CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO

1. SOCIEDAD ACTUAL Y EDUCACIÓN.

Es evidente que la sociedad ha estado en constantes cambios y avances,

en la actualidad ésta se encuentra caracterizada por los continuos adelantos

científicos y tecnológicos, además de una globalización tanto económica como

cultural. Producto de estos constantes progresos, la sociedad en la actualidad

cuenta con una gran expansión de comunicación y sobre todo de información

que día a día se nos ofrece y que está al alcance de todas las personas.

Es así como la tecnología nos brinda información que se encuentra en

todas partes, ya que, lo que está ocurriendo en una parte del planeta es

comunicado al mundo entero, por ello hay un creciente conocimiento cultural

que permite que la información y los nuevos conocimientos sean más

asequibles y lleguen con mayor rapidez a la sociedad en general. Asimismo,

es esta tecnología actual en nuestra sociedad, la que permite que se nos ceda

o venda la información “como un elemento accesible, que se puede poseer,

que da poder, que da conocimiento”1.

Todas estas características conducen a que la sociedad sea denominada

Sociedad del Conocimiento, puesto que tiene la capacidad de crear, adaptar, y

usar el conocimiento para satisfacer las necesidades que se le presentan en el

diario vivir e ir de esta manera construyendo el futuro, transformando esta

creación y adaptación del conocimiento en un instrumento al cual la sociedad le

va dando un adecuado uso y beneficio que son permanentes. Por ende la

sociedad del conocimiento se convierte en un lugar donde; “el auge del trabajo

mental no se extinguirá”2.

Esto demanda en las personas ciertas habilidades y competencias como

resolver problemas, tener una mayor toma de decisiones y autonomía, y poseer

la capacidad de adaptarse continuamente a los nuevos requerimientos que van

1 http://www.educalibre.cl/node/5842 TOFFLER, Alvin y Heidi.La creación de una nueva civilización; la política de la tercera ola. Plaza y Janes Editores S.A. 1995.49p.

surgiendo. En este mismo sentido, la educación tiene como objetivo lograr el

desarrollo de toda la potencialidad de cada individuo que llegará, así, a

transformarse en una persona integrada a la sociedad, con intereses propios y

en permanente evolución autónoma.

Por lo anterior, la educación cumple un rol fundamental, pero también es

quien integra las nuevas tecnologías de la información con la cultura,

colocándolas al alcance de las personas y dándole un enfoque que permita que

los alumnos aprendan y conozcan de manera equilibrada los nuevos

conocimientos que se van dando en la cotidianidad y entregando las

herramientas necesarias para que se desenvuelvan y sepan desarrollar

habilidades que les ayudarán a convivir en sociedad.

Es la educación la instancia en que las personas pueden socializar e

integrarse, este es el papel de la educación en la actualidad. Además de

entregar conocimientos y transmitir la información que llega de todas partes y

que permite estar en constantes avances y mejoramientos en la calidad de vida

de las personas, también da la instancia para que los alumnos desarrollen

capacidades que le permitan manejar y darle un adecuado uso a todos los

conocimientos y filtrar de manera correcta la información con la que se

encuentra todos los días.

Motivo de los múltiples cambios que a experimentado la sociedad es que la

educación, también ha dado giros importantes, teniendo que situarse al alcance

de ésta para satisfacer a las nuevas exigencias y necesidades. A causa de

estas transformaciones, la educación ha debido resguardar que la información

sea entregada en forma correcta y asertiva a los miembros de la sociedad, pero

al mismo tiempo esta información debe ser comprensible, pues el conocimiento

no es útil si sólo se posee y no se comprende.

Esquema N°1: Sociedad y Educación

El esquema muestra como la sociedad y la educación han ido avanzando,

creando esta sociedad del conocimiento, que exige cambios. Por esto la

educación en la actualidad a dado grandes mejoras, ha debido reformarse y

renovarse totalmente en todos sus aspectos y dimensiones para dar

respuestas que satisfagan los nuevos requerimientos que implican los cambios

que ha experimentado la sociedad.

Sociedad del Conocimiento

Educación

Nuevas Tecnologías

Cambios y Avances

Habilidades y Competencias

2. LA REFORMA EDUCACIONAL CHILENA

La educación chilena ha sufrido grandes cambios sociales, por lo que ha

sido necesario reformar los principios educacionales para minimizar el desfase

entre la educación y la sociedad.

Desde los años sesenta, el objetivo principal de la reforma educacional

chilena fue ampliar la cobertura de la educación básica y media, lo que ha

significado que nuestro país ha cubierto de forma progresiva esta carencia de

cobertura que se manifestó en años anteriores.

Al aumentar la capacidad de cobertura educacional en Chile, van

cambiando las prioridades de las políticas educativas. El centro de los intereses

y objetivos educacionales ya no son los mismos, es decir, son un “paso desde

núcleo puesto en insumos de la educación y aumento de la cobertura, a los

procesos y resultados de aprendizaje como núcleo”3. Es así como en el

gobierno de del Presidente Eduardo Frei Ruiz-Tagle se dio inicio a grandes

cambios en el ámbito de la educación en el país, donde la calidad y la equidad

son el gran objetivo. “En 1996, el presidente convoca a un proceso de Reforma

Educacional que, junto con reafirmar las iniciativas y programas en marcha,

agrega otros para lograr de ese modo un conjunto integral de cambios”4

Al centrarnos en el aprendizaje, este debe ser de calidad, esto significa

dejar de lado aquellos aprendizajes repetitivos, mecánicos, sin comprensión y

sin sentido para reemplazarlos por “requerimientos formativos, cognitivos y

morales, distintos; se trata menos de aprender cosas y más de desarrollar

capacidades y destrezas de aprendizaje (aprender a aprender, aprender a

pensar, aprender a resolver problemas); menos de inculcar valores y más de

incrementar Ia capacidad moral para discernir entre valores”5.

3 GARCIA-HUDOBRO, Juan Eduardo. La reforma Educacional Chilena. Madrid, Editorial Popular, 1999.27p4 www.eclac.org/publicaciones/xml/8/19298/lcg2130e_5.pdf -5 GARCIA-HUDOBRO, Juan Eduardo. La reforma Educacional Chilena. Madrid, Editorial Popular, 1999.27p 8p

La Reforma se caracterizó por ser gradual, incremental y flexible a los

cambios, “es una reforma que pretende afectar paulatina y en forma global

todas las dimensiones del sistema: las formas de enseñar y aprender, los

contenidos de la educación, la gestión de los servicios educativos, los insumos

tanto de materiales educativos (biblioteca, informática educativa) como de

infraestructura escolar, el financiamiento del sector, así como el mejoramiento

sostenido de las condiciones de trabajo de los docentes”6 es por esto que la

reforma no se identifica con un solo pilar que permita reconocerla como tal,

puesto que para producir estas modificaciones se basó en cuatro

pilares fundamentales, los cuales son:

Programas de mejoramiento e innovación pedagógica.

Desarrollo profesional de los docentes.

Jornada escolar completa (JEC).

Reforma Curricular.

Esquema N°2: Reforma Educacional

6 www.mineduc.cl

En el esquema se visualiza como la sociedad y la educación evolucionan a

partir de continuos avances científicos y tecnológicos, por lo que surge la

Reforma Educacional Chilena, en la cual se consideran cuatro pilares y entre

ellos como pilar fundamental la Reforma Curricular, ya que es ésta la que

propone los grandes cambios en el área pedagógica, particularmente en el

proceso de enseñanza-aprendizaje de los distintos sectores de aprendizaje.

EDUCACIÓN SOCIEDAD

Continuos Adelantos

REFORMA EDUCACIONAL

Reforma Curricular

Jornada Escolar

Completa

Programas de mejoramiento e innovación pedagógica

Desarrollo profesional de los docentes

2.1. Reforma Curricular

La Reforma Curricular se genera en medio de un debate y preocupación por

los desafíos que los procesos modernizadores y la globalización generan al

sistema educativo. “Los cambios que se están produciendo en el contexto

social impactan al sistema educativo, el cual, a su vez, ha estado

experimentando transformaciones significativas a su interior”7.

Tomando en cuenta estos procesos que son propios de la globalización, es

necesario destacar que uno de los objetivos e ideas fuerzas de la Reforma

Curricular se manifiesta en la manera que “los contenidos educativos son

reconceptualizados superando la concepción lineal informativa y reproductiva

del aprendizaje y adhiriendo a otra de corte socio-constructivista basada en el

aprendizaje significativo, es decir en la construcción del conocimiento”8,

permitiendo así el desarrollo cognitivo, es decir, desplegar la capacidad de

pensar y razonar.

Por lo anterior, el sistema educacional chileno se adapta a los cambios y

aportes educacionales constantes de nuestra sociedad. En efecto, al

centrarnos en la reforma curricular nos introducimos en un contexto pedagógico

que planea amplias transformaciones en este ámbito. Es así como la reforma

curricular, bajo la mirada de Bárbara Eyzaguirre (1999), plantea un conjunto de

disposiciones que representan las acciones principales, la cuales pretenden

“focalizarse hacia el conocimiento generativo, destacar la importancia del

esfuerzo, respetar los principios mínimos del proceso de enseñanza-

aprendizaje, presentar a los profesores las nuevas técnicas educativas con sus

pros y contras, crear un banco de programas de estudio y diversificar la ofertas

de textos escolares”9. Todas estas iniciativas enunciadas anteriormente,

apuntan hacia un cambio global y profundo para mejorar la calidad y la equidad

de la educación en el país.

7 http://www.piie.cl/secciones/actividades/proyectos/reforma_curricular.htm8 Reforma curricular y contenidos educativos, 1p. 9 www.cepchile.cl/dms/archivo_1577_389/rev76_eyzaguirre.pdf - Una mirada a la reforma curricular, Bárbara Eyzaguirre, 293p

Luego de haber señalado este conjunto de disposiciones, es necesario dar

a conocer de qué se trata cada una de estas medidas. La primera iniciativa

apunta hacia el conocimiento generativo, el cual pretende que los educandos

exploten y aprendan habilidades y contenidos fundamentales para

desenvolverse en nuestra sociedad. Según David Perkins, hay tres objetivos

que resumen el conocimiento generativo, éstos son: “retención de

conocimientos, comprensión de conocimientos y uso activo de

conocimientos”10. Estos tres propósitos construyen el conocimiento de forma

activa y funcional ayudando a los individuos a que desarrollen su vida en el

mundo.

Posteriormente, la segunda medida persigue destacar la importancia del

esfuerzo en el sistema educativo chileno. Éste se entiende como “horas de

estudio independiente, insistir cuando no se encuentra la solución inmediata,

buscar otros caminos si el elegido no lleva a la comprensión, destinar tiempo

para dar tutorías a los alumnos lentos”11. Esta idea del esfuerzo adquiere gran

relevancia al momento de que los estudiantes se enfrentan a los desafíos que

trae consigo la tarea de aprender en las escuelas chilenas. No obstante, en el

país hay realidades en las que no se asume el esfuerzo como herramienta para

el progreso de los aprendizajes. En consecuencia, es necesario brindar gran

cantidad de oportunidades de aprendizaje, que sean cognitivamente

desafiantes.

La tercera medida tiene la finalidad de respetar los principios mínimos del

proceso de enseñanza-aprendizaje, esto refleja que las propuestas dadas por

el Ministerio de Educación, se han dirigido a transformar las prácticas

pedagógicas. En otras palabras, el acento se ha colocado en cambiar las

prácticas eminentemente unidireccionales de los profesores, en ampliar el

repertorio metodológico de los maestros y en presentar teorías hasta ahora

poco difundidas en Chile. Además los programas de estudio del MINEDUC

cumplen un rol fundamental, puesto que proponen una amplia diversidad de

actividades que van más allá de las clases frontales y tradicionalistas.

10 Ibíd. 269p11 www.cepchile.cl/dms/archivo_1577_389/rev76_eyzaguirre.pdf - Una mirada a la reforma curricular, Bárbara Eyzaguirre. 283p

Efectivamente, “muchas de ellas ayudan a la comprensión y construcción de

conceptos; otras ayudan a la ejercitación no mecánica; otras favorecen la

transferencia de conocimientos a otros campos; otras están dirigidas a

vivenciar y a hacer significativas las materias; otras a visualizar las implicancias

de ciertos conceptos; otras a reflexionar sobre los propios procesos cognitivos;

otras a desarrollar la motivación por los temas o el sentido de ser competente y

el sentido de pertenencia”12. Esta medida de manera general, busca renovar las

prácticas pedagógicas con el fin de minimizar el uso de las metodologías

tradicionales que no permiten la participación activa y el desarrollo cognitivo de

los alumnos y la innovación en las actividades de los profesores.

La cuarta medida, es presentar a los profesores las nuevas técnicas

educativas con sus pros y contras, esto indica que lo principal dentro de un

marco de profesionalización implica “manejar mucha información e integrar

información contradictoria”13, sobre materias pedagógicas que influyan en los

espacios de reflexión y aprendizaje que experimentan los docentes.

La última medida, es crear un banco de programas de estudio y diversificar

las ofertas de textos escolares, esto busca desarrollar una autonomía curricular

que permita que los establecimientos educativos construyan sus propios planes

y programas que sean más pertinentes a las realidades educativas del país.

Por otra parte, los textos escolares desempeñan una gran labor educativa que

no deja de ser importante, ya que contribuyen en gran medida a especificar el

currículo. En este sentido, es importante destacar que “el estado desde 1992

distribuye 3 libros para cada niño de primero a cuarto grado (lenguaje,

matemáticas y texto integrado de ciencias naturales y sociales), y 4 libros para

cada niño del quinto al octavo grado (lenguaje, matemática, ciencias sociales y

ciencias naturales), para un 100% de la matrícula que asiste a escuelas

subvencionadas, tanto Municipales como particulares. Lo señalado supone

distribuir más seis millones de textos al año, lo que ha implicado casi triplicar la

inversión promedio de los años ochenta en este rubro”14.

12 Ibíd. 287p13 www.cepchile.cl/dms/archivo_1577_389/rev76_eyzaguirre.pdf - Una mirada a la reforma curricular, Bárbara Eyzaguirre . 290p14GARCIA-HUDOBRO, Juan Eduardo. La reforma Educacional Chilena. Madrid, Editorial Popular, 1999, 49p

Tomando en cuenta lo anterior, la primera exigencia que propone abordar

esta reforma, consiste en actualizar los contenidos y objetivos de la educación

preescolar, básica y media, “considerando que los planes y programas vigentes

habían sido elaborados a principios de los años 80”15.La segunda pretensión

radica en impulsar una educación de calidad, que incorpore los más recientes

avances en pedagogía, y actualice los programas de estudio de acuerdo con

las necesidades del nuevo siglo. Por último, esta reforma aspira a introducir un

nuevo procedimiento basado en la descentralización para idear el currículum

escolar, esto quiere decir que los establecimientos cuentan con la libertad de

crear sus propios planes y programas de acuerdo a sus propias necesidades.

“Los programas de estudio pueden ser elaborados por los colegios, aunque la

gran mayoría –tal como se esperaba- en una primera etapa han utilizado

aquellos preparados por la Unidad de Currículum del MINEDUC”16

2.1.1. Visión Histórica de los Planes y Programas.

Los Planes y Programas utilizados antes de la reforma, consideraban

solamente Objetivos Generales y Específicos en los cuales el profesor debía

basarse para la enseñanza de la Matemática.

En el año 1996, el Decreto Nº 40, establece objetivos fundamentales y

contenidos mínimos obligatorios para la educación básica y fija normas

generales para su aplicación. La LOCE (Ley Orgánica Constitucional de

Enseñanza), en una de sus artículos instauró que debían establecerse los

Objetivos Fundamentales de cada uno de los años de estudios de la

enseñanza básica y de la enseñanza media, así como los Contenidos Mínimos

Obligatorios que faciliten el logro de los citados Objetivos Fundamentales.

En 1999, el Decreto Nº 240 modifica al Decreto Nº 40, debido a la creación

de un nuevo régimen de trabajo escolar denominado Jornada Escolar

Completa Diurna, por lo que es necesario introducir modificaciones en la Matriz

15 www.eclac.org/publicaciones/xml/8/19298/lcg2130e_5.pdf -16 www.eclac.org/publicaciones/xml/8/19298/lcg2130e_5.pdf -

Curricular Básica de todos los niveles de la Enseñanza Básica, con el fin de

ajustar los tiempos establecidos en ella a dicho régimen, como también en los

Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de 5º año (NB.3),

6º año (NB.4), 7º año (NB.5) y 8º año (NB.6), teniendo presente la articulación

y secuencia que debe darse entre un nivel y otro y, en el caso de los de 8º año,

entre los niveles de enseñanza básica y media.

Después de seis años de aplicación de los Objetivos Fundamentales y

Contenidos Mínimos Obligatorios establecidos por el decreto Nº 240, se ha

considerado necesario modificar a través del Decreto Nº 232, los Objetivos

Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de los Subsectores de

Aprendizaje: Lenguaje y Comunicación y Educación Matemática,

correspondientes a los niveles NB.1 (1º y 2º año) y NB.2 (3º y 4º año) de la

Enseñanza Básica; ya que dichas modificaciones definen con mayor precisión

y especificación los objetivos y contenidos de esos subsectores, de modo de

proporcionar orientaciones claras a los docentes sobre los aprendizajes que

deben alcanzar los alumnos y alumnas en este ciclo.

Para avanzar hacia una enseñanza efectiva en el marco de una reforma

curricular y pedagógica, se requiere de recursos curriculares y didácticos que

sirvan de referentes y que modelen el cambio esperado. Para lograrlo el

Ministerio de Educación ha aprobado los programas de estudio, los cuales

corresponden a “un instrumento o documento oficial que presenta los objetivos

y contenidos de los sectores de aprendizaje registrados en el plan de estudio,

en forma articulada y graduada. Generalmente presenta también las

estrategias metodológicas que posibilitan alcanzar los objetivos establecidos”17.

2.2. Presentación del Programa de Educación Matemática NB2

En NB2, el aprendizaje de las matemáticas se basa fundamentalmente en

los aprendizajes que los alumnos han logrado durante el Nivel Básico 1. “A

partir de ellos y de las nuevas experiencias acumuladas por niños y niñas en su

17http://www.cse.cl/public/Secciones/SeccionMundoEscolar/Mundo_Escolar_Programas_de_Estudio.aspx

interacción permanente con el mundo natural y social que les rodea, se van

generando nuevos conocimientos y fortaleciendo y ampliando las habilidades y

destrezas que se han venido desarrollando, desde el nivel parvulario, en el

mundo de los números, operaciones y formas”18

El Programa de estudio de 3º año básico, además de poseer los

componentes que se muestran en el esquema, está organizado en dos

semestres, en cada uno de los cuales se abordan los cuatro ejes de este

subsector en torno a un tema articulador que favorece la integración entre

sectores curriculares. Estos ejes son:

Números.

Operaciones aritméticas.

Forma y espacio.

Resolución de problemas.

18 Planes y Programas de Educación Básica. http://www.curriculum- mineduc.cl/docs/fichas/3b03_matematica_.pdf

Esquema Nº 3: Programa del Subsector de

Educación Matemática NB2 (Tercer y Cuarto básico)

PROGRAMAPROGRAMA

MATEMÁTICAMATEMÁTICA

NB2NB2

(3º y 4º BÁSICO)(3º y 4º BÁSICO)

El esquema presenta la disposición de los componentes generales de los

planes y programas y de manera particular, los cuatro ejes de los temas

articuladores de este subsector.

En el eje Números, se considera fundamental que los niños y niñas

comprendan que los números que ellos aprenden en la escuela son aquellos

números que continuamente están viendo y usando en la realidad; se amplía el

rango numérico hasta el millón; se incorpora la recta numérica y la

comprensión del sistema decimal; se aplican en este contexto relaciones a

partir de lo que se conoce y lo nuevo; se llevan a cabo relaciones entre el

sistema de numeración decimal y el sistema monetario nacional y los sistemas

decimales de medida de magnitudes; se integra en este nivel la composición y

descomposición multiplicativa y aditiva; se promueve el desarrollo de

habilidades tales como estimar, redondear y comparar, aplicables tanto a

conjuntos de objetos como a mediciones de diversas magnitudes; se

introducen las fracciones, el sentido de la cantidad y el trabajo con tablas.

En el eje Operaciones Aritméticas se amplía el uso de las operaciones

aritméticas de adición y sustracción a los nuevos rangos numéricos y se

plantean situaciones problemáticas variadas que implican el uso de

combinaciones de dichas operaciones; se profundizan y amplían las

habilidades de cálculo mental y en cuanto al cálculo escrito, se incorpora el

empleo de algoritmos resumidos en ambas operaciones; se introduce el uso de

la calculadora para efectuar adiciones y sustracciones a fines del tercer año

para resolver situaciones problemáticas y desarrollar el razonamiento lógico; se

incorporan las operaciones de multiplicación y división asociadas a situaciones

de proporcionalidad, arreglos bidimensionales, reparto equitativo y por

agrupamiento, haciendo especial énfasis en la relación de reversibilidad que

existe entre ellas; se van incorporando aprendizajes de procedimientos de

cálculo de tipo mental y escrito, que se van graduando a lo largo de los

diferentes semestres para finalizar con los procedimientos resumidos

habituales. Culmina el trabajo en el ámbito de las operaciones con un estudio

comparativo de las características o propiedades asociadas a cada una de

ellas y las relaciones que existen.

En el eje Formas y Espacio se estudian las formas triangulares; se

determinan sus características más relevantes; se establece una clasificación

de las mismas y se dibujan y construyen empleando diversos medios. El

estudio de las traslaciones y reflexiones se inicia en 3° Básico y en 4° Básico

se complementa con rotaciones, ampliaciones y reducciones. Se inicia el

estudio de la ubicación de posiciones y trayectos en el tercer año y se

profundiza en el cuarto año.

El eje Resolución de Problemas atraviesa los otros ejes ya descritos, en él

se ponen a prueba los conocimientos adquiridos y se enfatiza en el desarrollo

de la habilidad para resolver problemas; se trata de hacer que niños y niñas

comprendan el contenido de los problemas; determinen qué información se

tiene y cuál se debe encontrar; sean capaces de construir procedimientos y/o

utilizar (o adaptar) los procedimientos conocidos, escogiéndolos tanto en

función de las características del problema como de sus propias capacidades,

conocimientos, formas de razonamiento; encuentren una o varias soluciones,

las verifiquen y evalúen en función de las hipótesis iniciales y puedan, a partir

del problema resuelto, plantearse y resolver nuevas preguntas o situaciones.

3. LA MULTIPLICACIÓN

De los ejes que conforman el programa de estudio de NB2 del subsector

Educación Matemática, nuestra investigación se centra principalmente en el eje

de operatoria, en donde el niño de forma constante se relaciona y utiliza las

operaciones aritméticas, que deben tener para él un significado, que le

permitirá atribuirle sentido a lo que efectúa, es decir, se busca “comprender el

significado de las operaciones, saber aplicarlas y captar su funcionalidad,

conseguir su mecanización”19.

De esta manera, la multiplicación se organiza en un conjunto de

características específicas que dan un esquema general de dicho conocimiento

matemático. Este grupo de objetivos representan a la multiplicación “como

significado de repetición, de reiteración de sumandos”20. Dentro de esta

repetición de sumandos se localiza el signo (X) que significa las veces.

En cuanto al proceso didáctico de iniciación a la multiplicación, José Antonio

Fernández Bravo, en su artículo “La Enseñanza de la Multiplicación Aritmética:

una barrera epistemológica” considera que se debe asociar a la palabra

«veces» el signo «x», que se lee: «multiplicado por», y de forma abreviada

«por». En consecuencia, relacionar que la palabra «veces» es igual a «x»,

ejemplo: 6 x 4, es igual a decir 6 veces 4.

Aparte de este elemento representativo existen otras unidades que

componen la multiplicación estas son: “multiplicando, multiplicador y producto y

su situación espacial”21.

Esquema Nº 4: La Multiplicación

19 FERNANDEZ, Baroja Fernanda; LLOPIS, Paret Ana María; PABLO, Marco Carmen. Matemáticas básicas: dificultades de aprendizaje y recuperación, Madrid, Editorial Santillana, 1991. 200p20 Ibíd.200p. 21 FERNANDEZ, Baroja Fernanda; LLOPIS, Paret Ana María; PABLO, Marco Carmen. Matemáticas básicas: dificultades de aprendizaje y recuperación, Madrid, Editorial Santillana, 1991. 200p.

El esquema grafica la visión que se posee de la multiplicación, como

operación aritmética, pero con la finalidad de entender el significado de

multiplicación de manera más íntegra, precisaremos tres perspectivas distintas

de ver esta idea matemática, las cuales son:

Los problemas de isomorfismo de medidas: Hacen alusión a relaciones

de la multiplicación sustentadas en las proporciones que se generan entre dos

cantidades de diferente magnitud. Estos tipos de problemas se caracterizan

porque “en ellos aparecen escrituras numéricas correspondientes a medidas de

dos magnitudes distintas: bolsas y caramelos, peso de naranjas y dinero,

botellas de leche y dinero, etc.”22.

22 Ibíd.161p

Operación aritmética

Repetir

Número Tantas veces

Otro número

Multiplicando Multiplicador

POR

PRODUCTO

MULTIPLICACIÓN

Ejemplo: Si una bolsa de caramelos trae 7 golosinas, ¿Cuántas golosinas

tendré en 6 bolsas?

Número de bolsas Número de golosinas

1 7

6 ?

El cuadro representa el planteamiento del problema, considerando los datos

que se presentan en el planteamiento y la incógnita que se debe despejar. Es

así como el cuadro indica que si una bolsa de golosinas tiene 7 caramelos, hay

que resolver la incógnita de cuántos caramelos habrían en 6 bolsas.

Los problemas de producto de medidas: se sustenta en las relaciones

multiplicativas que se generan en “dos campos de medidas (que podrían ser el

mismo en algún caso) que se componen para conformar otro, mediante un

proceso análogo al producto cartesiano”23. Ejemplo: Si tengo 2 floreros con 4

claveles cada uno ¿Cuántas flores tengo en total?

FLORES

X 1 2 3 4

FL

OR

ER

OS

1

2 8

3

4

El cuadro presenta una resolución de multiplicación a partir de dos factores

que conocemos, de los cuales debemos obtener el producto. En el caso del

planteamiento de este problema debemos saber cuántas flores hay en total, por

lo que se multiplica 2 x 4 y se obtiene el resultado de 8.

Los problemas con un espacio único de medidas: Este tipo de

problemas se gestan de forma fundamental en las comparaciones que se

producen en la multiplicación. 23 Ibíd. 166p.

Orientémonos mediante el siguiente ejemplo: Martín tiene 12 años y su

mamá tiene 4 veces más su edad ¿Cuántos años tiene la mamá de Martín?

Martín__________________Mamá de Martín

12 x 4 = ?

Este cuadro plantea la resolución del problema al considerar que la edad

de la mamá es el cuádruplo de la edad de Martín, por lo tanto para resolver el

problema se debe multiplicar la edad de Martín por 4, para conseguir saber el

resultado de la edad de la mamá.

Algoritmo de la Multiplicación

Los algoritmos son modos de resolución de problemas, cabe aclarar que no

sólo son aplicables a la actividad intelectual, sino también a todo tipo de

problemas relacionados con actividades cotidianas.

Para poder entender mejor el concepto de algoritmo se utilizará como

ejemplo el cálculo de una multiplicación:

Secuencia de pasos lógicos:

1. Escribir los dígitos por multiplicar: 4 x 4

2. Se sumarán 4 + 4 = 8

3. AI resultado se le volverá a sumar 4: 8 + 4 = 12.

4. A este nuevo resultado se le volverá a sumar 4: 12 + 4

5. El resultado es de 16.

Todos estos pasos se deben seguir para poder realizar una multiplicación;

los pasos se pueden simplificar siempre y cuando sigan el mismo orden.

Propiedades de la Multiplicación.

La multiplicación tiene propiedades que harán más fácil la resolución de

problemas. Estas son las propiedades conmutativa, asociativa, distributiva, de

clausura, elemento neutro y elemento absorbente.

Propiedad Conmutativa: consiste en que el resultado de dos cifras,

siempre será el mismo, aunque se altere el orden de los factores, en lenguaje

matemático esto se expresa de la siguiente manera: a*b=b*a.

Ejemplo: 5x3 = 3x5.

15 = 15

Propiedad Asociativa: se basa en realizar la multiplicación a un par de

números que son asociados efectuando esta misma operación con un tercer

número, posteriormente se obtiene un producto. Existen dos maneras de poner

en práctica esta propiedad.

La primera forma es: (a*b)*c, es decir, se deben multiplicar los dos primeros

que se encuentran en el paréntesis y luego el resultado de esta acción se

multiplica por el tercer factor, que en este caso es: c.

Ejemplo: (2x7) x 4

14 x 4

56

La segunda forma de aplicar la propiedad asociativa es: a*(b*c), en esta

ocasión el orden de los paréntesis cambia para asociar en una primera

instancia a dos factores que son: b*c, los cuales son multiplicados con la

finalidad de conseguir un producto que es multiplicado por a.

Ejemplo: 2 x (7x4)

2 x 28

56

Propiedad Distributiva de la Multiplicación con respecto a la Adición:

consiste en multiplicar una cifra por la adición de otros dos dígitos. Cuando se

aplica la adición entre dos números que están en un paréntesis y luego dicho

resultado de la operación se multiplica por un tercer dígito, se logra un producto

igual que si se multiplican los factores asociados en dos paréntesis distintos, por

un mismo número y se suman los resultados conseguidos de la operatoria anterior.

Esta propiedad se expresa de la siguiente manera:

a x (b+c) = (a x b) + (a x c).

Ejemplo: 2 x (4+3) = (2 x 4) + (2 x 3)

2 x 7 = 8 + 6

14 = 14

Propiedad de Clausura: el conjunto de los números naturales es cerrado

respecto de la multiplicación. Esto significa que, dados dos números naturales

cualesquiera en un cierto orden, su producto existe siempre y es a su vez un

número natural. Esto se puede escribir, usando el símbolo de pertenencia, así:

Si a N y b N, entonces a x b  N.

Elemento Neutro: Existe un número natural, llamado uno, que

multiplicado por cualquier número natural da por resultado este mismo número

natural. O sea, para cualquier número natural a se verifica:

n x 1 = n.

Ejemplo: 5 x 1 = 5

Se dice entonces que el número 1 es elemento neutro para la multiplicación.

Elemento Absorbente: El número 0 es el elemento absorbente del producto

entre un factor y otro. El producto de cualquier factor multiplicado por 0 es

igual a cero.

n x 0 = 0

Ejemplo: 8 x 0 = 0

3.1. Análisis del Programa de Educación Matemática NB2

A partir del contenido presentado anteriormente, se procede a realizar un

análisis del Programa de Estudio de Educación Matemática, considerando

solamente los contenidos que tengan directa relación con la investigación.

3.1.1 Objetivos Fundamentales Verticales (OFV)

“Objetivos definidos en el marco curricular. Constituyen las metas que se

desea alcanzar en cada nivel y orientan el trabajo a realizar”.24 Los OFV

relacionados con la multiplicación son los siguientes:

Eje Números:

Reconocer que un número se puede descomponer multiplicativamente.

Eje Operaciones aritméticas:

Identificar a la multiplicación como operación que pueden ser empleada

para representar una amplia gama de situaciones y que permiten determinar

información no conocida a partir de información disponible.

Realizar cálculos mentales de productos y cuocientes exactos, utilizando un

repertorio memorizado de combinaciones multiplicativas básicas y estrategias

ligadas al carácter decimal del sistema de numeración, a propiedades de la

multiplicación.

Realizar cálculos escritos de productos, utilizando procedimientos basados

en la descomposición aditiva de los números, en propiedades de la

24 Programas de Estudio Educación Básica. Nivel Básico 1. Volumen 1”. Ministerio de Educación. Chile. Junio 2003. 14p

multiplicación, usando adecuadamente la simbología asociada a esta

operación.

Formular afirmaciones acerca de propiedades de las operaciones de

multiplicación, a partir de regularidades observadas en el cálculo de variados

ejemplos de productos.

Eje Resolución de Problemas:

Resolver problemas relativos a la formación y uso de los números en el

ámbito correspondiente al nivel; al concepto de multiplicación, sus posibles

representaciones, sus procedimientos de cálculo y campos de aplicación.

3.1.2. Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)

“Contenidos definidos en el marco curricular para cada subsector. Se

distribuyen por semestre”.25 Los CMO relacionados con la multiplicación son los

siguientes:

25 Programas de Estudio Educación Básica. Nivel Básico 1. Volumen 1”. Ministerio de Educación. Chile. Junio 2003. 14p

Eje Números:

Composición y descomposición aditiva y multiplicativa de un número en

unidades y múltiplos de potencias de 10.

Eje Operaciones aritméticas:

Asociación de situaciones correspondientes a una adición reiterada, un

arreglo bidimensional, una relación de proporcionalidad y un reparto equitativo

con las operaciones de multiplicación.

Utilización de multiplicaciones para relacionar la información disponible

(datos) con la información no conocida (incógnita), al interior de una situación

de carácter multiplicativo.

Descripción del significado de resultados de multiplicaciones en el contexto

de la situación en que han sido aplicadas.

Manipulación de objetos y representación gráfica de situaciones

multiplicativas y utilización de técnicas tales como: adiciones reiteradas, para

determinar productos.

Combinaciones multiplicativas básicas: Memorización paulatina de

multiplicaciones con factores hasta 10, apoyadas en manipulaciones y

visualizaciones con material concreto.

Multiplicación de un número por potencias de 10.

Simbología asociada a las multiplicaciones escritas.

Cálculo escrito de productos en que uno de los factores es un número de

una o dos cifras o múltiplos de 10,100 y 1.000.

Utilizando inicialmente estrategias basadas en la descomposición aditiva de

los factores y en la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición.

Comparación de variados ejemplos de multiplicaciones que corresponden a

situaciones inversas como: repartir equitativamente entre 5 y luego volver a

juntar lo repartido, y formulación de afirmaciones que implican un

reconocimiento de la relación inversa entre al multiplicación y la división.

Problemas de multiplicación: que consisten en inventar situaciones a partir

de una multiplicación dada; que implican la evaluación de procedimientos de

cálculo; que contribuyen al conocimiento del entorno.

Eje Resolución de problemas:

Problemas de multiplicación:

- que implican la evaluación de procedimientos de cálculo.

- que contribuyen al conocimiento del entorno.

3.1.3. Aprendizajes Esperados e Indicadores.

Se entiende por aprendizajes esperados, “los conocimientos, habilidades,

actitudes y formas de comportamiento que se espera el alumno logre en un

período de tiempo dado (semestre). La totalidad de aprendizajes esperados

lleva al logro de CMO, OFV y OFT.”26 Cada uno de estos aprendizajes presenta

indicadores, que corresponden a “objetivos formulados para orientar y facilitar

la evaluación según aprendizaje esperado semestralmente. Señala cuán lejos o

cerca se está del logro de los aprendizajes esperados, entrega información

sobre fortalezas y debilidades del alumno. Sus resultados orientan a alumnos y

docentes en la acción”.27 Los aprendizajes esperados y sus indicadores

relacionados con multiplicación son los que se presentan en la siguiente tabla:

26 Programas de Estudio Educación Básica. Nivel Básico 1. Volumen 1”. Ministerio de Educación. Chile. Junio 2003. 16p27 Programas de Estudio Educación Básica. Nivel Básico 1. Volumen 1”. Ministerio de Educación. Chile. Junio 2003. 16p

Tabla N° 2: Aprendizajes Esperados e Indicadores

Aprendizajes Esperados IndicadoresAsocian la operación

de multiplicación a una relación de proporcionalidad, en situaciones simples que permiten determinar información no conocida a partir de información disponible.

Determinan el resultado de aumentar un cierto número de veces el valor de un elemento de un conjunto asociado a una cantidad de elementos de otro conjunto, a través de una multiplicación. (Ejemplo: en una mano hay 5 dedos, cuántos dedos hay en las dos manos; una bicicleta tiene dos ruedas, cuántas ruedas hay en 3 bicicletas).

Escriben una multiplicación que represente las relaciones entre los datos y la incógnita en un problema dado, relatan las acciones realizadas y el significado de los términos involucrados en cada una de ellas.

Encuentran el resultado de la multiplicación en que uno de los factores es un dígito efectuando las sumas reiteradas que corresponden.

Manejan el cálculo mental de productos de un número del 1 al 10 por 2, 5, y 10, y las divisiones respectivas y las reglas asociadas al producto de un número por una potencia de 10.

Responden preguntas que implican evocar el producto de un número del 1 al 10 por 2, 5 y 10.

Utilizan las reglas relacionadas con el producto de un número del ámbito conocido por una potencia de 10

Asocian la operación de multiplicación a situaciones comunes que permiten determinar información no conocida a partir de información disponible.

En una situación dada, asociada a una relación proporcional entre dos variables, determinan información no conocida a partir del planteamiento de una multiplicación.

Escriben una multiplicación que represente las relaciones entre los datos y la incógnita en un problema dado, verbalizan las acciones realizadas e identifican el significado de cada uno de los términos involucrados.

Obtienen el resultado a través de cálculo mental o escrito.

Manejan el cálculo mental de productos en que un factor es 3, 6, 4, 8 y un múltiplo de 10.

Calculan el producto de un dígito por 3, 6, 4 y 8. Calculan productos de un dígito por un múltiplo de 10, de

100, de 1 000, de 10 000 y de 100 000 a partir de productos ya conocidos. (Ej. a partir de 2 x 4 calculan 2 x 4 000 o 2 000 x 4).

Manejan estrategias de cálculo escrito de productos.

Encuentran el resultado de la multiplicación en que uno de los factores es un dígito:

- efectuando una descomposición aditiva del factor de más de una cifra y aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición.

4. CONCEPTO DE APRENDIZAJE

Los seres humanos desde su génesis se han relacionado con el

aprendizaje, ya sea por imitación, por necesidad, por curiosidad, entre otros

motivos. El hombre desde la antigüedad hasta la actualidad ha vivido en

constante e íntima vinculación con el aprendizaje. Por tal motivo, es relevante

especificar que se entiende por aprendizaje a partir de las siguientes

definiciones:

“Es la circunstancia deliberada en que se coloca al sujeto de la educación

para que exprese su respuesta conductual, en cuyo ámbito se considera una

variedad de aspectos o condiciones influyentes e interactuantes, tales como:

actividades, contenidos, métodos, material didáctico, lugar, tiempo, horario,

estado anímico del profesor y del alumno, condiciones físicas y ambientales

existentes, criterios evaluativos, etc. (medios operacionales de los objetivos)”28.

El aprendizaje designa la manera y las modalidades según las cuales un

sujeto aprende, es decir, adquiere una competencia –saber o saber hacer- que

no poseía hasta entonces. El conocimiento de estas modalidades tiene una

importancia capital para el educador, puesto que la enseñanza tiene como

tarea, entre otras, la de facilitar los aprendizajes al sujeto, es decir, colocarlos y

darles existencia según dispositivos más o menos ingeniosos.

“El aprendizaje que hasta un período reciente designaba esencialmente las

modalidades de adquisición de un oficio manual, cada vez tiende más a

abarcar el conjunto de fenómenos conductuales que se producen a lo largo de

las etapas de una adquisición de conocimientos, así como de hábitos… Un

aprendizaje puede ser global y no repetitivo, puede desencadenarse a partir de

una situación en la que el educador coloca al educando, situación que

comporta la presencia de objetos que desempeñan el papel de estímulos

susceptibles de hacer reaccionar al sujeto que se interesa por ellos”29

28 ASTUDILLO, Castro Eduardo. Glosario Metódico, administrativo-técnico-educacional. Santiago, Fondo editorial educación moderna, 1981. 24p29 Diccionario de Ciencias de la Educación. Barcelona, Oikos-Tau, s.a.-Ediciones, 1984. 36p.

Como se enunciaba en algunos párrafos anteriores el aprendizaje está

sujeto a pautas o modalidades donde se adquieren conocimientos y destrezas.

Este aprendizaje “en general, hace referencia al proceso o modalidad de

adquisición de determinados conocimientos, competencias, habilidades,

prácticas o aptitudes por medio del estudio o de la experiencia”30.

Otra definición que se sugiere al concepto de aprendizaje señala que es un

“proceso mediante el cual un sujeto adquiere destrezas o habilidades prácticas,

incorpora contenidos informativos o adopta nuevas estrategias de conocimiento

y/o acción. El aprendizaje es entendido como la ejecución o puesta en acción

de lo aprendido (que es la conducta que realiza el sujeto, y a través de la cual

se comprueba que efectivamente se ha producido el aprendizaje).”31.

30 ANDER-EGG, Ezequiel. Diccionario de Pedagogía. Buenos Aires, 1997. 16p31 Diccionario de Ciencias de la Educación. Madrid, Diagonal Santillana, 1983. 116p.

Esquema N°5: El Aprendizaje

En síntesis, como lo grafica el esquema, el aprendizaje en su forma

genérica es un proceso de cambio natural constante o inducido en donde el

sujeto a través de estímulos, elabora respuestas conductuales y adquiere

competencias, habilidades o destrezas que colocándolas en práctica le

permiten incorporar conocimientos que le ayuden al ser humano desenvolverse

en su vida diaria.

APRENDIZAJE

Proceso

Natural Constante Inducido

Persona

Respuestas conductuale

s

Competencias

Habilidades

Destrezas

Elaboran Adquieren

Desenvolverseen su vida diaria

5. CONCEPTO DE ENSEÑANZA.

La enseñanza es una actividad en la cual participan de manera conjunta y

a través de la interacción, tres elementos los cuales corresponden a un

profesor, uno o varios alumnos y el objeto de conocimiento.

Según las antiguas percepciones que se tenían de la enseñanza, esta se

trataba de una actividad en donde el docente “transmite sus conocimientos al o

a los alumnos a través de diversos medios, técnicas y herramientas de apoyo;

siendo él, la fuente del conocimiento, y el alumno un simple receptor ilimitado

del mismo”.32

La RAE considera ,a través de sus distintas acepciones, que es la acción y

el efecto de enseñar, que es un sistema o método de dar instrucción

enseñando conocimientos, principios, ideas, etc.

Para la pedagogía, la enseñanza es “el proceso de asimilación de

conocimientos y habilidades, así como de métodos para la actividad

cognoscitiva, que se realiza bajo la dirección de un educador durante la

práctica docente. Este proceso es organizado y abarca la transmisión del

contenido de la instrucción y el aprendizaje, así como la apropiación activa por

parte del alumno y dirige la actividad cognoscitiva del educando, para posibilitar

en este la asimilación de conocimientos, hábitos y habilidades.”33

Otras fuentes definen la enseñanza como “la influencia ordenada y

voluntaria ejercida sobre una persona para formarle o desarrollarle”34

En resumen, se aprecia en el esquema N° 6, que la enseñanza puede ser

entendida como una actividad o proceso organizado, en la cual participa quien

enseña y quien aprende, y tiene como objetivo formar a la persona

32 http://es.wikipedia.org/wiki/Ense%C3%B1anza33 http://www.waece.org/diccionario/index.php34http://www.monografias.com/trabajos14/sistemaseducativos/sistemaseducativos.shtml

transmitiéndole conocimientos, principios y habilidades con el fin de que los

asimile a través de la actividad cognoscitiva.

Esquema N°6: La Enseñanza

ENSEÑANZA

Proceso organizado

Conocimientos

Principios

Habilidades

Quien enseña

Quien aprende

ACTIVIDADCOGNOSCITIVA

FORMADOR

6. APRENDIZAJE Y ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA: SITUACIÓN

HISTÓRICA.

La sociedad se ciñe a un itinerario histórico que contiene una gran cantidad

de sucesos que hacen que ésta interactúe con los procesos de enseñanza-

aprendizaje de la educación matemática.

Desde principios del siglo XX, la teoría de absorción cobra gran valor al

concentrar todos sus esfuerzos en la memorización de datos y en el desarrollo

de procedimientos de cálculo aritmético. Elementalmente, la matemática bajo

este punto de vista teórico es considerada como “una colección de datos y

procedimientos relacionados con la aritmética, la geometría y ciertas

aplicaciones cotidianas, es decir: datos aritméticos, procedimientos de cálculo y

definiciones de carácter básico”35. Los pilares de esta teoría se centran en la

instrucción directa, transmitir conocimientos y la realización de ejercicios.

Abundan en esta teoría las explicaciones frontales que carecen de significado

para los alumnos, ya que el centro no es el niño, sino el profesor y su manera

de enseñar.

Paulatinamente la teoría de absorción o visión tradicional de la matemática

fue quedando obsoleta porque no respondió de forma satisfactoria a las

demandas y dificultades de aprendizaje que se iban gestando en la sociedad.

Incluso los Estados Unidos a mediados del siglo XX, reprenden a este enfoque

teórico dando a conocer que “las matemáticas tradicionales eran

incomprensibles, pesadas, irrelevantes y hasta espantosas para demasiados

niños”36. Dicho acontecimiento deja al descubierto una gran necesidad de

cambio en este ámbito.

En un esfuerzo por solucionar las graves deficiencias de la matemática,

surge en la segunda mitad del siglo XX un movimiento que es la matemática

moderna, el cual destaca un factor propio de la matemática; su estructura. Al

35 BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 50p.36 Ibíd.56p.

volcar el interés en la estructura de la matemática, se pone énfasis en los

componentes que son esenciales y elementales que forman parte de esta

ciencia. Sin embargo, al considerar sólo los aspectos formales y primordiales

que construyen la estructura de la matemática, se dejó de lado un factor

fundamental que es el pensamiento matemático del niño. Por ende, este

movimiento matemático “no tuvo adecuadamente en cuenta los factores

internos y, en consecuencia, no tuvo mayor significado para los niños que la

enseñanza más tradicional”37.

Posteriormente a estos dos enfoques de enseñanza matemática, nace la

teoría cognitiva. Esta es una corriente teórica que se ha ido gestando desde

hace varias décadas hasta la actualidad. De forma concreta, esta teoría apunta

hacia la comprensión del sistema de ideas matemáticas por parte del niño y en

consecuencia, desarrollar el pensamiento matemático de éste. Más

específicamente, “el principal objetivo de las matemáticas escolares debe ser el

cultivo de la comprensión y el empleo inteligente de las relaciones y principios

matemáticos”38. La posición cognitiva centra su foco en los procesos de

aprendizaje que generen vínculos entre el conocimiento y las estructuras

mentales de los niños. En esto es fundamental la comprensión, la cual se

edifica desde el interior de los alumnos.

Dentro de este mismo plano, los niños se apoyan en relaciones que

resumen grandes cantidades de información, a partir de normas, principios y

propiedades matemáticas. Lo precedido se ve representado en varios ejercicios

de las combinaciones básicas de la adición utilizando el 0: 5+0=5, 6+0=6,

0+4=4. Estos ejercicios están relacionados entre sí bajo una misma regla que

indica “siempre que uno de los sumandos es 0, el otro permanece invariable”39.

Esta regla matemática es una entre tantas, que permiten al educando aprender

relaciones que en este caso particular de la norma del 0, le ayudarían a

resolver gran cantidad de problemas u operaciones que incluyan 0 en la

adición.

37 BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 58p38 Ibíd.51p39 BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 25p

7. TEORÍA COGNITIVA

Actualmente la sociedad demanda en las personas ciertas habilidades y

competencias que deben poseer para desarrollarse como individuo. Algunas de

estas capacidades son: resolver problemas, tener una mayor toma de

decisiones y autonomía, y poseer la capacidad de adaptarse continuamente a

los nuevos requerimientos que van surgiendo.

La Educación actual propone a través de la Reforma Curricular, que los

alumnos desarrollen capacidades que le permitan manejar y darle un adecuado

uso a todos los conocimientos, que resuelvan problemas, que sean capaces de

adaptarse a nuevas experiencias y conocimientos, que posean un pensamiento

convergente y divergente, que sean protagonistas de su aprendizaje.

Por esto la educación en la actualidad se ha visto en la necesidad de

reformarse y renovarse totalmente en todos sus aspectos y dimensiones, para

dar respuestas que satisfagan los nuevos requerimientos que implican los

cambios que ha experimentado la sociedad.

A partir de lo mencionado anteriormente, consideramos que la teoría más

coherente y pertinente para el contexto actual que presenta la educación y la

sociedad, es la teoría cognitiva.

Esquema N°7: Teoría Cognitiva

El esquema presenta los distintos componentes que caracterizan tanto el

aprendizaje como la enseñanza según la teoría cognitiva. Siguiendo estos

componentes, se deben lograr los propósitos en cuanto a la Educación

Matemática.

Esta teoría con respecto al aprendizaje, indica que los alumnos deben

lograr un aprendizaje significativo, deben ser capaces de resolver problemas,

aplicar estrategias de pensamiento en la resolución de problemas y que el

alumno participe activamente en la construcción de su aprendizaje.

TEORIA

COGNITIVA

Enseñanza

Coherente

Tareas conectada

s con el mundo

real

Oportunidad para

aprenderactivament

e

Conexióncon lo que los alumnos ya saben

Estímulo a la

metacogni-ción de

los alumnos

Tratamiento profundo

de la informació

n

El aprendizaje en cuanto a la teoría cognitiva, se caracteriza a partir de los

siguientes puntos:

Aprendizaje gradual desde la matemática informal a la matemática

formal.

Aprendizaje significativo.

Pensamiento estratégico.

Construcción y participación activa por parte del alumno a través de

juegos.

Rol del alumno.

Rol del profesor.

7.1. Aprendizaje gradual desde la matemática informal a la

matemática formal.

Desde la antigüedad nuestras manos han sido un modelo para contar y

resolver problemas matemáticos. En este mismo sentido, contar a través de

estas pautas digitales es fundamental para el progreso numérico que ha

construido el hombre. Dentro de esta invención humana que se gesta en

transcurso de la historia, se instalan métodos concretos para contar que se

basan principalmente en la correspondencia biunívoca y en la equivalencia.

Posteriormente, estos métodos concretos para llevar la cuenta son puestos

a prueba, ya que aumenta la cantidad de los números, por lo que la empresa

se vuelve más difícil. Precisamente, el proceso de contar se convierte en una

tarea más compleja, por esto el ser humano inventa sistemas de numeración

capaces de simbolizar grandes cantidades. Durante el itinerario de la historia,

los seres humanos inventan diversos sistemas de numeración para facilitar las

tareas complejas de contar una gran cantidad de números, algunos de éstos

son: el babilónico, egipcio, romano y árabe. Dentro de todos los sistemas de

numeración, el más común y cercano a nuestra realidad es el sistema de base

diez.

Contar con los dedos no sólo forma parte de un acontecimiento relevante de

la historia de la humanidad, sino que también es un elemento, herramienta y

experiencia esencial en el desarrollo de la matemática informal de los niños.

Este proceso concreto de contar tiene directa relación con el concepto del

número, puesto que “contar con los dedos puede enlazar los aspectos cardinal

y ordinal del número”40. Esto significa que se mezcla el aspecto cardinal que le

asigna un nombre al número y al conjunto de elementos, y el aspecto ordinal

que representa al orden que se establece en una secuencia numérica.

La historia nos proporciona diversos antecedentes sobre el proceso de

contar, el concepto del número, los sistemas de numeración, entre otros

conocimientos. No obstante, estos grandes avances que son producto de la

mente del hombre no se generaron de un día para otro, sino que tomaron miles

de años en formarse para llegar a la matemática compleja y formal de la

actualidad. Este desarrollo histórico que experimentó la matemática, ocurre de

forma similar con los niños, puesto que para alcanzar una matemática formal

éstos pasan por otros estados de aprendizaje informales.

A partir de sus primeros años, los niños ponen en práctica conocimientos

matemáticos informales por medio de su comprensión y acción intuitiva. En

consecuencia, “la matemática informal de los niños es el paso intermedio

crucial entre su conocimiento intuitivo, limitado e impreciso y basado en su

percepción directa, y la matemática poderosa y precisa basada en símbolos

abstractos que se imparte en la escuela”41.

El medio social y tecnológico en el cual se desarrollan niños, influye

directamente en su progreso del aprendizaje matemático informal. Incluso, los

niños a muy temprana edad “aprenden mucha matemática informal de la

familia, los compañeros, la televisión y los juegos, antes de llegar a la

escuela”42.

40 BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 37p41 BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 46p. 42 Ibíd.

Al llegar a la escuela, la teoría cognitiva da a entender que los niños poseen

gran cantidad de conocimiento que forma parte de su matemática informal.

Todo este conocimiento previo no formal, es construido activamente por los

alumnos mediante diversas experiencias concretas.

Según este enfoque teórico, el conocimiento informal es fundamental al

momento de establecer relaciones con una enseñanza formal, puesto que se

debe planificar la instrucción escolar en función de estos conocimientos previos

y de la comprensión que los niños tienen de la matemática.

Sin embargo, es necesario considerar que la matemática informal padece

de limitaciones concretas cuando las cantidades de números aumentan en su

magnitud. Debido a esta complejidad, la matemática de los niños cada vez

contiene más limitaciones y se convierte en herramienta poco útil.

Frente a esta dificultad matemática que vivencian los niños, viene ayudar la

matemática formal, dando un conjunto de elementos simbólicos basados en

relaciones y principios para que los educandos superen sus limitaciones del

conocimiento informal. Esta visión traslada al niño a otro mundo, donde “la

matemática formal permite a los niños pensar de una manera más abstracta y

poderosa, y abordar con eficacia los problemas en los que intervienen números

grandes”.43 A los niños les cuesta pensar de manera formal, dejando de lado

procesos como contar y reemplazarlo por la utilización del sistema de base

diez.

Para conducir al niño gradualmente desde su matemática informal al logro o

dominio de la matemática formal, se debe tener en cuenta como se genera el

aprendizaje significativo.

43 BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 46p

Esquema Nº8: De la Matemática Informal a la Matemática Formal.

Tomando en cuenta lo que expresa el esquema Nº8, se puede señalar que

la matemática informal del niño actúa como un conocimiento previo

fundamental que sirve de base para el nuevo conocimiento adquirido a través

de la matemática formal, con el fin de producir un aprendizaje significativo. El

currículum educacional debe adaptarse a este conocimiento previo e informal,

aprovechándolo como base con la finalidad de efectuar aprendizajes

significativos.

Cuando la enseñanza o instrucción formal no se relaciona con los

conocimientos informales de los alumnos se producen dificultades de

aprendizajes y otras secuelas que van en desmedro de los aprendizajes del

niño. Este aislamiento entre la matemática formal y la matemática informal,

causan que los alumnos se aferren a un aprendizaje memorístico sin sentido y

sin significado verdadero.

7.2. Aprendizaje Significativo

Aprendizaje

significativo

Conocimiento nuevoMatemática formal

Conocimiento previo

Matemática informal

El aprender es un proceso que implica “adquirir información, retenerla y

recuperarla en un momento dado”44. Pero aprender significativamente implica

en este caso, que el alumno adquirirá un nuevo contenido entrelazándolo con

los saberes que ya tenía interiorizados. De esta forma se produce una relación

entre los nuevos contenidos y los conocimientos ya adquiridos, entre la

matemática informal con la matemática formal. “Las relaciones permiten el

recuerdo, lo que no se relaciona no se aprende verdaderamente, pasa

desapercibido o se olvida.” 45 De esta manera se establecen conexiones entre

lo que se aprende, lo que ya se sabe y el mundo real.

44 Fortaleciendo la Práctica en el aula: Elaboración Curricular y Evaluación. Programa de Mejoramiento de la Calidad y Equidad de la educación. Publicación de Programa MECE/Educación Media. Ministerio de Educación República de Chile, 1995. 40p45 http://www.educacioninicial.com/ei/contenidos/00/1450/1451.ASP

El aprendizaje significativo consta de una serie de principios que serán

explicados a continuación:

7.2.1. Enseñanza coherente

“Coherencia implica interconexiones”46 El aprendizaje significativo se basa

en la conexión, unión o enlaces de contenidos, tanto de aquellos que ya se

tenían, como los que se esperan adquirir. De esta manera las temáticas serán

ideas vagas, sueltas sin una conexión real.

Se les enseña a los alumnos que busquen ideas y/o temas claves para

“conectar las parcelas del conocimiento, las destrezas, los conceptos y las

ideas que necesitan para alcanzar un aprendizaje significativo”47. En otras

palabras estaríamos hablando de una estrategia de pensamiento que les

facilite el estudio y comprensión a los educandos.

Podemos destacar que “el descubrimiento de relaciones subyace al

aprendizaje significativo y estimula la aptitud para el pensamiento”48. Como se

ha dicho anteriormente, encontrar y establecer relaciones ayudará a que los

educandos puedan crear estrategias de aprendizaje que les ayuden a obtener

aprendizajes de calidad.

46 Fortaleciendo la Práctica en el aula: Elaboración Curricular y Evaluación. Programa de Mejoramiento de la Calidad y Equidad de la educación. Publicación de Programa MECE/Educación Media. Ministerio de Educación República de Chile, 1995. 40p47 Fortaleciendo la Práctica en el aula: Elaboración Curricular y Evaluación. Programa de Mejoramiento de la Calidad y Equidad de la educación. Publicación de Programa MECE/Educación Media. Ministerio de Educación República de Chile, 1995. 40p48 BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005.

7.2.2. Conexión con lo que los alumnos ya saben

“Investigaciones recientes sobre el cerebro revelan lo que desde hace

tiempo se sospechaba: mientras más conexiones se puedan hacer respecto de

un tópico determinado más son las posibilidades de recordar y utilizar este

conocimiento”49. De esta manera, podemos decir que mientras más conexiones

o relaciones realicen los alumnos de una determinada temática, es más

probable que no lo olviden y lo interioricen (que lo hagan suyo), permitiendo de

esta manera entrelazarlo con un contenido futuro.

Es necesario que como docentes sepamos lo que nuestros alumnos ya

conocen, cuáles son sus conocimientos antes de abordar una temática nueva,

pues de esta manera tomaremos estos conceptos como base para abordar los

nuevos temas.

7.2.3. Tratamiento profundo de la información

Es necesario profundizar en los temas y contenidos que se enseñarán, ya

que, cantidad no es lo mismo que calidad. Muchas veces se piensa que por

tratar más temas los alumnos saben más, pero no es así. Es necesario

interiorizar cada temática, trabajarla a fondo y lograr el verdadero aprendizaje,

no ver una pincelada sino que profundizar en ello. “Es necesario destinar más

tiempo a los temas importantes y enseñarlos con variadas formas de

explicación”.50 Lo importante es destinar el tiempo necesario para afianzar el

contenido y por sobretodo tratarlo desde diversas perspectivas, distintas

miradas, puesto que no todos los alumnos aprenden de la misma manera,

muchas veces es necesario que expliquemos nuevamente las cosas o

intentemos ver el tema desde otro ángulo para que el niño pueda comprender

sobre que se le está hablando.

49 Fortaleciendo la Práctica en el aula: Elaboración Curricular y Evaluación. Programa de Mejoramiento de la Calidad y Equidad de la educación. Publicación de Programa MECE/Educación Media. Ministerio de Educación República de Chile, 1995. 40p50 Ibíd.

7.2.4. Oportunidades para aprender activamente

El ser humano tiene una serie de maneras de aprender, pues para algunos

es más fácil escuchar la materia, para otros es necesario escribir, otros en

cambio aprenden tocando, vivenciando lo que se quiere enseñar, o

simplemente hay un grupo que necesita dibujar, subrayar o aplicar color a lo

que se está tratando. “Mientras más sean los sentidos que se ponen en acción,

mayores serán las conexiones que podrán establecerse entre el conocimiento

anterior y el conocimiento nuevo.51

7.2.5. Tareas conectadas con el mundo real

“Se considera que alguien es capaz cuando puede usar sus conocimientos

apropiadamente en situaciones para las cuales esa capacidad es necesaria”52.

Siempre es necesario enfocar los conocimientos a la realidad de los alumnos,

hacerlos trabajar con temas de la vida cotidiana, con cosas conocidas por ellos,

enfocarlos a su realidad. Es más fácil aprender algo que nos es familiar antes

que algo desconocido, por lo que es necesario destacar que “los alumnos son

propensos a olvidar la información que carece de significado personal”,53 por

eso debemos darle una utilidad a lo que se está enseñando; mostrar para que

se está tratando cierto contenido y que ellos reconozcan la utilidad en su vida

diaria.

7.2.6 Estímulo a la metacognición de los alumnos

Se entiende por metacognición “la capacidad que tenemos de autoregular el

propio aprendizaje, es decir de planificar qué estrategias se han de utilizar en

cada situación, aplicarlas, controlar el proceso, evaluarlo para detectar posibles

fallos, y como consecuencia... transferir todo ello a una nueva actuación”. 54

Este proceso implica ser capaz de tomar conciencia del funcionamiento de

51 Ibíd.52 Fortaleciendo la Práctica en el aula: Elaboración Curricular y Evaluación. Programa de Mejoramiento de la Calidad y Equidad de la educación. Publicación de Programa MECE/Educación Media. Ministerio de Educación República de Chile, 1995. 40p53 BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005.54 http://www.monografias.com/trabajos34/metacognicion-escuela/metacognicion-escuela.shtml#metac

nuestra manera de aprender y comprender los factores que explican que los

resultados de una actividad, sean positivos o negativos. “Si queremos que

nuestros alumnos entiendan y usen la información que les proporcionamos, es

importante que puedan examinar lo que sienten que saben o no saben y

además cuales son sus estilos y sus dificultades para aprender”55, ésta es una

buena oportunidad de auto-examinarse para los alumnos, que sepan en que

están fallando y en que deben poner más dedicación, con el fin de conocer sus

falencias y sus aciertos.

55 Fortaleciendo la Práctica en el aula: Elaboración Curricular y Evaluación. Programa de Mejoramiento de la Calidad y Equidad de la educación. Publicación de Programa MECE/Educación Media. Ministerio de Educación República de Chile, 1995. 40p

7.3. Pensamiento Estratégico.

Las estrategias son entendidas como una guía de las acciones que hay que

seguir y como tal, son intenciones conscientes dirigidas a un objetivo

relacionado con el aprendizaje, por lo tanto el pensamiento estratégico se

puede considerar como una acción estratégica en donde un individuo crea

alternativas, utiliza técnicas, reflexiona y desarrolla nuevas formas de saber y

de saber hacer, con el fin de mejorar el aprendizaje. La oportunidad de

reflexionar sobre cuándo y por qué debe emplearse un procedimiento y de

hecho sobre cualquier tipo de contenido, distingue el pensamiento rutinario o

mecánico del pensamiento estratégico.

Considerando lo anterior, la teoría cognitiva afirma que “el conocimiento no

es una simple acumulación de datos. La esencia del conocimiento es la

estructura: elementos de información conectados por relaciones, que forman un

todo organizado y significativo”56. Por lo tanto el aprendizaje, debe buscar

refuerzos en el pensamiento estratégico, con el fin de que los alumnos sean

capaces de resolver problemas a partir de la elección de técnicas o alternativas

que faciliten su adquisición.

Razonar nos permite ordenar las ideas en la mente para llegar a una

conclusión, y la teoría cognitiva busca que los alumnos a través de este

ordenamiento de ideas sean capaces de buscar relaciones, principios, reglas o

regularidades entre los contenidos. En la multiplicación no es necesario

memorizar cada una de las combinaciones básicas que contemplan una

cantidad de 90 combinaciones, que a través de la memorización presentan una

dificultad para su aprendizaje. Una relación que se puede aplicar en cuanto a la

multiplicación es la propiedad de la absorción, en cuanto cualquier número

multiplicado por cero, es cero (nx0 = 0 ó 0xn = 0). Esta propiedad permite que

el alumno automáticamente sea capaz de resolver cualquier multiplicación que

contenga el cero (5x0 = 0; 135.000x0 = 0). También se puede aplicar la

56 Anderson, 1984 en BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 24p

propiedad del elemento neutro considerando que cualquier número que sea

multiplicado por uno, no se modifica (nx1 = n ó 1xn = n). Los alumnos a partir

de esto, podrán resolver todos los problemas que contengan una combinación

básica que tome en cuenta el número uno, además de cualquier otro problema

que lo contenga dentro de una multiplicación. Tomando en cuenta la propiedad

de la conmutatividad, los alumnos al aprender una combinación, ya están

aprendiendo la combinación inversa (6x8 = 48 y 8x6 = 48), por lo que no es

necesario aprender de memoria todas las combinaciones básicas, ya que cada

una de ellas posee un inverso, por lo tanto es necesario solamente aprender

una de las dos combinaciones.

A partir de las propiedades mencionadas anteriormente, podemos sacar

como conclusión, que del total de 90 combinaciones multiplicativas básicas que

deberían aprender de memoria los alumnos, aplicando estos principios a través

del pensamiento estratégico, esta cantidad se reduce a tan sólo 36

combinaciones.

Según la teoría cognitiva, “las relaciones generales resumen muchos casos

particulares y ofrecen una base sólida para almacenar y recordar lo que, de no

ser así, sería una cantidad enorme de información”57. Las relaciones son claves

básicas en el aprendizaje, “cuando descubrimos una relación, obtenemos un

poderoso instrumento para recordar un conocimiento independientemente de

su longitud”58. Se indica también en esta teoría, que la memoria en general no

es fotográfica, “normalmente no hacemos una copia exacta del mundo exterior

almacenando cualquier detalle o dato. En cambio, tendemos a almacenar

relaciones que resumen la información relativa a muchos casos particulares”59.

De esta manera, la memoria puede almacenar una mayor cantidad de

información de manera eficaz y económica.

57 BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 23p58 Ibíd. 24p59 Ibíd.

7.4. Construcción y participación activa por parte del alumno a

través de juegos.

Según la teoría cognitiva, un auténtico y significativo aprendizaje demanda

una comprensión por parte del alumno, comprensión que debe nacer y

construirse activamente desde un proceso interior, en el cual el niño va

formando relaciones y conexiones entre información nueva con otras que ya

posee o conoce, así va complementando la información y va enriqueciendo su

aprendizaje.

En la construcción del conocimiento participan activamente la asimilación e

integración de datos que el niño debe aprender, puesto que además de

comprender lo que esta aprendiendo debe conectarlo o asociarlo a lo que

experimenta en la vida cotidiana. De esta forma el niño va dándole sentido a la

información que va interiorizando y va haciendo suyo el conocimiento.

Esta construcción exige al alumno una participación conciente y activa, ya

que desde su interior es en donde se está realizando el proceso de

comprensión y aprendizaje. “el crecimiento del conocimiento significativo, sea

por asimilación de una nueva información, sea por integración de información

ya existente, implica una construcción activa”60. Si existe una real y significativa

comprensión, se logrará una construcción del conocimiento de forma activa

porque el alumno es el que construyó su aprendizaje y adquiere un sentido útil

y significativo para su vida.

Cabe mencionar que este proceso, en el cual el niño va interiorizando los

nuevos conocimientos y los va haciendo propios, se debe dar en forma gradual

y acorde a su proceso psicológico. Es aquí donde juegan un rol fundamental

los juegos y actividades concretas colocando al niño en situaciones

problemáticas para que sean del interés de él.

60 BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 25p

Los juegos y actividades permiten que el niño vaya enriqueciendo su

aprendizaje. Para el alumno es motivador aquellas actividades que ve más

cercanas y le permitan aprender de manera más entretenida y lúdica. Junto con

esto, el juego es una forma de que vaya construyendo su aprendizaje de

manera activa.

A pesar de que la utilización de los juegos en las salas de clases es

desaprobada por algunas personas, hay que destacar de manera positiva que

“los juegos brindan a los niños la oportunidad natural y agradable de establecer

conexiones y dominar técnicas básicas, y pueden tener un valor incalculable

para estimular tanto el aprendizaje significativo como la memorización”61. Es

importante dar al niño la posibilidad de explorar diversas formas de aprender y

el juego desde siempre ha significado para el niño una actividad atrayente.

Todas las actividades deben ser guiadas y con propósitos determinados, que

planten un desafió, es por ello que el juego debe ayudar a que el niño resuelva

situaciones problemáticas para acrecentar su aprendizaje. En el área de la

matemática, el juego y actividades concretas proporcionan al niño una cercanía

hacia el aprendizaje y lo motiva a aprender.

Los juegos no garantizan un verdadero aprendizaje, si es que el profesor no

sabe aplicarlo, por lo que debe tomar en cuenta que las actividades que se

realicen deben se dirigidas, con un propósito determinado y definido sobre que

es lo que se pretende lograr con la actividad.

En cuánto al aprendizaje, el alumno debe encontrar el significado y

comprensión de lo que se le enseña, es por eso que en el caso de la

multiplicación, si el niño no comprende el sentido de “tantas veces otro número”

o las combinaciones básicas de las tablas de multiplicar, nunca entenderá y no

tendrá significado para él la operación, ya que sólo será un proceso mecánico

de memorización, pero no existirá por su parte un aprendizaje activo y

participativo ya que el aprenderse las tablas de memoria implicará en el niño

61 BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 31p

una actividad pasiva y receptiva en donde su capacidad cognitiva no estará

participando.

Es por esto que para que el niño comprenda el significado de la

multiplicación se debe tomar en cuenta los juegos, actividades concretas y

situaciones problemáticas, ya que acentúan y proporcionan interés y

participación activa de aprender en el alumno.

7.5 Rol del Alumno

En cuanto a la escuela, “en este período mejora el rendimiento escolar y los

niños empiezan a manifestar habilidades no reveladas”62 Considerando el

desarrollo del lenguaje y el pensamiento, el niño en esta edad, entra en el

denominado estadio de operaciones concretas. “Piaget llama operaciones

concretas a las transformaciones mentales basadas en las reglas de la lógica.

El niño, pues, poco a poco se hace más lógico”63.

El propósito de la enseñanza según la teoría cognitiva es que el alumno

deberá descubrir relaciones y construir conocimientos a través del ejercicio del

razonamiento matemático para adoptar aptitudes que le permitan resolver

problemas.

Para lograr este propósito es necesario identificar y caracterizar al alumno

de 3° año básico para el cual está dirigido este punto. Principalmente, hay que

tomar en cuenta que “tal vez este es el nivel más tranquilo del primer ciclo de

enseñanza básica”, por lo que cualquier actividad motivadora será mucho más

fácil aplicar en este curso que en cualquier otro del primer ciclo. “Los alumnos

de este grupo están terminando de consolidar los aprendizajes de lectura y

escritura” permitiendo realizar actividades que impliquen leer instrucciones o

escribir resultados.

Con respecto a la evolución personal y a la conducta motriz, en los niños de

ocho años “es remarcable su afán por participar”64 Los alumnos no se deben

limitar solamente a absorber y memorizar datos sin significado para ellos, sino

que al contrario, los alumnos necesitan comprender las actividades que

realizan, y para este grupo de alumnos en particular, “la ejemplificación de los

contenidos que el profesor desea que sus alumnos aprehendan debe ser muy

concreta; por lo tanto, se deben evitar los ejemplos abstractos”, considerando

62 Biblioteca práctica para padres y educadores. Pedagogía y particulares subvencionadosicología infantil “La infancia”. Madrid, Cultural S.A., 2000. 216p63 Ibíd. 239 p64 Biblioteca práctica para padres y educadores. Pedagogía y particulares subvencionadosicología infantil “La infancia”. Madrid, Cultural S.A., 2000. 215p

que el desarrollo del lenguaje y el pensamiento del niño en esta edad, entra en

el denominado estadio de operaciones concretas. “Piaget llama operaciones

concretas a las transformaciones mentales basadas en las reglas de la lógica.

El niño, pues, poco a poco se hace más lógico”65

Los alumnos a través de su participación, pueden lograr comprender por sí

solos o con la ayuda del profesor las relaciones que se establecen en la

matemática. También pueden conectar información nueva con otra

anteriormente existente, o establecer una conexión entre piezas de información

previamente aisladas, logrando la asimilación e integración de conocimientos,

pues“en este período mejora el rendimiento escolar y los niños empiezan a

manifestar habilidades no reveladas”66

65 Ibíd. 239 p66 Ibíd. 216p

7.6. Rol del Profesor

El papel del maestro en la teoría cognitiva implica generar y revisar

constantemente hipótesis sobre las dificultades y problemas de aprendizaje

que surgen en la diversidad de alumnos de las escuelas, particularmente de su

curso. Dentro de este gran abanico de educandos subyacen marcadas

diferencias individuales, es decir, existen estudiantes que son más aventajados

que otros en términos cognoscitivos y en el manejo de la matemática informal.

Frente a esto, el rol del docente es muy importante, ya que éste debe

reorganizar, flexibilizar y adaptar el currículo formal a las características de los

conocimientos informales que poseen los niños sobre la matemática.

En virtud de lo anterior, es tarea de los profesores crear y estimular

ambientes donde los niños sean capaces de construir ideas matemáticas más

complejas y enfrentarse a la resolución de problemas. Los niños que

experimentan aprendizajes significativos son capaces de participar y construir

activamente su conocimiento. En este sentido el docente debe tener un

elevado cuidado con la psicología del niño, con sus constructos, intereses y

significados personales. La interacción y constante intercambio de significados

es una de las claves dentro de los procesos de aprendizaje que se llevan a

cabo entre la psicología del niño (factores internos) y la matemática escolar

(factores externos). “El maestro actúa como intermediario, es decir, como

alguien que contribuye a amalgamar los factores externos con los internos”67

Después de haber caracterizado la teoría cognitiva a través del aprendizaje,

es necesario hacerlo también, desde el punto de vista de la enseñanza. Este

proceso es considerado como una herramienta que le permite al alumno

participar activamente en este proceso con el fin de descubrir por sí solo,

técnicas que le permitan desarrollar el pensamiento estratégico y lograr

aprendizajes significativos. Es importante que se considere la enseñanza a

través del método inductivo y de la comprensión entre los significados. Este

67 BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 52p

proceso debe permitirle al profesor evaluar los resultados que han obtenido sus

alumnos y si se lograron los objetivos propuestos.

En cuanto a enseñanza, la teoría cognitiva se caracteriza a través de los

siguientes puntos:

Aprendizaje por descubrimiento.

Método inductivo.

Comprensión de relaciones entre significados

Actividades que favorecen el razonamiento matemático

Verificación del proceso de comprensión

7.7. Aprendizaje por Descubrimiento

La actual sociedad demanda personas educadas en la creatividad, ya que

se verán constantemente enfrentados a requerimientos propios de una

sociedad del conocimiento e información que exige personas con gran

flexibilidad y adaptación y con capacidad de innovar. Es por eso que la

educación debe facilitar nuevas formas de enseñanza en donde el niño sea

capaz de ir descubriendo sus propios conocimientos y que vaya construyendo

su propio aprendizaje.

Este aprendizaje por descubrimiento, obliga al niño a hacer uso de todas

sus capacidades de atención, de relación y de inferencia, para lograr un

aprendizaje efectivo. En todo el proceso, es necesario que el alumno apele a

su creatividad para dar solución a diversas situaciones planteadas en la sala de

clases.

Este tipo de aprendizaje requiere de los alumnos una mayor participación ya

que es él quien debe ir construyendo su propio aprendizaje. El profesor no

muestra los contenidos de una manera terminada, su actividad se dirige a

mostrar el final que ha de ser alcanzado y servir de mediador y guía, para que

sean los alumnos quienes recorran y alcancen los objetivos propuestos. El

aprendizaje por descubrimiento constituye un aprendizaje bastante útil, pues

cuando se lleva a cabo de modo eficaz, certifica un conocimiento significativo y

promueve hábitos de investigación.

Una característica importante de este tipo de aprendizaje, es que el alumno

no recibe los contenidos de forma pasiva; descubre los conceptos y sus

relaciones y los reordena para adaptarlos a su esquema cognitivo.

Las matemáticas juegan un rol muy importante en este tipo de enseñanza,

ya que por años para los alumnos este subsector parece ser poco entendida,

“…el aprendizaje por descubrimiento explota la curiosidad natural de los niños,

fomenta el entusiasmo por las matemáticas y por la enseñanza en general…”68

Es por esto que la enseñanza de las matemáticas se ha ido traduciendo de

manera que los niños puedan comprenderlas e ir construyendo relaciones que

le permitan dar significado y oportunidades a desarrollar un pensamiento

matemático.

Dentro de la matemática, en la enseñanza de la multiplicación es de suma

relevancia que el alumno vaya descubriendo y asociando el significado y

utilidad de las combinaciones multiplicativas básicas. El profesor juega un

papel fundamental en esta tarea, puesto que él debe crear y estructurar las

oportunidades necesarias para que el alumno vaya construyendo su

aprendizaje y le dé valor y significado a la multiplicación y su utilización. La

función del docente es la preparación de materiales y situaciones adecuadas

para cumplir su objetivo.

Cabe mencionar que la enseñanza por descubrimiento pone en primer

plano el desarrollo de las destrezas de investigación y se fundamenta en el

método inductivo y en la resolución de problemas. Es por esto que la

enseñanza de la matemática da una oportunidad para desarrollar y estimular la

capacidad de pensar y construir aprendizajes significativos.

7.8. Método Inductivo

68 BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 59p

El método inductivo es el razonamiento que, partiendo de casos

particulares, se eleva a conocimientos generales. En otras palabras, este

método consiste en establecer enunciados universales verdaderos a partir de la

experiencia, esto es, escalar lógicamente a través del conocimiento científico

desde la observación y la experiencia de la realidad, para generalizar y llegar a

una teoría. “El método inductivo crea leyes a partir de la observación de los

hechos, mediante la generalización del comportamiento observado; en

realidad, lo que realiza es una especie de generalización, sin que por medio de

la lógica pueda conseguir una demostración de las citadas leyes o conjunto de

conclusiones”69

El método de inducción se caracteriza, además, por ser muy intuitivo y

puede aplicarse en gran variedad de problemas. Este método se relaciona con

el aprendizaje por descubrimiento puesto que el alumno construye su

conocimiento a partir de una experiencia particular llegando a generalidades.

69 www.molwick.com/es/metodos-cientificos/124-metodoscientificos

7.9. Comprensión de relaciones entre significados

La teoría cognitiva concibe el aprendizaje matemático, como un proceso de

compresión e intuición que se elabora desde el interior del sujeto.

Precisamente en este proceso surge un conjunto de interacciones continuas

entre diversos significados y conocimientos, que persiguen la concretización

eficaz de la resolución de problemas.

Dentro de esta teoría, las relaciones forman parte fundamental en los

procesos de aprendizaje. En efecto, “la esencia del conocimiento es la

estructura: elementos de información conectados por relaciones, que forman un

todo organizado y significativo”70. Son estas relaciones las que unen

información y la resumen.

Este entramado de relaciones se elabora por medio de la construcción

activa del conocimiento, la cual demanda comprensión por parte del individuo,

esta edificación se genera desde el interior del individuo, el cual conecta

“informaciones nuevas con la que ya se conoce”71. De forma directa, esto es la

unidad sustancial que determina a la asimilación. Por otro lado, dentro de este

mismo concepto (construcción activa) se instala la integración, que se genera a

partir de la producción y conexión activa del conocimiento “entre piezas de

información conocidas, pero aisladas previamente”72. Asimilación e integración,

son dos procesos esenciales para que se efectúe una verdadera comprensión

de relaciones entre significados. Asimismo estos dos elementos forman parte

importante del aprendizaje significativo y de la construcción activa de

conocimiento.

En consecuencia, lo anterior se combina entre sí para reestructurar de

forma continua las pautas de pensamiento, logrando con esta acción un

verdadero aprendizaje. Las relaciones significativas, entre las estructuras de

conocimiento que se poseen y las nuevas que se incorporan, son las que

70BAROODY, Arthur. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Editorial Machado Libros. Madrid.2005.24p.71 Ibíd.25p. 72 Ibíd.

permiten modificar de forma directa y constante las estructuras de

pensamiento. Los cambios que son producto de reorganización de

pensamiento generan transformaciones tanto cuantitativas como cualitativas en

el desarrollo cognitivo del niño.

La reorganización de las estructuras del pensamiento matemático en los

niños se construye poco a poco. De forma paralela y similar, los alumnos

comprenden gradualmente el conocimiento, por ende, los procesos de

construcción activa del conocimiento se concretizan en un periodo prolongado,

no exento de dificultades de aprendizaje.

Muchas veces los métodos o estrategias de pensamiento de los niños no

coinciden con la enseñanza y tampoco ésta se corresponde con su manera de

resolver problemas. En efecto, es así como pueden surgir reales dificultades de

aprendizaje entre la matemática informal de los educandos y la formal que

pertenece a los profesores. Por esto, gran cantidad de niños ven limitado su

aprendizaje porque no poseen los conocimientos previos adecuados para

enfrentar los desafíos de aprendizaje.

Es necesario comunicar que los procesos de comprensión y verdadero

aprendizaje están subordinados en gran medida del conjunto de significados

personales de los educandos porque “la comprensión y el aprendizaje

significativo dependen de la preparación individual”73. Estos procesos de

comprensión precisan un alto nivel de complejidad, que implica que el niño

regule sus propios aprendizajes.

Por lo mencionado, la matemática vista desde la perspectiva de la teoría

cognitiva, deja de lado una gran variedad de limitantes que reducen y atomizan

los procesos de aprendizaje-enseñanza de esta ciencia, a un aprendizaje

memorístico no comprensivo y no significativo. Para considerar que “el principal

objetivo de las matemáticas escolares debe ser el cultivo de la comprensión y

el empleo inteligente de las relaciones y principios matemáticos”74

73 BAROODY, Arthur. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Editorial Machado Libros. Madrid.2005.27p. 74 Ibíd.51p.

Fijar y cultivar la atención en el aprendizaje de relaciones y principios,

resumen gran cantidad de conocimiento, lo que posibilita que el aprendizaje de

la matemática escolares no sean un ideal irrealizable, si no, que se convierten

en algo que se puede llevar a cabo.

En este sentido los maestros al momento de planificar la enseñanza deben

tener en cuenta que la psicología del niño, las relaciones y los principios

matemáticos son elementos fundamentales, al momento de tomar decisiones

educativas.

A partir de estas implicaciones en la enseñanza, la matemática escolar no

son consideradas un producto acabado, si no, que son vistas como “un proceso

orientado a estimular una mayor sofisticación en la comprensión y el

razonamiento matemáticos, así como en la resolución de problemas” 75

75 Ibíd.

7.10. Actividades que favorecen el razonamiento matemático.

Según la teoría cognitiva, la enseñanza tiene como propósito que los

alumnos “construyan una representación más exacta de las matemáticas y

desarrollen pautas de pensamiento más maduras”76, por lo cual, los alumnos

deberán ser capaces de realizar actividades que les permitan descubrir

relaciones y construir conocimientos a través del ejercicio del razonamiento

matemático para adoptar aptitudes que le permitan resolver problemas, por lo

que es de suma importancia que los alumnos tengan una participación activa

en cuanto al aprendizaje con el fin de comprender las matemáticas y

desarrollar pautas de pensamiento.

Para favorecer el ejercicio del razonamiento matemático, se proponen

algunas actividades que deben ser tomadas en cuanta al momento de enseñar

matemáticas, pues de esta manera se asegura la participación de los alumnos.

Una de las actividades que con frecuencia recomienda la teoría cognitiva son

los juegos matemáticos, ya que “los juegos pueden proporcionar una vía

interesante y significativa para aprender gran parte de las matemáticas

elementales”77. Debemos considerar que los niños poseen un interés natural

por los juegos, por lo que esta actividad se convierte en una herramienta muy

útil al momento de enseñar matemáticas puesto que “todos los tipos de juegos

ofrecen oportunidades para aplicar y practicar técnicas aritméticas básicas”78.

Los juegos dentro del aula son vistos como distracción según lo considera

la teoría de la absorción, ya que el rol del alumnos es abrir su mente a los

nuevos conocimientos a través de la memorización de datos, sin considerar

que “los juegos brindan a los niños la oportunidad natural y agradable de

establecer conexiones y dominar técnicas básicas, y pueden tener un valor

incalculable para estimular tanto el aprendizaje significativo como la

memorización”79.

76 BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 51p77 Ibíd .31p78 Ibíd. 79 BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 31p

Otra actividad que favorece el razonamiento en los alumnos es la

manipulación de objetos concretos. “La manipulación es apropiada, si es

graduada en el sentido de la percepción y si es multifacética y variada. Hay que

usar distintos objetos, uno detrás de otro, para que el niño ignore la

especificidad de cada clase de objetos y descubra lo común en todas las

operaciones en el sentido matemático. Esta es la forma para la interiorización y

la generalización”80.

En cuanto a la resolución de problemas, la teoría cognitiva plantea que

“cuando los niños participan voluntariamente en una tarea que tiene significado

para ellos, buscan y emplean relaciones y controlan y ajustan sus acciones de

una manera espontánea”81, puesto que cuando los alumnos participan en una

tarea matemática como son los problemas, tienden a comportarse de una

manera inteligente. “cuando los alumnos participan activamente en las tareas

que realizan, comprueban su trabajo y corrigen sus errores sin que haga falta

decírselo”82.

80 http://www.educared.edu.pe/modulo/upload/73831424.doc81 BAROODY, Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Madrid, Editorial Machado Libros, 2005. 55p82 Ibíd.

7.11. Verificación del proceso de comprensión.

Al introducirnos en el sistema de resolución de problemas, los docentes

deben investigar mediante el método científico para descubrir las dificultades

de aprendizaje en los niños. A partir de esta indagación profunda, los docentes

deben efectuar constantemente suposiciones fundadas orientadas a plantear y

verificar hipótesis sobre las maneras de aprender de los educandos.

Lo anterior nos brinda antecedentes relevantes sobre el proceso de

aprendizaje para planificar y organizar la enseñanza en función del educando.

Los profesores deben indagar profunda y constantemente en los procesos de

enseñanza-aprendizaje que presentan a sus alumnos. El llevar a cabo esta

tarea es fundamental, pues ”hace responsable al docente no sólo de impartir

clases de matemáticas, sino de investigar y explicar razonablemente (con

bases teóricas válidas) qué ocurre en su salón de clases”83 .

Al analizar y aplicar esta perspectiva teórica en las aulas, se gestan

cambios que alcanzan aprendizajes de calidad en las estructuras cognitivas de

los niños y se toman decisiones curriculares argumentadas por parte de los

profesores para mejorar los procesos de aprendizaje y desarrollar el

pensamiento matemático. “En esencia, la enseñanza de las matemáticas

consiste en traducirlas a una forma que los niños puedan comprender, ofrecer

experiencias que permitan a los niños descubrir relaciones y construir

significados, y crear oportunidades para desarrollar y ejercer razonamiento

matemático y las aptitudes para la resolución de problemas”84.

83Constructivismo en tres patadas, Víctor Larios Osorio, Revista Electrónica de Didáctica de las matemáticas.7p. 84 BAROODY. Arthur J. El pensamiento matemático de los niños: Un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Editorial Machado Libros: Madrid. 2005. 51p.