Capítulo 6

Números primos

Este capítulo continúa en el área general de la teoría elemental de los números,

esta vez centrándose en números primos que, como se verá, también

implica una discusión de división y divisibilidad. Sin embargo, el tema de

los números primos suscita menos la atención en las normas y la

memorización, y en su lugar parece generar más atención a lo que

exactamente es un número primo y cómo un número primo puede ser

identificado. Nos fijamos en los juegos/obras basados en las siguientes

tres sugerencias/réplicas/mensajes:

Hay una conversación entre el maestro y el estudiante. Hay otros 20-25

estudiantes en la habitación. (1) Maestro: ¿Por qué dice 91 es el primo?

Johnny: Porque no está en nuestras tablas de

multiplicar (2) Maestro: ¿Por qué dice 143 es el primo? Johnny: Porque el 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 caben en él. (3) Maestro: ¿Por qué dice 37 es el principal? Johnny: Porque el 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 no.

Como con Cap. 5, estas indicaciones fueron desarrolladas con base en nuestra

experiencia en la enseñanza de los futuros maestros de la escuela primaria y en la

investigación nos hemos dirigido en su comprensión de conceptos relacionados de

la teoría de números. En particular, Zazkis y Liljedahl (2004) demostraron que a

menudo el primalidad de un número se determina comprobando la divisibilidad de

un número determinado por pequeños números solamente, al tiempo

concentrándose en números para los cuales las reglas de divisibilidad

fueran conocidas por los participantes. Esto sirvió de base para la indicación #2.

R. Zazkis et al., Reproducción de lecciones en materia de enseñanza de la Matemática, 89 DOI: 10,1007 / 978-1 -4614-3549 -5_6, _ Springer Science+Business Media Nueva York 2013

90 6 Números Primos

En casi todas las clases que enseñamos, algunos estudiantes afirman que 91 es

un número primo. A menudo, su razonamiento se basa en una observación que 91

no aparece en las tablas de multiplicar. Esta observación ha servido de base para la

indicación #1. De hecho, cuando se trata de estudiar o memorizar las tablas de

multiplicar hasta 10 o 12, los estudiantes no se encontrarán con 91, aunque este

número se encuentra dentro del rango de los números en la tabla. Como tal, los

factores de 91, 7 y 13, no se encuentran entre los reconocibles y revocables hechos

para muchos futuros maestros. Y, como Zazkis (2011) relata, algunos profesores

practicantes también creen que 91 es primo–cuando su hijo, entonces un alumno

de quinto grado, no encerró 91 en la tarea que les pidió que encerraran todos los

números primos de una lista dada, su maestro lo marcó como un error. En la indicación #3 aparentemente no hay ningún error; a diferencia de 143 y

91, 37 es en efecto un número primo. En el desarrollo de esta sugerencia lo que

nos interesaba era la atención de los prospectos docentes a la estrategia que el

estudiante emplea para determinar primalidad, en lugar del camino hacia la

respuesta correcta. Hemos examinado 14 juegos que dirigieron a la sugerencia #1,

seis juegos que dirigieron a la sugerencia #2 y seis juegos que se basaron en la

sugerencia #3. Presentamos nuestro análisis en las tres secciones siguientes, cada uno

dedicado a una de las indicaciones. Dentro de cada sección, identificamos,

ejemplificamos y analizamos varios temas que encontramos en las jugadas. Siguiendo sugerencia #1

En las obras basadas en la sugerencia # 1, dos estrategias principales emergieron:

la primera implicaba ampliar la tabla de multiplicación y la segunda la utilización

de un manipulativo (física o mental) para ayudar a los estudiantes a ver por qué 91

no es primo. La más frecuente estrategia utilizada por los futuros maestros, y

demostrado en 6.1, fue la primera, ampliar la tabla de multiplicación. "Podríamos hacer la tabla de multiplicación más grande" 6.1.1 T (Teacher) ¿Alguien tiene algunas ideas sobre cómo podemos descubrir con

certeza que 91 es un número primo o no? 6.1.2 S (Student) Podríamos intentar dividir números aleatorios en 91 a ver si todo funciona. 6.1.3 T Esa es una estrategia que podríamos probar. ¿Alguien discutió algo diferente

con su pareja? ¿Qué hay acerca de pensar en términos de multiplicación? 6.1.4 S Que quizás se podría hacer la tabla de multiplicación más grande y ver si 91 es o no. 6.1.5 T ¡Excelente idea! OK, esto es lo que vamos a hacer. En sus grupos, van a ampliar la tabla

de multiplicación. Nuestro objetivo es averiguar si 91 es un número primo o no.

Siguiendo sugerencia #1 91

La previsible continuación de este juego, y juegos como este, es el de encontrar el

número 91 en la tabla extendida. Esta tarea se lleva a cabo de una manera sencilla,

después de todo, sólo una mínima extensión se requiere. La ventaja de este enfoque es

que el maestro sigue los estudiantes en su enfoque sobre la tabla de multiplicación. Sin

embargo, la sugerencia de [6.1.2] "intente dividir números aleatorios en 91 a ver si

todo funciona", es rechazado de forma implícita por el docente [6.1.3], quien pregunta,

"¿Alguien discutió algo diferente con su pareja?". Sin embargo, la sugerencia de

"hacer una tabla de multiplicación más grande" [6.1.4] es aceptado por el maestro

como una "excelente idea" [6.1.5]. Por supuesto, la ventaja de ampliar la tabla de multiplicación es que, dado el

número de personas involucradas, será más rápido que tratar números aleatorios.

Sin embargo, la desventaja potencial de este enfoque es que puede reforzar la

dependencia a las tablas de multiplicación conocidas en el examinar la primalidad

un número. De esta forma, si un estudiante encuentra un número, como por

ejemplo 69, la estrategia reforzada aquí supondrá una extensión excesiva de la

tabla. Antes de continuar, debemos destacar la manera en que el maestro en el juego

ha pedido a sus estudiantes trabajar en grupos para debatir los posibles enfoques.

Sin embargo, en la corta interacción que se produce, es el maestro que decide cuál

de las dos ideas del grupo se llevará a cabo, sin ofrecer ninguna justificación. Este

tipo de interacción es improbable que motive a los grupos de estudiantes a trabajar

juntos para llegar a una estrategia, ya que se da cuenta de que el maestro está en

busca de una particular estrategia solamente. De hecho, es difícil de averiguar

cómo organizar este tipo de discusión en el aula, pero en [6.1.3], una explícita

indicación de la estrategia propuesta habría llevado a un fructífero debate

matemático mientras que también a la promoción de la intervención matemática

del grupo. "Si te doy 12 bloques"

En la siguiente serie de juegos, el enfoque implicaba usar bloques, tamices/cribas,

y otros manipulativos (objetos manipulables) para ayudar a la razón de los

estudiantes sobre números primos y compuestos. Por ejemplo, diversos juegos

comenzaron su reparación representando números primos y compuestos por

arreglos diferentes de bloques. Esto se ejemplifica en el punto 6.2. 6.2.1 T Si te doy 12 bloques, ¿cómo puedes mostrarme cuántas diferentes agrupaciones iguales

puedes hacer?

Los números que se examinaron en este juego son 20, 26, 28 y 55. El maestro

se refiere a "diferentes maneras de construir estos números". Después de un par

de éxitos con la representación de estos números de varias formas posibles, el

juego continúa de la siguiente manera:

92 6 Números Primos

6.2.2 T Así, hay algunas formas de determinar factores. Les voy a dar algunas cifras, trabajen

con la persona a su lado para pensar en maneras de construir estos números. Algunos pueden estar en las tablas de multiplicar, algunas no, pero quiero que ustedes y su

pareja piensen en muchas maneras de construir estos números: 32, 52, 72, 91, 117 [ …]

6.2.3 T ¿Qué hay del 91?: ¿cuáles son algunos de los factores de ese? 6.2.4 S No es primo. 6.2.5 T Realmente? ¿Cómo? 6.2.6 S 7 x 10 es fácil, es 70, entonces solo seguimos añadiendo 7s 6.2.7 T Muéstrame 6.2.8 S 7 + 7 + 7 = 21. Añade eso a 70, ¡y tienes 91! 6.2.9 T Por lo tanto, ¿cuáles son los factores del 91? 6.2.10 S 7, 13 y por supuesto 1 y 91. 6.2.11 T ¡Impresionante! ¿Qué hay de 144?, ¿De cuántas maneras diferentes crees que podrías

construirlo?

Conectar las ideas de números primos y compuestos a su representación con

matrices rectangulares (arreglos rectangulares/rectángulos) es una estrategia

pedagógica. De hecho, se utiliza esta estrategia con frecuencia en nuestro trabajo

con los futuros maestros para enfatizar la conexión estructural de las dimensiones

de matriz rectangular con los conceptos de factores y divisibilidad. Sin embargo,

en este juego, los estudiantes probablemente han encontrado números primos antes

y los bloques se invocan para enfatizar en el sentido de los factores. Pero, los

estudiantes no están necesariamente teniendo dificultad con los factores; su

problema es cómo averiguar si es o no 91 primo. Por supuesto, los factores se

relacionan con primalidad; sin embargo, hay una brecha importante entre la

actividad de hacer matrices rectangulares con bloques y la capacidad de

determinar si un número dado es primo. Aquí, el hecho de que, si un número de

bloques pueden ser organizados en una matriz rectangular (en la que cada

dimensión es mayor que uno), entonces ese número no es primo, sigue siendo sólo

implícita. Por tanto, vemos aquí un maestro canalizándose hacia una particular

comprensión de primalidad. Hay algunas cosas interesantes para observar también en términos de lo que se

habla en primalidad y factores. En primer lugar, observe que la palabra 'factor' es

introducido en [6.2.2], pero no vinculada explícitamente a la idea de "agrupaciones

iguales", a las que el maestro se refiere a [6.2.1]. Que el número de grupos y el

número de elementos de cada grupo se pueden considerar como factores parece

implicar un cambio lingüístico sofisticado que podrían haber sido superados mediante

explícitamente reformulando agrupaciones iguales como factores. También debemos

tener en cuenta que el maestro nunca utiliza la palabra "primo" y, como se mencionó

anteriormente, nunca se conecta la idea de que los números primos son aquellos que no

tienen factores no triviales. En cuanto a la utilización de bloques, podemos asistir a la elección de los ejemplos

que el profesor ofrece (los números 72, 91, 117 en [6.2.2], y 144 en [6.2.11]), en la

medida en que parecen ser bastante elevado en términos de crear matrices con esos

muchos bloques. Parece que hay una falta de correspondencia entre el deseo de volver

a lo básico con los bloques y con el deseo de resolver el problema del 91.

Seguramente, el profesor no desea que los estudiantes tengan que volver a hacer las

matrices rectangulares cada vez. Al invitar a los estudiantes a utilizar números más

pequeños, el maestro puede ayudarlos a generalizar sus conclusiones a números

Siguiendo sugerencia #1 93 más grandes, quizás incluso invitándolos a imaginar que las matrices de, digamos,

7 por 10 bloques y agregar tres columnas más a las siete filas. Tal enfoque

invitaría a los estudiantes al proceso de razonamiento (mediante la

generalización), mientras que también ofrece un andamio desde el uso de bloques

con pequeñas números a la visualización de las matrices rectangulares que se

puede hacer con números grandes.

"Los encerraré y tacharé todos los múltiplos de 5 y 7"

Otro manipulativo que se utilizó fue la criba de Eratóstenes, o alguna versión de ésta,

la cual se invitó a los estudiantes a explorar a través de hojas de cálculo. En este

ejemplo 6.3, los estudiantes parecen estar ya familiarizados con lo que se debe hacer

con un tamiz, como lo demuestra [6.3.2], y son usados como una herramienta para

averiguar si 91 es tachado o no.

6.3.1 T (el maestro reparte una hoja de cálculo con los números del 1 al 100 escritos en ella) 6.3.2 S […] 5 y 7 son los siguientes números primos. Los encerraré y tacharé todos los

múltiplos de 5 y 7 6.3.3 T ¿Qué es lo que observas? 6.3.4 S Lo veo, lo veo. 91 no es un primo porque 7 x 13 es 91. Wow cool 6.3.5 T ¿Entonces crees que hemos encontrado todos los números primos entre 1 y 100? ¿Nos

detenemos después de cruzar todos los múltiplos de 7? 6.3.6 S No lo sé, tal vez lo que debemos es seguir. 6.3.7 T En ese caso, ¿cuál es el próximo primo después de 7? 6.3.8 S 11 y, a continuación, 13. 6.3.9 (La clase comienza a tachar todos los múltiplos de 11 y 13) 6.3.10 S Todos los múltiplos de 13 de 1 a 100 se han tachado. 6.3.11 T ¿Qué significa eso? 6.3.12 S Debimos habernos detenido a comprobar después de tachar todos los múltiplos de 11. 6.3.13 T ¿Por qué es así? 6.3.14 S No lo sé. 6.3.16 T ¿Qué podemos hacer cuando nos encontramos con un problema? ¿Cuáles son algunas

maneras de resolver un problema? 6.3.16 S ¿Buscas los patrones? ¿Haces una prueba de conjetura? 6.3.17 T Excelente. ¿Qué se puede hacer aquí? 6.3.18 S Tal vez podemos hacer algo similar para un problema más simple, como encontrar

todos los números primos del 1 al 20. (Estudiante inicia numeración de 1 a 20 y tacha todos los números compuestos)

6.3.19 T ¿En qué número te detuviste antes de darte cuenta de que todos los múltiplos han sido tachados?

6.3.20 S 5. 6.3.21 Ahora, ¿qué notas acerca de éste y los grandes interrogantes (1- 100)? 6.3.22 S 11 es el último número que tienes que cruzar todos los múltiplos de hasta que te quedas

con los números primos entre 1 y 100. Cinco es el último número que tienes que

cruzar todos los múltiplos de hasta que quedas con todos los números primos del 1 al

20. Déjame ver, si multiplicamos 11 por 11 se obtiene un número muy cercano a 100

(11 x 11 = 121). Si multiplicamos 5 por 5 se obtiene un número muy cerca de 20 (5 x

5 = 25). 6.3.23 T Estoy muy orgulloso de todos ustedes.

94 6 Números Primos

Tamizar números compuestos, o aplicar el método de la criba de Eratóstenes, es

una buena forma de encontrar números primos en un intervalo dado. De hecho, en

el caso particular de verificar si 91 es primo, este método es más rápido que

extender las tablas de multiplicar, como uno tropieza con 91 cuando se tamizan

múltiplos de sólo el cuarto número primo. Sin embargo, como una respuesta a los

docentes" " ¿qué es lo que observa" [6.3.3] el estudiante dice: "Lo veo. 91 no es

un primo porque 7 x 13 es 91" [6.3.4]. Notamos que en efecto 7 x 13 es igual a 91,

esto no es lo que uno observa en el tamiz. Todo lo que se "ve" es que el 91 es un

múltiplo de 7, que es más que suficiente para llegar a la conclusión de que el

número no es primo. Esto pone de manifiesto un problema matemático interesante

que el profesor puede no haber percibido o resuelto: ¿es suficiente saber uno de

los factores para decidir si un número es primo? La escuela habla acerca de los

factores, que está estrechamente unido a la multiplicación, puede llevar a creer que

siempre se debe conocer a ambos factores, en este caso, 7 y 13. Sin embargo,

cuando se trabaja con números pares, los estudiantes pueden llegar a darse cuenta

de que es suficiente para decir que es un número par (divisibles por 2) para

asegurarse de que no es primo. De igual manera, es suficiente decir que un número

es múltiplo de 7 para decir que no es primo. Además en este juego, el profesor elige continuar la conversación con el fin de

identificar todos los números primos en un intervalo dado. Es probable que el

dramaturgo quisiera mostrar a los alumnos que, con el fin de verificar la primalidad–o

de identificar a todos los números primos en un intervalo dado uno no necesita seguir

tachando múltiplos de todos los números primos. Sin embargo, una advertencia: un

estudiante afirma en [6.3.10] que "Todos los múltiplos de 13 entre 1 y 100 se han

tachado" y, además, de que "deberíamos haber dejado de comprobar después de cruzar

todos los múltiplos de 11" [6.3.12]. Esta afirmación incorrecta no se cuestiona. Es

incorrecto porque no hay múltiplos de 11 a ser tachados en una tabla de números del 1

al 100; todos los múltiplos de 11 ya se han tachado, ya que para todos los números

menores que 100, estos también son múltiplos de los números primos menores que 11.

Además, considerar un problema similar pero más sencillo es una importante estrategia

de solución de problemas que se implementa en el juego [6.3.18]. Sin embargo, el

mismo error emerge cuando primos menores de 20 se consideran. Es decir, que no hay

necesidad de tachar múltiplos de 5, de hecho, no hay múltiplos de 5 restantes para

tachar entre números del 1 al 20, después múltiplos de 2 y 3 se eliminan. La

parcialmente inadecuada estrategia se resume en [6.3.22]. No sólo es el último primo

a considerar identificado incorrectamente, 11 y 5, respectivamente, pero también la

razón de esto es dada inapropiadamente: "si multiplicamos 11 por 11 obtenemos un

número muy cercano a los 100 (11 x 11 = 121). Si multiplicamos 5 por 5 se obtiene un

número muy cercano a 20. (5 x 5 = 25). Por un lado, no hay nada malo en "excederse"

y comprobar para un primo más que realmente se necesita. Por otra parte, la respuesta

del personaje-profesor "Estoy muy orgulloso de todos ustedes" [6.3.23] indica que la

maestra en sí misma emplea una estrategia incompleta cuando se comprueba la

primalidad con sólo una comprensión parcial de por qué esa estrategia proporciona los

resultados deseados.

En el juego 6.3, al igual que con los bloques en 6.2, hay una falta de

correspondencia entre el uso de manipulativo y la intención del maestro. La criba

(tamiz) se utiliza más para ilustrar los significados que el maestro quiere impartir

que ayudar a que los estudiantes desarrollen

Siguiente mensaje #1 95 sus propios significados de la noción de primalidad. Dada la respuesta de Johnny

en la sugerencia #1 (que 91 no está en las tablas de multiplicar), nos preguntamos

si el uso de bloques y la criba son medios adecuados para centrar la atención de

los estudiantes. "No deberíamos estar usando las tablas de multiplicar"

De hecho, las conocidas tablas de multiplicar, hasta 10 o 12, no son una confiable

referencia para determinar si un número es primo. Sin embargo, el siguiente

extracto sugiere una peculiar razón de ello. El escenario en el punto 6.4 continúa

tras revisar la definición de número primo.

6.4.1 T Dime, ¿cómo se puede demostrar que un número sólo es divisible por 1 y por sí

mismo? 6.4.2 James Comprobando para ver si otros números lo dividen igualmente. 6.4.3 T Y recuerda lo que acabo de decir sobre las tablas de multiplicar e ir más allá 6.4.4 James Que puedes ir más allá de 12. Por lo que puedo usar factores como 13, 14 y 15

para verificar si un número es primo. 6.4.5 T Vamos a hacer un ejemplo. ¿Es 157 primo o compuesto? 6.4.6 (Escribiendo en su cuaderno, James comienza a utilizar varios factores para ver si

ellos dividen igualmente a 157.) 6.4.7 James Es primo. 6.4.8 T ¿Por qué? 6.4.9 James Porque no puede ser dividida en partes iguales por otros factores además de 1 y sí

mismo. 6.4.10 T Lo tienes. Así que siempre recuerda utilizar muchos factores, incluidos aquellos más

allá de 12, siempre que sea posible cuando intentas determinar si un número es primo o no.

James sugiere que para la comprobación de primalidad, uno puede "ir más allá

de 12" y "utilizar factores como 13, 14 y 15, para verificar si un número es primo"

[6.4.4]. Aquí, el profesor destaca la posibilidad de que los factores pueden ser de

más de 12. No obstante, la comprobación de divisibilidad por 14 y 15, es

innecesaria, siempre que primos por debajo de 10 fueron considerados

anteriormente. El maestro no ha hecho comentarios sobre esta observación del

estudiante. ¿Está satisfecho con él? Además, al considerar 157, James está usando

"múltiples factores", pero exactamente cuáles son los factores y qué tantos de esos

se utilizan no se ponen de manifiesto. La instrucción del profesor en [6.4.10]

implica una falta de precisión que puede resultar confuso: comprobación por

"muchos factores" no garantiza una correcta determinación e implica trabajo

inútil. Como el juego continúa, el profesor intenta convencer al estudiante que la tabla

de multiplicación puede no ser la mejor estrategia para verificar primalidad,

reconociendo así un importante supuesto erróneo que muchos estudiantes tienen.

96 6 Números Primos

6.4.11 Profesor Cuando tratamos de identificar números primos, no deberíamos usar

las tablas de multiplicar. ¿Saben por qué? 6.4.12 Estudiante No estoy seguro. 6.4.13 Profesor Porque hay un número allí que también es un número primo. ¿Cuál es? 6.4.14 Estudiante Oh, 2. 6.4.15 Profesor Exactamente. Y, al hacerlo así, no es la mejor manera. Lo importante es que tú

entiendas qué es un número primo. ¿Te acuerdas de lo que repasamos en una clase?

Ciertamente, las tablas de multiplicación no ayudan a identificar números

primos. Sin embargo, esto no tiene nada que ver con la presencia del 2. El número

2 aparece en la tabla de multiplicación como el resultado de 2 x 1 y 1 x 2. Pero lo

mismo se puede decir acerca de 3, 5 o 7. Puede ser que el dramaturgo se ve

enfrentado a la situación de la número dos, que, si bien aún, es considerado un

número primo en matemáticas. No hace falta decir que el razonamiento erróneo

del maestro en [6.4.13] no afecta directamente a la capacidad del estudiante para

continuar la interacción. Siguiendo sugerencia #2

Nos pasamos ahora a los juegos basados en la sugerencia 2. Recordar que la

respuesta de Johnny a la pregunta de por qué es primo 143 es "porque el 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8 y 9 no entran (caben) en él". Los tres enfoques principales que

encontramos eran como sigue: invitar a los estudiantes a considerar los factores

más grandes que nueve, usando las reglas de divisibilidad y atender a la definición

de primo. "¿Puede un número que es más grande que 9 ser un factor de un

número?".

El siguiente extracto 6.5 invita a una reflexión sobre los factores mayores que

nueve. El juego comienza con recordar algunas reglas de divisibilidad, que el

maestro escribe en la pizarra y el alumno práctica. Entonces la conversación

continúa después de que se ha confirmado que los números del 2 al 9 no son

factores de 143. 6.5.1 T ¿Puede un número que es más grande que nueve ser un factor para un número? 6.5.2 S No sé, tal vez. 6.5.3 [ …] 6.5.4 Ahora bien, tomemos el número 100 por un momento porque es sencillo y agradable.

¿Pueden dos caber en 100? 6.5.5 S Sí.

T ¿Cómo lo sabe?

6.5.6 S Porque 2 x 50 = 100. 6.5.7 T ¿Y cuál es la regla de divisibilidad que acabamos de ver que también puede

ayudarnos? 6.5.8 S 100 es un número par que termina en cero, por lo que es divisible por 2. 6.5.9 T Bien. Por lo tanto sabemos que 2 es un factor de 100, pero no es 50 también un factor

de 100? (Continua)

Siguiente mensaje #2 97 (Continuación) 6.5.10 S Sí, 50 es un factor. 6.5.11 T Pero 50 es mucho más grande que el número uno y ¿aún cuenta? 6.5.12 S Supongo. 6.5.13 T Bueno, pues sabiendo que un número puede tener factores que son más grandes que

nueve, quiero que todo el mundo saque sus calculadoras y miren si pueden encontrar otros factores para 143. Está bien utilizar el ensayo y error para esta pregunta.

El juego continúa con el descubrimiento esperado de los factores de 143 y la

conclusión esperada. Sin embargo, mientras que este extracto muestra claramente un

número (100) con un factor mayor que nueve (50), no necesariamente aborda la fuente

de dificultad de Johnny, porque 100 también tiene pequeños factores, como 2 y 5. La

afirmación de que un número que no es divisible por 2-9 es primo no se basa en la

creencia de que un número no puede tener un "gran" factor, sino que se basa en la

creencia de que un factor pequeño está siempre presente. Esta creencia fue explorada

en Zazkis y Campbell (1996b) y en Zazkis y Liljedahl (2004). En particular, los

participantes en estos estudios esperaban divisibilidad de números compuestos por

"pequeños números primos", y esta expectativa coexistió con su conciencia de

infinidad de números primos. Esta expectativa se explica por un estudiante en el

estudio de Zazkis y Campbell (1996b), quien razona que "cuando se factoriza un

número en sus primos [ …] toda la idea de factorizar cosas en sus piezas más pequeñas

[...] me da una idea de que esas partes a su vez van a ser pequeñas" (p. 216). Como

tal, la búsqueda de factores de 143 (con la ayuda de una calculadora), como el profesor

dirige a los estudiantes a hacer [6.5.13], cambia la ideas de los alumnos con respecto a

la primalidad de 143, pero no se aborda el origen de la confusión. El siguiente extracto 6.6 también es un ejemplo de la búsqueda de grandes factores.

Todo comienza con una idea similar de buscando factores mayores de 10, y, a

continuación, se extiende la lección a ejemplificar los números que son el producto de

dos números primos, ambos mayores de 10. El intercambio en el 6.6 se lleva a cabo

después de que se ha demostrado por los estudiantes, que usando las reglas de

divisibilidad, que 143 no es divisible por 2, 3, 5, 9 y 10, y confirmado por el maestro

(tenga en cuenta que los números cuatro, siete y ocho fueron ignoradas al momento de

confirmar la observación inicial de Johnny, ya que el profesor se basa exclusivamente

en las reglas de divisibilidad conocidas). 6.6.1 Maestro, Lo que dijeron de los números por debajo de 10 es cierto… pero hay muchos

números mayores que 10. Comencemos nuestra clase con calculadoras y tratemos más de

10… 11 o13 o 17. 6.6.2 Sarah Oh, oh, maestro, maestro, tengo 13. 6.6.3 Maestro, ¿Qué nos dice eso de 143 Sarah? 6.6.4 Sarah Creo que no es un número primo. 6.6.5 Maestro Fue un sencillo error; no hemos tenido una gran experiencia con

los números que no son divisibles por números mayores que 10. La siguiente

tarea es llegar a un número que no es un número primo y que puede dividirse en dos números mayores que 10.

6.6.6 (5 minutos más tarde) 6.6.7 Maestro ¿Alguien tiene una respuesta? 6.6.8 Sam Tengo 187. Que son 11 veces 17.

(Continúa)

98 6 Números Primos (Continuación) 6.6.9 Maestro Buen trabajo, ¿cuál es otro ejemplo?

6.6.10 Sam Tengo 221. 6.6.11 Maestro ¿Cómo obtuviste 221 Sam? 6.6.12 Sam Multiplico 13 y 17 y me dio 221. 6.6.13 Maestro Excelente ejemplo.

En este sentido, la apertura de sugerencia del profesor para tratar 11, 13 o 17 [6.6.1]

como posibles factores de 143 lleva inmediatamente a los resultados deseados. Lo que

sigue es una muy buena extensión de la actividad en que se invita a los estudiantes a

encontrar números compuestos que no tienen un factor menor que 10. Sin embargo,

vale la pena asistir más estrechamente a la forma en que la invitación está redactada.

En primer lugar, el profesor alega que "no hemos tenido una gran experiencia con los

números que no son divisibles por números mayores que 10" [6.6.5]. Pero ¿qué hay de

30 o 40? Lo más probable es que el profesor intentó atraer la atención a limitados

ejemplos involucrando factores primos mayores que 10. Entonces, la tarea de los

estudiantes se define como "llegar a un número que no es un número primo y se puede

dividir por dos números mayores que 10". Pero ¿qué hay de 60? Tiene varios

apropiados divisores mayores que 10. Obviamente, esta no era la intención del

maestro, quien deseaba ver un número no sólo con factores primos mayores de 10,

pero también sin factores menores que 10. Dado que esta es la intención del

dramaturgo, vemos estudiantes con éxito generar productos de dos números primos

mayores de 10, [6.6.8], [6.6.10], en analogía a descomposición de primo de 143. "¿Alguien sabe la regla de divisibilidad por 11?"

Mientras que los dos últimos ejemplos usaron reglas de divisibilidad (para

determinar o confirmar que los números del 2 al 9 no son factores de 143), este

juego 6.7 presenta la introducción de la regla de divisibilidad por 11. Pero antes de

llegar a esta regla de divisibilidad, Johnny es invitado a repensar su comprensión

del número primo. 6.7.1 T ¿Cómo te diste cuenta? 6.7.2 J He usado las reglas que nos enseñó. 6.7.3 T ¿Quieres decir las reglas de divisibilidad? 6.7.4 J Sí, mire, tengo la lista de las reglas aquí. Dos no cabe en 143 porque 143 no es par.

Tres no cabe en 143 porque la suma de los dígitos no es divisibles por 3. 1 + 4 + 3 = 8 y 8 no se divide por 3.

6.7.5 T Bueno, Johnny. Me alegro que estés utilizando tu conocimiento matemático para tratar de resolver estos problemas. ¿Qué otras razones me puedes decir que te hace

pensar que 143 es un número primo? 6.7.6 J 143 es impar, así que debe de ser primo. 6.7.7 T 143 es un número impar pero no todos números impares son primos. ¿Qué hay de 15? 6.7.8 J Si utilizo la regla de 5, 15 termina en 5 por lo tanto, se divide por 5. 5 x 3 = 15

6.7.9 T Si 5 x 3 = 15, luego 15 no es primo y es un número impar. 6.7.10 J Bueno, por lo tanto, quizá algunos números impares no son primos, aunque 143 lo es. 6.7.11 T Johnny, empecemos por el principio. ¿Qué es un número primo?

Siguiendo sugerencia #2 99

Aquí el maestro pide "otras razones que te hace pensar que 143 es un número

primo" [6.7.5]. El dramaturgo presenta una conocida confusión entre estudiantes: "143

es impar, así que debe de ser primo" [6.7.6]. Una confusión semejante fue reportado

en estudios previos (Zazkis 2011) como un posible error lógico: el hecho de que la

mayoría de los números primos son impares fue malinterpretado en el sentido de que

números impares, o al menos la mayoría de ellos, son los primos. El profesor es muy

rápido en ofrecer un contraejemplo: "15 no es un primo y es un número impar" [6.7.9],

pero el estudiante no encuentra este ejemplo convincente, porque la divisibilidad del

15 por 5 se determina fácilmente teniendo en cuenta el último dígito [6.7.8]. En lugar

de llevar a cabo esta interesante conjetura (que un número es primo si termina en un

número impar diferente de cinco), el maestro hace una vuelta a los principios básicos,

"empecemos por el principio" [6.7.11], a examinar la definición de un número primo.

Notamos que mientas contar con una definición de primo puede ayudar a Johnny a

revisar su conjetura, es poco probable que afecte a esa generalización que ha llevado a

cabo en relación con los ejemplos de los números primos con los que está

familiarizado. Siguiendo a Watson y Mason (2005), sugerimos que generar y trabajar

con ejemplos podría ser una mejor manera de desarrollar la comprensión de primalidad

de Johnny, que recordar la definición. Luego de aclarar lo que es un primo y lo que es un factor, el juego continúa.

6.7.12 T Bien clase, ¿se preguntaron si 143 es divisible por números superiores a 9? 6.7.13 J No, ya que si 2-9 no dividirán a 143, a continuación, cualquier número formado por

esos números no se dividirán en él. 6.7.14 T Veo, bueno, ¿qué si nos fijamos en los números superiores a 9? … ¿qué hay de 10? 6.7.15 J No, debido a que el número tendría que terminar en un cero para ser dividido por 10,

como 100.

6.7.16 T Veo. Bien, ¿sabemos las normas de los números mayores que 10? 6.7.17 J No, no recuerdo aprenderlas. 6.6.18 T Bueno, ¿quizás podríamos pedir a la clase para que nos ayude a solucionarlo?

¿Estaría bien?

6.7.19 J Seguro. 6.7.20 T Clase, necesito su atención por favor. Johnny y yo estamos teniendo dificultades para

resolver el problema de si 143 es primo o no, ¿alguien averiguó si es o no? 6.7.21 Mark: 143 no es primo porque cuatro números caben en él. 6.7.22 T Bueno, Mark dice que 143 no es primo porque tiene cuatro factores. Ahora bien, antes

de que podamos saber qué factores son… ¿alguien puede decirme las reglas de

divisibilidad para números mayores que 10? Sabemos que los números 2-9, no

funcionarán para 143, de manera que si Mark dice que no es primo entonces números mayores que 10 deberían servir.

6.7.23 Sue: Bueno, he tratado con 11.

6.7.24 T ¿Cómo trataste con 11? 6.7.25 Sue (Sue muestra una calculadora) 6.7.26 T Está bien, a veces, nuestras calculadoras nos ayudan pero también tenemos que saber

cómo dividir con nuestros cerebros y algunas reglas para que nos ayuden.

¿Alguien sabe la regla de divisibilidad para 11? 6.7.27 Bobby Sí. Para 11 toma el número (T escribe 143 en el tablero) sustrae el último

dígito de los dos primeros, lo que equivale a 11 (escribe 14 - 3 = 11). La

respuesta es 11

por lo tanto, sí, 143 es divisible por 11. 6.7.28 Johnny (Johnny escribe la regla y trata de resolver el problema él mismo) Bien, veo

ahora que 11 entra en 143… ¿cuál es el otro número? 6.7.29 T Bueno, ¿por qué no hacemos la división larga como una clase. 11/143… ¿cuántas

veces? Por favor trabaje en su papel y levante la mano cuando tenga la

respuesta.

100 6 Números Primos

Vemos aquí la excelente estrategia del maestro de reajustar los enunciados de

los estudiantes en [6.7.21] "cuatro números caben en él" con el fin de introducir la

terminología apropiada: "tiene cuatro factores" [6.7.22]. Lo que sigue es la

petición del maestro de recordar las reglas de divisibilidad para los números

mayores que 10. Como a menudo ocurre en el caso de los juegos, hay al menos un

estudiante que recuerda la regla deseada. De hecho, sólo un caso particular de la

divisibilidad por 11 se pone de manifiesto [6.7.27], pero esto no parece molestar a

al maestro. El descubrimiento de Sue de 11 con la ayuda de una calculadora [6.7.23] es dejado

de lado por parte del docente, que dice que mientras la calculadora puede a veces

ayudar, necesitamos a "utilizar nuestro cerebro y algunas de las reglas" [6.7.26] para

ayudarnos. Además, la estrategia sugerida para encontrar "el otro número", es decir, el

otro factor de 143, es el de utilizar división larga [6.7.29]. El maestro encuentra

claramente la calculadora una herramienta menor, prefiriendo las reglas o algoritmos.

Este posicionamiento de la calculadora, tal vez como una forma de hacer trampa,

parece injustificado, particularmente en esta situación en la que el foco de la lección se

centra en la búsqueda de factores de grandes números y no en practicando operaciones.

La invitación a "utilizar cerebro" sugiere que las matemáticas son de razonamiento, y

no sólo memorizar o aplicar procedimientos. Sin embargo, ya que uno de los factores

ya se halló por parte de un estudiante, ésta puede ser utilizada para confirmar el

hallazgo, en lugar de obtenerlo. El guión desarrollado da la impresión de que realizar

división con una calculadora es insuficiente para llegar a una conclusión relacionada a

divisibilidad. Parece que la lección se centra en las reglas de divisibilidad. Esto se pone

de manifiesto por la declaración de Mark, "143 no es primo porque cuatro números

caben en él" [6.7.21], es empujado a un lado con el fin de promover el valor de la

divisibilidad. La consiguiente interacción se desvía, por lo tanto, lejos de la invitación

inicial del profesor de reconsiderar la definición de primo, así como de la

generalización de Johnny acerca de la singularidad de los números primos. En [6.7.28], Johnny pregunta sobre el otro factor de 143. El profesor invita a la

clase a trabajar en la división larga "como una clase" (y es interesante analizar por

qué el maestro quiere que todo el mundo lo haga) con el fin de contestar la

pregunta de Johnny. Pero otra manera de abordar a Johnny sería preguntar si el

otro factor es realmente necesario. Dado que la eficiencia es un importante valor

matemático, el profesor podría utilizar esta oportunidad para ayudar a los

estudiantes a que se den cuenta de que sólo uno de los factores es necesario.

Además de modelar un valor estético en matemáticas, los alumnos son propensos

a encontrar la invitación a ser perezosos (¡sólo uno de los factores! ¡No hagas esa

división larga!) bastante atractiva. Después de que la división larga se realiza, el maestro concluye la indagación

de la primalidad de 143. 6.7.30 T ¿Cuántas veces 11 cabe en 143, Johnny? 6.7.31 J 13 veces. Así que 143 no es primo porque tiene cuatro... 6.7.32 T Factores. 6.7.33 J Sí, tiene cuatro factores… 1 , 11, 13 y 143.

6.7.34 T ¡Genial! Por lo que hemos aprendido que cuando se mira números mayores, tal vez tengamos que probar las reglas de la divisibilidad de números superiores a 10. Gracias

clase, pueden volver a su trabajo.

Siguiendo sugerencia #2 101

Johnny, que en un principio fue confundido con respecto a 143, ha encontrado el

"otro" factor de 143 y concluye que "143 no es primo porque tiene cuatro…

factores" [6.7.31], [6.7.33]. De hecho, 143 tiene cuatro factores, pero no está claro si

identificar los cuatro es necesario para este profesor para sacar una conclusión. El

profesor está llamando correctamente la atención, aunque no muy explícitamente, a la

idea de que cada número tendrá al menos dos factores y que la primalidad requiere

tener sólo dos factores. Pero la lección deja Johnny con la necesidad de encontrar los

cuatro factores de 143. Mientras que en 6.7 la regla de divisibilidad por 11 fue recordada por un estudiante,

en varios otros juegos el maestro se refiere a los estudiantes a las reglas de

divisibilidad (de 11 y 13) que se muestra en la pared. (Vimos referencias similares a

los gráficos que aparecen en las paredes del salón en el cap. 5.) Nos sorprende bastante

que los dramaturgos suponían que los alumnos de la escuela primaria, estarían

familiarizados con las reglas de divisibilidad por 11 y 13. Esas reglas, que pueden ser

desarrolladas para cualquier número primo, de una manera similar en que la regla de la

divisibilidad por 13 funciona, revelan algunas de las fascinantes relaciones entre

números (Eisenberg 2000; Zazkis 1999). Sin embargo, como se argumenta en el

cap. 5, su papel en la "era de la calculadora" es muy diferente; en efecto, las reglas de

divisibilidad por 7 y más allá de 10 raramente se discuten en los actuales planes de

estudio para los alumnos de la escuela primaria o para los futuros maestros de las

matemáticas. En lugar de utilizar la norma como un método para determinar

divisibilidad, vemos su papel hoy, más como una oportunidad para comprometerse en

el razonamiento matemático: ya sea para desarrollar, probar y perfeccionar las normas

conjeturadas o tratar de entender cómo y por qué las normas funcionan. Una vez más,

estas reglas parecen encarnar algo de la magia y la eficacia que los matemáticos

valoran y estudiarlas puede ayudar a comunicar estos valores más explícitamente a los

estudiantes. En general, nos sorprende la dependencia que tienen los profesores en las

reglas de divisibilidad. Parece ser que, para ellos, el concepto de divisibilidad está

conectado a una regla específica en lugar de la relación de multiplicación de

números. Como ya lo hemos dicho más arriba, la regla se valora mucho más que

otros medios para determinar divisibilidad, como división larga o una calculadora.

Y aunque las reglas de divisibilidad sólo dan un factor, los juegos parecen insistir

en la necesidad de encontrar un par de factores. En este sentido, la atención se

centra en multiplicación, pero más bien en términos de sus propiedades numéricas

que en sus relacionales. Siguiendo sugerencia #3

A pesar de que todos los juegos ya sea que reconocieron o comprobaron que en

efecto 143 no es divisible por números menores de 10, ningún dramaturgo pareció

cuestionar esta estrategia. Es decir, haber reconocido que el número no es divisible

por 2 y 3, ¿por qué habría una necesidad de comprobar la divisibilidad por 4, 6 o

9? Esto fue con el fin de centrarse en la estrategia, en lugar de la corrección de la

decisión, que desarrollamos la sugerencia #3.

102 6 Números Primos

(3) Maestro: ¿Por qué dices que 37 es primo? Johnny: Porque el 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 no caben en él.

En este caso, el número bajo investigación es, en efecto, primo, pero la

respuesta del estudiante incluye información innecesaria y tal vez un indicio de

una estrategia inadecuada para verificar la presencia de números primos. Como se

demuestra a continuación, la mayoría de los juegos se centró en recordar la

definición de primalidad y buscar vías alternas para demostrar la primalidad de

37–más que en la estrategia. "Sólo tenemos que dividir 37 por otros números primos"

Había un solo juego 6.8 en el que la estrategia de determinación de primalidad de

un número fuera reconocida explícitamente, pero no por el profesor. La

conversación entre dos de sus alumnos en el pasaje siguiente tiene lugar después

de que el maestro preguntó si estaban de acuerdo con la conclusión presentada en

las indicaciones y atribuidas al estudiante 1. 6.8.1 Estudiante 2 Sólo tenemos que dividir 37 por otros primos. Es decir, para 37 podrías probar

2, 3, 5 y 7. Podrías detenerte en 7, ya que 7 x 7 = 49, que es más grande

que 37. Todos los otros números son números compuestos utilizando estos números primos. Por lo tanto, si los números primos no dividen el número,

los compuestos tampoco pueden. 6.8.2 Estudiante 1 ¿Por lo que no necesito intentar dividir a todos los números en 37 a ver si es

prime? 6.8.3 Estudiante 2 Todo lo que tienes que hacer para averiguar si un número es primo es

dividirlo en otros números primos que multiplicados por sí mismos serían

menos o iguales que el número que estás buscando.

Una estrategia correcta, que es una alternativa a "intentar dividir a todos los

números en 37", se le atribuye al estudiante 2. Sin embargo, a pesar de que la

estrategia está bien resumido en [6.8.3], la razón para ésta no es mencionada por el

estudiante y no es buscada por el maestro. Además, la aplicación de la estrategia no es

ejemplificada según esta descripción en [6.8.1]. Es decir, según la descripción, se

puede parar en 5, mientras que la reclamación en [6.8.1] es que "se podría detener en

7, ya que 7 x 7 = 49, que es más grande que 37". Por supuesto, no hay nada de malo

en verificar la divisibilidad por número primo adicional, incluso si es incompatible con

el citado criterio. En nuestra enseñanza e investigación hemos observado muchas veces

que los estudiantes pueden describir correctamente la estrategia de determinación de

primalidad de un número, pero parece que no tienen confianza en su ejecución (Zazkis

Liljedahl, 2004). Es decir, habiendo comprobado la divisibilidad por todos los

números primos cuyo cuadrado es menor que el número en cuestión, ellos seguirán

comprobando otros números, ambos primos y compuestos, "por si acaso" o "para estar

seguros". Estas acciones fueron a menudo conectadas a una

Siguiente mensaje #3 103 incapacidad para explicar por qué sólo primos particulares son considerados.

Además de la falta de confianza, y la posible falta de entendimiento de la

estrategia, podemos ver este fenómeno también como una falta de reconocimiento

del valor de generalización matemática. Esta apunta a la necesidad, de los futuros

maestros, así como de los estudiantes, de tener más experiencia con el tipo de

conjeturas, pruebas, contraejemplos y el refinamiento de del trabajo de las

conjeturas que está involucrado en la generalización. Volvemos a este punto en el

cap. 8. "Así no es cómo un número primo es definido"

El siguiente juego 6.9 comienza con un debate sobre la definición de primalidad,

que ejemplifica un movimiento común (retorno-a la-definición) en los juegos de

lecciones analizados. No hay ningún desafío para el enfoque utilizado por Johnny. 6.9.1 T Lo que dices es verdad, pero no es así como un número primo es definido. ¿Recuerdas la

definición de un número primo? 6.9.2 S: Sí, de alguna forma. Un número que sólo se pueden dividir por sí mismo y uno. Como

2, ¿no? 6.9.3 T Exactamente. Sí se puede dividir por sí mismo uniformemente (de manera exacta). Por

lo tanto, ¿qué es lo que sabemos sobre 37?, ¿es primo? 6.9.4 S Que puede ser divisible por 1 y 37. 6.9.5 T Genial. Así que hablemos de los números que usted ha escogido para tratar de dividir

37. Del 2 al 9. ¿Podrías explicar por qué concluiste que estos números no funcionan? 6.9.6 S Supongo y comprobé con números del 2 al 9 y demostré que era primo. No importa cuál

sea el divisor, a menos que sea 1 y 37, no funcionará. 6.9.7 T Excelente. Creo que lo que hablamos es muy útil; después de todo, la idea de números

primos es bastante difícil. Creo que lo voy a pedir a la clase que detenga su trabajo y se

agrupen para hablar de números primos. 6.9.8 S Suena bien. Me parece muy bien que cuando tenemos problemas con las matemáticas,

nos ayude a encontrar soluciones y, a continuación, asegúrese de que la clase se encuentra en buen camino. Usar grupos me ayuda mucho, porque entonces yo siempre

tengo a alguien para preguntar acerca de las matemáticas.

El lector puede encontrar el último comentario atribuido a un estudiante [6.9.8]

sorprendente: después de todo, es raro que los estudiantes comenten de las

estrategias pedagógicas utilizadas por los profesores. El dramaturgo aquí parece

estar teniendo una función de promoción con respecto a la función y la

importancia del trabajo en grupo. Tenga en cuenta que el principal objetivo de este

grupo de trabajo es "asegúrese de que la clase está en buen camino" y "tener a

alguien para preguntar acerca de las matemáticas". Ninguno de estos objetivos se

requiere trabajo en grupo y, de hecho, gran parte de la literatura propone que el

trabajo en grupo se centra más en la forma en que ellos facilitan la comunicación

matemática en un entorno para la resolución de problemas. Pero aquí, el grupo se

le va a pedir que hable sobre los números primos, lo que representa un objetivo

diferente. Independientemente, centrémonos en la respuesta del maestro al razonamiento de

un alumno acerca de por qué 37 es un número primo. En un primer momento, el

profesor parece estar satisfecho con la conclusión del estudiante, pero no la razón de

ésta porque "así no es como un número primo es definido" [6.9.1]. Parece que hay una

expectativa implícita de que la definición de

104 6 Números Primos un primo será citada, en lugar de los resultados de verificar primalidad. Un

estudiante recuerda una definición en [6.9.2]. Ya hemos comentado en detalle en

el lenguaje pertinente a divisibilidad en el capítulo anterior. Aquí, mientras que el

lenguaje atribuido a un estudiante puede ser mejorado, la reformulación del

maestro de "si se puede dividir a sí mismo uniformemente" [6.9.3] -no comunica

la idea de un número primo. Además, cuando el estudiante ofrece el ejemplo del 2,

el maestro no toma la oportunidad de explorar otros ejemplos, sobre todo aquellos

que no son ni siquiera (y que podría empujar la idea del estudiante de lo que

podría significar división uniforme). "Nos permiten usar los bloques para averiguar"

En el siguiente extracto 6,10, el dramaturgo parece sentir que la estrategia

utilizada por Johnny no es la única–o incluso no la preferida. Como se mencionó

anteriormente, tal vez el uso de la calculadora se encuentra en el origen de la

equivocación del maestro, en [6.10.3], ya que ella está "preguntándose si hay otro

camino". Además, como también hemos visto anteriormente, el profesor elige una

vuelta-a las-bases que impliquen el uso de manipulativos.

6.10.1 T No lo entiendo. Muéstrame cómo sabes que el 37 es un número primo. 6.10.2 S Porque cuando he utilizado una calculadora éste no funcionó. (El estudiante

demuestra dividir los números 2-9 en 37 con una calculadora)… ve, es un número

primo. 6.10.3 T Veo. Usted está diciendo que la calculadora muestra que 37 es un número primo. Me

pregunto si hay otra manera de demostrar que 37 es un número primo. Te daré algunos bloques.

6.10.4 (la maestra va y consigue unos bloques manipulativos) 6.10.5 T Bien. Vamos a utilizar los bloques para averiguar cuántas maneras hay de hacer 37.

Voy a anotar el número de formas que me muestres. 6.10.6 [ …] 6.10.7 T Entonces ¿por qué 37 es un número primo? 6.10.8 S Porque sólo hay dos maneras de hacer 37. 6.10.9 T Aún no lo tengo. ¿Cuáles son las dos maneras? 6.10.10 S Sr. L, están justo enfrente de usted. 1 y 37 o 37 y 1. 6.10.11 T Veo, por lo que un número primo es un número que sólo puede hacerse con 1 y... 6.10.12 S sí mismo.

Tenga en cuenta la afirmación del estudiante de que "no funcionó" [6.10.2] se

deja sin examinar. Esta sería una excelente oportunidad para que el maestro

averiguara más acerca de lo que "no funciona" significa en el contexto de

determinar números primos. Por lo menos, un reajuste de "no funcionar" en

términos de "oh, quieres decir que la calculadora no muestra un número entero"

podría ayudar a hablar de modelo matemático para el estudiante.

El maestro no parece satisfecho con la estrategia del estudiante y busca "otra

manera de demostrar que el 37 es un número primo" [6.10.3]. Mientras que el

trabajo del estudiante con bloques sólo puede ser imaginado, se puede suponer que

el estudiante pone

Siguiente mensaje #3 105 una fila o una columna de 37 bloques. Sin embargo, el alumno nunca cesa con la

cuestión de si es posible que existan otras formas de poner los bloques en una

matriz rectangular. Además, la distinción entre las dos formas puede llevar a

confusión: tal vez el maestro asocia los dos factores de 37 (1 y 37) con las dos

formas de hacer un rectángulo. En [6.10.11], la maestra se posiciona a sí misma

como la autoridad declarando la definición de primalidad, permitiendo al

estudiante simplemente completar su oración. Además, hay más trabajo que hacer

reajustando la idea de "un número que puede ser hecho" en lenguaje matemático. "Puede haber un número infinito de números primos"

En el siguiente ejemplo 6.11, nos centramos menos en la estrategia utilizada por el

dramaturgo y más en el tema del lenguaje–y la importancia de atender a la

precisión en el habla matemática. En este extracto, el maestro ha hecho una

pregunta interesante sobre si hay o no hay infinidad de números primos.

6.11.1 T ¿Puede haber un número infinito de números primos? 6.11.2 S Creo que sí. Porque sabemos que se pueden multiplicar los números y seguir adelante,

por lo que si podemos hacerlo, entonces deben de haber todavía números primos allí. 6.11.3 T Excelente pensamiento. Ahora que ya ha llegado a este punto, quiero que veas tu

gráfica y encuentres todos los números primos. ¿Hay un patrón? ¿Puedes encontrar más números primos que no se encuentran en tu gráfico?

Ciertamente, hay infinidad de números primos. Pero el razonamiento, "se

pueden multiplicar números y seguir adelante" [6.11.2] en realidad muestra que

hay infinidad de números compuestos, en lugar de primos. En lugar de señalar

esto, la respuesta del maestro se centra en la alabanza, "Excelente pensamiento"

[6.11.3]. Además, lo que el "gráfico" invita a los alumnos a considerar cumplir

con la tarea de encontrar "todos los números primos" no está clara. En el calor del

momento, los profesores no podrán ser capaces de evaluar la explicación del

alumno. Ella podrá invitar a una pausa en la interacción del aula a fin de examinar

más detenidamente. También puede invitar a otros estudiantes a evaluar el

razonamiento. Por último, ella podría reconocer que no sabe cómo responder a la

pregunta planteada, que por lo menos no da la impresión de que la respuesta del

estudiante es correcta. Suponemos que el dramaturgo en efecto creyó que el

estudiante está en lo correcto. Esta situación pone de manifiesto la difícil tensión

que basada en la reforma de la enseñanza en la que se alienta a los profesores a

proponer y suscitar preguntas importantes, pero no siempre están preparados para

manejar la interacción subsiguiente. En un caso como éste, podemos ver que la

rápida evaluación en [6.11.3] no sólo afirma ideas matemáticas incorrectas, sino

que corta el proceso de razonamiento de los estudiantes.

106 6 Números Primos "Encontrar un número que no es un número primo y no es

divisible por 2, ..., 9"

Ahora cambiamos de marchas a nuestro próximo y último ejemplo 6.12, en el que

el dramaturgo reconoce e intenta trabajar en la problemática estrategia propuesta

por Johnny. Sin embargo, antes de hacerlo, y el maestro hace un movimiento

familiar ahora de volver a la definición.

6.12.1 La Sra. L Tiene usted razón al decir que 37 es un número primo. Y, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8

y 9 ciertamente no caben en él. Sin embargo, piense en la definición de un

número primo. 6.12.2 Estudiante 1 Sé que los números primos sólo pueden dividirse por 1 y sí mismo. Pero

es sólo como decir que todos los números que no son primos se pueden dividir por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9.

6.12.3 La Sra. L Hmmm… ¿Por qué dice usted eso? 6.12.4 Student 1 Porque justo aprendimos esas reglas de 2-9, y porque cada árbol de factores

que he hecho tiene uno de esos números en el mismo. 6.12.5 La Sra. L ¿Cuál es el mayor número al que has tenido que recurrir a un árbol de

factores? 6.12.6 Estudiante 1 La Sra. C nos hizo hacerlos todo el año pasado en el grado 6!

6.12.7 La Sra. L ¡¿Todos ellos? ¿Realmente? ¿Fuiste capaz de hacer todo los árboles de

factores hasta el infinito en el grado 6?! 6.12.8 Estudiante 1 No, no hasta infinito. Los hemos hecho hasta 100. 6.12.9 La Sra. L ¿Los números van hasta 100? 6.12.10 Estudiante 1 Por supuesto que no. Solo pensé que eso era tal vez cuando empezaban a

repetirse a ellos mismos o algo así. Eso es todo lo que teníamos que hacer.

6.12.11 La Sra. L Mmmm, Esto suena como un problema interesante para la clase para resolver.

Ve a ru grupo de 3 y les daré su desafío. Su desafío es encontrar un

número que no es un número primo y no es divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8 o 9. Les diré que no necesitan buscar más allá de 150. 6.12.12 Estudiante 1 ¡Puaj! ¡Esto va a tomar UNA ETERNIDAD! 6.12.13 La Sra. L ¿Cuáles son las estrategias que van a utilizar?

Tras la solicitud del profesor en [6.12.1], nos encontramos preguntas e hipótesis

razonables expresadas por el alumno: "Pero es como decir que todos los números que

no son primos se puede dividir por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9" [6.12.2]. La creencia

implícita en esta pregunta se basa en la experiencia: "Porque justo aprendimos las

reglas de 2-9, y porque cada árbol de factores que he hecho tiene uno de esos números

en el mismo" [6.12.4]. Se aclaró además que en sus experiencias anteriores, los

estudiantes en esta clase hicieron árboles de factores para los números hasta 100. Y de

hecho, es cierto que cada número compuesto menor a 100 tiene por lo menos un factor

entre los números del 2 al 9. Sin embargo, como señala el profesor (un poco en

broma), los números no se detienen en el 100. Así pues, el profesor presenta un reto a

los estudiantes, que es el de encontrar un número que no es primo y "no es divisible

por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9" [6.12.11]. Aquí, la atención se ha desviado del caso concreto

de 37, pero el

Siguiente mensaje #3 107 maestro está explícitamente trabajando para producir un contraejemplo en el que

probando los números del 2 al 9 no es suficiente (o necesario). Este juego va a describir la interacción de los estudiantes en grupo. En primer

lugar listan varios números primos mayores que 10:11, 13, 17, 19 y deciden a

verificar la divisibilidad de los números de 100 a 150 a través de estos primos.

6.12.14 Estudiante 1 Hemos de poner a prueba cada número entre 100 y 150 a ver si es

divisible por 11 y 13. 6.12.15 Estudiante 2 No necesitamos probar cualquier número par ya que sabemos que es ya

es divisible por 2. 6.12.16 Estudiante 3 ¡Oh sí! ¡Y no tenemos que probar los números que terminan en 5 o 0

porque se pueden dividir en 5! 6.12.17 Estudiante 2 Aquí, vamos a usar la pizarra y escribir todos los números posibles. (Los

estudiantes escriben 101, 103, 107, 109, 111, etc. hasta 150) 6.12.18 Estudiante 1 Ah, y recuerden que la Sra. L dijo que un número que tiene todos sus dígitos

sumados a algo que se puede dividir en 3 significa que el número entero se puede dividir por 3. Sí, esa es una de las reglas que escribió.

6.12.19 Estudiante 2 ¡Chicos! ¿Por qué no utilizar esa lista de trucos de divisibilidad que hicimos

en la primera parte de la clase para tachar los demás números? Entonces

ya no tendremos que hacer mucha división. Nuestras normas están

todavía en la pizarra. ¿Es eso correcto, la Sra. L.? 6.12.20 (Estudiantes tacharon los números y se quedan en la lista: 101, 103, 107,

109, 113, 121, 127, 131, 137, 139, 143, 149) 6.12.21 Estudiante 2 Ahora todo lo que tenemos que hacer es probar si esos 12 números son

divisibles por 11 y 13.

Compartiendo el largo trabajo de la división, los alumnos encuentran 121 y

143.

6.12.22 3 Estudiante 3 Sra. L. , mire, lo desciframos. ¡Se trata de 121 y 143! El resto de los

números son primos. 6.12.23 La Sra. L ¿Y 121 y 143 son ¿y entonces? 6.12.24 Estudiante 3 121 y 143 son números que no son primos, aunque también no se dividen

por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9.

6.12.25 La Sra. L Entonces ¿las reglas de la divisibilidad de 2 a 9 siempre van a funcionar

para descubrir números no primos?

6.12.26 Estudiante 1 ¡Nop!

En este juego, los estudiantes han aprendido que la divisibilidad por números

del 2 al 9 es insuficiente, o, en las palabras del maestro "no siempre se van a

funcionar para descubrir números no primos" [6.12.25]. Es interesante señalar

que, aunque nuestra intención en este indicador era la de centrarse en pasos

innecesarios en la comprobación de primalidad de 37, este dramaturgo se centró

en la estrategia de ser insuficiente en algunos casos.

108 6 Números Primos

A pesar de la fortaleza de este juego, podemos ver también nuevas

oportunidades para que el maestro centre la atención de los estudiantes más

directamente en la idea de primalidad que en eso de operaciones numéricas

(división, especialmente). Por ejemplo, mientras que los estudiantes utilizan sus

conocimientos y reglas de la divisibilidad y división larga para encontrar 121 y

143, el profesor puede haber intervenido para mostrar cómo estos números pueden

ser construidos multiplicativamente como 11 x 11 y 11 x 13. Si bien es posible

que este particular dramaturgo dirigirá la atención de los alumnos a la materia en

la siguiente lección, la investigación ha demostrado que la relación entre

multiplicación y división es frecuentemente desatendida en relación con las tareas

relacionadas con teoría de números. Por ejemplo, los futuros maestros de la

escuela primaria, cuando se les pidió encontrar un "gran" número de 5 dígitos

divisible por 17 prefieren comprobar la divisibilidad con calculadora, en lugar de

elaborar un número multiplicando 17 por un número de 3 o 4 dígitos (Hazzan y

Zazkis 1999). Además, cuando se les pidió que encontraran un número con

exactamente cuatro factores, la estrategia preferida de los participantes fue la de

adivinar y comprobar, en lugar de construir un número como el producto de dos

números primos (Zazkis y Campbell 1996a). Como tal, la estrategia de cribar

múltiplos de 2 a 9 de la lista de los números de 100 a 150 podría haber sido una

buena opción para el dramaturgo. Conclusión

Los juegos analizados en este capítulo revelan muchos de los elementos del

concepto de futuros maestros de las imágenes de los números primos.

Investigaciones previas (Zazkis Liljedahl, 2004) ha demostrado que para los

futuros maestros de la escuela primaria la comprensión de primalidad está

firmemente conectada al procedimiento de factorizar, a observar algunos ejemplos

concretos de los pequeños números primos, y de la interpretación de la definición

de exclusión. Es decir, los futuros maestros de la escuela primaria se centran en lo

que los primos no son o no pueden ser (no son divisibles por otros números, no

pueden factorizarse) en lugar de atender a lo que son o lo que tienen (exactamente

dos factores). Los juegos hicieron eco de estos resultados, pero también demostró

una gran variedad de formas adicionales en las que los primos pueden entenderse,

tanto por personajes-docentes como por personajes-estudiantes. Además, demostró

una serie de herramientas que pueden utilizarse para ayudar a la comprensión. Más comúnmente, la tabla de multiplicación se invoca como una herramienta

que podría ampliarse, revelando de este modo más números y, en particular, no

primos. Alternativamente, los estudiantes fueron expresamente invitados a buscar

"grandes" factores. Si bien estos particulares enfoques están implícitos en la

primera y la segunda sugerencia respectivamente, herramientas adicionales fueron

empleadas para mejorar los niveles de comprensión y la capacidad para determinar

primalidad. Estos presentaron la utilización de una tabla de números para tachar

múltiplos, bloques para crear matrices rectangulares y calculadoras para

comprobar si ciertos números son divisibles por otros números. Además, las reglas

de divisibilidad fueron ocasionalmente invocadas en la búsqueda de factores y con

el fin de refutar primalidad. Para el tercer indicador, que no implica un error en el

reconocimiento de un primo, el personaje-maestro a menudo desviaba su atención

a la definición de un número primo, en lugar de a la eficacia del procedimiento

para determinar primalidad.

Conclusión 109

Los futuros maestros también mostraron que tenían conocimiento de las partes

de la imagen del concepto que se podría mejorar para los estudiantes, por ejemplo,

atendiendo a la situación del número 2, o a la pregunta de si hay infinitamente

muchos primos. Estos juegos presentan una mayor concentración en el

razonamiento que se encuentra en el capítulo anterior. Una vez más, vemos

evidencia de la forma en que los temas bajo consideración pueden recurrir a

diferentes objetivos de la enseñanza y, en consecuencia, diferentes movimientos

de enseñanza.