TEORIA ECONOMETRICA BASICA

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Modelo Lineal General

CAPITULO 4

MODELO LINEAL GENERAL

4.1 ESPECIFICACION

Consideremos la siguiente relacin funcional entre una variable dependiente y k-1 variables independientes,

Suponiendo que estas variables se relacionan linealmente entonces se tiene el siguiente modelo economtrico que los relaciona,

En dicha relacin se incluye un trmino de perturbacin, , ya que empricamente es imposible que la relacin propuesta sea una relacin exacta para cada observacin. Si adems, disponemos de n observaciones para cada variable, el modelo propuesto se puede escribir como,

.

.

.

O alternativamente,

Por tanto, el modelo en forma resumida matricialmente corresponde a,

= +

[4.1]

(nx1) (nxk) (kx1) (nx1)

Adems de lo supuesto, respecto de la existencia de una relacin lineal entre las variables involucradas, por las consideraciones anotadas en captulos precedentes, se requiere establecer algunos otros supuestos respecto ahora de la variable aleatoria, , los cuales matricialmente corresponden a los siguientes,

[4.2]

[4.3]c) Las variables (i= 1, 2, 3, , n) (j=2, 3, , k), son no aleatorias y por tanto fijas.

d) La matriz son de rango pleno, de forma que

e) El vector

[4.4]

4.2 ESTIMACION4.2.1 Estimadores de los parmetros (jHabiendo definido nuestro modelo y planteado nuestros supuestos, el siguiente paso consiste en estimar los parmetros (j. Siendo el modelo estimado,

=

[4.5]

(nx1) (nxk) (kx1)

Entonces,

= +

[4.6]

(nx1) (nxk) (kx1) (nx1)

Donde, corresponde al vector de los errores observables.

Para estimar utilizaremos el mtodo de mnimos cuadrados ordinarios.

4.2.2 Estimadores Mnimo Cuadrticos

Siguiendo el criterio de este mtodo el objetivo es minimizar la (ei2 . Para tal efecto, se tiene ms de un parmetro estimado de decisin.

De [4.6] se obtiene que,

[4.7]

De modo que,

Por la condicin de primer orden de optimizacin se tiene,

De donde,

[4.8]

4.2.3 Matriz de Varianza y Covarianza

Por definicin, la matriz de varianzas y covarianzas matricialmente corresponde a,

Reemplazando [4.1] en [4.8] se tiene,

[4.9]

De donde,

Entonces,

[4.10]

4.2.4 Estimador de la varianza de las perturbaciones

De [4.7] y considerando [4.1] y [4.8] se tiene,

Si hacemos que,

Luego,

Ahora calculado el valor esperado se tiene,

Por tanto:

4.2.5 Propiedades de los estimadores mnimo cuadrticos

En captulos anteriores, se ha mostrado que los estimadores mnimo cuadrticos tienen tres propiedades bsicas, los cuales matricialmente corresponden a las siguientes:

a) Son funciones lineales de las observaciones reales de la variable endgena

De [4.8],

Esta se puede escribir alternativamente como,

Donde:

Ntese que el vector columna depende del vector columna cuyos elementos son Y1, Y2, Y3, , Yn.

b) Son insesgados

Nuevamente como,

Reemplazando [4.1] nuevamente se tiene,

Por tanto su valor esperado es,

c) Tiene varianza mnima

Consideremos el siguiente estimador lineal alternativo,

El cual es insesgado solo si se cumple que,

Adems, considerando que,

Siendo,

Entonces,

Esta varianza ser mnima s en la siguiente funcin de Lagrange,

Se cumple que,

De donde,

Como, el estimador alternativo es,

Cuya varianza corresponde a,

Por tanto, se concluye que el estimador alternativo, cuya varianza es mnima, solo puede corresponder al obtenido por el mtodo de mnimos cuadrados ordinarios.

4.3 MATRIZ DE CORRELACION, COEFICIENTES DE REGRESION Y COEFICIENTES DE CORRELACION PARCIAL

Si calculamos todas las correlaciones simples (de orden cero) entre las variables, , , , , y la disponemos en forma matricial, obtenemos lo que denominaremos la matriz de coeficientes de correlacin:

El objetivo de esta seccin es mostrar que todos los coeficientes de regresin y los coeficientes de correlacin parcial pueden expresarse en funcin de los cofactores de esta matriz de correlacin.

La regresin minimocuadrtica en trminos de desviacin es,

Donde los se obtienen minimizando el cual nos proporciona las siguientes ecuaciones normales,

.

.

.

Este sistema tambin puede escribirse como,

.

.

.

Segn la regla de Cramer, despejando obtenemos,

Donde:

Es decir, representa el cofactor de en la matriz . Luego en general tenemos que,

Por tanto siendo,

Entonces:

Del mismo modo siendo,

Tenemos,

Suponiendo que el modelo corresponde a dos variables la anterior relacin se reduce a,

Siendo,

considerando adems que,

El cual constituye el determinante de la matriz de correlacin, finalmente se obtiene,

Esto nos permite una expresin alternativa para el coeficiente de determinacin que por definicin es,

Por tanto,

Si se tiene tres variables es posible relacionarlas en trminos de regresiones del siguiente modo,

O alternativamente como,

Adems, dada la naturaleza lineal de las relaciones consideradas se tiene que,

=

EMBED Equation.3

=

EMBED Equation.3 Por tanto,

.

.

4.4 INFERENCIA ESTADISTICA

4.4.1 La prueba t

Si nuestro propsito es probar que algn parmetro es igual a un valor (generalmente cero) partimos de las siguientes consideraciones,

De [4.9] se tiene que,

Y siendo por [4.3] que,

Entonces,

de modo que,

Siendo posible demostrar que,

Por tanto,

Esta ltima expresin slo es cierto si el numerador es independiente del denominador.

La independencia implica,

Por tanto:

Simplificando,

Luego para los elementos del vector la prueba t se puede escribir,

donde es el elemento de la fila i, columna i de la matriz

4.4.2 La prueba F

Si nuestro propsito es probar que todos los parmetros son iguales a un valor (generalmente cero) partimos de la siguiente relacin,

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 Es decir, la suma de los errores tericos se ha descompuesto en la suma de los errores muestrales y la suma de los cuadrados debido a la regresin.

Siendo,

tenemos que,

Asimismo para

4.5 PREDICCION

La regresin mltiple estimada en forma escalar se puede escribir como:

O alternativamente en forma matricial se puede escribir como:

Donde:

Es evidente que la prediccin media de es aquella que corresponde a un dado. S el vector de valores de las variables fuera, , la prediccin media sera:

Donde:

Esta prediccin, es una prediccin insesgada de , puesto que,

_1286800285.unknown

_1286800427.unknown

_1286800580.unknown

_1286800643.unknown

_1286800672.unknown

_1286801090.unknown

_1286801092.unknown

_1286801093.unknown

_1286801091.unknown

_1286800689.unknown

_1286800699.unknown

_1286800709.unknown

_1286800712.unknown

_1286800715.unknown

_1286800706.unknown

_1286800695.unknown

_1286800681.unknown

_1286800684.unknown

_1286800678.unknown

_1286800660.unknown

_1286800666.unknown

_1286800669.unknown

_1286800662.unknown

_1286800653.unknown

_1286800656.unknown

_1286800651.unknown

_1286800609.unknown

_1286800632.unknown

_1286800638.unknown

_1286800640.unknown

_1286800635.unknown

_1286800626.unknown

_1286800629.unknown

_1286800613.unknown

_1286800593.unknown

_1286800603.unknown

_1286800606.unknown

_1286800598.unknown

_1286800586.unknown

_1286800590.unknown

_1286800582.unknown

_1286800492.unknown

_1286800542.unknown

_1286800560.unknown

_1286800570.unknown

_1286800573.unknown

_1286800563.unknown

_1286800551.unknown

_1286800555.unknown

_1286800545.unknown

_1286800519.unknown

_1286800532.unknown

_1286800539.unknown

_1286800525.unknown

_1286800506.unknown

_1286800508.unknown

_1286800498.unknown

_1286800503.unknown

_1286800495.unknown

_1286800457.unknown

_1286800477.unknown

_1286800482.unknown

_1286800487.unknown

_1286800479.unknown

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_1286800454.unknown

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_1286800437.unknown

_1286800430.unknown

_1286800364.unknown

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_1286800419.unknown

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_1286800413.unknown

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_1286800407.unknown

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_1286800393.unknown

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_1286800279.unknown

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_1286800272.unknown

_1286800263.unknown

_1286800266.unknown

_1286800261.unknown

_1286800239.unknown

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_1286800201.unknown

_1286800195.unknown

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_1286800179.unknown

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_1286800173.unknown

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