Casos Prácticos de Investigación de Operaciones
Ejemplo de la aplicación del Método de Transporte
Planteamiento del Problema: La empresa Conteiner, C.A., tiene sus sedes en
las Aduanas de Puerto Cabello, Guanta en Puerto La Cruz, Las Piedras en Paraguana
y Paraguachon en Maracaibo, y realizan fletes de Contenedores a las Ciudades de
Puerto Ayacucho y San Antonio del Táchira. Las capacidades de las sedes son de
2000, 3000, 2500 y 1500 Contenedores. Las demandas mensuales en los dos centros
de destino son de 4600 y 2800 contenedores. El costo de un contenedor por kilómetro
es de 0,16$. El diagrama de las distancias recorridas entre las sedes y los destinos es:
Puerto Ayacucho San Antonio del Táchira
Puerto Cabello 2000 Km 5375 Km
Guanta 2500 Km 2700 Km
Las Piedras 2550 Km 1700 Km
Paraguachon 2600 Km 1600 Km
Se Requiere
(Resolver mediante el Método de la Esquina Noroeste)
Modelo Matemático del problema
Si, el objetivo del la empresa Conteiner, C.A., es minimizar el costo,
consiguiendo una solución optima factible. ¿Cuál sería ese costo?
Solución
Se procede a efectuar la transformación de Kilómetros (Km) a Dólares ($)
2000 x 0,16 = 320
2500 x 0,16 = 400
2550 x 0,16 = 408
2600 x 0,16 = 416
5375 x 0,16 = 860
2700 x 0,16 = 432
1700 x 0,16 = 272
1600 x 0,16 = 256
Puerto Ayacucho San Antonio del Táchira
Puerto Cabello 320 860
Guanta 400 432
Las Piedras 408 272
Paraguachon 416 256
Se determinan los Costos del transporte:
Puerto
Ayacucho
San Antonio del
Táchira
Oferta
Puerto Cabello 320 860 2000
Guanta 400 432 3000
Las Piedras 408 272 2500
Paraguachon 416 256 1500
La Demanda 4600 2800 7400/9000
Se observa que hay una diferencia de la demanda con respecto a la
oferta o disponibilidad del producto, por lo cual se crea un Destino
Ficticio para la distribución.
Puerto
Ayacucho
San Antonio
del Táchira
Destino
Ficticio
Oferta
Puerto Cabello 320 860 0 2000
Guanta 400 432 0 3000
Las Piedras 408 272 0 2500
Paraguachon 416 256 0 1500
Demanda 4600 2800 1600 9000/9000
Puerto
Ayacucho
San Antonio del
Táchira
Destino
Ficticio
Oferta
Puerto
Cabello
320 X11 860 X12 0 X13 2000
Guanta 400 X21 432 X22 0 X23 3000
Las Piedras 408 X31 272 X32 0 X33 2500
Paraguachon 416 X41 256 X42 0 X43 1500
Demanda 4600 2800 1600 9000
Xij= Unidades a Transportar desde una i=1, 2, 3, 4 hasta una j=1,2
Queda la siguiente Función Objetivo:
Modelo Matemático
Formula de Minimización
Zmin= 320 X11 + 860X12 + 0X13 + 400X21 + 432X22 + 0X23 + 408X31 + 272X32
+ 0X33 + 416X41 + 256X42 + 0X43
Se evalúa la cantidad que se requiere a partir de la
demanda para que la oferta pueda hacerle frente.
X22
X23
X31
X32
X33
X41
Sujeto a:
Oferta
320X11 + 860X12 + 0X13 ≤ 2000
400X21 + 432X22 + 0X23 ≤ 3000
408X31 + 272X32 + 0X33 ≤ 2500
416X41 + 256X42 + 0X43 ≤ 1500
Xij≥0
Oferta
320X11 + 860X12 + 0X13 ≤ 4600
400X21 + 432X22 + 0X23 ≤ 2800
408X31 + 272X32 + 0X33 ≤ 1600
Xij≥0
X42
X21
X13
X11
X12
Puerto
Cabello
Guanta
Las Piedras
Paraguachón
Puerto
Ayacucho
San
Antonio del
Táchira
Destino
Ficticio X43
Zmin=320(2000)+860(0)+0(0)+400(2600)+432(400)+0(0)+408(0)+272(2400)+0(
100)+416(0)+256(0)+0(1500)
Zmin=640.000+0+0+1.040.000+172.800+0+0+652.800+0+0+0+0= 2.505.600$
Distribución a partir del Método de Esquina Noroeste
Puerto
Ayacucho
San
Antonio del
Táchira
Destino
Ficticio
Oferta
Puerto Cabello 2000 2000
Guanta 2600 400 3000
Las Piedras 2400 100 2500
Paraguachon 1500 1500
Demanda 4600 2800 1600 9000/9000
Calculo de los Costos
2.000 x 320 = 640.000
2.600 x 400 = 1.040.000
400 x 432 = 172.800
2.400 x 272 = 652.800
2.505.600$
320 860 0
400 432 0
0
0
408 272
416 256
Al enviar desde puerto cabello a puerto Ayacucho 2000 contenedores, desde
Guanta a puerto Ayacucho 2600 contenedores, desde Guanta a San Antonio del
Táchira 400 contenedores y desde Las Piedras hasta san Antonio del Táchira 2400
contenedores, la empresa Conteiner CA obtendrá un costo mínimo de 2.505.600
dólares llevando a caso la distribución recomendada a través del Método de la
Esquina Noroeste, considerándola así como la solución factible.
Ejemplo de la aplicación del Método Simplex
Problema: La Empresa Manos al Obra, C.A., produce mesas y sillas para la venta
en el país. Y requiere dos tipos básicos de mano de obra especializada: para
ensamblado y acabado. Producir una mesa requiere tres horas de ensamblado, dos
horas de acabado y se vende con una ganancia de $30. La producción de una silla
requiere de una hora de cada una de ellas, y se vende a $18. Actualmente, la
compañía dispone de 200 horas de ensamblado y 160 horas de acabado
Se Pide:
1. Resolver mediante el Método Simplex.
2. Elabore el Modelo Matemático correspondiente
3. Calcular el número mesas y sillas que debe fabricar la Empresa Manos a la
Obra, C.A. para maximizar las ganancias.
4. Y cuál es el máximo beneficio que obtiene la empresa con las ventas de sus
productos.
Solución:
Lo primero que se debe realizar, es la definición de las variables, por ello se
tiene que:
X = Número de Mesas que debe elaborar la empresa Manos a la Obra CA para la
venta.
Y = Número de Sillas que debe elaborar la empresa Manos a la Obra CA para la
venta.
Ahora, se prosigue a tabular las horas que se necesitan tanto de ensamblado
como de acabado para la producción de una mesa y de una silla, y también de las
horas que dispone la empresa para hacerlo.
Ensamblado Acabado
X 3 horas 2 horas
Y 1hora 1 hora
Total 200 horas 160 horas
Para poder obtener la solución factible al planteamiento, es necesario
establecer la función objetivo, la cual viene dada por la maximización del beneficio,
como establece el planteamiento, siendo la siguiente:
F (X , Y) = 30X + 18Y (Maximizar)
Zmax = 30X + 18Y
Al momento de buscar una solución factible a un problema, éste suele estar
sometido u obstaculizado por ciertas limitantes, en investigación de operaciones se le
llaman restricciones, en este caso son:
Así pues, podemos establecer el modelo matemático y por ende, obtener la
solución factible, el mismo es:
Zmax = 30X + 18Y (Maximizar)
X 0
Y 0
3X + Y 200
2X + Y 160
Sujeto a (Restricciones)
X 0
Y 0
3X + Y 200
2X + Y 160
Se prosigue a realizar los cálculos que corresponden, y queda:
1era. Condición
Función Objetivo = 0
Z = 30X + 18Y Se iguala a 0
Z - 30X - 18Y = 0
2 da. Condición
Se eliminan las restricciones utilizando las variables de holgura.
3X + Y + S1 200
2X + Y + S2 160
3 era. Condición
Se elabora la tabla Simplex inicial:
Se Determina la Fila Pivote:
200/3 = 66,66
160/2 = 80
La Tabla Inicial quedaría de la siguiente forma:
Tabla Inicial
Base Variable de Decisión Variable de Holgura Variable de
Solución
X Y S1 S2
S1
1
1
0
200
S2 2 1 0 1 160
Z -30 -18 0 0 0
Columna
Pivote
4 ta. Condición
Tabla Inicial
Base Variable de Decisión Variable de Holgura Variable de Solución
X Y S1 S2
S1 3 1 1 0 200
S2 2 1 0 1 160
Z -30 -18 0 0 0
Fila Pivote 3
Se desarrolla la segunda tabla:
Premisa 1:
I._ (1/3) x 1era Fila
(1/3) x 3 = 1
(1/3) x 1 = 1/3
(1/3) x 1 = 1/3
(1/3) x 0 = 0
(1/3) x 200 = 200/3
Premisa 2:
II._ (-2). (1era Fila de la Segunda Tabla) + 2da Fila de la Primera
Tabla:
(-2) x (1) + 2 = 0
(-2) x (1/3) + 1 = 1/3
i. (-2) x (1/3) + 0 = -2/3
ii. (-2) x (0) + 1 = 1
iii. (-2) x (200/3) + 160 = 80/3
Tabla II
Base Variable de
Decisión
Variable de Holgura Variable de Solución
X Y S1 S2
X 1 1/3 1/3 0 200/3
S2 0 1/3 -2/3 1 80/3
Z 0 -8 10 0 2000
Cálculo Matemático
(-2) x (1/3) + 1
-2 x 1/3 = - 2/3
- 2/3 + 1 = - 2 + 3 / 3 = 1/3
Cálculo Matemático
(-2) x (200/3) + 160
(-2) x (200/3) = - 400/3
- 400/3 + 160/1 = - 400 + 480 / 3 = 80 / 3
Premisa 3:
III._ (30). 1era Fila de la Segunda Tabla + 3era Fila de la Primera Tabla:
(30) x (1) + (-30) = 0
(30) x (1/3) + (-18) = -8
(30) x (1/3) + 0 = 10
(30) x (0) + 0 = 0
(30) x (200/3) + 0 = 2000
Determinación de la Fila Pivote
200/3 / 1/3 = 200
80/3 / 1/3 = 80
Se presenta la segunda tabla de la siguiente forma:
Tabla II
Base Variable de
Decisión
Variable de
Holgura
Variable de Solución
X Y S1 S2
X 1 1/3 1/3 0 200/3
S2 0 -2/3 1 80/3 1/3
5 ta. Condición
Se elabora la tercera Tabla:
Premisa 4:
IV._ (3) x 2da Fila de la Tabla II:
(3) x 0 = 0
(3) x (1/3) = 1
(3) x (-2/3) = -2
(3) x 1 = 3
(3) x (80/3) = 80
Premisa 5:
V._ (-1/3). 2da Fila de la Tabla III + 1era Fila de la Tabla II:
Z 0 -8 10 0 2000
Columna
Pivote
Tabla III
Base Variable de Decisión Variable de Holgura Variable de Solución
X Y S1 S2
X 1 0 1 -1 40
Y 0 1 -2 3 80
Z 0 0 -6 24 2640
Fila Pivote
Cálculo Matemático
(-1/3) x (-2) + 1/3 = (-1/3) x 2 = 2/3 + 1/3= 2 + 1/3 = 3/3 = 1
Cálculo Matemático
(-1/3) x (80) + 200/3 = (-1/3) x 80 = -80/3 + 200/3 = (-80) +200/3=120/3 = 40
(-1/3) x (0) + 1 = 1
(-1/3) x (1) + 1/3 = 0
(-1/3) x (-2) + 1/3 = 1
(-1/3) x (3) + 0 = -1
(-1/3) x (80) + 200/3 = 40
Premisa 6:
VI._ (8). 2da Fila de la Tabla III + 3era Fila de la Tabla II:
(8) x (0) + (0) = 0
(8) x (1) + (-8) = 0
(8) x (-2) + 10 = -6
(8) x (3) + 0 = 24
(8) x (80)+ 2000 = 2640
Respuestas:
Una vez que ya se han hecho los cálculos pertinentes aplicando el
Método Simplex, se puede dar respuesta a las preguntas del enunciado, sobre
cual es el número mesas y sillas que debe fabricar la Empresa Manos a la
Obra, C.A. para maximizar las ganancias; y cuál es el máximo beneficio que
obtiene la empresa con las ventas de sus productos. En este sentido, se puede
decir que esta empresa debe producir 40 mesas y 80 sillas para obtener el
máximo beneficio de 2640$ por concepto de las ventas que realice de esos
productos.
Ejemplo de la aplicación del Método Gráfico
Problema: La fábrica ON LINE, C.A., produce para el mercado interno, chaquetas y
pantalones. Tres máquinas (de cortar, coser y teñir), se emplean en la producción.
Fabricar una chaqueta representa emplear la máquina de cortar 1 hora, la de coser 3
horas y la teñir 1 hora; fabricar unos pantalones representa usar la máquina de cortar
1 hora, la de coser 1 hora y la de teñir ninguna hora. La máquina de teñir se puede
usar hasta 3 horas, la de coser hasta 11 y la de cortar hasta 7.
Todo lo que se fabrica se vende y se obtiene un beneficio de 8 Bs. F por cada
chaqueta y 5 Bs. F por cada pantalón.
¿Cómo emplearíamos las máquinas para conseguir el máximo beneficio?
Se pide:
1. Definición de las Variables
2. Función Objetivo
3. Restricciones del signo de las variables
4. Puntos de las rectas
5. Grafica
6. Modelo matemático completo
7. Análisis de sensibilidad
Solución:
1. Definición de las Variables:
X = N° de chaquetas que produce la fabrica
Y = N° de pantalones que produce la fábrica
2. Función Objetivo:
Partiendo del hecho de que lo que se quiere es lograr maximizar el
beneficio monetario que se obtiene mediante la producción de chaquetas y
pantalones y sabiendo que las chaquetas están representadas con la X y los
pantalones con Y; la función objetico quedaría de la siguiente manera:
Z = 8 (x) + 5(y)
3. Restricciones del signo de las variables:
Las restricciones son básicamente un conjunto de variables sometidas
a un límite, en este problema son las siguientes:
a) X + Y ≤ 7 (Máquina de Cortar)
b) 3X + Y ≤ 11 (Máquina de Coser)
c) X ≤ 3 (Máquina de Teñir)
d) X ≥ 0 (De no Negatividad)
e) Y ≥ 0 (De no Negatividad)
4. Puntos de las rectas:
Para poder saber en qué punto del eje de las rectas se graficaran las
restricciones es necesario saber el valor numérico de X como de Y, para ello
sustituimos alguna de ellas con 0 y procedemos a despejar la otra.
a) X + Y ≤ 7
X + Y ≤ 7
0 + Y ≤ 7
Y ≤ 7
X + Y ≤ 7
X + 0 ≤ 7
X ≤ 7
b) 3X + Y ≤ 11
3 X + Y ≤ 11
3 (0) + Y ≤ 11
Y≤ 11
3 X + Y ≤ 11
3 X + 0 ≤ 11
3X ≤ 11
X ≤ 11 / 3
X ≤ 3,66
c) X ≤ 3
X ≤ 3
5. Grafica:
Una vez que se tienen los valores de las variables en cada punto, se
procede a graficarlas en el eje de las X y en el eje de las Y, para luego ubicar
la zona optima, que es aquella en la que convergen todas las restricciones.
Debo destacar PROFESOR que el grafico lo hice en Excel y luego lo copie
como imagen en Paint para después insertarlo en este documento Word.
6. Modelo matemático completo:
Producto Variables Tiempo de la
Máquina de
cortar
Tiempo de la
Máquina de
coser
Tiempo de la
Máquina de
teñir
Beneficio
Monetario
Chaquetas X 1 Hora 3 Horas 1 Hora 8 Bs. F
Pantalones Y 1 Hora 1 Hora 0 Hora 5 Bs. F
Totales 7 Horas 11 Horas 3 Horas
Puntos para Maximizar Z:
Para poder saber cuáles son los puntos en los que la función objetivo
se cumple, se debe obtener el valor de cada uno de los puntos de la zona
optima demarcada en el gráfico anterior.
Punto A: en éste converge solamente la restricción a, quedando de la
siguiente manera:
X + Y ≤ 7
X = 0
Y = 7
A = (0; 7)
Punto B: en éste converge la restricción a y la restricción b, quedando de la
siguiente manera:
a) X + Y ≤ 7 (-1)
b) 3 X + Y ≤ 11
- X – Y = - 7
3 X + Y ≤ 11
2 X = 4
X = 4 / 2
X = 2
Si se sustituye X = 2 en 3 X + Y ≤ 11 para saber el valor de Y, queda:
3 (2) + Y = 11
6 + Y = 11
Y = 11 – 6
Y = 5
B = (2; 5)
Punto C: en éste converge la restricción b y la restricción c, quedando de la
siguiente manera:
b) 3 X + Y ≤ 11
c) X ≤ 3 (-3)
3 X + Y ≤ 11
-3X = - 9
Y = 2
Si se sustituye Y = 2 en 3 X + Y ≤ 11 para saber el valor de Y, queda:
3 X + 2 = 11
3 X = 9
X = 9 / 3 = 3
C = (3; 2)
Punto D: en éste converge la restricción c, quedando de la siguiente manera:
X ≤ 3
X = 3
D = (3; 0)
Maximización de Z:
Punto A: Z = 8(X) + 5(Y) = 8(0) + 5(7) = 35
PUNTO B: Z = 8(X) + 5(Y) = 8(2) + 5(5) = 41
Punto C: Z = 8(X) + 5(Y) = 8(3) + 5(2) = 34
Punto D: Z = 8(X) + 5(Y) = 8(3) + 5(0) = 24
7. Análisis:
La forma en la que la fábrica ON LINE, C.A., debe emplear las
máquinas para conseguir el máximo beneficio es produciendo la cantidad de 2
chaquetas y 5 pantalones, esto le haría obtener un máximo beneficio de 41 Bs.
F.