9

Capítulo 2.- Marco Teórico

Antecedentes

En [15] se presentan soluciones para la inicialización de máquinas de inducción en

estado transitorio.

En [16] se muestran las características de nuevas fuentes de generación de

energía, así como su almacenamiento, para su estudio dinámico en sistemas de

potencia en los estudios de estabilidad transitoria, tomando como primer paso

para estos estudios el desarrollo de modelos y métodos de simulación para

estudiar la dinámica y los efectos que producen las modernas fuentes de

generación de energía.

En [17] se desarrollaron modelos dinámicos para generadores, con el fin de

estudiar su estabilidad en los sistemas eléctricos, como el voltaje y la frecuencia;

en estos se usaron dos modelos, uno para generadores de inducción de quinto

orden, y el otro para generadores de inducción de tercer orden.

En [18] se analizan los efectos de los generadores de inducción en estudios de

estabilidad en sistemas de potencia, donde se usaron tres arreglos de operación:

1) aislado, 2) con bus infinito, y 3) en un sistema multi-máquina.

Máquina de Inducción Trifásica.

La máquina de inducción trifásica es en la actualidad la más utilizada por parte de

la industria. Son simples, pequeños, de bajo precio y de fácil mantenimiento. En

general, pueden trabajar a velocidades variables, para aplicaciones que requieren

distintos valores de carga. La velocidad depende de la frecuencia, y en

consecuencia estas máquinas no son fácilmente adaptables a controles de

velocidad, así como tiene como inconveniente que usa gran intensidad de

corriente en el momento del arranque, más sin embargo, controladores

10

electrónicos de frecuencia son utilizados a diario para controlar la velocidad de las

máquinas de inducción comerciales, al igual que dispositivos o conexiones para la

inserción de dicha carga para su arranque, para lo que se han buscado

alternativas en las características del material, forma de las barras del rotor y en

los dispositivos de arranque [1].

El estator consiste en una estructura de acero, hecha de un núcleo cilíndrico

laminado; un número uniforme de orificios espaciados se forman fuera de la

circunferencia interior del laminado, proveyendo el espacio para el devanado del

estator. El rotor también es compuesto de un apilado de láminas. Estas son

cuidadosamente colocadas de manera que formen orificios para el devanado del

rotor. Se usan dos tipos de devanado del rotor: 1) devanado convencional con

cable aislado y 2) devanado de jaula de ardilla. El tipo de devanado genera dos

tipos de máquinas de inducción: jaula de ardilla y rotor devanado [1].

El funcionamiento de la máquina de inducción trifásica se basa en la aplicación de

la ley de Faraday:

dE

dt

(1)

y la Fuerza de Lorentz :

(1)

sobre un conductor. Este comportamiento se puede explicar de mejor manera con

el siguiente ejemplo.

“Considere una serie de conductores de longitud l, cuyos extremos están

cortocircuitados con dos barras A y B. Un magneto permanente se ubica arriba del

conductor libre, el cual se mueve a la derecha con una velocidad v, de manera que

el campo magnético B pase a través de los conductores, provocando la siguiente

secuencia de eventos:

1) Un voltaje E Blv se induce en cada conductor, mientras se atraviesa el

flujo.

2) El voltaje inducido inmediatamente provoca una corriente I, que pasa por un

conductor, las barras y regresa por el otro conductor.

F = q(E vxB)

11

3) Debido a que la corriente transportada por el conductor está bajo el campo

magnético, está experimenta una fuerza mecánica (Fuerza de Lorentz).

4) Esta fuerza siempre actúa en forma contraria a la dirección del movimiento

del conductor.

“Si el conductor, es libre de moverse, este se acelerará a la derecha. Sin

embargo, al aumentar la velocidad, el conductor será cortado más lentamente por

el movimiento del magneto, causando que el voltaje inducido E y la corriente I

disminuyan. Consecuentemente, la fuerza actuando en los conductores también

decrecerá. Si el conductor se mueve a la misma velocidad que el campo

magnético, el voltaje inducido E, la corriente I, y la fuerza caerán a cero,” [1].

La máquina asíncrona está sometida al principio de reciprocidad y puede funcionar

en régimen de motor y en régimen de generador. El estator de la máquina

asíncrona trifásica es análogo al de una máquina síncrona trifásica y en él se

coloca un devanado trifásico semejante, que se conecta a la red trifásica de

corriente alterna. Por su construcción el devanado del rotor se clasifica en dos

tipos:

a) con colector. b) sin colector.

La máquina asíncrona sin colector es la principal (la que más se usa) el rotor de la

máquina asíncrona representa un cuerpo cilíndrico compuesto de chapas de acero

al silicio con ranuras para instalar el devanado. Se distingue:

1) Las máquinas asíncronas con rotor devanado: En este tipo los devanados

del rotor y estator son similares. Los devanados en el rotor se conectan

generalmente en estrella y sus terminales se sacan a través de anillos de

colector y escobillas al exterior para conexión con el reóstato de arranque.

2) Las máquinas asíncronas con rotor en cortocircuito ó de jaula de ardilla: Se

dividen en 3 modificaciones principales:

a. Con rotor en simple jaula de ardilla.

b. Con rotor de gran reactancia (llamadas también de corriente

Foucault).

12

c. Con rotor de doble jaula de ardilla.

Estos tipos de máquinas difieren uno de otro, por sus particularidades de arranque

[2].

Generador asíncrono con rotor de jaula de ardilla

Este sistema está compuesto por una máquina de inducción de rotor de jaula de

ardilla conectado mediante un convertidor electrónico a la red eléctrica. Este tipo

de generador no tiene un circuito independiente que lo excite, por lo tanto no

puede producir potencia reactiva, y ya que este tipo de máquinas necesitan

consumir potencia reactiva para mantener el campo magnético del estator, y

controlar el voltaje en terminales del generador, debe estar conectado a una

fuente externa de potencia reactiva [14]. Para algunos casos existe la conexión de

un conjunto de capacitores permanentemente conectados que pueden aportar

dicha compensación estática o de potencia reactiva para cierto punto de operación

[5]. Esta configuración presenta como ventajas, su robustez, fiabilidad y bajo costo

de la máquina frente a una de rotor bobinado. Por otro lado el tamaño del

convertidor debe ser de una potencia igual a la nominal del generador, lo que

encarece significativamente el sistema. El convertidor se conecta sólo en la zona

de velocidad variable, por lo tanto para velocidades elevadas se desconecta el

convertidor electrónico, dejando a la máquina en conexión directa con la red

operando como un generador de velocidad fija [3].

Figura 2.1 Representación de una máquina de inducción jaula de ardilla

13

Circuito equivalente

El circuito equivalente de una máquina de inducción es muy parecido al circuito de

un transformador, donde el lado izquierdo representa la rama de magnetización

que corresponde al estator, mientras el lado derecho corresponde al rotor [3].

Figura 2.2 Circuito equivalente de la máquina de inducción.

En ambos lados tenemos los parámetros que afectan al rotor y el estator, cada

cual con su respectiva resistencia y reactancia. Entre estas se encuentra una más

que corresponde a la magnetización o la excitación de la máquina. Se conoce que

la resistencia de magnetización RM es una afectación demasiado pequeña, por lo

tanto, en mediciones es considerada como nula; y el deslizamiento s en una

relación tomada de la velocidad síncrona ω y la velocidad del rotor ωr [9].

e

ers

)(

(3)

El funcionamiento de la máquina de inducción dependerá de la velocidad del rotor

y de la velocidad síncrona [14]. Cuando la velocidad del rotor es mayor que la

síncrona, el voltaje del rotor genera corrientes con un nivel de frecuencia de

deslizamiento. El deslizamiento s es ahora negativo y la polaridad de la corriente

es inversa, produciendo un par electromagnético que se opone al par mecánico.

14

La máquina entrega energía a la fuente conectada al estator. Sin una inyección de

energía al rotor no hay campo rotatorio que induzca voltajes en el estator y la

acción generador es imposible.

Figura 2.3 Representación gráfica del deslizamiento para una máquina de inducción.

Sistema por unidad (pu)

Las medidas de los parámetros para el circuito equivalente se denominan

comúnmente en cantidades de “por unidad”, esta es definida como la razón de su

valor real a un valor particular denominado base, expresado en decimales. Este

sistema es de gran utilidad en la solución de problemas en el área de Sistemas

Eléctricos, ya que se realizan cálculos más sencillos en comparación que cuando

se utilizan magnitudes reales del sistema [6].

Para este caso se tomará como referencia base la impedancia Zb obtenida de la

división del cuadrado del voltaje nominal Vnom y la potencia nominal Pnom. La

unidad a la que corresponderá será en ohms [Ω] y el resultado dividirá a las

medidas reales de resistencias y reactancias correspondientes al generador,

mostradas en el apéndice A.

2

nomb

nom

ZP

V (4)

15

Descripción de la máquina de inducción en modelos representativos.

Como forma de representación, las máquinas eléctricas pueden ser representadas

en dos formas que son: variables trifásicas asociadas a los circuitos del estator y

rotor (ABC-abc), así como en el sistema ortogonal DQ0 para el estator y dq0 para

el rotor.

Para el sistema ABC (estator) [8, 10] se toma que las inductancias propias son

iguales, LAA= LBB = LCC, y cada una de estas es igual a la suma de la inductancia

de dispersión Lls y magnetización Lms.

mslsCCBBAA LLLLL

(5)

Las ecuaciones de equilibrio de voltaje para la máquina de inducción

(convencional), son expresadas como:

estator:

CCsC

BBsB

AAsA

dt

diRV

dt

diRV

dt

diRV

(6)

rotor

ccrc

bbrb

aara

dt

diRV

dt

diRV

dt

diRV

(7)

16

donde λ son los enlaces de flujos, y están definidos de la siguiente forma:

cAcbAbaAaCACBABAAAA iLiLiLiLiLiL

cBcbBbaBaCBCBABABAB iLiLiLiLiLiL

cCcbCbaCaCCCBCBACAC iLiLiLiLiLiL (8)

cacbabaaaCaCBaBAaAa iLiLiLiLiLiL

cbcbbbabaCbCBbBAbAb iLiLiLiLiLiL

cccbcbacaCcCBcBAcAc iLiLiLiLiLiL

Las ecuaciones de voltaje que describen el funcionamiento de las máquinas de

inducción poseen coeficientes (inductancias) que son función de la posición del

rotor [8]. Para un mejor manejo de las ecuaciones de voltaje del estator y rotor,

introduciremos una representación matricial.

ABCABCsABCdt

diRV (9)

abcabcrabcdt

diRV (10)

Las resistencias y corrientes expresadas en forma matricial se expresan de la

siguiente manera,

r

r

r

r

s

s

s

s

R

R

R

R

R

R

R

R

0

0

0

0

(11)

c

b

a

abc

C

B

A

ABC

i

i

i

i

i

i

i

i ; (12)

17

Marco de referencia dq0

Se ha demostrado que la velocidad de rotación de los ejes dq puede ser arbitraria,

aunque hay tres velocidades preferidas o marcos de referencia que se

caracterizan de la siguiente manera:

(a) El marco de referencia estacionario, cuando los ejes dq no giran.

(b) El marco de referencia del rotor, cuando los ejes dq giran a la

velocidad del rotor.

(c) El marco de referencia de rotación sincrónica, cuando los ejes dq

giran a la velocidad de sincronismo.

Para los estudios de sistemas de potencia, las cargas de la máquina de inducción,

y los otros tipos de componentes del sistema de potencia, se simulan, por lo

general, en el marco de referencia de rotación síncrona del sistema. Sin embargo,

para los estudios transitorios de accionamientos de velocidad variable, es fácil

para simular una máquina de inducción y su convertidor en un marco de referencia

estacionario [9].

El sistema de ecuaciones del modelo de la máquina de inducción es no lineal y la

matriz de inductancias depende de la posición del rotor, θr. Para simplificar el

modelo de la máquina de inducción se utiliza una transformación que refiere el

modelo abc a un sistema ortogonal dq, con el eje d desplazado un ángulo θ

respecto de la fase A del estator y que gira a una velocidad ω [20]. La convención

utilizada en este trabajo es que los ejes d y q estén desplazados 90° uno del otro,

18

Figura 2.4 Representación vectorial de la máquina de inducción [20].

La transformación de las variables trifásicas relacionadas con los circuitos del

estator al marco DQ0 puede ser expresada por,

ABCsDQ fKf 0 (13)

La variable f puede representar cualquiera de las variables referidas del estator

(voltaje, corriente o enlaces de flujo).

La matriz de transformación de un sistema de referencia a otro, referida al estator,

Ks, se expresa como [10]:

2

1

2

1

2

13

2

3

2

3

2cos

3

2coscos

3

2

sensensenK s (14)

19

Las variables respecto al rotor referidas al sistema ortogonal dq0 tienen la forma,

''

0 abcrdq fKf (15)

La matriz de transformación Ks es:

2

1

2

1

2

13

2

3

2

3

2cos

3

2coscos

3

2

sensensenKr (16)

con

r (17)

β es el ángulo entre la fase a del rotor y el marco de referencia d.

θ es el ángulo de referencia, entre las fases del estator y rotor.

θr es el desplazamiento angular del rotor.

Máquina de inducción operando como generador

Cuando la máquina de inducción opera como generador, las corrientes en el

estator cambian de dirección y la máquina entrega energía a la red. Para el

modelado en modo de generador, las corrientes en el estator en la ecuación de

voltaje, cambian de signo, mientras que en el rotor se mantiene igual [11, 19].

Voltajes

(18)

(19)

0 0 0 0DQ S DQ DQ DQ

dV R I D

dt

' ' ' ' '

0 0 0 0( )dq r dq r dq dq

dV R I D

dt

20

Lo mismo ocurre para las ecuaciones de los enlaces de flujo:

(20)

(21)

Se eligen como variables de estado (eléctricas), las corrientes del estator y los

enlaces de flujo del rotor [20]. Las unidades empleadas en el modelado son

unidades pu. Como el valor del voltaje V0 es cero para un sistema balanceado, las

ecuaciones de voltaje en el estator y en el rotor son:

(22)

(23)

'sX se define como la reactancia transitoria

'

2'

r

Mses

X

XXX (24)

La constante de tiempo del rotor es:

TL

R

r

r

b

1'

'

seg

1 (25)

'

'

D s D M d

Q s Q M q

L i L i

L i L i

' ' '

' ' '

d r d M D

q r q M Q

L i L i

L i L i

D S D Q D

Q S Q D Q

dV R i

dt

dV R i

dt

' ' ' ' '

' ' ' ' '

d r d r q d

q r q r d q

dV R i

dt

dV R i

dt

21

Definiendo la velocidad relativa del rotor como la velocidad del rotor menos la

velocidad síncrona [20].

r eΩ=ω - ω (26)

Análisis de Estado Estable del Generador de Inducción.

Las ecuaciones de voltaje que describen la operación en estado estable

balanceado del generador de inducción pueden ser obtenidas de diferentes

formas. Las componentes en los ejes d y q son sinusoidales en todos los marcos

de referencia excepto en el síncrono donde son constantes [8, 10, 5]. En este

estudio se emplea el marco de referencia síncrono s .

Para una potencia y voltaje conocidos, el deslizamiento se logra obtener,

despejando dicha variable, obteniendo la solución del siguiente polinomio de

segundo orden [20]:

02 2'22'2'2'22'

2'22'2'22

rsassrsrMrasMrs

rsassrrsM

RRVXRRRPXRVXRPRs

XRVRXXXXPs (27)

Teniendo el deslizamiento del generador de inducción, lo sustituimos en la

siguiente ecuación para calcular la corriente de fase,

2''2'2'

2''2'22'2'2'2

srsrrsMrs

rsrsMrrsMrrsas

as

RsXXRXXXsRR

RXXXXXsjRRXsRXRsVI

(28)

MRas jIII ~

(29)

La corriente del estator en términos de las componentes d y q, es:

22

0j

MRQD ejIIjII

(30)

donde 0 es el ángulo de posición inicial del sistema de referencia. Se debe notar

que si el ángulo de referencia inicial es cero, las componentes fasoriales de la

corriente en el sistema ABC son iguales a las del sistema DQ0.

Los enlaces de flujo en el rotor se calculan como:

DMdrd IXIX ''' (31)

QMqrq IXIX ''' (32)

Ecuaciones de estado del generador de inducción

El modelo completo (5° orden) del generador incluye la dinámica del estator con

variables de estado las corrientes en el estator y los voltajes transitorios en el

rotor en el marco de referencia síncrono [20].

Las ecuaciones no lineales del sistema equivalente son [20]:

Db

qdbQbDssbD VX

VTX

VX

iiXXT

RX

idt

d'

'

'

'

'

'

'

1111

(33)

Qb

qbdQssbDbQ VX

VX

VTX

iXXT

RX

iidt

d'

'

'

'

'

'

'

1111

(34)

'''' 11qdQsd VV

TiXX

TV

dt

d (35)

'''' 11qdDsq V

TViXX

TV

dt

d (36)

QqDdmb iViVTHdt

d ''

2

(37)