Capítulo 10.

Interferencia-Difracción.

Introducción: En el capítulo anterior hemos estudiado el fenómeno de interferencia entre ondas luminosas coherentes. Los patrones de interferencia obtenidos, en las distintas situaciones analizadas, representan una clara manifestación del carácter ondulatorio de la luz. En este capítulo pretendemos profundizar nuestro estudio para situaciones más complejas, desde el punto de vista del cálculo, pero más familiares a nuestra experiencia cotidiana como es el caso de las sombras de objetos, en donde el fenómeno ondulatorio también se manifiesta fuertemente, aunque no tengamos conciencia de ello. En nuestra vida diaria estamos acostumbrados a ver las sombras de los objetos iluminados. Nuestra intuición, basada en la observación, nos lleva a pensar que esas sombras son perfectamente nítidas, es decir, poseen bordes bien definidos que separan zonas iluminadas de zonas obscuras. O a lo sumo, la falta de nitidez que observamos, suponemos que se debe a que el objeto se halla iluminado con una fuente extensa y por consiguiente la luz llega hacia él con diferentes ángulos. Esta imagen concuerda perfectamente con el comportamiento que predice la teoría corpuscular de la luz. Si pensamos a la luz como formada por pequeñas pelotitas que inciden sobre el objeto, algunas chocan con él y rebotan, otras pasan sin interactuar y otras son dispersadas levemente. Como resultado de este proceso no esperamos hallar patrones (luz obscuridad, luz obscuridad, etc.) como los que estamos acostumbrados a observar en el caso de los fenómenos ondulatorios. Pero para nuestra sorpresa las sombras no son nítidas y forman además patrones como los que se esperan en una teoría ondulatoria de la luz. A los fenómenos ondulatorios asociados con la formación de sombras se los conoce con el nombre de Fenómenos de Difracción. Como veremos no difieren conceptualmente de los fenómenos, ya estudiados, de interferencia entre rendijas puntuales. Este fenómeno, aunque lo estudiaremos asociado al caso de ondas de luz, es común a todas las situaciones físicas que involucren ondas que inciden sobre obstáculos, tales como ondas de agua (como las que vemos en una cuba de ondas), ondas de sonido, etc.. En el caso del sonido, estamos acostumbrados a escuchar sonidos aunque coloquemos un obstáculo delante nuestro, pareciera que la sombra sonora no fuera tan efectiva como una sombra luminosa, decimos que la onda se difracta a través del obstáculo (fenómeno de difracción). Luego veremos que, en los casos en donde la longitud de onda, de la onda, es pequeña respecto del obstáculo, las sombras “parecen nítidas” (no se observa claramente la formación de patrones), pero si la longitud de onda es del orden de las dimensiones del obstáculo o mayor, la sombra deja de ser “nítida” y parte de la onda ocupa regiones que antes no estaban permitidas, en el caso de la luz, la onda ocupa zonas de “sombra”, mientras que en el caso del sonido, invade zonas de “silencio”. En lo que sigue trataremos de profundizar el estudio del tema, pero como primer paso en esa dirección necesitamos adquirir cierta destreza en el calculo de sumas de muchas ondas provenientes de diferentes fuentes puntuales coherentes. Primeramente,

293

estudiaremos el fenómeno de interferencia producido en un sistema formado por N rendijas puntuales ( N ≥ 2) (red difracción), cuando se lo ilumina con una fuente de luz, fenómeno que, como veremos, tiene aplicaciones prácticas como interferómetro. Los ejercicios recomendados son el 9, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 21, 22, 23 y 24. 1. Guía Teoría: Interferencia entre N rendijas (Red de difracción): En el capítulo anterior hemos estudiado en detalle la experiencia de Young, en esta guía estudiaremos el funcionamiento de un dispositivo, formado por muchas rendijas muy juntas (red), que mejora la percepción del fenómeno de interferencia y permite una precisa determinación de la longitud de onda (interferómetro). Veremos que aumentando el número de rendijas, se consigue que las franjas resulten muy finas, lo cual, permite mayor precisión en la determinación de su posición. Estudiaremos el patrón de interferencia que produce un arreglo (red) de N rendijas puntuales (de ancho infinitesimal), separadas entre sí una distancia d, sobre una pantalla ubicada a una gran distancia del arreglo (en el infinito), ver figura 1. Detrás de la red iluminamos con una fuente de luz monocromática y de longitud de onda λ . La fuente está lo suficientemente lejos como para considerar que sobre la red incide una onda plana (planos paralelos a la red). Apelamos nuevamente a la imagen que nos brinda el principio de Huygens, que dentro de las condiciones que hemos impuesto (pantalla lejana), y lejos de las rendijas, resulta una buena aproximación. Dentro de este modelo, cada rendija se comporta como una nueva fuente de ondas cilíndricas, todas ellas en fase y emitiendo en forma coherente, ver figura 1,

d

Fuente puntual coherente, en ∞

Pantalla en +∞

Onda Plana Onda cilíndrica

Red de N rendijas

Figura 1: Red de N rendijas (puntuales). Comentario: La coherencia de las ondas cilíndricas sólo puede mantenerse siempre y cuando recorran caminos ópticos que no difieran entre sí más allá de una cierta longitud máxima, llamada longitud de coherencia. Por esta razón, en lo que sigue del cálculo analizaremos la interferencia entre las ondas en puntos cercanos al centro de la pantalla, de tal forma que el camino recorrido por todas las ondas esté dentro del rango en donde se mantiene la coherencia entre ellas. Vamos a estudiar la intensidad total de luz que llega a cada punto P de la pantalla (patrón de máximos y mínimos). Debemos, entonces, sumar las ondas provenientes de cada rendija que finalmente llegan a ese punto. Para fijar ideas, primero comenzamos haciendo las cuentas para el caso particular de 3 rendijas ( N = 3), ver figura 2.

294

Primeramente hallamos la diferencia de camino producida entre onda y onda. Tomamos como referencia a la onda central (r r= 2 ), ver figura 2.

L>>d

y

θ

∆r

θ

P r1

r2=r

r3

2∆r

Figura 2: Diferencia de caminos recorridos, entre ondas provenientes de orificios vecinos.

d

Vemos que, la onda 1 recorre menos camino que la central (onda 2), mientras que la onda 3 recorre más camino que la central. Dentro de la aproximación de pantalla infinitamente alejada ( L ) y ángulos (θ) pequeños, las ondas emitidas por cada rendija pueden considerarse paralelas, y dentro de esta aproximación, la diferencia de camino entre dos rendijas consecutivas se calcula simplemente como (ver figura 2),

d>>

∆r d≅ senθ (1) Por ende, los caminos recorridos por cada onda son,

r r1 = r− ∆ r r2 = r r r3 = + ∆ (2) De acuerdo a esto, el desfasaje producido entre las ondas emitidas por dos rendijas consecutivas, en su trayecto al punto P, resulta

( )θλπ

≅λ∆

π=δ sen22 dr (3)

que concuerda con el que obtuvimos en la experiencia de Yo]]+++++ ung. Comentario: Si la diferencia de camino ∆r justo mide una longitud de onda λ , o un múltiplo de ésta, el desfasaje entre onda y onda resulta δ π≡ 2 , con lo cual, las ondas interfieren constructivamente de a pares, y por consiguiente, en el punto P tenemos un máximo de intensidad. En base a este razonamiento, podemos anticipar, que los máximos de intensidad se ubican en los mismos ángulos que en el caso de la experiencia de Young (2 rendijas), es decir, en los ángulos que satisfacen,

( )δπ

λθ= =

22d msen π (4)

Al finalizar el cálculo demostraremos ésta afirmación. Suponemos a la pantalla lo suficientemente lejana como para que resulte una buena aproximación considerar que las ondas llegan al punto P planas, y además, con el mismo estado de polarización, por lo cual, podemos sumarlas como escalares. Además, resulta adecuado considerar que las ondas llegan al punto P con la misma amplitud , a pesar de tener una pequeña diferencia de camino recorrido.

0E

295

Dentro de esta aproximación, escribimos a las funciones de onda, de las ondas, que llegan al punto P proveniente de cada rendija, como, Onda proveniente de la rendija 1 : ( ) ( )E r t E kr t1 0, cos= − ω δ− , Onda proveniente de la rendija 2 : ( ) ( )E r t E kr t2 0, cos= − ω (5) Onda proveniente de la rendija 3 : ( ) ( )E r t E kr t3 0, cos= − ω δ+ Debido al carácter lineal de las leyes del electromagnetismo, vale el principio de superposición, y el vector óptico total resulta igual a la suma de los vectores ópticos provenientes de cada una de las rendijas, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]E r t E r t E r t E r t E kr t kr t kr t, , , , cos cos cos= + + = − − + − + − +1 2 3 0 ω δ ω ω δ (6)

El objetivo del cálculo que sigue es el de encontrar una expresión manejable para la función de onda total E E E E= + +1 2 3

)+ δ

en el punto P, de tal forma de poder obtener el patrón de interferencia. Aunque en un principio parezca una complicación, reescribimos a la expresión anterior como una sumatoria, es decir (verifique),

( ) (E r t E kr t nn

, cos= −=−∑0

1

1

ω ................(7)

Esta expresión aún no resulta manejable para obtener la estructura de máximos y mínimos, pero antes de completar el cálculo, resulta fácil y conveniente generalizar el resultado obtenido (para tres rendijas) a un número cualquiera de rendijas N (mayor que 3). Las ondas se desfasán, de a pares, un ángulo δ dado por la ecuación 3. La diferencia esencial aparece en el rango del índice de suma n, ya que no sólo toma los valores -1, 0 y 1, como sucede en el caso N = 3. Como ejemplo, para 5 rendijas ( N =5) el índice de suma toma los valores,

n = − −2 1 0 1 2, , , , es decir, la primera rendija se desfasa en δ respecto a la central, mientras que la segunda en 2 . δ Nosotros generalizaremos el cálculo para un número impar de rendijas, queda como ejercicio para el lector repetirlo para el caso de N par, anticipamos que el resultado final resulta idéntico.

3≥N

Para un número de rendijas (impar), el índice n toma los valores, 3≥N

21,.....,1 ,0 ,1,.....

21 −

−−

−=NNn (verificar). (8)

Por consiguiente la función de onda total en el punto P, suma de los campos provenientes de N rendijas, puede escribirse:

E r t E E kr t n( , ) cos( )= = −∑ ∑ nn=-(N-1)/2

(N-1)/2

n=-(N-1)/2

(N-1)/2 0 ω δ+ (9)

El próximo paso consiste en sumar la serie de cosenos de la ecuación anterior. Para ello, en un primer momento, complicaremos el cálculo introduciendo exponenciales complejas, la razón de este paso quedará justificado más tarde cuando veamos que la serie tiene la apariencia de una serie geométrica la cual posee una solución conocida. Este cálculo puede resultar muy tedioso, es aconsejable saltearlo en una primera lectura (y segunda también), ya que no agrega ningún concepto físico nuevo y solamente consiste en sumar la serie de funciones cosenos de la ecuación 9.

296

Retomar a partir de la ecuación 27, donde se obtiene una expresión más manejable para el vector óptico total E r t( , ) en el punto P.

Saltear en una primera lectura hasta la ecuación 27 Queremos expresar a las función coseno como la parte real de una exponencial compleja. Sabemos que la exponencial compleja e i θ puede expresarse en función de las funciones seno y coseno de la siguiente forma,

( ) ( )e ii θ θ= +cos sen θ (10) Su representación en el plano complejo se muestra en la figura 3. Su complejo conjugado es,

cos(θ)

eiθ

θReal

Figura.3: Representación gráfica de la exponencial compleja e iθ

sen(θ)

Imaginario

( ) ( )e i-i θ θ= −cos sen θ (11) A partir de la ecuación 10, podemos escribir al coseno como la parte Real de la exponencial compleja, es decir,

( ) ( )cos θ θ= Real e i (12) reemplazando esta expresión en la ecuación 9 obtenemos,

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∑=∑= δ+ω−δ+ω−

1)/2-(N

1)/2--(N=n

)n trk (i0

)n trk (i1)/2-(N

1)/2--(N=n0 e e ),( RealERealEtrE (13)

De esta forma, hemos transformado una suma de cosenos (ec. 9) en una suma de exponenciales (ec. 13), funciones que son mucho más manejables. Ahora, factoreando

( )e e e e i k r t n i k r t i n i k r t i n( ) ( ) ( )− + − −= =ω δ ω δ ω δe y sacando fuera de la suma al primer factor, ya que no depende del índice n, obtenemos,

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∑= δω−

1)/2-(N

1)/2--(N=n

n i)trk (i0 e e ),( RealEtrE (14)

Calculemos separadamente la suma que aparece dentro del corchete de la ecuación anterior, es decir,

( )Suma n= ∑ = ∑ e ei nn=-(N-1)/2

(N-1)/2i

n=-(N-1)/2

(N-1)/2δ δ (15)

Esta suma puede visualizarse en el plano complejo como una suma de N vectorcitos de modulo uno (fasores), con distintos ángulos θ , ver figura 4. δ= n

297

∑ei n δ

Imaginario

Figura.4: Representación gráfica de la suma de exponenciales complejas (fasores).

Real

Ejemplo con N=4. Los fasores tienen los ángulos θ1=δ, θ2=2δ, θ3=3δ y θ4=4δ

En algunos libros se usa el método gráfico para resolver el problema, nosotros seguiremos el camino más duro, el algebraico. La suma de la ecuación 15 tiene la forma de una serie geométrica. Recordemos cual es la forma y solución de esta serie:

S a a= + + ∑−

+.......+a = a = aa -1

N-1 n

n=-0

N-1 n

112 (16)

(Verifique que se satisface la igualdad para algunos ejemplos, ej. a = 2 y N = 4 ).

Este apartado puede saltearse en una primera lectura. A continuación vamos a demostrar la expresión 16. Esta igualdad resulta fácil de demostrar multiplicando a S por el factor a , el resultado vuelve a dar algo muy parecido a S , o sea:

N1-N2 a+a+.......+ aaaS +=

le falta un 1 y le sobra un a , si le agregamos el 1 y le sacamos el a obtenemos nuevamente N N S , aS a a+ − = +1 2a 1 + +.......+a = SN N-1

y de la expresión anterior es posible despejar a S ,

S = aa -1

n − 1 demostrado.

Queda como ejercicio para el lector demostrarlo por inducción. Volvamos a la suma de la ecuación 15, vemos que si tomamos a e= i δ la suma se parece mucho a la suma geométrica de la cual conocemos su solución. Pero aún hay una diferencia, el índice de suma no comienza en n , ni termina en n= 0 N= −1, sino que comienza en n N y termina en n N . Este problema se puede solucionar haciendo un simple cambio de variables (que como usted puede comprobar, es lo mismo que sacar factor común un factor adecuado, pruébelo).

( )= − −1 2/= −1 2/( )

Definimos un nuevo índice de suma ′n de tal forma que su primer valor sea cero, de la siguiente forma:

( )′ = +

−n n

N 12

(17)

Compruebe que este nuevo índice comienza en ′ =n y termina en 0 ′ = −n N 1 (esto se puede verificar reemplazando los valores límites de n). Con este cambio de variables, reescribimos a la Suma 15, teniendo en cuenta que n n N= ′ − −( ) /1 2 ,

( )Suma = ∑ ′′

ei n -(N-1)/2N-1 δ

n =0sacamos factor común el factor que no depende del índice de suma

(18)

′n , es decir,

298

( ) ( )Suma = ′′∑e ei

-(N-1)/2 i n

n =0

N-1δ δ (19)

y usando el resultado de la serie geométrica (ec. 16), obtenemos:

Suma e ee

-i (N-1)/2i N

i =−−

δδ

δ

11

(20)

Llegado a este punto debemos agudizar nuestra vista y ver que el cociente que aparece en la ecuación 13 puede transformarse en un cociente de dos funciones seno. Recordemos que la función seno puede obtenerse a partir de exponenciales complejas de la siguiente forma (probarlo a partir de restar entre sí las ecuaciones 10 y 11):

( )sen θθ θ

=−e e

i

i -i

2

(21)

En la ecuación 20 no tenemos exactamente esto, pero si la trabajamos un poco tal ves sí. En el numerador podemos sacar factor común ei N /2δ y usar la expresión 21,

[ ] ( )[ ]e e e e e i N i N/2 i N/2 -i N/2 i N/2δ δ δ δ δ δ− = − =1 2 i Nsen / 2 (22) y en el denominador sacamos factor común ei /2δ y usamos también la expresión 21,

[ ] ( )[ ]e e e e e i i /2 i /2 -i /2 i /2δ δ δ δ δ δ− = − =1 i sen /2 2 (23) reemplazando 22 y 23 en la Suma 20,

( )( )Suma

N e

ee

-i (N-1)/2i N/2

i =δ

δ

δ

δδ/

sen /sen /2

22

(24)

y simplificando las exponenciales,

( ) ( )( )SumaN

e

i n

n=-(N-1)/2

(N-1)/2= ∑ =δ

δδ

sen /sen /

22

(25)

Con lo cual hemos llegado a una expresión bastante simple que nos permitirá extraer fácilmente los máximos y mínimos de interferencia (note que el resultado de la Suma de exponenciales complejas es un número real) Reemplazando el resultado de la suma en la expresión 14, que nos daba la función de onda total en el punto P, obtenemos:

( )( )

E t E RealN

( )sen /

sen /( )=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

− e i k r t

02

2ω δ

δ (26)

El cociente de las dos funciones senos es un número real con lo cual puede ser extraído fuera del corchete, y la parte real de la exponencial compleja ya sabemos que es el coseno, con lo cual,

Retomar la lectura la función de onda total en el punto P, suma de las N ondas provenientes de las N rendijas, resulta:

( )( ) ( tkr

NEntkrEtrE ω−δ

)δ=∑ δ+ω−= cos 2/sen

2/ sen )cos( ),( 01)/2-(N

1)/2--(N=n0 (27)

La expresión anterior es la solución de la sumatoria de ondas planas (funciones coseno) planteada en la ecuación 9, y nos dice que el vector óptico total es también una onda plana, que varía armónicamente con la misma frecuencia angular ω y que su amplitud es,

( )( )

A r EN

( , )sen /sen /

θδδ

=

02

2 (28)

La amplitud depende fuertemente del ángulo θ a través del desfasaje θλπ

=δ sen2 d . A

partir de la dependencia con el ángulo θ es que esperamos obtener el patrón de interferencia, para ello, debemos calcular la intensidad de luz que llega a cada punto P.

299

Como ya vimos la intensidad la podemos calcular como el valor medio temporal del cuadrado del vector óptico, es decir:

( )( ) ( )

( )( )

2202

220

2

2/sen2/ sen

2

2/sen2/ sen =),( ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡δδ

=ω−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡δδ

=NEtkrcosNEtrEI (29)

donde es fácil comprobar que E02

2 es la intensidad que llega al punto P proveniente de

cada una de las rendijas (reemplazar N por 1 en la ec. 29) que llamamos . Por consiguiente la intensidad total en el punto P es,

I0

( ) ( )( )( )( )

2

0

2

0 2/ sen2/ sen

2/sen2/ sen ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡θθ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡δδ

=θsendk

sendkNINII (30)

A partir de la ecuación 30 podemos estudiar al patrón de interferencia, pero antes veamos si la expresión hallada funciona bien para el caso particular de una sola rendija N = 1 y para dos rendijas N = 2 (experiencia de Young). Caso N = 1:

( )( )

I I I=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =0 0

22

2

sen /sen /

δδ

que concuerda con la intensidad proveniente de una sola rendija. Caso N = 2 (verifique):

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

I I I I I=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =0 0 0 0

22 22

2 22

2 2 22

4 2

2 2 2

sen /sen /

sen / /sen /

sen / cos /sen /

cos /δδ

δ δδ

δ δδ

δ

que concuerda con la intensidad que hallamos para el caso de dos rendijas. Patrón de interferencia de N rendijas. Máximos y mínimos: La ecuación 30 tiene toda la información que necesitamos para hallar los máximos y mínimos de interferencia. El problema es un poco más complicado que el de sólo dos rendijas. Antes de resolverlo analíticamente podemos ir sacando conclusiones del gráfico. En la figura 5 graficamos, con ayuda del Mathematica, la intensidad I en función del sen , lo hacemos para diferentes número de rendijas (queda como ejercicio para el lector repetir este gráfico). A la izquierda se muestra el gráfico de la Intensidad en función del tiempo y a la derecha se muestra el negativo de la iluminación de la pantalla (las zonas grises indican luz, mientras las blancas obscuridad):

θ

d2 λ−

d

λ− d

λ d

2 λ sen(θ)

4I0

I(θ)

0 Negativo del Patrón de Interferencia, de 2 rendijas, sobre la pantalla. Las zonas grises indican luz.

N=2

300

d

λ d

λ− d

2 λ− d

2 λ

4I0

I(θ)

N=3 9I0

sen(θ) Negativo del Patrón de Interferencia, de 3 rendijas, sobre la pantalla. Las zonas grises indican luz. 0

d

λ− d

2 λ−d

λ

d2 λ

16I0

I(θ) N=4

sen(θ) Negativo del Patrón de Interferencia de 4 rendijas, sobre la pantalla. Las zonas grises indican luz. 0

d

λ− d

2 λ−dλ

d2 λ sen(θ) 0

I(θ)

Figura.5: Representación gráfica de la intensidad de luz que incide sobre la pantalla, en el caso de redes con 2, 3, 4 y 5 rendijas. A la derecha se muestra el negativo de la “foto” de la pantalla (las zonas grises indican luz).

Negativo del Patrón de Interferencia de 5 rendijas, sobre la pantalla. Las zonas grises indican luz.

N=5 25I0

De observar los gráficos, podemos hacer las siguientes observaciones: • El primer gráfico corresponde al caso de dos rendijas ( N = 2 ). Como sabemos, los

máximos se encuentran ubicados en ángulos que satisfacen sen md

θλ

= donde m Z∈ .

Los ceros de intensidad se encuentran en el medio de dos máximos. La intensidad de estos máximos es exactamente I Imax = 4 0.

301

• En el caso de 3 rendijas (N = 3), los máximos se ubican en la misma posición angular que en el caso de 2 pero son un poco más intensos ( 0max 9II = ). Entre medio de dos máximos principales aparece un máximo secundario de menor intensidad.

• Con el aumento del número de rendijas, aumenta la cantidad de máximos secundarios de baja intensidad (casi no se ven) y aumenta la intensidad de los máximos principales.

Para 4 rendijas hay 2 máximos secundarios, mientras que para N = 5 hay 3. Es fácil demostrar que el número de máximos secundarios es igual a N −2 (queda como ejercicio para el lector).

• En todos los casos, independientemente del número de rendijas (N ≥2) los máximos

principales se ubican en los mismos ángulos, aquellos que satisfacen sen md

θλ

=

donde m Z∈ . • La intensidad de los máximos principales aumenta al aumentar el número de

rendijas. Por ejemplo, para N = 3 la intensidad máxima resulta ser , para I má x= 9 0IN = 4 I y para Imá x= 16 0 N =5 I Imá x= 25 0.

En general (después lo probaremos), la intensidad de los máximos principales aumenta como I , mientras que la de los máximos secundarios disminuye hasta ser casi invisibles.

Nmá x=2

0I

Máximos y Ceros de Intensidad, resolución analítica. Por el momento hemos obtenido toda nuestra información, sobre la ubicación de los máximos principales y secundarios y los ceros de intensidad, a partir de la gráfica de la ecuación 30,

( )( )( )

I IN

θδ

δ=

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥0

222

sen /

sen / (30)

donde δπ

λθ=

2 d sen .

Queda como tarea para el lector hallar los máximos analíticamente. Aquí únicamente señalamos (verifique) que la función Intensidad ( )I θ posee sus máximos principales (que es lo que verdaderamente nos interesa) en aquellos ángulos en donde se anulan el numerador y el denominador a la vez, y eso sucede cuando se satisface,

δ π π π π π2 0 2 3 4= =, , , , ..... m con m∈ Ζ . (31) Por consiguiente, los ángulos en donde se hallan los máximos de intensidad satisfacen,

( ) π=θλπ

=δ 2 sen 2 md con m∈ Ζ ⇒ (32)

( )sen θ λm = m d con m∈ Ζ (33) que concuerda con lo obtenido en los gráficos. El coeficiente entero m numera a las franjas, por ejemplo, m corresponde a la franja central, llamada orden cero, mientras que los valores m

= 0= ±1 corresponden a las primeras franjas, a los costados de la central,

llamadas orden 1. Dándole otros valores a la constante m, obtenemos los ordenes superiores. La ubicación angular de los máximos de interferencia en una red de N rendijas concuerda exactamente con la ubicación hallada en el caso de dos rendijas (Young). Este resultado parece totalmente intuitivo, ya que δ es el desfasaje producido entre dos rendijas consecutivas, por consiguiente, si π=δ 2 m las ondas de dos rendijas consecutivas se hallan en fase, por ende, todas las ondas se hallan en fase, y por

302

consiguiente, para los ángulos que satisfacen la ecuación 33 se obtiene un máximo de intensidad. Es posible obtener las posiciones sobre la pantalla donde aparecen los máximos, en la aproximación de ángulos pequeños, como (ver figura 6),

( ) ( )y L L m Ldm m m

= ≈ =tg senθ θ λ (34)

θ

Pantalla

Fuente en -∞

Red

Fig.6

y

L

La distancia que separa dos máximos u ordenes consecutivos, se calcula simplemente restando,

( )∆y y y mLd

mLd

Ld

= − ≈ + − =+m m 1 1 λ λ λ (35)

Las ecuaciones 34 y 35 son conceptualmente importantes. La ecuación 35 nos dice que si queremos que las franjas estén suficientemente separadas como para apreciarlas, podemos aumentar la distancia L o disminuir la distancia entre rendijas d (Red de mayor calidad). La ecuación 34 nos dice algo aún más importante, que la ubicación de los máximos de intensidad no resulta igual para los diferentes colores. Esto resulta evidente ya que su posición sobre la pantalla es proporcional a la longitud de onda (color). Es decir que, si iluminamos una red con luz coherente blanca, observamos sobre la pantalla la formación de franjas de diferentes colores. El centro, orden cero, permanece blanco ya que todos los colores tienen su orden cero en , pero ya en el orden 1 comienzan a separarse. El violeta y el azul (de menor longitud de onda) se hallan más cerca del centro, mientras que el rojo, de mayor longitud de onda, se halla más alejado. Por consiguiente una Red de difracción nos sirve para separar los colores, al igual que un prisma.

y = 0

Usando las ecuaciones 30 y 32, podemos calcular la intensidad de luz que llega los máximos principales,

( )( ) NN

mlim

=δδ

π→δ 2/sen2/ sen

2 ⇒ I N I= 2 0 (En los máximos principales) (36)

Este resultado concuerda con lo que ya habíamos anticipado del análisis de los gráficos. Nos dice que si queremos lograr una mayor intensidad de las franjas, para que éstas resulten más visibles, debemos aumentar el número de rendijas de nuestra Red. Calculemos ahora la ubicación de los Ceros de Intensidad (nos será de utilidad en el futuro). De la ecuación 30, vemos que la intensidad se anula cuando se anula el numerador pero no se anula el denominador (ya que si se anula, la intensidad resulta máxima), es decir,

( )sen /N δ 2 = 0 pero ( )sen /δ 2 0≠ ⇒

303

N m δ / 2 = ′ π pero δ π/ 2 ≠ ′′m ⇒

( )δπ

λθ= =

′2 2d

mπ

Nsen pero

′≠

mN

número entero

O sea, los ceros se hallan ubicados en los ángulos que satisfacen,

( )sen θλ

=′m

N d con

′≠

mN

número entero.... (Ceros de Intensidad) ) (37)

Ejemplo, si N = 4 , los ceros se hallan ubicados en los ángulos ( ( )θ θ≈ sen ), • no corresponde a un cero ya que es la franja central. ′ =m 0

• Primer cero: ′ =m 1 θλ

≈14

d

• Segundo cero: ′ =m 2 θλ

≈12

d

• Tercer cero: 3=′m θλ

≈34

d

• no corresponde a un cero ya que corresponde a la ubicación de la franja de

primer orden, ya que

′ =m 4′= =

mN

44

1.

En general entre dos máximos principales hay N − 1 ceros de intensidad (verificarlo), y entre dos ceros hay un máximo secundario (no exactamente en el medio), por consiguiente, entre dos máximos principales hay N − 2 máximos secundarios. A partir de conocer la ubicación de los ceros, podemos tener una idea del ancho de las franjas (máximos principales), estimando groseramente el ancho de la franja como la resta entre las posiciones de dos ceros. Por ejemplo, tomemos la franja de orden cero ( ) , los ceros que se hallan a los costados de esta franja corresponden a los valores de ,

0=m′m

1−=′m y 1=′m (Verifique), y por ende sus ubicaciones angulares son (para ángulos pequeños),

θλ

− ≈ −11N d

y θλ

11

≈N d

(38)

⇒ ∆θ= − ≈−θ θλ

1 12N d

(39)

De la ecuación 39 vemos que si queremos que las franjas sean más finas, debemos aumentar el número de rendijas, propiedad que ya habíamos observado en los gráficos. A partir de la ecuación 39, podemos obtener el ancho de las franjas proyectadas sobre la pantalla, como,

dNLy λ≈∆ 2 (40)

Resumiendo, si queremos que las franjas estén suficientemente separadas, unas de las otras, podemos disminuir la distancia entre rendijas d. Mientras que para que sean finas e intensas podemos aumentar el número de rendijas N (iluminadas). De acuerdo a esto, una Red se considera de mayor calidad (y mayor precio), cuando posee el mayor número de rendijas con menor distancia de separación entre ellas.

304

Para visualizar mejor lo que pasa a medida que aumenta el número de rendijas, en la figura 7, mostramos el gráfico correspondiente a un espectro formado a través de una red de N =100 rendijas (iluminadas),

d2 λ−

d

λ−d

λd

2 λ0 sen(θ) Figura.7: Gráfico de la intensidad de luz en función del ángulo, para una red de 100 rendijas. Note que los máximos secundarios no se ven.

N=100 Imax=104 I0 En la figura se aprecia, lo que ya anticipamos del análisis teórico, que cuanto mayor es el número de rendijas las franjas resultan más finas e intensas. Otro hecho importante que podemos comprobar de observar el gráfico ( 100=N ), es que no se observa ningún máximo secundario, a pesar que del análisis teórico esperamos la aparición de 982=−N . Queda como ejercicio para el lector comprobar que la intensidad relativa, entre los máximos secundarios y los máximos principales, disminuye drásticamente al aumentar el número de rendijas, hasta ser completamente invisibles. Este hecho resulta positivo para la mejor visualización de las franjas. En el laboratorio comúnmente, como fuente coherente de ondas planas, se utiliza luz Láser. El ancho del haz Láser es del orden del milímetro, por lo cual, si lo hacemos incidir sobre una red sólo una pequeña parte de las rendijas entra en juego, y por consiguiente, sobre la pantalla no vemos largas franjas como las mostradas en la figura anterior, sino simplemente puntos separados entre sí en un ángulo igual a d

λ , ver

figura 8.

0

Figura 8: Esquema de las franjas sobre la pantalla, cuando la fuentes de luz es muy fina (láser)

senθ≈θ-λ/d λ/d Espectrómetro: ¿Para qué nos puede servir una red de N rendijas?. Al principio dijimos que con el cálculo adquiriríamos destreza para luego analizar el fenómeno de difracción, pero llegados a este punto vemos que una red de N rendijas nos puede resultar muy útil para analizar el espectro de emisión de luz de algún átomo o molécula, como veremos seguidamente. Supongamos que queremos estudiar el espectro de emisión del Na (sodio) incandescente. El sodio, como cualquier otro átomo, no emite un espectro continuo de luz. Si descomponemos la luz emitida con ayuda de un prisma no obtenemos todo el arco iris sino sólo determinados colores o longitudes de onda, en el caso del sodio se obtiene con mayor intensidad luz amarilla. El espectro es diferente para cada átomo o molécula particular, ya que depende fuertemente de su estructura cuántica y electrónica. Por esta razón, resulta posible identificar al elemento por su espectro, tal como si fuera una huella digital del mismo. Estudiar el espectro significa determinar exactamente las longitudes de onda emitidas por el elemento en cuestión. Su conocimiento nos permite, no sólo entender mejor la estructura atómica del elemento, sino además, conocido su espectro, es posible

305

determinar si un compuesto desconocido está o no integrado por ese elemento. Este análisis espectral, es posible hacerlo aunque el compuesto esté tan lejos como en una estrella. A un dispositivo que separa las ondas de diferente longitud de onda y permite determinar su valor se le llama espectrómetro. Podemos fabricar un espectrómetro con una red de N rendijas tal como se muestra en la figura 9. Construimos una fuente luminosa puntual interponiendo una pantalla sobre la que se ha realizado un orificio. Luego colocamos una lente convergente de tal forma que su foco concuerde con la ubicación del orificio, de esta forma, la onda que sale de la lente parece provenir desde el infinito (onda plana). Luego hacemos incidir esta onda sobre una red de N rendijas, con N suficientemente grande. Al atravesar la red las ondas provenientes de cada rendija interfieren formando un patrón de franjas iluminadas y obscuras, que podemos observar en una pantalla colocada suficientemente lejos de la red (infinito), ver figura 9.

Na Foco

Red Pantalla en +∞

Lente Onda plana

Pantalla con una rendija

Figura.9: Esquema de un espectrómetro construido a partir de una red de N rendijas. La ubicación de los máximos de intensidad depende de la longitud de onda, o sea del color. De esta forma, habrá franjas iluminadas de diferentes colores. Dijimos que el sodio emite principalmente luz amarilla (también verde, rojo, etc, con menor intensidad), pero se puede ver que esa luz amarilla en realidad esta formada por dos ondas de longitudes de onda muy parecidas, λ1 589 00= , nm y λ (1 1 ), y muy difíciles de distinguir una de la otra, comúnmente se las denomina “doblete del sodio”.

2 589 59= , nm0 9nm m= −

En la figura 10 graficamos el espectro correspondiente al doblete del sodio, la red nos ayuda a distinguir entre las dos longitudes de onda (amarilla) y nos permite además medirlas.

d12λ

d22

λ

dλ−

dλ0 sen(θ)

I(θ)

En el gráfico, podemos ver que en el centro de la pantalla ambas longitudes de

Figura.10: Graficamos el espectro correspondiente al doblete del sodio. En el segundo orden se distingue nítidamente la diferencia entre las dos longitudes de onda, de luz amarilla.

306

onda se solapan, no siendo posible identificarlas como distintas. En el primer orden

(θλ

≈ ±d

) ya han comenzado a separarse, mientras que en el segundo orden (θλ

≈ ±2d

) ya

es posible medir el ángulo θ para cada longitud de onda amarilla y así determinar la longitud de onda que caracteriza a cada una de ellas. La separación lograda depende de la distancia d entre rendijas, mientras menor es esta distancia más separadas resultan las franjas. Además cuanto mayor es el número de rendijas las franjas son más intensas y finas, lo que permite mejorar la percepción del efecto. Optativo. Incidencia oblicua de la onda luminosa sobre una Red. Analicemos ahora el caso en que la onda plana incide oblicuamente, respecto al eje normal a la Red, con un ángulo de incidencia θ , tal como se muestra en la figura 11. i La consecuencia inmediata de esto, es que la franja central no se halla ubicada sobre el eje normal sino que se corre un ángulo θ . Aunque el resultado es bastante intuitivo, la demostración analítica es un poco más dificultosa, ya que estamos trabajando con ondas y no con rayos.

i

La diferencia principal es que el frente de onda no llega al mismo tiempo (en fase) a todas las rendijas, ya que no han recorrido el mismo camino óptico. Por consiguiente, las ondas cilíndricas reemitidas por cada rendija no están en fase entre sí. Podemos hallar esa diferencia de fase, entre dos rendijas consecutivas, con ayuda del gráfico de la figura 12.

θi >0 θi

Pantalla en +∞

l

θi

d

1

2 Figura 12: Diferencia de caminos recorridos, por la onda, debido a la incidencia oblicua.

Figura 11: Incidencia oblicua, de la onda luminosa, sobre una Red.

Onda Plana Franja central

RedFuente en -∞

Vemos que al producirse incidencia oblicua, la parte de la onda plana que llega a la rendija 1 recorre un camino óptico mayor que la parte que llega a la rendija 2. La diferencia de camino es:

( )dl

i =θsen ⇒ ( )idl θ= sen (41) debido a esta diferencia de camino se produce una diferencia de fase,

( )ii dl

θλπ

=λ

π=δ sen2 2 (42)

En conclusión, podemos afirmar que si de la rendija número 2 sale una onda del tipo, ( )E t E kr t2 0 2( ) cos= − ω (43)

de la rendija 1 sale, ( )E t E kr t1 0 2( ) cos= − ω δ i+ (44)

307

desfasada en una cantidad δ de la primera. i

Este desfasaje inicial se suma al desfasaje θλπ

=δ sen2 d (ec. 3) producido entre dos ondas

emitidas por rendijas consecutivas, en su camino hacia algún punto P sobre la pantalla. Por ejemplo, para el caso de 3 rendijas que fue nuestro ejemplo original, la suma de los vectores ópticos que llegan al punto P, resulta (ver ecuaciones 6 y 7),

[ ] )cos()cos()cos(),( 0 tkrtkrtkrEtrE ii ω−δ−δ++ω−+ω−δ+δ−= ⇒

(( )∑−=

δ−δ+ω−=1

1 n 0 cos),( intkrEtrE ) (45)

Todos los cálculos posteriores resultan idénticos a los ya hechos salvo que, donde aparece , ahora se reemplaza por . Por consiguiente la expresión 30, que nos daba la intensidad luminosa en función

del ángulo θ para un ángulo de incidencia

δiδ−δ

0=θi , cambia a,

( ) ( )( )( )( )

2

0 2/sen2/ sen ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡δ−δδ−δ

=θi

iNII (46)

Por consiguiente, los máximos principales cambian su localización, y se encuentran ubicados en los ángulos que satisfacen:

π=ππππ=δ−δ mi .....4 ,3 ,2 , ,0

2 con m∈ Ζ . (47)

o sea,

( ) π=θ−θλπ

=δ−δ 2 sensen 2 md ii con m∈ Ζ ⇒

idm θ+λ=θ sensen m con m∈ Ζ (48)

o en nuestra aproximación,

θλ

θm ≈ +m d i

Con lo cual la franja central ( ) ya no se encuentra en 0=m 0=θ sino en iθ=θ , como esperábamos intuitivamente, y las franjas sólo se corren rígidamente. A partir de lo hallado, discuta sobre si es posible observar las franjas de interferencia si se ilumina con una fuente de luz extensa. Optativo. Redes con resplandor: Existe otro tipo de redes, que en lugar de consistir en un arreglo de rendijas, pueden consistir en una superficie reflectora con características similares a las mostradas en la siguiente figura 13. Las ondas que se reflejan en las distintas superficies triangulares interfieren entre sí al llegar a la pantalla formando un patrón de interferencia. Este tipo de Redes, que no las estudiaremos en detalle, permiten direccionar la máxima intensidad hacia ordenes superiores al orden cero, lo cual resulta más conveniente para fines espectroscopios.

Fuente en ∞

Figura 13: Red con resplandor.

Red

Pantalla

308

2. Cinco rendijas (muy finas), separadas entre si por una distancia d una de la otra, se iluminan uniformemente con luz de

m= 0 1, mλ = 600nm . Los diagramas de interferencia

se observan en una pantalla situada a una distancia de 10 metros. a) Calcular las posiciones de los máximos de interferencia. b) Calcular las posiciones en donde la intensidad se anula. c) Dibujar el diagrama de interferencia ( )I θ . d) ¿Cuántos máximos secundarios hay entre máximos principales? e) Si la intensidad de luz que llega a la pantalla, proveniente de cada ranura, es

¿Cuánto vale la intensidad en los máximos de interferencia ?. I0

f) Calcule aproximadamente la intensidad de luz en un máximo secundario compárela con la que halló antes para el máximo principal. Para ello aproxime que el máximo secundario se encuentra entre dos ceros de intensidad.

g) Calcule el ancho de las franjas iluminadas correspondientes a los máximos de interferencia, compárelos con los que se obtenía en el caso de sólo 2 ranuras. Analice lo que sucede cuando el número de rendijas crece.

h) ¿Cuáles son las ventajas de tener más de dos ranuras? (indique dos ventajas). i) Importante. ¿Cómo sería la intensidad ( )I θ , sobre la pantalla, si las rendijas no

emitieran luz coherente entre sí?. Grafique.

Ayuda: recordar que ( )( )( )

I IN

θδ

δ=

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥0

222

sen /

sen / donde δ

πλ

θ=2 d sen .

3. Consiga un Compac Disc (no importa el autor ni el estilo). Observe el reflejo de alguna fuente de luz blanca, sobre él, compruebe que el compac logra dispersar los colores. Explique el fenómeno. 4. Guía Teórica: Difracción. Introducción: En nuestra vida diaria estamos acostumbrados a ver las sombras de los objetos iluminados. Nuestra intuición, basada en la observación, nos lleva a pensar que esas sombras son perfectamente nítidas, es decir, poseen bordes bien definidos que separan una zona iluminada de una zona obscura. O, a lo sumo, la falta de nitidez que observamos, suponemos que se debe a que el objeto se halla iluminado con una fuente extensa y por consiguiente la luz llega hacia él con diferentes ángulos. Esta imagen concuerda perfectamente con el comportamiento que predice la teoría corpuscular de la luz. Si pensamos a la luz como formada por pequeñas pelotitas que inciden sobre el objeto, algunas chocan con él y rebotan, otras pasan sin interactuar y otras son dispersadas levemente. Como resultado de este proceso no esperamos hallar patrones (luz obscuridad, luz obscuridad, etc.) como los que estamos acostumbrados a observar en el caso de los fenómenos ondulatorios (Interferencia), sino simplemente la proyección geométrica del obstáculo. Pero para nuestra sorpresa las sombras no son nítidas y forman además patrones como los que se esperan en una teoría ondulatoria de la luz. Para fijar ideas, supongamos que iluminamos una ventanita rectangular y observamos como se proyecta sobre una pantalla. Nuestra intuición nos dice que vamos a ver una proyección geométrica de la ventanita sobre la pantalla, como se muestra en la figura 14.

309

Pantalla Iluminada. Proyección geométrica Obstáculo con

ventana.

Onda Plana

Fuente en el ∞ Figura 14: Proyección geométrica de una ventana sobre una pantalla. Si sobre el obstáculo incidieran ondas planas con distinta inclinación se formarían diferentes proyecciones geométricas superpuestas. Pero aparentemente la Luz no se comporta de esta manera. Claro que por algo hemos formado nuestra intuición. En la mayoría de los casos que observamos, ventanas, grandes aberturas o grandes obstáculos, vemos un fenómeno que concuerda bastante bien con una proyección geométrica (o varias superpuestas). Pero no sucede lo mismo cuando iluminamos con una fuente coherente aberturas u obstáculos pequeños (¿pequeños respecto de qué?), fenómeno qué difícilmente observemos en nuestra vida cotidiana, a menos que dispongamos de un laboratorio con los instrumentos adecuados. Una de las razones por las cuales comúnmente no observamos fenómenos ondulatorios en la formación de sombras es que, como ya comprobaremos, son mejor visualizados en sombras de objetos pequeños. Pero el principal motivo, por el cuál no los observamos, es que la luz que ilumina comúnmente a los objetos no proviene de una fuente puntual y coherente (como la que disponemos en el laboratorio). Las fuentes de luz, comúnmente, son fuentes extensas y sin coherencia. Al ser fuentes extensas (no puntual), las ondas provienen de diferentes puntos de la fuente por lo cual llegan al objeto con diferentes ángulos y, por consiguiente, forman patrones (máximos y mínimos de intensidad) corridos unos respecto de otros, por lo cual se hallan borroneados. Las fuentes extensas emiten luz no coherente, ya que las ondas provienen de la desexcitación de diferentes átomos que emiten sin guardar ninguna correlación unos con otros, por consiguiente, las fases de las ondas varían constantemente en el tiempo, de esta forma los patrones van cambiando, con lo cual, se dificulta la observación de fenómenos ondulatorios. A los fenómenos ondulatorios asociados con la formación de sombras se los conoce con el nombre de Fenómenos de Difracción. Como veremos no difieren conceptualmente de los fenómenos, ya estudiados, de interferencia entre rendijas puntuales. Este fenómeno, aunque lo estudiamos asociado al caso de ondas de luz, es común a todas las situaciones físicas que involucren ondas que inciden sobre obstáculos, tales como ondas de agua (cuba de ondas), ondas de sonido, etc.. En el caso del sonido, estamos acostumbrados a escuchar sonidos aunque coloquemos un obstáculo delante nuestro, pareciera que la sombra sonora no fuera tan

310

efectiva como una sombra luminosa, decimos que la onda se difracta a través del obstáculo. Luego veremos que, en los casos en donde la longitud de onda, de la onda, es pequeña respecto del obstáculo, las sombras “parecen nítidas” (no se observa claramente la formación de patrones), pero si la longitud de onda es del orden de las dimensiones del obstáculo o mayor, la sombra deja de ser “nítida” y parte de la onda ocupa regiones que antes no estaban permitidas, en el caso de la luz, la onda ocupa “zonas de sombra”, mientras que en el caso del sonido, invade “zonas de silencio”. El oído percibe sonidos de longitudes de onda entre los valores 0 0 (aproximadamente). Gran parte de los obstáculos que podemos imaginar poseen estas dimensiones, por lo cual, esperamos que los sonidos graves (frecuencia baja ⇒ λ larga) se difracten mejor invadiendo regiones detrás de los obstáculos, mientras que los sonidos agudos (frecuencia alta ⇒

2 17, m m≤ ≤λ

λ baja) se difractan menos, formando zonas de silencio más nítidas. Como ejemplo, recuerde como escucha la música de su vecino, ¿escucha todos los tonos por igual? ¿o escucha mejor los graves (tambores)?. Un objeto de 1 metro no representa un obstáculo apreciable para una onda de longitud de onda λ ≈ 20m (salvo en zonas muy cercanas al objeto). La onda lo envuelve, ocupando zonas que se hallarían vedadas si la sombra fuera perfectamente nítida. Mientras que sí representa un obstáculo apreciable para λ ≈ 0 02, m. Debido a que la onda se difracta, es que podemos escuchar sonidos provenientes de otras habitaciones de nuestra casa. En el caso de la transmisión de ondas de radio, la difracción de la onda resulta provechosa. Las longitudes de onda resultan aproximadamente entre 180 , para AM, y 2 5

550m m≤ ≤λ3 5, m ≤ ≤ , mλ para FM (y televisión). Para la onda AM la mayoría de los

obstáculos (edificios) resultan pequeños, en el sentido que “casi no le hacen sombra” (lejos del edificio), por esta razón la radio AM puede escucharse perfectamente en una ciudad. No ocurre lo mismo con la onda FM, ni con la televisión, un edificio cercano puede impedir la correcta recepción de la señal (esto último no debe confundirse con lo ya estudiado en el capítulo 6, en donde afirmamos que en frecuencia modulada pueden eliminarse los ruidos con mayor eficiencia que en amplitud modulada) A continuación analizaremos el fenómeno de difracción producido cuando una onda coherente atraviesa un obstáculo, nos ocuparemos como ejemplo de aberturas (rendijas, ventanas), pero no perdamos de vista que el fenómeno es general a todo tipo de sombras como, por ejemplo, nuestra propia sombra. Difracción en una rendija rectangular (Aproximación de Fraunhofer). Para fijar ideas, vamos a comenzar estudiando el fenómeno de difracción de la luz en el caso más simple, el patrón formado sobre una pantalla ubicada en el infinito (muy lejos) a partir de iluminar una rendija rectangular fina pero no puntual, de ancho “a” ( aL >> ), con una onda plana coherente (caso particular de la llamada aproximación de Fraunhofer: objeto iluminado con ondas planas y observación del fenómeno en un punto donde las ondas llegan “casi” planas, como por ejemplo cuando observamos sobre una pantalla muy lejana), como se muestra en la figura 15.

311

θ

L>>a

a

P y

Onda Plana

z

Figura 15: Difracción de una onda plana sobre una rendija de ancho a. Primeramente vamos a estudiar el caso en que la rendija es fina y larga, ver figura 16, es decir, . Como comprobaremos luego, los efectos de la difracción son más pronunciados en la dirección y (de ancho a), mientras que no son apreciables en la dirección alargada x (de largo b).

ba >a

Figura 17: Difracción producida en una rendija fina. Negativo de la imagen

sobre la pantalla. Las franjas obscuras son las de mayor intensidad Note la aparición de un patrón de luz (zonas obscuras) y no luz (zonas claras) propio de un fenómeno ondulatorio. Como luego veremos, la ubicación de las franjas depende fuertemente de la longitud de onda de la luz incidente, al igual que sucede en los fenómenos de interferencia, por lo cual, en realidad las franjas se observan coloreadas, cosa que aquí no se aprecia ya que la imagen es blanco y negro (¡éramos tan pobres!). Si la imagen fuera la proyección geométrica, sólo esperaríamos ver una replica de la rendija, de ancho a y largo b, pero claramente no es lo que vemos.

312

Note que en la dirección y parece no haber sucedido nada, las franjas tienen un largo b como lo que se espera en el caso de una proyección geométrica. En cambio, en la dirección x la rendija ha perdido su forma original. Algo notable es que la franja central es mucho más ancha de lo que era la rendija (longitud a), y lo más importante es la aparición de franjas iluminadas, paralelas a la central, de intensidad decreciente a medida que se alejan del centro. Decimos que la onda se ha difractado en la dirección y. En las figura 18 y 19, se muestra esquemáticamente, la forma en que se difracta la onda al salir de la rendija, en la dirección x e y En la dirección y:

y

Onda Difractada Onda Plana

Figura 18: Esquema de la forma en que se difracta la onda al atravesar la rendija, vista sobre el plano y-z.

En la dirección x:

Onda muy poco Difractada

x

Onda Plana

Figura 19: Esquema de la forma en que se difracta la onda al atravesar una rendija, vista sobre el plano x-z.

¿Por qué razón pareciera que no sucede nada en la dirección x (largo b) y sí en la dirección y (ancho a)?. Luego, comprobaremos analíticamente que la onda se difracta en ambas direcciones, pero los efectos se hacen mayormente visibles cuando la dimensión de la abertura es pequeña respecto a la longitud de onda de la onda incidente. Un caso particular es el de una rendija puntual, es decir, una rendija en donde el ancho a tiende a cero. Como ya sabemos de discusiones anteriores, la rendija se comporta como una fuente de onda con simetría cilíndrica, como muestra la figura 20. Podemos observar que la pantalla queda completamente iluminada.

313

Onda Difractada

Onda Plana

y

Figura 20. Difracción en una rendija puntual. Si la pantalla se halla suficientemente lejos, la onda llega “casi” plana, iluminando toda la pantalla.

Es un error muy común el de creer que, como no aparecen franjas claras y obscuras, no existe difracción. Pero en realidad el fenómeno de difracción se está manifestando fuertemente ya que la imagen formada en la pantalla (completamente iluminada), difiere completamente de la imagen esperada a partir de una proyección geométrica (propagación rectilínea), o sea, la onda plana al incidir sobre la rendija puntual se difracta completamente. Queremos entender este fenómeno a través de la teoría ondulatoria de la luz. Resolverlo a partir de las leyes de Maxwell del electromagnetismo resulta extremadamente dificultoso. Por lo cual, apelaremos nuevamente a la imagen que nos brinda el principio de Huygens-Fresnel, modelo aceptable dentro de la aproximación de Fraunhofer. En el caso en que teníamos muchas rendijas, vimos que cada rendija se comporta como fuente de ondas y que su superposición produce el fenómeno de interferencia. Ahora tenemos una rendija que no es puntual, sino que tiene un ancho a. Pero como ya sabemos del principio de Huygens podemos pensar que cada punto del frente de onda, que atraviesa la rendija, se comporta como una nueva fuente de ondas, de esta forma, podemos modelar la ventana (de ancho a) como una sucesión continua de rendijas puntuales. Las ondas emitidas por estas rendijas puntuales imaginarias se superponen, interfiriendo entre sí, formando sobre la pantalla un patrón de franjas claras y obscuras característico de un fenómeno ondulatorio (ver figura 21). Para comprobar el alcance del modelo propuesto, hagamos las cuentas y hallemos el vector óptico total en cada punto P de la pantalla, para luego obtener la intensidad en función del ángulo. En el caso de N rendijas, recordemos que debimos sumar las ondas (coherentes y en fase) provenientes de cada una de ellas (guía teórica 1, ec 9), es decir,

∑ δ+ω−=∑=1)/2-(N

1)/2--(N=n0

1)/2-(N

1)/2--(N=nn )cos( ),( ntkrEEtrE (1)

donde δπλ

θ=2

d sen , y d era la distancia entre rendijas.

En el caso de una abertura no puntual, todo indica que la sumatoria se convierte en una integral. La integral a resolver (dentro de nuestras aproximaciones) tiene la forma (Pensarlo detenidamente),

314

( )( ) dyyktkrEtrEa

a

sen cos ),(2/

2/ 0 ∫

−

θ−ω−= (2)

donde, la variable “y” identifica los diferentes puntos de la rendija, desde y a= − / 2 a y a= / 2. Nosotros aquí propondremos otro camino para resolver el problema, le dejamos al lector la tarea de resolver la integral y verificar que por ambos caminos se obtiene igual resultado. En una primera lectura recomendamos saltear lo que sigue y retomar a partir de la ecuación 9, en donde se obtiene el resultado de la integral 2.

Saltear en una primera lectura, retomar en la ecuación 9. Resolvemos el problema proponiendo un modelo, en donde consideramos que el proceso físico correspondiente a una onda plana atravesando una rendija de ancho a, puede ser aproximado (modelado) a través de una situación idealizada que consiste en reemplazar a la rendija de ancho a por

N rendijas puntuales separadas entre sí una distancia daN

= , con N suficientemente grande, ver figura

21.

θ

Pantalla

Fuente puntual y coherente, en -∞

Abertura de ancho a, pensada como N rendijas puntuales

d=a/N

a

Fig.21 P

El modelo se completa analizando el límite de N tendiendo a infinito. Con lo cual, estamos modelando a la abertura como formada por un número N → ∞ de rendijas puntuales separadas, entre sí, una distancia d (analice cuidadosamente el modelo). → 0 Nosotros ya calculamos el vector óptico total de un sistema de N rendijas en el punto P, en la guía teórica 1 ecuación 27 obtuvimos,

( )( ) ( tkr

NEntkrEtrE ω−δ

)δ=∑ δ+ω−= cos 2/sen

2/ sen )cos( ),( 01)/2-(N

1)/2--(N=n0 (3)

usando que δπλ

θ=2

d sen y reemplazando por daN

= ⇒ δπλ

θ=2

N

a

sen ⇒

( tkr

Na

aEtrE ω−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θλπ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θλπ

= cos 2/sen 2sen

2/sen 2sen ),( 0 ) (4).

Ahora queremos analizar el límite de la expresión 4 cuando N tiende a infinito. Pero antes de hacer esto, vamos a apelar a la intuición e imponer una condición esencial para que el límite no diverja. Imponemos que la amplitud del vector óptico que llega al punto P, proveniente de cada rendija, resulta proporcional a la inversa del número de rendijas, o sea,

EN0

0=ε

, (5)

315

donde ε es una constante. De tal forma que, si sumamos constructivamente las N ondas, el vector óptico total en el punto P, no resulte divergente a medida que crece N, es decir,

0

E NE NN

N

01

00

0∑ = = =ε ε (6)

Con lo cual ε resulta ser el máximo valor posible del vector óptico que llega a un punto P (interferencia constructiva).

0

Fijada esta condición, calculamos el campo total en el punto P de la pantalla, debido a la contribución de toda la abertura de ancho a como,

( tkr

Na

aLimtrE

Nω−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θλπ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θλπ

=ε

∞→cos

2/sen2sen

2/sen2sen),( 0

N ) (7)

Comencemos por analizar el límite del factor,

sen sen /2

2πλ

θ aN

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Apelemos a un truco conocido, multiplicamos y dividimos por un mismo factor, con el fin de lograr que

tome la forma del conocido límite sen x

x x→⎯ →⎯⎯0 1, es decir,

sen sen / sen /sen sen /

sen /sen /

22

22

22

22

22

π

λθ

π

λθ

π

λθ

π

λθ

π

λθ

aN

aN

aN

aN

aNN

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎯ →⎯⎯→∞

reemplazando en la expresión 7,

( tkr

Na

a

NLim

trEN

ω−θ

λπ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θλπ

=ε

∞→cos

2/sen2

2/sen2sen),( 0

) (8)

Retomar la lectura

con lo cual obtenemos,

( tkra

atrE ω−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

θλπ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θλπ

= ε cos 2/sen 2

2/sen 2sen ),( 0 ) (9)

donde es el vector óptico total en el punto P de la pantalla. Observamos que este valor oscila armónicamente, con frecuencia angular ω, y su amplitud depende del punto P analizado, a través del ángulo θ, o sea,

),( trE

( )Amplituda

aθ

π

λθ

π

λθ

ε=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

0

22

22

sen sen /

sen / (10)

Para facilitar la escritura, definimos a la fase φ como,

φπλ

θ=2

a sen (11)

con lo cual, la expresión 9 se puede escribir,

316

( )( )E t kr t( )

sen //

cos=⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥− ε φ

φω0

22

(12)

Note que la fase φ representa el desfasaje que se produce entre las ondas que provienen de extremos opuestos de la rendija, ver figura 22, donde observamos que la diferencia de camino entre ambas ondas es aproximadamente ∆r a= senθ (comprobarlo), y por

consiguiente, el desfasaje correspondiente es φπλ

θ=2

a sen como habíamos anticipado.

a

P

L >> a

θ

∆r=a sen(θ)

Figura 22: Diferencia de caminos recorridos por la onda, desde un extremo al

otro de la rendija, para llegar a un punto P genérico. Hallemos finalmente la intensidad de luz que llega al punto P,

( ) ( ) 2/

2/sen 2

),(22

02⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡φφ

==θε

trEI (13)

Llamando I00

2

2=ε

(intensidad máxima sobre la pantalla), entonces,

( )( )

I Iθφ

φ=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

22

2

sen //

(14)

Analicemos la expresión 14 para comprobar si de ella se desprende el espectro de franjas mostrado en la figura 17. Para ello resulta necesario estudiar la ubicación de los máximos y los ceros de intensidad. Antes de resolverlo analíticamente, apelaremos al Mathematica para graficar la función ( )I θ y obtener información de allí, ver figura 23.

317

I0/22I0/22≈

I(θ) I0

0 λa 2

λa 3λ a− λ a−2 λ a−3

λa

Figura 23: Gráfica de la función intensidad en función del ángulo, correspondiente a una rendija de ancho a.

sen(θ Del gráfico, de la figura 23, notamos principalmente que: La Intensidad resulta sólo apreciable en la franja central ( I0). La intensidad de la segunda franja es aproximadamente la 22 ava parte de la franja central ( I0 ), por lo cual en la mayoría de los casos resulta invisible (compruébelo, aproxime la ubicación del máximo de la segunda franja, suponiendo que se halla entre dos ceros, lo cual no es cierto, use la ecuación 7).

22/

La Intensidad se anula en los ángulos que satisfacen la relación, ( )sen /φ 2 = 0 ⇒ φ π/ 2 = ′m con ′ ∈m Ζ ⇒

( )φπλ

θ/ sen /22

2= = ′ a m π ⇒

( )sen θλ

= ′ma

con ′ ∈m Ζ (15)

como se observa en el gráfico de ( )I θ .

La franja central posee un ancho angular igual a 2λ

a. O si lo observamos sobre

una pantalla lejana (a longitud L ) su ancho resulta: ancho La

= 2λ

.

Algo notable es que si el ancho a de la rendija aumenta mucho, o sea, a >> λ entonces el ancho angular tiende a cero,

318

ancho angulara a

= ⎯ →⎯⎯>>2 0λ

λ (16)

lo cual pareciera indicar que la franja central desaparece. Esto parece contradecir nuestra intuición, a mayor abertura mayor es su imagen, pero en realidad, la predicción hecha por el modelo no resulta completamente correcta, ya que, en este límite dejan de valer nuestras aproximaciones (a ≈ λ). El resultado obtenido en 16 debe interpretarse como que, a medida que el ancho de la abertura crece (a ) “desaparecen” los efectos de la difracción. Esto ya lo habíamos notado antes cuando afirmamos que los efectos de la difracción no eran notables en la dirección “y” (b

>> λ

>> λ). En el desarrollo de nuestro modelo hemos siempre supuesto que el ángulo θ es pequeño, es decir, que la expresión 16 sólo describe correctamente la intensidad si es observada en una pantalla que se halla a una distancia L . Además, dentro de ésta aproximación, hemos considerado que la onda que sale de un borde de la abertura es paralela a la onda que sale del otro borde, lo cual, resulta equivalente a despreciar el ancho a de la abertura respecto a la longitud L. El ancho de la franja central, predicha por la ecuación 16, en realidad representa lo que aumenta, aproximadamente, el ancho de la onda por sobre su ancho original a.

a>>

Para fijar ideas, en la figura 24, se representa la dispersión angular θλ

≈a

que

sufre un haz coherente. A gran distancia el ancho a resulta completamente despreciable respecto de la dispersión sufrida por la onda debida a la difracción.

θ a

Onda DifractadaOnda Plana

Figura 24: Esquema de la difracción producida sobre una rendija. Sobre la pantalla, la campana de difracción resulta mucho más ancha que la abertura, es decir,

a La

a que no se produce una perfecta interferencia destructiva debido a la incoherencia de la onda.

Un haz de luz Láser se dispersa sólo debido a la difracción un ángulo θλ

≈a

,

donde “a” representa el ancho de salida del haz. Mientras que cualquier otra fuente de luz incoherente se dispersa mucho más que lo predicho en el cálculo (linterna). Ahora podemos justificar un poco mejor la afirmación de que en la dirección “y” no resulta apreciable la difracción de la onda. Sabiendo que b a , la dispersión

angular en la dirección “y” resulta despreciable ya que

>> > λ

θλ λ

≈

descartamos los ángulos que anulan al primer factor ya que corresponden a los ceros de intensidad, entonces los extremos son los que cumplen,

( ) ( )cos / sen //

φφ

φφ

2 222

= ⇒ ( )( )

( )φφφ

φ/sen /cos /

tg /222

2= = (19)

o definiendo la variable β φ= / 2 la ecuación queda, ( )β β= tg (20)

Esta ecuación puede resolverse numérica o gráficamente si la pensamos como intersección de dos funciones, las funciones y ( )f1 β = β ( ) ( )f 2 β β= tg . Como ejemplo, en la figura 26, gráficamente hallamos los puntos que satisfacen

( ) ( )y f f= =1 2β β , (21)

β

y = f1 = f2

π/2 3π/2

Fig.26

Del gráfico, concluimos que, las funciones ( )f1 β y ( )f 2 β , se interceptan en infinitos puntos (porque hay infinitas ramas en la función tangente). Uno de esos puntos es β = 0 que corresponde a

, que ya sabíamos del gráfico de la función θ = 0 ( )I θ que corresponde al máximo más intenso. Los otros extremos se hallan ubicados en puntos cercanos a (aproximadamente),

β π π≈ 3 2 5 2/ , / , ....... ⇒ φ π π π≈ = ′′3 5, ,.... m ( ′′ →m entero impar mayor que 3)

y usando que ( )φπλ

θ=2

a sen

⇒ ( )sen ( )θλ

≈ ′′ +ma

12

(22)

por lo cual verificamos que los máximos secundarios se hallan ubicados cerca del medio entre dos ceros (pero no exactamente).

Retomar la lectura Ejercicio. Halle la intensidad aproximada del primer máximo secundario. Resp. I0 22/ Comentario: Todo lo hallado analíticamente sólo resulta válido dentro de la aproximación de Fraunhofer, que consiste en iluminar con una onda plana y observar la formación de los patrones en un punto donde las ondas llegan “casi” planas (por ejemplo en el infinito). De esta forma el principio de Huygens-Fresnel puede utilizarse sin prestar atención a sus limitaciones.

321

Difracción en una rendija iluminada con luz Láser: En el laboratorio comúnmente, como fuente coherente de ondas planas, se utiliza luz Láser. El ancho del haz Láser es del orden del milímetro, por lo cual, si lo hacemos incidir sobre una rendija sólo una pequeña parte entra en juego, y por consiguiente, sobre la pantalla no vemos largas franjas como las mostradas en la figura 17, sino franjas muy angostas. En la figura 27, se muestra el negativo de la imagen sobre la pantalla.

Figura 27: Difracción de Franhoufer en una rendija iluminada con luz láser

(negativo de la “foto” sobre la pantalla) Difracción en una rendija cuadrada (Aproximación de Fraunhofer). Si la rendija posee dimensiones a y b comparables y pequeñas, respecto de la longitud de onda, entonces los efectos de la difracción son apreciables en las dos direcciones. En la figura 28 mostramos el negativo de la imagen formada sobra una pantalla (en el infinito) por una onda plana que atraviesa una rendija cuadrada ( ba = ). Observamos la formación de franjas en ambas direcciones.

Figura 28: Difracción de Franhoufer en una abertura cuadrada, iluminada con luz

láser (negativo de la “foto” sobre la pantalla) No lo haremos aquí, pero puede demostrarse (integrando las ondas provenientes de la abertura) que la expresión general, dentro de la aproximación de Franhoufer, para la intensidad de luz que llega a una pantalla lejana después de atravesar una rendija rectangular, en la que ambas direcciones son comparables y pequeñas, es:

( ) ( ) ( )22

0 2/2/sen

2/2/sen ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕϕ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡φφ

=θ II (23)

donde xa θλπ

=φ sen 2 y yb θλπ

=ϕ sen 2 .

Difracción en una abertura circular (Aproximación de Fraunhofer). Si la abertura es circular, de diámetro D (de dimensiones comparables a λ ), e iluminamos con una onda plana coherente, observamos sobre una pantalla (en el infinito) un patrón semejante al mostrado en la figura 29 (negativo de la imagen).

322

Puede demostrarse (integrando las ondas provenientes de la abertura) que la expresión general, dentro de la aproximación de Fraunhofer, para la intensidad de luz que llega a una pantalla lejana después de atravesar una rendija circular es:

Figura 29: Difracción de Franhoufer en una abertura circular, iluminada con luz láser (negativo de la “foto” sobre la pantalla)

( ) ( )2

10

2 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡φφ

=θJII (24)

donde φπ

λθ= D sen y es la función de Bessel de primera especie de orden 1,

función que sólo es algo más complicada que las funciones seno o coseno (disponible en el Mathematica , graficarla).

( )φ1J

( )J z BesselJ z1 1≡ [ , ] En la figura 30, con ayuda del Mathematica, graficamos a la función ( )θI (verifique).

senθ

−1 64. λD −1 22.

λD 1 22.

λD

( )θI

1 64. λD

Figura 30: Gráfico de la intensidad en función del ángulo, en el caso de difracción sobre una abertura circular.

Observamos que los ceros no se hallan en los valores simples a los que estamos acostumbrados con las funciones seno y coseno, pero la diferencia no es muy grande. Como ejemplo, el primer cero se halla en,

323

sen ,θλ

≅1 22D

(25)

o dentro de nuestra aproximación,

θλ

≅1 22,D

(26)

donde es el diámetro de la rendija (recuerde que en una rendija el primer cero se

halla en

D

θλ

≅a

). Enfatizamos el resultado de la ubicación del primer cero porque nos será

útil cuando hablemos de resolución de instrumentos ópticos. Comentario: Hemos enfatizado los resultados correspondientes a difracción en aberturas, tales como rendijas, ventanas, aberturas circulares, simplemente por sus aplicaciones técnicas. Pero el fenómeno de difracción se manifiesta en toda experiencia de formación de sombras, sea la sombra de un objeto o la de nuestro propio cuerpo. Luego discutiremos la aparición de este fenómeno también en la medición de propiedades atómicas y nucleares. 5. El hecho de que ocurra interferencia y difracción en fenómenos en donde está involucrada la luz ¿de qué es prueba, del modelo corpuscular o del ondulatorio?. 6. Las ondas se abren en abanico al pasar por una abertura (difracción). ¿Este efecto es más o menos pronunciado cuanto más angosta sea la abertura?, ¿más angosta respecto de qué?. 7. ¿La difracción es beneficiosa o perjudicial para la recepción de ondas de radio?. Discuta sobre lo que sucede con radio AM y FM en una ciudad. 8. ¿La difracción es beneficiosa o perjudicial para ver objetos en un microscopio?. Discuta. 9. Recomendado. Se hace pasar luz láser de λ = 700nm de longitud de onda, a través de una rendija vertical de ancho a , para luego incidir en una pantalla a 6 metros de distancia (difracción de Fraunhofer).

m= 0 5, m

a) ¿Cuál es el ángulo θ en que se encuentra el máximo principal de difracción?. b) Hallar los ángulos θ en donde se hallan los ceros de intensidad. c) Dibujar el patrón de difracción, es decir graficar ( )I θ (trate de hacerlo con el

Mathematica). d) Hallar el ancho (horizontal) del máximo principal de difracción en la pantalla, es

decir, hallar la distancia entre el primer cero a la izquierda y el primer cero a la derecha del máximo central.

e) Hallar la intensidad que llega al máximo central. f) Hallar la intensidad que llega al primer máximo secundario. Para ello aproxime su

ubicación pensando que está en el medio entre dos ceros. g) Importante. ¿Qué cambia si en lugar de iluminar con luz láser, se ilumina con una

fuente incoherente?. h) Importante. Repita los cálculos anteriores para el caso de un hipotético rayo, es decir

para . ¿Será cero el ancho iluminado?, ¿o valdrá aλ = 0 mm= 0 5, ?. ¿No se habrán hecho aproximaciones que nos hacen confundir?. Discuta.

324

Ayuda: recordar que ( )( )

I Iθφ

φ=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

22

2

sen //

donde φπλ

θ=2 a sen .

10. Recomendado: En el problema anterior se ha hablado de una rendija vertical de ancho a , pero no se habló para nada de la altura b . ¿A qué se debe esto? ¿No se esperan efectos de la difracción en esa dirección?. Discuta y compruebe lo discutido asignando a la altura de la rendija el valor b

m= 0 5, m

cm= 1 . 11. Recomendado. Supongamos que tenemos un haz láser, cuyo diámetro es de

, con una longitud de onda de a m= 2 m λ = 600nm . a) ¿Cuánto aumenta el diámetro del haz a una distancia de 15 metros?. Resp. 9mm. b) ¿Qué sucedería si en lugar de ser un haz de láser fuera un haz de linterna?.

Discuta 12. Guía Teórica. Red de N rendijas no puntuales (aproximación de Fraunhofer): Hasta el momento hemos estudiado Redes en donde las rendijas son puntuales. Ahora queremos estudiar el caso real en donde las rendijas poseen un cierto ancho a. Supondremos que se hallan separadas, entre sí, una distancia d mayor que a ( ). ad > Al no ser puntual, la rendija ya no emite una onda cilíndrica (igual intensidad para todo θ), sino que por efectos de la difracción, la intensidad de la luz resulta máxima para el ángulo y menos intensa a medida que aumenta el ángulo θ

(campana central de difracción), anulándose completamente en los ángulos

0=θ

aλ

±≈θ

(suponemos que la presencia de más de una rendija no altera los resultados obtenidos para una). Las ondas provenientes de cada rendija se superponen sobre la pantalla formando un patrón de franjas de interferencia. Los máximos de intensidad siguen formándose en los mismos ángulos que hallamos para rendijas puntuales, es decir, en

dm λ≈θ . Pero ahora, como las rendijas no emiten ondas cilíndricas (igual intensidad

para todo θ), las franjas no tienen todas la misma intensidad. La del centro resulta la más intensa (orden ), y a medida que nos alejamos del centro la intensidad disminuye (ordenes superiores), para casi anularse completamente fuera de la campana de difracción. En particular, se anula completamente en los ceros de difracción, en los

ángulos

0=m

aλ

±≈θ (ver figura 31).

Nosotros no haremos el cálculo, el cual no difiere mucho de los que ya hicimos. A partir de lo que hemos comentado resulta intuitivo pensar que la función intensidad

tiene una dependencia angular semejante a la que ya hemos hallado en el caso de N rendijas puntuales, pero ahora, su amplitud esta modulada por la difracción. La expresión para la función intensidad resulta,

( )θI

( ) ( ) ( )( ) 2/sen2/ sen

2/2/sen

22

0 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡δδ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡φφ

=θNII (1)

donde θλπ

=δ send 2 y θλπ

=φ sena 2 .

325

Para visualizar mejor el fenómeno, en la figura 31, graficamos a la función ( )θI para el caso (Young) (hemos tomado el ancho a igual a la quinta parte de la distancia entre rendijas, ).

2=Nd 5/da =

( )θsendλ dλ2 aλ

Figura 31: Difracción de Franhoufer en una red de dos rendijas. Gráfica de la intensidad en función del ángulo.

( )θI

Campana de difracción

Comprobamos que las franjas de interferencia se hallan ubicadas en los mismos

ángulos que antes d

m λ≈θ , pero ahora su amplitud decrece a medida que el ángulo

aumenta, hasta anularse exactamente en los ángulos θλ

≈ ±a

.

En la figura 32 mostramos como resulta el negativo de la imagen sobre una pantalla (en el infinito).

Figura 32: Difracción de Franhoufer en una red de dos rendijas. Esquema del negativo de la imagen sobre la pantalla. (las zonas obscuras representan máxima intensidad)

El número de franjas de interferencia que se observa, dentro de la campana de difracción, depende únicamente de la relación entre el ancho a y la distancia entre rendijas d, en la siguiente forma (verifique),

advisiblesordenesdenúmero ≈

326

Puede ocurrir que algún orden de interferencia (franja) desaparezca completamente, siempre y cuando su posición angular corresponda a un cero de difracción. Es lo que sucede en el ejemplo del gráfico de la figura 31, allí concuerda la ubicación del orden , de interferencia, con el cero de difracción, es decir, 5=m

adλ

=λ

≈θ 5 ya que 5/da = .

13. Recomendado. Se observa un diagrama de interferencia-difracción de Franhoufer producido por dos rendijas. Las rendijas tienen un ancho de y están separadas por d . Si se ilumina con luz roja (

a = 0,01mm = 0,2mm λ = 700nm ) y se observa sobre una

pantalla a una distancia : L m= 10a) ¿Cuál es la ubicación angular de las franjas de interferencia? b) ¿Qué ancho tienen las franjas de interferencia?. c) ¿Cuál es el ancho del máximo de difracción?. d) ¿Cuántas franjas brillantes se verán en el máximo de difracción central ?. e) ¿Cuántas franjas brillantes se verán en el primer máximo secundario de difracción

central?. f) Haga un gráfico del diagrama de interferencia-difracción. g) Importante. ¿Qué cambia si en lugar de iluminar con luz coherente, se ilumina con

una fuente incoherente?.

Ayuda: ( )( )

(I Iθφ

φδ=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥4

22

20

22sen /

/cos / ) donde φ π

λθ=

2 a sen y δ πλ

θ=2 d sen .

14. Recomendado. Siguiendo con el problema anterior (es idéntico pero cambia la

longitud de onda), si ahora se emplean rayos X ( .) en lugar de luz roja, λ = 1 oA = −10 10 m

a) ¿Qué ancho tienen las franjas de interferencia?. b) ¿Cuál es el ancho del máximo de difracción?. c) Haga un gráfico del diagrama de interferencia-difracción. d) ¿Será posible ver el patrón de interferencia-difracción con este sistema? ¿Qué es lo

que verá?. En base a lo anterior, piense por qué razón se los llama rayos X ?. e) Proponga nuevos anchos de ranuras y separación entre ellas de tal forma de

apreciar el patrón de interferencia-difracción, ¿es posible fabricar tal sistema?. Discuta y consulte.

15. Guía Teórica: Resolución en instrumentos ópticos, el ojo y redes. El hecho de que la luz se comporte como una onda, limita fuertemente la posibilidad de visualizar (medir) objetos con instrumentos ópticos, como el microscopio, el telescopio o incluso el ojo. Muchas veces uno se ha preguntado ¿por qué no resulta posible observar con ayuda de un microscopio la estructura molecular de un compuesto o la estructura atómica de una molécula? ¿Qué nos impide construir instrumentos ópticos sofisticados con un poder de amplificación suficiente como para poder observar estos objetos?. La respuesta no hay que buscarla en cuestiones técnicas constructivas, sino en el carácter ondulatorio de la luz. La “prohibición” se halla escrita en las leyes de la Física, “con luz visible resulta imposible observar una molécula”, aunque en el futuro se construyan los microscopios más sofisticados. La limitación proviene de la difracción que sufre la luz al atravesar aberturas, que en el caso de los instrumentos ópticos pueden ser lentes, diafragmas, pupilas, etc..

327

Para fijar conceptos analizaremos el ejemplo del instrumento “ojo”, que aunque no es el mejor ejemplo desde el punto de vista óptico, si lo es desde un punto de vista didáctico. El análisis que sigue apunta a entender lo que sucede en un instrumento óptico, tal como lupa, microscopio, telescopio, etc.. Suponga que intenta observar dos organismos microscópicos con su ojo, tal como se muestra en la figura 33 (donde no se han respetado las dimensiones relativas, en particular las campanas de difracción se hallan excesivamente agrandadas). La pupila de su ojo es una abertura circular pequeña (¿respecto de qué?), de diámetro D mm≈ 5 , por lo cual no se halla exenta de los fenómenos de difracción estudiados. La imagen de un punto resulta una mancha redonda, cuya distribución de intensidad viene dada por la campana de difracción de una abertura circular. Por lo cual, si queremos observar a dos puntos (fuentes incoherentes entre sí), que se hallan demasiado juntos (θ pequeño), es posible que las manchas se hallen superpuestas, y de esta forma, resulte imposible saber si vemos uno o dos puntos, ver figura 34.

L≅25cm

θ

Figura 33: Difracción a través de la pupila del ojo. Campanas de difracción formadas en la retina, correspondientes a dos fuentes cercanas.

d

Fig.34

Imagen de dos puntos en la retina. Resulta posible diferenciarlas

Imagen de dos puntos en la retina. No resulta posible diferenciarlas

Queremos obtener un criterio que nos permita decidir si dos objetos pueden ser resueltos como distintos, o no, por un instrumento (por ejemplo el ojo). Existe un criterio aceptado, denominado criterio de Rayleigh para la resolución, que estipula: Dos objetos cercanos pueden ser resueltos mínimamente, por un instrumento, si el máximo de difracción de uno concuerda con el primer cero de difracción del otro. En la figura 35, hemos graficado las intensidad de luz, sobre la retina, proveniente de dos objetos puntuales que se hallan a una distancia crítica. Hemos denominado θ al ángulo crítico de resolución. c

328

I(θ) Fig.35

Figura 35: Criterio de Rayleigh, para resolución en instrumentos. Dos objetos cercanos

pueden ser resueltos mínimamente, por un instrumento, si el máximo de difracción de uno concuerda con el primer cero de difracción del otro.

Si se observan, con un instrumento óptico cualquiera (lupa, microscopio, telescopio), dos objetos que subtienden un ángulo mayor que el crítico es posible resolverlos como dos objetos distintos, en cambio, si subtienden un ángulo menor que el crítico no resulta posible distinguirlos (criterio). Para el caso particular de una abertura circular ya hemos mostrado, en la guía teórica 4 (ec. 26), que el primer cero de la campana de difracción se halla en el ángulo,

θλ

c ≈ 1 22, D (1)

(recordar que, en una rendija de ancho a, el primer cero se halla en θλ

≈a

).

Volvamos al ejemplo del ojo. Supongamos que iluminamos los objetos con luz roja (la de mayor longitud de onda del espectro visible, λ ≈ 700nm), entonces el ángulo crítico resulta ser,

θc ≈ =−1 22

7005

1708 10 4, .nm

mmradianes

Supongamos que observamos, a los objetos, a la distancia de visión distinta, es decir, aproximadamente , entonces la distancia de separación mínima d, entre los objetos, para resolverlos como distintos resulta ser,

L c= 25 m

θc ≈dL

⇒ d L LD

cmnm

mmm m≈ ≈ = = =− cθ

λµ1 22 25 1 22

7005

4 27 10 42 75, , , ,

Objetos puntuales que se hallen a una distancia menor, serán percibidos como un sólo objeto. Podemos hacer una estimación muy grosera de cuantos átomos hay en 42 7, µm.

Si pensamos que un átomo mide alrededor de 5 5 10 10Ao

m= − y que la separación entre átomos es del mismo orden, obtenemos que