Casos Prácticos de Investigación de Operaciones

Ejemplo de la aplicación del Método de Transporte

Planteamiento del Problema: La empresa Conteiner, C.A., tiene sus sedes en

las Aduanas de Puerto Cabello, Guanta en Puerto La Cruz, Las Piedras en Paraguana

y Paraguachon en Maracaibo, y realizan fletes de Contenedores a las Ciudades de

Puerto Ayacucho y San Antonio del Táchira. Las capacidades de las sedes son de

2000, 3000, 2500 y 1500 Contenedores. Las demandas mensuales en los dos centros

de destino son de 4600 y 2800 contenedores. El costo de un contenedor por kilómetro

es de 0,16$. El diagrama de las distancias recorridas entre las sedes y los destinos es:

Puerto Ayacucho San Antonio del Táchira

Puerto Cabello 2000 Km 5375 Km

Guanta 2500 Km 2700 Km

Las Piedras 2550 Km 1700 Km

Paraguachon 2600 Km 1600 Km

Se Requiere

(Resolver mediante el Método de la Esquina Noroeste)

Modelo Matemático del problema

Si, el objetivo del la empresa Conteiner, C.A., es minimizar el costo,

consiguiendo una solución optima factible. ¿Cuál sería ese costo?

Solución

Se procede a efectuar la transformación de Kilómetros (Km) a Dólares ($)

2000 x 0,16 = 320

2500 x 0,16 = 400

2550 x 0,16 = 408

2600 x 0,16 = 416

5375 x 0,16 = 860

2700 x 0,16 = 432

1700 x 0,16 = 272

1600 x 0,16 = 256

Puerto Ayacucho San Antonio del Táchira

Puerto Cabello 320 860

Guanta 400 432

Las Piedras 408 272

Paraguachon 416 256

Se determinan los Costos del transporte:

Puerto

Ayacucho

San Antonio del

Táchira

Oferta

Puerto Cabello 320 860 2000

Guanta 400 432 3000

Las Piedras 408 272 2500

Paraguachon 416 256 1500

La Demanda 4600 2800 7400/9000

Se observa que hay una diferencia de la demanda con respecto a la

oferta o disponibilidad del producto, por lo cual se crea un Destino

Ficticio para la distribución.

Puerto

Ayacucho

San Antonio

del Táchira

Destino

Ficticio

Oferta

Puerto Cabello 320 860 0 2000

Guanta 400 432 0 3000

Las Piedras 408 272 0 2500

Paraguachon 416 256 0 1500

Demanda 4600 2800 1600 9000/9000

Puerto

Ayacucho

San Antonio del

Táchira

Destino

Ficticio

Oferta

Puerto

Cabello

320 X11 860 X12 0 X13 2000

Guanta 400 X21 432 X22 0 X23 3000

Las Piedras 408 X31 272 X32 0 X33 2500

Paraguachon 416 X41 256 X42 0 X43 1500

Demanda 4600 2800 1600 9000

Xij= Unidades a Transportar desde una i=1, 2, 3, 4 hasta una j=1,2

Queda la siguiente Función Objetivo:

Modelo Matemático

Formula de Minimización

Zmin= 320 X11 + 860X12 + 0X13 + 400X21 + 432X22 + 0X23 + 408X31 + 272X32

+ 0X33 + 416X41 + 256X42 + 0X43

Se evalúa la cantidad que se requiere a partir de la

demanda para que la oferta pueda hacerle frente.

X22

X23

X31

X32

X33

X41

Sujeto a:

Oferta

320X11 + 860X12 + 0X13 ≤ 2000

400X21 + 432X22 + 0X23 ≤ 3000

408X31 + 272X32 + 0X33 ≤ 2500

416X41 + 256X42 + 0X43 ≤ 1500

Xij≥0

Oferta

320X11 + 860X12 + 0X13 ≤ 4600

400X21 + 432X22 + 0X23 ≤ 2800

408X31 + 272X32 + 0X33 ≤ 1600

Xij≥0

X42

X21

X13

X11

X12

Puerto

Cabello

Guanta

Las Piedras

Paraguachón

Puerto

Ayacucho

San

Antonio del

Táchira

Destino

Ficticio X43

Zmin=320(2000)+860(0)+0(0)+400(2600)+432(400)+0(0)+408(0)+272(2400)+0(

100)+416(0)+256(0)+0(1500)

Zmin=640.000+0+0+1.040.000+172.800+0+0+652.800+0+0+0+0= 2.505.600$

Distribución a partir del Método de Esquina Noroeste

Puerto

Ayacucho

San

Antonio del

Táchira

Destino

Ficticio

Oferta

Puerto Cabello 2000 2000

Guanta 2600 400 3000

Las Piedras 2400 100 2500

Paraguachon 1500 1500

Demanda 4600 2800 1600 9000/9000

Calculo de los Costos

2.000 x 320 = 640.000

2.600 x 400 = 1.040.000

400 x 432 = 172.800

2.400 x 272 = 652.800

2.505.600$

320 860 0

400 432 0

0

0

408 272

416 256

Al enviar desde puerto cabello a puerto Ayacucho 2000 contenedores, desde

Guanta a puerto Ayacucho 2600 contenedores, desde Guanta a San Antonio del

Táchira 400 contenedores y desde Las Piedras hasta san Antonio del Táchira 2400

contenedores, la empresa Conteiner CA obtendrá un costo mínimo de 2.505.600

dólares llevando a caso la distribución recomendada a través del Método de la

Esquina Noroeste, considerándola así como la solución factible.

Ejemplo de la aplicación del Método Simplex

Problema: La Empresa Manos al Obra, C.A., produce mesas y sillas para la venta

en el país. Y requiere dos tipos básicos de mano de obra especializada: para

ensamblado y acabado. Producir una mesa requiere tres horas de ensamblado, dos

horas de acabado y se vende con una ganancia de $30. La producción de una silla

requiere de una hora de cada una de ellas, y se vende a $18. Actualmente, la

compañía dispone de 200 horas de ensamblado y 160 horas de acabado

Se Pide:

1. Resolver mediante el Método Simplex.

2. Elabore el Modelo Matemático correspondiente

3. Calcular el número mesas y sillas que debe fabricar la Empresa Manos a la

Obra, C.A. para maximizar las ganancias.

4. Y cuál es el máximo beneficio que obtiene la empresa con las ventas de sus

productos.

Solución:

Lo primero que se debe realizar, es la definición de las variables, por ello se

tiene que:

X = Número de Mesas que debe elaborar la empresa Manos a la Obra CA para la

venta.

Y = Número de Sillas que debe elaborar la empresa Manos a la Obra CA para la

venta.

Ahora, se prosigue a tabular las horas que se necesitan tanto de ensamblado

como de acabado para la producción de una mesa y de una silla, y también de las

horas que dispone la empresa para hacerlo.

Ensamblado Acabado

X 3 horas 2 horas

Y 1hora 1 hora

Total 200 horas 160 horas

Para poder obtener la solución factible al planteamiento, es necesario

establecer la función objetivo, la cual viene dada por la maximización del beneficio,

como establece el planteamiento, siendo la siguiente:

F (X , Y) = 30X + 18Y (Maximizar)

Zmax = 30X + 18Y

Al momento de buscar una solución factible a un problema, éste suele estar

sometido u obstaculizado por ciertas limitantes, en investigación de operaciones se le

llaman restricciones, en este caso son:

Así pues, podemos establecer el modelo matemático y por ende, obtener la

solución factible, el mismo es:

Zmax = 30X + 18Y (Maximizar)

X 0

Y 0

3X + Y 200

2X + Y 160

Sujeto a (Restricciones)

X 0

Y 0

3X + Y 200

2X + Y 160

Se prosigue a realizar los cálculos que corresponden, y queda:

1era. Condición

Función Objetivo = 0

Z = 30X + 18Y Se iguala a 0

Z - 30X - 18Y = 0

2 da. Condición

Se eliminan las restricciones utilizando las variables de holgura.

3X + Y + S1 200

2X + Y + S2 160

3 era. Condición

Se elabora la tabla Simplex inicial:

Se Determina la Fila Pivote:

200/3 = 66,66

160/2 = 80

La Tabla Inicial quedaría de la siguiente forma:

Tabla Inicial

Base Variable de Decisión Variable de Holgura Variable de

Solución

X Y S1 S2

S1

1

1

0

200

S2 2 1 0 1 160

Z -30 -18 0 0 0

Columna

Pivote

4 ta. Condición

Tabla Inicial

Base Variable de Decisión Variable de Holgura Variable de Solución

X Y S1 S2

S1 3 1 1 0 200

S2 2 1 0 1 160

Z -30 -18 0 0 0

Fila Pivote 3

Se desarrolla la segunda tabla:

Premisa 1:

I._ (1/3) x 1era Fila

(1/3) x 3 = 1

(1/3) x 1 = 1/3

(1/3) x 1 = 1/3

(1/3) x 0 = 0

(1/3) x 200 = 200/3

Premisa 2:

II._ (-2). (1era Fila de la Segunda Tabla) + 2da Fila de la Primera

Tabla:

(-2) x (1) + 2 = 0

(-2) x (1/3) + 1 = 1/3

i. (-2) x (1/3) + 0 = -2/3

ii. (-2) x (0) + 1 = 1

iii. (-2) x (200/3) + 160 = 80/3

Tabla II

Base Variable de

Decisión

Variable de Holgura Variable de Solución

X Y S1 S2

X 1 1/3 1/3 0 200/3

S2 0 1/3 -2/3 1 80/3

Z 0 -8 10 0 2000

Cálculo Matemático

(-2) x (1/3) + 1

-2 x 1/3 = - 2/3

- 2/3 + 1 = - 2 + 3 / 3 = 1/3

Cálculo Matemático

(-2) x (200/3) + 160

(-2) x (200/3) = - 400/3

- 400/3 + 160/1 = - 400 + 480 / 3 = 80 / 3

Premisa 3:

III._ (30). 1era Fila de la Segunda Tabla + 3era Fila de la Primera Tabla:

(30) x (1) + (-30) = 0

(30) x (1/3) + (-18) = -8

(30) x (1/3) + 0 = 10

(30) x (0) + 0 = 0

(30) x (200/3) + 0 = 2000

Determinación de la Fila Pivote

200/3 / 1/3 = 200

80/3 / 1/3 = 80

Se presenta la segunda tabla de la siguiente forma:

Tabla II

Base Variable de

Decisión

Variable de

Holgura

Variable de Solución

X Y S1 S2

X 1 1/3 1/3 0 200/3

S2 0 -2/3 1 80/3 1/3

5 ta. Condición

Se elabora la tercera Tabla:

Premisa 4:

IV._ (3) x 2da Fila de la Tabla II:

(3) x 0 = 0

(3) x (1/3) = 1

(3) x (-2/3) = -2

(3) x 1 = 3

(3) x (80/3) = 80

Premisa 5:

V._ (-1/3). 2da Fila de la Tabla III + 1era Fila de la Tabla II:

Z 0 -8 10 0 2000

Columna

Pivote

Tabla III

Base Variable de Decisión Variable de Holgura Variable de Solución

X Y S1 S2

X 1 0 1 -1 40

Y 0 1 -2 3 80

Z 0 0 -6 24 2640

Fila Pivote

Cálculo Matemático

(-1/3) x (-2) + 1/3 = (-1/3) x 2 = 2/3 + 1/3= 2 + 1/3 = 3/3 = 1

Cálculo Matemático

(-1/3) x (80) + 200/3 = (-1/3) x 80 = -80/3 + 200/3 = (-80) +200/3=120/3 = 40

(-1/3) x (0) + 1 = 1

(-1/3) x (1) + 1/3 = 0

(-1/3) x (-2) + 1/3 = 1

(-1/3) x (3) + 0 = -1

(-1/3) x (80) + 200/3 = 40

Premisa 6:

VI._ (8). 2da Fila de la Tabla III + 3era Fila de la Tabla II:

(8) x (0) + (0) = 0

(8) x (1) + (-8) = 0

(8) x (-2) + 10 = -6

(8) x (3) + 0 = 24

(8) x (80)+ 2000 = 2640

Respuestas:

Una vez que ya se han hecho los cálculos pertinentes aplicando el

Método Simplex, se puede dar respuesta a las preguntas del enunciado, sobre

cual es el número mesas y sillas que debe fabricar la Empresa Manos a la

Obra, C.A. para maximizar las ganancias; y cuál es el máximo beneficio que

obtiene la empresa con las ventas de sus productos. En este sentido, se puede

decir que esta empresa debe producir 40 mesas y 80 sillas para obtener el

máximo beneficio de 2640$ por concepto de las ventas que realice de esos

productos.

Ejemplo de la aplicación del Método Gráfico

Problema: La fábrica ON LINE, C.A., produce para el mercado interno, chaquetas y

pantalones. Tres máquinas (de cortar, coser y teñir), se emplean en la producción.

Fabricar una chaqueta representa emplear la máquina de cortar 1 hora, la de coser 3

horas y la teñir 1 hora; fabricar unos pantalones representa usar la máquina de cortar

1 hora, la de coser 1 hora y la de teñir ninguna hora. La máquina de teñir se puede

usar hasta 3 horas, la de coser hasta 11 y la de cortar hasta 7.

Todo lo que se fabrica se vende y se obtiene un beneficio de 8 Bs. F por cada

chaqueta y 5 Bs. F por cada pantalón.

¿Cómo emplearíamos las máquinas para conseguir el máximo beneficio?

Se pide:

1. Definición de las Variables

2. Función Objetivo

3. Restricciones del signo de las variables

4. Puntos de las rectas

5. Grafica

6. Modelo matemático completo

7. Análisis de sensibilidad

Solución:

1. Definición de las Variables:

X = N° de chaquetas que produce la fabrica

Y = N° de pantalones que produce la fábrica

2. Función Objetivo:

Partiendo del hecho de que lo que se quiere es lograr maximizar el

beneficio monetario que se obtiene mediante la producción de chaquetas y

pantalones y sabiendo que las chaquetas están representadas con la X y los

pantalones con Y; la función objetico quedaría de la siguiente manera:

Z = 8 (x) + 5(y)

3. Restricciones del signo de las variables:

Las restricciones son básicamente un conjunto de variables sometidas

a un límite, en este problema son las siguientes:

a) X + Y ≤ 7 (Máquina de Cortar)

b) 3X + Y ≤ 11 (Máquina de Coser)

c) X ≤ 3 (Máquina de Teñir)

d) X ≥ 0 (De no Negatividad)

e) Y ≥ 0 (De no Negatividad)

4. Puntos de las rectas:

Para poder saber en qué punto del eje de las rectas se graficaran las

restricciones es necesario saber el valor numérico de X como de Y, para ello

sustituimos alguna de ellas con 0 y procedemos a despejar la otra.

a) X + Y ≤ 7

X + Y ≤ 7

0 + Y ≤ 7

Y ≤ 7

X + Y ≤ 7

X + 0 ≤ 7

X ≤ 7

b) 3X + Y ≤ 11

3 X + Y ≤ 11

3 (0) + Y ≤ 11

Y≤ 11

3 X + Y ≤ 11

3 X + 0 ≤ 11

3X ≤ 11

X ≤ 11 / 3

X ≤ 3,66

c) X ≤ 3

X ≤ 3

5. Grafica:

Una vez que se tienen los valores de las variables en cada punto, se

procede a graficarlas en el eje de las X y en el eje de las Y, para luego ubicar

la zona optima, que es aquella en la que convergen todas las restricciones.

Debo destacar PROFESOR que el grafico lo hice en Excel y luego lo copie

como imagen en Paint para después insertarlo en este documento Word.

6. Modelo matemático completo:

Producto Variables Tiempo de la

Máquina de

cortar

Tiempo de la

Máquina de

coser

Tiempo de la

Máquina de

teñir

Beneficio

Monetario

Chaquetas X 1 Hora 3 Horas 1 Hora 8 Bs. F

Pantalones Y 1 Hora 1 Hora 0 Hora 5 Bs. F

Totales 7 Horas 11 Horas 3 Horas

Puntos para Maximizar Z:

Para poder saber cuáles son los puntos en los que la función objetivo

se cumple, se debe obtener el valor de cada uno de los puntos de la zona

optima demarcada en el gráfico anterior.

Punto A: en éste converge solamente la restricción a, quedando de la

siguiente manera:

X + Y ≤ 7

X = 0

Y = 7

A = (0; 7)

Punto B: en éste converge la restricción a y la restricción b, quedando de la

siguiente manera:

a) X + Y ≤ 7 (-1)

b) 3 X + Y ≤ 11

- X – Y = - 7

3 X + Y ≤ 11

2 X = 4

X = 4 / 2

X = 2

Si se sustituye X = 2 en 3 X + Y ≤ 11 para saber el valor de Y, queda:

3 (2) + Y = 11

6 + Y = 11

Y = 11 – 6

Y = 5

B = (2; 5)

Punto C: en éste converge la restricción b y la restricción c, quedando de la

siguiente manera:

b) 3 X + Y ≤ 11

c) X ≤ 3 (-3)

3 X + Y ≤ 11

-3X = - 9

Y = 2

Si se sustituye Y = 2 en 3 X + Y ≤ 11 para saber el valor de Y, queda:

3 X + 2 = 11

3 X = 9

X = 9 / 3 = 3

C = (3; 2)

Punto D: en éste converge la restricción c, quedando de la siguiente manera:

X ≤ 3

X = 3

D = (3; 0)

Maximización de Z:

Punto A: Z = 8(X) + 5(Y) = 8(0) + 5(7) = 35

PUNTO B: Z = 8(X) + 5(Y) = 8(2) + 5(5) = 41

Punto C: Z = 8(X) + 5(Y) = 8(3) + 5(2) = 34

Punto D: Z = 8(X) + 5(Y) = 8(3) + 5(0) = 24

7. Análisis:

La forma en la que la fábrica ON LINE, C.A., debe emplear las

máquinas para conseguir el máximo beneficio es produciendo la cantidad de 2

chaquetas y 5 pantalones, esto le haría obtener un máximo beneficio de 41 Bs.

F.