Capitulo VI fluidos

8/19/2019 Capitulo VI fluidos

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Mecánica de Fluidos I - Capítulo VI

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VICTOR H. AROS ARAYA INGENIERO CIVIL

I.C.I. NO4614-K

Capítulo VI - DINÁMICA DE FLUIDOS: Enfoque diferencial

1. Ecuación de continuidad2. Ecuaciones de Navier-Stokes3. Aplicaciones del flujo ideal

Para obtener un conocimiento detallado del movimiento fluido, debemos aplicar las

ecuaciones del movimiento en forma diferencial. En este capítulo desarrollaremos las

ecuaciones diferenciales de continuidad y cantidad de movimiento y su aplicación a

ciertos movimientos especiales de los fluidos.

La deducción de las ecuaciones básicas se hará a partir de sistemas de volúmenes de

control infinitesimales.

1. Ecuación de continuidad

Esta ecuación se obtiene aplicando la ecuación de continuidad en forma integral a un

volumen diferencial.

En coordenadas rectangulares:

La ecuación de continuidad para un volumen de control cualquiera : resulta:

( 0 ) ⃑ ⃑

( 1 )


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⃑ ⃑

⃑ ⃑

Donde

∫ : Variación de la masa por unidad detiempo en el interior de

∫ ⃑⃑ : Flujo másico neto que egresa a través dela superficie de Reemplazando valores:

ó

ó

Para flujo incompresible ⃑ Para flujo permanente

⃑

⃑


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En coordenadas cilíndricas

⃑ ⃑

Reemplazando:

Tarea: Escribir la ecuación de continuidad en coordenadas esféricas.


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Aplicaciones Ecuación de Continuidad en forma diferencial al flujo plano bidimensional,

incompresible (Interpretación)

a)

Función corriente

Analizaremos el caso de un flujo bidimensional incompresible. La ecuación de

continuidad:

⃑ ⃑̂̂ En coordenadas rectangulares:

Por definición llamamos función de la corriente a la función definida por:

Esta definición es consistente ya que satisface :

Por lo tanto representa físicamente a un escurrimiento.Recordemos lo que es una línea de corriente; por definición ella está dada por:

⃑⃑ ⃑⃑ ( ) ( )

o sea la ecuación de una de ellas es:

Por otro lado:


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Pero la ecuación de una línea de corriente es Luego la ecuación de una línea de corriente, también es Esto significa que representa una familia de líneas de corriente, de aquí viene

el nombre de Función corriente para .Ejemplo:

Interpretar el flujo plano dado por La familia de Líneas de corriente tiene por ecuación , por lo tanto

. Esto significa que son circunferencias concéntricas según los distintos

valores de a.

Interpretación física para un valor numérico Consideremos dos líneas de corriente

y

de un cierto escurrimiento plano, entre

ellas circulará un flujo . Este flujo lo podemos evaluar para cualquier sección normal auno de los ejes.

La velocidad en un punto P:

en todo punto paraun a dado.


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Por lo tanto el flujo volumétrico entre dos líneas de corriente es igual a ladiferencia de valores numéricos de la función de corriente. Si tomamos como unalínea de corriente de referencia, otro valor de corresponderá al caudal que circula.Coordenadas cilíndricas

La ecuación de continuidad queda:

y la función corriente en esta situación se define por:

b) Función potencial de velocidad

Si un cierto flujo le imponemos la condición de que sea irrotacional esto implicaría

que el vector vorticidad

es nulo en todo el campo de escurrimiento, luego

⃑ En que ⃑ es el vector velocidad para todo punto.

Para


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Por otra parte sabemos que: (Identidad matemática) en es una funciónescalar.

Luego si ⃑ se verifica que el flujo es irrotacional. La función recibe elnombre de función potencial.

En coordenadas cilíndricas:

Relación entre la función de corriente y la función potencial

Igualando tenemos (Llamadas Ecuación de Cauchy-Riemann):

Por la ecuación de continuidad sabemos que:

o sea:

Ecuación de Laplace

En coordenadas cilíndricas esta ecuación queda:


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Si utilizamos la función de corriente:

Tenemos:

Irrotacional

⃑ ̂ ̂

Si el flujo es irrotacional:

tenemos también:

Las funciones y satisface la Ecuación de Laplace siempre que se trate de unflujo irrotacional.Las familias y constituyen una malla ortogonal:Dem: Ecuación de la corriente: ⃑ ⃑


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Cuya pendiente es:

A lo largo de la línea de potencial cte: ó

Cuya pendiente es:

2. Ecuaciones de Navier-Stokes (Ecuación de momentum en forma diferencial)

Corresponde a la aplicación de la segunda Ley de Newton a un elemento de masa de

fluido en movimiento, sobre él actúan las fuerzas másicas que en este caso corresponde a

la fuerza de gravedad; y las fuerzas de superficie que en este caso corresponden a la del

resto del fluido sobre el elemento diferencial de fluido considerado. Esta última fuerza

origina una componente normal y otra tangencial. Se considerará un fluido newtoniano.

Sea la fuerza proveniente de la gravedad y la fuerza proveniente de lasfuerzas de superficie, entonces la segunda Ley de Newton suministra:

⃑


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En que dm es la muestra elemental contenida en el volumen , y ⃑ la velocidad enun punto cuyo entorno considera a dm.

⃑ ̂ ̂

Si consideramos un sistema de rectangular de coordenadas

⃑ (̂ ̂ ) La determinación de se hace a partir de lastensiones que actúan en cada cara del elemento

diferencial (paralelepípedo) y consideramos las

que actúan en dirección x:


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̂ ̂ La resultante de todas las fuerzas de superficie según el eje x es

.

[ ] [ ()] [ ]

Análogamente se obtiene y según los ejes y

La ecuación ( 1 ) según los ejes x, y, z queda entonces:

O sea:

Llamadas ecuaciones de Cauchy.


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El paso siguiente consiste en relacionar las tensiones internas con las tasas de

deformación (o gradientes de velocidades). Este es utilizar las ecuaciones constitutivas de

los fluidos newtonianos.

Estas ecuaciones constitutivas son relaciones experimentales:

⃑ ⃑

⃑

Reemplazando en las ecuaciones de Cauchy obtenemos las de Navier-Stokes.

Para el caso de la ecuación de movimiento s/x:

Se tiene:

⃑

( + )


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⃑

⃑

⃑

⃑

⃑

Estas tres últimas son las ecuaciones de Navier-Stokes en forma cartesiana

rectangular. Para obtenerlas en forma vectorial debe multiplicarse cada una de ellas por

̂ ̂ , y sumarlas: ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ Y recordando que

⃑ ⃑ resulta: ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑ ⃑

⃑ ⃑ : Fuerzas inerciales/ volumen : Fuerzas de presión/ volumen⃑ : Fuerzas viscosas/ volumen ⃑ : Fuerzas de compresibilidad/volumen


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⃑ : Fuerzas gravitacionales/volumenIntegración de las ecuaciones de Navier-Stokes y continuidad para algunos flujos

especiales

i. Flujo Laminar incompresible

Corresponde a las llamadas soluciones exactas en un flujo viscoso. La ecuación

general se simplifica considerando ⃑ y queda: ⃑ ⃑ ⃑ ⃑⃑

Se analizara dos casos sencillos en que esta ecuación es exactamente integrable. Para

ello se supone que el fluido circula debido a un gradiente piezométrico en presión enforma lenta y estable. No se considera el fenómeno de la turbulencia.

Caso 1: Flujo plano entre láminas paralelas. Sean dos placas paralelas colocadas

horizontalmente, entre las cuales un líquido viscoso de densidad y viscosidad .La separación de las placas o láminas es b.

Hipótesis:

- Las placas se suponen infinitas

- Existe un gradiente piezométrico constante que mantiene el líquido en flujo

permanente: –

̂

-

El fluido (líquido) se mueve paralelamente a las láminas.- El flujo es uniforme (no cambia sección).


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Ecuaciones:

⃑ ⃑ ⃑ ⃑

⃑: intensidad del campo gravitacional ̂ ̂⃑̂ ⃑ ⃑ ̂ ⃑

Escribiendo las ecuaciones en coordenadas rectangulares:

Continuidad :

Navier-Stokes s/x :

Navier-Stokes s/y :

Ahora le imponemos las hipótesis consideradas anteriormente:

Escurrimiento uniforme s/x : pudiendo variar s/yEscurrimiento laminar : no hay componente transversalEscurrimiento permanente :

El sistema se reduce a:

Continuidad :

N-S s/x : N-S s/y :


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no es función de z ya que ; entonces

̂

Integrando:

Integrando nuevamente:

Condiciones de borde: no deslizamiento en las paredes

Luego la distribución de velocidades queda:

La representación gráfica resulta una parábola:


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Cálculo de la velocidad media:

Distribución de esfuerzo de corte:

La representación gráfica:


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Aplicamos la fórmula vectorial: ⃑ : diferencial total

⃑ ⃑ ⃑ ⃑⃑

Observemos que:

⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑ ⃑ ⃑

⃑ ⃑ ⃑⃑ ⃑

⃑ ⃑⃑⃑ ⃑ La ecuación queda entonces:

⃑ ⃑ Para escurrimiento permanente:

Ecuación válida para un flujo ideal a lo largo de todos los puntos de una línea de

corriente. Corresponde a la ecuación de Bernoulli en forma puntual.

iii.

Flujo potencial

Si la ecuación de Euler (flujo ideal) introducimos la condición de irrotacionalidad es

decir:

⃑ ⃑


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Implicaría que existe una función escalar tal que:⃑

es la función potencialUn flujo que en estas condiciones se denomina flujo potencial si en la ecuación de

Euler:

⃑ ⃑ ⃑ ⃑ Hacemos: ⃑ ⃑ y ⃑ Y consideramos la identidad:

⃑ ⃑ ⃑⃑ Obtenemos:

⃑ ⃑

Entonces para todo punto del espacio:

En régimen permanente:

ó Ecuación de Bernoulli que es aplicable en todo puente del campo del movimiento. Si

es el flujo es bidimensional la ecuación de Bernoulli es aplicable a todo punto del plano.


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En resumen, las ecuaciones del flujo potencial están dadas por la ecuación de

continuidad bajo la forma de la ecuación de Laplace y la integralde la ecuación de Navier-Strokes bajo la forma de la ecuación de Bernoulli

apreciable a todo punto del campo del movimiento, siempre que éste seapermanente.

3. Aplicaciones del flujo ideal (Ecuación de Euler)

En el flujo ideal, la integración de la ecuación de Euler nos suministra la ecuación de la

energía a lo largo de una línea de corriente:

Hipótesis de aplicabilidad de eta ecuación:

-

Flujo permanente

- Flujo incompresible

- Flujo sin roce

- Flujo a lo largo de una Línea de Corriente

Interpretación de cada uno de los

términos:


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Aplicaciones:

i. Flujo a través de una tobera (Unidimensional):

Se pide determinar

Ecuación de Bernoulli:

Ecuaciones de continuidad:

Se introduce y se calcula .

ii. Flujo a través de un sifón

Definición: Sifón es un conducto por donde circula agua a una presión menor que la

atmosférica.

Se pide determinar: ( a ) La velocidad de agua a la salida y ( b ) la presión en A


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Solución: Ecuación de Bernoulli entre ( 1 ) y ( 2 ):

√ √

Ecuación de Bernoulli entre ( 1 ) y ( A ):

Ecuación de continuidad:

iii. Tubo de Pitot (instrumento para medir velocidades puntuales)

Si se introduce dentro de una corriente una delgada varilla tendremos que el flujo se

desacelera hasta alcanzar la velocidad cero mediante un proceso sin roce. Para relacionar

los cambios de velocidad y de presión en la cercanía de la varilla se utiliza la ecuación de

Bernoulli.


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: presión estática ; : presión de estancamiento (máxima)

Para obtener la velocidad en el punto ( 1 ) es necesario medir la presión de

estacionamiento y la presión estática. Para estos efectos existen dos arreglos

experimentales posibles, según sea la forma que se adopta para medir presiones.

Arreglo 1 Arreglo 2

: toma de presión estática Combinación de 2 sondas en una sola =

: toma de presión de escurrimiento tubo de Pilot.

Punto ( 0 ): Contacto con la varilla.

Punto ( 1 ): Muy cerca de la cabeza de la

varilla.Entre ( 0 ) y ( 1 )


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Ejemplo: El tubo de Pilot se coloca en un flujo de agua para medir la velocidad en A.

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