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070-5802 Ingeniería de Tránsito II

Capítulo II. Principios fundamentales del flujo de tránsito

2.1. Introducción

La teoría del flujo de tránsito consiste en el desarrollo de relaciones matemáticas entre los

elementos primarios de un flujo vehicular tales como flujo, densidad y velocidad. Estas relaciones

ayudan al ingeniero de tránsito para la planificación, diseño y evaluación de la efectividad de la

implementación de las medidas de ingeniería de tránsito en un sistema de carreteras. La teoría del

flujo de tránsito se usa en el diseño, para determinar las longitudes adecuadas de carril, para

almacenar a los vehículos que dan vuelta a la izquierda; la demora promedio en las intersecciones

y las áreas de incorporación al tránsito mediante rampas en los viaductos, así como cambios en el

nivel de comportamiento del viaducto debido a la instalación de dispositivos de control vehicular

mejorados en las rampas. Otra aplicación importante de la teoría del flujo vehicular es la

simulación, en la cual se utilizan algoritmos matemáticos para estudiar las complejas

interrelaciones que existen entre los elementos de un flujo vehicular y para estimar el efecto de los

cambios en el flujo de tránsito, sobre factores tales como accidentes, tiempo de viaje,

contaminación del aire y consumo de gasolina.

Se han empleado métodos que van desde físicos hasta empíricos, en estudios que relacionados con

la cuantificación y descripción del flujo de tránsito. S in embargo, este capítulo introducirá

solamente aquellos aspectos de la teoría del flujo de tránsito que pueden emplearse para la

planificación, diseño y operación de los sistemas de carreteras.

2.2. Elementos del flujo de tránsito

Los elementos del flujo de tránsito pueden definirse claramente con la ayuda del diagrama

espacio-tiempo. Este diagrama es un gráfico que describe la relación entre la ubicación de los

vehículos en un flujo vehicular, y el tiempo a medida que los vehículos avanzan a lo largo de la

vía. En la figura 2.1 se muestra un diagrama de espacio-tiempo para seis vehículos, con la

distancia graficada en el eje vertical y el tiempo en el eje horizontal. Para el tiempo cero, los

vehículos 1, 2, 3, y 4 se encuentran a las respectivas distancias d1, d2, d3 y d4 con base en un punto

de referencia, mientras que los vehículos 5 y 6 cruzan al punto de referencia posteriormente en los

instantes t5 y t6, respectivamente.

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Figura 2.1. Diagrama Espacio - Tiempo

Fuente: Garber y Hoel, 2005

Los elementos primarios del flujo de tránsito son el flujo, la densidad y la velocidad. Otro

elemento que se asocia con la densidad es la separación o brecha entre dos vehículos en el flujo

vehicular. A continuación se muestran las definiciones de estos elementos.

El flujo (q) es la tasa horaria equivalente a la cual transitan los vehículos por un punto, en una

carretera durante un período menor a una hora. Puede determinarse mediante:

Tnq 3600×

= veh/h

donde

n = número de vehículos que transitan por un punto en el camino en T segundos

q = el flujo horario equivalente

La densidad (k), es el número de vehículos que viajan sobre una longitud unitaria de carretera para

un instante de tiempo. En general, la longitud unitaria es de un kilómetro, por lo que la unidad de

densidad es el número de vehículos por kilómetro (veh/km).

La velocidad (v) es la distancia recorrida por un vehículo durante una unidad de tiempo. Puede

expresarse en kilómetros por hora (km/h). La velocidad de un vehículo para un instante t, es la

pendiente del diagrama espacio-tiempo para ese vehículo en el instante t. Por ejemplo, los

vehículos 1 y 2 en la figura 2.1 se mueven a velocidad constante porque las pendientes de los

gráficos asociadas son constantes. El vehículo 3 se mueve a una velocidad constante entre el

instante cero y el instante t3, luego se detiene durante el período t3 a t3” (la pendiente del gráfico es

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igual a cero) y luego acelera para moverse a una velocidad constante hasta el final. Existen dos

tipos de velocidad media: la velocidad media en el tiempo y la velocidad media en el espacio.

La velocidad media en el tiempo ( tv ) es la media aritmética de las velocidades de los vehículos

que transitan por un punto de una carretera durante un intervalo de tiempo. La velocidad media en

el tiempo se calcula mediante:

∑=

=n

iit v

nv

1

1

donde

n = número de vehículos que transitan por un punto de la carretera

iv = velocidad del i-ésimo vehículo

La velocidad media en el espacio ( sv ) es la media armónica de las velocidades de los vehículos

que transitan por un punto de una carretera durante un intervalo de tiempo. Se calcula como:

∑=

=

n

i i

s

v

nv

1

1

∑=

= n

ii

s

t

nLv

1

donde

sv = velocidad media en el espacio

n = número de vehículos

ti = tiempo que le toma al i-ésimo vehículo recorrer un tramo de la vía

iv = velocidad del i-ésimo vehículo

L = longitud del tramo de carretera

La velocidad media en el espacio es la velocidad que interviene en las relaciones flujo-densidad.

Esta velocidad es siempre más alta que la velocidad media en el espacio. La diferencia entre estas

velocidades tiende a disminuir a medida que aumentan los valores absolutos de las velocidades.

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El intervalo entre vehículos en el tiempo (i) es la diferencia entre el instante para el cual el frente

de un vehículo llega a un punto de la carretera y el instante para el cual llega el frente del siguiente

vehículo al mismo punto. El intervalo entre vehículos en el tiempo se expresa en segundos. Por

ejemplo, en el diagrama espacio-tiempo de la figura 2.1, el intervalo i que existe entre los

vehículos 3 y 4 para d1 es i3-4.

El intervalo entre vehículos en el espacio (e) es la distancia entre el frente de un vehículo y el

frente del siguiente vehículo. Se expresa en metros. El intervalo entre vehículos en el diagrama

espacio-tiempo de la figura 2.1 para los vehículos 3 y 4 para el instante t5 es s3-4.

2.3. Relaciones flujo-densidad

La ecuación general que relaciona el flujo, la densidad y la velocidad media en el espacio está

dada como:

Flujo = densidad x velocidad media en el espacio

svkq ×=

Cada una de las variables de la ecuación anterior también depende de otros factores, incluyen las

características del camino, del vehículo y del conductor, así como de factores del medio ambiente

como el estado del tiempo.

2.3.1. Diagrama Fundamental del flujo de tránsito

Un diagrama fundamental del flujo de tránsito reporta la relación entre densidad y flujo de tránsito

correspondiente para una carretera. Se ha postulado la siguiente teoría respecto de la forma de la

curva que representa a esta relación:

1. cuando la densidad en la carretera es cero, el flujo también es cero porque no hay vehículos

en la vía.

2. A medida que aumenta la densidad, el flujo también aumenta

3. Cuando la densidad alcanza su máximo, denominado densidad estática o de

congestionamiento (kj), el flujo debe ser cero porque los vehículos tenderán a alinearse

extremo con extremo

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4. Se concluye que a medida que la densidad aumenta desde cero, el flujo también aumentará

inicialmente desde cero hasta un valor máximo. Un incremento continuo adicional de la

densidad, conducirá entonces a una reducción continua del flujo, el cual finalmente será

cero cuando la densidad sea igual a la densidad de congestionamiento. Por tanto la forma de

la curva adopta la geometría mostrada en la figura 2.2a.

Figura 2.2 Diagramas Fundamentales de flujo de tránsito

Fuente: Garber y Hoel

Se han recopilado datos que tienden a confirmar el argumento postulado anteriormente, pero

existe alguna controversia respecto a la forma exacta de la curva. Puede postularse un argumento

similar para la relación general entre la velocidad media en el espacio y el flujo. Cuando el flujo

es muy bajo, existe poca interacción entre los vehículos individuales. Por tanto, los conductores

tienen la libertad de viajar a la máxima velocidad posible. La velocidad máxima absoluta se

obtiene a medida que el flujo tiende a cero, y se le conoce como la velocidad libre (vf). La

magnitud de la velocidad libre media depende de las características físicas de la carretera. Un

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incremento continuo del flujo resultará en un decremento continuo de la velocidad. Sin embargo,

se alcanzará un punto para el cual un mayor número de vehículos resultará en la reducción del

número verdadero de vehículos que transitan por un punto en la carretera (es decir, una reducción

de flujo). Esto conduce a un congestionamiento, y finalmente tanto la velocidad como el flujo se

hacen cero. En la figura 2.2c se muestra esta relación general. La figura 2.2b muestra la relación

directa entre la velocidad y la densidad.

De la ecuación fundamental se sabe que la velocidad media en el espacio es igual al flujo dividido

por la densidad, lo que hace que las pendientes de las rectas 0B, 0C y 0E de la figura 2.2a

representen a las velocidades medias en el espacio para las densidades kb, kc y ke,

respectivamente. La pendiente de la recta 0A es la velocidad a medida que la densidad tiende a

cero y existe poca interacción entre los vehículos. Por tanto, la pendiente de esta recta es la

velocidad libre media (vf); es la velocidad máxima que puede alcanzarse en la carretera. La

pendiente de la recta 0E es la velocidad media en el espacio para el flujo máximo. Este flujo

máximo es la capacidad de la carretera. Entonces, puede verse que es conveniente que las

carreteras operen a densidades que no sean mayores que la necesaria para el flujo máximo.

2.3.2. Relaciones matemáticas que describen el flujo de tránsito

Las relaciones matemáticas que describen el flujo del tránsito pueden clasificarse en dos tipos,

macroscópico y microscópico, dependiendo de enfoque que se use en el desarrollo de estas

relaciones. El enfoque macroscópico considera a las relaciones de la densidad del flujo, mientras

que el enfoque microscópico considera al espaciamiento entre vehículos y las velocidades de los

vehículos individuales.

Enfoque macroscópico

El enfoque macroscópico considera flujos vehiculares y desarrolla algoritmos que relacionan el

flujo, con la densidad y con las velocidades medias en el espacio. Los modelos macroscópicos

más empleados son los modelos de Greenshields y de Greenberg.

El modelo de Greenshields. Greenshields desarrolló uno de los primeros trabajos que se conocen,

en éste él estudia la relación entre velocidad y densidad. Postuló la hipótesis de que existe una

relación lineal entre la velocidad y la densidad y la expresó como:

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kkv

vvf

ffs −=

Pueden desarrollarse relaciones correspondientes para el flujo y la densidad, y para el flujo y la

velocidad. Como q = kvs × , despejando k y sustituyendo el valor en la ecuación anterior se

obtiene:

qkv

vvvj

fsfs −=2

También al sustituir el valor de kqvs = en la misma ecuación anterior se obtiene:

2kkv

kvqj

ff −=

Las ecuaciones anteriores indican que si se supone una relación lineal entre la velocidad y la

densidad, entonces se obtienen relaciones parabólicas entre el flujo y la densidad, y entre el flujo y

la velocidad.

El modelo de Greenberg. Este modelo utiliza la analogía del flujo de fluidos. La forma del

modelo es:

kk

cv js ln=

Multiplicando cada lado de la ecuación por k se obtiene:

kk

ckqkv js ln==

Aplicación del modelo. El uso de estos modelos depende de si se satisfacen los criterios de

frontera del diagrama fundamental del flujo de tránsito para la región que describe a las

condiciones de tránsito. Por ejemplo, el modelo de Greenshields satisface a las condiciones de

frontera cuando la densidad k se aproxima a cero, así como cuando la densidad se aproxima a la

densidad de embotellamiento kj. Por tanto, el modelo puede emplearse para tránsito ligero o

denso. Por otro lado, el modelo de Greenberg satisface las condiciones de frontera cuando k se

aproxima a cero, lo que significa que el modelo es útil solamente para las condiciones de tránsito

denso.

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Calibración de los modelos macroscópicos de flujo de tránsito. Los modelos de tránsito

estudiados hasta ahora pueden emplearse para determinar características específicas tales como

velocidad y densidad para los cuales se presenta el flujo máximo, así como para la densidad de

embotellamiento de una instalación. Hacer la calibración de un modelo implica recolectar los

datos apropiados en la instalación específica de interés, y ajustar los puntos de los datos obtenidos

a un modelo adecuado. El método de enfoque más común es el análisis de regresión. Se puede

usar regresión lineal si existe una relación lineal entre las variables dependiente e independiente y

el de regresión lineal múltiple cuando existe una relación lineal respecto a dos o más variables.

2.4. Distribuciones estadísticas de vehículos

A continuación siguen algunos ejemplos de estas distribuciones.

2.4.1. Llegadas. La probabilidad de que y vehículos lleguen o pase en un período de tiempo t se

puede expresar como P(y).

1. Llegadas aleatorias, ocurren cuando el volumen de tránsito es muy bajo. En ese caso se

puede aplicar la distribución Poisson.

a. Se considera que las llegadas son aleatorias si la media es igual a la varianza.

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=xσ

b. La fórmula de Poisson describe la probabilidad de que y vehículos lleguen en el tiempo

t, donde λ es la rata promedio de llegada.

( )

!!)(

yem

yetyP

myty −−

==λλ

tm λ= y TV

=λ

donde:

m es el promedio de vehículos que llegan por período de tiempo

e es la base del logaritmo neperiano (2,71928)

y = 0, 1, 2, 3, ……., n

V es el número total de vehículos que llegan para un instante T segundos

λ es el número promedio de vehículos que llegan por segundo.

2. Tráfico más congestionado, ocurre para volúmenes más altos y muy cercanos a la

capacidad. En ese caso se puede aplicar la distribución binomial.

a. Las llegadas son más uniformes si la varianza es mucho menor que la media.

20

12

<<xσ

b. La fórmula binomial es la siguiente: nqPyP == )0()( si y = 0

−+−=

yyn

qpyPyP 1)1()(

donde:

x

xp2σ−

= q = 1 – p pxn =

3. Variaciones cíclicas, se usa la distribución binomial negativa.

a. Las llegadas son cíclicas si varían del pico al no pico y la varianza es mucho mayor

que la media

12

>>xσ

4. Volumen constante, característico del flujo congestionado, se puede usar distribución

uniforme.

2.4.2. Intervalos. El intervalo medio entre vehículo sucesivos es i. La probabilidad de intervalos

entre vehículos es la probabilidad de que 0 vehículos lleguen en ese intervalo de tiempo. Por

ejemplo, la probabilidad de 0 vehículos llegando en un tiempo de 7,0 segundos es la probabilidad

de que exista un intervalo entre vehículos de 7,0 segundos.

1. Si el flujo es aleatorio se puede usar la distribución exponencial negativa

it

etiP−

=≥ )(

2. Para flujo congestionado, donde los intervalos son muy pequeños, se ha hecho uso de la

distribución exponencial desplazada.

3. Para pelotones, algunos han sugerido usar la distribución lognormal

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2.5. Brecha y brecha aceptable

Otro aspecto importante del flujo de tránsito es la interacción de los vehículos a medida que se

incorporan, salen o cruzan un flujo vehicular. Ejemplos de éstos incluyen a los vehículos en rampa

que se incorporan al flujo en un viaducto, los vehículos en los viaductos que salen hacia vías

laterales y el cambio de carriles de vehículos en una carretera de varios carriles. El factor más

importante que un conductor considera al hacer estas maniobras es la disponibilidad de una brecha

entre dos vehículos que, de acuerdo con el juicio del conductor, sea adecuada para terminar la

maniobra. La evaluación de las brechas disponibles y la decisión de realizar una maniobra

específica, dentro de una separación específica son inherentes al concepto de brecha aceptable.

A continuación se muestran las medidas importantes que incluyen al concepto de brecha

aceptable:

1. La confluencia o incorporación es el proceso mediante el cual un vehículo en una

corriente vehicular se incorpora a otra corriente vehicular que se mueve en el mismo

sentido, tal como un vehículo en rampa que se incorpora al flujo en un viaducto.

2. La separación o divergencia es el proceso mediante el cual un vehículo en un flujo

vehicular, sale de ese flujo vehicular, tal como un vehículo que sale del carril exterior de

un camino de acceso controlado.

3. El entrecruzamiento o la mezcla del tránsito es el proceso mediante el cual un vehículo

se incorpora primero a un flujo vehicular, luego cruza a ese flujo en sentido oblicuo, y

enseguida se incorpora a un segundo flujo que se mueve en el mismo sentido; por

ejemplo, la maniobra que se requiere para que un vehículo en rampa se incorpore al lado

más alejado del flujo en un camino de acceso controlado.

4. La brecha es el intervalo entre vehículos en un flujo principal, el cual es evaluado por el

conductor de un vehículo que está en un flujo secundario y que quiere incorporarse al

flujo principal.

5. El desfasamiento de tiempo es la diferencia entre el instante en que un vehículo que se

incorpora a un flujo principal, alcanza un punto en la carretera en el área de la

incorporación y el instante en el cual un vehículo en el flujo principal alcanza el mismo

punto.

6. El desfasamiento espacial es la diferencia para un instante de tiempo, entre la distancia

que separa a un vehículo que se incorpora de un punto de referencia en el área de

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incorporación y la distancia que separa a un vehículo en el flujo principal del mismo

punto.

En la figura 2.3 se ilustran las relaciones tiempo-distancia para un vehículo que está en una

intersección controlada por una señal de “PARE” esperando incorporarse, y para los vehículos en

el carril cercano del flujo vehicular principal.

Fuente: Garber y Hoel, 2005

Figura 2.3 Diagrama espacio-tiempo para vehículos en las cercanías de una señal de “PARE”

Un conductor que trata de incorporarse al flujo vehicular debe evaluar primero las brechas que se

presentan para determinar cuál, si existe alguna, es lo suficientemente grande para pasar. Al

aceptar esta brecha, el conductor piensa que podrá terminar la maniobra de incorporación e

integrarse con seguridad al flujo principal. A esta acción se le denomina la aceptación de la

brecha. Este factor tiene importancia cuando los ingenieros están considerando la demora de los

vehículos en caminos secundarios, que quieren incorporarse a un flujo vehicular en un camino

principal en intersecciones sin semáforos, así como la demora de vehículos en rampa que quieren

incorporarse a vías de acceso controlado.

También puede usarse para cronometrar la entrada de los vehículos que están en la rampa de

ingreso de un camino de acceso controlado, de modo que sea máxima la probabilidad de que el

vehículo entrante encuentre una brecha aceptable al llegar al camino de acceso controlado. Para

emplear el factor de la aceptación de la brecha para la evaluación de las demoras, de tiempos de

espera, longitudes de fila, etc., en las intersecciones sin semáforos y en las rampas de entrada,

debe determinarse primero la longitud de brecha mínima promedio que los conductores van a

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aceptar. Se han dado varias definiciones a este valor crítico. Greenshields lo llamó la “brecha de

tiempo mínima aceptable” y la definió como la separación entre vehículos aceptada por el 50% de

los conductores. Raff utilizó el concepto de “brecha crítica” y la definió como la brecha para la

cual, el número de brechas aceptadas más cortas que ésta es igual al número de brechas

rechazadas mayores que ésta. Puede emplearse un método gráfico o uno algebraico. En el uso del

método gráfico, se trazan dos curvas de distribución acumulada como se muestra en la figura 2.4.

Una de ellas relaciona la longitud de la brecha t con el número de brechas aceptadas que son

menores que t, y la otra relaciona a t con el número de brechas rechazadas mayores que t. La

intersección de estas curvas nos da el valor de t para la brecha crítica.

Fuente: Garber y Hoel

Figura 2.4. Curvas de distribución acumuladas para las brechas aceptadas y rechazadas

2.5. El enfoque estocástico de los problemas de la brecha y de la brecha de aceptación

El uso de la aceptación de la brecha para determinar la demora de los vehículos en los flujos

menores que van a incorporarse a los flujos principales, requiere un conocimiento de la frecuencia

de llegada de las brechas, que sean cuando menos iguales a la brecha crítica. Ésto a su vez

depende de la distribución de llegada de los vehículos de la corriente principal, al área de

incorporación. En general, se acepta para un flujo que varía de ligero a mediano en una carretera,

la llegada de los vehículos tiene una distribución aleatoria. Por tanto, es importante que se estudie

el enfoque probabilística de este asunto. Es común suponer que para determinar la variación de

tránsito ligero a mediano, la distribución es la de Poisson, aunque también se han planteado

hipótesis para el uso de las distribuciones gamma y exponencial.

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Supongamos que la distribución para la llegada del flujo principal es la de Poisson, entonces la

probabilidad de y llegadas para cualquier intervalo de tiempo de t segundos puede obtenerse

mediante la expresión

( )!!

)(yem

yetyP

myty −−

==λλ

tm λ= y TV

=λ

para y = 0, 1, 2, 3, ……., ∞

donde los símbolos ya fueron explicados.

Ahora, considere a un vehículo en una intersección sin semáforos o en una rampa esperando

incorporarse al flujo vehicular principal, cuyas llegadas pueden describirse mediante la ecuación

anterior (Poisson). El vehículo proveniente del flujo menor va a incorporarse solamente si existe

una brecha de t segundos, igual que o mayor que, la brecha crítica. Esto va a ocurrir cuando no

lleguen vehículos durante un período que dure t segundos. La probabilidad de esto es la

probabilidad de que lleguen cero vehículos (y = 0). Por tanto, si se sustituye este valor en la

ecuación de Poisson, el resultado será la probabilidad de que ocurra una brecha igual o mayor que

t (i≥t).

it

t eetiPP−− ==≥= λ)()0(

La ecuación anterior se conoce como la distribución exponencial y puede usarse para determinar

el número de brechas aceptables que ocurrirán en una intersección sin semáforos o en el área de

incorporación de la rampa de entrada a un camino de acceso controlado, durante un período T, si

se acepta a la distribución Poisson para el flujo vehicular principal y también se conoce el

volumen vehicular V. Suponga que T es igual a una hora y que V es el volumen en veh/hr para el

flujo vehicular principal. Ya que se presentan (V-1) brechas entre V vehículos sucesivos en un

flujo vehicular, entonces el número esperado de brechas mayores o iguales que t, está dado por

( ) tit

eVeVtiFrecuencia λ−−−=−=≥ )1(1)(

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2.6. Introducción a la teoría de colas

Una de las principales preocupaciones de los ingenieros de tránsito, es el congestionamiento que

existe en las vías urbanas, en especial durante las horas pico. Este congestionamiento conduce a la

formación de colas en las rampas de entrada y salida en los caminos de acceso controlado, en las

intersecciones y en las vías con tráfico continuo donde puedan formarse colas en movimiento.

Para un análisis apropiado de los efectos de las colas, es esencial una comprensión de los procesos

que conducen a la formación de este tipo de colas y de las consiguientes demoras en las carreteras.

Por tanto, la teoría de colas se ocupa del uso de algoritmos matemáticos para describir los

procesos que resultan en la formación de las colas, de modo que pueda realizarse un análisis

detallado de los efectos de las colas. Estos algoritmos matemáticos pueden usarse para determinar

la probabilidad de que una llegada se retrase, el tiempo esperado de aguardar para todas las

llegadas, el tiempo esperado de aguardar de una llegada que espera, etc.

Se han desarrollado varios modelos que pueden aplicarse a las situaciones del tránsito, tales como,

la incorporación del tránsito en la rampa de los caminos de acceso controlado, las interacciones en

los cruces de peatones y la reducción repentina de la capacidad en un camino de acceso

controlado. Esta sección dará solamente las relaciones elementales de la teoría de colas para un

tipo específico, es decir la cola de un solo carril.

Una cola se forma cuando los arribos esperan un servicio o una oportunidad, como la llegada de

una brecha aceptada en un flujo principal de tránsito, el cobro en una caseta de peaje o en una

entrada a un estacionamiento. El servicio puede ofrecerse para un solo carril o para varios carriles.

El análisis apropiado de los efectos de una cola de este tipo puede desarrollarse solamente si la

cola está plenamente especificada. Esto requiere que se cuente con las siguientes características de

la cola:

1. La distribución característica de las llegadas, por ejemplo, si es uniforme, si es Poisson,

etc.

2. el método de servicio, tal como se atiende al primero que lega, aleatorio o prioritario

3. La longitud de la fila, es decir, si es finita o infinita

4. la distribución de los tipos de servicio

5. la distribución de los carriles, es decir, si los carriles son individuales o múltiples, y en el

caso de carriles múltiples, si son en serie o en paralelo.

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Se han utilizado varios métodos para la clasificación de las colas con base en las características

anteriores, algunos de ellos se mencionan a continuación:

Distribución de las llegadas. Las llegadas pueden describirse como una distribución

determinística o una distribución aleatoria. En general, el tránsito que va de ligero a

mediano se puede describir mediante una distribución Poisson, y comúnmente se utiliza en

las teorías de colas relacionadas con el flujo de tránsito.

Método de servicio. Las colas también pueden clasificarse por el método que se usa para

prestar un servicio en las llegadas. Estos incluyen que se atienda al primero que llega, en el

cual las unidades son servidas en el orden de llegada, y al último que llega es al primero

que se atiende, en el cual el servicio está invertido respecto del orden de llegada. El

método por tipo de servicio también puede basarse en la prioridad, para lo cual las llegadas

se canalizan a las filas específicas de los niveles apropiados de prioridad, por ejemplo, se

da prioridad a los buses. Entonces se presta servicio a las colas de acuerdo con el nivel de

prioridad.

Características de la longitud de la cola. Se especifica la longitud máxima de la cola, es

decir, el número máximo de unidades en la cola, en cuyo caso la cola puede ser finita o

truncada, o puede no haber restricción a la longitud de la cola. Algunas veces son

necesarias las colas finitas cuando el área de espera está limitada.

Distribución de servicios. Generalmente también se considera a esta distribución como

aleatoria, y se han utilizado las distribuciones de Poisson y la exponencial negativa.

Números de carriles. Corresponde al número de colas de espera, por tanto se usa para

hacer su clasificación, por ejemplo, como una cola de un solo carril o una cola de varios

carriles.

Colas sobresaturadas y por debajo de la saturación. Las colas sobresaturadas son aquellas

en que la tasa de llegadas es mayor que la tasa de servicio, y las colas por debajo de la

saturación son aquellas en que la tasa de llegadas es menor que la tasa de servicio. La

longitud de una cola por debajo de la saturación puede variar, pero alcanzará un estado

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estacionario con la llegada de las unidades. Sin embargo, la longitud de una cola

sobresaturada nunca alcanzará el estado estacionario sino que seguirá aumentando con la

llegada de las unidades.

Fuente: Garber y Hoel, 2005

Figura 2.5. Una cola de un solo carril

2.7.1. Filas infinitas por debajo de la saturación y de un solo carril

En la figura 2.5 se muestra un esquema de una cola de un solo carril para la cual la tasa de

llegadas es de q vehículos/hora y la tasa de servicio es de Q vehículos/hora. Para una cola por

debajo de la saturación, Q>q, suponiendo que tanto la tasa de llegadas como la tasa de servicio

son aleatorias, y pueden desarrollarse las siguientes relaciones:

1. La probabilidad de n unidades en el sistema, P(n)

−

=

Qq

QqnP

n

1)(

donde n es el número de unidades en el sistema, incluyendo la unidad que está siendo

servida.

2. El número esperado de unidades en el sistema, E(n)

qQqnE−

=)(

3. El número esperado de unidades que esperan por el servicio (es decir, la longitud media de

la cola) en el sistema, E(m)

)()(

2

qQQqmE−

=

Observe que E(m) no es exactamente igual a E(n)-1, esto se explica porque existe una

probabilidad definida de que cero unidades estén en el sistema, P(0).

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4. El tiempo promedio de espera en la cola, E(w)

)()(

qQQqwE−

=

5. El tiempo promedio de espera de una llegada, incluyendo la cola y el servicio, E(v)

qQvE

−=

1)(

6. La probabilidad de pasar un tiempo t o menor en el sistema

qt

Qq

etvP

−−

−=≤1

1)(

7. La probabilidad de esperar un tiempo t o menor en la cola

qt

Qq

eQqtwP

−−

−=≤1

1)(

8. La probabilidad de que estén en el sistema más de N vehículos, es decir P(n>N) 1

)(+

=⟩

N

QqNnP

2.7.2. Filas finitas por debajo de la saturación y de un solo carril

En el caso de una cola finita, se especifica el número máximo de unidades (N) en el sistema. Sea q

la tasa de llegada y Q la tasa de servicio. Si también se supone que tanto la tasa de llegadas como

la tasa de servicio son aleatorias, pueden desarrollarse las siguientes relaciones para la cola finita:

1. Probabilidad de n unidades en el sistema

nNnP ρ

ρρ

111)( +−−

=

donde ρ = q/Q

2. El número esperado de unidades en el sistema

( )1

1

111

1)( +

+

−++−

−= N

NN NNnEρ

ρρρ

ρ