CAPÍTULO I

APROXIMACIÓN CLÁSICA

1.1 INTRODUCCIÓN

El objeto de este capítulo es tan solo ordenar algunas ideas básicas ya conocidas por el lector de forma que resulten eficaces para el cálculo de estructuras de barras. El primer paso consiste simplemente en plantear los términos fundamentales del problema, esto es, qué magnitudes se desea conocer y de qué herramientas se dispone. Expresando en términos algebraicos se trata de un balance de incógnitas y ecuaciones.

En este primer apartado se pretende únicamente demostrar como las más elementales ecuaciones de la mecánica son siempre suficientes para el análisis estructural.

A continuación se plantea el método directo de la rigidez como un simple esquema de resolución de sistemas de ecuaciones, concretamente el de sustitución.

En un tercer apartado se repite todo el proceso empleando la notación matricial, forma esta de trabajo muy adaptada al uso de ordenadores.

El último apartado se limita a resumir las conclusiones más importantes.

Al objeto de dar un soporte físico a la exposición, ésta se efectúa en base a una estructura elemental y probablemente ya familiar para el lector: la celosía hiperestática plana representada en la figura 1.1, con las dimensiones y características que se indican en la propia figura.

FIGURA 1.1

Para identificar en cada momento una barra o nudo concreto dentro de la estructura, se han numerado cada uno de ellos tal y como muestra la figura 1.2. En ella se dibuja también el sistema de ejes que representa las direcciones y sentidos positivos, tanto en cargas como en desplazamientos.

FIGURA 1.2

1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En este apartado se intentan precisar claramente tanto los objetivos del análisis como las herramientas típicas del cálculo de celosías (que suponemos conocidas por el lector). Parece clara la necesidad de obtener las siguientes magnitudes:

ESFUERZOS EN CADA BARRA: Como el único esfuerzo considerado es el axil, ello representa una incógnita por barra, que se notará como Ni, indicando con el subíndice el número de la barra. Se suponen positivos los esfuerzos de tracción.

DESPLAZAMIENTOS DE LOS NUDOS: En direcciones horizontal y vertical, lo que supone dos incógnitas por nudo que se notarán ui y vi respectivamente.

REACCIONES DE LOS APOYOS: Una incógnita por cada dirección restringida (coacción) que se notará Xi, Yi según se trate de una dirección horizontal o vertical.

A veces lo anterior se resume en la siguiente relación simbólica, para el caso plano:

I = b + 2n + r

Donde:

l: Número de incógnitas

b: Número de barras

n: Número de nudos

r: Número de coacciones

Así, en el caso de la estructura que se intenta resolver, se tiene:

b = 6 (N1,N2,N3,N4,N5,N6)

+2n =

8 (u1,v1,u2,v2,u3,v3,u4,v4)

+ r = 3 (X1,Y1,Y2)

-------------

l = 17

En aras de la generalidad se han considerado incógnitas que, como ocurre con los desplazamientos coartados por los apoyos, son claramente inútiles (de antemano ya se sabe que los desplazamientos u1 , v1 y v2 son nulos).

Una vez fijado el número de incógnitas se plantea el problema de hallar otras tantas ecuaciones.

Posiblemente las primeras de tales ecuaciones en que piense el lector sean las condiciones de contorno, que vendrán dadas en número "r" (una por cada reacción incógnita, ya que en los nudos en que se impone un desplazamiento aparece una reacción). En la estructura considerada son:

u1 = 0

v1 = 0 (1.1)

v2 = 0

Inmediatamente se puede pensar en el equilibrio de los nudos. Efectivamente, al considerar cada uno de ellos se obtienen dos ecuaciones que ligan los esfuerzos en las barras con las cargas exteriores aplicadas al propio nudo. Así, en el nudo 4 de la estructura aquí tratada se tiene (figura 1.3):

FIGURA 1.3

Normalmente, y con el único fin de que las cargas aplicadas no aparezcan cambiadas de signo (como ocurre con los 5.000 kilos aplicados al nudo 4) se cambia directamente el de todas las ecuaciones. Se tiene entonces:

Nudo 1: -N1 - N6 cos (45) = X1

-N4 - N6 sen (45) = Y

Nudo 2: N1 + N5 cos (45) = 0

-N2 - N5 sen (45) = Y

Nudo 3: N3 + N6 cos (45) = 0 (1.2)

N2 + N6 sen (45) = 0

Nudo 4: -N3 - N5 cos (45) = 5000

N4 + N5 sen (45) = 0

Entre los sistemas (1.1) y (1.2) se han obtenido ya "2n+ r" ecuaciones. Para las "b" restantes se pueden utilizar otras dos ideas básicas de la mecánica estructural: Ley de comportamiento y compatibilidad.

El comportamiento se expresa, en el caso de barras de celosía, mediante la conocida relación:

La aplicación directa de esta expresión introduce una nueva incógnita por cada barra: su incremento de longitud. En ocasiones esta variable puede ser de gran interés, ya que representa la deformación del elemento. En el caso más general constituye sin embargo una variable intermedia en el cálculo que se puede eliminar con solo introducir las ecuaciones de compatibilidad, que ligan el incremento de longitud de cada barra con los desplazamientos de sus nudos extremos.

El obtener la expresión analítica de estas ecuaciones es una cuestión de simple geometría en el caso de pequeños desplazamientos. La figura 1.4 muestra este proceso (Para el lector no familiarizado con estas expresiones sería recomendable leer con cuidado algún texto elemental sobre el tema).

FIGURA 1.4

Al sustituir las ecuaciones de compatibilidad en las de comportamiento se obtiene, para cada barra:

Se tienen ya por tanto las "b" ecuaciones que restaban para igualar el número de incógnitas. Para la estructura particular que nos ocupa, estas "b" ecuaciones son:

(1.3)

En donde se han dado valores numéricos a los parámetros A,E,L y α

1.3. EL MÉTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ

Al sustituir el sistema (1.2) en el (1.3) y éste a su vez en el (1.2) se tiene un conjunto de "2n" ecuaciones que representan el equilibrio de los nudos de la estructura (por ser el de equilibrio el último sistema de ecuaciones en el que se ha sustituido).

Su expresión, para la estructura que se está considerando es:

(1.4)

Una observación importante respecto a este sistema es que aquellas ecuaciones en que no aparecen reacciones se pueden extraer y resolver separadamente. Ello no deja de ser lógico puesto que en el sistema de "2n-r" ecuaciones que entonces queda aparecen "2n-r" incógnitas (desplazamientos no impedidos de los nudos). Para el ejemplo considerado este sistema queda:

(1.5)

Que al ser resuelto da:

u2 = 0.02381 cm

u3 = 0.09115 cm

v3 =-0.02381 cm

u4 = 0.11496 cm

v4 = 0.02381 cm

Conocidos los desplazamientos es inmediato el cálculo de cualquier otra magnitud. Así, por ejemplo, las reacciones en los apoyos se pueden obtener sustituyendo estos desplazamientos en las "r" ecuaciones de equilibrio en apoyos que se dejaron aparcadas al pasar del sistema (1.4) al (1.5):

La obtención de los esfuerzos en las barras únicamente requiere la sustitución de los desplazamientos en el sistema (1.3). Así, como ejemplo, para la "barra 5" de la estructura considerada se tiene:

1.4 FORMULACIÓN MATRICIAL

En este apartado se repite el proceso anterior empleando notación matricial.

Conviene insistir en como el hecho de emplear una u otra formulación, que en teoría carece de importancia, se convierte en la práctica en el elemento diferenciador y que da nombre en muchas ocasiones al método.

Para empezar se intentará representar matricialmente las relaciones de equilibrio en los nudos. Para ello se utiliza la siguiente notación:

que simplemente quiere decir que las cargas exteriores aplicadas al nudo "i" más la suma de las acciones que sobre el propio nudo ejerce cada barra "k" que en él concurre, da resultante nula. Los subíndices "x", "y" se refieren a la dirección en que se considera el equilibrio.

Normalmente la anterior relación se expresa en una forma ligeramente distinta:

donde la magnitud Qik representa la acción de la barra sobre el nudo y Si

k su contraria ( la acción del nudo sobre la barra).

En el caso particular estudiado se tiene:

(1.6)

En donde, como se puede observar, ya se omiten las ecuaciones correspondientes a los apoyos.

El siguiente paso consistirá en obtener una relación entre estas acciones Sik y los

desplazamientos de los nudos.

FIGURA 1.5

Para ello, y en un proceso paralelo al desarrollado en apartados anteriores, se aplican las ideas de compatibilidad y comportamientos. Así, para una barra "k" con nudos extremos "i" y "j" se tiene (figura 1.5):

Pero:

de donde:

Las líneas de trazos sugieren una división en cajas de la forma:

(1.7)

que, como se verá más adelante, resulta muy útil.

Normalmente esta relación se simboliza:

llamándose a [Ke] matriz de rigidez elemental.

Esta matriz admite una interpretación muy intuitiva. Imagínese, a modo de ejemplo, un vector de desplazamiento U.

Que es el que se obtendría al dar un desplazamiento horizontal unidad al nudo "i" manteniendo nulos los demás.

Al multiplicar por la matriz de rigidez se obtiene un vector de fuerzas:

Como tales fuerzas son las acciones sobre la barra en sus extremos, se puede pensar en cada columna de la matriz de rigidez de la barra como el vector de cargas que aparece en la misma al dar un desplazamiento unidad en la dirección correspondiente manteniendo nulos los demás.

Para la estructura tomada como ejemplo es:

La única que resta es sustituir este último sistema de ecuaciones en el de equilibrio. Así, para la primera ecuación del sistema (1.6):

Se tiene:

donde, se han sustituido los valores de u1, v1 y v2 dados en (1.3) para tener ya en cuenta las condiciones del contorno.

Para el resto de las ecuaciones es:

y:

Estas ecuaciones se suelen ordenar en la forma:

Que, como se puede comprobar, no es más que la expresión matricial del sistema (1.5).

Formalmente se suele escribir:

Representando F el vector de cargas aplicadas en los nudos, U el vector de desplazamientos que en estos se produce y [K] la matriz de coeficientes del sistema, a la que se suele llamar "matriz de rigidez". Algunas propiedades de esta matriz, que más adelante se estudiarán con cuidado, son ya notorios (por ejemplo su simetría y el que todos los elementos de la diagonal principal son positivos).

El proceso de sustitución de las ecuaciones de barra (1.7) en las de equilibrio global (1.6) es fácilmente automatizable en un algoritmo que normalmente se denomina "ensamblaje" y que más adelante se explicará con detalle.

1.5. CONCLUSIONES

El lector no debe desanimarse si la que, probablemente sea la ¿cómo hace el

ordenador para calcular una estructura? sigueMprimera pregunta: sin respuesta. Lo aquí expuesto constituye la base sobre la que se construye cualquier programa de cálculo matricial simple, pero, naturalmente, para llegar a construir dicho programa

son además necesarios algunos útiles de programación que, de ser aquí expuestos, alargarían en exceso lo que se pretende sea una simple introducción.

Tampoco debe el lector preocuparse por el limitado alcance del tipo estructural analizado (celosía plana). Las ideas expuestas son, en realidad, totalmente generales y únicamente su expresión analítica puede ser diferente en cada caso. En este sentido parece muy aconsejable leer con atención los ejercicios propuestos al final del capítulo, ya que desarrollan estas ideas para un elemento estructural diferente.

Sí sería en cambio deseable que el lector extrajese una primera conclusión: el cálculo matricial de estructuras de barras se puede considerar como una simple metodología que no requiere la comprensión de ningún concepto nuevo.

Desafortunadamente, esta aproximación tiene un alcance limitado: basta que la estructura presente elementos bi o tridimensionales para que las ideas de "barra" y "nudo" pierdan todo su significado, dejando indefenso al analista.

Es por ello evidente la necesidad de buscar puntos de vista más potentes y por tanto más generales.

Ello se abordará en los siguientes capítulos.

1.6 EJEMPLOS DE APLICACIÓN

EJERCICIO 1

Desarrollar la matriz de rigidez para las barras de una estructura plana de nudos rígidos.

SOLUCIÓN

Se pide aquí analizar la relación esfuerzos-desplazamientos para el caso más general de las estructuras planas de barras, ya que se supone que esta barra es capaz de transmitir momentos (al contrario que en el elemento de celosía) y de deformarse axialmente (al contrario que en el análisis clásico de pórticos).

Es necesario por tanto relacionar los 6 esfuerzos y deformaciones que se indican en la figura 1.6

FIGURA 1.6

Se comienza expresando la relación buscada en un sistema de coordenadas cómodo. En ese sentido los ejes más indicados son, evidentemente, los dados por las direcciones axil y normal a la barra (figura 1.7)

FIGURA 1.7

A estos ejes se les suele llamar "locales" dando con ello a entender que se refieren únicamente a la barra considerada.

La relación buscada es, por tanto, de la forma:

(E1.1)

En donde se utiliza el cambio de notación hace referencia a que las magnitudes se miden en direcciones axil y normal.

Para obtener los términos de [Ke] se imponen sucesivos desplazamientos unitarios en los extremos de la barra y, con ayuda de las más simples fórmulas de resistencia de materiales, se obtienen los esfuerzos en los extremos.

A modo de ejemplo, se desarrolla el cálculo de las tres primeras columnas (figura 1.8)

FIGURA 1.8

Por simples consideraciones de simetría es inmediato calcular los restantes términos. El resultado es una matriz de rigidez de la forma:

(E1.2)

El problema por tanto está resuelto. No obstante esta matriz se puede expresar en un sistema de ejes cualquiera (ver figura 1.6). Para ello basta con establecer la relación entre magnitudes (fuerzas y desplazamientos) expresadas en unos u otros ejes. Según la figura 1.9 estas relaciones son:

FIGURA 1.9

Relaciones estas que se suelen representar en forma matricial:

(E1.3)

La matriz [L] de cambio de coordenadas relaciona igualmente los esfuerzos:

(E1.4)

y tiene la propiedad de que su transpuesta y su inversa son idénticas.

Volviendo pues a la relación entre esfuerzos y desplazamientos expresada en ejes locales y realizando el cambio de coordenadas:

premultiplicando por [L] y puesto que [L][L]T=[I].

(E1.5)

de donde inmediatamente se deduce que la matriz buscada es para el caso más general:

EJERCICIO 2

Obtener los desplazamientos en los puntos A y B de la estructura de la figura.

Área de barras = 900 cm2.

Inercia de las barras = 8.0*105 cm4.

Módulo de elasticidad del material:

E = 2.0*105 Kg/cm2.

Carga aplicada : F= 10000 Kg.

FIGURA 1.10

SOLUCIÓN

Al igual que se hizo con la celosía anteriormente analizada, el primer paso consiste en la identificación de barras y nudos mediante su numeración.

FIGURA 1.11

A continuación se identifican las incógnitas y ecuaciones del problema. Las incógnitas son los desplazamientos de los nudos y las ecuaciones son las de equilibrio de estos mismos nudos.

Aprovechando lo estudiado en el ejercicio anterior, el cálculo se puede comenzar estableciendo las matrices de rigidez correspondientes a cada barra (dadas en (E1.6) y que relacionan los esfuerzos y desplazamientos en sus extremos según (E1.5). La primera cuestión que se plantea es que los desplazamientos y esfuerzos en los extremos de cada una de las barras deben tener la misma orientación, de forma que no existan dificultades al utilizar las ecuaciones de equilibrio. Para ello, sí se eligen como sentidos positivos para los desplazamientos y giro en cada nudo los indicados como x, y, θ en la figura 1.11, los ángulos a utilizar en las matrices [L] de cambio de coordenadas son:

Para la barra 1: α = 90º

Para la barra 2: α = 0º

Para la barra 3: α = - 90º

Y según (E1.5), se tiene:

PARA LA BARRA 1

PARA LA BARRA 2

PARA LA BARRA 3

Al efectuar el producto matricial se obtiene:

PARA LA BARRA 1

(E2.1)

PARA LA BARRA 2

(E2.2)

PARA LA BARRA 3

(E2.3)

De nuevo y por un camino paralelo a seguido en el caso de la celosía plana estudiada anteriormente, las primeras ecuaciones en que se puede pensar son las condiciones de contorno.

u1= 0

v1 = 0

θ 1 =0

u2= 0

v2 = 0

θ 2 =0

que al ser tenidas en cuenta al montar el conjunto de ecuaciones que representan el equilibrio de los nudos de la estructura, como ya se dijo anteriormente, permiten extraer aquellas en que no aparecen reacciones, es decir:

(E2.4)

(E2.5)

Por tanto el sistema de ecuaciones de equilibrio (análogo al (1.6)) es para este caso:

(E2.6)

Pero las relaciones entre las acciones de las barras sobre los nudos [Sik] y los

desplazamientos de estos últimos, vienen dadas por las ecuaciones (E2.1), (E2.2) y (E2.3), por lo que al sustituir sus valores respectivos en (E2.6), resulta:

cuya solución es:

u2 = 0.039 cm u3 = 0.031 cm

v2 = 0.0029 cm v3 =-0.0029 cm

θ 2 =-1.61 E- 4 rad θ 3 =-1.18 E-4 rad

Estos resultados se muestran gráficamente en la figura 1.12:

FIGURA 1.12

CAPÍTULO II

FUNDAMENTOS

2.1 INTRODUCCIÓN

Entre las conclusiones del capítulo anterior se hace referencia a la necesidad de un punto de vista más potente y general que el allí presentado, capaz de salvar las limitaciones que, referidas básicamente al tipo de estructura, aparecen en el desarrollo realizado.

Efectivamente, las estructuras de tipo laminar, tan utilizadas en la ingeniería aeronáutica, han sido, probablemente, las primeras en plantear la mencionada necesidad.

Para su análisis hubo de recurrirse a métodos energéticos que, al operar con magnitudes referidas al conjunto de la estructura, y no con equilibrios vectoriales, referidos a puntos concretos, se adaptaban fácilmente a elementos continuos.

Paradójicamente, tales planteamientos gozaban de gran tradición en el análisis de estructuras, lo que enlaza los más modernos métodos de análisis (elementos finitos, banda finita, elementos de contorno) con una de las más clásicas ramas de la mecánica.

Quizás conviene abrir aquí un paréntesis formal para aclarar la terminología empleada, aspecto éste que puede dar lugar a cierta confusión.

Como en cualquier otro campo de la ciencia en rápido desarrollo, en el análisis estructural se hace uso de gran número de vocablos aún no del todo asentados ni universalmente reconocidos.

Así, el "análisis matricial" de estructuras no es más que un procedimiento (entendido como simple conjunto de reglas) para organizar la rutina del análisis en una forma concreta.

A un nivel más global puede situarse el "método directo de la rigidez", cuya característica fundamental es la búsqueda de un sistema de ecuaciones de equilibrio cuyas incógnitas son los desplazamientos.

En un último nivel se podría distinguir entre dos puntos de vista globales. El primero responde a lo explicado el capítulo anterior y consiste básicamente en describir la estructura como un ensamblaje de elementos que se relacionan a través de puntos determinados.

El segundo planteamiento al que se podría llamar energético, contempla la estructura de una forma global, que, como se verá más adelante, no tiene porqué ser "troceada" en elementos.

Conviene insistir en que ambos puntos de vista pueden converger en un "método directo de la rigidez", dando lugar al mismo sistema de equilibrio. A su vez, este puede ser organizado de forma matricial y programado en ordenador. De hecho, un programa de análisis de estructuras de barras no trasluce el planteamiento global al que responde.

En el resto del texto se desarrollan todas estas ideas con cierto detalle. El proceso de exposición seguido abarca desde las ideas más globales (que se comentan en este capítulo) hasta los procedimientos más específicos de ordenador, tratados en capítulos posteriores.

2.2 LA ECUACIÓN DE CAMPO

La ecuación de campo constituye una de las más utilizadas descripciones matemáticas de los problemas de la mecánica. Al nivel en que se utiliza en este texto, se presentará simplemente como una ecuación(/es) diferencial(/es) que relaciona la variable(/es) incógnita del problema con funciones conocidas que recogen el efecto de cada parámetro. Se dejará para los matemáticos la discusión de otros aspectos de interés como la calidad o la suficiencia de tal descripción.

En el análisis estructural la ecuación de campo se obtiene siempre a través del uso de las más clásicas relaciones de la mecánica: equilibrio, comportamiento y compatibilidad.

A modo de recordatorio, se desarrollan las ecuaciones de campo típicas del análisis de estructuras de barras: las que se refieren al comportamiento ante cargas en su eje (axil) o normales a él (flexión).

AXIL:

Equilibrio:

(2.1)

Comportamiento:

(2.2)

Compatibilidad:

(2.3)

Donde:

u(x): representa la variable de campo, en este caso el desplazamiento de la sección en dirección axial (todos los puntos de la sección se mueven idénticamente).

es una variable intermedia que representa la deformación de las fibras de la barra en cada punto del eje.

N(x): Es otra variable intermedia, el esfuerzo axil, ligada a la deformación a través de un coeficiente, AE, llamado rigidez que, en principio, puede igualmente ser función de x.

q(x): es una función dato que proporciona el valor de la carga exterior aplicada en cada punto de la barra.

Al sustituir cada relación en la anterior se obtiene una ecuación diferencial que representa el equilibrio y que viene expresada en función de los desplazamientos. Es la ecuación de campo de la barra en axil:

(2.4)

FLEXIÓN:

Equilibrio:

(2.5)

(2.6)

Comportamiento:

(2.7)

Compatibilidad:

(2.8)

Donde:

(x): representa la variable de campo, en este caso el desplazamiento en dirección normal al eje de los puntos de tal eje.

(x): es una variable intermedia, la curvatura, que mide la deformación de cada fibra de una sección.

M(x), V(x): también variables intermedias que representan los esfuerzos en la sección (momento flector y esfuerzo cortante). El término EI, rigidez, puede ser variable.

q(x): función dato que proporciona en valor de la carga exterior aplicada en dirección normal al eje.

De nuevo, al sustituir cada relación en la anterior llega a la ecuación de campo:

(2.9)

2.3 FORMULACIÓN DIRECTA

Más que exponer o demostrar, en este apartado únicamente se planteará una somera reflexión sobre el procedimiento "clásico" de análisis estructural mostrando algunas de sus limitaciones.

La exposición se organiza en torno a uno de los más sencillos ejemplos posibles: la viga simplemente apoyada sometida a una distribución de carga (figura 2.1.a) y de la que se desea conocer la flecha en cada punto.

FIGURA 2.1

Como se ha podido comprobar en el anterior apartado, dicha flecha viene dada por la ecuación diferencial:

(2.10)

cuya integración para una función f(x) dada permite, imponiendo las condiciones de contorno adecuadas, una formulación explícita de la flecha. Así, para el caso de carga uniforme "q" se tiene:

(2.11)

CONDICIONES DE CONTORNO:

x = 0 v= 0

x =l v = 0

(2.12)

Y al integrar se obtiene la conocida ecuación:

(2.13)

Conviene observar que, entre las condiciones de contorno utilizadas se puede establecer una distinción. Las dos primeras afectan al valor de la variable de campo, el desplazamiento en este caso. Las dos segundas afectan a una función de las derivadas de tal variable, los momentos. Las primeras suelen ser llamadas "esenciales", o "condiciones en los desplazamientos" mientras que las últimas se denominan "naturales" o "condiciones en fuerzas".

Generalizando, se puede establecer el siguiente planteamiento del problema:

..."Dada una función real q (x), definida en el dominio cerrado [o, l], se llama solución a la función v = v (x) que verifica la ecuación de campo en el dominio abierto ]o,l[ y las condiciones en el contorno"...

Si el anterior proceso se desea repetir para un caso aparentemente sencillo como el presentado en la figura 2.1.c. aparecen importantes dificultades. La primera radica en la propia descripción de la carga, que ya no puede ser realizada en la clásica forma de función f(x).

Los matemáticos han desarrollado una clase especial de relación, a la que llaman "distribución" que puede ser utilizada en ocasiones como la que nos ocupa. En concreto, a una relación tal que resulta nula en todo el dominio salvo en un punto se la llama "Delta de Dirac" (y ni siquiera se entrará en cómo se define el valor de la distribución en ese punto).

Se puede por tanto concluir la dificultad que encierra, no ya la integración de la ecuación diferencial (recuérdese que ahora es una relación entre "distribuciones" y no entre funciones), sino su propio planteamiento, para el cual es necesario recurrir a sofisticadas herramientas matemáticas.

Tradicionalmente la resistencia de materiales ha evitado estos problemas recurriendo a trucos específicos de cada caso. En este caso, se recurre a la división del dominio en dos trozos (desde un extremo hasta el punto de aplicación de la carga y desde éste al otro extremo), integración en cada trozo e imposición de las condiciones de contorno (extremos) y continuidad (punto de aplicación de la carga). Por desgracia, la falta de generalidad de tales trucos impide un planteamiento global del problema, y ello se traduce en ocasiones en una peligrosa dispersión de ideas.

Parece pues claro que el único método general de que se dispone, la integración directa de la ecuación diferencial, presenta dificultades importantes para su aplicación.

2.4 EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

La base del planteamiento seguido en este texto es el principio de los trabajos virtuales. La formulación más general del principio establece la igualdad entre la energía elástica y el trabajo de las fuerzas exteriores cuando al sistema se le aplica una deformada adecuada.

Naturalmente, esta descripción tan general adopta formas diversas al ser aplicada a los distintos modelos estructurales. Así, la expresión analítica de la energía elástica de una viga en flexión es distinta a la de la misma viga trabajando en axil o a torsión. Ello no resta atractivo al método porque es únicamente la forma y no el fondo lo que cambia en cada caso.

Mayor interés encierra el término "deformación adecuada" utilizado anteriormente y es precisamente este punto donde radica la potencia del planteamiento: casi cualquier deformada que encierre un mínimo sentido común es adecuada.

Con el único ánimo de concretar los anteriores planteamientos, se expondrá en lo que sigue una formulación del principio para el caso concreto de la viga en flexión.

Para ello supóngase de nuevo una situación semejante a la de la figura 1: una viga de longitud "l" que al ser sometida a una distribución de cargas "q(x)" se deforma en modo tal que los puntos de su eje se desplazan según una función v=v(x). Supóngase igualmente una función w continua e integrable hasta su segunda derivada y que verifica las condiciones de contorno esenciales del problema en su forma homogénea (el significado de este último aserto se explicará más adelante). En estas condiciones se cumple:

(2.14)

En esta expresión el lector podrá reconocer términos familiares. Así, el primer miembro representa la energía elástica (término convencional que designa el trabajo de los esfuerzos "reales" con la curvatura "virtual") mientras que el segundo miembro representa el trabajo de las cargas exteriores y de contorno. Es precisamente en estos últimos términos donde se recogen las condiciones de contorno naturales. Normalmente estos términos se anularán.

2.5 FORMULACIÓN ENERGÉTICA

Constituye una descripción de los problemas de la mecánica alternativa a la formulación diferencial mostrada en apartados anteriores. Se basa en el principio de los trabajos virtuales, y consiste fundamentalmente en definir la solución de un problema como la función que verifica el principio de los trabajos virtuales para cualquier función de desplazamientos elegida.

Es importante comprender el cambio del punto de vista. En el anterior apartado se mostraba una relación que era satisfecha por la función solución. Ahora se invierte la dirección: Una función será solución si satisface tal relación para cualquier w que cumpla las condiciones exigidas a la función virtual. Así planteada, esta formulación no hace sino añadir nuevos problemas. Así, y en primer lugar, no resuelve el problema de las cargas puntuales. Efectivamente, en el segundo miembro aparece una integral ponderada de la función de cargas cuyo significado es necesario aclarar.

En segundo lugar, no parece un planteamiento muy útil. Si resolver una ecuación diferencial resulta difícil, resolver un planteamiento como el expuesto parece lejos de la capacidad analítica de un técnico.

Por último, demostrar las condiciones de existencia y unicidad de la solución resulta un problema complejo.

Afortunadamente, todos estos inconvenientes tienen una solución sencilla. El primero se resuelve asignando a la integral el producto de la fuerza por la ordenada de la función virtual en el punto de aplicación de aquella (al fin y al cabo, esta es la más clásica de las definiciones de trabajo: fuerza multiplicada por desplazamiento).

El segundo inconveniente no se llega a plantear, dado que no se buscará una solución directa. El último de los problemas queda reservado para los matemáticos.

De nuevo resulta conveniente hacer alguna aclaración respecto a la terminología al uso.

A la formulación energética se la suele llamar integral (las razones son obvias) y a la directa, diferencial. También en ocasiones se llama solución débil a la proporcionada por el planteamiento energético y fuerte a la que da el diferencial ( por lo que también se les llama formulaciones débil o fuerte) la razón es sencilla: el planteamiento diferencial exige la existencia de la cuarta derivada (en el caso concreto de flexión de vigas) mientras que el débil solamente exige la existencia de la segunda.

Por último, a la formulación energética se la llama en ocasiones variacional, porque puede ser obtenida a través del cálculo de variaciones.

En cualquier caso, toda esta terminología carece de importancia y únicamente se cita con la intención de evitar posibles confusiones.

2.6 EQUIVALENCIA DE LAS FORMULACIONES

Si se plantea la formulación integral como alternativa a la diferencial, parece necesario dar un paso previo consistente en la demostración de la equivalencia entre ambas, esto es, la solución de una lo es de la otra.

Se comenzará demostrando que la solución de la ecuación diferencial lo es de la integral. Para ello, y partiendo de la ecuación de campo:

(2.15)

se obtiene una primera forma integral.

(2.16)

Es evidente que cualquier solución de la primera lo es de la segunda.

Una doble integración por partes del primer miembro proporciona la ecuación vista:

(2.17)

recordando que:

(2.18)

y que

(2.19)

Se obtiene la fórmula ya conocida (2.14).

Para el camino inverso, demostrar que la solución de la expresión integral lo es de la diferencial, se comenzará deshaciendo la integral doble por partes. Se llega así a:

(2.20)

o, lo que es igual:

(2.21)

Como la condición para que y sea solución es que verifique esta fórmula para cualquier ω , se escoge un valor concreto:

(2.22)

Donde es una función positiva.

Al sustituir

(2.23)

La única posibilidad de que esta ecuación se cumpla es que, en todos los puntos del dominio:

(2.24)

2.7 APROXIMACIÓN

Básicamente, la idea de aproximación consiste en admitir la imposibilidad práctica de encontrar la función real de desplazamientos y buscar a cambio otra función que, bajo ciertos puntos de vista, se parece a la real.

Naturalmente, es necesario aclarar el significado de este párrafo. Así, al hablar de buscar otra función se debe precisar el conjunto de funciones en donde se realiza la búsqueda. Se debe también especificar el criterio que dirige la investigación esto es, que permite señalar qué función de entre las del conjunto investigado, se parece más a la real. Por último, aceptando la necesidad de limitarse a una aproximación, se debería ser capaz de acotar el error cometido.

FIGURA 2.2

A modo de ejemplo se aplicarán estas ideas a la viga simple de la figura 2.1.c Procediendo ordenadamente se debe fijar en primer lugar el conjunto de funciones entre las que se busca la aproximación. Parece lógico exigir que todas ellas cumplan

unas condiciones mínimas: continuidad y condiciones en el contorno. Por otra parte, el sentido común dicta una nueva exigencia: la simplicidad.

A simple vista parece que existen dos familias de funciones idóneas: las trigonométricas y las polinómicas de menor grado. Si se eligen las trigonometrías (de las polinómicas se hará frecuente uso más adelante) se puede escribir:

(2.25)

Que, como indica la figura 2.2, únicamente significa que se aproxima la función real

v=v(x) mediante otra función que se obtiene multiplicando una función conocida (un seno) por una constante desconocida.

El criterio de búsqueda en un conjunto tan simple se limita precisamente a determinar el valor de esa constante.

Para ello se puede utilizar la expresión del principio de los trabajos virtuales, establecido esta vez sobre la función aproximadora (queda para los matemáticos el demostrar que el principio es igualmente válido al establecerlo sobre la función aproximadora).

Se tiene entonces:

(2.26)

y como

(2.27)

(2.28)

al sustituir en (2.26)

(2.29)

Donde se puede eliminar directamente el término [w ' M]0l al recordar que, por tratarse

de viga biapoyada, el momento es nulo en los extremos.

Como se recordará, la función w podía ser cualquiera que cumpliera unas condiciones mínimas. Lo más cómodo es, quizás, escoger la propia función seno utilizada como aproximadora. Se tiene:

(2.30)

(2.31)

y por tanto:

(2.32)

Donde el término [-w V]0l se ha eliminado por ser w nula en ambos extremos.

Si la rigidez EI es constante a lo largo de la viga, la integral es inmediata y se obtiene:

(2.33)

Lo que permite determinar el parámetro "A" de forma inmediata.

(2.34)

y, por tanto:

(2.35)

A modo de comprobación se puede comparar la flecha en el centro de vano, para el caso de una viga sometida a una carga uniforme de valor q

(2.36)

con la que proporciona la resistencia de materiales,

(2.37)

Esto es, el error no llega al 1,0%.

Lo anterior puede ser generalizado en forma simple. Así, la idea de aproximación se puede expresar en la forma:

(2.38)

Donde a las funciones ϕ i (x) se las suele llamar "funciones de base" y a los coeficientes ai "coordenadas generalizadas".

Como el lector comprobará se utiliza la terminología típica del álgebra elemental. En efecto, es clara la similitud con las definiciones de espacios vectoriales. La función aproximadora será según esta asimilación, el vector cuyas componentes en la base ϕ i ; i = 1,..., n , son los valores ai , i =1, ..., n

2.8 EL MÉTODO DE GALERKIN

Con este nombre designaremos un procedimiento para la elección de la funciones virtuales que, con distintas variantes tuvo su origen en la escuela Rusa (Bubnow, Petrof, Galerkin...).

Las diferencias de matriz que caracterizan la aportación de cada autor rebasan el nivel que se pretende dar al presente texto, por lo que nos limitaremos a una exposición general que, obviando el rigor matemático, presente la idea básica, que no es otra que el utilizar como funciones virtuales las siguientes:

(2.39)

Donde:

: Funciones virtuales. Tantas como funciones de base.

: Funciones de base.

: Funciones auxiliares que toman en el contorno el valor del desplazamiento.

Estas últimas funciones se utilizan cuando las condiciones de contorno esenciales del problema no son homogéneas, esto es, cuando se imponen desplazamientos en el contorno.

Si, con el único objeto de simplificar y centrar ideas, suponemos condiciones de contorno homogéneas en todos los casos, se tendrá:

(2.40)

Estamos ya en condiciones de sustituir en la formulación variacional. Así, para el caso de flexión:

(2.41)

al sustituir la aproximación del desplazamiento se tiene:

(2.42)

y tomando sucesivamente cada _i como función de desplazamiento virtual, se tiene:

(2.43)

Expresión que representa un sistema lineal de ecuaciones.

Los términos en el contorno han desaparecido al considerar homogéneas las condiciones de contorno. Aunque ello pueda parecer en principio muy restrictivo, la tabla adjunta muestra el abanico de posibilidades cubierto.

El anterior sistema de ecuaciones se suele representar en la forma

(2.44)

Donde:

= " Vector de cargas". Cada componente es de la forma

y representa el trabajo de la distribución de cargas externa con la deformada virtual .

= "Vector de desplazamientos". Cada componente representa la coordenada ai de la

solución respecto a la función .

= "Matriz de rigidez". Cada término es de la forma

Nótese que se han entrecomillado los términos "Vector de cargas" y "Vector de desplazamientos". Al hacerlo así se quiere llamar la atención sobre lo equívoco de tales nombres, ya que ni el vector de cargas representa tales cargas (sino el trabajo que realizan las fuerzas) ni el vector de desplazamientos refleja el movimiento de ningún punto en concreto.

Nótese también que la denominada "matriz de rigidez" resulta ser simétrica, ya que:

(2.45)

2.9 CONCLUSIONES

En este apartado se pretende únicamente llamar la atención del lector sobre el profundo cambio de mentalidad que, en relación al análisis estructural, representan los conceptos mostrados. Efectivamente, el reconocimiento de la imposibilidad práctica de resolver de forma general el problema de análisis constituye quizás el más importante de los puntos señalados. Cierto es que los métodos particulares que se han ido desarrollando cubren la mayor parte de los problemas prácticos habituales, pero subsisten muchos otros frente a los que no existe posibilidad alguna.

El concepto de aproximación parece inevitable una vez aceptada la imposibilidad de encontrar la solución real de muchos problemas.

Por fin, la utilización de planteamientos energéticos, como criterio de búsqueda de la solución más aproximada, resultará probablemente familiar al lector, quien ya tendrá cierta experiencia en el uso de los teoremas energéticos clásicos.

Antes de acabar es necesario reconocer que la exposición del capítulo, basada en ejemplos especialmente simples, no justifica la validez de las ideas citadas cuando se aplican a una estructura completa.

Ello se debe a que la finalidad de este capítulo es simplemente la de presentar estos conceptos, dejando para el que sigue su desarrollo y aplicación práctica.

2.10 EJEMPLOS DE APLICACIÓN

EJEMPLO 1

En este apartado se tratará de desarrollar algunos ejemplos escogidos de forma tal que incidan de forma especial en alguno de los aspectos citados en el texto.

Como primer ejercicio se propone el análisis de la misma viga de la figura 2.1.c. pero utilizando en este caso como función aproximadora una polinómica y suponiendo como carga una fuerza F aplicada en el punto medio.

Se tiene por tanto:

(E1.1)

El primer paso consistirá en la selección del conjunto de búsqueda. Para ello, y limitándose a las funciones polinómicas, se comienza por seleccionar aquellas que verifican las condiciones de contorno. Así, ha de ser:

(E1.2)

Por otra parte, han de ser funciones continuas hasta la segunda derivada (con el único fin de que el término integral tenga algún sentido). Ello implica la necesidad de un polinomio de segundo grado o superior.

Por último la exigencia de simplicidad limita el número de términos a la menor cantidad requerida. Se tiene por tanto:

(E1.3)

y ya sólo resta calcular el valor de la constante a2.

Para ello se utiliza de nuevo el principio de los trabajos virtuales, empleando como deformada virtual la función:

(E1.4)

Que da lugar a la expresión:

(E1.5)

(E1.6)

de donde:

(E1.7)

y, por tanto:

(E1.8)

función que proporciona una flecha en el centro de vano de valor:

(E1.9)

La aproximación obtenida es, evidentemente, pobre. Ello era previsible por cuanto que se intenta aproximar una función (la real) con tercera derivada no nula (recuérdese que la tercera derivada de la función desplazamiento es proporcional al valor del cortante en cada punto) con una función cuya tercera derivada es nula.

Afortunadamente, la solución es bien sencilla: basta con ampliar el conjunto de las funciones investigadas hasta los polinomios de orden superior. Así, empezando por los de tercer grado:

(E1.10)

que, al imponer la compatibilidad con las condiciones de contorno:

(E1.11)

Se trata ahora de calcular los coeficientes a2 y a3, para lo cual son necesarias dos ecuaciones que se obtienen por la aplicación sucesiva del principio de trabajos virtuales.

Como deformadas virtuales se escogen dos funciones cualesquiera del conjunto de búsqueda, por ejemplo:

(E1.12)

Se obtiene entonces:

(E1.13)

(E1.14)

o lo que es igual.

(E1.15)

(E1.16)

sistema cuya resolución conduce a un sorprendente resultado:

(E1.17)

Esto es, el polinomio de tercer grado no proporciona en este caso, un resultado superior al de segundo grado.

Ello se debe a que el término de tercer grado resulta ser, empleando términos de análisis matemático, "normal" a la distribución de carga del problema. Ello no debe inquietar al lector, dado que se trata de una casualidad que difícilmente se presentará en la práctica, pero sí es importante el comprobar como algunas "familias" de funciones de aproximación son más adecuadas a cierta clase de problemas que otras, (en este caso concreto, las funciones trigonométricas son mucho más eficaces que las polinómicas).

En el peor de los casos, bastará con ampliar el conjunto de funciones en el que se busca. Así, repitiendo las anteriores operaciones para los polinomios de cuarto grado se tiene:

a) Definición del conjunto de búsqueda:

"polinomios de 4º Orden...

(E1.18)

... que verifiquen las condiciones de contorno en desplazamientos..."

(E1.19)

de donde:

(E1.20)

b) Aplicación del Principio de los Trabajos Virtuales para obtener los coeficientes a2, a3 y a4 . Se utilizan como deformadas virtuales las siguientes:

w 1 =x2 -lx (resultado de hacer a2= 1 y a3= a4= 0 en y')

w 2 =x3 -l2x (resultado de hacer a3= 1 y a2= a4= 0 en y')

w 3 =x4 -l3x (resultado de hacer a4= 1 y a1= a2= 0 en y')

(E1.21)

que, al ser aplicadas dan lugar al siguiente sistema:

(E1.22)

De cuya resolución se obtiene:

(E1.23)

Esto es:

(E1.24)

siendo la flecha en el punto medio:

(E1.25)

Se ha conseguido por tanto una precisión superior al 2% en la flecha (el lector interesado puede comprobar algunos otros parámetros: pendiente en los extremos, curvaturas, etc...)

FIGURA EI.1

En este primer ejercicio se ha buscado la solución en un conjunto de funciones que se pueden notar:

(E1.26)

siendo:

(E1.27)

EJEMPLO 2

Como segundo ejercicio se pide obtener una formulación general para el caso en que

las funciones sean trigonométricas, esto es:

(E2.1)

El procedimiento será siempre el mismo:

a) Definición del conjunto de búsqueda:

"Funciones trigonométricas...

(E2.2)

... que verifiquen las condiciones de contorno en desplazamientos".

En este caso esta última no constituye ninguna restricción, ya que todas las funciones son idénticamente nulas para x = 0 y x = L.

b) Aplicación del Principio de los Trabajos virtuales para obtener los coeficientes a1, a2, a3, ... . Se utilizan como funciones de desplazamientos virtuales las siguientes:

(E2.3)

que, al ser aplicadas, dan lugar al siguiente sistema:

(E2.4)

Al realizar las integrales planteadas se comprueba una muy útil casualidad, se trata de que los términos de la forma:

(E2.5)

se anulan para i¹ j y valen L/2 para i=j. Ello hace que, si la rigidez EI de la viga es

constante a lo largo de esta, el anterior sistema de ecuaciones se simplifique notablemente:

(E2.6)

.

.

.

comprobándose como la solución es inmediata (el sistema está desacoplado):

.

.

.

(E2.7)

Con solamente los tres primeros términos se obtiene para la flecha en el centro el valor:

(E2.8)

que representa un "error" de tan sólo el 0,2%.

Es igualmente interesante comprobar como el segundo término no añade nada a la solución, se vuelve a encontrar una función normal a la distribución de carga en

idéntica forma a lo que ocurre con el tercer término de la serie potencial.

CAPÍTULO III

EL ELEMENTO

3.1. INTRODUCCIÓN

En el anterior capítulo se intentó mostrar la potencia y generalidad de los métodos proyectivos.

En gran parte, estas cualidades responden a la amplia libertad de que goza el analista en lo que a la elección de las funciones de base respecta.

Todas las funciones utilizadas hasta el momento tienen como característica común la de tomar valores no nulos en la práctica totalidad de los puntos del dominio. Ello implica, en la mayoría de los casos, el que tales funciones deban ser definidas en forma tal que se ajusten a la geometría del problema, la distribución de cargas, etc.

Al pensar en la automatización del método, a través de un programa de ordenador, lo anterior representa un inconveniente grave, ya que se hace necesario introducir en el programa las funciones utilizadas en cada caso.

Justamente en este punto es donde aparece la genialidad del método de los elementos finitos. En efecto, el método proporciona un sistema de generación de funciones de base de gran eficacia que permite que, a partir de la definición de un reducido número de funciones y mediante un proceso simple de combinación, se pueden obtener funciones adecuadas a cada caso.

Este capítulo se dedicará a la exposición de las ideas básicas de esta metodología.

3.2 FUNCIONES DE PEQUEÑO SOPORTE

3.2.1. CASO DE BARRAS SOMETIDAS A ESFUERZOS AXILES.

La figura adjunta representa una barra trabajando en sentido axial.

FIGURA 3.1

Como aproximación a la función de desplazamiento longitudinal de cada punto se utiliza una combinación lineal de las funciones de base representadas en la figura adjunta.

FIGURA 3.2

Utilizando estas funciones se formará el sistema

(3.1)

indicado en el anterior capítulo.

Comencemos por la matriz de rigidez:

(3.2)

Cada término de la matriz puede representarse gráficamente en la siguiente forma:

En la que se dibujan las funciones de forma y de características mecánicas AE.

Cada una de estas integrales se puede descomponer en forma semejante a la que se indica:

De los tres términos únicamente el segundo es no nulo y su valor es:

Si se realiza un proceso semejante con el resto de los términos de la matriz se observa que todos ellos se reducen a una suma de integrales, realizadas en cada uno de los tramos de la viga, y cuya forma es alguna de las cuatro que siguen:

Si se admite, como es habitual, que dentro de cada tramo de integración las características mecánicas de la barra son constantes, basta con multiplicar las anteriores integrales por el término AE para tener una tabla que comprenda todas las integrales necesarias para formar la matriz de rigidez.

A esta tabla de integrales se le llama matriz de rigidez elemental.

A cada uno de los tramos sobre los que se realizan las integrales parciales se les llama elementos.

El vector de cargas se puede desarrollar en la siguiente forma:

Lo que da lugar a un resultado interesante: como la integral realizada para cada término equivale a multiplicar las cargas aplicadas por el valor de la función virtual correspondiente en el punto de aplicación de la fuerza, dada la especial forma de las funciones utilizadas se obtiene que la expresión del vector de cargas coincide con el propio valor de las fuerzas exteriores.

3.2 FUNCIONES DE PEQUEÑO SOPORTE

3.2.1. CASO DE BARRAS SOMETIDAS A ESFUERZOS AXILES.

La figura adjunta representa una barra trabajando en sentido axial.

FIGURA 3.1

Como aproximación a la función de desplazamiento longitudinal de cada punto se utiliza una combinación lineal de las funciones de base representadas en la figura adjunta.

FIGURA 3.2

Utilizando estas funciones se formará el sistema

(3.1)

indicado en el anterior capítulo.

Comencemos por la matriz de rigidez:

(3.2)

Cada término de la matriz puede representarse gráficamente en la siguiente forma:

En la que se dibujan las funciones de forma y de características mecánicas AE.

Cada una de estas integrales se puede descomponer en forma semejante a la que se indica:

De los tres términos únicamente el segundo es no nulo y su valor es:

Si se realiza un proceso semejante con el resto de los términos de la matriz se observa que todos ellos se reducen a una suma de integrales, realizadas en cada uno de los tramos de la viga, y cuya forma es alguna de las cuatro que siguen:

Si se admite, como es habitual, que dentro de cada tramo de integración las características mecánicas de la barra son constantes, basta con multiplicar las

anteriores integrales por el término AE para tener una tabla que comprenda todas las integrales necesarias para formar la matriz de rigidez.

A esta tabla de integrales se le llama matriz de rigidez elemental.

A cada uno de los tramos sobre los que se realizan las integrales parciales se les llama elementos.

El vector de cargas se puede desarrollar en la siguiente forma:

Lo que da lugar a un resultado interesante: como la integral realizada para cada término equivale a multiplicar las cargas aplicadas por el valor de la función virtual correspondiente en el punto de aplicación de la fuerza, dada la especial forma de las funciones utilizadas se obtiene que la expresión del vector de cargas coincide con el propio valor de las fuerzas exteriores.

3.2.2. GENERALIZACIÓN AL CASO DE ESTRUCTURAS CON VIGAS TRABAJANDO A FLEXIÓN.

Como se sabe, se llama soporte de una función al conjunto de valores sobre los que ésta es distinta de cero; y, como se ha visto, la idea básica de esta alternativa en la

elección de las funciones de aproximación, es la utilización de funciones de base de pequeño soporte, es decir, definidas localmente sobre partes de la estructura completa.

Vamos a tratar de aclarar las ideas básicas de esta alternativa a través de un ejemplo correspondiente a un pórtico.

Sea el pórtico intraslacional de la figura 3.3 en el que se consideran las barras inextensibles. De acuerdo con la Resistencia de Materiales (las hipótesis de deformación realizadas como intraslacionalidad, barras inextensibles, hipótesis de Navier, etc., así lo ponen de manifiesto) la deformada de la estructura estará determinada cuando se conozcan los giros definidos como a1, a2, a3 y a4 en la mencionada figura.

FIGURA 3.3

Por aplicación del principio de superposición la deformada es :

(3.3)

donde:

ai : son los valores de los giros en los nudos (incógnitas del problema).

: son las deformadas indicadas en la figura 3.3 y corresponden a un giro unidad en cada giro incógnita manteniendo nulos los demás.

Ya se puede apreciar cómo la expresión 3.3 tiene la forma 3.1. Pero además hay que advertir cómo, a diferencia de la primera alternativa planteada en el capítulo anterior, ahora los parámetros incógnita ai tienen significado físico, lo cual se ha conseguido por la propia definición de las funciones que toman valores φ i de pendiente unidad en cada nudo anulándose en el resto.

Veamos a continuación como se obtendría la matriz de rigidez y el vector de cargas:

- Matriz de Rigidez:

De acuerdo con (2.45) hay que calcular las derivadas segundas de cada función, lo cual es sencillo ya que se corresponde con las leyes de momentos flectores en barras apoyadas-empotradas sometidas a un momento en el extremo ver figura 3.4.

FIGURA 3.4

Partiendo de la aplicación del Principio de los Trabajos Virtuales, se puede ahora seguir un razonamiento paralelo al del punto anterior, pero teniendo en cuenta 3.3, de forma que al integrar a lo largo de la directriz de toda la estructura, se obtiene:

(3.4)

y así sucesivamente hasta llenar la matriz. Aunque por simplicidad, se han supuesto rigideces EI idénticas en todas las barras, es evidente que la particularización no entraña ninguna diferencia conceptual.

(3.5)

Como es fácil deducir, la matriz de rigidez es simétrica, con diagonal principal positiva y dominante, el acoplamiento disminuye a medida que nos alejamos de la diagonal, apareciendo elementos nulos en muchas ocasiones.

Una interpretación de interés, ya mencionada antes, para el cálculo de los coeficientes de la matriz de rigidez es la siguiente:

Como se ha visto:

(3.6)

Se puede escribir de la forma:

(3.7)

En la que con un asterisco se representa el sistema de desplazamientos compatible y con dos asteriscos un sistema de esfuerzos en equilibrio, siendo 3.7 el trabajo de los momentos flectores (EI φ j'') en las curvaturas (φ i'').

Por aplicación del Principio de los Trabajos Virtuales, 3.7 es igual al trabajo de las fuerzas exteriores, es decir:

(3.8)

en la que el subíndice, n, indica el número del nodo con desplazamiento un unidad (en el caso de la primera de las ecuaciones 3.4 este nodo n, es el número tres).

Por tanto se puede decir que cada término kij es la carga equivalente según la deformada (i) de las fuerzas exteriores que dan lugar a la deformada (j). Es decir, que los kij se pueden calcular como el trabajo virtual externo o la carga equivalente, si se piensa en desplazamientos unidad, una vez que se conocen las fuerzas externas que dan lugar a cada una de las deformadas.

Como aplicación de lo indicado, a continuación se van a obtener los coeficientes K11 y K21 de la matriz de rigidez correspondiente al ejemplo anterior (ver figura 3.3). Adviértase como ahora se han particularizado las rigideces de cada barra utilizando como subíndices los nudos que unen.

FIGURA 3.5

El término K11 es el indicado en 3.4, y teniendo en cuenta 3.8, así como las fuerzas de

la figura 3.5, que son las que dan lugar a la deformada , resulta:

(3.9)

El término K21 se puede obtener de forma análoga pero teniendo en cuenta que ahora es la carga equivalente según la deformada φ 2 (ver figura 3.3) de las fuerzas exteriores que dan lugar a φ 1 (ver figura 3.5). Por tanto:

(3.10)

- Vector de Cargas:

Se obtendrá de acuerdo con (2.44), que para este caso es:

(3.11)

Una interpretación de esta relación se puede realizar utilizando el Teorema de Reciprocidad entre los dos estados de la figura 3.6, se tiene:

(3.12)

(I) Cargas reales emp. perfecto(I) Cargas reales emp. perfecto(I) Cargas reales emp. perfecto(I) Cargas reales emp. perfecto (II) Deformada y esfuerzos

FIGURA 3.6

que teniendo en cuenta 3.11 y 3.12, llevan a la conclusión:

(3.13)

Es decir, que las fuerzas nodales equivalentes, se pueden obtener a partir de los esfuerzos de empotramiento perfecto, con signo cambiado.

Se ha llegado al mismo punto que en el apartado anterior de fragmentación de la matriz de rigidez de la estructura en los tramos donde se realiza la integración, lo que hace centrar la atención en las funciones definidas sobre dichos tramos e intuitivamente en cálculos parciales sobre ellos con objeto de posteriormente montar la matriz de rigidez del conjunto.

El problema que se plantea ahora es pues, como sistematizar todo el proceso de trabajo señalado.

3.3 IDEA DE ELEMENTO. FUNCIONES DE FORMA

Tal y como se explicó en la introducción, el método de los elementos finitos puede entenderse simplemente como un sistema eficaz de generación de las funciones de base. Para justificar esta idea, y una vez desarrollado en el anterior apartado el transfondo del método, se explica en lo que sigue el proceso formal del mismo.

Para ello y continuando con las ideas del punto anterior, a través de un ejemplo relativo a una viga continua, se pretende reforzar los conceptos ya expuestos y fundamentalmente ver cómo sistematizar el proceso de síntesis de la matriz de rigidez de la estructura.

Considérese la viga continua de la figura 3.7, en la que se supone la posibilidad de giro y desplazamiento vertical en cada uno de los apoyos.

FIGURA 3.7

Los diez grados de libertad asociados se han numerado como se indica en la figura 3.7, a cada uno de los cuales corresponde una función de la base Φ 1....Φ 10. Los cuatro vanos entre apoyos se han numerado como se indica en la figura.

FIGURA 3.8

Siguiendo los mismos pasos del apartado anterior y teniendo en cuenta que el soporte de cada función sólo afecta a tramos contiguos a cada nudo, la estructura de la matriz de rigidez es la presentada en la figura 3.8, en la que se han marcado las casillas que son distintas de cero y de la que sólo se reproduce una parte con detalle.

Como puede observarse, la matriz tiene forma de banda, lo que reduce el número de términos que hay que almacenar en un ordenador (sobre este tema se volverá más adelante) y además es simétrica, lo que reduce además el número de operaciones a realizar.

Pero lo más interesante en este momento es que proceso de cálculo no tiene porqué enfocarse desde el soporte de las funciones de base ,sino que se puede hacer desde las barras (elementos) de la estructura. Si nos fijamos tanto en las expresiones 3.4 como en los términos que se han escrito de forma explícita en la figura 3.8, para el cálculo de las integrales ya se realiza una descomposición en subintegrales sobre las barras a las que afectan.

FIGURA 3.9

Si se observa la figura 3.8, se puede apreciar que cada barra produce 16 tipos de integrales resultantes de combinar las funciones que, por ejemplo para la barra 1, se han rayado verticalmente en la figura 3.7 y que se denominan funciones de forma. Pero además, esto es así para cada una de las barras y en general para una barra i, los términos ordenados en forma de matriz, teniendo en cuenta la numeración de grados de libertad de la figura 3.9, son los siguientes:

(3.14)

Verificándose que:

(3.15)

En la que cada uno de los términos se puede obtener con la misma aproximación de forma alternativa, dando movimientos unidad en cada grado de libertad manteniendo nulo todos los demás.

FIGURA 3.10

Así la primera columna de la matriz de rigidez es teniendo en cuenta la figura 3.10, resulta:

ya que solo trabaja la fuerza en j.

(signos negativo ya que tienen

sentidos opuestos)

El resto de los términos de la matriz, así como los correspondientes a otros tipos de elementos con diferentes grados de libertad se verán más adelante.

Así pues, en estructuras de barras el elemento lógico es la barra que se define entre dos nodos extremos, las variables nodales a nivel elemental son los esfuerzos y movimientos de los extremos y a nivel global las fuerzas y movimientos de los nodos.

En general, las funciones de forma son un conjunto de funciones definidas sobre el elemento con las que se pretende aproximar mediante combinación lineal el comportamiento real. En el caso de la figura 3.10, representan los movimientos dentro del elemento cuando se van dando valores unidad a cada uno de los movimientos nodales posibles (grados de libertad de elemento) manteniendo nulos los demás y se determinan de acuerdo con la Resistencia de Materiales.

La [K]i es la matriz de rigidez de cada barra y la matriz de rigidez de la estructura completa [K], se obtiene como superposición de todas las barras de la estructura. Dando un paso más, [K]i es la matriz de rigidez elemental, o la matriz correspondiente a cada elemento de la estructura, no siendo necesario o útil en muchos casos, que exista una correspondencia directa entre barras reales y elementos.

El interés de la idea de elemento radica en que con ello se hace posible una sistematización de los cálculos en forma repetitiva. Es decir, se calcula para cada elemento su matriz de rigidez, que puede ser de la misma forma para todos ellos y calcularse mediante una misma subrutina en un programa de ordenador, y posteriormente se colocan en los lugares correspondientes de la matriz de rigidez global de la estructura, añadiéndose a los existentes (otra barra o un valor cero).

En el caso de la viga continua que nos ocupa el proceso es simple, se calcula la matriz de rigidez de cada elemento, que para todos ellos será de la forma indicada en 3.14 y a continuación se van ensamblando para formar la matriz de rigidez global tal y como se indica en la figura 3.11, en la que se representa una barra i entre los nudos i e i+1, siendo la numeración de los nodos y grados de libertad análoga a la de la figura 3.7.

FIGURA 3.11

Se debe tener en cuenta que también es necesario el cálculo de las fuerzas equivalentes en los nudos y su colocación en el vector de cargas total, lo cual se realiza elemento por elemento de forma análoga a la indicada para la matriz de rigidez.

Se señalaba anteriormente el interés de la formación en banda de la matriz de rigidez global, y a estas alturas ya se puede intuir la importancia que para esta cuestión tiene la numeración de los grados de libertad. No se cree necesario insistir en el tema más que con un ejemplo clarificador como el mostrado en la figura 3.12, en el que se puede ver la forma de los términos de la matriz de rigidez para una viga continua como la de la figura 3.7, en la que se han numerado primero todos los grados de libertad correspondientes a los giros y después los correspondientes a los desplazamientos transversales, y que pone de manifiesto la pérdida de alguna de las ventajas indicadas anteriormente.

Lo dicho hasta aquí ha permitido dejar clara la idea de elemento (con todo lo que ello supone, de función de forma, nodos, etc.), así como la manera de ensamblar la matriz de rigidez en el caso sencillo de una viga continua. No obstante, y ya se ha puesto de manifiesto en el caso presentado en el punto 3.2.2., debido al carácter vectorial de las

sumas que se realizan para obtener cada término de la matriz de rigidez global de la estructura, es necesario dar un paso más realizando una transformación vectorial, para abordar con la misma filosofía el problema allí presentado y dotar al método de la máxima generalidad. Esta cuestión será tratada en el siguiente Tema.

FIGURA 3.12

3.4 EJEMPLOS

EJEMPLO 1.

Calcular la flecha en el centro de la viga biapoyada con carga puntual en el centro del vano del anterior capítulo, pero utilizando dos elementos.

FIGURA 3.E.1

Utilizando los polinomios de Hermite, según se indica en el punto 3.3, la matriz de rigidez para cada uno de los elementos es:

La ecuación matricial de equilibrio para la estructura completa es por tanto:

A la que hay que añadir las condiciones de contorno:

y1 = y3 = 0

M1 = M3 = 0

Sistema de diez ecuaciones con diez incógnitas, del que para el cálculo de

desplazamientos, es posible aislar las variables fundamentales:

que da como resultado:

Valores que coinciden con los obtenidos por la Resistencia de Materiales, tal y como se indicó anteriormente al hablar de la utilización de los polinomios de Hermite como funciones de forma.

EJEMPLO 2.

Plantear la ecuación matricial de equilibrio para el cálculo de los giros en los apoyos de la viga continua de la figura 3 E.2, sabiendo que es de sección constante con una inercia de 3 x 10-3 m4 respecto al eje que nos interesa y un módulo de elasticidad de E = 2 x 106 T/m2

FIGURA 3.E.2

Si se tiene en cuenta que en los apoyos no hay desplazamientos (vertical ni horizontal) la matriz de rigidez elemental para cada barra i se puede plantear como se indica en la figura 3 E.2

Por tanto:

Y la matriz de rigidez para la viga continua es:

El vector de cargas, según lo indicado en (3.2) y teniendo en cuenta la figura (no perder de vista que se han considerado positivos los giros en sentido antihorario).

Y por tanto la ecuación matricial que se plantea para el cálculo de los giros es:

Mediante la resolución de este sistema de ecuaciones es posible obtener los giros en los apoyos.

El problema en este caso es muy simple puesto que se han aplicado las condiciones de contorno al considerar desplazamientos nulos en los nudos y por tanto no incluir los términos correspondientes a estos grados de libertad en las matrices de rigidez. No obstante no se debe perder de vista que lo realizado aquí es una aplicación inmediata para un caso sencillo del Método Directo de la Rigidez que se abordará en el próximo capítulo.

CAPÍTULO IV

MÉTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ

4.1 INTRODUCCIÓN

Lo que se ha indicado en los temas anteriores contiene las ideas fundamentales del Método Directo de la Rigidez que ahora se van a tratar de sistematizar para su presentación general.

Para ello es necesario abordar previamente una cuestión importante eludida hasta el momento por haber considerado casos en que los parámetros locales y globales tienen la misma orientación. El problema a que hacemos referencia se puede comprender si se tiene en cuenta que las sumas y expresiones que se han manejado tiene carácter vectorial (ya se puede entender la necesidad de que, por ejemplo, los desplazamientos en nudos o las fuerzas en extremos de barras estén expresados para toda la estructura en el mismo sistema de coordenadas) por lo que es preciso establecer algunas definiciones sobre los sistemas de coordenadas utilizados, así como recordar algunas transformaciones de vectores y matrices que constituyen operaciones previas necesarias para dotar al método de toda su generalidad.

Una vez ensamblado el sistema de ecuaciones teniendo en cuenta las consideraciones indicadas, su resolución proporciona los desplazamientos en nodos y reacciones, de manera que solo resta explicar como se pueden obtener los esfuerzos en las barras, lo que constituye la parte final del capítulo, para que el problema esté formalmente resuelto.

Por último hay que señalar que esta referencia al carácter formal de la solución se debe a que se ha considerado conveniente abordar en capítulo aparte un tema del mayor interés, como es el de la resolución del sistema de ecuaciones, con objeto de mantener aquí una presentación global del método.

4.2 SISTEMAS DE COORDENADAS

Los ejes de coordenadas se pueden definir como líneas sobre las que se toman medidas (en longitud) que representan las unidades de los parámetros que intervienen en un fenómeno para su representación gráfica.

Los sistemas coordenados más simples, y que aquí nos interesan, son los denominados cartesianos, y están formados por líneas rectas perpendiculares entre sí (ortogonales) o no (oblicuos) y con un número variable de dimensiones.

En general los vectores unitarios (base) son vectores magnitud unidad tangentes a las líneas de coordenadas. Imaginemos un sistema tridimensional de base (e1, e2, e3), si se verifica que el producto escalar:

(4.1)

se denomina ortogonal, y el producto vectorial de los vectores base verifica:

(4.2)

en donde si se toman los signos positivos en los segundos miembros los ejes de coordenadas se denominan dextrógiros y si se toman los negativos levógiros.

Por último señalaremos que si al menos uno de los ejes coordenados no es una recta el sistema se denomina curvilíneo, siendo válido en general para estos sistemas lo indicado para los cartesianos.

La utilización de métodos matriciales de cálculo de estructuras, lleva consigo la utilización de diversos sistemas de coordenadas.

4.2.1 SISTEMAS DE REFERENCIA

Es un sistema cartesiano que permite la definición geométrica de la estructura. Un ejemplo de sistema bidimensional se puede ver en la figura 4.1.

FIGURA 4.1

4.2.2 SISTEMA GLOBAL

Debido a la idea básica indicada anteriormente de abandono en el proceso de cálculo del soporte de las funciones de base para realizarlo desde los elementos de la estructura, ésta se supone formada por un conjunto de elementos y nodos con grados de libertad asociados, y por tanto es preciso un sistema que permita definir de forma única para toda la estructura los movimientos y fuerzas en los nodos. Este sistema normalmente coincide con el de referencia (ver figura 4.2) y en el caso mas general, debería incluir seis vectores, correspondientes a los desplazamientos lineales y giros en cada una de las tres direcciones del espacio cartesiano. No obstante, en casos particulares bien conocidos como estructuras planas, no son necesarios mas que tres

vectores que definen desplazamientos y giros en el plano, por lo que se prescinde de los restantes.

Para el nudo A:

FIGURA 4.2

En otros casos, el conocimiento del sistema estructural permite eliminar algún otro tipo de movimiento (es clásico el caso de celosías, en las que, según los métodos tradicionales de cálculo, no se consideran los giros en los nudos). en lo que sigue se desarrollan algunos ejemplos

en el punto A:

FIGURA 4.3a

en el punto A:

FIGURA 4.3b

en el punto A:

FIGURA 4.3c

en el punto A:

FIGURA 4.3d

4.2.3 SISTEMA LOCAL

Volvemos sobre la misma idea, el comportamiento de la estructura se va a generar a partir del de todos sus elementos, por tanto es útil disponer de un sistema de coordenadas que permita definir las relaciones fuerza desplazamiento de forma única, independiente de su orientación dentro de la estructura. Esto desde el punto de vista de la implementación en ordenador permite la utilización de una misma subrutina de cálculo para todos los elementos.

Los sistemas locales no coincidirán en general (salvo en el caso de vigas continuas, véanse ejemplos en el capítulo anterior) con el sistema global, tal y como se puede ver en el ejemplo de la figura 4.4, en el que se ha señalado para las barras a, b y c los sistemas locales pudiéndose apreciar al comparar con el sistema global como en este ejemplo sólo coinciden ambos para la barra b.

FIGURA 4.4

En la figura 4.5 se pueden ver los grados de libertad en el sistema local para diferentes tipos de elementos (pudiéndose utilizar una numeración diferente de la indicada).

FIGURA 4.5

Finalmente hay que señalar, que por facilidad a la hora de imponer condiciones de contorno, hay casos (se tratarán con más detalles posteriormente) en que conviene definir en algún nodo un sistema de coordenadas, que algunos autores denominan nodal, diferente del global. Tal es el caso de la figura 4.6 en el que con el sistema nodal definido con primas para el nudo A las condiciones de contorno son de desplazamiento impedido en dirección y' y libre en dirección x'. En el punto B no es necesario porque para cualquier sistema de ejes, p.e. el global, los movimientos están impedidos.

FIGURA 4.6

4.3 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS. ROTACIÓN DE EJES

Si un sistema de ejes está relacionado con otro (que representaremos con prima), una matriz, vector, etc., expresada en uno de ellos puede expresarse en el otro, siempre que la relación entre ambos tenga correspondencia uno a uno entre los parámetros xi e xi' y sea continua en la vecindad del punto de dominio donde tiene lugar la transformación.

Aunque las transformaciones pueden ser de diversos tipos, las que de momento interesan (al hablar del M.E.F. se volverá sobre este punto) son las transformaciones lineales y dentro de ellas las rotaciones.

FIGURA 4.7

Por ejemplo, la transformación de coordenadas de la figura 4.7, de tipo rotación es:

(4.3)

que tiene correspondencia uno a uno entre xi e xi' y continua ya que existen las derivadas

Las ecuaciones (4.3) se suelen expresar de forma compacta como :

(4.4)

en la que son los vectores de coordenadas, en este caso:

(4.5)

(4.6)

y la matriz [J] de transformación es:

(4.7)

que en matemáticas se denomina jacobiano de la transformación.

En el caso anterior (figura 4.7), la matriz [J] es:

(4.8)

Si la relación entre los sistemas coordenados cumple las condiciones señaladas anteriormente, el determinante jacobiano no puede ser nulo. Además, en sistemas ortogonales, si la transformación es de un sistema dextrógiro a otro también dextrógiro, o levógiro, el determinante vale "+1", y de lo contrario "-1".

En general la transformación de coordenadas es reversible, y si llamamos [J'] a la transformación inversa:

(4.9)

se puede demostrar que:

(4.10)

esto es:

(4.11)

ROTACIÓN DE EJES

En este punto se va a tratar como afecta la rotación de ejes a los vectores y matrices, de gran interés para su utilización en los métodos matriciales para el cálculo de estructuras.

- Vectores

De la misma forma que se estableció (4.3) y (4.4) en el caso de rotación de ejes ortogonales en el plano para un vector V, el vector transformado es:

En este punto se va a tratar como afecta la rotación de ejes a los vectores y matrices, de gran interés para su utilización en los métodos matriciales para el cálculo de estructuras.

- Vectores

De la misma forma que se estableció (4.3) y (4.4) en el caso de rotación de ejes ortogonales en el plano para un vector V, el vector transformado es:

(4.12)

donde [ LD]T es:

(4.13)

de donde la matriz [LD] es la formada (por columnas) por los cosenos directores de los nuevos ejes respecto de los antiguos.

Es decir, para un sistema tridimensional se puede escribir:

(4.14)

con el significado dicho para li mi ni (i = 1,2,3).

Una propiedad importante de la matriz [LD] es que:

(4.15)

- Matrices

Sea una matriz cuadrada [A'] e imaginemos que multiplicada por un vector arbitrario V da otro vector U.

(4.16)

Si esta ecuación es válida en el sistema, que vamos a denominar "antiguo" de coordenadas ortogonales, también será válida en el nuevo, también ortogonal, en la forma:

(4.17)

Pero según se ha visto en el punto anterior:

(4.18)

y sustituyendo estas ecuaciones (4.18) en (4.17):

(4.19)

en la que sustituyendo U por su valor de (4.16):

(4.20)

Como V ≠ 0, se verifica:

(4.21)

y postmultiplicando por [LD] y teniendo en cuenta que para sistemas ortogonales se verifica (4.15), se obtiene:

(4.22)

Siendo la transformación inversa:

(4.23)

4.4 ENSAMBLAJE DEL SISTEMA DE ECUACIONES

En lo que sigue se va a utilizar el convenio de notación indicado en la tabla de la figura 4.8, siendo la dimensión de los vectores y de las matrices función del tipo de problema de que se trate (en la figura se pueden ver las fuerzas en los extremos de barra en el caso de pórtico plano).

FIGURA 4.8

Los sistemas local y global se relacionan mediante rotaciones. Así, en el ejemplo indicado en la figura 4.8, que corresponde a un elemento e, definido entre los nudos i j, que corresponde a un pórtico plano, se verifica para cada extremo:

(4.24)

en la que para este caso [LD]es:

(4.25)

es decir, que para los dos nudos extremos del elemento e:

(4.26)

Evidentemente para los desplazamientos:

(4.27)

y teniendo en cuenta lo indicado en (4.15):

(4.28)

De (4.26), teniendo en cuenta la definición de matriz de rigidez elemental y (4.28):

(4.29)

en la que:

(4.30)

es la matriz de rigidez elemental en coordenadas globales, y como es lógico (se puede ver en (4.29)) los vectores de carga y desplazamiento están escritos en coordenadas globales, lo cual permite que una vez realizando esto para todos los elementos de la estructura (es decir representándolos en un mismo sistema global) se puedan sumar los elementos de forma análoga a como se explicaba para la viga continua.

Para colocar los términos de la matriz de rigidez elemental en coordenadas globales dentro de la matriz global del sistema es preciso conocer el orden de la numeración de los nudos del elemento. Así, para un elemento e entre los nudos i y j, particionando la matriz elemental en globales en cuatro submatrices correspondientes a las aportaciones a los nudos i y j:

(4.31)

se montarán en la matriz de rigidez de la estructura (con N nodos):

Obsérvese que se ha supuesto j < i para resaltar la independencia entre la numeración de los nodos y la orientación del elemento en el sistema global.

Además no hay que perder de vista que el tamaño de cada submatriz en que se ha particionado la matriz elemental en globales, depende el número de grados de libertad que tenga cada nudo. En el caso del elemento representado en la figura 4.8, correspondiente a un pórtico plano con tres grados de libertad por nudo, (4.32) y de forma análoga el vector de cargas, se ensambla (representando los términos de la matriz de rigidez ocupados con ceros) de la forma:

(4.34)

Llegándose una vez ensamblados todos los elementos de la estructura a la ecuación matricial para el sistema completo:

(4.35)

a la que será necesario aplicar las condiciones de contorno para su resolución como se verá más adelante.

Si se tiene en cuenta que la efectividad del método reside precisamente en la posibilidad del uso del ordenador, sin entrar en las múltiples particularidades asociadas a los distintos tipos de computadoras existentes, posibilidades en la programación o incluso preferencias del programador, de lo dicho hasta ahora se desprende que para el ensamblaje de la matriz global de la estructura y de su vector de cargas (ver 4.35) es necesario programar en la entrada de datos la formación de una serie de tablas. Esencialmente corresponden a :

- Tabla de numeración de nudos y coordenadas de los mismos.

- Tabla de conectividad de los elementos, en la que para cada barra numerada se indica cuales son los números de los nudos inicial y final.

- Tabla de propiedades de los elementos, tanto geométricas (Área de la sección, momento de inercia, etc.) como del material (módulo de elasticidad, coeficiente de dilatación térmica, etc.). A los distintos tipos de materiales y geometrías se les puede asignar un número y definir en la tabla de conectividad cual corresponde a cada barra.

- Tabla de condiciones de contorno, en la que se especifican los grados de libertad de cada nodo y por tanto las condiciones de sustentación (cuestión que se trata en el punto siguiente).

- Tabla de cargas, en la que se indica el tipo, valor y posición de las cargas aplicadas en nudos y elementos. Las cargas en elementos se pueden definir aparte y asignar en la

tabla de conectividad el número correspondiente a la carga que actúa sobre cada elemento.

4.5 SISTEMAS DE ALMACENAMIENTO

Ya se aludió a este tema en algún punto previo, fundamentalmente para poner de manifiesto cómo afectaba la numeración de los nudos a la colocación de los términos dentro de la matriz de rigidez del sistema. Aquí la cuestión se enfoca desde el punto de vista de su importancia para aumentar la efectividad del método pensando en problemas computacionales. Siendo éste un tema amplio, sólo se pretende dar aquí una introducción de tipo general sobre los métodos que han sido mas clásicos, por lo que el lector interesado deberá acudir a textos más especializados para su ampliación.

Los métodos de almacenamiento utilizados se basan fundamentalmente en dos ideas, una es la simetría de la matriz de rigidez respecto a la diagonal principal, lo que permite que no sea necesario guardar los términos simétricos nada más que una vez, y otra el agrupamiento de los términos no nulos cerca de la diagonal principal, que hace que no sea necesario guardar los ceros fuera de esta zona.

Si se llama semiancho de banda β i de la fila i de la matriz de rigidez del sistema [K], su valor es:

en la que fi es el índice de la columna del primer elemento no nulo de la fila i de [K].

Llamando β al máximo semiancho de banda de [K], una primera idea es, aprovechando la simetría de la matriz de rigidez, guardar los elementos de las líneas paralelas a la diagonal principal y hasta la línea que se encuentra a una distancia β + 1, en una matriz que se rellena por columnas. De esta forma se ahorra espacio pero se incluyen los ceros intermedios y los de un triángulo inferior derecho fuera de la matriz, pero en lugar de N elementos se guardan N (β + 1).

En la figura 4.9 se puede ver un ejemplo.

FIGURA 4.9

Otra posibilidad, llamada "Sky-line", es guardar las bandas correspondientes a cada columna, cuya altura se llama altura de techo. Se almacenan los elementos en un sólo vector, comenzando por el elemento de la diagonal principal y subiendo hasta la altura de techo correspondiente. Además se necesita un vector de punteros que indique el número del elemento que está en la diagonal principal.

La altura de techo se determina a partir de una matriz [LM] formada con tantas columnas como barras y tantas filas como grados de libertad por barra numerados consecutivamente.

Un ejemplo se puede ver en la figura 4.10, para la misma matriz del ejemplo anterior.

FIGURA 4.10

Evidentemente, la numeración de nudos influye en que una u otra forma de almacenamiento sea más efectiva.

4.6 IMPOSICIÓN DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO. CÁLCULO DE DESPLAZAMIENTOS.

Hasta aquí se ha estudiado la formación de la matriz de rigidez y vector de cargas del sistema global, pero el resultado es una matriz singular mientras que no tengan en cuenta las condiciones de sustentación. Por tanto, para la resolución del problema

estático es necesario imponer las condiciones de contorno a la ecuación matricial obtenida para el sistema estructural completo (4.35).

Para esta explicación es necesario distinguir explícitamente sobre la ecuación (4.35) los datos del problema, que son las condiciones de contorno en desplazamientos y las cargas aplicadas sobre la estructura (que como ya se ha visto se encuentran ya reducidas en sus equivalentes en los nudos), de las incógnitas, que son los desplazamientos en los nudos sin restricciones y las reacciones.

Así, la ecuación (4.35) se expresa en la forma siguiente:

(4.36)

Como se puede apreciar con el subíndice i se engloban los grados de libertad con movimiento restringido, que suponen datos en movimiento e incógnitas en el vector de cargas, puesto que estas son las reacciones; y con el subíndice j aquellos no restringidos, es decir los movimientos incógnita y las cargas en los nudos, datos del problema.

Por ejemplo en el pórtico plano representado en la figura 4.11, el subíndice i englobaría a los grados de libertad 1, 2, 3, 16, 17 correspondiente al nudo 1 empotrado y al nudo 6 apoyado, mientras que en el subíndice j se engloban el resto de los grados de libertad.

La segunda ecuación de (4.36) es:

(4.37a)

por tanto:

(4.37b)

que son los desplazamientos en los grados de libertad no restringidos o desplazamientos incógnita.

FIGURA 4.11

A continuación se revisan algunos casos particulares de interés.

4.6.1 APOYOS SOBRE LOS QUE CONCURREN VARIOS ELEMENTOS

En el pórtico plano de la figura 4.11, el elemento 5-6 tiene un apoyo articulado en el nudo 6 y si se utiliza para dicho elemento la matriz de rigidez correspondiente a la barra de pórtico plano (6 x 6, igual que para el resto de los elementos) se deben imponer las condiciones de contorno indicadas anteriormente.

No obstante, y aunque únicamente tiene interés desde un punto de vista didáctico pensando en lo que se trata posteriormente, otra posible solución sería adoptar para el elemento 5-6 la matriz de rigidez de la barra articulada-empotrada y aplicar en el nudo 6 condiciones de desplazamiento nulo en las direcciones x e y. La obtención de la matriz de rigidez correspondiente al tipo de elemento indicada no presenta ninguna dificultad conceptual, y la llamaremos reducida puesto que se puede obtener eliminando uno de los giros (en el nudo inicial o final según la orientación adoptada) en la matriz de rigidez elemental correspondiente a la barra de pórtico plano (este tema se verá con mayor detalle en el capítulo siguiente).

Sin embargo, en el caso de que aparezcan varios elementos en un apoyo, pueden ser necesarias algunas aclaraciones. Así, en primer lugar es preciso especificar claramente la situación de las barras que concurren. Por ejemplo en la figura 4.12 (a), las dos barras que concurren en el nudo están rígidamente unidas entre sí y ambas articuladas en el nudo, en este caso se utilizarán las matrices de rigidez elementales sin reducir, y a

través de las condiciones de contorno se establece que es un apoyo articulado ( ).

FIGURA 4.12

Pero en el caso (b) de esa misma figura la situación es muy diferente, ya que los extremos de los dos elementos que concurren en el nudo i pueden girar libremente. En este caso las disposiciones señaladas como (c), (d) y (e) son válidas. En ellas se utiliza la matriz de rigidez reducida para una de las barras (M en (c) y N en (d)) y condición de contorno articulado (θ ≠ 0), para el apoyo en los dos primeros casos (c) y (d), y matrices de rigidez reducida para ambos elementos y condición de apoyo

empotrado para el tercero (e).

Pero no es válida la disposición señalada con (f) en la misma figura, puesto que el exceso de libertades en el nudo i hace que sea inestable.

Como se puede apreciar se pueden adoptar diferentes soluciones válidas, según interese al planteamiento general del problema, pero es necesario cierto cuidado para no crear inestabilidades.

4.6.2 APOYOS INCLINADOS

Hasta ahora se ha supuesto que las restricciones impuestas en el contorno estaban definidas en las direcciones de los ejes globales. Lo que se plantea ahora es

el caso en que las condiciones de contorno sobre un nudo se encuentran giradas respecto a los ejes globales, tal y como se puede ver en la figura 4.13. En tal caso, si los ejes globales son los indicados en la figura, en el nudo 3, los desplazamientos en las direcciones x e y no podrán especificarse como ceros, pero sí podrá aplicarse sobre este nudo que:

(4.38)

Con el resto de las condiciones de contorno:

y siendo y' un eje perpendicular al plano de deslizamiento.

Es decir, que es deseable imponer las condiciones en unos ejes definidos en el apoyo (paralelo y perpendicular a la dirección de deslizamiento) y obtener las reacciones referidas a esos mismos ejes.

El proceso es sencillo y se limita a un giro del sistema global en el apoyo inclinado. Así, considérese en general que sobre un apoyo N inclinado un ángulo α concurren

varias barras (ver figura 4.14) y supóngase una de ellas con nudos extremos ij, en que j coincide con N. Si la matriz de rigidez de dicho elemento en globales es:

(4.39)

el cambio de referencia en N supone, tal y como se ha explicado anteriormente, que:

(4.40)

donde:

(4.41)

si pensamos en una barra de pórtico plano extensible (g.d.l. por nodo u, v,θ ).

La ecuación (4.39) se puede escribir.

(4.42)

Lo mismo ocurrirá para cada una de las barras que concurren en N, siendo [R] la misma para todas ellas (depende de α , ángulo del plano inclinado). Por tanto la corrección indicada conviene hacerla una vez que se ha obtenido la matriz de rigidez en coordenadas globales (x y), y como se puede ver por (4.42) esta corrección consiste en premultiplicar por [R]T las filas correspondientes a los grados de libertad relacionados con N y postmultiplicar por [R] las columnas.

Como ejemplo veamos lo que ocurre en el caso de la figura 4.13., la ecuación matricial de la estructura completa antes de imponer las condiciones de contorno (4.35) es:

(4.43)

teniendo en cuenta para 3, lo indicado en (4.40):

(4.44)

o lo que es igual:

4.6.3 APOYOS ELÁSTICOS

En algunos tipos de estructuras se disponen restricciones elásticas en los apoyos. Tal es el caso de diseños en que se pretende disminuir reacciones o conseguir una distribución más uniforme de esfuerzos, como por ejemplo en vigas con apoyos semiempotrados, colocación de un apoyo elástico en el soporte central de una viga continua de vanos iguales, etc.

FIGURA 4.15

Para explicar cómo se pueden tener en cuenta este tipo de apoyos en el cálculo, supongamos que el nudo i de una estructura en el que concurren tres barras, está apoyado sobre resortes en las direcciones de los ejes globales tal y como se puede ver en la figura 4.15, de rigideces K1 K2 K3. Teniendo en cuenta que las rigideces son las fuerzas requeridas para producir un movimiento unidad, para el nudo i en conjunto se puede escribir:

(4.46)

Como sabemos, si se consideran únicamente las barras que concurren en el nudo i, la submatriz, dentro de la matriz de rigidez global del sistema que relaciona las fuerzas sobre el nudo i, Fi con sus desplazamientos ui, es la[kii] tal y como se puede ver a continuación.

(4.47)

y el valor de [kii] para el caso de la figura 4.15, es:

(4.48)

Ahora bien, el que en el nudo i aparezcan restricciones elásticas significa que puede considerarse libre siempre que se sume a la submatriz [Kii] la matriz de rigidez correspondiente al apoyo elástico [Kii

E] de (4.46), de forma que:

(4.49)

Es decir que para tener en cuenta un apoyo elástico asociado a una coordenada de un nudo de una estructura, lo único que hay que hacer es sumar el valor de la rigidez de esa restricción al valor de la diagonal principal de la matriz de rigidez global correspondiente al nudo y coordenada a que va unida.

No hay problema por tanto en que haya restricciones elásticas en algunas coordenadas de un nudo y el resto sean libres o fijas, la coordenada con restricción se tratará como libre y el resto como estén. Por otra parte en el caso de que las restricciones elásticas no estén en las direcciones globales, basta con aplicar las ideas sobre apoyos indicados dados anteriormente.

Una interpretación alternativa dada por algunos autores, es la de sustituirlas restricciones elásticas por barras que realicen su misma función. Así para un apoyo elástico en una dirección determinada de rigidez k, si fijamos arbitrariamente la longitud L y E, módulo de elasticidad, se puede sustituir dicha restricción por una barra biarticulada en la misma dirección y con un área de sección transversal:

(4.50)

4.7 CÁLCULO DE ESFUERZOS Y REACCIONES

Ya se ha visto en el punto anterior como mediante la segunda ecuación de (4.36) es posible obtener los desplazamientos en los grados de libertad sin restricciones uj mediante (4.37). Conocidos estos desplazamientos, de la primera ecuación de (4.36) se obtiene:

(4.51)

en la que ui son datos y uj son los desplazamientos calculados mediante (4.37) .

Una vez conocidos todos los desplazamientos en los nudos libres de la estructura, es posible también obtener los esfuerzos en cualquier sección, lo que permitirá realizar su dimensionamiento. Está claro que para este propósito interesa conocer los esfuerzos en coordenadas locales ya que ello permite una fácil aplicación de las leyes de la

resistencia de materiales para el cálculo de tensiones. Por este motivo, en general el cálculo se realiza elemento a elemento, de forma que:

(4.52)

(4.53)

según se prefiera utilizar la matriz de rigidez elemental en coordenadas globales (4.53) o locales (4.54). Para la programación en ordenador, generalmente se procede transformando los desplazamientos de globales a locales y multiplicando por la matriz de rigidez en locales (4.53).

El problema está pues resuelto para el caso de que no haya cargas actuando sobre el elemento. En caso contrario, como se ha visto en el capítulo 3 el vector de cargas utilizado en el cálculo incluye los esfuerzos de empotramiento perfecto cambiados de signo, y para calcular los esfuerzos a lo largo de una barra cargada, hay pues que añadir a los obtenidos anteriormente, los de empotramiento perfecto correspondientes P'emp.

(4.54)

En la figura 4.16, se puede ver un ejemplo ilustrativo de lo indicado para el caso de un pórtico plano.

FIGURA 4.16

CAPÍTULO V

RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES

5.1 INTRODUCCIÓN

El simple algoritmo de resolución del sistema de ecuaciones de equilibrio es un problema elemental de cálculo numérico que difícilmente puede justificar el que se le dedique un capítulo. No obstante, cada paso de este algoritmo tiene un significado mecánico interesante, en ocasiones útil, y cuya discusión, junto a la de otros elementos ya clásicos del cálculo matricial de estructuras (subestructuración, condensación estática, etc...), permite introducir ideas más generales cuya comprensión resulta conceptualmente interesante.

Por el contrario, y desde un punto de vista práctico, es necesario tener presente que en los últimos años muchas de estas aplicaciones del algoritmo de resolución han ido perdiendo cierto interés. Ello se debe al rápido incremento de la potencia de los ordenadores, lo que deja sin sentido al esfuerzo dedicado a aprovechar recursos informáticos limitados. A modo de ejemplo, la técnica de subestructuración fue, durante algún tiempo, una de las opciones más interesantes para el análisis de grandes estructuras cuya matriz de rigidez global excedía la limitada capacidad del ordenador. Hoy en día esta capacidad es tal que pocas aplicaciones requieren el empleo de esta técnica.

5.2 RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS

En lo que sigue se desarrolla el más elemental de los métodos de resolución de sistemas lineales. Se suponen como conocidas por parte del lector las propiedades básicas de estos sistemas así como las definiciones clásicas de sistemas equivalentes.

Sea un sistema de ecuaciones lineales:

[A] x = B (5.1)

en el que:

(5.2)

Se llaman métodos directos de resolución aquellos que permitan, mediante un número finito de operaciones elementales, obtener la solución exacta de un sistema de ecuaciones lineales 5.1.

Se basan en que si [A] es una matriz triangular superior o inferior, la resolución del sistema es inmediata sustituyendo en cada ecuación los valores de las incógnitas obtenidos en los pasos anteriores, comenzando el proceso desde la última (la que sólo tiene una incógnita) hacia la primera.

Si [A] no es triangular, habrá que realizar un proceso de "triangularización" previo a lo indicado anteriormente (que algunos autores llaman "remonte"), cuyo resultado final sea un sistema triangular equivalente al inicial.

Entre los principales métodos de resolución directos se encuentran el de Gauss y sus variantes, a continuación se explica dicho método.

Sea el sistema 5.1, al que se asigna un (I) de la forma siguiente:

(5.3)

ya que

(5.4)

se pueden permutar filas o columnas de forma que:

(5.5)

Restando a cada fila (i-ésima) de [A]I la primera multiplicada por:

(5.6)

Se obtiene:

(5.7)

Siendo:

(5.8)

con:

(5.9)

llamándose a 11(I) primer pivote de la eliminación.

A continuación se realiza la misma operación sobre el sistema de orden n-1:

(5.10)

Siendo:

(5.11)

que cumple:

(5.12)

y así sucesivamente, de tal forma que para el paso (r):

(5.13)

Siendo:

(5.14)

Se puede hacer permutaciones de filas o columnas de forma que el r-ésimo pivote sea:

(5.15)

Para a continuación restar a cada una de las filas de 5.13 (i-ésima), la primera multiplicada por:

(5.16)

de forma que se obtienen:

(5.17)

Tras (n-1) pasos como el indicado se llega a un sistema:

(5.18)

en el que [A]n es triangular superior, resolviéndose el sistema mediante un proceso de remonte que se inicia en la última ecuación.

Se ha visto que el pivote en cada paso debe ser distinto de cero, para lo cual, si es necesario, se realizará una permutación. Pero al aparecer dicho pivote en el denominador (5.15 y 5.16) interesa que su módulo sea grande por razones de estabilidad numérica pudiéndose proceder de dos formas:

a) Método de Gauss por pivote parcial:

Se eliminan las columnas en su orden natural, pero la fila del pivote de por ejemplo el r-ésimo paso, se elige entre las n-r+1 dltimas filas de [A]r, la que tenga el elemento de la r-ésima columna de modulo máximo.

b) Método de Gauss por pivote total:

No se eliminan las columnas en su orden natural sino que se va eligiendo como pivote, el elemento de [A]r de máximo módulo en cada paso.

Una variante es el método de Gauss-Jordan, en el que el sistema 5.1 se transforma hasta conseguir una matriz de coeficientes diagonal, lo cual significa que se elimina xi de todas las filas j excepto la fila j=i, mientras que en el método de Gauss xi se eliminan de todas las filas j en que j > i.

EJEMPLO 1

La barra sometida a un esfuerzo axil que se indica en la figura 5.1, en la que se incluyen los valores de la carga y características mecánicas, se ha modelizado con tres grados de libertad.

FIGURA 5.1

El sistema de ecuaciones de equilibrio viene dado por:

Primera eliminación:

Segunda eliminación:

De este sistema con matriz de coeficientes triangular superior es inmediato obtener el valor de cada incógnita:

5.3 CONDENSACIÓN DE GRADOS DE LIBERTAD

Una vez comprendido el algoritmo de Gauss se pueden adoptar distintas formulaciones y fácilmente generalizar el proceso de eliminación de incógnitas individuales a una eliminación de bloques enteros de incógnitas.

Así por ejemplo, hay ocasiones en que se desea reducir el tamaño del problema por eliminación de ciertos grados de libertad, sin despreciar su influencia, sino teniéndola en cuenta a través de los grados de libertad no eliminados.

Sea un sistema: [k] u = F (5.19)

Moviendo filas y columnas se particiona en la forma:

(5.20)

en el que se han llamado uj , Fj a los bloques de interés (grados de libertad que se van a mantener) y ui , Fi a aquellos correspondientes a los grados de libertad que se desea condensar.

La primera ecuación de 5.20 permite escribir:

(5.21)

que al ser introducida en la segunda ecuación de 5.20 conduce a:

(5.22)

que se puede escribir como:

(5.23)

es decir:

(5.24)

donde la matriz de rigidez, que podemos denominar efectiva, en lo grados de libertad de interés, resulta:

(5.25)

y el vector de cargas efectivo:

(5.26)

El número de operaciones a realizar en un proceso de condensación es mayor que para la resolución directa de 5.19, pero el tamaño de las matrices que se manejan es menor que en la resolución directa, lo que hace que en ocasiones (p.e. ordenadores de capacidad pequeña) sea de gran utilidad el proceso indicado.

Por último hay que señalar cómo la influencia de los grados de libertad condensados en un proceso de este tipo, se mantiene englobándose en 5.25 y 5.26, por tanto no se ha realizado ninguna aproximación, de hecho si se agrupa la primera ecuación de 5.20 con la 5.23, se puede escribir:

(5.27)

que pone de manifiesto cómo la condensación puede ser identificada con un proceso de eliminación de Gauss para la resolución de un sistema de ecuaciones lineales.

EJEMPLO 2

En el sistema del ejemplo 1, se puede proceder a una eliminación conjunta de las variables u1 y u2. Entonces, haciendo la partición:

Se tiene:

Es decir, se obtiene el mismo resultado que anteriormente.

A esta formulación se la ha llamado tradicionalmente "Condensación Estática". El primer término hace clara referencia a la reducción del número de grados de libertad y no precisa mayor comentario. El término "estática" ha sido paradójicamente acentuado en el análisis dinámico, donde se utiliza frecuentemente.

5.4 SÍNTESIS DE FUNCIONES DE FORMA

En los puntos anteriores se ha descrito el algoritmo básico de Gauss y una generalización válida para el tratamiento de bloques enteros de incógnitas, sin embargo no se ha entrado ni en el significado mecánico de cada paso, ni en su posible utilidad. Ambos son los aspectos que se abordan a continuación.

Para ello es importante recordar el significado de las incógnitas como coeficientes de las funciones de base; esto es, en el caso de la barra sometida a esfuerzo axil con tres grados de libertad del ejemplo 1.

(5.28)

donde:

u (p,z) es el desplazamiento longitudinal en el punto z de la barra cuando esta se somete a una carga dada P.

u*(p,z) es una aproximación a la anterior función desde un espacio finito.

ui(p) son los coeficientes de la proyección (dependen de la carga aplicada).

Ni(z) son las funciones de base.

La figura 5.2 representa esta idea.

FIGURA 5.2

Hasta el momento se ha preferido dejar las incógnitas "ui(p)" como parámetros dependientes de la distribución de carga aplicada. Ello no impide formar la matriz de rigidez del problema.

ya que esta solo depende de la discretización efectuada (de las funciones de base elegidas) y nó de la carga.

La pregunta que se podría plantear ahora es cómo aprovechar cualquier información disponible sobre la carga para mejorar la discretización (el significado del término "mejorar" se verá inmediatamente). Supóngase, como ejemplo, que la distribución de

fuerzas aplicadas (p*) es tal que su proyección sobre θθθθ 1 (z) es siempre nula. Ello permite escribir

De donde:

Esto es, siempre que la distribución de carga aplicada no tenga componente en el primer nudo, el desplazamiento de este será mitad del segundo. Se puede por tanto en este caso prescindir de una de las funciones de base correspondientes y crear otra

nueva función tal que:

(5.29)

Siendo:

(5.30)

Expresión cuyo significado recoge la figura 5.3

FIGURA 5.3

Se ha aprovechado por tanto la información existente para reducir el tamaño del problema. Por otra parte, esta reducción de grados de libertad no implica pérdida de

calidad en la aproximación, pues toda la información suministrada se encuentra

recogida en la nueva

La nueva discretización es ahora la que se representa en la figura 5.4

FIGURA 5.4

La matriz de rigidez que se obtiene con esta nueva discretización es:

que coincide con el resultado obtenido al sustituir en el sistema planteado al comienzo del capítulo la primera incógnita.

Parece pues evidente como el simple procedimiento numérico de sustitución de una incógnita tiene un significado tan interesante como es el modificar la base funcional adaptándola a cada distribución de carga concreta.

En la literatura se encuentran muchas aplicaciones prácticas de esta idea. Una de las más ilustrativas consiste en la evaluación aproximada de funciones de forma para barras de sección variable trabajando en axil. El problema se plantea como sigue:

EJEMPLO 3

Para la barra recta de sección constante sobre la que únicamente actúan cargas en los extremos. Los desplazamientos se expresan como combinación de funciones lineales que, como es bien sabido, dan lugar a una solución exacta.

Si la barra es de sección variable, los desplazamientos en cada uno de sus puntos (figura 5.5 a y b) dejan de ser lineales, y el empleo de la antedicha base no rinde ya buenos resultados.

Una solución podría ser la utilización de funciones de forma de mayor grado que las lineales (cuadráticas, cúbicas, etc...), estudiándose más adelante el alcance y resultados de esta opción. Otra posibilidad es la división de la barra en varios elementos ficticios a los que se asigna un área intermedia. Los desplazamientos en el interior de cada elemento son lineales y por tanto perfectamente reproducibles con la

base inicial (ver figuras 5.5 c y d).

FIGURA 5.5

El problema que plantea este último método es la gran cantidad de nudos intermedios necesarios, sin embargo es posible realizar una condensación estática de dichos nudos. Así por ejemplo mediante una condensación de los nudos 2 y 3 en la figura 5.5.c es posible obtener la función de forma de la figura 5.5.d sin aumentar el tamaño de la discretización. Si la matriz de rigidez es

La ecuación matricial de equilibrio es

y al realizar una condensación estática de los grados de libertad u2 y u3, se tiene:

5.5 LIBERACIÓN DE COACCIONES EN BARRAS

Hay estructuras, utilizadas frecuentemente en edificación, puentes, etc., en las que aparecen mezclados elementos con diferentes coacciones. Piénsese por ejemplo en un pórtico plano de nudos rígidos que esté reforzado por una celosía de nudos articulados.

FIGURA 5.6

En el ejemplo de la figura 5.6, para la estructura I, por compatibilidad, el giro en B debe ser el mismo en la viga y pilar, en cambio en la estructura II, la existencia de una rótula hace que la resistencia a flexión del pilar no se utilice para resistir la carga P por lo que ésta es menos rígida que la primera.

La solución a problemas en que aparecen mezclados elementos con diferentes coacciones, se puede abordar mediante la utilización de elementos con diferente número de grados de libertad por nudo, obteniendo la matriz elemental de forma análoga a como se ha explicado en el punto 3 del capítulo 3. Véase por ejemplo, en la figuras 5.7, de forma esquemática el cálculo de la tercera columna de la matriz de rigidez de una barra inextensible empotrada-articulada plana.

FIGURA 5.7

Otra forma (particular) consistiría en actuar sobre las propiedades mecánicas de la barra. Por ejemplo en el caso de la figura 5.6 bastaría con usar la misma matriz de rigidez de pórtico plano para todas las barras pero dando inercia nula a la vertical.

No obstante, el problema se puede abordar de una forma general tratando todas las barras de la misma forma para después liberar las coacciones no reales, entendiendo por liberar, la supresión de la rigidez del elemento en ciertas direcciones. Para esto se

pueden ir eliminando una a una las coacciones de la forma siguiente: imaginemos una barra con un número de grados de libertad cualquiera cuya ecuación de equilibrio es:

(5.31)

Si se desea liberar la coacción j, se particiona la ecuación (5.31) en la forma:

(5.32)

en la que con subíndice i se incluye el resto de los grados de libertad.

Puesto que no existe la coacción j, Pj = 0, y de la segunda ecuación en (5.32) se obtiene:

(5.33)

es decir:

(5.34)

De la primera ecuación de (5.32):

(5.35)

y sustituyendo (5.34) en (5.35):

(5.36)

Hasta ahora se ha supuesto que no se aplicaban cargas sobre el elemento, en caso contrario es necesario realizar la reducción en el vector de cargas. Para ello aplicamos superposición entre dos estados, uno el de la barra original (I) y otro (II) el resultante de aplicar un valor igual y de sentido contrario en la coacción liberada, por ejemplo -Pj

I, e imponer la condición de que todos los desplazamientos son nulos excepto el de la coacción liberada.

Es decir, que la ecuación matricial (5.31) particionada de forma análoga a la anterior para el estado de cargas II es:

(5.37)

De la segunda ecuación de (5.37):

(5.38)

De la primera ecuación de (5.37):

(5.39)

y sustituyendo (5.38) en (5.39), se obtiene:

(5.40)

Por tanto, el vector de cargas, superponiendo los dos estados mencionados, es:

(5.41)

Un ejemplo de lo indicado se puede ver en la figura 5.8, para el caso de una viga de pórtico plano inextensible.

FIGURA 5.8

Por tanto la matriz de rigidez y vector de cargas, que transformados a coordenadas globales se puede ensamblar a los de la estructura, se obtienen orlando de ceros, lo que permite aprovechar el proceso general de montaje, resultando:

(5.42)

Como se puede observar, el procedimiento indicado no es más que la eliminación por el método de Gauss de la coacción elegida.

5.6 SUBESTRUCTURACIÓN

Cuando una estructura es demasiado grande, en el sentido de que su matriz de rigidez global excede la capacidad del ordenador que se está utilizando, o bien por sus características y/o disposiciones especiales no puede ser resuelta de forma directa (resolución de 5.19), es posible realizar una partición de la misma en unidades de menor tamaño que se llaman subestructuras, y analizar cada una de estas partes de forma que se cumplan las condiciones de compatibilidad de fuerzas y desplazamientos en las intersecciones donde se ha realizado la partición.

Esta técnica se desarrollará únicamente por su interés didáctico, toda vez que desde el punto de vista práctico se utilizan planteamientos diferentes basados en el almacenamiento de la matriz de rigidez y resolución del sistema en forma de bloques que se desplazan entre la memoria y el disco del ordenador.

Por comodidad, se va a explicar el proceso para el caso de división en dos subestructruras, tal como se puede ver en la figura 5.9, en la que se denominan nudos "a", los que pertenecen exclusivamente a una subestructura, y nudos "b" a los nodos de unión de ambas subestructuras (nudos por los que se realiza la partición). Las ecuaciones de equilibrio se pueden escribir como:

Subestructura 1:

(5.43 a)

Subestructura 2:

(5.43 b)

FIGURA 5.9

donde:

Fa1 Fa

2 son fuerzas externas conocidas (datos).

Fb1=F1 F2

T, Fb2=-F1 -F2 son las fuerzas en los cortes

(incógnitas).

ua1 ub

2desplazamientos en los nudos no comunes de ambas subestructuras (incógnitas).

ub1 ub

2desplazamientos en los nudos comunes de las subestructuras (incógnitas)

El problema queda formalmente resuelto al imponer las condiciones de compatibilidad y equilibrio entre ambas subestructuras, es decir:

(5.44)

ya que se dispondrá de tantas ecuaciones como incógnitas.

La resolución se puede realizar a base de un proceso de condensación para cada una de las subestructuras como el indicado en (5.24), de forma que:

(5.45)

siendo Kefi y Fef

i de la forma (5.25) y (5.26) respectivamente.

Sumando las expresiones (5.45), que en el caso de un mayor número de subestructuras, se deberá hacer de forma análoga a lo indicado para el ensamblaje de barras, y sin perder de vista que las condiciones de contorno se deberán tener en cuenta sobre la o las subestructuras que se vean afectadas, de forma que la matriz de rigidez no es singular, se obtiene para el conjunto de la estructura:

(5.46)

que una vez resuelta, y conocido por tanto el vector de desplazamientos en los nudos de las interfases, permite, sustituyendo estos valores en las expresiones de la condensación de los nudos pertenecientes exclusivamente a cada subestructura (5.21), obtener sus desplazamientos.

CAPÍTULO VI CAPÍTULO VI CAPÍTULO VI CAPÍTULO VI

TEMAS ADICIONALES TEMAS ADICIONALES TEMAS ADICIONALES TEMAS ADICIONALES

6.1.- INTRODUCCIÓN

Expuestos en los capítulos anteriores los conceptos fundamentales que conforman el método directo de la rigidez, en este capitulo se van a detallar algunos aspectos concretos sobre las matrices de rigidez elementales, vector de cargas y algún tema adicional como es el tratamiento de nudos rígidos de tamaño finito.

Al volver aquí sobre el elemento una vez que ya han sido desarrolladas las ideas fundamentales, se pretende básicamente mostrar las matrices de rigidez correspondientes a los tipos de elementos más clásicos, con objeto de que se disponga de dichos valores en alguna parte del texto con vistas a la realización de ejercicios. El hacerlo en capitulo aparte, aprovechando éste dedicado a temas adicionales, ha sido para no interrumpir la secuencia de explicación seguida en los capítulos anteriores.

Además hay que aclarar, que a modo de ejercicio se ha retomado aquí tanto el planteamiento variacional en el caso de barras de celosía, como el mas intuitivo de ir aplicando movimientos unidad en cada grado de libertad, manteniendo nulos los demás, para la barra de pórtico plano extensible.

6.2 MATRICES DE RIGIDEZ ELEMENTALES

Ya se ha visto en el punto 3.3 la forma de la matriz elemental y en el punto 4.2.2 los grados de libertad correspondientes a diferentes tipos de elementos de estructuras formadas por barras. Ahora se van a presentar de forma detallada las matrices de rigidez elementales correspondientes a barras con diferentes grados de libertad.

6.2.1 BARRA DE CELOSÍA

Se repite el planteamiento del capitulo 2, aplicado ahora a una estructura tan simple como una barra de sección uniforme sometida únicamente a cargas axiles en sus extremos.

La ecuación de campo (2.4) se puede escribir:

(6.1)

Como funciones de base se toman polinomios de grado uno, suficientes para el caso en que aparecen derivadas segundas en la ecuación de campo, tal y como se puede ver en la figura 6.1.

FIGURA 6.1

Aplicando ahora el procedimiento general:

• Formulación débil

(6.2)

(6.3) - Aproximación y Proyección

(6.4)

que al sustituir valores:

se obtiene:

(6.5)

esto es:

(6.6)

donde la matriz de rigidez elemental es, evidentemente, la que se ha obtenido como matriz de rigidez de la estructura elemento, es decir:

(6.7)

6.2.2 BARRA DE PÓRTICO PLANO INEXTENSIBLE

Teniendo en cuenta lo indicado en el punto 3.3 y utilizando como funciones de forma los polinomios de Hermite indicados en la figura 3.7, así como los grados de libertad señalados en esa misma figura, para elementos con inercia constante de su sección transversal a lo largo de toda su longitud y módulo de elasticidad E, los términos de la matriz de rigidez elemental son:

(6.8)

El resto de los términos se obtendrán de forma análoga, dejando para el lector su obtención. El resultado se presenta a continuación.

(6.9)

6.2.3 BARRA DE PÓRTICO PLANO EXTENSIBLE

De lo dicho hasta ahora se puede fácilmente observar que las funciones de forma elegidas (ver figuras 3.7 y 6.1), representan los movimientos dentro del elemento cuando se van dando movimientos unidad a cada grado de libertad, manteniendo nulos los demás. No hay que perder de vista que desde un punto de vista general las funciones de forma son un conjunto con el que se pretende, mediante combinación lineal, aproximar el comportamiento del material y que en este caso se han elegido las dictadas por la Resistencia de Materiales, que se pueden considerar exactas si se admite la hipótesis de Navier, la no participación de los deslizamientos en las deformaciones, etc.

Veamos pues que este caso cómo obtener los términos de la matriz de rigidez elemental en coordenadas locales, teniendo en cuenta lo indicado en el párrafo anterior, si como antes la sección del elemento (inercia rea) es constante a lo largo de toda su longitud y el módulo de elasticidady es E. Los grados de libertad elegidos son distintos de los utilizados en 6.2.2 ver figura 6.2, con lo que se puede ver cómo la colocación de los términos en la matriz de rigidez varía no sólo por la introducción de dos grados de libertad adicionales, sino por el distinto orden dado en la numeración de los grados de libertad de desplazamiento en dirección perpendicular a la directriz y giro (comparar 6.9 con 6.11).

FIGURA 6.2

NOTA : Aunque se han dibujado los momentos con su signo, en las expresiones analíticas se indica el signo teniendo en cuenta los sentidos dados a los grados de libertad que se indican en la parte superior de la figura.

La expresión (3.15) es decir:

(6.10)

en este caso es:

(6.11)

6.2.4 BARRA DE EMPARRILLADO

De análoga manera a lo anterior, y para el caso de barra de sección constante, módulo de elasticidad E, módulo de rigidez G y grados de libertad indicados en la figura 6.3:

FIGURA 6.3

(6.12)

6.2.5 BARRA DE PÓRTICO TRIDIMENSIONAL

Así mismo para la barra de sección constante, módulo de elasticidad E, módulo de rigidez G y grados de libertad indicados en la figura 6.4, la matriz de rigidez elemental es:

FIGURA 6.4

(6.13)

6.3 CARGAS NODALES EQUIVALENTES

Ya se ha visto en los capítulos anteriores la necesidad de disponer del vector de cargas para el montaje de la ecuación matricial de la estructura completa, que corresponde a las cargas directas o equivalentes (de las cargas sobre elementos) aplicadas en los nudos según los grados de libertad.

Además en el capitulo 3 se vio una interesante interpretación de la relación obtenida para los elementos del vector de cargas, en el sentido de que las fuerzas equivalentes se pueden obtener de los esfuerzos de empotramiento perfecto, adjudicándoles el signo del trabajo de las cargas en cada uno de los desplazamientos de las funciones de forma. En el tema cuatro se ha visto cómo se realiza la transformación y el montaje del vector de cargas global, con lo cual el problema queda resuelto.

Aquí, al igual que para la matriz de rigidez elemental, se va a estudiar de forma detallada la formación del vector elemental de cargas cuando estas están aplicadas sobre el elemento, casos de asentamientos de apoyos y variaciones de temperatura.

6.3.1 CARGAS APLICADAS SOBRE ELEMENTOS

Tal y como se estableció en el capítulo II, el vector de cargas consistente es:

(6.14)

entendiendo q en un sentido general tal y como se indica en el segundo miembro de (2.17).

Se van a obtener a continuación las cargas equivalentes en los casos de carga uniforme y concentrada presentados en la figura 6.5, en las que se indican los grados de libertad utilizados. Las funciones de forma son los polinomios de Hermite indicados en la figura 3.9.

FIGURA 6.5

-Carga uniforme:

(6.15)

(6.16)

(6.17)

(6.18)

Se debe indicar que los subíndices de los utilizados aquí no son los mismos que los de la figura 3.9 ya que la numeración de los grados de libertad es distinta. Los signos menos corresponden a los casos en que la función de forma tiene sentido contrario al de la carga (o si se prefiere las ψ están definidas sobre el sistema de ejes de la figura y la p tiene signo negativo).

Teniendo en cuenta lo anterior, para el caso de carga concentrada, por la propiedad de la delta de Dirac, resulta:

(6.19)

(6.20)

y de forma análoga para P3 y P4 .

Como se puede observar los resultados obtenidos reiteran la idea, ya expuesta en el capítulo 3, de cómo las fuerzas nodales equivalentes coinciden con las de empotramiento perfecto cambiadas de signo.

Otra forma de ver cómo se obtienen las fuerzas nodales equivalentes es a través de la utilización del principio de superposición. Sea por ejemplo el pórtico de la figura 6.6 que está sometido a las fuerzas F1 y F2, tal y como puede verse en la figura la resolución se puede plantear por superposición de los estados de carga siguientes:

I. Estado con las cargas que actúan en los nudos.

II. Estado con unas cargas iguales y contrarias a las de empotramiento que aparecen en el estado (III).

III. Estado con los nudos fijos y en el que al actuar las cargas en los elementos aparecen unas fuerzas de empotramiento.

De estos tres estados el último no provoca movimientos en los nudos y por tanto para calcular los desplazamientos, sólo será necesario utilizar los dos primeros estados, lo que significa que el vector de cargas correspondiente a la ecuación matricial 4.35 estará formado por las cargas nodales correspondientes a los dos primeros estados. No hay que perder de vista que para el cálculo de esfuerzos en elementos y deformada de la estructura es necesario tener en cuenta los tres estados.

FIGURA 6.6

De forma general, para el cálculo de desplazamientos en los nudos de una estructura, este proceso puede establecerse de forma sistemática en los puntos siguientes, ver figura 6.7

FIGURA 6.7

1-Se expresa la carga aplicada sobre el elemento en el sistema local de coordenadas del mismo.

2.- Se consideran fijos los nudos del elemento, es decir se coartan todos los grados de libertad del elemento, calculándose las reacciones en dichos empotramientos.

3.- Se transforman las fuerzas de empotramiento a coordenadas globales y se aplican a la estructura unas fuerzas iguales y de sentido contrario. Estas fuerzas son pues las que hay que ensamblar en el vector de cargas global (ecuación 4.35).

Es decir, que si llamamos ver figura 6.7 P!emp* al vector de fuerzas de empotramiento

en coordenadas locales, se verifica para por ejemplo la componente perpendicular a la directriz (V!), por definición que:

P'* = -P' emp* (6.21)

y el vector de cargas nodales equivalentes en coordenadas globales a la componente indicada que hay que acoplar en el vector de cargas de la estructura ver 4.35 es:

P* = [L] P'* (6.22)

en donde [L] es la matriz de transformación de coordenadas locales a globales.

6.3.2 ASENTAMIENTO DE APOYOS

Existen numerosas razones para que se puedan producir movimientos en los apoyos de las estructuras hiperestáticas, que, a pesar de ser pequeños para llegar a producir cambios en la geometría de la estructura, pueden introducir deformaciones y esfuerzos considerables en dichas estructuras.

Una forma directa de abordar el problema es imponer los desplazamientos al aplicar las condiciones de contorno a la ecuación 4.35 como se ha visto al estudiar la resolución del problema estático.

Otro método para abordar el problema es aplicar las mismas ideas del apartado anterior de fuerzas equivalentes. Así, si la estructura de la figura 6.8 sufre un descenso δ en el apoyo 4, se puede descomponer en dos estados cuya superposición representa el estado original (en el caso de cargas aplicadas se considerarían éstas como otro estado adicional).

El vector de cargas de empotramiento debido al asiento en coordenadas locales es:

(6.23)

FIGURA 6.8

El vector de cargas equivalentes en nudos debido al asiento en coordenadas globales es:

(6.24)

vector que se podrá acoplar al vector de cargas de la estructura completa.

Como se aprecia en la figura 6.8, en este caso el asiento produce fuerzas equivalentes en los extremos de las barras 24 y 34, lo que significa que lo indicado anteriormente deberá realizarse para ambos elementos.

Por último hay que señalar que, puesto que los efectos del descenso se han introducido como fuerzas equivalentes, al aplicar a la ecuación 4.35 las condiciones de contorno se deberán tomar todos los apoyos fijos, es decir; todos los desplazamientos nulos.

6.3.3 CARGAS TÉRMICAS

Las estructuras están frecuentemente sometidas a variaciones de temperatura, que producen cambios de longitud en sus elementos. Las estructuras isostáticas sometidas a variaciones de temperatura no experimentan esfuerzos por esta causa, mientras que sí aparecerán en las hiperestáticas, pudiéndose resolver el problema de cómo tenerlo en cuenta en el cálculo, mediante la consideración de fuerzas equivalentes de forma similar a como se ha realizado en puntos anteriores.

FIGURA 6.9

Consideremos el pórtico plano de la figura 6.9, en el que el dintel (barra 23) está sometido a un gradiente definido por una temperatura T1 en la cara superior y T2 en la inferior (siendo en este caso T1 > T2). La estructura se puede estudiar mediante la superposición de dos estados:

I.- Estados con los nudos fijos en el que aparecerán las fuerzas de empotramiento debidas a las acciones térmicas.

II.- Estado con un sistema de carga igual y de sentido contrario al del estado I.

El vector de cargas de empotramiento en coordenadas locales debido a las variaciones de temperatura es:

(6.25)

donde [Ke] es la matriz de rigidez elemental en coordenadas locales y δδδδ el vector de desplazamientos que producirán las cargas térmicas en el caso de no encontrarse coartadas.

El vector de cargas equivalentes en coordenadas locales, siguiendo la idea de los puntos anteriores, es:

(6.26)

y si [L] es la matriz de transformación de coordenadas locales a globales, el vector de fuerzas equivalentes en los nudos en coordenadas globales es:

(6.27)

Este vector es el que hay que acoplar en el vector de cargas de la estructura (ecuación 4.35).

La única cuestión que resta es definir con mayor claridad cómo se puede realizar el paso primero, es decir; la determinación de las reacciones de empotramiento. La idea es que las fuerzas de empotramiento en cualquier extremo son aquellas que es necesario aplicar para restituir sus desplazamientos como extremo libre, pudiéndose considerar cualquiera de ellos como extremos libre ya que su elección no afecta a las fuerzas de empotramiento.

Así, en el ejemplo anterior (figura 6.9) las fuerzas de empotramiento son las indicadas como P y M en la figura 6.10 que provocan que el extremo 3 que es el que en este caso se ha considerado como extremo libre, vuelva a su posición inicial.

FIGURA 6.10

Para determinar estas fuerzas, es preciso conocer los movimientos en el extremo 3. De la figura 6.10, si α es el coeficiente de dilatación térmica del material, para un elemento de longitud dl se cumple:

(6.28)

En la fibra neutra es el valor medio entre la superior e inferior:

(6.29)

ya que la tangente del ángulo d Φ es aproximadamente igual al ángulo, y el signo menos es debido al sentido considerado como positivo para los desplazamientos.

(6.30)

Obteniéndose, para el caso de temperatura constante en toda la longitud, los siguientes valores de los movimientos en el extremo 3.

(6.31)

(6.32)

(6.33)

es decir:

que es el vector de desplazamientos que hay que utilizar en la expresión 6.25 para obtener las fuerzas de empotramiento.

6.3.4 FALTA DE AJUSTE EN LOS ELEMENTOS

En las estructuras internamente isostáticas no se producirán esfuerzos por las faltas de ajuste de sus elementos, pero sí en las internamente hiperestáticas, y para la determinación de los esfuerzos a que se verán sometidas por esta causa se seguirán las mismas ideas de los apartados anteriores.

Así, si en un elemento ij de una estructura, su longitud a la hora del montaje es menor de la debida en una magnitud, ver figura 6.11, los esfuerzos de empotramiento que se producen al montarla, vendrán definidos por:

(6.35)

FIGURA 6.11

El vector de cargas equivalentes en coordenadas locales es:

(6.36)

y el vector de cargas equivalentes en coordenadas globales, si [L] es la matriz de transformación de locales a globales, es:

(6.37)

Siendo este el valor del vector de cargas que se debe acoplar en el de la (ecuación 4.35).

6.4 NUDOS RÍGIDOS DE TAMAÑO FINITO

Este tipo de problemas suele presentarse con cierta frecuencia en estructuras de hormigón para edificación debido al tamaño de los pilares, tal y como puede verse en la parte superior de la figura 6.12, en la que la distancia entre ejes de pilares (distancia ij en la figura 6.12) es mayor que la longitud [L] de la parte flexible de la viga, siendo rígidos los trozos de longitud ei y ej que hay en ambos extremos.

FIGURA 6.12

La solución a este tipo de problemas se puede resolver de forma sencilla mediante una traslación de esfuerzos y desplazamientos. Así, se puede comprobar fácilmente que:

(6.38)

Por tanto para los dos extremos se puede escribir:

(6.39)

Es decir; que para tener en cuenta estos extremos rígidos, la matriz de rigidez del elemento entre los nudos ij se obtiene a partir de la matriz de rigidez de la parte flexible de la viga [KAB] , que será de la forma 6.11, mediante la transformación:

(6.40)

y el vector de cargas, a partir del de la parte flexible AB, mediante:

(6.41)

CAPÍTULO VII CAPÍTULO VII CAPÍTULO VII CAPÍTULO VII

GENERALIZACIÓN DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZACIÓN DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZACIÓN DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZACIÓN DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

7.1.7.1.7.1.7.1.---- INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN

El Método de los Elementos Finitos es sin duda el procedimiento actual más extendido y útil para la resolución de problemas de mecánica de medios continuos, y al haber sido adoptado como herramienta de cálculo en los más diversos campos del conocimiento, se ha convertido en un poderoso instrumento para resolver problemas complejos en diversas disciplinas (mecánica de sólidos y fluido, transmisión del calor, electromagnetismo,... etc.)

Los tres temas siguientes son una generalización de las ideas expuestas en los capítulos anteriores y constituyen una descripción del método de los elementos finitos en la que, aunque nos centraremos fundamentalmente en problemas elásticos lineales planos, se podrán comentar muchas de las características del método en desplazamientos.

7.2.7.2.7.2.7.2.---- ECUACIONES DE EQUILIBRIO ECUACIONES DE EQUILIBRIO ECUACIONES DE EQUILIBRIO ECUACIONES DE EQUILIBRIO

Como se sabe, muchos problemas de medios continuos vienen expresados mediante ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno sobre la función o funciones incógnita. Pero ante la dificultad y en muchos casos la imposibilidad de encontrar soluciones cerradas a dichas ecuaciones, se opta por realizar una aproximación, siendo la expresión integral necesaria para ello el Principio de los Trabajos Virtuales ( P.T.V.). Sin entrar en la discusión sobre si el P.T.V. constituye un principio fundamental que no precisa demostración o si, al igual que todas las expresiones en que aparece el trabajo, se debe considerar que deriva de las leyes clásicas de la Mecánica, y siguiendo con la formulación utilizada desde el comienzo de estas notas, a continuación se insiste en la idea de cómo la expresión del Principio de los Trabajos Virtuales constituye una forma débil de las ecuaciones de equilibrio.

FIGURA 7.1FIGURA 7.1FIGURA 7.1FIGURA 7.1

Considérese el equilibrio de un cuerpo como el indicado en la figura 7.1. Las fuerzas externas que actúan sobre él son:

(7.1)

(7.2)

Considerando la posibilidad de cargas concentradas o momentos dentro de las fuerzas de superficie generalizadas mediante la utilización de las funciones delta de Dirac de forma análoga a la indicada para el caso de barras.

Los desplazamientos se representan por el vector:

(7.3)

Las deformaciones correspondientes a estos desplazamientos u, son:

(7.4)

Las tensiones correspondientes a estas deformaciones ε , son:

(7.5)

Como se sabe, las ecuaciones de equilibrio para un elemento diferencial de volumen son:

(7.6)

en la que las fuerzas de volumen X incluyen en general fuerzas de inercia de forma que:

(7.7)

donde ρ es la densidad y los dos puntos indican derivada segunda con relación al tiempo.

La ecuación (7.6) también se puede escribir de la forma habitual:

(7.8)

siendo ésta la expresión, que por comodidad, se usa aquí.

Procediendo ahora sobre la ecuación de equilibrio (7.8) de forma análoga a como se hizo en el caso de barras sobre la ecuación de campo (como se recordará ecuación de equilibrio en términos de movimientos), es decir, introduciendo en (7.8) un vector de funciones de ponderación δ u e integrando para todo el dominio del cuerpo se obtiene:

(7.9)

La utilización de la fórmula de Green (1), que es realmente una integración por partes, conduce a:

(7.10)

Si se asocia δ u a un desplazamiento virtual, el operador diferencial actuando sobre ellos se puede también asociar con una deformación virtual y definir como:

(7.11)

Por otra parte se sabe que la ecuación de equilibrio de tensiones es:

(7.12)

o lo que es igual:

en la que es el vector de tensiones en el contorno.

Por tanto al sustituir en (7.10) las expresiones (7.11) y (7.12) resulta:

(7.13)

Como también se sabe que la ley de comportamiento es:

(7.14)

en la que ε 0 son las deformaciones iniciales (como por ejemplo las debidas a las variaciones térmicas), σ 0 las tensiones residuales iniciales y [C] la matriz elástica que contiene las propiedades del material.

Para el caso de deformaciones iniciales por efectos térmicos el vector σ 0 las tensiones residuales iniciales y [C] la matriz elástica que contiene las propiedades del material.

Para el caso de deformaciones iniciales por efectos térmicos el vector ε 0 tiene las siguientes expresiones:

donde α es el coeficiente de dilatación térmica del material, ν su coeficiente de Poisson e ∆ t el incremento de temperatura.

Teniendo en cuenta (7.14) y (7.7), la ecuación (7.13) resulta:

(7.15)

Ecuación que constituye el Principio de los Trabajos Virtuales y que relaciona el sistema real de cargas y esfuerzos con el virtual de desplazamientos.

En el caso de que se consideren mecanismos que absorban energía durante la respuesta dinámica del cuerpo, se podrá introducir sin dificultad en la formulación un amortiguamiento viscoso sin más que considerar para las fuerzas de volumen en lugar de (7.7.) la expresión:

(7.16)

en la que [c] es un parámetro que representa la resistencia a la velocidad (u).

7.3.7.3.7.3.7.3.---- IDEA DE APROXIMACIÓN IDEA DE APROXIMACIÓN IDEA DE APROXIMACIÓN IDEA DE APROXIMACIÓN

No se va a entrar en este momento a comentar la amplitud de alternativas que aparecen en este punto del desarrollo, sino que únicamente se van a tratar aquellas cuestiones de interés para la comprensión inicial del método.

7.3.1.7.3.1.7.3.1.7.3.1.---- DISCRETIZACIÓN. ELEMENTOS, NUDOS Y VARIABLES NODALES DISCRETIZACIÓN. ELEMENTOS, NUDOS Y VARIABLES NODALES DISCRETIZACIÓN. ELEMENTOS, NUDOS Y VARIABLES NODALES DISCRETIZACIÓN. ELEMENTOS, NUDOS Y VARIABLES NODALES

El problema inicial es cómo discretizar problemas de medios continuos de la forma indicada anteriormente para el caso de estructuras de barras en que resultaba más intuitivo.

Pues bien, en este caso:

a. El continuo se divide mediante líneas (caso bidimensional) o superficies (caso tridimensional) imaginarias, de forma que el dominio total en estudio se aproxime mediante el conjunto de porciones (elementos) en que se subdivide (ver figura 7.2).

FIGURA 7.2FIGURA 7.2FIGURA 7.2FIGURA 7.2

b. Los elementos se definen por un número discreto de puntos, (ver figura 7.2), los nudos, que los conectan entre sí, de forma equivalente a lo indicado para estructuras de barras, y sobre los que se materializan las incógnitas fundamentales del problema.

Las variables nodales pueden ser varias, dependiendo del tipo de problema en estudio, recuérdese como en el caso de estructuras de barras éstas eran las flechas y los giros, para lo que sigue se puede pensar que estas incógnitas son los desplazamientos en los nudos.

7.3.7.3.7.3.7.3.---- IDEA DE APROXIMACIÓN IDEA DE APROXIMACIÓN IDEA DE APROXIMACIÓN IDEA DE APROXIMACIÓN

No se va a entrar en este momento a comentar la amplitud de alternativas que

aparecen en este punto del desarrollo, sino que únicamente se van a tratar aquellas cuestiones de interés para la comprensión inicial del método.

7.3.1.7.3.1.7.3.1.7.3.1.---- DISCRETIZACIÓN. ELEMENTOS, NUDOS Y VARIABLES DISCRETIZACIÓN. ELEMENTOS, NUDOS Y VARIABLES DISCRETIZACIÓN. ELEMENTOS, NUDOS Y VARIABLES DISCRETIZACIÓN. ELEMENTOS, NUDOS Y VARIABLES NODALESNODALESNODALESNODALES

El problema inicial es cómo discretizar problemas de medios continuos de la forma indicada anteriormente para el caso de estructuras de barras en que resultaba más intuitivo.

Pues bien, en este caso:

a. El continuo se divide mediante líneas (caso bidimensional) o superficies (caso tridimensional) imaginarias, de forma que el dominio total en estudio se aproxime mediante el conjunto de porciones (elementos) en que se subdivide (ver figura 7.2).

FIGURA 7.2FIGURA 7.2FIGURA 7.2FIGURA 7.2

b. Los elementos se definen por un número discreto de puntos, (ver figura 7.2), los nudos, que los conectan entre sí, de forma equivalente a lo indicado para estructuras de barras, y sobre los que se materializan las incógnitas fundamentales del problema.

Las variables nodales pueden ser varias, dependiendo del tipo de problema en

estudio, recuérdese como en el caso de estructuras de barras éstas eran las

flechas y los giros, para lo que sigue se puede pensar que estas incógnitas son los desplazamientos en los nudos.

7.3.2.7.3.2.7.3.2.7.3.2.---- FUNCIONES DE INTERPOLACIÓNFUNCIONES DE INTERPOLACIÓNFUNCIONES DE INTERPOLACIÓNFUNCIONES DE INTERPOLACIÓN

Discretizado el continuo como se ha indicado, la idea es tomar un conjunto de funciones (funciones de interpolación) que definan de manera única el campo de desplazamientos, dentro del elemento en función de los desplazamientos de sus nudos.

Es decir:

(7.17)

EJEMPLOEJEMPLOEJEMPLOEJEMPLO

En el caso de tensión plana, para un elemento triangular como el indicado en la figura 7.3, el vector u representa los movimientos vertical y horizontal en un punto cualquiera del elemento e.

(7.18)

FIGURA 7.3FIGURA 7.3FIGURA 7.3FIGURA 7.3

En el vector Ue se incluyen todos los desplazamientos, verticales y horizontales, de los tres nudos del elemento, es decir:

(7.19)

donde:

(7.20)

Si se desea realizar una interpolación lineal, las funciones de interpolación o funciones de forma se obtendrán teniendo en cuenta que Ni = 1 para xi e yi y cero en los otros vértices tal y como se puede ver en la figura 7.3.

Por tanto, en ese caso (7.17) resulta:

(7.21)

que también se puede ordenar de la forma:

(7.22)

7.4.FORMULACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE UN ELEMENTO7.4.FORMULACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE UN ELEMENTO7.4.FORMULACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE UN ELEMENTO7.4.FORMULACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE UN ELEMENTO

En el punto anterior las ideas se han centrado sobre un elemento, pero no hay ninguna dificultad para interpretar que la ecuación (7.17) es válida para el conjunto completo si en lugar de Ue para un elemento, este vector incluye todos los desplazamientos de los nudos que aparecen en la discretización del continuo, es decir:

(7.23)

FIGURA 7.4FIGURA 7.4FIGURA 7.4FIGURA 7.4

Continuando con el caso sencillo presentado en el ejemplo anterior, si se siguen utilizando las funciones de interpolación que se obtiene cuando se exige una variación lineal a lo largo de los lados de los elementos, en el caso de discretización con triángulos presentada, esta condición provoca la aparición de funciones pirámide como se puede ver en la figura 7.4.

Pero los cálculos que se realicen sobre las funciones indicadas se pueden descomponer en la adición de cálculos sobre sus partes, siendo ésta, otra de las ventajas de manejar cantidades bajo el signo integral. Es decir, que conceptualmente se está actuando de forma análoga a como se hizo con las funciones de Hermite para el caso monodimensional en capítulos anteriores. Por tanto, al igual que en barras, se puede abandonar el soporte de las funciones, realizar el cálculo y montaje de las características del elemento y obtener por ensamblaje las características globales, con lo que adquieren todo su sentido los puntos anteriores centrados en la idea del elemento.

Sin perder de vista esta idea, sobre la que se volverá en el punto siguiente, a continuación se van a formular las características de un elemento.

Una vez conocidos los desplazamientos en todos los puntos de un elemento, mediante (7.17), se pueden determinar las deformaciones:

(7.19)

donde [D] es un operador diferencial apropiado al problema en estudio.

Sustituyendo los desplazamientos u por un valor en función de los desplazamientos nodales, (7.19) resulta:

(7.20)

Aplicando la ecuación (7.15) al caso de un elemento con un campo de desplazamientos definido por (7.17) y de deformaciones por (7.20), resulta:

(7.21)

En la que los valores de UT son constantes y se han sacado fuera de las integrales. Tras eliminar dichos valores y reordenar (7.21) se obtiene:

(7.22)

que puede ser escrita como:

(7.23)

en la que se han definido:

- Matriz de masa consistente:

(7.24)

-Matriz de rigidez:

(7.25)

- Matriz de cargas nodales consistente:

(7.26)

- Matriz de cargas nodales iniciales (producida por las deformaciones y tensiones iniciales):

(7.27)

En el caso de incluir amortiguamiento (7.16) siguiendo el mismo proceso anterior, aparecería un término adicional, resultado (7.23) en la forma:

(7.28)

en la que:

(7.29)

Las expresiones anteriores (de 7.22 a 7.29) son absolutamente generales y permiten determinar las matrices elementales para cualquier tipo de discretización, en la tabla de la figura 7.5 se presentan diferentes tipos de problemas.

En el caso de barras de pórtico plano, como se sabe, el vector de deformaciones es para

y la tensión σ x se relaciona con dicha deformación

habiéndose incluido en la tabla el momento flector Mxx

En el caso de placas delgadas según la teoría de Kirchhoff, se han incluido en la tabla los valores correspondientes al vector de esfuerzos σ f , relacionado con σ mediante

, así como el de deformaciones generalizadas ε f , relacionado con el de deformaciones ε de la forma

y por último la matriz constitutiva de flexión [Cf ] , relacionada con la constitutiva correspondiente a material isótropo [C ] (que coincide con la de tensión plana) de la forma:

Como se puede apreciar en le desarrollo realizado, la clave para la aplicación del método en la elección de las funciones de forma [N] que permiten pasar de los infinitos grados de libertad del elemento a los que se han denominando variables nodales, razón por la cual se insistirá sobre este punto a lo largo de estas notas, no obstante antes se revisarán algunos temas de interés para terminar con el planteamiento general del método.

FIGURA 7.5FIGURA 7.5FIGURA 7.5FIGURA 7.5

7.5 .7.5 .7.5 .7.5 .---- SÍNTESIS DE LAS CARACTERÍSTICAS GLOBALES SÍNTESIS DE LAS CARACTERÍSTICAS GLOBALES SÍNTESIS DE LAS CARACTERÍSTICAS GLOBALES SÍNTESIS DE LAS CARACTERÍSTICAS GLOBALES

Al haber abandonado en el desarrollo del tema el soporte de las funciones para centrar la atención sobre el elemento, la idea fundamental es la posibilidad de realizar un cálculo repetitivo sobre estos (utilizando la misma subrutina en el programa de ordenador) y acoplar sus términos dentro de la matriz de rigidez del sistema en los lugares correspondientes, de forma análoga al caso de estructuras de barras ya estudiado.

Si por una parte es preferible la utilización de un sistema local de coordenadas para el cálculo de las matrices y vectores elementales, que será el mismo para todos los elementos, lo que permitirá el cálculo repetitivo mencionado, esto obliga a que antes de acoplar las matrices elementales en la global, sea preciso transformar estas a un sistema común de coordenadas, es decir, la escritura de las matrices elementales en coordenadas globales.

FIGURA 7.6FIGURA 7.6FIGURA 7.6FIGURA 7.6

En el caso de un rectángulo plano como el de la figura 7.6, en el que se ha indicado con prima el sistema local y sin ella el global, en cada nudo se cumple:

(7.30)

o de forma más compacta:

(7.31)

Siendo [LD] una matriz cuyas columnas son los cosenos directores de los ejes locales x' y'.

Por tanto el vector de cargas nodales del elemento es:

(7.32)

que se puede escribir de forma más compacta como:

(7.33)

De forma análoga sobre los desplazamientos nodales se puede escribir:

(7.34)

De modo que:

(7.35)

Luego la matriz de rigidez en coordenadas globales es:

(7.36)

que coincide lógicamente con la utilizada anteriormente en el caso de estructuras formadas por barras.

De forma análoga se pueden obtener:

(7.37)

FIGURA 7.7FIGURA 7.7FIGURA 7.7FIGURA 7.7

Una vez que se dispone de las matrices y vectores elementales en coordenadas globales su acoplamiento en las del sistema se realiza según el esquema del Método Directo ya explicado en capítulos anteriores para el caso de barras. A modo de ejemplo en la figura (7.7) se ve cómo se sumarán los términos correspondientes a un elemento rectangular plano de nudos i, j, k, l, en donde cada una de las submatrices es de dimensión (2x2), siendo en general cada submatriz del orden correspondiente al número de grados de libertad de cada nodo y su número será igual al de nudos del elemento.

Por último hay que señalar que lo indicado es general y no se modifica si se superponen efectos de elementos con un número diferente de nodos si, como es evidente, los campos de movimientos en ambos casos son concordantes.

7.6.7.6.7.6.7.6.----IMPOSICIÓN DE LAS CONDICIONES DE CONTORNOIMPOSICIÓN DE LAS CONDICIONES DE CONTORNOIMPOSICIÓN DE LAS CONDICIONES DE CONTORNOIMPOSICIÓN DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO

La ecuación (7.23) se puede particionar de la forma siguiente:

(7.38)

donde en el vector Ua están los desplazamientos incógnitas y en Ub los desplazamientos impuestos.

Operando en (7.38) se obtiene:

(7.39)

Una vez obtenidos los desplazamientos Ua, las reacciones, que están incluidas en el vector Pb correspondiente a los grados de libertad Ub conocidos, se obtienen de:

(7.40)

Con lo que formalmente el problema queda resuelto, aplicando en la práctica técnicas numéricas como las presentadas en capítulos anteriores para la resolución. Los casos particulares, como apoyos no concordantes o apoyos elásticos, se resolverán de forma análoga a como se indicó para el caso de estructuras de barras.

7.7 PROBLEMAS DE CAMPOS EN RÉGIMEN PERMANENTE7.7 PROBLEMAS DE CAMPOS EN RÉGIMEN PERMANENTE7.7 PROBLEMAS DE CAMPOS EN RÉGIMEN PERMANENTE7.7 PROBLEMAS DE CAMPOS EN RÉGIMEN PERMANENTE

Aunque la formulación anterior se refiere a problemas elásticos, se puede también aplicar de forma general a otros muchos tipos de problemas diferentes, tales como transmisión del calor por conducción, distribución de potenciales eléctrico o magnético, filtración, torsión en cilindros rectos, etc. Incluso se podría decir que para el tipo de problemas señalado, con una formulación más sencilla, puesto que la función incógnita es ahora un escalar frente al vector de desplazamientos del planteamiento anterior.

El problema ahora se puede plantear de la forma siguiente: sobre un dominio Ω de contorno Γ , se trata de encontrar el valor de un potencial definido por la función φ (por ejemplo la temperatura en el caso de flujo de calor) cuyo gradiente se relaciona en general con el flujo, de la forma

(7.41)

donde ∇ es el operador gradiente y [K] es una matriz de 3x 3 en general simétrica ( por ejemplo en el caso de conductividad térmica) , que para un determinado sistema de coordenadas es diagonal y para material isótropo es de la forma [K]= K [I] , donde [I] es la matriz unidad.

Para obtener el valor de dicha función φ , las condiciones de contorno serán, según el tipo particular de problema, alguna de las siguientes:

(7.42)

(7.43)

donde n T = nx ny nz es el vector de los cosenos directores de la normal en el contorno.

Si en el caso general de existencia de manantiales o sumideros ( por ejemplo focos de calor en problemas térmicos o fuentes en problemas de filtración) con variación (generación o desaparición) "p" por unidad de volumen, se plantea la condición continuidad o equilibrio

(7.44)

al sustituir (7.41), resulta la ecuación de Poisson

(7.45)

que es la que hay que resolver en el dominio Ω .

La forma débil del problema (7.45), se obtiene como anteriormente multiplicando por una función Ψ e integrando para todo el dominio.

(7.46)

de la que al integrar por partes, mediante la utilización de la fórmula de Green, se obtiene

(7.47)

en la que si se considera de acuerdo con (7.41) que

(7.48)

resulta

(7.49)

De la que al suponer que las condiciones de contorno esenciales (o geométricas) indicadas en (7.42)

(7.50)

se satisfacen al elegir las funciones φ adecuadamente, conduce a la expresión clásica de Ritz, coincidente con el planteamiento de Galerkin, en que se incluye las condiciones de contorno naturales (7.43).

(7.51)

Para la discretización en elementos finitos, al igual que en el punto 7.3, se toma un conjunto de funciones de interpolación

(7.52)

Si al igual que en puntos anteriores, se hacen coincidir las funciones de ponderación con las de interpolación.

(7.53)

al sustituir (7.53) y (7.52) en (7.51), se obtiene la expresión

(7.54)

que al igual que antes, puede ser escrita como

(7.55)

en la que cada elemento de la matriz [K] es de la forma:

(7.56)

y los del vector P:

(7.57)

como se puede apreciar existe una analogía total con el caso elástico estudiado anteriormente y por tanto serán aplicables a este tipo de problemas, las consideraciones que se irán estableciendo a lo largo de los capítulos siguientes.

CAPÍTULO VIII

FUNCIONES DE INTERPOLACIÓN. CONVERGENCIA

8.1.- INTRODUCCIÓN

Lo indicado hasta ahora permite una sistematización en el tratamiento de los problemas de medios continuos mediante el Método de los Elementos Finitos que podría esquematizarse en los siguientes pasos:

- Discretización. Elección del elemento.

- Obtención de las matrices elementales ([K], P, [M], ... etc.).

- Síntesis de las propiedades globales.

- Resolución .

- Resustitución.

A lo largo del capítulo anterior se ha introducido la idea de discretización dentro de la formulación general del Método, correspondiente a un esquema como el indicado, pudiéndose apreciar la importancia de la elección del elemento si se tiene en cuenta que en el concepto de elemento están englobados su forma, número y tipo de nodos, así como de variables nodales, y fundamentalmente las funciones de forma (que a lo largo de estas notas llamamos indistintamente funciones de interpolación o funciones de aproximación).

A continuación se van a precisar algunos de estos conceptos (ya tratados con mayor o menor profundidad anteriormente), dedicando especial atención a las funciones de interpolación, lo que permitirá afianzar las ideas generales del capítulo anterior mediante la realización de aplicaciones a casos concretos.

En adelante nos centraremos fundamentalmente en casos bidimensionales y axisimétricos, aludiendo al caso tridimensional como generalización.

8.2.- FORMA DE LOS ELEMENTOS. NODOS Y VARIABLES NODALES

La forma del elemento depende del problema en estudio, pudiéndose establecer una primera clasificación en monodimensionales, bidimensionales y tridimensionales, dentro de los que se puede hablar en general de elementos de lados rectos y curvos.

- Elementos monodimensionales: Su evolución, que posteriormente generalizaremos, se puede seguir fácilmente en la figura 8.1. Estos elementos son de gran utilidad puesto que además de problemas de barras, son útiles en otros tipos de problemas bastante generalizados, como por ejemplo placas con rigidizadores.

FIGURA 8.1

- Elementos bidimensionales: en el caso de dos dimensiones, según su forma hablaremos de elementos (ver figura 8.2):

- Triangulares: Muy utilizados pues tienen la ventaja de permitir aproximar contornos de forma arbitraria.

- Rectangulares: El rectángulo de lados paralelos a los ejes x e y, es el elemento de forma conceptualmente más sencilla, si se tiene en cuenta el condicionamiento generalizado a pensar en coordenadas cartesianas. En ciertos tipos de problemas permite aproximar bien la forma y su generación es fácil.

- Cuadriláteros: De gran utilidad por la ventaja económica que por ejemplo supone la utilización de cuadriláteros formados por cuatro triángulos, con la eliminación del nodo central, sobre el empleo de triángulos simples.

En la figura 8.2 se puede ver una idea inicial sobre su evolución que se comentará posteriormente.

FIGURA 8.2

- Elementos tridimensionales: En primer lugar se puede hablar de elementos axisimétricos mono y bidimensionales (muy útiles y fáciles de formular como veremos posteriormente). En segundo lugar están el tetraedro, paralelepípedo y hexaedro (por ejemplo formados por cinco tetraedros con eliminación del nodo central), como generalización del triángulo, rectángulo y cuadrilátero en dos dimensiones. Ver figura 8.3.

FIGURA 8.3

Los tipos que se han indicado hasta ahora pueden ser transformados a geometrías curvas que permiten una aproximación más efectiva a ciertas geometrías complicadas, mediante el concepto isoparamétrico que se tratará en el capítulo siguiente (ver figura 8.4).

FIGURA 8.4

El tipo de variables nodales depende también del problema en estudio, así por ejemplo en un caso de tensión plana tendríamos dos variables nodales (dos movimientos), en cambio en un problema de flexión en placas delgadas se consideran tres componentes del desplazamiento como variables nodales (desplazamiento en dirección perpendicular al plano de la placa y dos giros alrededor de dos ejes ortogonales en su plano). Como vemos se trata de un concepto amplio, del que en este momento interesa resaltar que el producto del número de nodos por el de variables nodales conduce al concepto de grados de libertad del elemento.

El número y tipo de nodos está directamente relacionado con la elección de las funciones de forma como veremos más adelante, no obstante como ya se puede apreciar por las figuras anteriores, las familias de elementos presentan progresivamente un mayor número de grados de libertad. En general el elemento óptimo debe determinarse en cada caso particular, puesto que si para una precisión dada en general puede reducirse el número total de incógnitas aumentando el orden de los elementos (lo cual parece en principio una ventaja económica), aunque se reduce el tiempo necesario para la resolución, aumenta el preciso para la formulación del elemento.

8.3.- FUNCIONES DE INTERPOLACIÓN

Como se ha podido ver es un tema de gran interés al que se dedicará prácticamente el contenido de este capítulo.

8.3.1- UTILIZACIÓN DE POLINOMIOS

En general se utilizan polinomios para aproximar los desplazamientos en el interior de los elementos, ya que estos se utilizan comúnmente para interpolar, permitiendo un

procedimiento sistemático para mejorar la bondad de la aproximación aumentando el número de términos.

- Para elementos monodimensionales:

(8.1)

Donde x varía sobre la longitud del elemento, u es el desplazamiento en un punto interior al elemento y los coeficientes son las coordenadas generalizadas.

nº de términos = n + 1

siendo n el grado del polinomio.

Si n =0 se llama constante.

n = 1lineal.

n = 2 cuadrático.

n = 3 cúbico.

- Para elementos bidimensionales (tensión y deformación plana, axisimétricas), los valores de los desplazamientos se interpolan:

(8.2)

donde α i y β i son coordenadas generalizadas, pudiéndose generar tal y como se indica en la figura 8.5

FIGURA 8.5

- Para elementos tridimensionales, los valores de los desplazamientos se interpolan:

(8.3)

donde α i ,β i ,γ i son ahora las coordenadas generalizadas, que se pueden generar mediante una pirámide, análoga para tres dimensiones, a la figura 8.5, siendo:

(8.4)

donde n es el grado del polinomio.

No se insiste, ya que como se indicaba anteriormente en estas notas nos centraremos fundamentalmente en los casos mono y bidimensional.

En general las expresiones del tipo 8.1, 8.2 y 8.3 se pueden escribir matricialmente de forma compacta:

(8.5)

en la que u es el vector de desplazamientos, [Φ ] el de términos de los polinomios y α el vector de coordenadas generalizadas en orden apropiado.

Particularizando (8.5) para cada nodo del elemento, resulta:

(8.6)

y suponiendo que existe la inversa de [A], se puede escribir:

(8.7)

Es decir, se han obtenido los desplazamientos en cualquier punto del interior de un elemento en función de los desplazamientos nodales, incógnitas elegidas como se ha indicado anteriormente.

8.3.- FUNCIONES DE INTERPOLACIÓN

Como se ha podido ver es un tema de gran interés al que se dedicará prácticamente el contenido de este capítulo.

8.3.1- UTILIZACIÓN DE POLINOMIOS

En general se utilizan polinomios para aproximar los desplazamientos en el interior de los elementos, ya que estos se utilizan comúnmente para interpolar, permitiendo un procedimiento sistemático para mejorar la bondad de la aproximación aumentando el número de términos.

- Para elementos monodimensionales:

(8.1)

Donde x varía sobre la longitud del elemento, u es el desplazamiento en un punto interior al elemento y los coeficientes son las coordenadas generalizadas.

nº de términos = n + 1

siendo n el grado del polinomio.

Si n =0 se llama constante.

n = 1lineal.

n = 2 cuadrático.

n = 3 cúbico.

- Para elementos bidimensionales (tensión y deformación plana, axisimétricas), los valores de los desplazamientos se interpolan:

(8.2)

donde α i y β i son coordenadas generalizadas, pudiéndose generar tal y como se indica en la figura 8.5

FIGURA 8.5

- Para elementos tridimensionales, los valores de los desplazamientos se interpolan:

(8.3)

donde α i ,β i ,γ i son ahora las coordenadas generalizadas, que se pueden generar mediante una pirámide, análoga para tres dimensiones, a la figura 8.5, siendo:

(8.4)

donde n es el grado del polinomio.

No se insiste, ya que como se indicaba anteriormente en estas notas nos centraremos fundamentalmente en los casos mono y bidimensional.

En general las expresiones del tipo 8.1, 8.2 y 8.3 se pueden escribir matricialmente de forma compacta:

(8.5)

en la que u es el vector de desplazamientos, [Φ ] el de términos de los polinomios y α el vector de coordenadas generalizadas en orden apropiado.

Particularizando (8.5) para cada nodo del elemento, resulta:

(8.6)

y suponiendo que existe la inversa de [A], se puede escribir:

(8.7)

Es decir, se han obtenido los desplazamientos en cualquier punto del interior de un elemento en función de los desplazamientos nodales, incógnitas elegidas como se ha indicado anteriormente.

8.3.1.1.- Aplicación al caso de tensión plana

Como ejemplo veamos el caso de un elemento triangular plano con interpolación lineal, tal y como se puede ver en la figura (8.6).

FIGURA 8.6

La expresión (8.5) para este caso es:

(8.9)

que no es más que la (8.2) en forma matricial para el caso lineal. Debiéndose observar que hay el mismo número de constantes indeterminadas que grados de libertad del elemento.

Particularizando para cada nodo se obtiene (8.6), que en este caso es de la forma:

(8.10)

que se puede ordenar en la forma:

(8.11)

donde:

De esta, tal y como indica (8.7), se pueden obtener los coeficientes de los polinomios, resultando (8.8), que para este caso es:

(8.12)

donde:

(8.13)

siendo Ω el área del triángulo.

Según (7.20), las deformaciones son:

(8.14)

Teniendo en cuenta que la matriz elástica [C] es la indicada en tabla de la figura (8.5) para el caso de tensión plana, la matriz de rigidez se obtiene de (8.25).

(8.15)

El término (1,1) de la matriz de rigidez, teniendo en cuenta los valores de [B] dados en (8.14) y de [C] en la figura 7.5, es:

(8.16)

y el término (1,2) resulta:

Actuando de forma análoga se pueden obtener los restantes términos de la matriz de rigidez, llegándose a:

Donde:

xij = xi - xj

yij = yi - yj

µ = 1 - ν

(8.17)

El resto de los términos de la ecuación matricial (7.23) se pueden obtener integrado de forma análoga, teniendo en cuenta sus expresiones (dadas en 7.24 a 7.27) y los valores de [C], [B] y [N] anteriores.

8.3.1.2. Aplicación al caso de cuerpos axisimétricos

El caso de cuerpos axisimétricos sometidos a cargas axisimétricas es muy similar a los de tensión y deformación plana ya que, por simetría, es suficiente establecer las condiciones en una sección meridiana para tener determinado el cuerpo total.

En la figura 8.7 se representa un cuerpo con simetría respecto al eje z, si un punto de una sección meridiana viene determinado por dos componentes (r,z) radial y axial, los desplazamientos posibles son los correspondientes a ambas direcciones (u,w), y es fácil ver que es posible utilizar las mismas funciones de interpolación dadas en el punto anterior para definir estos desplazamientos dentro de un elemento triangular 123 como el indicado en la figura. El elemento ahora es un sólido de revolución de sección triangular (aunque la sección podrá ser en general de otro tipo, p.e. rectangular) y las integrales se extenderán al volumen de dicho elemento, no obstante la formulación no se complica excesivamente como veremos a continuación.

FIGURA 8.7

En los problemas de revolución, los desplazamientos radiales inducen deformaciones en dirección circunferencial y como las tensiones en esa dirección son distintas de cero, habrá de considerarse esta cuarta componente. Así, como es sabido por elasticidad, las deformaciones son ahora:

(8.18)

Como decíamos anteriormente, se van a utilizar las mismas funciones de interpolación que en el caso anterior (8.9), en las que por claridad la coordenada "x" se sustituye por "r" y la "y" por "z". Es decir (8.9) es ahora:

(8.19)

operando de la misma forma que en el punto anterior se llega a la expresión equivalente de la (8.12) que con la denominación correspondiente a este caso resulta:

(8.20)

donde:

(8.21)

y

Las deformaciones ahora, utilizando (8.18) en lugar de (8.14), resultan:

(8.22)

Como se puede observar, al comparar ésta con la expresión (8.14), la matriz [B] difiere en las dimensiones (en tensión plana [B] (3x6) y ahora de (4x6) y además aparecen términos dependientes de las coordenadas, es decir ahora la matriz [B] no es una matriz constante.

El resto del desarrollo es completamente análogo al caso anterior, teniendo en cuenta que ahora el volumen que maneja es:

(8.23)

en la que r es la coordenada radial del punto en estudio y da el diferencial de área, por tanto la matriz de rigidez es:

(8.24)

en la que Ω es el área de la sección meridiana del elemento [C] es constante y [B] función de r,z; resultando:

(8.25)

El resto de los términos de la ecuación (7.23) se pueden obtener integrando de forma análoga, es decir:

(8.26)

(8.27)

y de forma análoga, las matrices de cargas nodales iniciales (8.27). Únicamente hay que señalar que para el cálculo de Ps vector de cargas superficiales, se suele introducir un sistema de coordenadas auxiliar (s) localizado a lo largo de los lados cargados, suponiendo que el lado cargado es el 2-3 del elemento de la figura 10.8, siendo frs y frs las funciones de cargas en las direcciones r y z, resulta:

FIGURA 8.8

8.3.2.8.3.2.8.3.2.8.3.2.---- UTILIZACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS UTILIZACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS UTILIZACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS UTILIZACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

En algunos casos, tales como estructuras axisimétricas sometidas a cargas que no lo son, se recurre a funciones trigonométricas de interpolación. La ventaja de la utilización de funciones trigonométricas está en su propiedad de ortogonalidad al integrar sobre un intervalo apropiado. Así:

(8.28)

Esto conduce a que las matrices de la ecuación de equilibrio estarán desacopladas en sus partes simétricas (correspondientes a los cosenos) y antisimétricas (senos), lo que facilita su resolución.

Como ejemplo de lo indicado y con objeto de dar únicamente una idea general sobre el tema, veamos el caso de un cuerpo axisimétrico como el indicado en la figura 8.7, sometido a una carga radial no axisimétrica Pr (y,θ ).

Si se desarrolla en serie de Fourier la carga exterior:

(8.29)

donde los superíndices "S" y "A" significan, al igual que en las expresiones siguientes, simétrico y antisimétrico respectivamente.

Por otra parte, si se basa la interpolación en la desarrollo en serie de Fourier de los desplazamientos en dirección radial, tangencial y vertical,

(8.30)

en la que los coeficientes uSrn, uArn, ... etc., son las incógnitas generalizadas correspondientes al modo n, que pueden ponerse en función de los desplazamientos nodales de la misma forma que la indicada en el punto 8.3.1.2 si se utilizan elementos triangulares, así por ejemplo:

(8.31)

El siguiente paso es escribir las deformaciones para la obtención de la matriz [B], que debe corresponder al caso tridimensional (en coordenadas cilíndricas que son las que estamos utilizando) ya que tendremos una distribución tridimensional de tensiones. Así en coordenadas cilíndricas:

(8.32)

Al sustituir (8.30) en (8.32) se obtiene una matriz deformaciones-desplazamientos para cada valor de n (para cada modo) que denominamos [Bn], obteniéndose las deformaciones totales como suma de las contribuciones de cada uno.

Los desplazamientos nodales son ahora:

(8.33)

y para cada modo se obtienen de forma análoga a lo indicado anteriormente teniendo en cuenta el nuevo valor de [Bn], ya que debido a la ortogonalidad de las funciones trigonométricas (ver 8.29) se desacoplan unos armónicos de otros, así como entre las partes simétricas y antisimétricas.

8.4.8.4.8.4.8.4.---- CONVERGENCIA CONVERGENCIA CONVERGENCIA CONVERGENCIA

Entre las características más importantes a tener en cuenta en los procedimientos numéricos en general, se pueden citar:

- Precisión, que es una medida de la aproximación de la solución numérica a la exacta.

- Estabilidad, que se refiere al aumento de errores en proceso en ordenador; este se dice que es inestable, cuando los errores (p.e. truncamiento, redondeo...) se acumulan desvirtuando la solución.

- Convergencia, que es la cada vez mayor aproximación a un valor límite en los resultados obtenidos de sucesivos procesos en los que se va refinando un determinado parámetro, tal como el tamaño de los elementos o el número de términos de la función de aproximación.

Al considerar la aproximación de los métodos numéricos a la solución real (o al menos a un valor límite) es necesario plantearse cuáles son las posibles fuentes de error y sus causas. En este sentido, además de los errores introducidos por truncamiento y redondeo, asociados al proceso en ordenador, o los debidos a la utilización de métodos numéricos (en p.e. la integración, solución de sistemas de ecuaciones, ..., etc), hay otros que se pueden asociar a la propia técnica de los elementos finitos y que son los que en este momento más nos interesan.

Uno de estos errores puede resultar de las diferencias geométricas entre el cuerpo real y la aproximación realizada (error de discretización) que puede reducirse aumento el número de elementos, o utilizando elementos con geometría curva (de los que se hablará en el próximo capítulo), todo lo cual permitirá una mejor adaptación al cuerpo real. Otro, puede ser debido a las propias funciones de aproximación utilizadas y no decrece necesariamente con el tamaño de los elementos lo que puede conducir a que el proceso no sea convergente.

A continuación se va a considerar esta última fuente de error en relación con el comportamiento de las funciones de interpolación dentro del elemento y discontinuidades entre elementos, lo que conducirá al enunciado de los criterios necesarios para asegurar la convergencia.

En principio es necesario que exista continuidad en el interior del elemento, lo cual se cumple si se utilizan polinomios como funciones de interpolación. Además dichas funciones deben ser derivables hasta el orden en que se exige

en los términos integrales del Principio de los Trabajos Virtuales; y por último, dichas integrales deben tener primitiva, lo que exige que sean continuas las (m-1) primeras derivadas de la función si esta aparece con su derivada de orden m.

8.4.1 CRITERIO DE LA PARCELA (Patch Test) 8.4.1 CRITERIO DE LA PARCELA (Patch Test) 8.4.1 CRITERIO DE LA PARCELA (Patch Test) 8.4.1 CRITERIO DE LA PARCELA (Patch Test)

En un procedimiento simple para comprobar la convergencia y fue establecido por Irons en 1972. La idea es que una vez seleccionado un grupo de elementos (parcela), se aplica a través de los nudos del contorno unos movimientos que produzcan un campo de desplazamientos y deformaciones conocido y se verifica su validez. Esto se puede convertir en:

-Condición de deformación constante. Es decir, que el estado conocido es de deformación constante y debe reproducirse en la parcela seleccionada, al imponer unos desplazamientos en los nodos. Es lógico que se exija en el elemento puesto que es el estado al que se aproxima al refinar la malla.

- Condición de movimiento como sólido rígido. No es más que una particularización del anterior, para estado conocido de deformación nula.

8.4.2.8.4.2.8.4.2.8.4.2.---- COMPLITUD (COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES DENTRO COMPLITUD (COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES DENTRO COMPLITUD (COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES DENTRO COMPLITUD (COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES DENTRO DEL ELEMENTO).DEL ELEMENTO).DEL ELEMENTO).DEL ELEMENTO).

Ateniéndonos a lo que aquí nos interesa, se dice que un conjunto de funciones linealmente independientes ψ i es completa, si cualquier función f puede ser aproximada con la precisión deseada, tomando un número suficiente de términos de la combinación lineal:

(8.34)

en la que α i son constantes, verificándose en el límite:

(8.35)

Si el desarrollo en serie de Taylor de la solución exacta en un punto Xi es:

(8.36)

la aproximación dada por elementos finitos con interpolación polinómica (caso unidimensional para simplificar) de grado m.

(8.37)

o con más variables, que incluyan todos sus términos (ver figura 8.5 para el caso de dos variables) son completos en el sentido señalado. Por tanto para un elemento de tamaño finito, en el que se utilicen polinomios como funciones de aproximación en general, sólo se alcanzaría la solución exacta si estos son completos de grado infinito. Como en la práctica sólo se puede utilizar un número finito de términos del polimonio, en general sólo se obtendrá una aproximación a la solución exacta, siendo el error del orden del tamaño del elemento h (ya que las variables, p.e. "x" e "y" en un caso bidimensional, son localmente de la magnitud del tamaño del elemento) elevado a (n+1), siendo n el grado del polinomio empleado.

De forma alternativa se puede decir por tanto, que como el desarrollo polinómico es capaz de reproducir en el límite cualquier distribución de la variables dentro del continuo y además la solución de cada aproximación es única, aquel debe proporcionar en el límite, cuando el tamaño del elemento tiende a cero, la solución exacta.

Pero dentro de la ecuación integral (ver p.e. en nuestro caso 8.22) aparecen derivadas de la variable de campo, y sólo si el polinomio utilizado es completo de orden apropiado, en cada una de las derivadas aparecerá al menos un término constante y cuando el tamaño del elemento tienda a cero, cada derivada tenderá a su valor exacto por las mismas razones anteriormente expuestas para la propia variable de campo.

Por tanto la primera condición de convergencia se puede enunciar diciendo "que es necesario utilizar un polinomio completo de orden al menos n para la función de aproximación dentro del elemento, si n es el orden de la máxima derivada que aparece en las integrales de campo".

Así por ejemplo, para un caso de tensión plana, las deformaciones o las tensiones vienen dadas por las derivadas primeras de los desplazamientos (variable de campo) y por tanto n=1; por lo que el criterio será utilizar al menos como funciones de interpolación polinomios lineales completos.

Como segundo ejemplo, para ir al caso de flexión en placas delgadas (n=2) se deben cumplir las condiciones de movimiento como sólido rígido, deformación y curvatura constante.

En un elemento de un nodos

(8.38)

Si se toma:

(8.39)

Se verifica:

(8.40)

Lo que constituye una condición para que se cumpla el requisito de completa.

Hay que señalar para terminar, que con la utilización de polinomios completos de grado mayor del necesario para la convergencia, y al menos para elementos conformes, en general se puede esperar una mayor precisión y rápida convergencia. Los términos adicionales a los de un polinomio completo no contribuyen en principio a obtener una mejor aproximación pero no impiden la convergencia.

8.4.3.8.4.3.8.4.3.8.4.3.---- COMPATIBILIDAD INTERELEMENTAL COMPATIBILIDAD INTERELEMENTAL COMPATIBILIDAD INTERELEMENTAL COMPATIBILIDAD INTERELEMENTAL

Si se piensa en problemas de elasticidad plana, de lo dicho hasta ahora en estas notas se desprende que sólo se han considerado las contribuciones de energía debidas a los elementos en sí, y por tanto se ha considerado nula la contribución del trabajo realizado en los contornos de separación entre elementos al trabajo virtual total, lo cual implica que las funciones de desplazamiento deben elegirse de manera que las deformaciones que se producen en las separaciones entre elementos sean finitas y por tanto es necesaria la continuidad de los desplazamientos entre elementos.

Esta condición se ha generalizado utilizando el término de conformidad, diciendo que las funciones de aproximación son conformes si la variable de campo y sus derivadas hasta la de orden (n-1) son continuas, siendo n el orden de la mayor derivada de la variable de campo dentro de las integrales, lo cual constituye un criterio de que se cumple tal condición.

Cómo se verá posteriormente hay casos, como los elementos placa basados en la teoría Kirchhoff, en que parece violarse esta condición, pero que siguen siendo válidos ya que en el límite (al refinar la malla) se restablece la compatibilidad que es lo que realmente se exige. En estos casos se hablará de elementos no conformes o incompatibles.

8.4.4.8.4.4.8.4.4.8.4.4.---- ISOTROPÍA GEOMÉTRICA ISOTROPÍA GEOMÉTRICA ISOTROPÍA GEOMÉTRICA ISOTROPÍA GEOMÉTRICA

No se podría esperar una buena aproximación a la realidad si la representación de la variable de campo dentro del elemento dependiese de la orientación del sistema de referencia. Por tanto hay que fijar la conveniencia de isotropía geométrica en el polinomio que constituye la función de aproximación, es decir asegurar que este conserve su orden y estructura en cualquier transformación lineal. La condición para que esto ocurra, es que el polinomio sea completo, o bien que al menos no existan términos asimétricos.

Por ejemplo, dos desarrollos admisibles serían:

(8.41)

simétricos, aunque incompleto en la aproximación cuadrática:

(8.42)

CAPÍTULO IXCAPÍTULO IXCAPÍTULO IXCAPÍTULO IX

FUNCIONES DE FORMA DE CONTINUIDAD CFUNCIONES DE FORMA DE CONTINUIDAD CFUNCIONES DE FORMA DE CONTINUIDAD CFUNCIONES DE FORMA DE CONTINUIDAD C0000. ELEMENTOS . ELEMENTOS . ELEMENTOS . ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS.ISOPARAMÉTRICOS.ISOPARAMÉTRICOS.ISOPARAMÉTRICOS.

9.1.- INTRODUCCIÓN.

En los capítulos anteriores se ha presentado la formulaci⌠n general del Método de los Elementos Finitos así como explicado la forma en que se podrán utilizar polinomios como funciones de interpolaci⌠n y los criterios de convergencia.

Aunque se introdujeron ideas de tipo general sobre la forma de los elementos, número de nodos, número y tipo de variable nodales, grado de los polinomios de interpolaci⌠n, etc., los cálculos se realizaron sobre elementos triangulares con funciones de forma lineales. Pues bien, en este Capítulo se pretende profundizar algo sobre la elecci⌠n de elementos de formas distintas y con mayor número de nodos, con lo que esto supone de generaci⌠n de funciones de forma de grado mayor.

El procedimiento presentado para la obtenci⌠n de los polinomios de interpolaci⌠n (ver punto 3.1 del capítulo anterior), si bien resulta conceptualmente sencillo, presenta problemas importantes, puesto que es posible que no exista la matriz inversa de [A] (ver 8.8.) y en general para cualquier geometría del elemento siempre se encuentran dificultades algebraicas para realizar esta inversi⌠n. Por tanto es de gran interés plantearse c⌠mo escribir directamente las funciones de interpolaci⌠n, para lo que es preciso resaltar alguna de sus propiedades.

Así, si examinamos de nuevo la expresi⌠n (7.17), que por comodidad reproducimos aquí:

al particularizar los valores de las funciones de forma Ni para los nodos (se puede ver por ejemplo en la expresi⌠n 8.12), se verifica que:

en el nodo i y nula en todos los demás.

FIGURA 9.1

Como por criterios de continuidad se deben mantener las formas de variaci⌠n sobre el contorno, las funciones de forma podrían obtenerse como producto de las funciones utilizadas en el mismo. Así por ejemplo en la figura 9.1 se presentan las funciones de forma de dos nodos de un elemento con seis nodos (variaci⌠n lineal en x, y parab⌠lica en y) lo que pone en evidencia que stas se podrían escribir directamente como producto de una funci⌠n lineal adecuada en x y una parab⌠lica en y.

A lo largo del capítulo nos centraremos fundamentalmente en elementos mono y bidimensionales, aludiendo en algunos casos como generalizaci⌠n a los elementos tridimensionales.

Por otra parte las mayores o menores complejidades no deben hacer perder de vista que una vez elegido el elemento ( con todo lo que ello supone y que ya se coment⌠ en el capítulo 2), las operaciones a realizar siguen la metodología general establecida anteriormente.

El capítulo termina con el estudio de los elementos isoparamtricos, cuya idea fundamental consiste en interpolar las coordenadas y variables de campo dentro del elemento usando las mismas funciones de forma, concepto que abre un amplio campo de posibilidades para la representaci⌠n de geometrías arbitrarias.

9.2.- COORDENADAS NATURALES

Se va a comenzar con el estudio de la transformaci⌠n a coordenadas normalizadas, ya que resulta conveniente para la formulaci⌠n posterior trabajar con este tipo de coordenadas, tal y como se pondrá de manifiesto a lo largo del capítulo. La idea es que la obtenci⌠n de las funciones de forma se realiza sobre una geometría normalizada en lugar de la real, lo que resulta mucho mas práctico.

9.2.1 ELEMENTOS MONODIMENSIONALES.

Para elementos monodimensionales las transformaci⌠n del sistema global de coordenadas, en el que para simplificar la barra se ha colocado en direcci⌠n x (ver figura 9.2), a un sistema intrínseco al elemento, que llamamos natural, en la variable ξ que verifica:

(9.1)

se consigue evidentemente mediante:

(9.2)

es decir, que:

(9.3)

Expresi⌠n que podría escribirse de la forma:

(9.4)

en la que:

son las funciones lineales representadas en la figura 9.2

FIGURA 9.2

9.2.- COORDENADAS NATURALES

Se va a comenzar con el estudio de la transformaci⌠n a coordenadas normalizadas, ya que resulta conveniente para la formulaci⌠n posterior trabajar con este tipo de coordenadas, tal y como se pondrá de manifiesto a lo largo del capítulo. La idea es que la obtenci⌠n de las funciones de forma se realiza sobre una geometría normalizada en lugar de la real, lo que resulta mucho mas práctico.

9.2.1 ELEMENTOS MONODIMENSIONALES.

Para elementos monodimensionales las transformaci⌠n del sistema global de coordenadas, en el que para simplificar la barra se ha colocado en direcci⌠n x (ver figura 9.2), a un sistema intrínseco al elemento, que llamamos natural, en la variable ξ que verifica:

(9.1)

se consigue evidentemente mediante:

(9.2)

es decir, que:

(9.3)

Expresi⌠n que podría escribirse de la forma:

(9.4)

en la que:

son las funciones lineales representadas en la figura 9.2

FIGURA 9.2

9.2.2.- ELEMENTOS BIDIMENSIONALES.

9.2.2.1.- Elementos Rectangulares.

Para elementos rectangulares como el indicado en la figura 9.3, se suele realizar la transformaci⌠n a un cuadrado en el que:

(9.5)

FIGURA 9.3

De forma análoga a la anterior, la transformaci⌠n se consigue mediante:

(9.6)

es decir:

(9.7)

que verifican:

9.2.2.- ELEMENTOS BIDIMENSIONALES.

9.2.2.1.- Elementos Rectangulares.

Para elementos rectangulares como el indicado en la figura 9.3, se suele realizar la transformaci⌠n a un cuadrado en el que:

(9.5)

FIGURA 9.3

De forma análoga a la anterior, la transformaci⌠n se consigue mediante:

(9.6)

es decir:

(9.7)

que verifican:

9.2.2.2.- Elementos Triangulares.

Consideremos el triángulo de la figura 9.4 definido por los vectores de sus vértices respecto a un sistema global xy.

Un punto P(x,y) del interior define tres vectores que al ser coplanarios son linealmente dependientes, es decir:

(9.8)

de la que despejando y llamando:

(9.9)

FIGURA 9.4

Cada punto interior se puede definir en funci⌠n de los nodos mediante tres

coordenadas

(9.10)

que como se ha visto son dependientes:

(9.11)

Las ecuaciones (9.10) y (9.11) se pueden escribir matricialmente como:

(9.12)

de las que se pueden obtener

(9.13)

en las que A es el ⟨rea del triángulo y 2A el determinante:

Como se puede deducir de (9.13):

(9.14)

Otra interpretaci⌠n que a veces se da, y que resulta fácilmente deducible de (9.13), es que cada ξi es el ⟨rea relativa definida entre el punto P y el lado opuesto al vértice i, es decir:

(9.15)

que se pueden ver en la figura (9.4a), raz⌠n por la que también se llaman areolares a estas coordenadas.

De todo lo anterior podemos deducir ( ver figura 9.4b):

a) que el campo de variación de las es <0,1>.

b) que las cotas de dicho campo se dan en vértices y lados opuestos.

c) las líneas de nivel de cada ξi son paralelas a los lados opuestos al vértice i.

9.3.- FAMILIAS DE FUNCIONES DE FORMA DE CONTINUIDAD Co

De acuerdo con las condiciones de convergencia establecidas en el punto 4 del capítulo anterior, se llaman funciones de forma de continuidad Co aquellas en que:

a) Las inc⌠gnitas deben presentar continuidad interelemental, no siendo necesaria la continuidad de las derivadas primeras.

b) Dentro del elemento se debe utilizar polinomios al menos lineales (primera derivada constante).

Como se habrá apreciado, estos son los criterios de convergencia que deben satisfacer las funciones de forma para poder ser utilizadas al formular problemas de elasticidad lineal, es decir; en los que el orden de la mayor derivada que aparece en las integrales del campo es uno.

A continuaci⌠n se van a generar funciones de interpolaci⌠n de grado creciente por lo que las familias de elementos presentarán progresivamente un número mayor de grados de libertad.

9.3.1.- ELEMENTOS MONODIMENSIONALES

Como se ha visto en el capítulo 7 (7.17), los desplazamientos a lo largo de la barra se puede expresar en funci⌠n de los desplazamientos nodales como:

(9.16)

que para el caso de utilizaci⌠n de funciones de interpolaci⌠n lineales presenta una total analogía con (9.4) y por tanto (9.3). Por tanto, para interpolar los desplazamientos se pueden usar las funciones, expresadas en coordenadas naturales, siguientes:

(9.17)

En el caso de que se desee utilizar funciones de interpolaci⌠n de grado dos, es decir parab⌠lica, o dicho de otra forma, las funciones de interpolación para elementos barra de tres nodos, se pueden generar fácilmente a partir de las lineales (9.17) de la forma que se indica a continuaci⌠n.

La parábola que cumple las condiciones de ser igual a cero para ξ = ± 1, e igual a uno para ξ =0 ( ver figura 9.5) es (1-ξ 2) , siendo esta la funci⌠n de interpolaci⌠n:

(9.18)

Las otras dos funciones se pueden formar superponiendo a las funciones lineales una parábola de forma que:

- la N1 sea cero para ξ =0 y ξ =1Ψ a la funci⌠n lineal N1 (9.17) se le resta 1/2N3 .

- la N2 sea cero para ξ =0 y ξ =-1Ψ a la funci⌠n lineal N2 (9.17) se le resta 1/2N3 .

tal y como puede verse en la figura 9.5.

FIGURA 9.5

De forma análoga se podrán ir generando las funciones de interpolaci⌠n a medida que se aumenta el número de nodos del elemento. Así, la adici⌠n de un nuevo nodo supone introducir una nueva funci⌠n de interpolaci⌠n y aplicar una correcci⌠n a las funciones de interpolaci⌠n existentes.

Por ejemplo las funciones de interpolaci⌠n correspondientes a un elemento barra con cuatro nodos (ξ =-1; ξ =-1/3; ξ =1/3; ξ =1) son:

(9.19)

9.3.2.- ELEMENTOS BIDIMENSIONALES.

Al igual que antes, se van a distinguir dos casos, elementos rectangulares y elementos triangulares.

9.3.2.1.- Elementos Rectangulares.

Para el caso de elementos rectangulares caben dos enfoques, la familia de Lagrange y la familia de Serendip.

a) Familia de Serendip.

El procedimiento de generaci⌠n de funciones de interpolaci⌠n descrito en el punto anterior se puede generalizar para dos dimensiones (también lo será para tres) mediante el producto de las funciones de forma en las dos variables ξ y η correspondientes a los lados del elemento.

FIGURA 9.6

A continuaci⌠n se obtienen estas funciones para los primeros elementos de esta familia, pudiéndose apreciar el aumento del número de nodos al avanzar en la generaci⌠n. Además se ha dibujado el triángulo de Pascal correspondiente, pudiéndose observar como solo se generan polinomios completos hasta el tercer grado, siendo necesario de allí en adelante recurrir a nodos internos o variables anodales, para preservar la complitud.

FIGURA 9.7

De manera análoga se puede generar el elemento serendipito de doce nodos, tal y como se indica a continuaci⌠n (figura 9.8). El triángulo de Pascal para el caso de la figura 9.8, pone de manifiesto que el máximo polinomio completo es de grado tres.

FIGURA 9.8

En general el triángulo de Pascal para un elemento con (n+1) * (n+1) nodos, es el indicado en la figura 9.9 ya que esta forma de generar nuevas funciones de interpolaci⌠n supone utilizar elementos del orden deseado en el contorno (una de las variables) y multiplicar por una variaci⌠n lineal de la variable contraria.

FIGURA 9.9

En el caso de añadir más nodos, tal y como se indica el triángulo de Pascal incluido en la misma figura 9.9, se puede ver que no es posible aumentar el grado del mayor polinomio completo sin colocar un nodo interior.

b) Familia de Lagrange.

Como se recordar⟨ los polinomios de Lagrange de grado n de valor

unidad en se obtienen:

(9.24a)

Es decir, los polinomios de Lagrange toman un determinado valor en un punto (ξ =ξ k) y cero en un conjunto de puntos() y cero en un conjunto de puntos (ξ =ξ i ∀ ik), por lo que es fácil normalizar a la unidad, con el divisor de (9.24a) y hacer coincidir los puntos en que es nulo con los nodos del elemento.

O también por:

(9.24b)

Por tanto en dos dimensiones y para igual número de nodos en cada lado:

(9.25)

siendo y las coordenadas del nodo I.

Por ejemplo en el caso de variaci⌠n lineal en ambas direcciones:

(9.26)

FIGURA 9.10

En la figura 9.10 se indica c⌠mo serían los elementos al ir aumentando el grado de los polinomios; pudiéndose apreciar en los triángulos de Pascal correspondientes, que el número de términos de grado superior al polinomio completo conseguido es muy elevado, presentando los elementos numerosos nodos internos, raz⌠n por la que, aunque fáciles de generar, estos elementos no resultan muy útiles.

9.3.2.- ELEMENTOS BIDIMENSIONALES.

Al igual que antes, se van a distinguir dos casos, elementos rectangulares y elementos triangulares.

9.3.2.1.- Elementos Rectangulares.

Para el caso de elementos rectangulares caben dos enfoques, la familia de Lagrange y la familia de Serendip.

a) Familia de Serendip.

El procedimiento de generaci⌠n de funciones de interpolaci⌠n descrito en el punto anterior se puede generalizar para dos dimensiones (también lo será para tres) mediante el producto de las funciones de forma en las dos variables ξ y η correspondientes a los lados del elemento.

FIGURA 9.6

A continuaci⌠n se obtienen estas funciones para los primeros elementos de esta familia, pudiéndose apreciar el aumento del número de nodos al avanzar en la generaci⌠n. Además se ha dibujado el triángulo de Pascal correspondiente, pudiéndose observar como solo se generan polinomios completos hasta el tercer grado, siendo necesario de allí en adelante recurrir a nodos internos o variables anodales, para preservar la complitud.

FIGURA 9.7

De manera análoga se puede generar el elemento serendipito de doce nodos, tal y como se indica a continuaci⌠n (figura 9.8). El triángulo de Pascal para el caso de la figura 9.8, pone de manifiesto que el máximo polinomio completo es de grado tres.

FIGURA 9.8

En general el triángulo de Pascal para un elemento con (n+1) * (n+1) nodos, es el indicado en la figura 9.9 ya que esta forma de generar nuevas funciones de interpolaci⌠n supone utilizar elementos del orden deseado en el contorno (una de las variables) y multiplicar por una variaci⌠n lineal de la variable contraria.

FIGURA 9.9

En el caso de añadir más nodos, tal y como se indica el triángulo de Pascal incluido en la misma figura 9.9, se puede ver que no es posible aumentar el grado del mayor polinomio completo sin colocar un nodo interior.

b) Familia de Lagrange.

Como se recordar⟨ los polinomios de Lagrange de grado n de valor

unidad en se obtienen:

(9.24a)

Es decir, los polinomios de Lagrange toman un determinado valor en un punto (ξ =ξ k) y cero en un conjunto de puntos() y cero en un conjunto de puntos (ξ =ξ i ∀ ik), por lo que es fácil normalizar a la unidad, con el divisor de (9.24a) y hacer coincidir los puntos en que es nulo con los nodos del elemento.

O también por:

(9.24b)

Por tanto en dos dimensiones y para igual número de nodos en cada lado:

(9.25)

siendo y las coordenadas del nodo I.

Por ejemplo en el caso de variaci⌠n lineal en ambas direcciones:

(9.26)

FIGURA 9.10

En la figura 9.10 se indica c⌠mo serían los elementos al ir aumentando el grado de los polinomios; pudiéndose apreciar en los triángulos de Pascal correspondientes, que el número de términos de grado superior al polinomio completo conseguido es muy elevado, presentando los elementos numerosos nodos internos, raz⌠n por la que, aunque fáciles de generar, estos elementos no resultan muy útiles.

9.3.2.2.- Elementos Triangulares.

Como se puede apreciar al comparar 9.13 con 8.13 las coordenadas ξ 1 en el caso de elementos triangulares, son precisamente las funciones de interpolaci⌠n Ni de:

para el caso lineal, por lo que se comprender⟨ lo ya indicado sobre la utilidad de un sistema de coordenadas de este tipo para la generaci⌠n de las funciones de interpolaci⌠n.

- Elemento lineal.

De lo indicado anteriormente, las funciones de forma son:

N1 =ξ 1

N2 =ξ 2

N3 =ξ 3

(9.27)

FIGURA 9.11

- Elemento cuadrático.

Un polinomio completo de segundo grado tiene seis términos y como se tienen dos valores de la variable de campo (u,v), hay doce constantes a determinar, por tanto se necesitan seis nodos.

FIGURA 9.12

Las funciones de interpolaci⌠n se pueden generar de forma análoga a la indicada en el punto 3.2.1. (a). Así, N4 es:

(9.28)

que es una parábola sobre el lado ξ 3=0 y cero en los lados ξ 1=0, =0, ξ 2=0 ( ver figura 9.12).

De la misma forma:

(9.29)

Sumando los valores adecuados, tal como se puede ver en la figura 9.12 para la N1 , se tiene:

(9.30)

y teniendo en cuenta que como habíamos indicado 9.11 las coordenadas son dependientes, sustituyendo en 9.30 se obtiene:

y análogamente:

(9.31)

En este momento hay que destacar c⌠mo el número de grados de libertad (2 x 6 = 12) coincide con el número de constantes necesarias para la utilizaci⌠n de polinomios completos de segundo grado:

(9.32)

con unas expresiones muy sencillas para las funciones de forma Ni gracias a la utilizaci⌠n de coordenadas naturales.

- Elemento cúbico.

Un polinomio cúbico completo tiene diez términos y razonando de forma análoga al caso anterior, necesitaríamos diez nodos, pero puesto que una variaci⌠n cúbica en el contorno se consigue con cuatro nodos por lado, ser⟨ necesario un nodo interior. En la figura 9.13 se puede ver un elemento de este tipo, así como las funciones de interpolaci⌠n correspondientes a los nuevos nodos.

FIGURA 9.13

Funciones de interpolaci⌠n:

Otra forma de generar en el caso de triángulos las funciones de forma es la siguiente:

Si el nodo i se representa mediante tres números correspondientes a sus tres coordenadas triangulares:

(9.33)

la funci⌠n de forma Ni , puede escribirse como:

(9.34)

donde:

(9.35)

siendo n el orden del triángulo.

EJEMPLO 1.-

Para el triángulo cúbico (n=3), en el cuarto nodo:

FIGURA 9.14

Los números correspondientes a las tres coordenadas triangulares y los valores de L son:

Luego:

NOTA:

Como se puede imaginar, al calcular las matrices de los elementos no encontraremos integraciones sobre el ⟨rea del elemento definidas en funci⌠n de las coordenadas naturales, por lo que es útil la siguiente expresi⌠n:

(9.36)

siendo Ω el ⟨rea del triángulo.

EJEMPLO 2.-

La transformaci⌠n del cuadrilátero estándar de nodos (-1,-1), (1,-1), (1,1) y (-1,1) en el elemento de nodos (0,0), (1,0),(2,2) y (0,1) representado en la figura 9.15, viene dada por:

donde las N1, N2, N3 y N4 vienen dadas por (9.20).

FIGURA 9.15

El jacobiano de la transformaci⌠n es:

que es siempre positivo ya que:

y por tanto la transformaci⌠n es admisible.

EJEMPLO 3.-

La transformaci⌠n del mismo elemento del ejemplo anterior en el elemento de nodos (1,1), (2,2), (3,0) y (3,5) representado en la Figura 9.16, sin embargo no es posible, ya que el jacobiano de la transformaci⌠n no es siempre positivo.

FIGURA 9.16

El jacobiano de la transformaci⌠n es:

que se anula para:

Lo que pone de manifiesto una idea de carácter general respecto al inconveniente de no poder encontrar trasformaciones para elementos con algún ángulo interior mayor de 1801, por lo que su uso no es aconsejable.

EJEMPLO 4.-

Calcular la matriz de rigidez [K] para un elemento rectangular como el indicado en la figura 9.17 con interpolaci⌠n lineal para un caso de tensi⌠n plana.

FIGURA 9.17

La transformaci⌠n a coordenadas naturales es (ver 9.6):

por tanto:

y el elemento diferencial de ⟨rea es:

Las funciones de interpolaci⌠n de los desplazamientos (variables de campo) lineales son:

donde:

Lo primero que hay que hacer es calcular la matriz [B]. Así:

es decir que:

Siendo:

Al sustituir en la expresi⌠n obtenida anteriormente para [B]:

Por tanto:

Lo anterior se podría plantear de forma más sistemática:

Por tanto, como los valores que necesitamos para calcular [B] aparecen en el segundo miembro, despejando:

que son las mismas expresiones obtenidas anteriormente.

NOTA:

Si se hubiera utilizado un elemento de orden superior, la única modificaci⌠n consistiría en las Ni , en el caso cúbico por ejemplo habría Ni ( i = = 1,...,8):

Pero seguiría siendo igual [J]-1 , es decir, que con los nuevos valores de Ni , se calcularía:

9.4.- ELEMENTOS ISOPARAM⊃⊃⊃⊃TRICOS. INTEGRACIÓN NUMÉRICANUMÉRICANUMÉRICANUMÉRICA

Hasta ahora se ha visto c⌠mo hay que conocer relaciones explícitas entre las coordenadas cartesianas y naturales que permitan evaluar términos como ∂ ξ / ∂ x, ∂ ξ /∂ y, ∂ η /∂ x, ∂ η /∂ y; es decir se han definido algunos casos de transformaciones a coordenadas naturales. Pero estas ideas básicas pueden ser ampliadas; así por ejemplo, en el caso de cuadriláteros bidimensionales como el indicado en la figura 9.18, se puede hacer una aplicaci⌠n entre las coordenadas cartesianas y las naturales de un cuadrado.

FIGURA 9.18

Como se puede ver fácilmente, una transformaci⌠n adecuada es:

(9.37)

que al ser comparadas con 9.20, conduce a la idea de expresar la geometría mediante la funciones de forma, pudiéndose escribir 9.37 como:

(9.38)

expresi⌠n que tiene una enorme semejanza con la forma de interpolar las variables de campo 9.20 en el caso lineal:

(9.39)

De hecho, la idea es que se está definiendo la geometría con las mismas funciones de forma que la variable de campo, a partir de las coordenadas de unos puntos conocidos.

La extensi⌠n inmediata es que en el caso de funciones de forma de orden superior se podrá también interpolar la geometría con las mismas funciones, ya que se dispone de los nodos necesarios, y puesto que se utilizan los mismos parámetros para definir la geometría y la variable de campo, a estos elementos se les denomina isoparamtricos. Este tipo de elementos pues, tiene la ventaja de que con ellos se podrán aproximar contornos curvilíneos.

Se podría dar el caso de que no coincidan los nodos utilizados para interpolar el campo de desplazamientos y la geometría. Así, sea cual sea la interpolaci⌠n utilizada para los desplazamientos, problemas con geometría muy complejas puede que exijan polinomios de grado elevado para su aproximaci⌠n frente a las exigencias mínimas l⌠gicas en las geometrías sencillas. Por tanto, se hablar⟨ de elementos superparamtricos para el caso de que los polinomios utilizados para interpolar la geometría del elemento sea de mayor grado que los utilizados para la interpolaci⌠n de las variables de campo y subparamtricas en caso contrario.

FIGURA 9.19

El desarrollo de la idea de elemento isoparamtrico en la formulaci⌠n que se incluye a continuaci⌠n permitir⟨ apreciar el interés, señalado al comienzo del capítulo, que tiene la utilizaci⌠n de las coordenadas naturales.

9.4.1.- CALCULO DE LAS MATRICES ELEMENTALES.

Ya se ha indicado anteriormente (7.24 a 7.26) la forma de las matrices elementales, siendo el primer problema para su aplicaci⌠n al caso de elementos isoparamétricos la obtenci⌠n de la matriz [B].

Para mayor generalidad se va a plantear el problema en tres dimensiones ya que la aplicaci⌠n a dos dimensiones es inmediata. Así pues, ya que la matriz [B], como se sabe de 7.20, es:

(9.40)

donde [D] es un operador diferencial de primer orden para problemas de elasticidad,

(9.41)

por lo que se puede expresar [B] para un elemento genérico de n nodos como:

(9.42)

en la que la matriz de deformaci⌠n del nodo i es de la forma:

(9.43)

es pues necesario expresar las derivadas con respecto a x, y, z en funci⌠n de las derivadas respecto de las coordenadas naturales ( ξξξξ , ηηηη , ζζζζ ) en que se expresan las funciones de forma.

Como es conocido, la derivada de una funci⌠n Ni (x,y,z), en la que las variables x, y, z son a su vez funci⌠n de ξξξξ , ηηηη , ζζζζ , con relaci⌠n a una de estas últimas variables, por ejemplo ξ , es:

(9.44)

que para las tres coordenadas naturales, se puede expresar matricialmente como:

(9.45)

en la que tanto el primer miembro como la matriz jacobiana [J] son conocidos. Por tanto, y siempre que el determinante jacobiano sea distinto de cero para que la matriz jacobiana sea invertible, se puede obtener:

(9.46)

que es la relaci⌠n que se deseaba obtener, ya que con ella se pueden calcular todos los términos de 9.43 y por tanto de la matriz [B].

La matriz jacobiana se puede obtener, sabiendo que:

(9.47)

(9.48)

donde las funciones de forma que definen la transformaci⌠n de coordenadas, que en general podrán ser diferentes de las utilizadas para interpolar las variables de campo (9.39), en este caso coinciden por tratarse de un elemento isoparamtrico.

Por otra parte, además de la transformaci⌠n anterior, en cualquier caso el elemento sobre el que se realiza la integraci⌠n deber⟨ expresarse en coordenadas naturales cambiando los límites de integraci⌠n y el elemento diferencial de volumen es:

(9.49)

resultando, en elementos hexaédricos, para la matriz de rigidez:

(9.50)

En el caso estático, de la ecuaci⌠n 7.28 an hay que calcular las matrices de cargas nodales consistentes [P] y la de cargas nodales iniciales [Po]. Actuando de forma análoga al caso de la matriz de rigidez se llega a:

(9.51)

Para las cargas nodales equivalentes debidas a las fuerzas de volumen (ver 7.26), ni siquiera es necesario tener en cuenta la primera transformaci⌠n para obtener:

(9.52)

Lo mismo ocurre con el vector de cargas debidas a las fuerzas de superficie, aunque en este caso merece la pena concretar algo más. Así, vamos a presentar el caso de que actúe sobre la cara situada en ζ = +1 una fuerza normal por unidad de superficie de valor t, como se puede ver en la figura 9.20.

El vector unitario n, normal a la superficie se obtiene como producto vectorial de los vectores tangentes a las líneas ξξξξ = ηηηη = Cte en ζ = +1, dividido por su m⌠dulo que como se sabe corresponde al diferencial de ⟨rea dA.

(9.53)

FIGURA 9.20

donde se puede ver que los términos que intervienen corresponden a las dos primeras filas de la matriz Jacobiana.

Por tanto, sustituyendo los valores de 9.53 en el segundo término de 7.26, se obtiene:

(9.54)

Donde los valores de las funciones de forma Ni están particularizados para ζζζζ = + 1.

En el caso de elementos tetraédricos, utilizando coordenadas de volumen, la formulaci⌠n es idéntica a la presentada, pero las funciones de forma son ahora:

donde las ξξξξ i corresponden a coordenadas de volumen definidas de manera análogas a las coordenadas de ⟨rea explicadas anteriormente.

Si se hace ahora el cambio de variables:

(9.55)

es decir; a unas coordenadas que, como se puede ver en la figura 9.21 definen un elemento tetraédrico con caras formadas por los planos α 0 = γ , 0 = β , 0 = ψ α 1 = γ + β + , la matriz de rigidez del elemento tetraédrico isoparamtrico es de la forma:

(9.56)

9.4.2.- INTEGRACIÓN NUMÉRICA.

En general, salvo los casos más simples, no es posible calcular la inversa de la matriz jacobiana y realizar la integraci⌠n algebraicamente, por lo que es necesario recurrir a la integraci⌠n numérica.

Así, simplificando al máximo las ideas, ya que el detalle de los fundamentos matemáticos quedan fuera de los objetivos de este libro, para calcular la ecuaci⌠n 9.50, se evalúa la cantidad subintegral:

(9.57)

en los puntos ξ i η j ζ k conocidos del interior del intervalo y con los coeficientes de ponderaci⌠n ω i ω j ω k correspondientes, se expresa el valor de dicha integral como suma de los productos de dichos valores.

Así, para el caso de elementos hexaédricos:

(9.58)

En la figura 9.22 se incluyen las abscisas y coeficientes de ponderaci⌠n para la cuadratura de Gauss.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

± a ω

n = 1

0 2.00000 00000 00000

n = 2

0.57735 02691 89626 1 .00000 00000 00000

n = 3

0.77459 66692 41483

0.00000 00000 00000

0.55555 55555 55555

0.88888 88888 88889

n = 4

0.86113 63115 94053

0.33998 10435 84856

0.34785 48451 37454

0.65214 51548 62546

n = 5

0.90617 98459 38664

0.53846 93101 05683

0.00000 00000 00000

0.23692 68850 56189

0.47862 86704 99366

0.56888 88888 88889

n = 6

0.93246 95142 03152

0.66120 93864 66265

0.23861 91860 83197

0.17132 44923 79170

0.36076 15730 48139

0.46791 39345 72691

n = 7

0.94910 79123 42759

0.74153 11855 99394

0.40584 51513 77397

0.00000 00000 00000

0.12948 49661 68870

0.27970 53914 89277

0.38183 00505 05119

0.41795 91836 73469

n = 8

0.96028 98564 97536

0.79666 64774 13627

0.52553 24099 16329

0.18343 46424 95650

0.10122 8536290376

0.22238 10344 53374

0.31370 66458 77887

0.36268 37833 78362

n = 9

0.96816 02395 07626

0.83603 11073 26636

0.61337 14327 00590

0.32425 34234 03809

0.00000 00000 00000

0.08127 43883 61574

0.18064 81606 94857

0.26061 06964 02935

0.31234 70770 40003

0.33023 93550 01260

FIGURA 9.22

Como es natural, existen y son utilizables otras reglas de integración numérica, debiendo el lector interesado en profundizar en el tema consultar bibliografía más especializada.

Para elementos triangulares y tetraédricos en que se utilicen coordenadas de volumen, se tienen respectivamente:

(9.59a)

(9.59b)

donde para algunos casos los coeficientes de ponderación y pesos de la cuadratura de Gauss se pueden ver en la tabla de la figura 9.23.

TRIANGULARESTRIANGULARESTRIANGULARESTRIANGULARES

PRECISIPRECISIPRECISIPRECISINNNN PUNTO ξ1 ξ2 ξ3 ωi

LINEAL 1 1/3 1/3 1/3 1/2

CUADRÁTICA 1 1/2 1/2 0 1/6

2

3

0

1/2

1/2

0

1/2

1/2

1/6

1/6

CÚBICA 1

2

3

4

1/3

0.6

0.2

0.2

1/3

0.2

0.6

0.2

1/3

0.2

0.2

0.6

-27/96

25/96

25/96

25/96

FIGURA 9.23 a

TETRAÉDRICOSTETRAÉDRICOSTETRAÉDRICOSTETRAÉDRICOS

PRECISIÓNPRECISIÓNPRECISIÓNPRECISIÓN PUNTO ξ1 ξ2 ξ3 ξ4 ωI

LINEAL 1 1/4 1/4 1/4 1/4 1/6

CUADRÁTICA 1

2

3

4

α

β

β

β

β

α

β

β

β

β

α

β

β

β

β

α

1/24

1/24

1/24

1/24

CÚBICA 1

2

3

4

5

1/4

1/3

1/6

1/6

1/6

1/4

1/6

1/3

1/6

1/6

1/4

1/6

1/6

1/3

1/6

174

1/6

1/6

1/6

1/3

-2/15

3/40

3/40

3/40

3/40

α = 0.58541020 β = 0.13819660

FIGURA 9.23 b

Como se ha indicado anteriormente, al utilizar la integración numérica en lugar de la exacta, se introduce un error adicional que deberá reducirse. Si como parece lógico el coste de la integración numérica puede ser considerable, tiene interés determinar los requisitos de integración numérica que facilita la convergencia y los necesarios para que se preserve el orden de convergencia que se obtendría en el caso de realizar la integral analíticamente. Algunos de los valores aconsejados por Bathe se puedan ver la figura 9.24.

FIGURA 9.24

9.4.3.9.4.3.9.4.3.9.4.3.---- CONDICIONES DE CONVERGENCIA CONDICIONES DE CONVERGENCIA CONDICIONES DE CONVERGENCIA CONDICIONES DE CONVERGENCIA

Se recordará del punto cuatro del capítulo anterior que estas condiciones para la convergencia son la compatibilidad interelemental y la complitud.

Para que se cumpla la primera, es necesaria la continuidad de la variable de campo entre elementos, lo cual está asegurado si los elementos adyacentes tienen los mismos nodos en el contorno común.

En cuanto a la complitud, como sabemos en el caso de los problemas de elasticidad es necesario utilizar al menos polinomios lineales completos para interpolar las variables de campo, es decir que en general para tres dimensiones:

(9.60)

y los desplazamientos en los nnnn nodos del elementos son:

(9.61)

Como se sabe, en los elementos isoparamétricos:

(9.62)

Sustituyendo 9.61 en 9.62:

(9.63)

Pero en los elementos isoparamétricos las coordenadas se interpolan de la misma forma que los desplazamientos, es decir:

(9.64)

Luego sustituyendo 9.64 en 9.63:

(9.65)

Lo que indica que es necesario que:

(9.66)

para cualquier punto del elemento, lo cual está en el punto de partida de la construcción de las funciones de interpolación que como se recordará se elegían de forma que NNNNiiii = 1 = 1 = 1 = 1 en el nodo iiii siendo cero las demás funciones NNNNjjjj.

EJEMPLO 5.EJEMPLO 5.EJEMPLO 5.EJEMPLO 5.----

Calcular la matriz de rigidez [K][K][K][K] para un elemento cuadrilátero con interpolación lineal de la figura 9.25.

FIGURA 9.25FIGURA 9.25FIGURA 9.25FIGURA 9.25

Transformación isoparamétrica:

(E5.1)

(E5.2)

donde:

Para evaluar la matriz [B][B][B][B] se necesita conocer:

(E5.3)

en la que, teniendo en cuenta (E5.1):

(E5.4a)

(E5.4b)

y análogamente:

Por tanto se puede formar la matriz jacobiana para cualquier punto interior de integración ( punto de Gauss) a partir de los valores interiores.

Así, llamando JJJJijijijij a la matriz jacobiana para un punto ξξξξ iiii ηηηη iiii , de (c)(c)(c)(c) se obtiene:

(E5.5)

Teniendo en cuenta (b)(b)(b)(b) y (e)(e)(e)(e), para el calculo de las deformaciones (y por tanto Bij) se necesitan calcular las siguientes derivadas:

(E5.6)

(E5.7)

Valores con los que se puede obtener [B[B[B[Biiiijjjj]]]], que como se recordará es:

(E5.8)

y la matriz de rigidez es, sumando para todos los puntos de integración:

(E5.9)

Lo anterior, también se podría plantear de forma más sistemática:

a) Se calculan las derivadas de las funciones de interpolación en cada punto ξ i η j , es decir:

b) La matriz jacobiana en el punto ξ i η j es:

es:

c) Se calcula el determinante jacobiano en ξ i η j :

[Jij]

d) Se calcula la inversa de la matriz jacobiana en ξ i η j , que por comodidad vamos a llamar:

e) Con los valores anteriores se puede calcular la matriz [B][B][B][B] en ξ i η j :

sabiendo que:

entonces se podrá formar:

donde:

f) La cantidad subintegral para el cálculo de la matriz de rigidez en el punto ξ i η j es:

g) La matriz de rigidez del elemento se obtiene sumando para todos los puntos de Gauss:

9.5.9.5.9.5.9.5.---- PROGRAMA DE ANÁL PROGRAMA DE ANÁL PROGRAMA DE ANÁL PROGRAMA DE ANÁLISIS DE PROBLEMAS DE TENSIÓN Y ISIS DE PROBLEMAS DE TENSIÓN Y ISIS DE PROBLEMAS DE TENSIÓN Y ISIS DE PROBLEMAS DE TENSIÓN Y DEFORMACIÓN PLANA CON ELEMENTOS CUADRANGULARES DEFORMACIÓN PLANA CON ELEMENTOS CUADRANGULARES DEFORMACIÓN PLANA CON ELEMENTOS CUADRANGULARES DEFORMACIÓN PLANA CON ELEMENTOS CUADRANGULARES ISOPARAMÉTRICOS DE CUATRO NODOS.(Gavete L., Falcón S., Bellido J.)ISOPARAMÉTRICOS DE CUATRO NODOS.(Gavete L., Falcón S., Bellido J.)ISOPARAMÉTRICOS DE CUATRO NODOS.(Gavete L., Falcón S., Bellido J.)ISOPARAMÉTRICOS DE CUATRO NODOS.(Gavete L., Falcón S., Bellido J.)

Dentro del programa general cuyo organigrama se presenta en la figura 9.26 y listado en el punto 9.5.3, únicamente se analizará aquí con cierto detalle la parte correspondiente al estudio sobre cada elemento y los cálculos a realizar en cada punto de integración.

Algoritmo

declarar variables

inicialización , lectura, definición de variables

tratamiento

construir la matriz de rigidez global

resolver el sistema para la obtención de desplazamientos

calcular tensiones, tensiones principales y fuerzas nodales

visualización de resultados

imprimir

dibujar

fin algoritmo

El tratamiento del algoritmo en lo que se refiere al cálculo de la matriz de rigidez y obtención de los desplazamientos, se puede detallar algo mas, así:

construir matriz de rigidez global KS

inicializar KS

Para cada elemento

construir la matriz de rigidez elemental KL

construir la matriz de coordenadas de los 4 nodos del elemento

construir la matriz de constantes elásticas D

Para cada punto de integración PI

leer datos de coordenadas (S, T) y pesos (WS, WT) del PI

calcular el valor de las funciones de forma NL en PI

calcula el valor de las derivadas de las funciones de forma DNL en PI

calcular la matriz jacobiana JACOB

calcular el determinante jacobiano DJACOB

calcular la inversa de la matriz jacobiana IJACOB

calcular la matriz de las derivadas de las NL respecto a las coordenadas cartesianas

calcular las coordenadas cartesianas de PI

construir la matriz de deformación BL en el PI

calcular [BL]T [D] [BL]

multiplicar por DJACOB, WS, WT y espesor

acumular en KL

fin para

actualizar KS con KL

fin para

resolver sistema

aplicar las condiciones de contorno

resolver el sistema de ecuaciones por Gauss para determinar desplazamientos

FIGURA 9.26FIGURA 9.26FIGURA 9.26FIGURA 9.26

9.5.1.9.5.1.9.5.1.9.5.1.---- ESTUDIO PARA CADA ELEMENTO. ESTUDIO PARA CADA ELEMENTO. ESTUDIO PARA CADA ELEMENTO. ESTUDIO PARA CADA ELEMENTO.

Se realiza en el bucle IJK = 1 TO NE. Dentro de este bucle, se deben además realizar una serie de cálculos para cada punto de integración que se detallan más adelante y corresponden a un segundo bucle de PI=1 TO 4 ( ya que tenemos 4 puntos de integración en cada elemento).

Antes de entrar en el bucle PI, se forma la matriz de coordenadas de los nodos del elemento; y también se calcula, en base a los datos, la matriz constitutiva [D][D][D][D].

a) Formación de la matriz de coordenadas de los nodos de cada elemento.

Se tiene una matriz NJ(NE,4)NJ(NE,4)NJ(NE,4)NJ(NE,4), que proporciona para cada elemento, sus cuatro nodos correspondientes. Los elementos de NJNJNJNJ en su fila IJK IJK IJK IJK ( elemento de estudio), son asignados a las variables N1N1N1N1, N2N2N2N2, N3N3N3N3 y N4N4N4N4 respectivamente (debe recordarse que los nodos están situados en sentido antihorario).

Con estos valores, se pasa a formar la matriz de coordenadas del elemento, COOR(2,4)COOR(2,4)COOR(2,4)COOR(2,4), de manera que al primer índice de la matiz, representa la coordenada (X o Y)(X o Y)(X o Y)(X o Y), y el segundo índice, indica el nodo en que estamos situados. Así por ejemplo, en el nodo N1N1N1N1 la coordenada X(N1) X(N1) X(N1) X(N1) es asignada en COOR(1,1)COOR(1,1)COOR(1,1)COOR(1,1) y la coordenada Y(N1)Y(N1)Y(N1)Y(N1) es asignada en COOR(2,1)COOR(2,1)COOR(2,1)COOR(2,1).

b) Formación de la matriz constitutiva [D][D][D][D].

El tipo de material del elemento IJKIJKIJKIJK en estudio se obtiene de Q=ME(IJK) y los datos necesarios para construir la matriz [D] , de la fila Q de la matriz MAT(NMAT,3).

La variable TDTDTDTD define el tipo de problema, así si su valor es 1, se estará ante un caso de tensión plana; y si fuera 2, sería de deformación plana.

9.5.2.9.5.2.9.5.2.9.5.2.---- CÁLCULO PARA CADA PUNTO DE INTEGRACIÓN. CÁLCULO PARA CADA PUNTO DE INTEGRACIÓN. CÁLCULO PARA CADA PUNTO DE INTEGRACIÓN. CÁLCULO PARA CADA PUNTO DE INTEGRACIÓN.

Corresponde a un bucle como se dijo antes PI=1 TO 4PI=1 TO 4PI=1 TO 4PI=1 TO 4.

Debe notarse que antes de comenzar este bucle se pone la variable LLLLLLLL a cero, acción sobre la que se incidirá más adelante.

a) Definición de coordenadas y peso de los PI.PI.PI.PI.

A través de instrucciones IFIFIFIF, según el valor de PIPIPIPI se asignan las coordenadas S S S S y T T T T de cada punto de integración, así como los pesos WSWSWSWS y WTWTWTWT, que valen en este caso 1 para todos los PIPIPIPI.

Debe recordarse que los puntos de integración y los pesos son elegidos según la fórmula de cuadratura de Gauss en base a alcanzar la mayor precisión posible.

La situación de los puntos de integración se pueden ver en la figura 9.27.

FIGURA 9.27FIGURA 9.27FIGURA 9.27FIGURA 9.27

b).- Construcción de [NL][NL][NL][NL] y de las derivadas respecto a las coordenadas transformadas [DNL][DNL][DNL][DNL].

Se calcula el valor de las funciones de forma para cada punto de integración, según unas relaciones conocidas en las que solo se tienen que sustituir los valores de las coordenadas de cada PIPIPIPI. Por ejemplo, la función de forma NNNN1111 es NL(1)NL(1)NL(1)NL(1) y es igual al valor de 0,25 (10,25 (10,25 (10,25 (1----S) (1S) (1S) (1S) (1----T)T)T)T).

Estas funciones de forma definen el desplazamiento de cada PIPIPIPI en función de los desplazamientos de los nodos.

A continuación se calculan los valores que toman las derivadas de las funciones de forma en cada PIPIPIPI respecto a las coordenadas transformadas. Estos valores se introducen en una matriz DNL(2,4)DNL(2,4)DNL(2,4)DNL(2,4), donde el primer índice representa la variable sobre la que se deriva y el segundo índice, indica la función de forma que se está derivando. Así, retomando el ejemplo anterior,

El cálculo de estos valores es necesario para calcular posteriormente los valores de las derivadas cartesianas de las funciones de base.

c).- Construcción de la matriz jacobiana.

Hay tres bucles anidados que calculan los 4 elementos de la matriz jacobiana.

Debe notarse que como para cada PI esta matriz toma valores diferentes, antes de asignar nuevos valores a cada componente, debemos poner a cero los elementos de la matriz.

Así por ejemplo, en el elemento JACOB(1,1), donde el primer índice representa la variable sobre la que están derivadas las sucesivas funciones de base y el segundo la coordenada cartesiana por la cual se multiplica cada valor obtenido anteriormente.

Esta última fórmula se aplica según el bucle K=1 TO 4.

d).- Cálculo del determinante jacobiano.

Es una operación sencilla que consiste en multiplicar JACOB(2,1) * JACOB(1,2).

La variable que toma el valor del jacobiano es DJACOB y se utiliza en el siguiente apartado.

e).- Cálculo de la matriz inversa de la matriz jacobiana.

Se debe mencionar antes de nada que hay un control sobre el programa para que finalice si DJACOB es nulo.

El cálculo de la matriz inversa IJACOBIJACOBIJACOBIJACOB es sencillo; cada elemento de la matriz inversa, adopta el valor de su adjunto dividido por DJACOBDJACOBDJACOBDJACOB. En los elementos (1,2)(1,2)(1,2)(1,2) y (2,1)(2,1)(2,1)(2,1) el signo es negativo.

f).- Cálculo de las derivadas cartesianas [DNG][DNG][DNG][DNG]

Consiste en tres ciclos encadenados en que se realizan la multiplicación de las matrices [IJACOB] y [DNL][IJACOB] y [DNL][IJACOB] y [DNL][IJACOB] y [DNL] para obtener la matriz [DNG][DNG][DNG][DNG] que contiene las derivadas de las funciones de forma respecto a XXXX e YYYY.

Análogamente a como ocurría al calcular la matriz [JACOB][JACOB][JACOB][JACOB], se debe poner a cero cada elemento antes de su cálculo.

El primer ciclo I=1 TO 2I=1 TO 2I=1 TO 2I=1 TO 2 da la variable X X X X o YYYY sobre la que se deriva la función de forma. El segundo ciclo J=1 TO 4J=1 TO 4J=1 TO 4J=1 TO 4 marca la función de forma que se está< derivando. Y finalmente, el ciclo K=1 TO 2K=1 TO 2K=1 TO 2K=1 TO 2 señala la variable SSSS o TTTT sobre la que se ha derivado cada función de base, y también la columna correspondiente de la matriz inversa de la jacobiana. Así se obtiene:

A partir de los valores conocidos de:

Y de la matriz IJACOBIJACOBIJACOBIJACOB. En la sentencia central se realiza:

g).- Coordenadas cartesianas de los puntos de integración.

Consiste en un ciclo de I=1 TO 4I=1 TO 4I=1 TO 4I=1 TO 4 en el que se obtienen los vectores XIXIXIXI e YIYIYIYI con (4xNE)(4xNE)(4xNE)(4xNE) elementos cada uno. Para el cálculo se utilizan las funciones de forma NLNLNLNL y las coordenadas de los nodos del elemento dadas por la matriz COOR.COOR.COOR.COOR.

Para elemento IJKIJKIJKIJK, hay pues que calcular 4 valores de XIXIXIXI y otros tantos de YIYIYIYI, por lo que en cada ciclo se tiene desde la coordenada (IJK*4(IJK*4(IJK*4(IJK*4----4+1)4+1)4+1)4+1) hasta la coordenada (IJK*4)(IJK*4)(IJK*4)(IJK*4).

Las operaciones realizadas representan:

Siendo NLNLNLNL las funciones de forma en cada punto de integración y xxxx1111,... e y,... e y,... e y,... e y1111 , , , , yyyy2222,...,...,...,... las coordenadas cartesianas de los nodos. Así

h).- Construcción de la matriz [BL][BL][BL][BL] en cada punto de integración.

Esta matriz [BL][BL][BL][BL], es de dimensiones (3x8)(3x8)(3x8)(3x8) y hay que diferenciar 4 bloques de (3x2)(3x2)(3x2)(3x2), en cada uno de los cuales, se tienen las derivadas respecto a XXXX e YYYY de cada función de forma. Estos valores están ya calculados en el apartado f), donde se ha obtenido la matriz (DNG)(DNG)(DNG)(DNG).

Para el cálculo hay un ciclo de I=1 TO 4I=1 TO 4I=1 TO 4I=1 TO 4 de manera que para cada IIII, se toma cada uno de los valores de DNGDNGDNGDNG correspondientes a una determinada función de forma. Se utilizan además 2 variables auxiliares NGNGNGNG y MGMGMGMG, la primera da las columnas pares de la matriz [BL][BL][BL][BL], mientras que la segunda proporciona las columnas impares. Así se tiene el siguiente esquema de [BL][BL][BL][BL]:

i).- Determinación del producto [D] [BL] y su almacenamiento en [ST] para el cálculo posterior de tensiones.

Así la matriz [ST][ST][ST][ST] tiene (3,8 * PI, NE)(3,8 * PI, NE)(3,8 * PI, NE)(3,8 * PI, NE). Esto da lugar a una matriz como la dibujada en la figura 9.28

FIGURA 9.28FIGURA 9.28FIGURA 9.28FIGURA 9.28

Se debe recordar ahora que se había dispuesto una variable LLLLLLLL que se pondrá a cero para cada elemento estudiado. En la primera sentencia del bloque se hace que LLLLLLLL tome el mismo valor que PI.

Para explicar como se origina esta matriz, lo mejor es situarse en un elemento IJK IJK IJK IJK en concreto:

Hay un primer ciclo I=1 TO 3I=1 TO 3I=1 TO 3I=1 TO 3 que indica el número de fila calculada.

El segundo bucle, de J=(8*LL J=(8*LL J=(8*LL J=(8*LL ---- 7) TO (8*LL) 7) TO (8*LL) 7) TO (8*LL) 7) TO (8*LL), marca la situación de las columnas, de manera que cuando LL=1LL=1LL=1LL=1 ( es decir, cuando estamos en el primer punto de integración) entonces J J J J vale de 1111 hasta 8888; si LL=2,J LL=2,J LL=2,J LL=2,J, J varía de 9 hasta 16,; si LL=3LL=3LL=3LL=3, entonces JJJJ está entre 17 y 24; y finalmente con LL=4LL=4LL=4LL=4, JJJJ se sitúa entre 25 y 32.

Con lo anterior se puede observar que en cada matriz [ST][ST][ST][ST] hay cuatro bloques de manera que cada uno representa la matriz [ST] [ST] [ST] [ST] calculada para cada PIPIPIPI en cada elemento IJKIJKIJKIJK.

En [BL][BL][BL][BL], el segundo índice siempre esta entre 1 y 8 ya que por encima de 8 no hay ningún componente.

j).- Cálculo de los elementos de la matriz de rigidez [KL][KL][KL][KL]

También hay en este caso tres bucles.

La matriz [KL][KL][KL][KL], es similar a la [ST][ST][ST][ST], pero de dimensiones (8,8,NE)(8,8,NE)(8,8,NE)(8,8,NE). El cálculo teórico de [KL][KL][KL][KL] seria:

Pero el cálculo en el programa no es tan sencillo, porque se usan unas matrices con diferentes dimensiones.

Se tienen dos ciclos IIII y J J J J de 1 TO 81 TO 81 TO 81 TO 8 que nos dan respectivamente fila y columna de la matriz, un tercer ciclo de K=1 TO 3.K=1 TO 3.K=1 TO 3.K=1 TO 3.

Si se recuerda ahora que LL LL LL LL toma el valor de PIPIPIPI y que se tienen bloques en la matriz [ST][ST][ST][ST], uno para cada punto de integración, entonces, ahora, al calcular el elemento KL(I,J,IJK)KL(I,J,IJK)KL(I,J,IJK)KL(I,J,IJK) se deben multiplicar correctamente los elementos de las matrices [BL][BL][BL][BL]TTTT y [ST][ST][ST][ST].

En la matriz [BL][BL][BL][BL], se cambian los índices para que quede transpuesta.

Y en la matriz [ST][ST][ST][ST], se toman las columnas adecuadas:

Si PI=1 J+8*LL-8 varia de 1 a 8 al variar J.

" 2 " 9 - 16 "

" 3 " 17 - 24 "

" 4 " 25 - 32 "

Con esto se acaba el cálculo para cada punto de integración .

k).- Construcción de la matriz de rigidez global

Ahora se procede a la construcción de la matriz de rigidez global según la subrutina RIGIDEZ del programa

KS (2 * NN, 2*NN)KS (2 * NN, 2*NN)KS (2 * NN, 2*NN)KS (2 * NN, 2*NN)

finalizando así el cálculo para cada elemento.

9.5.3 ENTRADA DE DATOS9.5.3 ENTRADA DE DATOS9.5.3 ENTRADA DE DATOS9.5.3 ENTRADA DE DATOS

En este programa, los datos se introducen a mediante los INPUT incluidos al comienzo del mismo.

En un primer grupo, se dan los valores de NN (número de nodos), NE (número de elementos), NMAT (número de materiales) y TD ( característica de la deformación) TD=1 tensión plana, TD=2 deformación plana.

En el segundo grupo, se introducen las características del material a través de la matriz [MAT] de tres elementos, Mat (I,1) (espesor), Mat (I,2) (módulo de Young), Mat (I,3) ( módulo de Poisson). Estos valores se leen con un bucle ya que se admite la posibilidad de existencia de varios materiales.

A continuación se dan una serie de características para cada nodo, X(I) e Y(I) (matrices que contienen las coordenadas de cada nodo); una matriz [RE], en la que se dan las restricciones en cada nodo, de manera que en cada dato aparecen las restricciones en los ejes xxxx e yyyy del nodo en cuestión (cuando un elemento de la matriz es un 1111 quiere decir que existe una restricción de desplazamiento en el eje correspondiente); y la matriz [FA] [FA] [FA] [FA] de las fuerzas aplicadas en cada nodo, el primer dato se refiere a la carga sobre el eje xxxx y el segundo sobre el eje yyyy.

Finalmente con un bucle sobre el número de elementos, se proporciona para cada uno de ellos, la matriz de conectividad orientando los nodos en sentido contrario a las agujas del reloj. Por último, se indica cual es el material de que está compuesto.

9.5.3 LISTADO DEL PROGRAMA

' ***************************************************************************************************************

' * ANÁLISIS DE TENSIONES PLANAS/DEFORMACIONES PLANAS POR EL MÉTODO DE *

' * ELEMENTOS FINITOS. ELEMENTO CUADRANGULAR ISOPARAMÉTRICO.(4 NODOS) *

' * VERSIÓN U.N.E.D. *

' ****************************************************************************************************************

' **************************************************************************

' * DICCIONARIO *

' **************************************************************************

'NN: Numero de nodos.

'NE: Numero de elementos.

'TD: 1 Tensión plana, 2 Deformación plana.

'PI: 4 Puntos de integración gaussiana.

'S,T: Coordenadas del punto de integración en el elemento de referencia.

'X(NN),Y(NN): Coordenadas cartesianas de los nodos.

'XI(4*NE),YI(4*NE): Coordenadas cartesianas de los puntos de integración.

'NMAT: Numero de materiales.

'MAT(NMAT,3): Matriz de características del material (t,E,NU).

'D(3,3): Matriz de características elásticas del elemento.

'NL(4): Valor de las funciones de forma en el elemento de referencia para el

' punto de integración.

'DNL(2,4): Derivadas de las NL respecto a las coord. del elem. de referencia

'JACOB(2,2): Jacobiano de la transformación.

'DJACOB: Valor del determinante del jacobiano.

'IJACOB(2,2): Inversa del jacobiano.

'DNG(2,4): Derivadas de las NL respecto a las coordenadas cartesianas.

'BL(3,8): Matriz de las coordenadas relativas del elemento.

'KL(8,8,NE): Matriz de rigidez de cada elemento.

'KS(2*NN,2*NN): Matriz de rigidez de todo el dominio.

'FA(2*NN): Vector de fuerzas aplicadas.

'CA(2*NN): Vector de fuerzas aplicadas. No se modifica durante el cálculo

' se usa en el procesador gráfico.

'DE(2*NN): Vector de desplazamientos.

'ST(3,8*PI,NE): Almacenamiento de matrices para calculo de tensiones.

'NJ(NE,4): Matriz que asocia a cada elemento los nodos que lo definen.

'ME(NE): Matriz que asocia a cada elemento su material.

'RE(NN,2): Matriz que define las restricciones (U,V) de cada nodo.

'TE(4): Tensiones del elemento.

'COOR(2,4): Matriz de coordenadas de los 4 nodos del elemento.

'*************************************************************************

'* DICCIONARIO *

'* ESPECIFICO DEL PROCESADOR GRAFICO *

'*************************************************************************

' AA, BB: X e Y de los nodos de la deformada.

' A$: Cada carácter de cada número (de NUMERO$)

' DIAG: Diagonal de la ventana gráfica.

' DX1,DX2,DX3,DY1,DY2,DY3: X e Y de los nodos de elemento

' en la deformada.

' ESPALDA$: Captura la parte de atrás de la cruz de ZOOM

' FMAX: Valor máximo de las fuerzas aplicadas.

' LFMAX: Longitud en la pantalla que le corresponde a la fuerza máxima.

' LG: Número de caracteres del número (NUMERO$)

' LX,LY: Longitud de los brazos de la cruz.

' LMAX: Longitud en la pantalla que le corresponde al desplazamiento máximo.

' MAXDE: Valor del desplazamiento máximo.

' NN%(): Matriz que almacena la captura de los números

' NUMERO$: Número del nodo o elemento para situarlo en la estructura.

' RL: Relación Ancho/Largo (XL/YL) en la ventana grafica.

' RPANTALLA: Relación Ancho/Largo (XL/YL) en la pantalla.

' TECLA$: Tecla de selección, recuperada del teclado.

' X,Y: Coordenadas de cada carácter de cada número (de NUMERO$)

' X,Y: Coordenadas de la cruz (en ZOOM)

' XL,YL: Longitud en X e Y de la ventana gráfica.

' X1,Y1,X2,Y2: Coordenadas extremas de la estructura en la subrutina DIBUJO.

' XX: Coordenada X del número (primer carácter de NUMERO$)

' XX1,YY1,XX2,YY2,XX3,YY3: Coordenadas de los tres nodos de cada elemento.

' XMIN,YMIN,XMAX,YMAX: Coordenadas extremas de la estructura,

' XWMIN,YWMIN,XWMAX,YWMAX: Coordenadas extremas de la ventana gráfica

' definen el entorno de trabajo y ciertas longitudes máximas

' XWL,YWL: Longitud en X e Y de la ventana gráfica.

'*************************************************************************

'* SUBRUTINAS *

'*************************************************************************

DECLARE SUB RIGIDEZ (IJK)

DECLARE SUB DIBUJO (X1, Y1, X2, Y2)

DECLARE SUB NUMERA (NUMERO$, XN!, YN!)

DECLARE SUB DEFORMADA ()

DECLARE SUB ZOOM ()

'*************************************************************************

'* DIMENSIONES *

'*************************************************************************

OPEN "DATOS1.ISO" FOR INPUT AS #1

OPEN "RESULT1.ISO" FOR OUTPUT AS #2

' A) En la primera línea se introducen el numero de nodos , el

' numero de elementos , condición de tensión o deformación

' plana (1 o 2), y el numero de materiales.

' B) En la segundo se introducen las características del material:

' espesor, módulo de YOUNG y modulo de POISSON.

' C) En las NN siguientes líneas se introducen : coordenadas de cada

' nodo (X,Y);condiciones de contorno (restricciones en las direc-

' ciones X,Y); fuerzas aplicadas en cada nodo. Se empieza con el

' nodo 1 y se acaba con el nodo NN.

' D) En las NE ultimas lRneas se introducen: los nodos de cada elemen-

' to y el numero que identifica su material. Se empieza con el -

' elemento 1 y se acaba con el elemento NE.

INPUT #1, NN, NE, TD, NMAT

DIM SHARED XWMAX, XWMIN, YWMAX, YWMIN

DIM X(NN), Y(NN), RE(NN, 2), NJ(NE, 4), COOR(2, 4), XI(4 * NE), YI(4 * NE)

DIM NL(4), DNL(2, 4), JACOB(2, 2), IJACOB(2, 2), DNG(2, 4)

DIM MAT(NMAT, 3), ME(NE), BL(3, 8), D(3, 3)

DIM ST(3, 32, NE), CA(2 * NN), FA(2 * NN), DE(2 * NN)

DIM KL(8, 8, NE), KS(2 * NN, 2 * NN), TE(4)

'************************************************************************

'* INTRODUCCION E IMPRESION DE DATOS *

'************************************************************************

CLS : SCREEN 0: COLOR 2'Borra pantalla y selecciona color verde

PRINT " ****** PROGRAMA ISOPARAMETRICO. VERSION 1 ******"

PRINT #2, " ****** PROGRAMA ISOPARAMETRICO. VERSION 1 ******"

PRINT : PRINT

PRINT #2, : PRINT #2,

PRINT "ENTRADA DE DATOS"

PRINT #2, "ENTRADA DE DATOS"

PRINT "================"

PRINT #2, "================"

PRINT : PRINT #2,

PRINT : PRINT #2,

PRINT "NUMERO DE NODOS= "; NN

PRINT #2, "NUMERO DE NODOS= "; NN

PRINT : PRINT #2,

PRINT "NUMERO DE ELEMENTOS= "; NE

PRINT #2, "NUMERO DE ELEMENTOS= "; NE

PRINT : PRINT #2,

PRINT "NUMERO DE MATERIALES= "; NMAT

PRINT #2, "NUMERO DE MATERIALES= "; NMAT

PRINT : PRINT #2,

IF TD <> 2 THEN TD = 1

IF TD = 1 THEN PRINT "APLICACION A TENSION PLANA "

IF TD = 1 THEN PRINT #2, "APLICACION A TENSION PLANA "

IF TD = 2 THEN PRINT "APLICACION A DEFORMACION PLANA "

IF TD = 2 THEN PRINT #2, "APLICACION A DEFORMACION PLANA "

PRINT : PRINT #2,

FOR I = 1 TO NMAT

INPUT #1, MAT(I, 1), MAT(I, 2), MAT(I, 3)

PRINT "MATERIAL "; I; " | ";

PRINT #2, "MATERIAL "; I; " | ";

PRINT " ESPESOR="; MAT(I, 1); " MODULO DE YOUNG="; MAT(I, 2); " COEF. DE POISSON="; MAT(I, 3)

PRINT #2, " ESPESOR="; MAT(I, 1); " MODULO DE YOUNG="; MAT(I, 2); " COEF. DE POISSON="; MAT(I, 3)

PRINT : PRINT #2,

NEXT I

PRINT : PRINT #2,

PRINT "DATOS NODALES"

PRINT #2, "DATOS NODALES"

PRINT "-------------"

PRINT #2, "-------------"

PRINT : PRINT #2,

PRINT "==================================================================="

PRINT #2, "==================================================================="

PRINT " NODO COORDENADAS COND. DE CONTORNO CARGAS "

PRINT #2, " NODO COORDENADAS COND. DE CONTORNO CARGAS "

PRINT "-------------------------------------------------------------------"

PRINT #2, "-------------------------------------------------------------------"

PRINT " No X Y U V FX FY "

PRINT #2, " No X Y U V FX FY "

PRINT "==================================================================="

PRINT #2, "==================================================================="

FOR I = 1 TO NN

INPUT #1, N, X(I), Y(I), RE(I, 1), RE(I, 2), FA(2 * I - 1), FA(2 * I)

PRINT TAB(2); N; TAB(13); X(I); TAB(27); Y(I); TAB(38); RE(I, 1); TAB(46); RE(I, 2); TAB(54); FA(2 * I - 1); TAB(62); FA(2 * I)

PRINT #2, TAB(2); N; TAB(13); X(I); TAB(27); Y(I); TAB(38); RE(I, 1); TAB(46); RE(I, 2); TAB(54); FA(2 * I - 1); TAB(62); FA(2 * I)

CA(2 * I - 1) = FA(2 * I - 1)

CA(2 * I) = FA(2 * I)

NEXT I

PRINT : PRINT #2,

PRINT : PRINT #2,

PRINT "DATOS DE ELEMENTOS"

PRINT #2, "DATOS DE ELEMENTOS"

PRINT "------------------"

PRINT #2, "------------------"

PRINT : PRINT #2,

PRINT "====================================="

PRINT #2, "====================================="

PRINT "ELEMENTO NODOS MATERIAL"

PRINT #2, "ELEMENTO NODOS MATERIAL"

PRINT " No 1 2 3 4 "

PRINT #2, " No 1 2 3 4 "

PRINT "====================================="

PRINT #2, "====================================="

FOR I = 1 TO NE

INPUT #1, N, NJ(I, 1), NJ(I, 2), NJ(I, 3), NJ(I, 4), ME(I)

PRINT TAB(3); N; TAB(12); NJ(I, 1); TAB(16); NJ(I, 2); TAB(20); NJ(I, 3); TAB(24); NJ(I, 4); TAB(32); ME(I)

PRINT #2, TAB(3); N; TAB(12); NJ(I, 1); TAB(16); NJ(I, 2); TAB(20); NJ(I, 3); TAB(24); NJ(I, 4); TAB(32); ME(I)

NEXT I

CLS ' ===> Deja limpia la pantalla del monitor <===

FOR I = 1 TO 7: PRINT : NEXT I

FOR I = 1 TO 7: PRINT #2, : NEXT I

PRINT #2, "SALIDA DE RESULTADOS"

PRINT #2, "===================="

PRINT #2, : PRINT #2,

PRINT " ******** EL PROGRAMA ESTA EN FUNCIONAMIENTO ********"

'************************************************************************

'* ESTUDIO DE CADA ELEMENTO *

'************************************************************************

FOR IJK = 1 TO NE

'*********************************************************************************************************

'* FORMACION DE LA MATRIZ DE COORDENADAS DE LOS NODOS DEL ELEMENTO *

'**********************************************************************************************************

N1 = NJ(IJK, 1)

N2 = NJ(IJK, 2)

N3 = NJ(IJK, 3)

N4 = NJ(IJK, 4)

COOR(1, 1) = X(N1)

COOR(1, 2) = X(N2)

COOR(1, 3) = X(N3)

COOR(1, 4) = X(N4)

COOR(2, 1) = Y(N1)

COOR(2, 2) = Y(N2)

COOR(2, 3) = Y(N3)

COOR(2, 4) = Y(N4)

'************************************************************************

'* DETERMINACION DE LA MATRIZ CONSTITUTIVA [D] *

'************************************************************************

Q = ME(IJK)

IF TD = 1 THEN ' TENSION PLANA

U = MAT(Q, 2) / (1 - MAT(Q, 3) ^ 2)

D(1, 1) = U

D(2, 2) = U

D(2, 1) = MAT(Q, 3) * U

D(1, 2) = D(2, 1)

D(3, 3) = MAT(Q, 2) / (2 * (1 + MAT(Q, 3)))

ELSE ' DEFORMACION PLANA

U = MAT(Q, 2) * (1 - MAT(Q, 3)) / ((1 + MAT(Q, 3)) * (1 - 2 * MAT(Q, 3)))

D(1, 1) = U

D(2, 2) = U

D(1, 2) = (MAT(Q, 3) / (1 - MAT(Q, 3))) * U

D(2, 1) = D(1, 2)

D(3, 3) = MAT(Q, 2) / (2 * (1 + MAT(Q, 3)))

END IF

'*****************************************************************************

'* CALCULO A REALIZAR EN CADA PUNTO DE INTEGRACION *

'*****************************************************************************

LL = 0

FOR PI = 1 TO 4

'

' * COORDENADAS Y PESO DEL PUNTO DE INTEGRACIÓN *

'

IF PI = 1 THEN S = .57735: T = .57735: WS = 1: WT = 1

IF PI = 2 THEN S = -.57735: T = .57735: WS = 1: WT = 1

IF PI = 3 THEN S = -.57735: T = -.57735: WS = 1: WT = 1

IF PI = 4 THEN S = .57735: T = -.57735: WS = 1: WT = 1

'

' * CONSTRUCCIÓN DE [NL],[DNL] DE CADA PUNTO DE INTEGRACIÓN *

'

NL(1) = .25 * (1 - S) * (1 - T)

NL(2) = .25 * (1 + S) * (1 - T)

NL(3) = .25 * (1 + S) * (1 + T)

NL(4) = .25 * (1 - S) * (1 + T)

DNL(1, 1) = -.25 * (1 - T)

DNL(1, 2) = .25 * (1 - T)

DNL(1, 3) = .25 * (1 + T)

DNL(1, 4) = -.25 * (1 + T)

DNL(2, 1) = -.25 * (1 - S)

DNL(2, 2) = -.25 * (1 + S)

DNL(2, 3) = .25 * (1 + S)

DNL(2, 4) = .25 * (1 - S)

'

' * CONSTRUCCIÓN DE LA MATRIZ JACOBIANA *

'

FOR I = 1 TO 2

FOR J = 1 TO 2

JACOB(I, J) = 0

FOR K = 1 TO 4

JACOB(I, J) = JACOB(I, J) + DNL(I, K) * COOR(J, K)

NEXT K

NEXT J

NEXT I

'

' * CALCULO DEL JACOBIANO Y DE LA MATRIZ INVERSA DE LA JACOBIANA *

'

DJACOB = JACOB(1, 1) * JACOB(2, 2) - JACOB(1, 2) * JACOB(2, 1)

IF DJACOB <= 0 THEN PRINT "J A C O B I A N O N E G A T I V O": END

IJACOB(1, 1) = JACOB(2, 2) / DJACOB

IJACOB(2, 2) = JACOB(1, 1) / DJACOB

IJACOB(1, 2) = -JACOB(1, 2) / DJACOB

IJACOB(2, 1) = -JACOB(2, 1) / DJACOB

'

' * CALCULO DE LAS DERIVADAS CARTESIANAS [DNG] *

'

FOR I = 1 TO 2

FOR J = 1 TO 4

DNG(I, J) = 0

FOR K = 1 TO 2

DNG(I, J) = DNG(I, J) + IJACOB(I, K) * DNL(K, J)

NEXT K

NEXT J

NEXT I

'

' * COORDENADAS CARTESIANAS DE LOS PUNTOS DE INTEGRACIÓN *

'

FOR I = 1 TO 4

XI(IJK * 4 - 4 + PI) = XI(IJK * 4 - 4 + PI) + COOR(1, I) * NL(I)

YI(IJK * 4 - 4 + PI) = YI(IJK * 4 - 4 + PI) + COOR(2, I) * NL(I)

NEXT I

'

' * CONSTRUCCIÓN DE [BL] EN EL PUNTO DE INTEGRACIÓN *

'

NG = 0

FOR I = 1 TO 4

MG = NG + 1

NG = MG + 1

BL(1, MG) = DNG(1, I)

BL(1, NG) = 0

BL(2, MG) = 0

BL(2, NG) = DNG(2, I)

BL(3, MG) = DNG(2, I)

BL(3, NG) = DNG(1, I)

NEXT I

'

' *DETERMINACIÓN DEL PRODUCTO [D][BL] Y SU ALMACENAMIENTO EN [ST]*

' * PARA EL CALCULO DE LAS TENSIONES *

'

LL = LL + 1

FOR I = 1 TO 3

FOR J = 8 * LL - 7 TO 8 * LL

FOR K = 1 TO 3

ST(I, J, IJK) = ST(I, J, IJK) + D(I, K) * BL(K, J - 8 * LL + 8)

NEXT K

NEXT J

NEXT I

'

' * CALCULO DE LOS ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ [KL] *

'

FOR I = 1 TO 8

FOR J = 1 TO 8

FOR K = 1 TO 3

KL(I, J, IJK) = KL(I, J, IJK) + MAT(Q, 1) * BL(K, I) * ST(K, J + 8 * LL - 8, IJK) * DJACOB * WS * WT

NEXT K

NEXT J

NEXT I

NEXT PI

'**************************************************************************

'* FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ *

'**************************************************************************

CALL RIGIDEZ(IJK) 'llamada a la subrutina que ensambla los elementos

'de la matriz de rigidez

NEXT IJK

' >>>>>> FIN DE CADA ELEMENTO <<<<<<

'**************************************************************************

'* APLICACIÓN DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO *

'**************************************************************************

FOR I = 1 TO NN

FOR J = 1 TO 2

IF RE(I, J) <> 0 THEN

U = 2 * I - 2 + J

KS(U, U) = 1E+15

FA(U) = (RE(I, J) - 1) * 1E+15

END IF

NEXT J

NEXT I

'***************************************************************************

'* TRIANGULACIÓN SUPERIOR POR EL MÉTODO DE GAUSS *

'***************************************************************************

FOR I = 1 TO 2 * NN - 1

FOR J = I + 1 TO 2 * NN

IF KS(J, I) <> 0 THEN ' ==> Ahorra operaciones <==

FOR KK = I + 1 TO 2 * NN

KS(J, KK) = KS(J, KK) - KS(I, KK) * KS(J, I) / KS(I, I)

NEXT KK

FA(J) = FA(J) - FA(I) * KS(J, I) / KS(I, I)

END IF

NEXT J

NEXT I

'**********************************************

'* ESTUDIO DE CADA ELEMENTO *

'**********************************************

FOR IJK = 1 TO NE

'*********************************************************************************************************

'* FORMACION DE LA MATRIZ DE COORDENADAS DE LOS NODOS DEL ELEMENTO *

'**********************************************************************************************************

N1 = NJ(IJK, 1)

N2 = NJ(IJK, 2)

N3 = NJ(IJK, 3)

N4 = NJ(IJK, 4)

COOR(1, 1) = X(N1)

COOR(1, 2) = X(N2)

COOR(1, 3) = X(N3)

COOR(1, 4) = X(N4)

COOR(2, 1) = Y(N1)

COOR(2, 2) = Y(N2)

COOR(2, 3) = Y(N3)

COOR(2, 4) = Y(N4)

'************************************************************************

'* DETERMINACION DE LA MATRIZ CONSTITUTIVA [D] *

'************************************************************************

Q = ME(IJK)

IF TD = 1 THEN ' TENSION PLANA

U = MAT(Q, 2) / (1 - MAT(Q, 3) ^ 2)

D(1, 1) = U

D(2, 2) = U

D(2, 1) = MAT(Q, 3) * U

D(1, 2) = D(2, 1)

D(3, 3) = MAT(Q, 2) / (2 * (1 + MAT(Q, 3)))

ELSE ' DEFORMACION PLANA

U = MAT(Q, 2) * (1 - MAT(Q, 3)) / ((1 + MAT(Q, 3)) * (1 - 2 * MAT(Q, 3)))

D(1, 1) = U

D(2, 2) = U

D(1, 2) = (MAT(Q, 3) / (1 - MAT(Q, 3))) * U

D(2, 1) = D(1, 2)

D(3, 3) = MAT(Q, 2) / (2 * (1 + MAT(Q, 3)))

END IF

'*****************************************************************************

'* CALCULO A REALIZAR EN CADA PUNTO DE INTEGRACION *

'*****************************************************************************

LL = 0

FOR PI = 1 TO 4

'

' * COORDENADAS Y PESO DEL PUNTO DE INTEGRACIÓN *

'

IF PI = 1 THEN S = .57735: T = .57735: WS = 1: WT = 1

IF PI = 2 THEN S = -.57735: T = .57735: WS = 1: WT = 1

IF PI = 3 THEN S = -.57735: T = -.57735: WS = 1: WT = 1

IF PI = 4 THEN S = .57735: T = -.57735: WS = 1: WT = 1

'

' * CONSTRUCCIÓN DE [NL],[DNL] DE CADA PUNTO DE INTEGRACIÓN *

'

NL(1) = .25 * (1 - S) * (1 - T)

NL(2) = .25 * (1 + S) * (1 - T)

NL(3) = .25 * (1 + S) * (1 + T)

NL(4) = .25 * (1 - S) * (1 + T)

DNL(1, 1) = -.25 * (1 - T)

DNL(1, 2) = .25 * (1 - T)

DNL(1, 3) = .25 * (1 + T)

DNL(1, 4) = -.25 * (1 + T)

DNL(2, 1) = -.25 * (1 - S)

DNL(2, 2) = -.25 * (1 + S)

DNL(2, 3) = .25 * (1 + S)

DNL(2, 4) = .25 * (1 - S)

'

' * CONSTRUCCIÓN DE LA MATRIZ JACOBIANA *

'

FOR I = 1 TO 2

FOR J = 1 TO 2

JACOB(I, J) = 0

FOR K = 1 TO 4

JACOB(I, J) = JACOB(I, J) + DNL(I, K) * COOR(J, K)

NEXT K

NEXT J

NEXT I

'

' * CALCULO DEL JACOBIANO Y DE LA MATRIZ INVERSA DE LA JACOBIANA *

'

DJACOB = JACOB(1, 1) * JACOB(2, 2) - JACOB(1, 2) * JACOB(2, 1)

IF DJACOB <= 0 THEN PRINT "J A C O B I A N O N E G A T I V O": END

IJACOB(1, 1) = JACOB(2, 2) / DJACOB

IJACOB(2, 2) = JACOB(1, 1) / DJACOB

IJACOB(1, 2) = -JACOB(1, 2) / DJACOB

IJACOB(2, 1) = -JACOB(2, 1) / DJACOB

'

' * CALCULO DE LAS DERIVADAS CARTESIANAS [DNG] *

'

FOR I = 1 TO 2

FOR J = 1 TO 4

DNG(I, J) = 0

FOR K = 1 TO 2

DNG(I, J) = DNG(I, J) + IJACOB(I, K) * DNL(K, J)

NEXT K

NEXT J

NEXT I

'

' * COORDENADAS CARTESIANAS DE LOS PUNTOS DE INTEGRACIÓN *

'

FOR I = 1 TO 4

XI(IJK * 4 - 4 + PI) = XI(IJK * 4 - 4 + PI) + COOR(1, I) * NL(I)

YI(IJK * 4 - 4 + PI) = YI(IJK * 4 - 4 + PI) + COOR(2, I) * NL(I)

NEXT I

'

' * CONSTRUCCIÓN DE [BL] EN EL PUNTO DE INTEGRACIÓN *

'

NG = 0

FOR I = 1 TO 4

MG = NG + 1

NG = MG + 1

BL(1, MG) = DNG(1, I)

BL(1, NG) = 0

BL(2, MG) = 0

BL(2, NG) = DNG(2, I)

BL(3, MG) = DNG(2, I)

BL(3, NG) = DNG(1, I)

NEXT I

'

' *DETERMINACIÓN DEL PRODUCTO [D][BL] Y SU ALMACENAMIENTO EN [ST]*

' * PARA EL CALCULO DE LAS TENSIONES *

'

LL = LL + 1

FOR I = 1 TO 3

FOR J = 8 * LL - 7 TO 8 * LL

FOR K = 1 TO 3

ST(I, J, IJK) = ST(I, J, IJK) + D(I, K) * BL(K, J - 8 * LL + 8)

NEXT K

NEXT J

NEXT I

'

' * CALCULO DE LOS ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ [KL] *

'

FOR I = 1 TO 8

FOR J = 1 TO 8

FOR K = 1 TO 3

KL(I, J, IJK) = KL(I, J, IJK) + MAT(Q, 1) * BL(K, I) * ST(K, J + 8 * LL - 8, IJK) * DJACOB * WS * WT

NEXT K

NEXT J

NEXT I

NEXT PI

'**************************************************************************

'* FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ *

'**************************************************************************

CALL RIGIDEZ(IJK) 'llamada a la subrutina que ensambla los elementos

'de la matriz de rigidez

NEXT IJK

' >>>>>> FIN DE CADA ELEMENTO <<<<<<

'**************************************************************************

'* APLICACIÓN DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO *

'**************************************************************************

FOR I = 1 TO NN

FOR J = 1 TO 2

IF RE(I, J) <> 0 THEN

U = 2 * I - 2 + J

KS(U, U) = 1E+15

FA(U) = (RE(I, J) - 1) * 1E+15

END IF

NEXT J

NEXT I

'***************************************************************************

'* TRIANGULACIÓN SUPERIOR POR EL MÉTODO DE GAUSS *

'***************************************************************************

FOR I = 1 TO 2 * NN - 1

FOR J = I + 1 TO 2 * NN

IF KS(J, I) <> 0 THEN ' ==> Ahorra operaciones <==

FOR KK = I + 1 TO 2 * NN

KS(J, KK) = KS(J, KK) - KS(I, KK) * KS(J, I) / KS(I, I)

NEXT KK

FA(J) = FA(J) - FA(I) * KS(J, I) / KS(I, I)

END IF

NEXT J

NEXT I

'***************************************************************************************

'* RESOLUCIÓN DEL SISTEMA TRIANGULAR SUPERIOR . "REMONTE" *

'***************************************************************************************

DE(2 * NN) = FA(2 * NN) / KS(2 * NN, 2 * NN)' Ultima ecuación

'...................................

FOR I = 2 * NN - 1 TO 1 STEP -1 '

MAXI = 0 '

FOR J = I + 1 TO 2 * NN '

MAXI = MAXI + KS(I, J) * DE(J)' Resto de ecuaciones (2*NN-1)

NEXT J '

DE(I) = (FA(I) - MAXI) / KS(I, I)'

NEXT I '

'...................................'

'**************************************************************************

'* IMPRESIÓN DE LOS DESPLAZAMIENTOS *

'**************************************************************************

PRINT #2, " DESPLAZAMIENTOS EN LOS NODOS"

PRINT #2, " ----------------------------"

PRINT #2,

PRINT #2, "======================================================="

PRINT #2, " NODO U V "

PRINT #2, "======================================================="

FOR I = 1 TO NN

PRINT #2, TAB(4); I; TAB(20); DE(2 * I - 1); TAB(41); DE(2 * I)

NEXT I

'**************************************************************************

'* CALCULO DE LAS TENSIONES DE CADA ELEMENTO *

'**************************************************************************

PRINT #2, : PRINT #2,

PRINT #2, : PRINT #2,

PRINT #2, " TENSIONES DE CADA ELEMENTO"

PRINT #2, " --------------------------"

PRINT #2,

PRINT #2, "=================================================================="

PRINT #2, "ELEM. PUNTO INTEGRACIÓN TENSIONES "

PRINT #2, "------------------------------------------------------------------"

PRINT #2, " No PI COOR. SSX SSY TXY SSZ"

PRINT #2, "=================================================================="

FOR IJK = 1 TO NE

LL = 0

FOR PI = 1 TO 4

LL = LL + 1

FOR I = 1 TO 3

TE(I) = 0

FOR J = 1 TO 8

IF J < 3 THEN

NB = NJ(IJK, 1)

I1 = J - 2

ELSEIF J > 2 AND J < 5 THEN

NB = NJ(IJK, 2)

I1 = J - 4

ELSEIF J > 4 AND J < 7 THEN

NB = NJ(IJK, 3)

I1 = J - 6

ELSEIF J > 6 THEN

NB = NJ(IJK, 4)

I1 = J - 8

END IF

TE(I) = TE(I) + ST(I, J + LL * 8 - 8, IJK) * DE(2 * NB + I1)

NEXT J

NEXT I

Q = ME(IJK)

IF TD = 2 THEN TE(4) = MAT(Q, 3) * (TE(1) + TE(2))

IF TD = 1 THEN TE(4) = 0

'

' * CALCULO DE LAS TENSIONES PRINCIPALES *

'

AU1 = (TE(1) + TE(2)) * .5

AU2 = (TE(1) - TE(2)) * .5

AU3 = TE(3)

AU4 = SQR(AU2 * AU2 + AU3 * AU3)

TE(1) = AU1 + AU4

TE(2) = AU1 - AU4

IF AU2 <= 0 THEN AU2 = 9.999999E-22

TE(3) = ATN(AU3 / AU2) * 28.647889757#

PRINT #2, TAB(1); IJK; TAB(8); PI; TAB(11); XI(PI + IJK * 4 - 4); TAB(21); YI(PI + IJK * 4 - 4); TAB(31); TE(1); TAB(41); TE(2); TAB(52); TE(3); TAB(64); TE(4)

NEXT PI

NEXT IJK

'**************************************************************************

'* PONER A CERO KS(I,J) *

'**************************************************************************

FOR I = 1 TO 2 * NN

FOR J = 1 TO 2 * NN

KS(I, J) = 0

NEXT J

NEXT I

'*********************************************************************************

'* CONSTRUCCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ [KS] SIN APLICAR *

'* CONDICIONES DE CONTORNO *

'*********************************************************************************

FOR IJK = 1 TO NE

CALL RIGIDEZ(IJK)

NEXT IJK

'**************************************************************************

'* PONER A CERO FA(I) *

'**************************************************************************

FOR I = 1 TO 2 * NN

FA(I) = 0

NEXT I

'*********************************************************************************************

'* MULTIPLICACION DE LA MATRIZ [KS] POR EL VECTOR DE TODOS LOS *

'* DESPLAZAMIENTOS DE PARA DETERMINAR LAS FUERZAS NODALES *

'**********************************************************************************************

FOR I = 1 TO 2 * NN

FOR J = 1 TO 2 * NN

FA(I) = FA(I) + KS(I, J) * DE(J)

NEXT J

NEXT I

'**************************************************************************

'* IMPRESION DE LAS FUERZAS *

'**************************************************************************

PRINT #2, : PRINT #2,

PRINT #2, : PRINT #2,

PRINT #2, " FUERZAS EN LOS NODOS"

PRINT #2, " --------------------"

PRINT #2,

PRINT #2, "================================================================="

PRINT #2, "NODO FUERZA SOBRE EL NODO "

PRINT #2, "-----------------------------------------------------------------"

PRINT #2, " No FX FY "

PRINT #2, "================================================================="

FOR I = 1 TO NN

PRINT #2, I; TAB(32); FA(2 * I - 1); TAB(52); FA(2 * I)

NEXT I

CLS 'Borra pantalla.

CLOSE #1, #2 'Cierra los ficheros

'************************************************************************************************************

'* F I N *

'* ANALISIS DE TENSIONES PLANAS/DEFORMACIONES PLANAS POR EL METODO DE*

'* ELEMENTOS FINITOS.ELEMENTO CUADRANGULAR ISOPARAMETRICO.(4 NODOS) *

'* VERSION U.N.E.D. *

'************************************************************************************************************

'_________________________________________________________________________

'*************************************************************************

'* ENCADENAMIENTO CON PROCESADOR GRAFICO *

'*************************************************************************

'*************************************************************************

'* DIBUJO DE LA ESTRUCTURA COMPLETA *

'*************************************************************************

CLS : SCREEN 9: COLOR 2 'Borra pantalla y selecciona color verde

WIDTH 80, 43 'define pantalla de 80x43 caracteres

XMIN = X(1)

XMAX = X(1)

YMIN = Y(1)

YMAX = Y(1)

FOR I = 2 TO NN '--------------------

IF XMIN > X(I) THEN XMIN = X(I) '

IF XMAX < X(I) THEN XMAX = X(I) 'Busqueda de las coordenadas

IF YMIN > Y(I) THEN YMIN = Y(I) 'extremas de la estructura

IF YMAX < Y(I) THEN YMAX = Y(I) '

NEXT I '--------------------

CALL DIBUJO(XMIN, YMIN, XMAX, YMAX)

'*************************************************************************

'* MENU DE OPCIONES *

'*************************************************************************

TECLA$ = ""

DO WHILE TECLA$ <> "f" AND TECLA$ <> "F" 'FIN

TECLA$ = INPUT$(1)

IF TECLA$ = "n" OR TECLA$ = "N" THEN 'NUMERACION

FOR I = 1 TO NN 'NUMERACI[N DE NODOS

COLOR 11

NUM$ = STR$(I)

CALL NUMERA(NUM$, X(I), Y(I))

NEXT I

FOR I = 1 TO NE 'NUMERACI[N DE ELEMENTOS

COLOR 14

NUM$ = STR$(I)

X = (X(NJ(I, 1)) + X(NJ(I, 2)) + X(NJ(I, 3))) / 3

Y = (Y(NJ(I, 1)) + Y(NJ(I, 2)) + Y(NJ(I, 3))) / 3

CALL NUMERA(NUM$, X, Y)

NEXT I

END IF

IF TECLA$ = "z" OR TECLA$ = "Z" THEN 'ZOOM

CALL ZOOM

END IF

IF TECLA$ = "d" OR TECLA$ = "D" THEN 'DEFORMADA

CALL DEFORMADA

END IF

IF TECLA$ = "r" OR TECLA$ = "R" THEN 'REDIBUJA

CALL DIBUJO(XMIN, YMIN, XMAX, YMAX)

END IF

LOOP

CLS 'LIMPIA LA PANTALLA

END 'TERMINA LA EJECUCI[N

'*************************************************************************

'* F I N *

'* PROCESADOR GRAFICO *

'*************************************************************************

'_________________________________________________________________________

' F I N P R O G R A M A

'_________________________________________________________________________

SUB DEFORMADA

'******************************************************************************************

'* SUBRUTINA QUE DIBUJA LA ESTRUCTURA COMPLETA DEFORMADA *

'******************************************************************************************

SHARED NE, NN, NJ(), DE(), X(), Y(), DIAG

'Mantiene el valor de dichas variables

COLOR 3

MAXDE = 0 '..........................

FOR I = 1 TO 2 * NN ' Busqueda del máximo

IF ABS(MAXDE) < ABS(DE(I)) THEN MAXDE = DE(I) ' desplazamiento

NEXT I '.........................' (en unidades reales)

LMAX = ABS(DIAG / 15 / MAXDE) 'asigna una longitud de pantalla al

'desplazamiento máximo, las siguientes

'lRnea permiten modificar este valor

LOCATE 2, 2: PRINT "Factor de escala: "; LMAX

LOCATE 3, 2: PRINT ") Modificar ? (S/N) N"

TEC$ = UCASE$(INPUT$(1))

IF TEC$ = "S" THEN

LOCATE 3, 2: INPUT "Nuevo factor de escala : ", LMAX

END IF

LOCATE 2, 2: PRINT " "

LOCATE 3, 2: PRINT " "

LOCATE 2, 2: PRINT "Factor de escala de deformada: "; LMAX

FOR I = 1 TO NN '......................'

AA = X(I) + DE(2 * I - 1) * LMAX '

BB = Y(I) + DE(2 * I) * LMAX ' dibujo de los

CIRCLE (AA, BB), DIAG / 200 ' nodos de la

PAINT (AA, BB) ' deformada

NEXT I '

FOR I = 1 TO NE '.........................'

N1 = NJ(I, 1) '

N2 = NJ(I, 2) '

N3 = NJ(I, 3) '

N4 = NJ(I, 4) '

DX1 = X(N1) + DE(2 * N1 - 1) * LMAX '

DY1 = Y(N1) + DE(2 * N1) * LMAX 'dibujo de los

DX2 = X(N2) + DE(2 * N2 - 1) * LMAX 'tramos de la

DY2 = Y(N2) + DE(2 * N2) * LMAX 'deformada

DX3 = X(N3) + DE(2 * N3 - 1) * LMAX '

DY3 = Y(N3) + DE(2 * N3) * LMAX '

LINE (DX1, DY1)-(DX2, DY2) '

LINE -(DX3, DY3) '

IF N4 <> 0 THEN '

DX4 = X(N4) + DE(2 * N4 - 1) * LMAX'

DY4 = Y(N4) + DE(2 * N4) * LMAX '

LINE -(DX4, DY4) '

END IF '

LINE -(DX1, DY1) '

NEXT I '...................'

COLOR 14

'-------------------- FIN DE LA SUBRUTINA "DEFORMADA"---------------------

END SUB

SUB DIBUJO (X1, Y1, X2, Y2)

'*****************************************************************************

'* SUBRUTINA QUE DIBUJA LA ESTRUCTURA SIN DEFORMAR *

'* Y DEFINE EL TAMAYO DE LA VENTANA GRAFICA *

'*****************************************************************************

CLS

COLOR 15

SHARED NN, NE, X(), Y(), RE(), CA(), NJ(), DIAG

'Mantiene el valor de dichas variables

XL = X2 - X1

YL = Y2 - Y1

RL = XL / YL

RPANTALLA = 236 / 175 'RELACION X/Y DE LA PANTALLA (mm/mm)

'Dimensionado de la ventana gráfica proporcional al tamaño de la pantalla

IF RPANTALLA <= RL THEN ' CASO DE MODELO ALARGADO

XWMIN = X1 - .2 * XL

XWMAX = X2 + .2 * XL

YWL = ((XWMAX - XWMIN) / RPANTALLA)

YWMIN = ((YMIN + Y2) / 2) - YWL / 2

YWMAX = ((YMIN + Y2) / 2) + YWL / 2

ELSE ' CASO DE MODELO ELEVADO

YWMIN = Y1 - .2 * YL

YWMAX = Y2 + .2 * YL

XWL = ((YWMAX - YWMIN) * RPANTALLA)

XWMIN = ((X1 + X2) / 2) - XWL / 2

XWMAX = ((X1 + X2) / 2) + XWL / 2

END IF

WINDOW (XWMIN, YWMIN)-(XWMAX, YWMAX)

CLS

LINE (XWMIN, YWMIN)-(XWMAX, YWMAX), , B

DIAG = SQR((XWMAX - XWMIN) ^ 2 + (YWMAX - YWMIN) ^ 2)

'*************************************************************************

'* DIBUJO DE LA ESTRUCTURA *

'*************************************************************************

'DIBUJO DE LOS NODOS

FOR I = 1 TO NN

CIRCLE (X(I), Y(I)), DIAG / 200

PAINT (X(I), Y(I))

NEXT I

'DIBUJO DE LOS ELEMENTOS

FOR I = 1 TO NE 'ELEMENTOS TRIANGULARES

XX1 = X(NJ(I, 1))

YY1 = Y(NJ(I, 1))

XX2 = X(NJ(I, 2))

YY2 = Y(NJ(I, 2))

XX3 = X(NJ(I, 3))

YY3 = Y(NJ(I, 3))

LINE (XX1, YY1)-(XX2, YY2)

LINE -(XX3, YY3)

IF NJ(I, 4) <> 0 THEN 'ELEMENTOS CUADRILATERALES

XX4 = X(NJ(I, 4))

YY4 = Y(NJ(I, 4))

LINE -(XX4, YY4)

END IF

LINE -(XX1, YY1)

NEXT I

'DIBUJO DE LAS CARGAS APLICADAS

FMAX = 0

FOR I = 1 TO NN

IF ABS(CA(2 * I - 1)) > FMAX THEN FMAX = ABS(CA(2 * I - 1))

IF ABS(CA(2 * I)) > FMAX THEN FMAX = ABS(CA(2 * I))

NEXT I

LFMAX = ABS(DIAG / 15 / FMAX)

FOR I = 1 TO NN

LINE (X(I), Y(I))-STEP(-LFMAX * CA(2 * I - 1), -LFMAX * CA(2 * I)), 13

NEXT I

'DIBUJO DE LAS RESTRICCIONES

FOR I = 1 TO NN

IF RE(I, 1) <> 0 THEN

LINE (X(I), Y(I))-STEP(-DIAG / 50, DIAG / 70)

LINE -STEP(0, -2 * DIAG / 70)

LINE -STEP(DIAG / 50, DIAG / 70)

END IF

IF RE(I, 2) <> 0 THEN

LINE (X(I), Y(I))-STEP(-DIAG / 70, -DIAG / 70)

LINE -STEP(2 * DIAG / 70, 0)

LINE -STEP(-DIAG / 70, DIAG / 50)

END IF

NEXT I

'OPCIONES DEL MENU

LOCATE 41, 3: PRINT "NUMERAR"

LOCATE 41, 13: PRINT "ZOOM"

LOCATE 41, 20: PRINT "DEFORMADA"

LOCATE 41, 32: PRINT "REDIBUJAR"

LOCATE 41, 75: PRINT "FIN"

COLOR 10

LOCATE 41, 3: PRINT "N"

LOCATE 41, 13: PRINT "Z"

LOCATE 41, 20: PRINT "D"

LOCATE 41, 32: PRINT "R"

LOCATE 41, 75: PRINT "F"

'-------------------- FIN DE LA SUBRUTINA "DIBUJO"---------------------

END SUB

SUB NUMERA (NUMERO$, XN, YN)

'*****************************************************************************************

'* SUBRUTINA QUE DIBUJA LA ESTRUCTURA COMPLETA DEFORMADA *

'******************************************************************************************

SHARED DIAG 'Diagonal de la ventana grafica

DIM NN%(40)

' POSICIONAMIENTO DE LOS NÚMEROS

LG = LEN(NUMERO$)

XX = XN '+ DIAG / 150 en caso de querer separar el número del nodo

Y = YN - 2 * DIAG / 150

FOR J = 2 TO LG

'se comienza en 2 por ser el primer carácter un espacio

X = XX + (DIAG / 85 * (J - 2))

IF X > XWMIN AND X + DIAG / 120 < XWMAX AND Y > YWMIN AND Y + DIAG / 120 < YWMAX THEN

'la línea anterior chequea

'si el número esta o no

'en la ventana grafica

A$ = MID$(NUMERO$, J, 1) 'carácter de la posición J

LOCATE 2, 79: PRINT A$ 'se escribe el número

GET (XWMAX - DIAG / 49, YWMAX - DIAG / 40)-(XWMAX - DIAG / 95, YWMAX - DIAG / 85), NN%

'se captura el ndmro

PUT (XWMAX - DIAG / 49, YWMAX - DIAG / 40), NN%

'se limpia el lugar donde se capturo

PUT (X, Y), NN%, PSET 'se escribe el número en el sitio correcto

END IF

NEXT J

'-------------------- FIN DE LA SUBRUTINA "NUMERA"---------------------

END SUB

SUB RIGIDEZ (IJK)

'*****************************************************************************************

'* SUBRRUTINA QUE CONSTRUYE LA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL [KS] *

'*****************************************************************************************

SHARED NJ(), KS(), KL()

FOR I = 1 TO 4

I1 = NJ(IJK, I)

FOR L = 0 TO 1

ISS = 2 * I - 1 + L

I2 = 2 * I1 - 1 + L

FOR J = 1 TO 4

J1 = NJ(IJK, J)

FOR M = 0 TO 1

JS = 2 * J - 1 + M

J2 = 2 * J1 - 1 + M

KS(I2, J2) = KS(I2, J2) + KL(ISS, JS, IJK)

NEXT M

NEXT J

NEXT L

NEXT I

'------------------- FIN DE LA SUBRRUTINA "RIGIDEZ" ------------------------

END SUB

SUB ZOOM

'*************************************************************************

'* SUBRUTINA QUE APROXIMA UN AREA DE LA PANTALLA *

'**************************************************************************

DIM ESPALDA%(10000)

COLOR 15

DIAG = SQR((XWMAX - XWMIN) ^ 2 + (YWMAX - YWMIN) ^ 2)

X = (XWMIN + XWMAX) / 2

Y = (YWMIN + YWMAX) / 2

LX = DIAG / 75

LY = DIAG / 75

A = 0

DO

GET (X - LX, Y + LY)-(X + LX, Y - LY), ESPALDA% ' Captura la espalda

LINE (X - LX, Y)-(X + LX, Y), 12 'Dibuja la

LINE (X, Y - LY)-(X, Y + LY), 12 'Cruz

TECLA$ = UCASE$(INPUT$(1)) 'Se lee el teclado

PUT (X - LX, Y - LY), ESPALDA%, PSET 'Repone la espalda (quita la cruz)

SELECT CASE TECLA$

CASE CHR$(13) 'ENTER

IF A = 1 THEN 'segunda esquina

X2 = X

Y2 = Y

IF X1 <> X2 AND Y1 <> Y2 THEN GOTO VENTANA

ELSE 'primera esquina

X1 = X

Y1 = Y

LINE (X - LX / 2, Y)-(X + LX / 2, Y), 12

LINE (X, Y - LY / 2)-(X, Y + LY / 2), 12

A = 1

END IF

CASE "6" 'FLECHA DERECHA

IF X + 2 * LX < XWMAX THEN X = X + LX

CASE "4" 'FLECHA IZQUIERDA

IF X - 2 * LX > XWMIN THEN X = X - LX

CASE "8" 'FLECHA ARRIBA

IF Y + 2 * LY < YWMAX THEN Y = Y + LY

CASE "2" 'FLECHA ABAJO

IF Y - 2 * LY > YWMIN THEN Y = Y - LY

END SELECT

LOOP

VENTANA:

IF X2 < X1 THEN SWAP X2, X1 'Verifica que las coordenadas sean las

IF Y2 < Y1 THEN SWAP Y2, Y1 'adecuadas (coordenadas extremas

CALL DIBUJO(X1, Y1, X2, Y2) 'llama a la subrutina que dibuja la

'estructura ampliando la zona solicitada

'-------------------- FIN DE LA SUBRUTINA "ZOOM"---------------------

END SUB

CAPITULO XICAPITULO XICAPITULO XICAPITULO XI

BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA

XI. BIBLIOGRAFÍAXI. BIBLIOGRAFÍAXI. BIBLIOGRAFÍAXI. BIBLIOGRAFÍA

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