Capitulo v Integracionnnnnn

Mtodos numricos en Ingeniera de Alimentos Integracin numrica

CAPITULO V

INTEGRACION NUMERICA

----------------------------------------------------------------------------------------------------------Objetivos: Desarrollar ejercicios de soluciones bsicas y aplicadas a la ingeniera de Alimentos.----------------------------------------------------------------------------------------------------------

5.1 INTEGRACION NUMERICA

La integral definida es un nmero y el proceso de calcularlo, con base en valores de la funcin f; se conoce como integracin numrica o cuadratura. (Esta ltima palabra se reere a encontrar un cuadrado cuya rea sea igual al rea bajo una curva.) Ms precisamente, toda frmula de integracin numrica para la integral es una suma de la forma:

Las formas de escoger los xj y los Aj; generan los distintos tipos de cuadratura. Tal como dijimos al principio de estas notas, frecuentemente lo que se requiere para clculos numricos son aproximaciones numricas en lugar de soluciones analticas. En este caso, podemos decir que utilizar integracin numrica es tan importante cuando no se conoce antiderivada para la funcin como cuando se conoce.

Para presentar la integracin numrica, seguimos a Stewart (1996) y Kincaid y Cheney (1994). Nos dedicamos nicamente a integrales unidimensionales denidas en intervalos cerrados. No consideramos otros dominios de integracin ni funciones con singularidades. Para tratamiento avanzado del tema, sugerimos Isaacson y Keller (1994) y el libro especializado Davis y Rabinowitz (1984)

5.2 INTEGRACION MULTIPLE

La integral definida para funciones de una variable se la defini de la siguiente manera:

La cual se llama Integral (Suma) de Riemann, que significa el rea bajo la curva y = f (x) en un intervalo [a,b].

Si quisiramos obtener una Integral definida para una funcin de dos variables; primero deberamos suponer que ahora la regin de integracin sera de la forma [a,b][c,d ], es decir un rectngulo de R2 , la cual la denotamos como R.

Haciendo particiones de la regin R, de dimensiones no necesariamente iguales:

La ij sima particin tendr forma rectangular. Ahora cabe referirse al rea de esta particin, que estara dada por:

Podemos definir una funcin de dos variables z = f ( x, y) en la regin R, que para la ij sima particin sera:

Bien, veamos ahora su significado geomtrico. Observe la grfica siguiente:

El punto (i , j ) x y , representa cualquier punto del ij simo rectngulo.

El volumen del ij simo paraleleppedo, denotmoslo como V ij, estara dado por:

Por tanto, si deseamos el volumen bajo la superficie, tendramos que hacer una suma de volmenes de una cantidad infinita de paralelepdedos, es decir:

De aqu surge la definicin de Integral dobleSea f una funcin de dos variables definida en la regin planaR = [a,b][c, d ] = {( x, y) / a x b c y d}

Al se le denomina la Integral Doble de f en R y se la denota de la siguiente manera:

Adems, si existe este lmite decimos que f es integrable en R.

Prctica 5-1

REGLA TRAPEZOIDAL

5.1 REGLA TRAPECIAL

Si la interpolacin se limita al primer orden, y la integral solo se calcula entre los dos primeros valores de x, es decir entre a y b x1 (n=1), aplicando, se obtiene:

y como

Figura 5.1 Aproximacin al rea bajo la curva con la frmula trapecial

Geomtricamente, el primer miembro de la expresin anterior corresponde al rea A1 bajo la curva y= f(x) entre las rectas x =x0 y x = x1 y el eje x. El segundo miembro, que es el valor aproximado de la integral representa al rea del trapecio formado por las tres rectas antes mencionadas y la que une los puntos pivotes usados en la interpolacin lineal. De manera semejante a como se obtuvo la expresin (5.48) para el rea elemental

Figura 5.2: Diagrama de flujo

A1, se pueden obtener expresiones para A2, A3, , An (ver Figura 5.1). Por ejemplo, para An se tiene:

Sumando miembro a miembro las expresiones individuales se obtiene que:

El segundo miembro de esta expresin, que proporciona un valor aproximado a la integral del primer miembro, recibe el nombre de frmula o regla trapecial, la cual se expresa en la forma:

Para mejorar la exactitud de la regla del trapecio, se puede dividir el intervalo de integracin en h segmentos y aplicar el mtodo a cada uno de ellos. El ancho de segmento se calcula como:

y la regla se denomina trapecial de segmentos mltiples.

5.1.1 Procedimiento del programa en GUIDE Matlab

Formulario

Programa

function varargout = pushbutton1_Callback(h, eventdata, handles, varargin)

f=inline(get(handles.edit1,'string'));a=str2double(get(handles.edit2,'string'));b=str2double(get(handles.edit3,'string'));n=str2double(get(handles.edit4,'string'));h=(b-a)/n;s=f(a)+f(b);for i=2:nx(i)=a+(i-1)*h;s=s+2*(f(x(i)));endAREA=s*(h/2);set(handles.edit5,'string',AREA);

function varargout = pushbutton2_Callback(h, eventdata, handles, varargin) f=inline(get(handles.edit1,'string'));a=str2double(get(handles.edit2,'string'));b=str2double(get(handles.edit3,'string'));n=str2double(get(handles.edit4,'string'));h=(b-a)/n; for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; y(i)=f(x(i)); end x =[x,b,a,a]; y =[y,0,0,f(a)]; fill(x,y, [0.2 0.6 0.4]);for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; y(i)=f(x(i));endhold on ezplot (f,[min(x):0.1:max(x)]);plot(x,y, '*b')plot(x,y, 'r')xlabel('Coordenadas X');ylabel('Coordenadas Y');title('METODO DE TRAPECIO');legend('AREA');

function varargout = pushbutton3_Callback(h, eventdata, handles, varargin)set(handles.edit1,'string','');set(handles.edit2,'string','');set(handles.edit3,'string','');set(handles.edit4,'string','');set(handles.edit5,'string','');

function varargout = pushbutton4_Callback(h, eventdata, handles, varargin)close

Resultado Integrar la funcin :

Prctica 5-2

REGLA DE SIMPSON 1/3

5.2 REGLA DE SIMPSON 1/3

En la Figura 5.2 se muestra un esquema de integracin.

Figura 5.2 Aproximacin al rea bajo la curva con la frmula de Simpson de 1/3

Si la interpolacin es limitada de segundo orden y la integral solo se calcula entre los tres primeros valores de x (n=2) y se obtiene:

y como y0 = y1 - y0 y 2y0 = y2 2 y1 + y0 se tiene:

En forma general:

Figura 5.3: Diagrama de flujo para Simpson de 1/3

Sumando miembro a miembro se obtiene:

El segundo miembro de la ecuacin se denomina frmula de Simpson del 1/3 y se expresa como:


Formulario

Programa


f=inline(get(handles.edit1,'string'));a=str2double(get(handles.edit2,'string'));b=str2double(get(handles.edit3,'string'));n=str2double(get(handles.edit4,'string'));h=(b-a)/n;for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h;endif rem(n,2)==0 s=0;for i=3:2:n+1 s=s+f(x(i-2))+4*f(x(i-1))+f(x(i));end I=h*s/3; set(handles.edit5,'string',I)elseend% GRAFICANDOS=f(a)+f(b);for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; y(i)=f(x(i));end x =[x,b,a,a]; y =[y,0,0,f(a)]; fill(x,y, [0.8 0.4 0.9]);for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; y(i)=f(x(i)); line([x(i),x(i)], [0,f(x(i))]);endhold on ezplot (f,[min(x):0.1:max(x)]);grid onplot(x,y, '*b')plot(x,y, 'r')xlabel('Coordenadas X');ylabel('Coordenadas Y');title('METODO DE SIMPSON UN TERCIO');legend('AREA');

function varargout = pushbutton2_Callback(h, eventdata, handles, varargin)cc c

set(handles.edit1,'string','');set(handles.edit2,'string','');set(handles.edit3,'string','');set(handles.edit4,'string','');set(handles.edit5,'string','');

function varargout = pushbutton4_Callback(h, eventdata, handles, varargin)cc cclose

Resultado

Ingresamos la funcin:

Prctica 5-3

REGLA DE SIMPSON 3/8

5.3 REGLA DE SIMPSON 3/8

Si la interpolacin es de tercer orden y se toma n =3, se obtiene:

en forma general:

Sumando miembro a miembro:

El segundo miembro de la ecuacin se denomina frmula de Simpson del 3/8 y se expresa como:

En la Figura 6.4 se muestra un esquema de aplicacin de esta frmula:

Figura 5.5 Aproximacin al rea bajo la curva con la frmula de Simpson de 3/8

Figura 5.6: Diagrama de flujo para Simpson de 3/8


Formulario

Programa


f=inline(get(handles.edit1,'string'));a=str2double(get(handles.edit2,'string'));b=str2double(get(handles.edit3,'string'));n=str2double(get(handles.edit4,'string'));h=(b-a)/3;x=a; f1=f(x); x=a+h; f2=f(x); x=a+2*h; f3=f(x); x=b; f4=f(x); I=(3*h/8)*(f1+3*f2+3*f3+f4);set(handles.edit5,'string',I)% GRAFICANDOh=(b-a)/n;s=f(a)+f(b);for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; y(i)=f(x(i));end x =[x,b,a,a]; y =[y,0,0,f(a)]; fill(x,y, [0.6 0.8 0.4]);for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; y(i)=f(x(i)); line([x(i),x(i)], [0,f(x(i))]);endhold on ezplot (f,[min(x):0.2:max(x)]);grid onplot(x,y,'*b')plot(x,y,'r')xlabel('Coordenadas X');ylabel('Coordenadas Y');title('METODO DE SIMPSON TRES OCTAVO');legend('AREA');


set(handles.edit1,'string','');set(handles.edit2,'string','');set(handles.edit3,'string','');set(handles.edit4,'string','');set(handles.edit5,'string','');

function varargout = pushbutton3_Callback(h, eventdata, handles, varargin)close

Resultado

Ingresamos la funcin matemtica: ingresar los limites inferior y superior y el nmero de divisiones y se tiene el resultado

Prctica 5-6

EJERCICIOS RESUELTOS

5.4 EJERCICIOS RESUELTOS

1. Aplicacin en conservacin de alimentos. A partir de los datos experimentales de humedad de equilibrio para las diferentes humedades relativas, caractersticas del producto, caractersticas del empaque y condiciones de almacenamiento dado, determine la funcin matemtica de aw = f(x). Datos experimentales de humedad de equilibrio del producto:

Tabla 1: Datos de humedad de equilibrio a 22Caw0,11310,23110,33670,500,6530,75479,87

X (g agua/100 g ms) 23,34,57,49,713,118,8

SolucinDespus de aplicar el programa de regresin, la funcin es:

La aw en funcin de x(g agua/100 g m.s.) es:

Aw= - 0.0893861+ 0.110502*x^1 - 0.00423203*x^2 + 5.67855e-005*x^3

La integral ser de acuerdo a la ecuacin

I = 1/(0,75-(- 0,0893861+ 0,110502*x -0,00423203*x^2 + 5,67855e-005*x^3))Hallar la integral para Xi = 1,5228. Xf= 6,201

2. Aplicacin de Destilacin simple: El vapor que se desprende en una destilacin diferencial verdadera, est en cualquier momento en equilibrio con el lquido del cual se forma, pero cambia continuamente de composicin. Por lo tanto, la aproximacin matemtica debe ser diferencial.

Si suponemos que en cualquier momento durante el desarrollo de la destilacin hay L moles de lquido en el destilador, con una composicin xa y que se evapora una cantidad V de moles en el destilador, de composicin ya (en equilibrio con xa), se tiene el siguiente balance de materia:

Entrada - Salida + Generacin = Acumulacin

Como no hay entrada continua al sistema ni reaccin en el mismo, los trminos de entrada y generacin se elimina de modo que el balance global queda:

(1)

Aplicndose los teoremas de valor medio del clculo diferencial e integral se tiene:

(2)

En donde z es un punto dentro del intervalo t + t.

Dividiendo entre t cuando el lmite t -0 y para cualquier t:

(3)

Por otro lado el balance para el componente A es el siguiente:

(4)

De igual manera llegamos a la siguiente ecuacin:

(5)

Sustituyendo 3 en 5 y separando la integral se tiene:

(6)

Multiplicando por dt, y reagrupando trminos:

(7)

(8)

(9)

Integrando el lado izquierdo de la ecuacin:

(10)

El lado derecho de la ecuacin puede ser integrado directamente si y puede expresarse en trminos de x, como en el caso especial donde se pueda aplicar la ley de Raoult o la de Henry, o bien entre lmites de composicin en donde existe una relacin casi lineal entre x y y.

Cuando se dispone de datos experimentales piloto o de planta, el mtodo ms simple y general para evaluar esta integral es el grfico, en donde se asientan valores de 1/(y-x) vs. x y se determina el rea bajo la curva entre los lmites xL0 y xL.

Se ejecuta con los dos programas

Tabla 1: datos experimentales

Tabla 2. Datos experimentales

Programa DS.m

%DESTILACION SIMPLE AGUA ETANOL%Programa para obtener la grafica T xy% para agua y etanol ideal y utilizando% la correccion de Margules%% ALBERTO HUAMANI HUAMANI% Iniciofunction DSclc; clear all;global A B C T Pt AM i j% indice para las figurasfig=1;%% Datos ExperimentalesL0 = 200; % mL (volumen inicial)L = 172; % mL (volumen residuo)x0 = 0.47; % frmol (concentracion inicial)xf = 0.0015; % frmol (concentracion residuo)Texp = [83 84 85 86 87 88 89 89]; % [oC]xdest = [0.2150 0.1725 0.1745 0.1603 0.1268 0.0962 0.0844 0.0573];xres = [0.0088 0.0076 0.0076 0.0039 0.0027 0.0015 0.0000 0.0000];%% Datos% nombre de los componentescomponente1=['etanol'];componente2=['agua'];% Constantes de Antoine para componente1 y componente2% ln(Ps(i)) = A(i) - B(i) / (C(i)+T)A = [8.1122 8.0713];B = [1592.864 1730.630];C = [226.184 233.426];% Coeficientes de MargulesAM=[1.6022 0.7947]; % [A12 A21]% Calculo de la presion realTebexp = Texp(1);Preal = 10^(A(1)-B(1)/(C(1)+Tebexp));% Pt = presion de trabajoPt = [760 550 Preal]; % mmHg (presion de trabajo [atm ... ref])for j = 1:length(Pt),for i = 1:length(A),Teb(i,j) = B(i)/(A(i)-log10(Pt(j)))-C(i);endTrange = linspace(Teb(1,j),Teb(2,j));T(:,j) = Trange';for i = 1:length(T)Ps1(i,j) = 10^(A(1)-B(1)/(C(1)+T(i,j)));Ps2(i,j) = 10^(A(2)-B(2)/(C(2)+T(i,j)));K1(i,j) = Ps1(i,j)/Pt(j);K2(i,j) = Ps2(i,j)/Pt(j);x1(i,j) = (1-K2(i,j))/(K1(i,j)-K2(i,j));x2(i,j) = (1-K1(i,j))/(K2(i,j)-K1(i,j));y1(i,j) = K1(i,j)*(K2(i,j)-1)/(K2(i,j)-K1(i,j));y2(i,j) = K2(i,j)*(K1(i,j)-1)/(K1(i,j)-K2(i,j));xini = [x1(i,j) x2(i,j) y1(i,j) y2(i,j)];

[fun val flag] = fsolve(@margules,xini);xM1(i,j) = fun(1);xM2(i,j) = fun(2);yM1(i,j) = fun(3);yM2(i,j) = fun(4);funx(i,j) = 1/(yM1(i,j)-xM1(i,j));Tc(i,j) = T(i,j); % eventual conversion K --> Cend% para los limites de la inegral[val0(j) pos0(j)] = min(abs(xM1(:,j)-x0));[valf(j) posf(j)] = min(abs(xM1(:,j)-xf));% para la concentracion promedio[val00(j) pos00(j)] = min(abs(T(:,j)-Texp(1)));[valff(j) posff(j)] = min(abs(T(:,j)-Texp(end)));pos = ceil(length(yM1(:,j))/2);while yM1(pos,j)-xM1(pos,j)>0.025,pos=pos-1;endaz=Tc(pos,j);figure(fig)plot(x1(:,j),Tc(:,j),':',xM1(:,j),Tc(:,j),xres,Texp,'-.')hold onplot([0 1],[Tc(pos,j) Tc(pos,j)],'k--','LineWidth',1.5)hold onplot(y1(:,j),Tc(:,j),':',yM1(:,j),Tc(:,j),xdest,Texp,'-.')title(['Diagrama Txy para ' componente1 '-' componente2...' @' num2str(Pt(j)) 'mmHg'],...'FontSize',12,'FontWeight','Bold')xlabel(['fraccion mol ' componente1])ylabel('Temperatura [ôC]')axis([0 1 floor(Tc(1,j)) ceil(Tc(end,j))])legend('Ideal','Margules',...'Experimental',['Azeotropo @' num2str(Tc(pos,j)) 'ôC'],0)gridhold offfig=fig+1;end%% Ultimos Plots% Comparacionfigure(fig)title(['Diagrama Txy para ' componente1 '-' componente2],...'FontSize',12,'FontWeight','Bold')line(x1(:,1),Tc(:,1),'Color','r','LineStyle','--');line(xM1(:,1),Tc(:,1),'Color','r');line(y1(:,1),Tc(:,1),'Color','r','LineStyle','--');line(yM1(:,1),Tc(:,1),'Color','r');legend('Ideal','Margules',0)axis([0 1 floor(min([Tc(1,1) Tc(1,end)]))...ceil(max([Tc(end,1) Tc(end,end)]))]);ax1 = gca;set(ax1,'XColor','k','YColor','r');ylabel(['Temperatura [ôC] @' num2str(Pt(1)) 'mmHg'])ax2 = axes('Position',get(ax1,'Position'),...'XAxisLocation','bottom',...'YAxisLocation','right',...'Color','none',...'XColor','k','YColor','b');ylabel(['Temperatura [ôC] @' num2str(Pt(end)) 'mmHg'])line(x1(:,end),Tc(:,end),'Color','b','Parent',ax2,'LineStyle','-.');line(xM1(:,end),Tc(:,end),'Color','b','Parent',ax2);line(y1(:,end),Tc(:,end),'Color','b','Parent',ax2','LineStyle','-.');line(yM1(:,end),Tc(:,end),'Color','b','Parent',ax2);legend('Ideal','Margules',0)axis([0 1 floor(min([Tc(1,1) Tc(1,end)]))...ceil(max([Tc(end,1) Tc(end,end)]))]);xlabel(['fraccion mol ' componente1])gridfig=fig+1;%% Clculos% integralesfor i=1:length(Pt),funxrec = funx(pos0(i):posf(i),i);int_teo(i) = trapz(xM1(pos0(i):posf(i),i),funxrec);figure(fig)plot(xM1(pos0(i):posf(i),i),funxrec)xlabel('x')ylabel('1/(y-x)')axis([0 1 0 ceil(funxrec(end))+10-mod(ceil(funxrec(end)),10)])gridfig=fig+1;endint_teo=int_teo % a diferentes presionesder = log(L/L0)funx_exp=1./(xdest-xres);int_exp = trapz(xres,funx_exp)% Grafica 1/(y-x) vs. xfigure(fig)plot(xres,1./(xdest-xres))xlabel('x')ylabel('1/(y-x)')axis([0 1 0 ceil(funx_exp(end))+10-mod(ceil(funx_exp(end)),10)])gridfig=fig+1;% concentracionfor i=1:length(Pt),conc(i) = (yM1(pos00(i),i)-yM1(posff(i),i))/2;endconc=concerr=((conc-0.0707)/0.0707)*100

Programa margules.m%% Functionfunction f= margules(x)global A B C T Pt AM i jx1=x(1);x2=x(2);y1=x(3);y2=x(4);Ps1(i,j) = 10^(A(1)-B(1)/(C(1)+T(i,j)));Ps2(i,j) = 10^(A(2)-B(2)/(C(2)+T(i,j)));gamma1(i,j) = exp(x2^2*(AM(1)+2*(AM(2)-AM(1))*x1));gamma2(i,j) = exp(x1^2*(AM(2)+2*(AM(1)-AM(2))*x2));KM1(i,j) = gamma1(i,j)*Ps1(i,j)/Pt(j);KM2(i,j) = gamma2(i,j)*Ps2(i,j)/Pt(j);f(1)=(1-KM2(i,j))/(KM1(i,j)-KM2(i,j))-x1;f(2)=(1-KM1(i,j))/(KM2(i,j)-KM1(i,j))-x2;f(3)=KM1(i,j)*(1-KM2(i,j))/(KM1(i,j)-KM2(i,j))-y1;f(4)=KM2(i,j)*(1-KM1(i,j))/(KM2(i,j)-KM1(i,j))-y2;

Resultadosint_teo = -1.8657 -1.9130 -2.0374der = -0.1508int_exp = -0.0661conc = 0.0862 0.1090 0.2475err = 21.9347 54.1060 250.0400

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Alberto L.Huaman Huaman 200Inicio

Leer a,b,n

S=f(a)-f(b)

S=S+2*f(xi)

Area=S*h/2

FIN

Xi=a+i*h

i=1,n-1,1

Escribir AREA

Inicio

Leer F(x),a,b,n

Xi=a+h

i=2,n,1

i=0,n,1

Escribir AREA

S=0

AREA=S*h/3

FIN

n par

Inicio

S=0

LEERF(x),a,b,n

Escribir S

FIN

n =3

i=3,n,3

Escribir n debe ser impar

Capitulo v Integracionnnnnn

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