractersticas de materiales y mtodos que no se pueden controlar durante elexperimento o la operacin normal del proceso.

Por ejemplo, algunos factores que suelen serno controlables son:

Factores no controlables o de ruido- las variables ambientales (luz, humedad, temperatura, partculas, ruido, etc).- el nimo de los operadores.- la calidad del material que se recibe del proveedor.

Un factor que ahora es no controlable puedeconvertirse en controlable cuando se cuentacon el mecanismo o la tecnologa para ello.

Factores estudiados Son las variables que se investigan en el experimento, respecto de cmo influyen oafectan a las variables de respuesta.

Para que un factor pueda ser estudiado esnecesario que durante el experimento, sehaya probado en al menos, dos niveles ocondiciones.

Definiciones bsicas en el diseo de experimentosNiveles y tratamientos Los diferentes valores que se asignan a cadafactor estudiado en un diseo experimentalse llaman niveles.

Una combinacin de niveles de todos losfactores estudiados se llama tratamiento opunto de diseo.

Definiciones bsicas en el diseo de experimentosPor ejemplo, si en un experimento se estudiala influencia de la concentracin y latemperatura, y se decide probar cada una endos niveles, entonces cada combinacin deniveles (concentracin, temperatura) es untratamiento.

En este caso habra cuatro tratamientos.

Niveles y tratamientosTabla de tratamientos

Nivel de concentracinNivel de temperaturaTratamientoY111212123224

Error aleatorio y error experimental: Siempre que se realiza un estudioexperimental, parte de la variabilidadobservada en la respuesta no se podrexplicar por los factores estudiados.

Esto es, siempre habr un remanente devariabilidad que se debe a causascomunes o aleatorias, que generan lavariabilidad natural del proceso.

Definiciones bsicas en el diseo de experimentosError aleatorio y error experimental:

Esta variabilidad constituye el llamado erroraleatorio (incertidumbre estadstica).

Error aleatorio y error experimentalPor ejemplo, ser parte de este erroraleatorio, el pequeo efecto que tienen losfactores que no se estudiaron, siempre ycuando se mantenga pequeo odespreciable, as como la variabilidad de lasmediciones hechas bajo las mismascondiciones.

Error aleatorio y error experimental El error aleatorio tambin comprende todos los errores que el experimentador comete durante los experimentos, y si stos son graves, mas que error aleatorio hablaremos de error experimental

Principios bsicos del diseo de experimentoEl diseo de experimento trata defenmenos que son observables yrepetibles.

Cualquier cosa observada se aprecia convariabilidad, nada ocurre exactamente de lamisma forma dos veces

De acuerdo a lo anterior, el punto de partidapara una correcta planeacin es aplicar losprincipios bsicos del diseo deexperimentos: aleatorizacin, repeticin ybloqueo.

La validez del anlisis de los datos se apoyaen estos principios.

AleatorizacinConsiste en hacer las corridas experimentalesen orden aleatorio (al azar) y con el materialtambin seleccionado aleatoriamente.

Este principio aumenta la probabilidad de queel supuesto de independencia de los erroresse cumpla, lo cual es un requisito para lavalidez de las pruebas de estadstica que serealizan.

Tambin es una manera de asegurar que laspequeas diferencias provocadas pormateriales, equipos y todos los factores nocontrolados, se repartan de manerahomognea en todos los tratamientos.

RepeticinEs correr ms de una vez un tratamiento o unacombinacin de factores.

Es preciso no confundir este principio conmedir varias veces el mismo resultadoexperimental.

Repetir es volver a realizar un tratamiento, pero no inmediatamente despus de habercorrido el mismo tratamiento, sino cuandocorresponda de cuerdo con la aleatorizacin.

Las repeticiones permiten distinguir mejorque parte de la variabilidad total de los datosse debe al error aleatorio y cual a losfactores.

BloqueoConsiste en tomar en cuenta todos losfactores que pueden afectar a la respuestaobservada. Por ejemplo, si se quiere comparar cuatromaquinas, es importante tomar en cuenta eloperador de las mquinas, en especial si secree que la habilidad y los conocimientos deloperador pueden influir en el resultado.

ActividadesSuponga que se quiere estudiar eldesempeo de un automvil y lo que sedesea es encontrar los factores que msinfluyen en su rendimiento

Cuales podran ser las variables derespuestas? Cuales los factores a estudiar? Cuales los factores no controlables o deruido?

Se quiere comparar el desgaste de dosmarcas de neumticos A y B, para lo cual seeligen al azar 10 conductores particulares decierta ciudad .

A cinco de ellos , seleccionados al azar, seles instala gratis los neumticos marca A y alos cinco restantes, la marca B, con elcompromiso por escrito de permitir laverificacin del desgaste cada tres meses.

Cree que este experimento permita lacomparacin justa del desgaste de las dosmarcas de neumticos?

b) Que consideraciones hara usted enel experimento para mejorar lacomparacin?

Experimentos con un solo factorEn Probabilidad y Estadstica de segundoao vimos los mtodos para comparar dostratamientos o condiciones (poblaciones oprocesos), con la llamada prueba dehiptesis.Ahora vamos a comparar ms de dospoblaciones o procesos, o grupos depersonas, o reactores qumicos

EjemploEn una industria qumica se desea investigar la influencia de la temperatura enel rendimiento de un proceso qumico. Lascorridas se realizarn en cuatrotemperaturas distintas. Esto se hace con el fin de estudiar sialguna de las temperaturas elegida es mejorque la que se estaba usando hasta elmomento.

Modelo estadsticoPor lo general el inters del investigador estcentrado en comparar los tratamientos en cuanto a sus medias poblacionales, sin olvidar que tambin es importante compararlos con respecto a sus varianza. As desde elpunto de vista estadstico, la hiptesis fundamental aprobar cuando se comparan varios tratamientos es:

Ejemplo Un fabricante de butilglicol desea disminuir el tiempo de una reaccin de sntesis, la cual se puede hacer con uno de cuatro tipos de catalizadores.

Se prueban en orden aleatorio 24 lotes, seis de cada tipo de catalizador. Los datos, en minutos, sobre el tiempo de reaccin de cada tipo de catalizador se muestran en la tabla

Tabla de valores

Tipo de cueroObservacionesPromedio

A264260258241262255256,7B208220216200213206209,8C220263219225230228230,8D217226215227220222220,7

Teora general

Supongamos que se tienen k poblaciones, independientes con medias y varianzas desconocidas.

Las poblaciones pueden ser k mtodos de produccin, k reactores, k grupos, etc

Teora generalEn el caso de que los tratamientos tenganefecto, las observaciones de la tabla se podrn describir con el modelo estadstico lineal dado por:

Modelo estadsticoDonde es un parmetro de escalacomn a todos los tratamientos, llamada media global, es un parmetroque mide el efecto del tratamiento i y es el error atribuible a la medicin(incertidumbre estadstica) .

Modelo estadsticoEste modelo implica que en el diseocompletamente al azar actuaran a lo sumo dos fuentes de variabilidad: lostratamientos y el error aleatorio.

La media global no se la considera una fuente de variabilidad

Diferencias entre la media global y la media de los tratamientosSi la respuesta media de un tratamientoparticular es muy diferente a la respuestamedia global, es un sntoma de que existe un efecto de dicho tratamiento.

Diferencias entre la media global y la media de los tratamientosLa diferencia que existen entre la mediaglobal y las medias particulares deben ser expuestas a un anlisis ANOVA para saber si son estadsticamente significativas.

ANOVA para el diseo completamente al azar El anlisis de la varianza (ANOVA) es la tcnicacentral en el anlisis de datos experimentales.

La idea general es separar la variacin total en laspartes con las que contribuye cada fuente devariacin en el experimento.

En nuestro caso, se separa la variabilidad debidaa los tratamientos y la debida al error.

ANOVA para el diseo completamente al azarCuando la primera predomina claramentesobre segunda, es cuando se concluye que los tratamientos tienen efecto, dicho de otra manera las medias son diferentes.

ANOVA para el diseo completamente al azar

Cuando los tratamientos no predominan, esque contribuyen igual que el error, se concluye que las medias son iguales.

Notacin de puntosSirve para representar de manera abreviadacantidades numricas que se pueden calcular a partir de los datosexperimentales, donde representa la j-esima observacin en el tratamiento i.

Notacin de puntosLas cantidades de inters son:Suma de las observaciones del tratamiento i=Media de las observaciones del i-esimo tratamiento= Suma total de las N mediciones = Media global o promedio de todas las observaciones=

Descomposicin de la variabilidad totalPara probar la hiptesis nula, donde todas lasmedias son iguales mediante la tcnica de ANOVA, lo primero es descomponer la variabilidad total de los datos en sus doscomponentes: la variabilidad debida al tratamiento y la que corresponde al error aleatorio.

Descomposicin de la variabilidad totalUna medida de la variabilidad total presente en las observaciones de la tabla es la suma total de cuadrados dada por,

Descomposicin de la variabilidad totalSe suma y resta dentro del parntesis la media del tratamiento i ( )

Desarrollando el cuadrado

Sumas de cuadradosDonde el primer componente es la suma de loscuadrados de los tratamientos ( ) y el segundo es la suma de cuadrados del error ( ).

Al observar con detalle estas sumas de cuadrado seaprecia que la mide la variacin odiferencias entre tratamientos, ya que si estos sonmuy diferentes entre si, entonces la diferencia tender a ser grande en valorabsoluto.

Suma del cuadrado del errorMientras que el segundo trmino ( ) mide la variacin dentro de tratamientos, yaque si hay mucha diferencia entre lasobservaciones de cada tratamiento,entonces tender a ser grande en valor absoluto.

Forma abreviadaEn forma abreviada, esta descomposicin de la suma totalde cuadrados se puede escribir como:

Ntese que tambin puede escribirse como:

Grados de libertadComo hay en total N observaciones, (suma total de los tratamientos) tiene N -1 grados de libertad.

Como hay k tratamientos o niveles del factor de inters (A, B, C, D), tiene k -1 grados de libertad.

Mientras que la tiene N k grados de libertad.

Cuadrados mediosLas sumas de los cuadrados divididas entre sus respectivos grados de libertad se llaman cuadrados medios. Los dos que ms interesan son el cuadrado medio de tratamientos y el cuadrado medio del error, que se denotan por

Estadstico de pruebaCuando la hiptesis nula es verdadera, ambos cuadradosmedios estiman la varianza .

Con base en este hecho se construye el estadsticode prueba como sigue: se sabe que y son independientes, por lo que y sondos variables aleatorias independientes con distribucin ji-cuadrada con N k y k 1 grados de libertad, respectivamente.

Estadstico de pruebaEntonces bajo el supuesto de que la hiptesis nula es verdadera, el estadstico

Estadstico de pruebaSigue una distribucin F con k 1 grados de libertad en elnumerador y N k grados de libertad en el denominador.

Si es grande, se debe rechazar la hiptesis nula, es decir que se rechaza que los tratamientos sean todosIguales.

En cambio si es pequeo se confirma la validez de lahiptesis nula.

Es decir que elegido un determinado , si el valor p es mas pequeo que l, se rechaza la hiptesis nula.

Tabla ANOVA

F.V S.CG.L.C.M.ValorPTratamientosErrorN - kTotalN -1

Clculosa

Clculosa

Clculosa

ConclusionesCon obtenemos el valor de f de tabla con 3 Grados de libertad en el numerador y 20 grados de libertad en el numerador.

Como es mucho mayor que se rechaza y se concluye que hay diferencia estadsticamente significativaentre los distintos tipos de catalizadores..

ConclusionesTambin calculamos el valor P que es la probabilidad de que

Esto es igual a cero, lo que indica que rechazar ha sido una idea fuerte.

Comparaciones o pruebas de rangos mltiplesDespus de que se rechaz la hiptesis nulaen un anlisis de varianza, es necesario ir a detalle y ver cuales tratamientos son diferentes.

Comparaciones o pruebas de rangos mltiplesComparacin de parejas de medias de tratamientos

Cuando no se rechaza la hiptesis nula, el objetivodel experimento est cubierto y la conclusin es quelos tratamientos no son diferentes.

Si por el contrario se rechaza la hiptesis nula , es necesario investigar cuales tratamientos resultaron diferentes o cuales provocaron la diferencia.

Estos interrogantes se responden probando la igualdad de todos los posibles pares de medias.

Mtodo LSD (diferencia mnima significativa) Este mtodo se basa en probar la igualdadde todos los posibles pares de medias con la hiptesis

Estadstico de pruebaEl estadstico de prueba para cada una de las6 hiptesis posibles es la correspondiente diferencia en valor absoluto entren sus medias muestrales. Se rechaza la hiptesis nula

Siempre que ocurra

Diferencia mnima significativaLa cantidad LSD se llama diferencia minimasignificativa, ya que es la diferencia mnima que debe existir entre dos medias muestrales para considerar que los tratamientos correspondientes son significativamente diferentes.

Diferencia mnima significativaAs cada diferencia de medias muestrales en valorabsoluto que sea mayor que el numero LSD sedeclara significativa.

Si todos los tratamientos tienen el mismonmero de rplicas, la cantidad LSD se reduce a:

Pares de hiptesisSe prueban las seis posibles pares de hiptesis

Valor t y LSDBuscamos el valor de con 20 gradosde libertad = 2,085

Tabla para la diferencia de medias

DiferenciapoblacionalDiferencia muestralDecisin256,7 209,8 = 46,9Significativa256,7 - 230,8 = 25,9 Significativa 256,7 - 220,7 = 36 Significativa 209,8 - 230,8 = 21 Significativa 209,8 - 220,7 = 10,9 No Significativa 230,8 - 220,7 = 10,1 No Significativa

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