Repblica Bolivariana de Venezuela

Universidad Catlica Andrs Bello

Facultad de Ingeniera

Escuela de Ingeniera Industrial

Investigacin de Operaciones I

CASO SEMESTRAL INVESTIGACIN DE OPERACIONES I.

INTEGRANTES

.

LORENZINI, ALEJANDRO

MADRID, JESS

MOLLER, CHRISTIAN

NUNES, CHRYSTIAN

CARACAS, 25 DE ENERO

INTRODUCCIN

La Investigacin de Operaciones es una rama de las matemticas que

hace uso de modelos matemticos y algoritmos con el objetivo de ser usado como

apoyo a la toma de decisiones. Se busca que las soluciones obtenidas sean

significativamente ms eficientes en comparacin a aquellas decisiones tomadas

en forma intuitiva o sin el apoyo de una herramienta para la toma de decisiones.

Un modelo matemtico es una ecuacin, desigualdad o sistema de ecuaciones o

desigualdades que representan determinados aspectos del sistema fsico

representado en el modelo. Los modelos de este tipo se utilizan en gran medida

en las ciencias fsicas, en el campo de la ingeniera, los negocios y la economa.

La programacin lineal es una tcnica matemtica o algoritmo

computacional mediante el cual se pueden resolver problemas que posean

recursos escasos o no (estos recursos nunca pueden ser negativos). Consiste en

maximizar o minimizar (dependiendo del objetivo del caso) una funcin objetivo

con sus respectivas restricciones que sern combinacin lineal de las variables de

decisin.

Aunque parece ser que la programacin lineal fue utilizada por G. Monge en

1776, se considera a L. V. Kantorvich es uno de sus creadores. La present en

su libro Mtodos matemticos para la organizacin y la produccin (1939) y la

desarroll en su trabajo sobre la transferencia de masas (1942). Kantorvich

recibi el premio Nobel de economa en 1975 por sus aportaciones al problema de

la asignacin ptima de recursos humanos.

La investigacin de operaciones en general y la programacin lineal en

particular recibieron un gran impulso gracias a los ordenadores. Uno de los

momentos ms importantes fue la aparicin del mtodo del simplex. Este mtodo,

desarrollado por G. B. Dantzig en 1947, consiste en la utilizacin de un algoritmo

para optimizar el valor de la funcin objetivo teniendo en cuenta las restricciones

planteadas. Partiendo de uno de los vrtices de la regin factible, por ejemplo el

vrtice A, y aplicando la propiedad: si la funcin objetivo no toma su valor mximo

en el vrtice A, entonces existe una arista que parte del vrtice A y a lo largo de la

cual la funcin objetivo aumenta, se llega a otro vrtice. El procedimiento es

iterativo, pues mejora los resultados de la funcin objetivo en cada etapa hasta

alcanzar la solucin buscada

En el caso a estudiar, la empresa solicita una consultora sobre cuantos

bastidores puede producir, de los diferentes tipos que fabrica, en los siguientes

dos meses para maximizar sus utilidades netas.

OBJETIVOS.

Los objetivos establecidos para el desarrollo del Caso de Estudio son los

siguientes:

Formular un modelo de Programacin Lineal que permita representar el

comportamiento del sistema descrito.

Calcular, haciendo uso de una aplicacin informtica especializada, la

mejor solucin disponible para la combinacin de necesidades y

restricciones planteadas.

Calcular, haciendo uso de una aplicacin informtica especializada, la

mejor solucin disponible para la combinacin de necesidades y

restricciones planteadas, pero para variables enteras. Comparar los

resultados con la solucin obtenida para variables continuas.

Interpretar econmicamente los resultados de las variables del problema

DUAL para ambos tratamientos de las variables.

Analizar la sensibilidad de las soluciones calculadas a diversos cambios

en los parmetros del modelo de programacin lineal.

Escribir un Resumen Ejecutivo, con una extensin mxima de dos

pginas, dirigido a la gerencia de la corporacin, explicando las

caractersticas de la solucin hallada y sus ventajas

Escribir un informe acadmico, riguroso (haciendo uso de reglas de

estilo para trabajos acadmicos), resumiendo: (1) las variables de

decisin definidas, (2) la estructura y razones para cada restriccin, (3)

la estructura de la funcin objetivo, (4) una imagen digital de las

soluciones ptimas producidas por la aplicacin informtica empleada,

y (5) los procedimientos, resultados y recomendaciones asociados con

los objetivos propuestos.

INFORME ACADMICO.

OBJETIVO

Se desea formular un plan de produccin para la empresa, tal que maximice

el beneficio de la empresa durante los meses de febrero y marzo.

De acuerdo con la descripcion del caso, se definen las siguientes variables de

decision para su resolucion.

VARIABLES DE DECISIN

=

=

=

= 1,2,3,4,5 = , ( )

ESTRUCTURACIN DEL MODELO

El problema nos indica que al iniciar el mes de febrero no existe ningn tipo de

inventario para ningn tipo de bastidores, por lo tanto, podemos decir que durnate

el mes de febrero las unidades producidas para cada tipo de bastidores menos las

unidades vendidas de cada uno de ellos deber ser igual a la cantidad acumulada

en almacen, para un caso genrico se tiene:

1 1 = 1

O lo que es lo mismo:

1 1 1 = 0

2 2 2 = 0

3 3 3 = 0

4 4 4 = 0

5 5 5 = 0

Para el mes de marzo ya existe un inventario acumulado del mes de

febrero, por lo tanto se debe cumplir que, lo acumulado durante el mes de marzo

deber ser igual a lo acumulado en el mes de febrero ms lo producido en el mes

de marzo menos lo vendido en el mes de marzo. Para un caso genrico se tiene:

1 = 1 + 1 1

o lo que es lo mismo:

1 + 1 1 = 1

2 + 2 2 = 2

3 + 3 3 = 3

4 + 4 4 = 4

5 + 5 5 = 5

Se desea que el inventario al finalizar el mes de febrero sea de por lo

menos 125 unidades para cada tipo de bastidores. Esto se traduce en:

1 125

2 125

3 125

4 125

5 125

Para el mes de febrero la empresa tendr disponible las siguientes

mquinas:

2 Soldadoras.

2 Tornos.

3 Pulidoras.

1 Ensambladora.

2 Limadoras.

Las horas disponibles de produccin para cada mquina en el mes de febrero

se calcularn de la siguiente forma:

Soldadora:

2 24 16

= 768

Torno:

2 24 16

= 768

Pulidora:

3 24 16

= 1152

Ensambladora:

1 24 16

= 384

Limadora:

2 24 16

= 768

De acuerdo con los tiempos de produccin de cada bastidor en la

soldadora, torno, pulidora, ensambladora y limadora; se tiene que:

0.31 + 0.42 + 0.53 + 0.24 + 0.355 768

0.021 + 0.032 + 0.114 + 0.095 768

0.51 + 0.62 + 0.43 + 0.434 + 0.35 1152

0.11 + 0.132 + 0.153 + 0.094 + 0.125 384

0.021 + 0.12 + 0.043 + 0.054 + 0.065 768

Ntese que para la produccin del bastidor tipo 3 no se requiere pasar por

el torno.

Para el mes de marzo la empresa tendr disponible las siguientes

mquinas:

3 Soldadoras.

2 Tornos.

1 Pulidora.

1 Ensambladora.

2 Limadoras.

Las horas disponibles de produccin para cada mquina en el mes de marzo

se calcularn de la siguiente forma:

Soldadora:

3 24 16

= 1152

Torno:

2 24 16

= 768

Pulidora:

1 24 16

= 384

Ensambladora:

1 24 16

= 384

Limadora:

2 24 16

= 768

De acuerdo con los tiempos de produccion de cada bastidor en la

soldadora, torno, pulidora, ensambladora y limadora; se tiene que:

0.31 + 0.42 + 0.53 + 0.24 + 0.355 1152

0.021 + 0.032 + 0.114 + 0.095 768

0.51 + 0.62 + 0.43 + 0.434 + 0.35 384

0.11 + 0.132 + 0.153 + 0.094 + 0.125 384

0.021 + 0.12 + 0.043 + 0.054 + 0.065 768

Segn los indicadores de demanda para cada tipo de bastidor en el mes de

febrero se tiene que:

1 800

2 2000

3 700

4 900

5 1300

Segn los indicadores de demanda para cada tipo de bastidor en el mes de

marzo se tiene que:

1 500

2 1500

3 300

4 450

5 550

Dado que el almacn dispone de una capacidad de 650 unidades

almacenadas, se tiene que:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 650

Finalmente se establecen las restricciones de no negatividad, ya que no

pueden existir unidades producidas, vendidas o acumuladas con signo negativo,

fsicamente hablando.

0

0

0

= 1,2,3,4,5 = , ( )

FUNCIN OBJETIVO

Siguiendo el objetivo trazado se busca maximizar las ganancias de la fbrica

durante los dos meses establecidos. La ganancia es igual al precio de venta de

cada bastidor multiplicado por las unidades vendidas en cada uno de los meses

menos los costos de las operaciones realizadas. Normalmente se toman en

cuenta los costos de fabricacin y los costos de almacenaje, sin embargo en este

caso no nos dan informacin acerca de los costos de produccin, por lo tanto solo

se tomaran en cuenta los costos de almacenaje que corresponden a 3 u.m por

bastidor acumulado en almacn. De acuerdo a esto se tiene:

= 301 + 372 + 423 + 514 + 395 + 301 + 372 + 423 + 514

+ 395 31 32 33 34 35

Quedando formulado el problema de programacin lineal de la siguiente manera:

= 301 + 372 + 423 + 514 + 395 + 301 + 372 + 423 + 514+ 395 31 32 33 34 35

Sujeto a:

1 1 1 = 0

2 2 2 = 0

3 3 3 = 0

4 4 4 = 0

5 5 5 = 0

1 + 1 1 = 1

2 + 2 2 = 2

3 + 3 3 = 3

4 + 4 4 = 4

5 + 5 5 = 5

1 125

2 125

3 125

4 125

5 125

0.31 + 0.42 + 0.53 + 0.24 + 0.355 768

0.021 + 0.032 + 0.114 + 0.095 768

0.51 + 0.62 + 0.43 + 0.434 + 0.35 1152

0.11 + 0.132 + 0.153 + 0.094 + 0.125 384

0.021 + 0.12 + 0.043 + 0.054 + 0.065 768

0.31 + 0.42 + 0.53 + 0.24 + 0.355 1152

0.021 + 0.032 + 0.114 + 0.095 768

0.51 + 0.62 + 0.43 + 0.434 + 0.35 384

0.11 + 0.132 + 0.153 + 0.094 + 0.125 384

0.021 + 0.12 + 0.043 + 0.054 + 0.065 768

1 800

2 2000

3 700

4 900

5 1300

1 500

2 1500

3 300

4 450

5 550

1 + 2 + 3 + 4 + 5 650

0

0

0

= 1,2,3,4,5 = , ( )

SOLUCIN PTIMA PARA VARIABLES ENTERAS (INTEGER)

Utilizando la herramienta informtica WinQSB se pudo hallar la siguiente solucin ptima para el problema de programacin lineal, previamente formulado.

Se obtuvo un valor mximo de ganancias de 153.451,00 unidades

monetarias para el funcionamiento de la empresa durante esos dos meses. Los

valores de unidades producidas, vendidas y almacenadas para cada uno de los

meses de cada bastidor se muestran en la segunda columna.

Figura 1. Matriz de solucin ptima del PPL.

SOLUCIN PTIMAS PARA VARIABLES DE TIPO CONTNUAS.

Del mismo modo se desea conocer la solucin del PPL introduciendo

variables de tipo continuas. Se obtuvo un valor ptimo de las ganancias de

153.458,70.

Figura 2. Solucin ptima del PPL para variables de tipo contino.

Comparando ambas soluciones podemos observar, que aquella obtenida

para variables de tipo continua es superior a aquella obtenida para variables

enteras. Sin embargo se puede apreciar que para esta solucin, las variables de

decisin tienen algunas soluciones con valores decimales, lo cual en la prctica no

es factible para este caso, ya que las variables son unidades de bastidores

producidas, vendidas y almacenadas, por lo tanto no pueden tener valores

decimales, en resumen la solucin real al problema es aquella obtenida para

variables de tipo enteras.

INTERPRETACIN ECONMICA DE LOS RESULTADOS DE LAS VARIABLES

PARA EL TRATAMIENTO DUAL DEL PROBLEMA.

Se obtuvo la siguiente matriz de soluciones para el problema en su

tratamiento dual.

Figura 3. Matriz de solucin al PPl en froma Dual.

Ntese que la solucin ptima obtenida para la funcin objetivo dual

es la misma que para la formulacin en tratamiento primal. Las variables de

decisin pasan a ser ahora los coeficientes de holgura de las restricciones del

problema, el lado derecho de las restricciones (ver right hand side en la figura 3).

Es importante destacar que existen valores negativos y decimales en las

soluciones para las variables de decisin del dual, lo cual en la realidad no es

factible ya que no pueden existir unidades de bastidores negativas ni piezas a

medio terminar.

ANLISIS DE SENSIBILIDAD DE LAS VARIABLES DE DECISIN DEL

MODELO.

La aplicacin informtica WinQSB nos permite analizar los valores que

pueden tomar los coeficientes de costos que acompaan las variables de decisin

en la funcin de objetivo sin alterar la solucin de cada variable (continuas) pero

que puede optimizar las ganancias de la empresa si se modifican correctamente

los valores de stas.

Figura 4. Solucin ptima del PPl para variables contnuas, anlisis de sensibilidad

de las variables de decisin.

Las columnas sealadas indican un intervalo de valores sobre las cuales se

pueden modificar los precios de venta de cada bastidor y su costo de almacenaje

sin alterar las cantidades asignadas a cada bastidor producido, vendido y

acumulado. Por ejemplo la variable V1F nos indica la cantidad de bastidores de

tipo 1 que sern vendidos en el mes de febrero y que tiene un precio de venta que

contribuye a las ganancias de 30 u.m. de acuerdo con el anlisis de sensibilidad la

cantidad de bastidores del tipo 1 a ser vendidos en febrero puede variar entre M

(valor negativo infinitamente grande) y 33,4286 ; de esta forma si se quisiera

aumentar el valor mximo de las ganancias (S.O= 153.451 u.m), se podra

aumentar este valor al mximo del intervalo (realmente a 33 unidades, ya que no

se pueden 33,4286 unidades y mejorar la solucin. De la misma manera se puede

tomar el valor mnimo del intervalo de sensibilidad para las variables de decisin

correspondientes a la acumulacin de bastidores para cada mes, las cuales se

relacionan directamente con los costos de almacenaje; sin embargo se observa

que este valor mnimo es negativo, lo cual a efectos de la realidad no es factible,

por lo tanto se acepta como mnimo valor el cero, y contribuir de esta forma con

mejorar la funcin objetivo.

En trminos econmicos, se podr obtener mejores ganancias si se

aumentan los precios de ventas hasta el valor mximo del intervalo de sensibilidad

y si se reducen los costos de almacenaje hasta el valor cero, manteniendo las

mismas cantidades de bastidores producidos, vendidos y acumulados para cada

tipo.

RESUMEN EJECUTIVO

Seores gerentes,

Presente,

Estimados seores, nos dirigimos a ustedes en calidad de consultores para

proponerles un plan optimizado de produccin para los prximos meses de febrero

y marzo, basado en la formulacin de un modelo matemtico de tipo lineal que

determine exactamente las cantidades a producir, vender y almacenar de cada

tipo de bastidor que su empresa fabrica; de manera que se maximicen las

ganancias de la empresa para dicho perodo.

De acuerdo a los datos suministrados por la empresa referentes a los

tiempos de produccin de cada bastidor por mquina, la demanda del mercado

para cada mes, los precios de venta de cada producto, costos de almacenaje; y

los diferentes requerimientos (restricciones) de la empresa tales como la

capacidad del almacn, el mantenimiento realizado a ciertas mquinas

involucradas en la cadena de produccin, los requerimientos mnimos de

produccin, entre otros; se pudo determinar una funcin de las utilidades netas de

la empresa expresada con base a las unidades que sern vendidas durante los

dos meses por su respectivo precio de venta, menos los costos de almacenaje de

las unidades sin vender. Esta funcin fue maximizada por medio del algoritmo

antes descrito a un valor de 153.451,00 unidades monetarias.

Para alcanzar estos valores de ganancia cumpliendo con los distintos

requerimientos de la empresa durante los meses indicados, recomendamos seguir

las siguientes indicaciones de produccin:

Para el bastidor tipo 1, producir 127 unidades en el mes de febrero y 1

unidad en el mes de marzo.

Para el bastidor tipo 2, producir 125 unidades en el mes de febrero y 95

unidades en el mes de marzo.

Para el bastidor tipo 3, producir 125 unidades en el mes de febrero y 175 en

el mes de marzo.

Para el bastidor tipo 4, producir 1050 unidades en el mes de febrero y 300

en el mes de marzo.

Para el bastidor tipo 5, producir 1164 unidades en el mes de febrero y 425

unidades en el mes de marzo.

Estas cantidades de produccin garantizaran las condiciones de

tener una existencia mnima de 125 unidades de cada bastidor para el mes

de febrero, y se garantiza que sern vendidas todas las unidades

acumuladas en almacn para el final de marzo.

La ptima utilidad neta de 153.451,00 unidades monetarias se podra

superar si la empresa es capaz de aumentar los precios de venta de cada

bastidor, y si se reducen de alguna forma los costos de almacenaje, y se

mantienen las rdenes de produccin arriba indicadas. Queda de parte de

la gerencia estudiar la posibilidad de llevar esto a cabo.

Aseguramos de nuestra parte que la planificacin de produccin

propuesta resultara ventajosa para el rendimiento de la empresa, y

quedamos a vuestra disposicin para cualquier otro tipo de consulta que

requiera su departamento.

Sin otro particular,

Atentamente,

LORENZINI, ALEJANDRO

MADRID, JESS

MOLLER, CHRISTIAN

NUNES, CHRYSTIAN